Hola a todos, en este directo vamos a aprender a resolver sistemas de ecuaciones. Aquí, como veis, tenemos un sistema. ¿Por qué sabemos que es un sistema? ¿En qué consiste eso de un sistema? Pues cuando tenemos varias ecuaciones y además hay varias incógnitas. En este caso concreto, veis que aquí tenemos una ecuación porque es una igualdad, algo con algo, y hay incógnitas, la X y la Y. Y además aquí tenemos otra ecuación, hay también dos incógnitas, X y Y. Estos sistemas que tienen dos ecuaciones, una y dos, y además dos incógnitas se les conoce como sistemas dos por dos, dos ecuaciones por dos incógnitas. Existen diferentes métodos para resolver estos sistemas. Vamos a aprender los tres básicos, método de sustitución, método de igualación y método de reducción. Este sistema lo vamos a empezar resolviendo con el método de sustitución. ¿Y en qué consiste este método? Primero de todo es bastante importante llevar un orden y para ello es conveniente nombrar las ecuaciones. Las podéis nombrar con letras, con números, como queráis. Yo la nombraré ecuación 1 y ecuación 2. Y en el método de sustitución el primer paso que vamos a tener que hacer es, en una de las dos ecuaciones, elegir una de las dos incógnitas que hay, X o Y, y despejarla. Es decir, podemos elegir cualquiera de las dos ecuaciones, o en esta o en esta, y puede elegir o la X o despejar la X o despejar la Y. Para ello vamos a ser un poco inteligentes y como tengo que despejar una de las dos, si escojo por ejemplo despejar esta X de aquí, me voy a complicar un poco porque tengo el 5 multiplicando delante y le voy a añadir una fracción al despejar. Entonces será más fácil si en una de las incógnitas tenemos como este caso, que no tiene número delante, para que me entendáis, no tiene ese coeficiente porque al fin y al cabo es un 1, pero con que no tenga un número delante vamos a ver que el despeje va a ser mucho más sencillo. Así que yo recomiendo que sustitución, cuando vayamos a hacerlo, despejemos en este primer caso aquella incógnita que no tenga número, si es posible. Porque al final si ahora tuviéramos por ejemplo en este sistema un 3X ahí, pues ya tengo que elegir, pues cualquiera de ellas va a ser igual de complicado. Pero en este caso sí que es bastante claro que es mejor despejar esta X. Entonces elijo en la ecuación 1 despejar la X. Para despejar la X, bueno aquí ya sabéis, el despeje hay que tenerlo bastante claro, por eso una vez que hemos resuelto ya un montón de ecuaciones, ya sabemos resolver ecuaciones, el siguiente paso es ya sistemas, porque los pasos básicos para resolver ecuaciones y los despejes hay que tenerlos ya muy claros. Pero vamos a despejar este X, por lo tanto vamos a sumar 4i en ambos miembros, de manera que me queda 11 más 4i. Entonces ya tengo despejada la X, es decir, tengo X igual a algo. Ahora entonces voy a la otra ecuación, siguiente paso. La otra ecuación en la que no he despejado, yo he despejado en la 1, pues ahora tengo que coger la ecuación 2. El que haya despejado en la ecuación 2 tendrá que elegir la ecuación contraria que es la 1, ¿entendemos? Si yo he despejado en la ecuación 1, tengo que irme a la otra ecuación que es la ecuación 2 y sustituir la X por todo esto, porque aquí pone que X va a ser igual a 11 más 4i, pues cada vez que aparezca X en esta segunda ecuación lo voy a sustituir por todo eso, así que 5. Aquí como tengo una X, la X va a valer ahora esto, va a ser esto, 11 más 4i, más 7i igual a 1. Y ahora si os dais cuenta lo que tenemos es una sola ecuación y además con una sola incógnita, ya puedo resolverla y hallar en este caso el valor de i. Pues venga, vamos a resolverla. Para ello primero haremos el paréntesis, 5 por 11, 55, 5 por más 4, más 20i, más 7i, igual a 1. Vamos a operar estos dos que podemos operarnos, nos quedaría 55 más 27i, igual a 1. Acabo de operar el 20 con el 7, perdón. Y ahora vamos a despejar aquí, 27i igual a menos 55 más 1, menos 54. Y ahora aquí la i la conseguiré despejar si divido entre 27 en ambos miembros y me queda de esta manera, que esto sería menos 2. Entonces ahora teniendo el valor de i, puedo volver, siguiente paso sería una vez que resuelto esta ecuación y he averiguado el valor de una de las incógnitas, vuelvo a mi paso inicial del despeje y puedo sustituir la x, en la x perdón, x igual a, voy a sustituir la i por menos 2. Pues 11, bueno voy a hacerlo bien, voy a igualar, x es igual a 11 más 4 por i que es menos 2. Me quedaría 11 más 4 por menos 2 que sería 11 menos 8 y 11 menos 8 que sería 3. X es 3. Esto que quiere decir, por varias cosas. Primero que en nuestro sistema la x debe valer 3 y la i menos 2 para que en este caso sea igual a 11 y en este caso haciendo todo esto, sustituyendo la x por 3 y la i por menos 2 de 1. Y además esto quiere decir que si nosotros dibujáramos las ecuaciones de estas, estas ecuaciones que son rectas en el plano, en el punto en el que se van a cortar, si las dibujáramos, en el punto en el que se van a cortar es el punto x3, sabéis que en los puntos, las coordenadas de los puntos, el primer número será la x y el segundo la i. X3, la i menos 2, o sea estas dos rectas, estas dos ecuaciones que son rectas se van a juntar en este punto, en el punto 3 de la x, 3 de la x y menos 2 de la i. Aquí se juntarían las dos rectas, que ahora mismo no sé exactamente bien el dibujo, pero imaginemos que son dos rectas así, que ya digo que no tiene que ver con esto, pero como sabemos que son dos rectas, imaginemos que son dos rectas, pues se van a juntar en ese punto, eso es lo que quiere decir la solución de un sistema de estas características. Vamos a resolver ahora este sistema mediante el método conocido como método de reducción, y veremos ahora por qué se le llama así método de reducción. En este método lo que tenemos que hacer es hacer unas combinaciones de manera que consigamos eliminar una de las dos incógnitas. Quiero decir, si yo por ejemplo mi objetivo va a ser eliminar la x, la icónita de la x, debo conseguir que ambos tengan el mismo número y así luego al operarlo que me de cero, el mismo número y cambiado de signo. Veamos a qué me refiero, si aquí por ejemplo multiplico toda la ecuación, además es toda la ecuación porque así consigo una ecuación equivalente, la multiplico por 2 por ejemplo, voy a llamarle ecuación A, ecuación B, si hago toda la ecuación A la multiplico por 2 y la ecuación B la multiplico por menos 3, veréis lo que sucede. Voy a multiplicar todo esto por 2, 2 por 3, 6x, 2 por 9, 18 y 2 por 4, 8. Y aquí hemos dicho que la ecuación B la vamos a multiplicar por menos 3, pues menos 3 por 2x menos 6x, menos 3 por más 3 menos 9y y menos 3 por 1 menos 3. Y ahora esto tenemos que operarlo tal cual lo tenemos. Y aquí tengo 6x menos 6x, consigo que sea 0x, es decir se me anula y ese será mi objetivo en la reducción. Conseguir multiplicar las ecuaciones por un número, por otro número, por el que sea positivo o negativo, de manera que consiga arriba y abajo el mismo número, uno de ellos con signo contrario para que al operar me de cero. Eso es lo que tengo que conseguir, entonces aquí yo he pensado a ver si tengo aquí un 3 y aquí un 2 pues voy a multiplicar, si el 3 lo multiplico por 2 me da 6 y aquí el 2 lo tengo que multiplicar por 3 para que me de 6, pero además le pongo negativo para que me de menos 6, entonces si que me de cero, porque así que si a mí me queda aquí más 6 no consigo un cero, consigo que 6 más 6 me de 12x. Hay que ir entendiendo esto, entonces es conseguir que en una de las dos incógnitas me salga cero. Yo me centré en la x, os podéis entrar también en la y, a lo mejor alguno dice pues venga yo quiero anular la y, eliminar la y, para ello tengo que conseguir que me de cero, ¿cómo lo podría conseguir? Pues a lo mejor si multiplico 9 por 3 arriba y abajo 3 por menos 9 pues ya lo consigo. Aquí es indiferente la incógnita que elijáis porque os va a salir al final lo mismo, si ahora alguno lo está haciendo y eligió la y y está haciéndola ahí, comprobad que luego al final llegáis al mismo resultado. Seguimos operando, 18 más 18 menos 9 sería 9 y, y 8 menos 3, 5, y tengo esto 9 y igual a 5, despejo y resulta que y es igual a 5 novenos, ya tengo el valor de y, es una fracción, si no pasa nada y dejadlo así porque esa fracción contiene todo el número, si empezamos a redondear a poner decimales aquí ya no vamos a ser tan exactos, entonces y es igual a 5 novenos. Para hallar la otra ecuación me queda sustituir en cualquiera de las dos ecuaciones, me da igual la que queráis, yo voy a elegir esta porque me la quiero multiplicar, bueno no, elijo esta, ¿sabéis por qué? Mira, para que también vayáis siendo inteligentes en donde sustituir, si yo multiplico aquí 9 por y voy a sustituir la y por esto, 5 novenos va a haber aquí, y al multiplicar 9 por 5 novenos el 9 multiplicado se me va a ir con este denominador 9, así que por eso voy a elegir mejor esta ecuación para sustituir, voy a poner 3x más 9 y la y la sustituyo por el valor que acabamos de averiguar igual a 4, y vamos a resolver ahora esta ecuación y conseguiremos el valor de x, como aquí he dicho ya 9 está multiplicando a 5 novenos, de manera que podré simplificar este 9 con este 9 y me quedará finalmente esta fracción, es x más 5 igual a 4, muy sencilla, voy a despejar el 5, 4 menos 5 me quedará en este lado que es menos 1, y al espejo la de x, x menos un tercio, y estas serían las soluciones para este sistema. Este sistema lo vamos a resolver mediante el método conocido como el método de igualación, porque vamos a tener que igualar, ya veréis ahora que me refiero. Primer paso en este método, me gusta a mí ya sabéis nombrar las ecuaciones, ecuación 1, ecuación 2, y vamos a despejar la misma incógnita en ambas ecuaciones, la misma, o sea, elijamos bien, y yo voy a elegir la x, digo por qué, porque aquí lo voy a tener sencillo, bastante sencillo, bueno aquí tampoco me queda otra, pero la x ya en este caso me lo va a facilitar, por eso elijo la x. En la ecuación 1 si despejo la x, 2x menos 5 más 3i, y sigo despejando, y me queda x es igual a menos 5 más 3i dividido todo ello entre 2, esta sería la ecuación 1 despejada con la x, y la 2 me quedaría directamente, lo voy a hacer aquí, x igual a 15 y este 15 menos 2i, estas son esta y esta, he despejado la x en la ecuación 1 y la x en la ecuación 2, yo he elegido la x, pero ya os digo, podéis elegir la y, la clave está en este paso despejar una de las dos incógnitas en ambas ecuaciones. Siguiente paso, y aquí veréis el porqué del nombre, igualamos esto con esto, lo que acabamos de decir, x es igual a esto, pues esto lo igualamos a esto, pues eso se llama igualación, menos 5 más 3i partido de 2 será entonces igual a 15 menos 2i. Y ahora que tengo aquí, aquí tengo una ecuación, veis, una ecuación con una sola incógnita, que en este caso es la y, y si la resuelvo hallaré el valor de i, pues vamos a hacerlo, aquí tenemos esta fracción, este 2 podemos quitarlo multiplicando por 2 aquí, 5 más 3i igual a 2 por todo este miembro, y ahora aquí multiplicaríamos el paréntesis, menos 5 más 3i, 2 por 15, 30, menos 2 por menos 2, menos 4i. Vamos a despejar de una manera inteligente, de manera que la incógnita nos quede positiva, si no nos complicamos. Lo ponemos aquí, 4, me quedará aquí, 4i más 3i, y aquí ya los términos independientes. Operamos ahora, 4i más 3i, que es 7i, igual a 30 más 5, 35. Termino de despejar la i, 35 entre 7, que es 5. El valor de i es 5, importante esto. Ahora que ya sé el valor de i, elijo uno de los dos despejes que hice en el paso inicial para sustituir ahí la i y hallar la x. Me da igual cualquiera de los dos, porque me van a dar lo mismo. Yo voy a elegir este que es más sencillito. Aquí vamos a hacer, x es igual a 15 menos 2 por el valor de i que acabamos de hallar, 5. x es igual a 15 menos 2 por 5, 15 menos 10, también 5. Y estos son los valores que deben tener las incógnitas en este sistema para que se cumplan esas igualdades. Ahora que ya conocemos los tres métodos, vamos a intentar hacer un sistema un poco más complicado, porque como veis tiene denominadores. ¿Qué debemos hacer en estos casos? Vamos a intentar transformar este sistema para que sea más sencillo antes de empezar a resolverlo. Lo que intentaremos hacer primero es eliminar estos denominadores. Como sabemos, esto es una ecuación, esto es otra. Pues en esta ecuación, ¿cómo puedo hacer para eliminar denominadores? Este proceso ya debemos tenerlo claro, cómo eliminamos denominadores en ecuaciones. Voy a nombrarlas, ecuación 1, para eliminar denominadores elegiremos el mínimo común múltiplo de todos los denominadores. El mínimo común múltiplo de 3 y 6 es 6 y multiplicaremos cada término por ese mínimo común múltiplo. 6 por 2 menos x partido de 3, más 6 por el otro término que es 3 más y partido de 6, igual a 6 por 2, se ve. Y lo mismo en la segunda ecuación, pero el mínimo común múltiplo en este caso de 6 y 9 será 18. Multiplicamos cada término por 18, 8 menos 3x, menos, aquí cuidado con el menos, el menos delante de las fracciones. Ojo, ojo, que os hace cometer muchos errores. Y 18 por 2, ya que alguno este paso ya lo hace mentalmente, pero yo estoy yendo como si no estuviéramos, para que no os perdáis ninguno de los pasos. Como voy a multiplicar 6 por esta fracción, pero en el denominador tengo un 3, se me va a simplificar este 6 con este 3 y me queda arriba un 2. Multiplicando al numerador. Aquí este 6 por este 6 se me simplifica, por lo tanto me queda arriba el numerador 3 más y, y aquí 6 por 2, 12. Aquí ya he conseguido eliminar esos denominadores y en la ecuación 2 lo mismo. 18 arriba multiplicando y el 6 abajo puedo simplificar, 18 entre 6 me queda un 3 arriba multiplicando. Y en este caso 18 entre 9 me queda un 2 multiplicando al numerador y 18 por 2 36. Entonces ahora veis ya vamos teniendo un sistema, en este caso es equivalente a este, pero está presentado de una manera distinta, tiene denominadores, a cambio tiene ahora paréntesis. Vamos a resolver entonces esos paréntesis, 2 por 2, 4, 2 por menos x, menos 2x. Aquí este paréntesis lo puse para dejar que el numerador, pero ni siquiera era necesario, más 3 más y igual a 12 y aquí 3 por 8, 24, 3 por menos 3, menos 9, x en este caso, menos 2 por 2, este menos 2 es trágico, aquí caéis muchos, cuidado con estos negativos, porfa, menos 2 por 2, menos 4 y menos 2 por más y, menos 2y igual a 36. Seguimos, seguimos porque aún podemos simplificar más este sistema porque como veis hay cosas aquí que podemos operar, como por ejemplo este 4 con este 3, 4 con ese 3 tengo un 7. Además si queréis vamos a ir un paso más ya, un poco mental, porque me compensará dejar aquí los números, entonces tendré esto, vamos a dejar en orden, menos 2x, la y más y, y ha de ir igual los números, 12 y este 4 para quitarlo de aquí, 4 más 3 quedan 7, 7 en este lado positivo, pues aquí menos 7 y 12 menos 7, 5. Vamos ahora con este, la x menos 9x, la y menos 2y y si tengo aquí 36, pero aquí voy a operar 24 menos 4, que me va a quedar aquí un 20, aquí el 20 vamos a restar 20, 36 menos 20, 16. Y aquí quedaría el sistema simplificado, este sistema es igual a este. Lo que voy a hacer ahora es ya resolver este sistema por el método que yo quiera, sustitución lo que quiera. Y yo ya confesé que a mí el método que más me gusta es sustitución porque en general es el que se puede aplicar a casi todos los sistemas. Y además aquí viendo que tengo una incógnita sin un número delante, pues me entra la tentación de despejar esa y y luego sustituir. Así que lo que voy a hacer es eso, en la ecuación 1 voy a despejar la incógnita y y me quedaría 5 más 2x. Una vez que despejado la otra ecuación, en la otra ecuación sustituye la y por esto, menos 9x menos 2 y en lugar de y voy a poner esto, 5 más 2x igual todo ello a 16. Y ya aquí tengo una ecuación con una sola incógnita, ya la puedo resolver para hallar en este caso el valor de x. Me quedaría menos 9x menos 2 por 5 menos 10 menos 2 por más 2 menos 4x igual a 16 operamos menos 9 menos 4 menos 13x y aquí 16 el 10 suma aquí, sumamos aquí 10 porque menos 10 aquí lo tenemos 26, despejamos aquí x, x es 26 entre menos 13 que esto daría menos 2. O sea, el valor de x en este sistema, que el inicial era este el equivalente, aquí x debe valer menos 2 pero tengo que calcular y pues volvía al inicio, al despeje inicial aquí y voy a sustituir aquí la x por lo que acabo de hallar para calcular y, y es igual a 5 más 2 por x que ya sé cuánto vale, que es menos 2. Esto 2 por menos 2 menos 4 y 5 menos 4 es 1, o sea que y debe valer 1 y x menos 2 para que se cumplan las igualdades en este sistema de ecuaciones. Vamos ahora a resolver este sistema en el cual vemos algo característico y es que hay alguna incógnita que está elevado al cuadrado, en este caso las dos, la x de esta ecuación y la y de esta ecuación, están elevadas al cuadrado, pues estos sistemas son conocidos como sistemas de ecuaciones no lineales porque si hiciéramos el dibujo veríamos que no son lineas y veamos cómo se resolverían. Importante que tengáis claro que aquí no podemos aplicar el método de reducción porque para que haya reducción si yo tengo por ejemplo aquí 2x y aquí este x cuadrado, yo no puedo reducir esta x con esta x cuadrado porque deben ser semejantes y para que sean semejantes deben tener exactamente la misma parte literal, eso quiere decir la misma letra y elevada a lo mismo, entonces yo aquí esto sería erróneo reducir esto con esto, entonces reducción no. Aquí lo que haremos es sustitución, sustitución y lo que elegimos es en una de las ecuaciones una incógnita a despejar y en este caso evitaremos que sea la que está elevada al cuadrado, además aquí nos conviene despejar esta y, vamos además a hacer que sea positiva, para que sea positiva entonces me quedará así y igual a 2x menos 3. Tenéis que habituaros también a ver la igualdad de esta manera, esto es lo mismo que esto, ya nos pongáis nerviosos, con este despeje de y ya puedo ir a la siguiente ecuación, a la ecuación 2 en este caso y sustituir la y por esto, por 2x menos 3, entonces ahora tengo x cuadrado y aquí tengo menos y elevado al cuadrado, es decir y que ahora y es esto 2x menos 3 elevado al cuadrado, entonces tengo esto, tengo una resta elevada al cuadrado, tengo un producto notable, x cuadrado menos, vamos a resolverlo, primer término al cuadrado, es decir 2x al cuadrado, 2 por 2 que es 4 y la x al cuadrado, menos el doble del primero por el segundo, el doble 2 por 2x que es 4x por 3, 4x por 3, 3 por 4, 12x y más el doble del segundo término que es 3, 3 por 3, 9, igual a 3. Aquí lo que acabo de hacer es la fórmula de un producto notable que es la resta elevada al cuadrado, si no sabéis a lo que me refiero, bueno llegados al sistema de ecuaciones tenéis que saber ya que es eso de los productos notables, también conocidos como igualdades notables, identidades notables, de todas maneras si por lo que sea se me ha olvidado la fórmula, tranquilos chicos sabéis operar esto, hacerlo así mirad, voy a hacerlo aquí para que veáis que el que no se lo sabe, no se sabe la fórmula, también lo puede hacer, esto sería, bueno no voy a hacer lo entero, voy a hacer simplemente, como sería 2x menos 3 al cuadrado, 2x menos 3 por 2x menos 3, pues ya operamos esto, 2x por 2x, 4x, 2x por menos 3, menos 6x, menos 3 por 2x, menos 6x, menos 3 por menos 3, más 9, y resulta que estos son términos semejantes, los podemos operar, nos quedaría 4x menos 12x, perdón aquí 2x por 2x sería 4x cuadrado, disculpad, y más 9, anda hemos llegado a lo mismo y se me había olvidado la fórmula, todo esto lo digo siempre para que os quedéis tranquilos, o sea hay una fórmula como para llegar más directo y saltarme a este paso y llego directamente aquí, pero si con los nervios o no me acuerdo de la fórmula, sabéis hacer esto porque es una potencia y una potencia es una multiplicación, pues bien, retiro esto y seguimos, ahora tengo este paréntesis con un negativo delante, pues cambio todos los signos de lo que hay dentro, tengo 4x cuadrado y ahí va a poner un más, pues no, menos 4x cuadrado, tengo menos 12x pues más 12x, tengo más 9 pues menos 9, igual a 3, y opero todo lo que pueda operar, y resulta que aquí puedo operar, x cuadrado menos 4x cuadrado me quedaría, menos 3x cuadrado, el más 12x y el menos 9 con este 3, resto aquí menos 3, menos 9 menos 3, menos 12, igual a 0, pues resulta que a mí aquí tener el x cuadrado, el término de mayor grado, en negativo no me gusta, entonces podemos cambiar todos los términos para que nos quede positivo, 3x cuadrado, todos los signos, perdón, menos 12x más 12 igual a 0, y qué es lo que tengo aquí, una ecuación de segundo grado, la voy a resolver con la fórmula general, x es igual a menos b, b es menos 12, si es menos b es menos 12 que es 12, más menos b al cuadrado, menos 12 al cuadrado es 144, menos 4 por a que es 3, por 12, 4 por 3 es 12, por 12 144 me sale también, partido todo ello de 2 por 3 que es 6, resulta que aquí tengo esta raíz que es raíz de 0, por lo tanto 0, no voy a tener dos soluciones, voy a tener una sola solución, porque aquí si la raíz nos va a salir 0, hay una sola solución, 12 entre 6 es 2, entonces tenemos aquí que x va a ser 2, veis aquí a lo que me refería antes, en este tipo de sistemas es muy común que nos salgan ecuaciones de segundo grado, y tendremos que resolver raíces, imaginaos que aquí no nos hubiera dado una raíz exacta, pues tranquilos, imagínate que aquí te sale raíz de 46, pues pones 12 más raíz de 46 entre 6 para la solución que usa el positivo, y 12 menos raíz de 46 para la solución que usa el negativo, y se acabó. Y ahora volvemos a nuestro paso inicial para en esta y, sustituir aquí la x para hallar el valor de y, entonces y es igual a 2, por el valor que acabamos de calcular de x que es 2, menos 3, y es entonces 4, 2 por 2 que es 4, menos 3, 1, y estas serían las soluciones para este sistema. A veces, aquí, porque hemos tenido esta raíz que nos daba cero, y hemos tenido una sola solución, pero si hubiera habido dos soluciones de x, tendremos que sacar, imagínate que nos hubiera salido 2 y en otra menos 3, pues sustituiremos una vez en y con x igual a 2, y otra vez con x igual a menos 3 en y, por lo tanto tendríamos dos posibles soluciones, para x2 el valor de y que salga, y para x menos 3 el valor de y que salga, eso en caso de que nos salgan aquí dos soluciones. Y hasta aquí el directo de hoy, si te ha gustado el vídeo dale a me gusta y compártelo, suscríbete a este canal y sígueme en mis redes sociales si quieres estar al tanto de nuevos vídeos y directos. Que tengas un buen día y nos vemos en el próximo vídeo. Adiós.