Dizi nedir? Dizinin İngilizcesi Sequence'dır. Bu videomuzda dizi kavramının ne olduğunu konuşacağız. Bu videomuzun ardından da kalkulis derslerinde dizi ile ilgili bilmemiz gereken bilgi ve özellikleri incelemeye başlayacağız. Dizinin ne olduğuyla başlayalım.
Dizi çok büyük kavramlar altında aranılmaması gereken basit bir fikre sahip konudur. Girdileri özel tanımlanmış fonksiyonlara dizit edilir. Girdileri özel tanımlanmış.
Girdi kelimesi yerine tanım kümesi, İngilizce'de domain kelimesi kullanılır. Tanım kümesi. Girdileri özel tanımlanmış. Fonksiyonlara dizilir.
Yani dizinin bir kere fonksiyon olduğunun kesinlikle farkında olmalı. Fonksiyonlara denir. Dizi kavramı fonksiyon kavramının bir alt kümesidir. Ne gibi bir özelliği var?
Girdileri ile ilgili bir özelliği var. Normalde fonksiyonlarda mesela fx eşittir 2x artı 1 yazdığımızda x yerine bu karşı taraftakini tanımsız yapmayan her değer gelebilir. Burada mesela f'in içine 3 koyabiliriz.
3 noktasındaki değeri 7. Veya 1 bölü 2 koyabiliriz. 2 eder. Veya eksi 3 koyabiliriz.
Eksi 5 eder. Bu bir fonksiyondur. Fonksiyonda girdiler.
Yeter ki karşıdaki kuralı tanımsız yapmasın. Hepsi girdi olabilir. Fakat bir diziye geldiğimizde dizilerin yazımında özel bir şekil geliştirilmiştir. Fonksiyondan biraz daha farklı gözükmeleri için.
A, N. Girdi buraya yazılır. Fonksiyonda girdi buraya yazılır. Dizide girdi buraya yazılır. A, N eşittir. Genelde N harfiyle gösterilir.
X de denilebilir ama genel kullanım N harfi tercih edilmiştir. 2N artı 1. Şimdi dizide girdiler. kafamıza göre verilebilecek değerler değildir.
Girdileri özel tanımlanmış fonksiyonlara dizi denirdi. Girdiler ne olmalıdır? Girdiler, birden başlayıp sonsuza kadar giden sayma sayılar kümesi olur.
Veya pozitif doğal sayılar diyelim. Sıfır doğal sayıdır. Ama pozitif olmadığı için kümede değildir. Buradan da sayma sayılar kümesi diyelim.
Sayma sayılar kümesi girdiler olmalıdır. Bir dizide buradaki gibi kesirli 1 bölü 2'yi getirip buraya koyabilmemiz mümkün değildir. Dizide zaten matematikçiler şu fikrin arayışındalar.
Biz öyle bir konu geliştirelim ki bunun 70. terimi dendiğinde 70 konulacağı anlaşılsın herkes tarafından. Bunun 80. terimi dendiğinde 80 anlaşılsın koyulacak değer. Burada da bu bir dizi ise dizinin birinci terimi. N yerine 1 koyduğumuzda bu dizinin birinci terimidir. Birinci terim.
2 koyduğumuzda ortaya çıkan ikinci terim. Matematikçiler kendilerine böyle 10. terim diyelim 10 koyacağımız anlaşılsın diye bir konu uydurma. arayışlarının sonucunda çıkartmışlardır bunu. Tabi bunun da altında belli fikirler vardır böyle bir arayışın.
O kısımlara girmiyoruz şu an. Yedinci terim dendi. Yani yerine yedi konu.
Bu nedenle dizilerde bu birden sonsuza kadar giden küme içinden hiçbir değer karşıdaki formülü tanımsız yapmamalıdır. Karşıdaki Dizinin formülünü diyelim. Karşıdaki çok güzel bir ifade değil.
Dizinin formülünü Hiçbirisi tanımsız yapmamış. Tanımsız yapmamış. Yani buradakilerden herhangi birisi burada tanımsızlığa neden oluyorsa onu yazamayacağımız için bu sırayı bozmuş oluruz.
70. terim geride bir tanesi tanımsız yapmıştı o yüzden 70. terim deyince 71 koyacağız. Bu bozukluğu kabul etmemişler. Bu nedenle dizide Buradaki içerideki hiçbir terimin burayı tanımsız yapmaması gerekir. Bu nedenle herhangi bir atlama olmaması lazım.
Buradakilerden birinin tanımsız yaptığı bir ifade dizinin kuralı olamaz. Buradaki 2n artı 1'e bakarsak birden sonsuza kadar hiçbir şey bunu tanımsız yapmaz. Dizinin kuralı olabilir. Dizinin bu kuralına bir isim verilmek.
Dizinin kuralına genel terim denir. Buna buradaki fonksiyonlarda 2x artı 1'e fonksiyonun kuralı denir. Fonksiyonun kuralı. Girdi x'tir. Girdiği 2 ile çarp bir ekle.
Genel terim ismi takılmıştır. Yani fonksiyon konusundan kopartalım da farklı bir düşünceye sahip olan bir konu gibi gözüksün. İngilizce'de de general term dendiği zaman dizinin bu kuralı kastedilmektedir.
Dizinin genel terimi nedir? Dizinin kuralı ne? Onun peşine düşeceğiz.
Fikrimiz bu. Buradaki 7'ye karşı sıra 7. terim yazmışız. Bu dizinin ilk 3 terimini yazalım şimdi. A1 dizinin birinci terimidir.
En yerine bir koyduğumuzda çıkan dizinin birinci terimidir. 3, A2, 5, A3, 7 ve bu şekilde dizinin terimleri sonsuza kadar gider. Birinci terim, ikinci terim, üçüncü terim sonsuza kadar gider.
hiçbirinde atlama olmaması lazımdır ki ona dizi diyebiliriz. Umarım buradaki temel fikir anlaşılmıştır. Ve burada bir noktayı netleştirmekte faydadır.
Burada dizilerin başlangıcının birden olduğunu ve birden itibaren konulduğunu söylüyoruz. Ama diziye daha da özel bir hal katmak için en büyük eşit sıfır diyerek Dizilerde tanımlanabilmektedir. Bu da bizi şok etmemelidir. n kare artı 1 Bu dizinin ilk girdisi o zaman 0 olacak 1 olacak 2 olacak Böyle gidecek. Şimdi bu dizinin temel fikrini bozdu aslında.
Dizinin 70. terimi deyince 69 koyacağız. Çünkü 0 ile başladı. Bunu özellikle Fransızlar Fransızlarda dizilerin sıfırdan başlatma alışkanlığı çok fazladır. Fransızlar zaten genel olarak biz hep farklı olmalıyız.
Biz diğerlerinden daha mantıklı, daha farklı işler yapmalıyız. Gerçi farklılık peşine düştükleri birçok noktada mantıksızlığa uğramışlardır. Ki burada da bunların kullandığı şey mantıksızdır.
Yani konunun çıkışını, çıkış fikrini bozan bir şeydir. Çıkış fikri... 60. terim dendiğinde 60 koyma. 15. terim dendiğinde 15 koyma. Bir Fransız 15. terim dediğinde 14 koyacak.
Çünkü sıfırdan başladı. Hep matematikte bir matematik kurgusunun üzerine başkası ben bunu kabul etmiyorum başka bir şey yapar. Ve bizim kafamızı karıştırır.
Bizim gördüğümüz Türkiye'deki matematiklerde n birden başlar. eğer ki birden başlamayacaksa burada sıfırdan başla dedim. Bazen üçten de başlatılabilir bir dizi.
Mutlaka birden başlamadığı zaman şu şekilde bir notla bize belirtilir. Şimdi konuştuklarımızı genel olarak toparlayacak olursak dizi dediğimiz şey girdileri özel tanımlanmış fonksiyonlardır. Ve bu girdilerin Hiçbirisi bu kuralı tanımsız yapmamalıdır. Ve dizide 1. terim, 5. terim, 7. terim dendiğinde en yerine ne konulacağını direkt anlarız.
Şu şekilde bir özel durum atmadılar. Diziler ilerleyen konularda serilerde kullanılacaklar. Serilerin içine yazılan kurallar birer dizidirler.
Dizilerin limiti, dizilerin yakınsaklığı, aritmetik, geometrik dizi gibi kavramları bu videomuzun arkasından konuşmaya başlayacağız. Ama kalkulüs derslerinde en önemli konuşacağımız dizi kavramı dizinin limitiyle ilgili olacak kısımlardır. Bu videomuzun arkasından dizinin limitine geçeceğiz. Bu videomuzu burada noktalıyoruz.