Hallo ihr Lieben! In dem heutigen Video möchte ich euch zeigen, wie man Berechnungen mit dem Differenzialquotienten durchführen kann. Und das Thema an sich ist nicht ganz so beliebt, weil der Differenzialquotienten ein bisschen abschreckend aussieht, was wir gleich sehen werden. Aber ich möchte es trotzdem Schritt für Schritt mit euch durchgehen, weil man das so schön an einem Schema abarbeiten kann. Ermittle mit Hilfe des Differenzialquotienten die Ableitung von f an einer beliebigen Stelle x0. Das ist die Hauptaufgabe und berechne anschließend, jetzt kommt so eine Nebenaufgabe, die Steigung von f an der Stelle x0 gleich 5. Die ignorieren wir am Anfang erstmal, das wird der zweite Teil werden. Wenn wir den ersten Teil geschafft haben, ist der zweite Teil auch voll easy, aber durch den ersten müssen wir halt erstmal durch. So, was sollen wir machen? Wir bekommen unsere Funktion f, die so aussieht und von der sollen wir die Ableitung bestimmen. An welcher Stelle? An einer belebigen Stelle x0. Also wir bekommen jetzt keinen expliziten Wert für das x0. Also da steht nicht an der Stelle 7 wollen wir die Ableitung wissen, sondern es soll einfach an irgendeiner Stelle x0. Sollen wir die Ableitung berechnen? Und dann kann man, wenn man möchte, eben jeden Wert für x0 einsetzen, der einen interessieren könnte, was auch in der zweiten Aufgabe dann der Fall sein wird. Aber gut, erstmal hier. Wir sollen die Ableitung bestimmen. Jetzt stehen wir allerdings, wenn wir mit dem Differenzialquotienten unterwegs sind, am Anfang des Themas Ableitung. Wirklich ganz am Anfang und man weiß noch gar nichts. Man kennt keine Ableitungsregeln, die man irgendwann dann kennenlernt. Deswegen müssen wir halt den Differenzialquotienten nutzen, so wie es in der Aufgabe auch drinsteht. Und schauen wir uns den mal an. Das ist unsere Funktion. Wie ist der Differenzialquotient definiert? Der sieht folgendermaßen aus. Wir sollen den Grenzwert bilden. Limes, wenn x gegen x0 läuft, also x sich immer näher an das x0 ernährt, von einem Bruch, weil das ist ja auch ein Quotient, der Differenzialquotient. wo x minus x0 stehen, kann man sich ganz gut merken, weil das hier auch x minus x0 sozusagen von der Reihenfolge ist. Und auch im Zähler haben wir eine Differenz, auch mit der Reihenfolge x und x0, aber f von x und f von x0. Also relativ ähnlich aufgebaut, kann man sich eigentlich ganz gut merken. Das ist der. Und mit dem sollen wir jetzt die Berechnung... durchführen. Und der Differenzialquotient ist dann letztendlich, also wenn wir das berechnen, dann finden wir die Ableitung an der Stelle x0 von unserer Funktion f. Also das hier ist die Definition für die Ableitung. Okay, und das Schöne ist, ich habe euch versprochen, es gibt ein Schema, wie man vorgehen kann. Erster Schritt, wir sollen f von x, f von x0 und x0 einsetzen. Okay, dann schauen wir mal, was es bei uns wäre. f von x ersetzen wir gleich, f von x0 stand da und x0 sollen wir ersetzen. Was wir nicht machen, ist an x irgendwas zu ändern. Das stand auch nicht auf dem Plan, das x wird immer einfach x. bleiben. Daran ändern wir gar nichts. Dann schauen wir mal, was hier gegeben ist. x, wie gesagt, fassen wir nicht an. Lassen wir so stehen. Wie sieht es mit x0 aus? Haben wir für x0 eine Information bekommen? Nö. x0 soll x0 bleiben. Wenn ihr jetzt eben den Wert 7 bekommen hättet in der Aufgabenstellung, dann müsstet ihr an dieser Stelle jetzt statt diesem x0 eben 7 hier unten hinschreiben. Was bei uns aber nicht der Fall ist, deswegen alles wieder weg. x0 soll bei uns x0 bleiben. Dann kommt der Bruch. Was haben wir jetzt? Vielleicht erstmal unten. x fassen wir nicht an, schreiben wir so ab. x0 ersetzen wir nur, wenn wir eine Zahl bekommen, haben wir hier nicht. Okay, wie sieht es oben aus? Was ist f von x? Ist je nach Aufgabenstellung anders. Bei uns ist unser f von x eben die Funktion hier. Und die setzen wir dann für f von x eben einfach ein. Also statt f von x schreiben wir unsere Funktion hin. Dann kommt ein Minus. Dann macht schon mal eine Klammer hin, weil das Minus muss jetzt auf alles angewendet werden, was da jetzt kommt. Und was kommt da? f von x0. Also statt dem x soll da jetzt x0 stehen. Das heißt, statt dem x hier soll x0 stehen. Was bedeutet, dass jedes x, was ihr hier in der Funktion findet, durch x0 ersetzt. So macht ihr das ja, wenn ihr Funktionswert ausrechnet. Wenn ich jetzt sagen würde, berechne f von 3, dann würdet ihr sagen, okay, ich setze statt dem x, was hier drin ist, eben 3 ein und berechne das dann. Und... Bei uns ist es jetzt nicht so, dass wir eine Zahl bekommen, aber das soll x0 sein. Und dann müssen wir x0 hier eben auch ersetzen. Also wir schreiben genau unsere Funktion nochmal ab, aber jedes x wird durch x0 ersetzt. Okay, das war der erste Schritt. Alles einsetzen. Das haben wir erledigt. Zweiter Schritt, Bruch vereinfachen. Okay, das kriegen wir hin, oder? Dass wir jetzt schauen, wir haben noch unseren Bruch. Hier vorne, Grenzwert, kommt ganz zum Schluss erst. Mit dem machen wir jetzt erstmal nichts. Den schreiben wir einfach immer nur brav so ab. Aber mit dem Bruch schauen wir, wie wir den vereinfachen können. x minus x0 unten lassen wir auf jeden Fall mal so stehen. Oben können wir aber mal die Klammer hier auflösen. Vorne den Teil schreiben wir erstmal so ab. Aber hinten hätten wir minus 3x0 Quadrat und auch minus 4 hier hinten. Okay, Klammer ist weg. Was hat es gebracht? Wir können jetzt mal schauen, ob wir was vereinfachen können. Also zum Beispiel die 4 minus 4, wenn wir die zusammenrechnen, fällt die einfach weg. Also 4 minus 4 ist 0, die ist im Grunde nicht mehr da. Das hier habe ich jetzt nochmal auf die nächste Seite dann geschrieben und wir versuchen den Bruch weiter zu vereinfachen. Was können wir noch machen? Um so einen Bruch weg zu bekommen, würden wir gerne kürzen, wenn es denn möglich ist. Noch können wir nichts kürzen. Ihr könnt nicht sagen, das x0 streiche ich mit dem x0 hier weg, weil hier ist eben eine Differenz. Da dürft ihr nichts rausstreichen. Ihr dürft nur... den kompletten Nenner, so wie er da steht, wenn der noch mal im Zähler zu finden ist, dann darf man den rauskürzen. Aber noch ist er nicht da. Wir müssen jetzt mal gucken, wie wir den Zähler faktorisieren, also durch Ausklammern oder mit den binomischen Formeln. Wir müssen gucken, dass man nicht eine Differenz hier stehen hat, sondern eben eine Multiplikation. Also schauen wir mal, was wir hier hätten. Die 3 zum Beispiel kommt in beiden Teilen hier vor. Dann lasst sie uns mal ausklammern. Raus aus dieser Differenz. Was bleibt übrig? Hier vorne, die 3 kommt raus. Das heißt x² bleibt übrig. Minus. Und auch hier kommt die 3 raus. Dann bleibt x0² übrig. Unten den Teil lassen wir erstmal so stehen. Okay, wir haben jetzt hier schon mal ein Produkt. was schon mal nicht schlecht ist, aber wir können immer noch nicht kürzen. Hier stehen noch Quadrate drin. Binomische Formeln dran denken, wenn irgendwas mit Quadrat da steht, irgendwas zum Quadrat minus irgendwas zum Quadrat, das ist doch die dritte binomische Formel. Wie war die nochmal? Die war a plus b mal a minus b und da kommt als Ergebnis dann etwas zum Quadrat minus etwas zum Quadrat raus. Das ist genau das, was wir hier stehen haben. Wir würden es jetzt also von der Form gern nochmal in diese faktorisierte Form bringen. Und das können wir. Was hätten wir dann da? Den Rest ändern wir mal gar nicht ab. Die 3 mal lassen wir stehen, unten unseren Teil auch. Aber aus dem da machen wir 2 einzelne Klammern. Also die dritte binomische Formel rückwärts angewendet. In der einen Klammer steht ein Plus, in der anderen Klammer steht ein Minus. Und was steht hier jetzt drin? Naja, wenn hier a² stand, steht da nur a. Das heißt, wenn hier x² stand, steht vorne... nur ein x, wenn hier x0 Quadrat stand, dann steht hier jetzt halt nur x0. Und jetzt können wir kürzen, denn schaut mal, da ist ein Mal, x minus x0 geht mit x minus x0 weg. Und das ist super gut, denn jetzt ist der Bruch nicht mehr da, was wir wollten. Das war unser zweiter Schritt, dass wir gesagt haben, der Bruch muss weg, wir müssen den Bruch vereinfachen. Dann steht jetzt hier nur noch 3 mal und diese eine kleine. Klammer, der Rest ist weg. Das war der zweite Schritt. Und im dritten Schritt jetzt erst bilden wir den Grenzwert. Okay, das heißt, was müssen wir machen? x soll gegen x0 laufen. Das heißt, jedes x, was wir hier jetzt finden, müssen wir gegen x0 laufen lassen. Also dieses x hier läuft dann gegen x0. Was steht dann da? Der Limes ist dann nicht mehr da, weil wir machen jetzt die Grenzwertbetrachtung. Die 3 steht noch da. Das x ist auch nicht mehr da, weil wir machen die Grenzwertbetrachtung. Das heißt, x geht gegen x0, also statt dem x schreiben wir x0 hin. Und hinten mit dem x0 macht ihr übrigens gar nichts, weil nur das x bewegt sich in Richtung von x0. Das x0 nicht, mit dem passiert nichts. Das hat mit dem Grenzwert hier gar nichts zu tun. Das bleibt bei x0. Dann steht hier was, x0 plus x0 sind 2. 6x0 und 3 mal 2 wären 6x0. Und das wäre unser Differenzialquotient, das Ergebnis davon, was wir berechnet haben. Also 6x0 haben wir raus. Was war das? Was ist der Differenzialquotient? Das haben wir ganz am Anfang gesehen, ist nichts anderes als die Ableitung an der Stelle x0. Und da haben wir sie, 6x0. Das war der erste Teil. Und jetzt müssen wir uns noch um den zweiten Teil kümmern, wo wir die Steigung von f an einer ganz speziellen Stelle berechnen sollen. Okay, da wissen wir schon mal, für x0 müssen wir auf jeden Fall 5 einsetzen. Aber was ist die Steigung von f? Die Steigung von f an einer Stelle ist nichts anderes als die Ableitung von f an dieser Stelle. Also f'von der Stelle 5. Und was ist f'von 5? Naja, f'von x0 haben wir hier unten stehen. Und statt dem x0, was hier drin ist, setzen wir halt eben einfach die 5 ein, die gegeben war. Also ich habe es euch ja auch versprochen, dass es sehr einfach wird. Das heißt, f'von 5 wäre 6 mal 5 und das wären eben 30 und damit hätten wir es. Dann hoffe ich, dass es für euch verständlich war, dass ihr eure Aufgaben damit jetzt lösen könnt und dass wir uns bei einem nächsten Video sehen. Macht's gut!