Berechnungen mit dem Differenzialquotienten

Einleitung

• Thema: Berechnungen mit dem Differenzialquotienten zur Ermittlung der Ableitung von f
• Aufgabenstellung:
  1. Ableitung von f an einer beliebigen Stelle x0 ermitteln
  2. Steigung von f an der Stelle x0 = 5 berechnen
• Differenzialquotient ist anfangs abschreckend, aber Schema hilft Schritt für Schritt
• Start: Definition des Differenzialquotienten und dann Schema folgen

Definition des Differenzialquotienten

• Grenzwertbildung: Limes, wenn x gegen x0 läuft
• Bruchform:
  • Zähler: f(x) - f(x0)
  • Nenner: x - x0
• Berechnung führt zur Ableitung an der Stelle x0

Anwendung des Schemas

Schritt 1: Einsetzen

• f(x), f(x0) und x0 in den Differenzialquotienten einsetzen
• x bleibt x, nur f(x) und f(x0) durch Aufgabenstellung definierte Funktionen ersetzen
• Beispiel: Wenn x0 eine Zahl wäre (z.B. 7), würde man sie einsetzen, in diesem Fall bleibt x0 jedoch x0

Schritt 2: Bruch vereinfachen

• Anfang: Grenzwert erstmal beibehalten
• Vereinfachung:
  • Klammer auflösen
  • Mögliche Vereinfachungen (z.B. 4 - 4 = 0)
  • Bruch weiter vereinfachen
• Kürzung: Nur möglich, wenn Nenner im Zähler als Produkt vorkommt
• Ausklammern und Faktorisieren:
  • Gemeinsamkeiten (z.B. konstante Faktoren) ausklammern
  • Anwendung der dritten binomischen Formel (a² - b² = (a-b)*(a+b))
• Endergebnis der Vereinfachung: 3 * (x + x0)
• Kürzung: x - x0 kürzt sich weg

Schritt 3: Grenzwertbildung

• x gegen x0 laufen lassen
• Limes fällt weg, x wird durch x0 ersetzt
• Endergebnis: Ableitung f'(x0) = 6x0

Berechnung der Steigung an der Stelle x0 = 5

• Steigung von f entspricht Ableitung an der Stelle
• Einsetzen: f'(5) = 6 * 5 = 30
• Ergebnis: Steigung an der Stelle x0 = 5 ist 30*

Abschluss

• Anleitung verständlich erklärt
• Einladung zur nächsten Lektion