सीमाएँ (Limits)

अध्याय का परिचय

• आज का विषय: सीमाएँ (Limits)
• यह अध्याय छोटा है लेकिन महत्वपूर्ण है।
• JEE मेन्स में 4 अंक का प्रश्न निश्चित रूप से आएगा।
• हाल के प्रश्न मध्यम स्तर के हैं, जिन्हें हल किया जा सकता है।

सीमाओं के प्रकार

• कुल 7 अज्ञात रूप (Indeterminate Forms) हैं:
  • 0/0
  • ∞/∞
  • 0 × ∞
• अज्ञात रूप का मतलब है कि हम सीधे कार्य को परिभाषित नहीं कर सकते लेकिन फिर भी हम सीमित मूल्य निकाल सकते हैं।

अज्ञात रूप का उदाहरण

• उदाहरण: x = 2 पर कार्य का मूल्य ज्ञात करें।
• यदि x = 2 डालते हैं, तो कार्य परिभाषित नहीं है, लेकिन हम उसकी सीमा निकाल सकते हैं।

अभिव्यक्तियों का उपयोग

• सीमाओं में पहले 7 अज्ञात रूपों को समझना आवश्यक है।
• महत्वपूर्ण अज्ञात रूप: 0/0, ∞/∞, 1^∞ हैं।

सीमाओं को हल करने के तरीके

• 0/0 और ∞/∞ के लिए तीन तरीके हैं:
  1. फैक्टराइजेशन: कार्य को कारक रूप में लिखें।
  2. रेशनलाइजेशन: वर्गमूल वाले कार्यों के लिए।
  3. लॉपिटल का नियम: उपर और नीचे के कार्य का अवकलन करें।

मानक सीमाएँ (Standard Limits)

• कुछ मानक सीमाएँ हैं:
  • ln(1+x)/x = 1 जब x → 0
  • a^x - 1/x = ln(a) जब x → 0
  • (1 - cos(x))/x² = 1/2 जब x → 0

सैंडविच प्रमेय (Sandwich Theorem)

• यदि कोई एक कार्य दो अन्य कार्यों के बीच में हो और उन दोनों की सीमाएँ समान हों, तो बीच वाला कार्य भी समान सीमा पर होगा।
• प्रकार:
  1. अंश भाग के सवाल
  2. पूर्णांक के सवाल
  3. बीजगणित और त्रिकोणमिति का मिश्रण
  4. अंश वाले सवाल

उदाहरण प्रश्न

• सवाल:

  1. सबसे पहले, आपको इसे सरल करना है।
  2. सीमाएँ निकालने के लिए LHL और RHL की गणना करें।

निष्कर्ष

• सीमाएँ महत्वपूर्ण हैं और JEE मेन्स में अक्सर पूछी जाती हैं।
• समझने के लिए सही तरीके और वास्तविक अभ्यास आवश्यक हैं।
• अगले अध्याय में निरंतरता और अवकलन पर चर्चा की जाएगी।