हेलो हेलो व्हाट्सआप क्या हाल चाहे सबके आई होप कि या सब लोग अच्छे होंगे दिस इज यू आइन वी सर एंड लेट एस गेट स्टार्टेड ठीक है आज का जो चैप्टर है जी ब्रीफ का देट इज लिमिट्स ठीक है तो लिमिट्स को हम यहां पर कंप आज का जो चैप्टर है वो लिमिट्स है काफी छोटा सा चैप्टर है और डेफिनेटली मतलब यहां से आपको चार नंबर का सवाल गैरिंटीड जेई मेन के पेपर के अंदर आपको यहां पे पूछेगा ठीक है तो डेफिनेटली आज चार नंबर हम अपनी मुठी में करने इन फैक्ट अगर आप रीसेंट वाले questions देखोगे ना तो ऐसा नहीं ही कि मतलब एकदम simple भी नहीं और एकदम difficult भी नहीं कहीं ना कहीं मतलब medium level के सवाल आप यहाँ पर बोल सकते हो जो की doable questions है ठीक है तो limits के अंदर आपको एक भी ऐसा सवाल नहीं मिलेगा जो की एकदम out of the box ह तो मतलब क्योंकि बहुत सारे चैप्टर्स ऐसे जिसमें सवाल तो आते हैं, लेकिन बनते नहीं है, ठीक है, बहुत सारे चैप्टर्स ऐसे हैं, जिसका वेटेज तो बहुत जादा होता है, वहाँ से सवाल तो बहुत आते हैं, लेकिन बनने भी तो चीए, तो लिमिट्स मेरे तो ये जो particular series है, JEE brief, इसके अंदर हम 40 दिन के अंदर पूरा का पूरा जो JEE का syllabus है, उसको अच्छे से revise करने वाले है, बीच-बीच में हम बहुत सारे questions भी solve करते हैं, and yes, आपका जो theory है, theory का भी complete revision हम इस particular series में ले रहे हैं, ठीक है? तो JEE brief series जिन लोगों को पसंद आ रही है, definitely आप एक बार like कर देना, and जो नए बच्चे आते जा रहे हैं, वो definitely चैनल को subscribe भी कर देना, ठीक है? तो start करेंगे without wasting any time, limits, limits में देखो, सबसे पहले तो आपकी 7 indeterminate forms होती है, limits chapter में total 7 indeterminate forms आपको पढ़नी है, अब ये 7 indeterminate forms कौन-कौन सी होती है, जैसे ये 0 by 0 है, infinity by infinity है, 0 into infinity है, इन सब को क्या बोलते है, इन सब को बोलते है indeterminate forms, अब ये indeterminate forms क्या होता है, indeterminate form मतलब यहाँ पे हम सीधा-सीधा function को define नहीं कर प लेकिन फिर भी हम एक अप्रोक्सिमेट वैल्यू निकाल सकते हैं, हम एक लिमिटिंग वैल्यू आफ थे फंक्शन निकाल सकते हैं, ठीक है, नाम से ही आपको समझ माता है न, इन डिटर्मिनेट फॉर्म, इन डिटर्मिनेट फॉर्म में आगेन आपको बहुत जाता डेप्ट x equal to 2 पे इस function का value बताओ, तो आप बोलोगे sir, x का value अगर मैं 2 put करूँगा, तो denominator तो 0 हो जाएगा, denominator 0 हो गया, मतलब ये जो function है, ये तो not defined है, तो at x equal to 2 function defined नहीं है, agreed all of you, x equal to 2 इसमें डालोगे, तो जो function है, वो defined है ही नहीं, लेकिन फिर भी मैं पता करना चाता हूँ कि 2 पे approximate value क्या हैगा, देखो exact value तो not defined है, f of 2 आप निकाली नहीं पाओगे, है ना, बट यहाँ पे क्या हम limiting value निकाल सकते हैं, क्या एक approximate idea लगा सकते हैं, मुझे function के बारे में जानना है, कि x equal to 2 पे कैसा graph रहा होगा, तो limit का basically काम ही तो यही है, limit का काम क्या है, limit का काम यही है कि यह आपको एक approximate value दे देगा, जिससे आ� तो वहाँ पे आप exact value तो not defined है, f of 2 अगर आपसे कोई पूछेगा, आपको यही बोलना पड़ेगा not defined, लेकिन फिर भी मैं उस पॉइंट पे limit निकाल सकता हूँ, x equal to 2 पे इसका limit आप निकाल सकते हो, limit x tending to 2 वैसे represent करते हैं न, represent ऐसे करते हैं, limit x tending to 2 of this function, इस function की limit हमें निकालनी है, x tending to 2, अब देखो यह x जो है वो tending to 2 है, जिनको concept नहीं पता है मैं फटा फट बता देता हूँ जब भी tending होता है एक होता है x tending to 2 और एक होता है x equal to 2 इन दोनों में क्या फरक है इन दोनों में फरक अगर आपको समझ में आ गया ना तो 90% chapter तो आपको वैसे समझ में आ गया तो फरक ही होता है कि जब आप ऐसे ल x equal to 2, मतलब x का value exactly 2 है, ना जादा ना कम, exactly 2, 2 मतलब 2, x equal to 2, x का value 2 है, ना तो 2.1 है, ना ही 1.9 है, 2 मतलब 2 है, समझ कि exactly 2 है, लेकिन जब भी हम ऐसा लिखते हैं ना कि x is tending to 2, तो जब भी आप ऐसा लिखोगे x tending to 2, तो कभी भी x का value 2 नहीं होता है, x is never equal to 2, जब भी ऐसा लिखा रहता है, मतलब आप समझ जाना कि x का value 2 नहीं है, लेकिन 2 के neighborhood में है, इसको बोलते है neighborhood, neighborhood मतलब या तो x का value 2 से थोड़ा सा ज़ादा होगा, 2.00001 ऐसा बोल सकते हो, तू से थोड़ा ज़ादा, या 2 से थोड़ा सा कम, 1.999999, ऐसा कुछ value रहा हो� मतलब x का value exact 2 है, ना जादा ना कम, लेकिन जब भी हम ऐसे लिखेंगे न, x is tending to 2, देखो यहाँ पर x equal to 2 है, आपने x की जग़ा 2 डाला, तो जैसे आप x की जग़ा 2 डालोगे, तो यह 2 minus 2 0 हो जाएगा न, denominator 0 हो जाएगा, 2 minus 2 0, चमक गया, तो इसलिए function not defined है, x is tending to 2, तो अगर x tending to 2 है, मतलब x का value exactly 2 तो है नहीं, इसका मतलब x-2, इसको इधर shift कर लो, x-2, 0 तो है नहीं, यह 0 नहीं है, 0 नहीं है, मतलब अब यह defined हो जाएगा, तो अब आप इसको कैसे करोगे, अब यह non-zero quantity है, और non-zero quantity को आप cancel कर सकते हो, तो इसको factorize कर लो और cancel कर दो, तो देखो इसको further हम कैस तो ऊपर नीचे cancel हो जाएगा, अब cancel हम कर सकते हैं, यहाँ पे हम cancel कर सकते हैं, वहाँ पे नहीं कर सकते हैं, क्यों, ऐसा क्यों, अब क्यों कर सकते हैं, क्योंकि अब ये non zero quantity है न, आपको बोला जा रहा है, x is tending to 2, if x is tending to 2, x is not equal to 2, वो 2 से थोड़ा ज़ादा होगा या 2 से चमक गया तो x-2 non-zero quantity हो गया, क्योंकि x2 तो है नहीं, या तो यह 1.9 है या 2.1 है, non-zero quantity आएगा और non-zero quantity को आप cancel कर सकते हो, उपर नीचे non-zero quantity को cancel कर सकते हैं, तो बस अब कितना आ गया, तो देखो यहाँ पर limit x tending to 2 और 2 plus 2, 4 आ जाएगा, मतलब x plus 2 है, तो final answer कितना आ जाए अच्छा अब आते है इन डिटर्मिनेट फॉर्म क्या होते है इन डिटर्मिनेट फॉर्म आप यहां पर देखो अगर मैं इसमें एक्स का वैल्यू टू पूट कर दो सीधा सीधा अगर मैं डायरेक्टली एक्स का वैल्यू टू पूट कर दू तो क्या आ जाएगा यह जीरो समझ गए तो ये पूरा concept लिमिट का, तो total 7 indeterminate forms होती है लिमिट के अंदर, जो आपको एक-एक करके पढ़नी होती है, और ये 7 की 7 अगर आपने अच्छे से पढ़ ली तो सवाल यहीं से आएगा, इन फैक्ट मैं आपको ये भी बजा देता हूँ कि ये वाली जो indeterminate form है न, ये इन से ज़ाधा सवाल आते है, 0 by 0 के काफी आते है, infinity by infinity के काफी आते है, इन सब के उतने ज़ाधा सवाल नहीं आते है, 1 की बार infinity के काफी सवाल आते तो जो important वाली indeterminate form जहां से आपको सवाल आएंगे exam में, वो है 0 by 0, infinity by infinity, या 1 की पार infinity, maximum सवाल यहीं से बनते हैं, बट फिर भी हम आज के lecture में सब कुछ ही पढ़ेंगे वैसे तो ठीक है, पढ़ेंगे सब कुछ, बट इस पे आपको थोड़ा जादा focus करना है, ठीक है, तो 0 by इन डिटेमिनेट फॉर्म आपकी टोटल पूरे चाप्टर में आपने को पढ़नी है। तो एक-एक करके पढ़ना स्टार्ट करेंगे। 0 by 0 और infinity by infinity के लिए कौन-कौन से मेथड्स होते हैं। तो आप यहीं पर लिख लो। 0 by 0 और infinity by infinity के लिए तीन मेथड्स होते हैं। तो जब भी 0 by 0 का सवाल आएगा या infinity by infinity का सवाल आएगा, तो इनको सॉल्व करने का मेथड क्या होता है?
0 by 0 या infinity by infinity को solve करने का method होता है, 3 method होते है basically, एक होता है factorization, आप factorize करो जैसे हमने यहाँ पे किया, है ना, आप factorize करो और उपर नीचे जो भी common factor है उसको cancel करो, दूसरा होता है rationalization, rationalize कर सकते हो आप, रेशनलाइजेशन ठीक है रेशनलाइजेशन मतलब जहां पर भी रूट दिखे तो रेशनलाइज कर लो आप अगर आपको किसी भी सवाल में रूट दिख रहा है वहां पर आप उसको रेशनलाइज कर सकते हो तो जहां पर मतलब रूट वाले सवाल आएंगे न उसमें रेश लॉपिटल रूल में क्या करते हैं? उपर नीचे डिफरेंशेट करते हैं अभी हम पढ़ेंगे एक एकर के पढ़ेंगे ये सारे क्या होता है फैक्टराइजेशन, रैशनलाइजेशन, लॉपिटल तो यातो आप फैक्टराइज करोगे और यू विल यूज रैशनलाइजेशन उपर वाले को differentiate करेंगे 2x आएगा, और नीचे वाले का differentiation तो x का differentiation 1 होता है, constant का तो 0 ही हो जाएगा, ठीक है, और x का value आपको कितना डालना है इसमें, limit x is tending to 2, तो जैसे आप x का value 2 डालोगे, 2 into 2, 4, देखो answer आगे न, same answer यह आएगा, तो आप lawpital से करो, या factorize करके करो, answer आ� x tending to जो भी है वो आप put कर दो यहाँ पे x tending to 2 है तो हमने 2 put कर दिया समझ गए? तो 0 by 0 और infinity by infinity में यह सारे rules होता है अच्छा आप कुछ standard limit standard forms कौन कौन से है तो यह आपको याद होने चाहिए ठीक है? तो standard forms है एक तो यह वाला है ln of 1 plus x upon x इसको आप याद ऐसे करना याद इस format में करो देखो ln of 1 plus डब्बा इसको हम बोलते है डब्बा method याद है की नहीं? डब्बा method है यहाँ पर ऐसे करो देखो यह वाली जो limit होती है यह हमेशा 1 होती है लेकिन यह 1 तब ही होगा जब limit डब्बा will be tending to 0 अलग यहाँ पर ज़रूरी नहीं कि आपको जो exam में आएगा वो x ही आएगा हो सकता है कि x की जगा x square कर देंगे कभी कभी x की जगा sin x कर देते हैं कभी x की जगा tan x कर देते हैं तो कुछ भी आपको दे सकते हैं अगर यह वाला format है ना कि log of 1 plus डब्बा upon डब्बा और डब्बे का value 0 आ रहा है, then this quantity is always equal to 1, ठीक है, तो यह standard limit है, आपको यह डब्बा format में याद रखना है, तो कल को मान लो यह पूछ लिया किसी ने, ऐसा कोई सवाल आ गया कि limit x tending to 0, और ln of 1 plus sin x upon sin x, तो इसका value भी कितना होगा, इसका value भी 1 ही होगा, क्योंकि देखो log of 1 plus ड� तो इसका value भी 1 आ जाएगा, समझ गए न, मतलब basically आपको याद इस format में करना है, ये formula है, लेकिन इस format में याद करना है, ये सब standard forms है, ठीक है, similarly a की power डब्बा minus 1 by डब्बा, ये, डब्बा method बोलते हैं basically, रह���ट, तो ये ऐसा कुछ भी आ जाए, तो इसकी limit होती है, lna, क्या limit ह तो यहाँ पे डब्बे के अंदर क्या?
साइन एक्स अगर एक्स का वैल्यू जीरो है तो क्या साइन एक्स का वैल्यू भी तो जीरो होगा न? वो जीरो आना चाहिए अगर मैं साइन एक्स को हटा के कॉस एक्स कर दू तो अगर मैंने साइन एक्स को हटा दिया तो अब वन नहीं आएगा यह गलती मत करना तो इसका answer तो 1 आना चाहिए, लेकिन नहीं आएगा, क्यों नहीं आएगा, क्योंकि वो जो डब्बा है, वो tending to 0 भी तो आना चाहिए, जब x 0 को tending करेगा, तो cos x, आप x equal to 0 put करो, x equal to 0 put करेंगे, तो cos 0 1 होता है, cos 0 0 नहीं होता है, cos 0 1 होता है, तो इसलिए यहाँ पे actually answer कितना आजाएगा, 1 नहीं आएगा, यह आएगा, 1 plus 1, cos 0 1 होता है ना, और नीचे भी 1 आजाएगा, तो actually आपका जो answer आएगा वो ln 2 आएगा, this is the answer, अगर 1 plus cos x upon cos x है, तो ln 2 आपका answer है, तुकि डब्बा is not tending to 0, तो आपको वो भी दियान रखना होता है, डब्बा अगर 0 को tending करेगा, तब ही answer 1 आएगा, यहाँ पे भी डब्बा अगर 0 को tending करेगा, तब ही ln a आएगा, otherwise कुछ और आएगा, यहाँ पे e की power डब्बा minus 1 by डब्बा, यह इसी का एक special form है, E की पावर minus E की पावर डब्बा minus 1 by डब्बा इसका value 1 होता है मनलब A की जगह E आ गया न तो यहाँ पे आ जाएगा LNE और LNE का value कितना होता है 1 ठीक है तो यह standard form कितने लोगों को याद है तो 1 minus cos डब्बा इसके ऊपर काफी सवाल आ रहा है आजकल 1-cos दब्बा divided by दब्बे का square इसको भी याद करो इसमें भी जब दब्बा tending to 0 है तो आप लगा सकते हो इस format में आपको याद करना है और ये 1 by 2 होता है ठीक है 1-cos दब्बा divided by दब्बे का square इसका value कितना होता है 1 by 2 इसका value होता है जो कि 0 को tend करना चाहिए जरूरी नहीं कि x ही आएगा 2x आ सकता है 4x आ सकता है x square आ सकता है, sin x आ सकता है, 10 x आ सकता है, cos x नहीं आ सकता है, क्योंकि cos 0, 1 होता है, sin 0, 0 होता है, 10, 0, 0 होता है, x square का value भी 0 आएगा, अगर x tending to 0 है तो, समझ गया ना, तो ये सब आपको पता होना चाहिए, यहाँ पे कुछ ऐसी quantity जो की 0 बन रही है, ठीक है, 1 minus cos डब्बा divided by ड एक बार अगर आपको ये पता है तो जल्दी से हम आगे बढ़ेंगे yes or no class के notes कहाँ पे मिलेंगे class के notes आपको मिल जाएंगे वोरा classes के app पे jbrief करके एक batch है उसके अंदर आप जाना वहाँ पे आपको मिल जाएंगे सारे notes लाइन से 1, 2, 3, 4 सारे मैंने डाल रखे हैं जितने भी lectures हो चुके हैं आपने vector 3D के notes दिया ही नहीं जो chapters हो चुके हैं उनके notes वहाँ पे डल चुके है ठीक है yes or no तो आगे जब आएगा वो chapter तो उसके notes भी वहाँ पे update हो जाएगे ठीक है चलो आगे बढ़ते हैं अब question पे आते है ठीक है तो ये पहला सवाल है इसमें आपको डब्बा standard form के उपर सवाल आते है तो तबी तो कहते है कि limits वाला जो chapter है वो चिंदी chapter है बस question practice कर लो अच्छे से यहाँ पे theory wise तो आपको question practice थोड़ी ढंग से करनी पड़ेगी, yes, तो जैसे ये कैसे करेंगे बताओ, standard forms आपको अच्छे से आने चाहिए, और डब्बा method आपको अच्छे से पता होना चाहिए, अब सारे सवल कर लोगे, कोई दिक्कत वाली बात ही नहीं है, ठीक है, जैसे यहाँ पर लिख cube 4x, एक काम करो, अलग-अलग लिखो, थोड़ा ना, मतलब इसको सजा के लिखना पड़ेगा, इसको सजावट मेथड भी बोलते हैं हम लोग, right, सजावट मेथड मतलब थोड़ा सजा के लिखो इसको, तो यह लिखा हुआ है, फिर यहाँ पे यह लिखा हुआ है, देखो, sin cube एकदम सब कुछ अलग-अलग करके मैंने लिख दिया, एलेन ओफ, और ये है 1 प्लस 2x, ठीक है, इस पूरे की पावर है 5, पूरे की पावर 5 है, तो ये है आपका सवाल, मैंने एकदम अलग-अलग करके लिख दिया सब कुछ, ठीक है, ये 1-cos2 cos2 कर दिया, ये इदर लिख दि क्योंकि मुझे पता है कि sin of x by x, मतलब sin of डब्बा, divided by डब्बा, ये सब डब्बा ही है, ठीक है, sin of डब्बा, divided by डब्बा, ये 1 होता है, तो sin of डब्बा, divided by डब्बा create कर लो, तो ये दो बार है न, तो आपको 3x का square, ये divide करना पड़ेगा, और यहाँ पे कहीं पे multiply भी कर ल यह लिखा हुआ है sin3x upon 3x multiplied by sin3x upon 3x, ऐसे दो बार है, whole square है न, तो आप दो बार लिख लेना, sin3x by 3x, sin3x by 3x, तो यह दोनों का value वन वन है, ठीक है, इदर 4x का whole cube आपको multiply करना पड़ेगा, और divide भी करना पड़ेगा, 4x का whole cube, ठीक है, तो यह भी पूरा 1 हो जाएगा, sin of box divided by इसमें आपको कुछ भी multiply डिवाइड करने की ज़रूरत नहीं है, यह बन जाएगा क्योंकि x is standing to 0 है, तो यह तो cos 0 है, तो cos 0 का value भी 1 है, तो यह भी 1 बन गया, इसमें तो आपको कुछ करने की ज़रूरत ही नहीं है, यह सीधा सीधा 1 है, और इसमें क्या करोगे, इसमें आप multiply तो इसलिए 2x की power 5 से आप multiply भी कर देना तो 2x की power 5 आजाएगा यहाँ पर यह चमक गया तो यह भी बन गया log of 1 plus डब्बा divide it by डब्बा दिख गया ना तो बस यह सब 1 हो गया इसका value भी 1 है ये भी 1 है ये भी 1 ये सब 1 1 1 1 हो गया तो ultimately कितना आएगा यहाँ पे देखो x की power 5 भी cancel हो जाएगा ना x की power 5 भी cancel हो रहा है तो बस जो बच रहा है वो है 3 square into 4 cube divided by 2 की power 5 ये बच रहा है देखो तो 3 square into यह 2 की power 6 और नीचे 2 की power 5 मतलब basically 9 into 2 18 आ रहा है finally कितना आ रहा है option C आ रहा है क्या 18 is the final answer for this one, क्या बात है, सब लोगों ने एकदम फोड़ दिया है, चलो next, अगला सवाल, अगला जो सवाल है, जही में 2022 का सवाल है, सब लोग इसको try करेंगे, इसमें थोड़ा दिमाग लगाना पड़ेगा, यह उतना आसान नहीं है, जितना 23 में आया था आसान, यह भी 0 by 0 form है, देखो आप x का value 1 put करोगे, तो 0 by 0 form तो है, क्या ऐसा करे की मज़ा जाए, डबबबबबबबबबबबबबबबबबबबबबबबबबबबबबबबबबबबबबबबबबबबबबबबबबबबबबबबबबबबबबबबबबबबबबबबबबबबबबबबबबबबबबबबबबबबबबबबबबबबबबबबबबबबबबब� और फिर उसने बोल दिया कि सर ये तो sign of डब्बा divided by डब्बा बन गया तो इसका value आप 1 लिख दो अगर ऐसी बाते करोगे तो सही में मतलब यहीं से flying चप्पल आएंगे अभी मैम की language में बोले साक्षी मैम की language में तो अब flying चप्पल आने ही चाहिए यह बई sign of डब्बा divided by डब्बा बन तभी होता है जब डब्बा tending to 0 होता है यहाँ पे x का value 1 है आप x का value 1 put करोगे तो डब्बे का value pi into 1 pi आएगा ना यहाँ पे आप डब्बे के अंदर क्या रख रहे हो, डब्बे के अंदर पाई एक्स है, तो पाई एक्स का वैल्यू भी तो निकाल के देखो, पाई इंटू एक्स का वैल्यू, तो वन को टेंड कर रहा है, यह पाई आ रहा है न, जीरो कहां से आ रहा है, जब डब्बा जीर तो जब भी ऐसे sin πाई एक्स वाले सवाल आते हैं ना, और अगर ये जीरो को टेंड ना करे, तो क्या करना होता है? तो हमेशा ये concept लगाये करो, देखो concept क्या है? concept मैं आपको यहीं पर बदा देता हूँ, आप हमेशा, जैसे यहाँ पर sin पाई एक्स है, पाई एक्स को थोड़ी देर के लिए थीटा मान लो, तो sin थीटा को आप हमेशा लिख दिया करो, sin of पाई माइनस थीटा, ना, automatically आपका आ जाएगा, जैसे यहाँ पर sin पाई एक्स है ना, पाई एक्स को थीटा मान लो, sin of pi minus theta, और theta is pi x, ऐसे लिख दिया करो, और whole square तो है ही, ठीक है, तो हमेशा, जब भी आपका जो डब्बा है, वो 0 को tend ना करे, तो आपको क्या करना चाहिए, ये वाला concept यूज़ करना चाहिए, sin theta को लिख लिया करो, sin of pi minus theta, sin pi minus theta भी sin theta ही होता है, second quadrant, ये तो ये ऐसे कर दिया, अब आप x का value 1 put करो, अब आप x का value 1 put करोगे न, तो ये pi minus pi, आगे ना 0, आखाओं में चमकी चमक है, ठीक है, तो अब आप divide multiply कर सकते हो, अब आप यहाँ पे divide करो, pi minus pi x का whole square, और multiply भी कर देना, pi minus pi x का whole square, ठीक है, तो यह पूरा 1 हो जाएगा, sign of box divided by box, तो यह तो 1 हो जाएगा, और यहाँ पे देखो, x square minus 1, तो बचा क्या, pi square common ले लेन degree 4 वाली equation है वो है ठीक है अब इसको आगे कैसे करें आगे यही पर कहीं पर करना पड़ेगा अपने को side में यहाँ पर करते हैं यह degree 4 वाली equation है यह factorize हो जाएगी यह degree 4 वाली equation है इसको आप देखो इसको ध्यान से देखना x की पार 4 है इसको दो बार लिख दो minus x cube minus x cube इसको भी दो बार लिख लो plus x plus x तो अब कितने लोगों दिख गया कि यह factorize हो जाएगा, factorize हो जाएगा, right, यहां से common ले लो, यहां से common ले लो, यहां से common ले लो, यहां से common ले लो, यहां से x-1, यहां से x-1, तो बचेगा x2-1, जिसको further factorize कर देना, x-1, x-1, ठीक है, यहां आ गया, और plus यहां पे भी है x-1 तो x-1, x-1, x-1 दिख गया, x-1 common ले लेना, जैसे आप x-1 common लोगे, बचेगा x3, यहाँ पे आपने x-1 common लिया, तो बचेगा, minus x square और minus x यह बचेगा और इधर से बचेगा plus 1 क्योंकि x minus 1 तो common ही ले लिया है और यह और further factorize हो जाएगा यह cubic है ना तो cubic भी factorize हो जाएगा देखो कैसे factorize हो गया यहां से common ले लो x square तो x minus 1 इधर से minus 1 common तो again x minus 1 तो ultimately कितना आ गया यहीं पर लिख दो अभी आप ठीक है तो finally ह और एक तो अपने को x-1 दिख रहा है, एक और x-1 आएगा, और एक x2-1 भी आएगा, ठीक है, तो यह आ रहा है ultimately, तो देखो यह और यह cancel हो जाएगा, ठीक है, यह लिखा हुआ है x-1 का whole square, तो ultimately कितना answer दिख गया, दिखा कि नहीं, यह 1-x का whole square लिखो या x-1 का whole square लिखो, व वो तो सेम ही तो आएगा, क्योंकि whole square है, तो ये भी तो cancel हो जाएगा, 1 minus x का square और x minus 1 का square, ठीक है, तो ultimately बचा कितना, pi square is the final answer, दिख गया, pi square is the final answer, simple था, ठीक है, और आगे बढ़ते हैं, अगला सवाल, ये वाला try करो, चलो, ये भी 0 by 0 form है, 0 by 0 वाले ही सवाल आ रहे हैं, maximum, 0 by 0 form है, आप ऊपर नीचे x का value pi by 4 put करके check करो, ऊपर भी 0 आ रहा है, नीचे भी 0 आ रहा है, ठीक है, ऊपर नीचे put करो, ना x का value pi by 4 put करो इसमें, और इसमें भी, ऊपर 0 आएगा, नीचे भी 0 आएगा, यह 0 by 0 form है, तो कैसे करें, अगर 0 by 0 form है, तो 0 by 0 का सबसे best method कौन सा होत और नहीं इसमें rationalize करना है, है ना, क्योंकि जो root है, वो तो numerical values पे root है, कोई variable नहीं है, जिसके उपर root है, तो आपको क्या करना है, l'Hôpital लगा लो, ठीक है, just use l'Hôpital, मतलब उपर नीचे differentiate कर दो, इसमें best पड़ेगा, तो इसका differentiation तो 0 हो जाएगा, ये तो constant है, इसका differentiation आएगा, minus 7, और cos x plus sin x, इसकी power, cos x plus sin x, कि power 6 आ जाएगा, और फिर cos का derivative minus sin, और sin का derivative cos, तो देखो यह आ गया, ultimately we are getting this, और नीचे कितना आ जाएगा, नीचे basically इसका derivative तो 0 हो जाएगा, इसका differentiation 0, तो minus root 2 बचा, और sin का derivative cos, एक 2 भी आएगा, और cos 2x, तो यह आ गया देखो, अभी अगर यह आ गया, तो cos 2x क्या होता है?
cos2x होता है cos2x minus sin2x, formula ज्यादा गया, यह होता है cos2x minus sin2x, तो cosx plus sinx और cosx minus sinx में factorize हो जाएगा यह, ठीक है, cosx plus sinx, cosx minus sinx, तो यह cosx minus sinx will get cancelled, और बस बाकी जो बच गया है उसमें आप pi by 4 put कर दो, ठीक है, तो जैसे ही pi by 4 put करेंगे, minus 7, यह 1 by root 2, प्लस 1 बाई रूट 2 की पावर 6, और नीचे आपका है minus 2 रूट 2, और 1 बाई रूट 2 प्लस 1 बाई रूट 2, ठीक है, यह आ गया देखो, ultimately, इसकी पावर 5 हो जाएगा, और यहाँ पे भी minus minus plus कर लो, तो कितना आंसर आ रहा है, 7 upon 2 रूट 2, ठीक है, और यह कितना बन जाएग और ultimately this is 7 by 2, 2 की power 2, ठीक है, तो 7 into 2, 14 आ रहा है, देखो, 14 आ रहा है क्या, are we getting 14 as the answer, 14 आ जाएगा इसका, सही है, 14 is the final answer, और आगे बढ़ते हैं, अगला सवाल चलो, ये तो और अच्छा सवाल है, ठीक है, this is the best question of 0 by 0 form, ये भी 0 by 0 है, ध्यान से देखोगे, तो ही देखेगा, तो मैं सवाल लिख देता हूँ, थोड़ा सा lengthy सवाल है, limit x tending to pi by 2 लिखा हुआ है, correct, और tan square जो है न, tan square को लिख देना, sin square upon cos square, ऐसे लिख देना, sin square x upon cos square को भी लिख देना, 1 minus sin square, में लो, सब कुछ sin में convert कर लो, अभी उसका फाइदा आपको समझ में आएगा, तो tan square को लिख sin2x plus 3 sinx plus 4 और इसकी power 1 by 2 है मतलब root ठीक है यह लिखा हुआ है minus root, ये भी root है, ठीक है, sin2x plus 6 sinx, देखो ऐसे सवाल जब भी आएंगे न, तो यहाँ पे मेरी तरफ से एक nv tip है, nv tip यह है कि अगर आपको हर जगह same variable दिख रहा है, पूरा sinx में है, देखो, इदर भी sinx, sinx, sinx, sinx, पूरा sinx में है, तो sinx को t मान लिया करो, तो यहाँ पे n हर जगह sin x दिख रहा है, तो आप sin x को कुछ मान लिया करो, sin x को t मान लो आप, अब x का value tend कर रहा है pi by 2 को, तो अगर आप इसमें x का value pi by 2 put करोगे, तो t का value 1 आएगा न, तो आपका जो सवाल है वो इसमें convert हो जाएगा, कि limit t will be tending to 1, और sin x को put कर दो t, तो यह बन जाएगा t प्लस 3t प्लस 4 और माइनस में कितना आ जाएगा, यह है t square प्लस 6t प्लस 2, बस अब root दिख रहा है, अगर root दिख रहा है तो क्या करना होता है, root दिखे तो rationalize कर दो बस, root दिखे तो rationalize कर दो, तो इसको rationalize कर दो, इसको rationalize करेंगे तो कितना आ जाएगा, वो यहाँ पे करते है, limit t tending to 1, नीचे मेरे पास है 1 minus t square, rationalize कर दो आप, ऊपर t square भी है, इसको rationalize करेंगे, तो कितना आजाएगा, 2t square minus t square, तो मैं directly लिख रहा हूँ, आप अपने दिमाग में करना rationalize, ठीक है, मैं अपने दिमाग में करूँगा, minus 3t आएगा, और plus 2 आएगा, rationalize करने के बाद यह आ रहा है, और नीचे इसका conjugate आएगा plus under root of नीचे एक conjugate बचेगा plus वाला ठीक है तो आपने rationalize कर लिया basically ऐसे ही तो करते है rationalize अब rationalize करने के बाद ये factorize हो जाएगा ठीक है तो t minus 1 t minus 2 दिख गया आपको ये factorize हो जाएगा quadratic है तो t minus 1 और t minus 2 ठीक है और ये नीचे वाला जो है वो है 1 minus t इसमें सब minus भी common ले लेना तो minus भी common ले लो और ये भी factorize हो जाएगा तो minus common t minus 1, t plus 1 यह आ गया देखो ultimately तो यह cancel हो जाएगा और यही इसकी वज़े से ही तो 0 by 0 बन रहा था क्योंकि t is tending to 1 ना तो जो रास्ते का काटा था उसको हमने खतम कर दिया इसकी वज़े से ही 0 by 0 बन रहा था अब आप जो बचा कुछा है उसमें t का value 1 put कर दो तो answer आ जाएगा ठीक है तो t का value just आप put कर दो 1 तो t का value 1 put करेंगे तो यह तो 1 है यह minus 1 आ जाएगा नीचे minus 2 और ये कितना हो जाएगा इसमें 1 put करना जरा ये है 3 और इसमें 1 put करोगे तो ये भी है 3 तो ultimately देखो ये आ रहा है minus minus भी plus हो जाएगा तो ये हो गया 1 upon 12 आ रहा है finally ठीक है final answer क्या है final answer आपका आ जाएगा 1 upon 12 मतलब option A तो इस तरीके के सवाल को मत देखो आप सवाल मे कि अगर आपको कोई ऐसा बड़ा सा सवाल आ जाए बड़ा सा सवाल आएगा पहली बात तो ये ठीक है बड़े बड़े सवाल आएगे लेकिन या तो पूरा cos x में है या पूरा sin x में है या पूरा e की power x में है तो कोई एक चीज आपको बार बार दिख रही है यह करना होता है substitution use कर लो चलो अब आगे बढ़ते हैं अब आते है 0 by 0 अब आते है इस पे infinity minus infinity and 0 into infinity पे तो infinity minus infinity का अगर कोई भी सवाल आ जाए या फिर 0 into infinity का कोई भी सवाल आ जाए तो उसमें देखो कोई नया method नहीं होता है आपको 0 by 0 और infinity by infinity में convert करना पड़ेगा that is the first step और एक बार convert हो गया तो फिर से आपको वही वाले methods use करना है ठीक है, मतलब factorize करो, या rationalize करो, या law pital use करो इन तीन में से कोई एक आप कर सकते हो, ठीक है तो अगर कोई भी सवाल आ गया, infinity minus infinity का या 0 into infinity का कोई भी सवाल आ जाए तो इनको क्या करो, इनको 0 by 0 या फिर infinity by infinity में convert करो और फिर इनी के जो methods है, वो लगा लो इनके method तीन है, right, या तो आप factorize कर सकते हो, या rationalize, या law pital तीन में से कोई भी एक use कर लो अब आपके दिमाग में ये सवाल आएगा कि सर convert आपने तो बोल दिया कि इसको इसमें convert कर लो convert करेंगे कैसे तो convert करने के लिए अगर कोई भी सवाल जैसे माल लो ऐसा है x is tending to infinity something something यहाँ पर लिखा हुआ है डब्बा या तो ऐसा सवाल आएगा या ऐसा सवाल आएगा कि x is tending to minus infinity और यहाँ पर something something लिखा हुआ है अगर x tending to infinity है तो आप x का value put कर देना 1 by t तो automatically x infinity है, तो t tending to 0 आ जाएगा, तो यह जो सवाल है, यह इसमें convert हो जाएगा, कि बाई limit t tending to 0, पूरा t में convert हो जाएगा basically, तो अगर कोई भी ऐसा सवाल है, जिसमें x tending to infinity है, तो आप x को put कर देना 1 by t, और अगर x tending to minus infinity है, तो x को put कर देना minus 1 by t, again यह भी आपका convert होगा, ठीक है तो concept समझ में आ गया, concept इतना ही है कि आपको इसमें convert करना पड़ेगा, convert करने के बाद इनके जो method है वो लगाने पड़ेगे, अब convert करेंगे कैसे, तो convert करने के लिए x को put कर दो 1 by t, automatically आपका convert हो जाएगा, ठीक है उसके बाद आपको खाली calculation करनी है, अब देखो सवाल, और इसमें भी आप x का value infinity put करोगे, यह भी infinite हैगा, तो यह कौन सा वाला indeterminate form है, x का value infinity put करोगे, infinity minus infinity आपको दिख गया, तो यह कौन सा form है, infinity minus infinity indeterminate form है, तो अगर यह infinity minus infinity है, तो क्या करेंगे, तो method अपने को पता है कि x को put कर देंगे 1 by t, तो यह सवाल पूरा convert हो जाएगा, limit x का value put करेंगे, तो under root of, x का value put करो, 1 by t, 1 by t put करोगे, 25 by t square, minus 3 by t, यह दिख गया, and then यहाँ पे minus 5 by t, यह आ गया देखो, अब इसको simplify करो, simplify करेंगे, तो limit t tending to 0, और नीचे basically t आ जाएगा, ठीक है, नीचे lcm ले लेना, और उपर आ जाएगा, 25 minus 3t, इसका root, and then minus 5, तो अब ये देखो 0 by 0 बन गया, जैसे ये आप simplify करोगे तो ये ही तो आएगा, आप नीचे lcm ले लो ना, t square वगरा, फिर t को बाहर निकालो, ये आएगा finally, तो ये आगया, और ये अब 0 by 0 form है, ध्यान से देखो, क्योंकि अगर आप t का value 0 put करोगे, तो नीचे वाला भी 0, न अब ये 0 by 0 को solve कैसे करेंगे, तो root दिख रहा है न, rationalize कर लो, ये 0 by 0 का सवाल है, उसको solve करना है, ठीक है, 0 by 0 का सवाल है, solve करो, तो कैसे solve करेंगे, rationalize कर लो, under root of 25 minus 3t plus 5, और यहाँ पे भी under root of 25 minus 3t plus 5, ठीक है, जैसे मैं rationalize करूँगा, उपर कितना आ जाएगा, 25, 25 cancel हो जाए नीचे t आएगा और यहाँ पे under root of 25 minus 3t plus 5 देखो यह आ रहा है and limit t is tending to 0 अरे बाई चमका की नहीं तो t का value cancel हो जाएगा यहाँ पे और इधर भी t का value आपको 0 put करना है तो finally what is the answer final answer is minus 3 divided by 5 plus 5 so minus 3 by 10 is the final answer चीके तो कर लोगे अगर infinity minus infinity का कोई भी सवाल आ जाए तो आप x को put कर देना 1 by t, वो 0 by 0 या infinity by infinity में convert हो जाएगा, उसके बाद आपको rationalize करना, rationalize करो, factorize करना, factorize करो, law pitter लगाना कुछ नहीं तो differentiate कर दो, answer आना चाहिए, ठीक है, और आगे बढ़ते हैं, एक j main का pyq try करेंगे यहाँ पे, ठीक है, j mains के अंदर इसके question आते रहते हैं तो n tending to infinity लिखा हुआ है तो आप क्या करो, आप basically n को put कर दो 1 by t, चमक गया न, तो यहाँ पर पहले लिख देता है n को put कर दो 1 by t, तो जैसे आप n को 1 by t put करोगे, limit t tending to 0, और यहाँ पर कितना आजाएगा, under root of, यह basically है 1 by t square, minus 1 by t, minus 1, plus n by t, और plus beta, ऐसा ही तो आ रहा है, ठी ठीक है तो मैंने n को put कर दिया अच्छा यहाँ पे alpha आएगा हमने n को put कर दिया 1 by t, चमका, n को put कर दिया 1 by t, जहां जहां पे n था, वहां वहां पे 1 by t put कर दिया, अब इसको solve करो, solve करेंगे तो 1 minus t minus t square, यह आ जाएगा, ठीक है, यह t square को root के बाहर निकल लेना, तो यह plus alpha divided by t plus beta, तो यह आ रहा है, ठीक है, यह इसकी limit, limit t tending to 0, लिमिट t टेंडिंग टू जीरो अब देखो जो बीटा है वो तो कॉंस्टेंट है ना तो आप चाहो तो इसको तो लिमिट से बाहर भी निकाल सकते हो बीटा क्या है वो तो कॉंस्टेंट है तो आप खाली लिमिट इतने का निकाल लो तो भी चलेगा आप खाली इसका limit निकाल लो, इतने का, अब इतने का limit कैसे निकालेंगे, तो देखो नीचे t, इधर भी t, यह common lcm आ गया न, इसमें नीचे t लिख दो आप whole divided by, तो ऐसे करके लिख दो, कि बाई plus alpha है, और whole divided by t है, अब यह limit exist कब करेगी, यह थोड़ा सा reverse सवाल है, आपको basically तो 0 by 0 form बनना चाहिए, अब t का value 0 put करो, देखो ये 0, ये 0, ये 0, तो उपर आ जाएगा 1 plus alpha, और नीचे आ जाएगा 0, तो limit तो तभी exist करेगी न, जब 0 by 0 form बनेगा, मरलब alpha का value आ गया, minus 1, ठीक है, alpha कितना आ गया, minus 1 आ गया, अगर आपको इतना समझ में आ गया, तो alpha का value त अब ये बीटा का value कैसे हो, और अलफा का value आ गया, तो यहाँ पे आप substitute कर दो पहले तो, अलफा का value मेरे पास आ गया, कितना आ गया, minus 1 आ गया, तब ही ये 0 by 0 form बनेगा, right, आप इसको minus 1 लोगे, तब ही ये 0 by 0 form बनेगा, तब ही इसकी limit exist करेगी, और limit exist करनी चाहिए, क्योंक इसके limit निगालो, limit t tending to 0, उपर वाले को rationalize करेंगे, तो ये बचेगा देखो, नीचे आपके पास t है, और नीचे एक इसका conjugate भी आजाएगा, 1 minus t minus t square, और conjugate मतलब plus 1, ठीक है, ये आगे देखो, तो उपर नीचे t t cancel हो जाएगा, उपर नीचे t और t cancel करोगे, तो कितना आजा तो t का value 0 put करो, कितना आ रहा है, minus 1 आ रहा है, और यह 1 plus 1, 2 आ रहा है, यह दिख गया, और यहां से plus beta भी है, प्लस beta तो इधर भी plus beta, और limit का value मुझे कितना दे रखा है, finally जो limit है उसका value question में दे रखा है 0, तो यहां से beta का value आ जाएगा, 1 by 2, अलफा plus beta कितना हो गया, अलफा plus तो ये आजागा minus 4, ठीक है, अरे चमक गया, ठीक है, तो option C is the answer for this one, चमका की नहीं, yes or no, yes, simple है, कर लोगे, आराम से हो जाएंगे, right, आपको method पता होगा न, तो सारे question हो जाएंगे, अब और आगे बढ़ते हैं, और बात करते है, binomial approximation, देखो जिनको नहीं आता न, येस, binomial approximation पहली बात तो कब लगा सकते हैं? हर बार नहीं लगा सकते, इसकी कुछ terms and conditions होती है, वो अगर fulfill हो रही है, तबी आप binomial approximation लगा सकते हो, ठीक है, तो इसमें terms and conditions क्या-क्या है? तो binomial approximation तबी लगता है, जब पहला वाला जो term है, वो 1 होना चाहिए, वन ही होना चाहिए, यहाँ पे वन ही होना चाहिए, वन की जगह 2 कर दिया, तो भी नहीं लगेगा.
1 की जग़ 3 कर दिया, 4 कर दिया, 5 कर दिया, minus 1 कर दिया, कुछ भी कर दिया, 1 होना चाहिए, 1 की बजाए कुछ भी और है, तो binomial approximation आपका नहीं लगेगा, समझ गए, तो 1 ही होना चाहिए, मतलब basic format जो है, binomial approximation का वो यह है, 1 plus दबा, 1 plus something, यह something में कुछ भी हो सकता है, यहाँ प कि binomial कब लगा सकते हैं पहले तो binomial approximation तभी लगा सकते हैं जब 1 होना चाहिए तो पहला वाला जो term है आप ऐसे लिख सकते हो कि first term Binomial का जो first term है वो 1 होना चाहिए, 1 के अलावा अगर कुछ भी है तो नहीं लगेगा, ठीक है, और दूसरी condition क्या है, दूसरी condition यह है कि यह जो डब्बा है न, वो tending to 0 होना चाहिए, वो tending to 0 होना चाहिए, मतलब it should be a very very very very very small quantity, बहुती छोटा value होना चाहिए, tending to 0 होना चाहि� ठीक है, Binomial Approximation की बात कर रहा हूँ, Binomial की बात नहीं कर रहा हूँ, Binomial Expansion तो आप कभी भी लगा सकते हो, जो Binomial हम पढ़ते हैं ना, कि NC0, NC1, वो तो Binomial Chapter है, वो Mix मत करना, Binomial का जो Statement होता है, Binomial Theorem, ये आप कभी भी लगा सकते हो, लेकिन Binomial Approximation कब लगा सकते हैं, तब आप लगा सकते हो, और कैसे लगाते हैं? Binomial approximation कैसे लगाएंगे? तो Binomial approximation आप देखो या तो ऐसे भी लगा सकते हो ऐसे भी लगा सकते हो कुछ-कुछ question की demand होती है कि आप खाली दो ही term तक उसको approximate करो कुछ-कुछ question की demand होती है कि नहीं आप तीन terms तक उसका approximation करो तो कभी-कभी यहां तक लिखना पड़ता है और कभी एक term extra भी लिखना पड़ता है तो that depends on the question कुछ question में आपको यहां तक करना पड़ेगा लेंदी सवाल है या कोई मानलो जैए अडवांस में जनरली आता है इस तरीके के सवाल, मेंस में तो हला कि यही तक का approximation आएगा, mostly, ठीक है, बट हाँ, कभी अगर आपको ज़रूरत पड़े, तो आप एक extra term भी इसमें लगा सकते हो, मतलब इसके बाद वाले जितने भी terms थे न 1 plus x की power n का approximate value हम यह बोल सकते हैं, इसके बाद वाले जो terms थे वो हमने गायब कर दिया, मतलब neglect कर दिया, similarly यहाँ पर हमने 3 terms ले लिये, जो चौथा term था, पाँचवा था, छटा था, वो उन सब को neglect कर दिया, ठीक है, total number of terms n plus 1 होते है, तो वो सारे neglect कर दिया हमने, तो या तो आप ऐसे कर सकते हो binomial approximation, that depends on the question, अब वो हमें कैसे पता चलेगा, तो आपको पता चलेगा denominator से, जैसे मालो आप numerator में binomial approximation कर रहो, तो denominator में आप देख लो कि degree कहां तक जा रही है, अगर degree 2 तक है, मलब x का square है, तो आपको यहां तक जाना पड़ेगा, और degree 1 तक है, तो फिर आपको यहीं तक जाओगे, तो भी च और लगाते कैसे हैं, लगाते हैं ऐसे है कि इसका approximate value होगा 1 plus n into डब्बा, 1 plus nx है न, 1 plus n into डब्बा, यह डब्बा है, चीके तो यह भी डब्बा हो जाएगा, और अगर आपको और आगे चलना है, तो आगे चलना है तो अगला वाला term क्या आता है, nc2, nc2 का value कितना होता है, और यहाँ पे डब्बे का square ठीक है तो यहाँ तो आप यहाँ तक लगाओ या यहाँ तक लगाओ that depends on the question कभी यहाँ तक लगाओगे आप कभी यहाँ तक भी लगाना पड़ सकता है जे मेंस में लेकिन यहाँ तक लगता है mostly ठीक है चलो और आगे बढ़ते हैं तो यह रहा सवाल इसको try करो यह भी j main का ही previous year question है limit यहाँ पर क्या मैं binomial use कर सकता हूँ उपर x है और इसको अगर आप ध्यान से देखोगे तो यह 1 minus sin x इसकी power है 1 by 8 और यहाँ पे भी 1 plus sin x, 1 plus sin x की power 1 by 8, तो यह वैसा ही format हो गया न, 1 plus डब्बा की power n और जो डब्बा है वो tending to 0 भी है, अगर x 0 होगा तो sin x भी तो 0 ही होगा न, तो डब्बा tending to 0 है, तो यहाँ प binomial इधर भी लग जाएगा, binomial approximation और इधर भी लग जाएगा, तो यहाँ पे आ जाएगा 1 minus n into डब्बा होता है, तो n into डब्बा, यह आ गया, similarly यहाँ पे भी 1 plus n, n का value 1 by 8 है, into डब्बा, ठीक है, यह आ गया ultimately, तो 1 से 1 cancel हो जाएगा, और कितना आ जाएगा, आगे आप देखो और कितना आ जाएगा, x, नीचे आ जाएगा minus 2 sin x, और divided by 8, तो ये तो 1 हो जाएगा न, ये हो जाएगा 1, मिला final answer is minus 4, ठीक है, minus 4 is the final answer. तो आप ऐसे कर लो अलब rationalize और ये सब करने से बेटर है कि binomial लगा लो जहां जहां पे rationalize होता है न rationalize से बेटर पड़ेगा binomial जैसे हमने पहले भी ये सब जो सवाल करे थे न जैसे ये वाला सवाल किया था इसमें हमने क्या किया था rationalize किया था अगर आपको rationalize करने का मन नहीं कर रहा है न तो आप binomial use कर लो देखो कैसे करेंगे इसी सवाल मैं अगर मन नहीं कर रहा है rationalize करने का तो ये basically आप इसको ऐसे visualize करो, ये लिखा हुआ है, minus t minus t square is दब्बा, ये दिखा के नहीं, थोड़ा सा इसको rearrange करके लिख देता हूँ, ये ऐसा लिखा हुआ है, 1 plus, और minus t minus t square, ये पूरा डब्बे के अंदर है, ठीक है, और पूरे की power है 1 by 2, तो 1 plus डब्बा, जो डब्बे का तो 1 plus n into डब्बा आ जाएगा, 1 plus डब्बा into n, तो ये डब्बा है, और into n, n का value 1 by 2 है, तो डब्बा को multiply कर दिया 1 by 2 के साथ, फिर minus 1 है, और नीचे आपका t है, तो ये आ जाएगा, देखो ये cancel हो गया, जैसे आपने cancel किया, उपर नीचे t भी cancel हो जाएगा, यहाँ से t common ले t का value तो tending to 0 है तो वही तो आ गया, minus 1 by 2 आ गया और वहाँ से plus beta, तो same है देखो गुमा फिर आके आएगा यही, इसी का value आप 0 करोगे, beta का value 1 by 2 ही आएगा, तो अगर आपको rationalize करने का मन नहीं है तो अब binomial लगा लो ठीक है, वो भी कर सकते है, चलो आगे बढ़ते हैं, अब आते है sandwich theorem ठीक है, what is sandwich theorem sandwich theorem जो है ना यह भी बहुत simple है, मतलब पहली बात तो भूक लग जाती है sandwich theorem नाम है इसका या इसको squeeze play theorem भी बोलते है squeeze play theorem squeeze theorem भी बोलते है in fact sandwich theorem basically देशी भाषा में sandwich theorem तो sandwich theorem क्या कहता है sandwich theorem देखो यह कहता है कि अगर कोई एक function है जो दो function के बीच में है हमेशा एक function है gx और यह जो function है ना वो हमेशा इससे बड़ा है fx से और वो हमेशा इससे छोटा ही है, एक function है जो दो function के बीच में ऐसे sandwich हो गया है, बीच में फ़स गया है, दो bread है और बीच में अलू, तो वैसे ही इसमें भी होता है, एक function है जो दो function के बीच में फ़स चुका है, तो ये sandwich theorem यह कहता है कि अगर एक function है जो कि दो function के बीच में है, आपने इस function का limit निकाला, मान लो किसी point पर limit x tending to a पर, आपने इस function का limit निकाला, और मान लेते हैं कि वो l आ गया, ठीक है, फिर आपने इसका भी limit निकाल कर देखा, कि भाई same point पे मैं इसका भी limit निकालता हूँ, और वो भी L आ गया, यह भी L आ गया, यह भी L आ गया, मतलब आपने इस function का limit निकाला, वो L आ गया, इसका limit निकाला, वो भी L आ गया, तो sandwich theorem यह कहता है कि फिर बीच वाले का भ ल ही आएगा ठीक है जैसे मान लो आपने इस function का limit निकाला और limit आपका निकल के आता है 2 इसका limit निकाला इसका भी निकल के आता है 2 तो बीच वाले function का भी by using sandwich theorem we can say that इसका भी limit 2 ही आएगा और वो आपको graphically दिख भी रहा है रहे जैसे मान लो कि एक function है gx जो कि इन दोनों के और ये function बीच में ही रहेगा हमेशा, तो इस function को बीच में ही रहना है, दोनों के, तो इस point से pass करना ही पड़ेगा न, GX को इस point से pass करना ही पड़ेगा, नहीं तो कहा जाएगा, मान लो ये ऐसे जा रहा था, अराम से, अब इस point से pass करना ही पड़ेगा, क्योंकि इन दोनों के इसकी limit भी L है, तो बीच वाली की भी क्या हो जाएगी, L हो जाएगी, समझ गए, तो यही है sandwich theorem, अब देखो इसका application जो है ना, वो बहुत difficult है, मतलब जितना आसान है theorem, उतना ही difficult है इसका application को समझना, तो sandwich theorem में total 3 या 4 type के ही सवाल आते हैं, मैं आपको एक एक करके discuss करते हैं, ठीक है, देखो sandwich theorem में total 4 type के सवाल आते हैं, कितने, 4 type के सवाल आते हैं, पहला है ये, fractional part वाले सवाल, fractional part वाले सवाल अगर आपको कहीं पे भी पूरे limits में कहीं पे भी fractional part का सवाल दिख जाये ना, क्योंकि समझ लेना कि वो किस से होगा? सैंडविस थिरम से ही होगा तो पहला टाइप है फ्रेक्शनल पार्ट वाले सवाल एक तो ये आते हैं दूसरा ग्रेटेस इंटीजर वाले सवाल ठीक है तीसरा ये वाले सवाल जिसमें बेसिकली it will be a mix of algebra and trigonometry इसमें देखो trigonometry भी है और algebra भी है ठीक है तो it will be a mix of algebra plus trigonometry तो एक ये वाला आते है और एक आते है fraction वाले सवाल fraction मतलब ये वाले जैसे ये fraction है, तो ये कुछ-कुछ-कुछ fractions है, जिनकी इन्होंने series बना दिये, तो ये basically कुछ fractions वाले, like something upon something, something upon something type के सवाल, तो ये, ये, ये और ये, ये चार type के ही सवाल sandwich theorem में बनते हैं, ये चार ही बनते हैं, ठीक है, तो sandwich theorem, ये, मैं basically आपको ये चार थोड़ा अच्छे से मान लो कि कोई fractional part वाला सवाल आ गया, तो अगर कोई भी fractional part वाला, sandwich theorem में क्या, आपको दो function सोचने पड़ेंगे, मतलब यहाँ पे जो function है, वो ये वाला है न, तो आपको एक function सोचना पड़ेगा जो इससे बड़ा होगा, और दूसरा function आपको सोचना पड़ेगा जो इससे ठीक है, तो basically यहाँ पे सोचने वाला पार्ट थोड़ा जादा है, आपको दो function सोचने पड़ेंगे, एक function जो इससे बड़ा है, और एक function जो इससे छोटा है, अब यह सोचने वाला पार्ट जब भी आ जाता है, तो मतलब दिमाग में, दिमाग चलना ही बंद कर देता है, कि य तो इसलिए देखो मैं आपको standard तरीका बता देता हूँ, जिसमें आपको दिमाग ज़्यादा लगाना नहीं पड़ेगा, fractional part की जो property होती है ना उसको use किया करो, जब भी fractional part वाले सवाल आएंगे, fractional part की property क्या होती है, कि ये हमेशा 0 और 1 के बीच में रहता है, right, तो ये वा greatest integer वाले सवालों में use this property और fractional part वाले सवालों में use this property ठीक है तो कैसे करेंगे इसको use कैसे करेंगे देखो यहाँ पर करते है basically आपको दो function सोचने है right तो आपको ये property पता है कि जो fractional part होता है वो हमेशा 0 और 1 के बीच में होता है right fractional part हमेशा 0 और 1 के बीच में होता है अब यहाँ पर जो आपका x है वो tending to infinity है right x is tending to infinity मतलब x जो भी है वो at least आपको ये तो पता है कि positive number है, right?
x positive number है, x is tending to infinity, not minus infinity. Obviously it is positive. और अगर x positive है, तो क्या मैं इन तीनों को x से divide कर सकता हूँ? Inequality को कोई दिक्कत नहीं आएगी. आप x से divide कर सकते हो क्योंकि positive number है, positive number से divide कर सकते हैं.
ठीक है? तो ये देखो, ये आगया न, एक function छोटा आगया, एक function बड़ा आगया, बीच में अपना वाला function आगया. तो बस अब ये वाला जो function है ये तो 0 ही है, ज़िरो upon anything तो ये तो 0 ही है, और यहाँ पे आपके पास है 1 by x, तो अब इन दोनों का limit निकालो, इसका limit निकालो limit extending to infinity of this function, अब ये तो 0 ही है तो 0 ही आएगा, और इसका limit निकालो limit extending to infinity of this function, तो ये भी 1 upon infinity ये भी 0 ही आएगा, तो hence by using Sandwich theorem, we can say that इसका limit 0 है, इसका limit भी 0 है, तो बीच वाले का भी limit 0 ही आएगा, क्यों आएगा, by using Sandwich theorem, ठीक है, तो आप वहाँ पे बोल सकते हो, कि by using Sandwich theorem, इसका भी 0 ही आएगा, चमक गया, तो बस आपको जब भी एक छोटा एक बड़ा सोचना होता है, use this property for fractional part, and use this property for greatest integer, ये greatest integer वाले का भी answer बता दो, तो यहाँ पे भी दो function आ जाएगा न, यह वाला function हो जाएगा 1 minus 1 by x, और यहाँ पे, यहाँ पे आ जाएगा 1, ठीक है, तो इसकी limit निकालो, इसकी limit निकालो, x tending to infinity पे, तो अगर x infinity को tend करेगा, तो यह हो गया 1 upon infinity, यह तो 0 हो गया न, तो इसकी limit 1 आ रही है, यह तो constant function है, तो चमक गया, fractional part वाले सवाल कैसे करता है? greatest integer वाले सवाल कैसे करता है? By using the two properties.
आपको दो functions सोचने पड़ेंगे, एक छोटा, एक बड़ा. और आगे बढ़ते हैं. अगर ऐसे सवाल आ जाए तो, जिसमें mix है basically, algebra भी है और थोड़ा सा trigonometry भी है, तो जब भी ऐसा trigonometry type का आ जाए न, तो एक बार sin x का value, again आपको दो function सोचने पड़ेंगे, तभी इसमें आप कर पाओगे, otherwise आप कर ही नहीं पाओगे, आपको दो function सोचने पड़ेंगे, तो एक इसमें strategy ये होती है आपको एक छोटा function चाहिए ये छोटा function आ गया ये बड़ा function आ गया एक बर sin x को 1 ले लिया एक बर sin x को minus 1 ले लिया अब इन दोनों का निकाल लो limit extending to infinity limit extending to infinity of this and limit extending to infinity of this दोनों का limit extending to infinity निकाल लो कितना आएगा ये minus 1 by 2 आएगा ये भी minus 1 by 2 आएगा x tending to infinity में तो यह shortcut भी होता है, यह आपको पता है कि नहीं, उपर x का coefficient, नीचे भी x का coefficient, तो सीधा सीधा minus 1 by 2, इधर भी x का coefficient, x का coefficient, जब भी x tending to infinity होता है न, और linear by linear है, तो आपको basically x के coefficient है, उनको सीधा आप divide कर सकते हो, यह भी एक shortcut है, shortcut जिनको नहीं पता है, ऐसा होता है, polynomial by polynomial है और limit x tending to infinity है जैसे मान लो quadratic by quadratic है अगर उपर नीचे वाले की degree same होनी चीज़े उपर वाले की degree 2 है मान लो उपर quadratic है नीचे भी quadratic है उपर है 3x square minus 5x plus 7 और नीचे है minus 5x square plus 6x minus 2 something like this और question में बोला है कि limit x tending to infinity तो जब भी ऊपर वाले की degree और नीचे वाले की degree same है, दोनों quadratic है, दोनों degree 2 है, तो सीधा सीधा shortcut होता है, कि आप जो भी x का highest power, मतलब x की highest power 2 है ना यहाँ पर, degree, degree 2 है, right, तो उनके जो coefficient है उनको divide कर लो, तो इसका सीधा answer यह आएगा, जैसे यहाँ पर भी linear by linear है, तो x का coefficient, x का coefficient, divide कर लो, quadratic by quadratic है, तो x square के coefficient देख लो, cubic by cubic है, तो x cube का coefficient divided by x cube का coefficient, समझ गया न, जो भी highest x की power होती है, उनके coefficients को divide कर लो, directly you will get the answer, यह shortcut है, अगर नहीं पता है, तो पता होना चाहिए, और अगर पता है, तो बहुत बड़ी वाली smile आपके face पर आनी चाहिए, ठीक है, आगे बढ़ते हैं, अब यह fraction वाले सवाल कैसे करते हैं, इस end-wish theorem में, fraction वाले सवालों में भी आपको दो function सोचने पड़ेंगे, काम तो वही करना है आपको गुमा फिरा के, दो function सोचना है, अब वो कैसे सोचेंगे, उसका मैं आपको तरीका बताने जा रहा हूँ, तो अगर मानलो जैसे ये वाली series लिखी हुई है, तो आपको एक series सोचनी पड़ीगी, जो इससे बड़ी है, और एक सोचनी पड़ीगी, ज इधर सारे अलग-अलग है ना denominator 1 plus n square, 2 plus n square 3 plus n square, n plus n square तो इसलिए हम LCM नहीं ले पा रहे हम इनको जोड नहीं पा रहे हम इनको add नहीं कर पा रहे तो इसलिए कुछ ऐसा करो कि denominator same बन जाए denominator same हो जाएगा तो हम numerator को add कर ले ना काम आसान हो जाएगा basically तो इसलिए आप क्या क्या करो आप denominator को minimum ले लिया करो यहाँ पे सबसे छोटा denominator यह है फिर तो बढ़ता ही जा रहा है न, 1 plus n square सबसे छोटा है, फिर बढ़ गया देखो 2 plus n square, फिर 3 plus n square, बढ़ता ही जा रहा है n plus n square, तो सबसे छोटा denominator यह है, तो आप क्या करो, एक बार सबसे छोटा denominator लगा दो, सब के नीचे, न, 1 के नीचे भी सबसे छोटा, 2 के नीचे भी 1 plus n अब denominator ये है, denominator को छोटा कर दिया तो fraction बढ़ जाएगा, तो ये fraction का value इस fraction से जादा है, इसलिए greater than equal to है, चमक गया ना greater than equal to क्यों है, और similarly एक बार आप चिपका दो सबसे बड़ा denominator, n plus n square चिपका दो सबके नीचे, इधर भी n plus n square, और last में n upon n plus n square, तो ये basically कितना आ जाएगा, यह उपर वालो को add कर सकते हो ना अब तो आप तो उपर आ जाएगा n into n plus 1 by 2 और नीचे है n plus n square ठीक है बीच में अपना यह required वाला जो भी function है वो और इदर भी ऐसा ही आ जाएगा, n into n plus 1 by 2, नीचे है n square plus 1, तो बस इसका limit निकालो, इसका limit निकालो, limit n, ये n है, ठीक है, n tending to infinity पर, limit n tending to infinity पर निकालो, तो देखो n, n cancel हो जाएगा, यहाँ पे भी आप direct shortcut से ही देख लो, n square का coefficient कितना, 1 by 2, और नीचे n square का coefficient, 1 है, ठीक है, इधर भी n square का coefficient 1 by 2 और नीचे 1, तो इसकी limit और इसकी limit same आ रही है, अगर इन दोनों की limit आ रही है 1 by 2, तो बीच वाली की भी limit है 1 by 2 by using sandwitch theorem, तो इसी लिए answer क्या है, इसी लिए answer है 1 by 2, ठीक है, और अगर इसी चीज को थोड़ा सा feel करना है न, तो आप ऐसे feel कर सकते हो, कि अ� एन का वैल्यू बहुत बड़ा है, इन्फिनिटी है, एन का वैल्यू इन्फिनिटी है, ठीक है, मतलब इसमें बहुत सारे वन, देखो वन से लेके एन तक जा रहा है न, तो बहुत सारे टर्म्स आएंगे, लेकिन जब आप सबको जोड़ों गए, तो वैल्यू आएगा वन ब और जोड़ने के बाद ये फिर भी बता पा रहे हो कि value approximately कितना आएगा, 0.5 आएगा, मतलब 1 by 2 आएगा, समझ रहे हो, feel करो इस answer को, answer 1 by 2 है, तो क्यों है, क्योंकि आप इन सब को add करोगे, जहाँ पे n एक बहुत बड़ा number है, n is infinity, है न, तो आप इन सब को add करोगे 1 by 2 आएग क्योंकि n infinity है न, ये देखो 1 upon infinity, 2 upon infinity, 3 upon infinity, इन सब को add करोगे, अब दिरे दिरे वो बोलते है न, बूंद बूंद से समंदर भरता है, बूंद बूंद करके 1 by 2 बनाया इनोंने, ठीक है, बूंद बूंद से, मतलब 1 upon infinity 0 ही होता है, बट exact 0 नहीं होता है, थोड़ा सा तो होता है बहुत बड़ा number होता है 0.5 इसके comparison में तो बहुत बड़ा ही होता है ठीक है yes or no क्योंकि 1 upon infinity तो 0 होता है approximately exact नहीं होता है ठीक है चलो आगे बढ़ते हैं अगला जो topic है that is your favorite topic expansions आपका favorite इसलिए क्योंकि आपको याद करना पड़ता है ठीक है तो expansions जो है वो याद करने पड़ेंगे वो सारे important है वो आपको याद करना है खाली वही वाले याद करना है जिसको मैंने tick किया है तो मैंने सारे tick तो सारे के सारे आपको याद करना है अब आप कैसे भी याद करो बट ये सारे important है तो expansions याद करने ही पड़ेंगे कैसे भी करो बट याद करो e की पार x का जो expansion है उसमें सारे positive होते है नीचे factorial होता है एकदम लगातार चलता है x square by 2 फैक्टोरियल x क्योंकि भाई 3 फैक्टोरियल इसमें खाली alternate प्लस माइनस आता है नीचे फैक्टोरियल नहीं होता है ln 1 प्लस x का जो expansion है उसमें देखो नीचे फैक्टोरियल नहीं होता है और alternate प्लस माइनस होता है और x से start होता है ये जबकि 1 से start होता है ठीक है फिर sin x का जो expansion है उसमें खाली odd वाली power आएगी x की power 1 है फिर x की power 3 है 5 है 7 है alternate प्लस माइनस है और factorial है ठीक है factorial basically सब में ही है बस इसमें नहीं है और इसमें नहीं है 10x में नहीं है ln1 plus x में भी नहीं है ठीक है बाकी सब में है cos x में x की even power आएगी x की power 0 है यह फिर x की power 2 x की power 4 x की power 6 alternate plus minus ठीक है तो यह सारे याद करने पड़ेंगे similarly इन सब में देखो factorial है नीचे इसमें factorial नहीं होता है 10x में भी नहीं होता है और ln1 जो नीचे नीचे वाले है उनमें नहीं होता है तो ये सब याद करो, ultimately expansions याद करने पड़ेंगे, yes, चलो और एक बार याद हो गया तो बहुत सारे सवाल भी तो बन जाएंगे, तो आप इसको ऐसे देखा करो कि भाई number भी तो मिल रहे हैं, तो एक बार का effort है, जिन्दगी बर आपको याद हो जाएंगे, ठीक है, और काम भ तो limit ये कैसे करेंगे, sin inverse x, minus 10 inverse x, और ये जो expansions है ना, वैसे तो इसकी बहुत, लंबी चौड़ी हिस्ट्री भी है मतलब अभी अपने पास टाइम नहीं है इसलिए मैं आपको सीधा बोल रहा हूँ कि बही आप एक्सपाइंशन्स याद कर लो अदरवाइस इनके डेरिवेशन्स भी होते है टेलर सीरीज एक्सपाइंशन होता है उन्होंने कुछ और दिया उसको थोड़ा और स्पेसिफिक किया तो टेलर सीरीज जो है वो जनरल सीरीज है उसको स्पेसिफिक किया मैकलोरिन ने और मैकलोरिन सीरीज से वो derivation आपके काम के नहीं है, आप जैसे IIT में जाओगे न, तो IIT के first year में ये सब पढ़ाये जाता है वैसे फिर से, तो Taylor series expansion आप डंग से पढ़ोगे IIT के first year में, अभी के लिए तो आपको expansion यादी करने है, क्योंकि उसके उपर सवाल भी JEE में आते है, तो ये मैं अपने मन से ठीक है, लेकिन अभी के लिए तो करना है, तो कैसे करेंगे, sin inverse x का expansion लगा तो बस आप तो, sin inverse x का expansion क्या होता है, यह होता है, x plus x cube by 3 factorial, अच्छा इसमें nv tip यह है, मेरी तरफ से एक tip मैं आपको दे सकता हूँ, वो यह है कि जैसे नीचे देखो x cube है, नीचे x cube है ना, तो आप तो nv tip यह, यह इससे आपका थोड़ा time बचेगा, क्योंकि बहुत सारे बच्चे में ने देखे कि पूरा पूरा expansion लिख देते हैं, मतलब sin inverse x का expansion लिखेंगे तो पूरा ही लिख देंगे यहां तक, तो आप हर बार पूरा expansion क्यों लिख रहे हो, जहां तक का लिखना होता है व x cube आ गया ना उसके बाद तो x की पार 5 है अब x की पार 5 में क्यों लिखू x cube तक ही आपको लिखना है उसके बाद आप dot dot dot लगा दो बस ठीक है उसके आगे आपको जाने की जरूरत नहीं है तो x cube divided by 3 factorial बस यही तक आप dot dot dot भी मत लगाया करो minus और यहाँ पे 10 inverse x तो 10 inverse x का भी x cube तक ही आपको जाना है क्योंकि denominator भी तो वहीं तक जा रहे है, तो हम extra extra क्यों जाए, ultimately वो सब zero ही हो जाता है, अगर आगे वाले terms लिख भी लोगे न, तो भी आपका answer same ही आएगा, but पहले लिखोगे, फिर उसमें x का value zero put करोगे, ultimately आएगा zero ही, तो लिखो ही मत, time waste क्यों कर र और वैसे वो भी लगाने की जरूरत नहीं है, इतना ही है बस, divided by नीचे कितना है, 3x3, ठीक है, तो x और x cancel हो जाएगा, कितना आ जाएगा उपर, x3 भी cancel हो जाएगा, वैसे तो आप common ले लेना, ठीक है, तो ultimately 1 by 6 है यह, यह 1 by, यह plus हो जाएगा, 1 by 3, और नीचे है 3, so this is your answer, आपने यहाँ पे 1 by 6 mark कर दिया और आपका minus 1 हो गया, भाई यह answer नहीं है, यह answer क्यों नहीं है, क्योंकि आपने limit निकाला ना, आपको limit नहीं पूछा है, यह बोल रहा है कि जो limit है वो L है, तो आप 6 L plus 1 निकालो, तो आपको यह tick mark नहीं करना था, यह बहुत लोगों ने कर दि मैंने पूछा था बच्चों से और सब ने 1 by 6 मार्क कर दिया था, 1 by 6 नहीं है, क्यों? क्योंकि निकालना तो यह है न, 6 into 1 by 6 plus 1, तो answer तो 2 होगा, ठीक है, तो final आपको यह निकालना था, तो जो निकालना होता है, वो निकालना होता है, जो नहीं निकालना होता है, उसको गलती तो ये सब ध्यान रखो, specially जब आप paper में होंगे न, तो ये सब गलती से mistake हो जाती है, तो ध्यान रखो थोड़ा सा, ठीक है, आगे बढ़ते हैं, अगला सवाल, ये वाला, ये कैसे करेंगे, तो यहाँ पे आपको beta given है, और alpha plus beta निकालना है, ये भी वही standard सवाल expansion का, लेकिन इ तो वहाँ पे आप standard form लगा सकते हो, यहाँ पे नीचे multiplication में है, उपर तो minus में है, तो उपर आप डब्बे से multiply, divide नहीं कर सकते है, but multiplication में allowed है, मतलब यहाँ पे आप क्या करोगे?
इदर आप 3x से multiply कर दो, 3x से divide कर दो, तो ये पूरा e की पार डबबा, minus 1 by डबबा दिख गया न, ये वाला बन गया न, e की पार डबबा, minus 1 by डबबा, तो इसको 1 कर देना और क्या, ठीक है, तो ये पूरा 1 हो जाएगा, ये पूरा 1 हो जाएगा, ठीक है, तो actually आपका जो सव और नीचे आपके पास आ जाएगा x और x, तो x square और 3 alpha, ठीक है, 3 alpha, यह बीच वाला तो 1 हो गया, तो यह actually आपका सवाल है, अब नीचे देखो x square है, तो जब आप e की पार 3x का expansion लिखोगे, तो वो x square तक ही लिखोगे, उसके आगे आपको जाने की जरूरती नहीं है, फालत� this upon 1 factorial, फिर आगे आएगा 3x का square upon 2 factorial, बस यही तक, x square तक ही आपको लिखना होता है, उसके आगे नहीं लिखना होता है, यह आगे और नीचे आपके पास आगे 3 alpha x square, यह minus 1 और plus 1 तो cancel हो जाएगा, अब बताओ बचा क्या, तो x वालो को club कर लो, आप देखो यह वाला term है, x वा x, चमक गया, और minus, ये कितना आएगा, ये आएगा 9 by 2, minus 9 by 2, x square, और नीचे आपके पास है 3 alpha x square, और limit x is tending to 0, ठीक है, अब इसको 0 होना पड़ेगा, तब ही limit exist करेगी, ये alpha minus 3 को 0 होना पड़ेगा, मतलब alpha को 3 होना पड़ेगा, अलफा का value 3 आ गया, इसको 0 क्यों होना पड� इसको zero होना ही पड़ेगा तब ही limit exist करेगी अगर मान लो कि alpha का value 3 नहीं है थोड़ी देर के लिए मान लेते हैं कि alpha का value 3 नहीं है कुछ और है कुछ और है मतलब मान लो 2 है या 4 है something like that कुछ और लेलो 3 के अलावा कुछ भी और लेलो 3 के अलावा जैसे मान लो for example 3 alpha x square, और यहाँ पे तो x square x square cancel हो जाएगा, तो 9 by 2 upon 3 alpha, तो यह वाला तो चलो ठीक है, finite है, लेकिन यहाँ पे एक नीचे x बचेगा, और अगर नीचे x बचेगा, है ना, x का value 0 है, नीचे x बच गया, और x का value 0 है, आप x का value 0 put करोगे, infinity आ जाएगा, 1 upon 0 आ गया ना, 1 upon 0 क्या infinity का मतलब ही होता है limit does not exist तो आपकी limit तो finite आई नहीं रही है बट आपको question में बोल रहा है कि beta is equal to this limit तो finite limit आनी चाहिए तो इसका मतलब इसको zero होना ही पड़े ठीक है? हमेशा मतलब quadratic by quadratic आना चाहिए तब ही तो limit exist करेगी तो linear वाले part को zero कर दो ये पूरा zero हो जाएगा alpha का value आपको 3 लेना पड़ेगा alpha का value अगर आपने 3 ले लिया जैसे ही आपने alpha का value 3 ले लिया तो x square x square cancel हो जाएगा, ठीक है, यह cancel हो जाएगा, और minus 9 by 2 into 3 alpha, और यह कितना given है, यह beta के बराबर है, ना, this limit is equal to beta, तो alpha का value 3 डाल दो इसमें, alpha का value 3 डालोगे, तो 3 into 3 9, और यह भी 9, तो minus 1 by 2 आ गया beta, तो beta यह आ गया, और alpha 3 है, तो बस आप बता दो answer क्या होगा, alpha 3 है, और beta final answer, ठीक है, कर लोगे, आराम से, इस तरीके के सवाल में, बस आप ये देख लो, कि limit exist करनी चाहिए, ठीक है, और आगे बढ़ते हैं, ये वाला सवाल, ये भी expansion वाला सवाल है, ये कैसे करेंगे, तो इसमें expansion लगा दो, इसको पहले खतम करो, इसको divide करो 2x का whole square, और multiply करो 2x का whole चीके, 1 minus cos डब्बा, divided by डब्बे का square, तो 1 by 2 होता है, तो ये 1 by 2, into, ये है 4x square, 1 by 2 into 4x square, तो ये हो जाएगा 2x square, correct, नीचे हो जाएगा 2x square, और उपर आपको इसका expansion लिखना पड़ेगा, तो 1 plus ax, plus a square x square, divided by 2 factorial, चीके, इसके आगे आपको जाने की जरूरत नहीं है, तो हम भी वहीं तक जाएंगे, minus इसका expansion cos bx का, तो यह होता है 1 minus x, right, 1 minus ये, इसका square, और divided by 2 factorial, ठीक है, तो ये cos का expansion, cos का expansion होता है 1 minus x square divided by 2 factorial, तो यहाँ पर x square नहीं, डब्बा का square basically, minus cx by 2, ठीक है, cx by 2, और e की power, इसका expansion क्या आ जाएगा, इसका आ जाएगा 1 minus cx divided by 1 factorial, ठीक है, बस यही तक आपको जाना है, क्योंकि x square बन गया न, अगर x square बन गया, तो इसके और ये 1 factorial भी लिखने की जरद नहीं है, तो 1 minus CX आएगा खाली-खाली, ठीक है, खाली इतना ही आएगा, तो ये आगया देखो, overall, ठीक है, overall, we are getting this, हमने सारे expansion, इसमें याद होने चीए, substitute कर दिये, अब substitute कर दिये, तो 1 और 1 तो cancel हो जाएगा, x का coefficient, यहाँ से देखो, A है, यहाँ से, यहाँ पर है, तो A minus C by 2 into x, तो जो x वाले है उनको मैंने club कर लिया, अब आप x square वालो को club कर लो, x square एक यहां से मिलेगा आपको, तो a square divided by 2, एक आपको यहां से मिल जाएगा, minus minus plus हो जाएगा, b square divided by 2, ठीक है, और एक यहां से मिल जाएगा, यह है c square divided by 2, into x square, ठीक है, यह सारे x square वाले है, और नीचे आ� तभी तो x2 x2 cancel होगा तभी तो limit exist करेगी, तो limit exist कब करेगी, अपने को ये बोल रखा है कि ये जो limit है ये 17 के बराबर है, मरलब limit जो भी है वो finite value है, limit exist करती है, limit exist कब करेगी, जब इसको 0 होना पड़ेगा, इसको 0 होना पड़ेगा मरलब a equal to c by 2 आ गया, मरलब 2a equal to c आ गया, तो x upon x square आ जाएगा, x upon x square होता है 1 upon x, 1 upon 0, 1 upon 0 infinity, infinity आएगा तो फिर 17 कैसे आएगा, नहीं आ पाएगा, right, 17 तब ही आएगा जब इसको 0 होना पड़ेगा, और अगर ये 0 हो गया, तो ये cancel हो जाएगा अभी, तो कितना आ गया, ये a square plus b square plus c square, और ये 2 into 2, 4 हो गया, this is equal to 17, मतल� 68 आ गया, ठीक है, और C का value 2A है, तो अगर C का value 2A है, तो C square will become 4A square, तो C square का value put कर दो, 4A square, तो ये 4A square और A square, तो 5A square plus B square equal to 68, तो यही पूछा है, 5A square plus B square is equal to 68 is the answer, बताओ, limit के सवाल बहुत आसान होते है, चारचा number मतलब यूँ, फटा फटा आपको एकदम मतलब बाट देते हैं कि चलो हर पेपर में लिमिट का तो डालना ही है तो एक एक डाल दो बिना दिमाग लगाए वो भी ऐसे ही बनाते पेपर ठीक है एक तो डालना ही पड़ेगा न लिमिट का सवाल तो और वो आसानी बनते हैं इसमें डिफिकल्ट बनाने का स्कोपी नहीं है बना बना कि क्या ही बना लोगे ठीक है जीरो बाई जीरो इंफिनिटी बाई इंफिनिटी इतना ही है ठीक है और आगे बढ़ते हैं अब अब ब लेको अगर कोई भी सवाल आ जाना, दुनिया का, इसका method एकदम fix है, क्या method है, method यह है कि 0 की power 0 या infinity की power 0, इसका कोई भी सवाल आ जाए, आपको बस क्या करना है, दोनों तरफ log ले लो, बस इतना याद रखो, method इतना ही है, खतम, method take log both sides, बस, इतना ही आपको पढ़ना है, concept ख 0 की पार 0 या infinity की पार 0 का कोई भी सवाल आ जाए, कोई भी मतलब कोई भी, तो आपको यही करना पड़ेगा, कि बई इसको यह जैसे यह 0 की पार 0 है, एक्स स्टेंडिंग टू 0, एक्स की पार एक्स, तो यह 0 यह भी 0, तो कौन सा form है, 0 की पार 0 form है, तो आप क्या करोगे, इस और जो log होता है वो limit के अंदर चला जाता है ठीक है तो इसका log लेना है आपको इसका log ले लेंगे तो कितना जाएगा ln of x की पार x ln of x की पार x तो पार को आगे लिख दो ये तो ये बन गया अब जैसे आपने log ले लिया ना ध्यान से देखो अब ये कौन सा form बन गया अब x का value 0 है और ये log 0 है ln 0 अब log 0 तो defined होता नहीं है तो log 0 plus आपको consider करना पड़ेगा क्योंकि log 0 तो defined ही नहीं होता है, और वैसे भी tending to 0 है, तो आप exact 0 तो डालोगे नहीं, 0 से बड़ा डालोगे या छोटा डालोगे, छोटा डालोगे तो तो defined बड़ा ही डालना पड़ेगा, और कोई उपाई भी नहीं है, ठीक है, तो log 0+, तो log 0+, कितना होता है, आप log का ग्राफ देखोगे, यह होता है ग्राफ LNX का, LNX का ग्राफ ऐसा होता है, 0+, पे इसका value कितना है, ध्यान से देखो, 0+, पे नीचे जाएगा, minus infinity है इसका value, ठीक है, और ये 0 into infinity form है, तो जो 0 की पार 0 था, अब वो 0 into infinity form बन गया, और 0 into infinity को कैसे solve करते हैं अब, 0 into infinity को solve करना है, तो आपको पता है कि method क्या होता है, method ये होता है कि 0 by 0 में convert करो, by 0 into infinity और infinity minus infinity, इसमें method ये होता है कि आप 0 by 0 या infinity by infinity में convert करो, मतलब ultimately ये भी वही जा रहा है, 0 की पार 0 का सवाल आएगा, तो पहले वो 0 into infinity में जाएगा, फिर वो 0 by 0 में जाएगा, जाएगा 0 by 0 में ही, ultimately 0 by 0 वाले सवाल ही तो आएगा एक्जाम में, ठीक है, तो अब इस पर आपको क्या करना पड़ेगा, ये जो x है न, उसको ऐसे लिखना पड़ेगा, 1 upon x, लिख सकते log 0 infinity और ये भी infinity, log 0 minus infinity basically, but minus infinity by infinity को भी हम infinity by infinity form में ही consider करते हैं, चाहे minus भी आ जा, तो आप चाहो तो लिख सकते हो minus infinity by infinity एकी बात है, तो यहाँ भी आप law pitter लगा सकते हो, तो law pitter लगा, तो ln y equal to limit x tending to 0 और ln x का difference is in 1 by x, इसका differentiation minus 1 by x square, तो ये आ गया देखो, तो ultimately ये बन जाएगा limit x tending to 0, और minus x आ गया बस, तो x का value 0 put करो, जैसे आप 0 put करो कि 0 आ गया ये तो, मतलब ln y का value 0 आया है, अगर ln y का value 0 है, तो y का value आ जाएगा e की power 0, correct, e की power 0, मतलब 1, तो final answer आपका क्या है, final answer 1 है, y का value 1 है, तो यह जो limit है वो y माना था ना हमने starting में, तो y का value 1 आएगा, इसलिए मतलब आपने बहुत जगह यह देखा भी होगा, मतलब specially facebook वगरा पे यह बहुत popular है कि 0 की पार 0, 1 होता है, ऐसे means आपने देखे होगा ना, कि 0 की पार 0 कर दिया 1 आगया, उसका basically 0 की पार 0, 1 नहीं होता है जीरो की पार जीरो ही तो है ये, जीरो की पार जीरो वन होता है actually, लेकिन limiting value, ना की exact value, चमक गया, और आगे बढ़ते हैं, चलो एक और सवाल ट्राइ करेंगे ये वाला, ये भी देखो x का value जीरो put करोगे, तो ये जीरो और tan 0 भी जीरो, तो जीरो की पार जीरो form है, तो कैसे क और 10x into ln x आ जाएगा, right, यह आएगा, अब यह 10x को नीचे बेज देना, 10x को नीचे बेज दो गए, तो ऐसा आ गया, upon मैं cot x, अब आप देखो log 0 minus infinity, और cot 0 infinity, ना क्योंकि cot 0, cot 0 will be cos 0 by sin 0, और sin 0 0 होता है, तो denominator 0 आ रहा है न, yes or no, इसलिए infinity, तो यह form आ गया, और अगर यह form आ लॉपिटल लगा लो, लॉपिटल लगाएंगे तो 1 by x और इसका derivative क्या हो जाएगा, minus coseek square x, यह हो जाएगा, तो आप इसको ऐसे लिखो, limit, अब यह coseek को convert कर लो sign में, तो minus sign square x upon x, यह आगया, तो अब आपको क्या करना पड़ेगा, x से divide multiply करना पड़ेगा, तो यह हो जाए� बचेगा minus x, और x का value तो 0 है, x का value तो 0 है, मतलब फिर से 0 आ गया, अगर ये 0 आ गया तो y का value 1 आ गया, ठीक है, y का value e की बार 0, which is 1, तो again answer आपका 1 है, ठीक है, एक और करेंगे, तो ये बता दो फटा फट, इसमें फिर से इसको y मान लो, क्योंकि ये भी वही है, देखो 1 upon 0, ये infinity की बार 0 form है, न, 1 upon 0 infinity हो जाएगा, और power में 0 है यह infinity की पार 0 में भी वही method होता है infinity की पार 0 में भी take log both sides दोनों तरफ log ले लेना, तो यहाँ पर है limit x tending to 0, 1 by x की power है 1 minus cos x, ठीक है, दोनों तरफ log ले लो, तो ln y limit x tending to 0, यह आगे आ जाएगा, ठीक है, यह आगे आएगा न, log की property है, और ln 1 minus x, यह 1 by x, ठीक है, यह आ गया, अब इसको further कैसे करेंगे, इसको further करने के लिए यहाँ पे आप divide कर दो x square से और multiply कर दो x square से, ठीक है, तो यह तो हो गया 1 by 2, बाई 1 minus cos डब्बा divided by डब्बे का square, 1 by 2 होता है, यह 1 by 2 को तो आप बाहर निकल लो, क्योंकि वो तो constant है, ठीक है, तो constant बाहर निकल जाएगा, और य x की power minus 1, minus 1 आगे, तो ये basically बन गया minus ln x, और इसको नीचे बेजना पड़ेगा, 1 upon x square लिखना पड़ेगा, तो अब ये फिर से बन गया, log 0 infinity होता है, infinity और 1 upon 0 वो भी infinity, infinity by infinity दिख गया, आखों में चमक आगे, अब law pital लगा दो, क्योंकि जो law pital है, वो तभी applicable है, जब 0 by 0 होगा, या infinity by infinity होगा, then only, law pital is applicable otherwise applicable नहीं है right 0 by 0 और infinity by infinity में ही लगा सकते हैं law pital ठीक है तो इसका derivative आ जाएगा minus 1 by x और इसका derivative minus 2 by x cube तो minus minus cancel कर लो x x cancel हो जाएगा कितना आएगा यह आ जाएगा 1 by 2 और x square by 2 आ जाएगा but again x का value तो 0 ही है since x का value 0 ही है तो यह तो y का value 1 ही आएगा, l and y equal to 0, y equal to 1, तो चमका, finally, again कितना आएगा, again आपका answer आजाएगा, 1, ठीक है, और आगे बढ़ते हैं, अब finally आते हैं, 1 की पार infinity form पे, 1 की पार infinity form को कैसे solve करते हैं, इसका एक fix formula होता है, direct formula से आपका answer आजाएगा, देखो ध्यान से समझना, अगर कोई भी सवाल आ जाये ना, जो की इस format का है, fx की power gx लिखा होगा, और ये 1 को tend कर रहा होगा, ये infinity को tend कर रहा होगा, ठीक है, ये 1 को tend करेगा, ये infinity को tend करेगा, yes, तो आपका formula क्या होता है, सीधा formula है, आप ऐसे कर देना, e की power में, जो भी limit है, limit x tending to, जो भी आपको given ह और GX को नीचे उतार लो, तो ये direct formula मैं आपको बता रहा हूँ, हला कि इसका भी derivation होता है, इसका भी derivation वगेरा आप उसमें जा सकते हो, but I am directly giving you the formula, ये formula आप लगाओगे, आपके सवाल सारे solve हो जाएगे, उसमें आपको derivation का कोई जरूरत नहीं है, समझने के लिए हाँ आप तो ये fx-1 into gx करते हैं e की power में, अगर कोई भी सवाल आ जाए, 1 की power infinity form का, उसमें यही करते हैं, fx-1 into gx, e की power में, चमक गया, अब देखो इसके उपर सवाल क्या है, इसके उपर ये वाला question है, इसमें alpha आपको given है, ये, और beta given है ये, पहले beta निकालो आप, alpha निकलेगा इस limit को solve करके, बीटा निकलेगा इस वाली limit को solve करके और फिर बोल रहा है कि alpha, beta are the root of this quadratic तो पहले बीटा निकालो आप क्योंकि बीटा आप ध्यान से देखो वन की पार infinity form है एक नहीं, x tending to 0 और cos x की power में लिखा हुआ है cot x, तो ये कौन सा form है आप इसमें x का value 0 put करोगे, cos 0, 1 होता है और cot 0, infinity होता है cot 0 is cos 0 by sin 0 sin 00 मलब denominator 0 है, तो infinity तो आएगा, ठीक है, तो 1 की power infinity form है, अगर 1 की power infinity form है, तो इसको solve कैसे करेंगे, इसको solve ऐसे करेंगे, limit extending to 0, ठीक है, अच्छा पहले तो e की power में, ये सब आएगा, लेकिन e की power में, e की power में, limit, जो भी आपका cut paste करना है, ठीक है, यहाँ से cut करो, paste करो, तो ज या copy paste कर लो basically, और ये fx-1, fx-1, और ये नीचे उतर जाएगा, multiplied by cortex, तो ये आएगा, बस अब ये वाली limit आप solve कर लो, ये limit, ये वाली limit कैसे solve करेंगे, e की power में ही solve कर लो, तो limit x tending to 0, यहाँ से पहली बात तो minus 1 common ले लो, minus 1 common ले लेंगे तो 1 minus cos x, और यह वाला जो है इसको आप लिखो 1 upon 10x, चीके, इससे फाइदा क्या होगा, इससे फाइदा यह होगा कि इधर x square से divide और multiply, और इधर x से divide और multiply, चमक गया तो यह हो जाएगा 1 by 2, यह हो जाएगा 1, और इधर 1 x tending to 0, minus 1, यह आजाएगा 1 by 2, ठीक है, यह value है 1, और यह value है 1x बचेगा, और x का value 0 को tending कर रहा है, तो ultimately 0 ही आजाएगा, 0 into anything is 0, e की पार 0, मतलब 1 आगया, beta का value कितना आगया, 1, ठीक है, e की पार 0 दिख गया, e की पार 0 कितना होता है, 1 होता है, तो beta का value 1 आगया, अब आप alpha alpha is limit x tending to alpha जो है ना वो 0 by 0 form है यह 1 की पार infinity नहीं है तो इसमें कोई formula मत लगाना यह तो 0 by 0 है तो sense यह 0 by 0 है तो आप चाहो तो लॉपिटल लगा सकते हो इसमें क्या लगा सकते है लॉपिटल लगा लो लॉपिटल से बन जाएगा यह लॉपिटल differentiate करो उपर वाले का differentiation क्या आ जाएगा limit x tending to 1 by 4 है, इसका derivative हो जाएगा 3 tan square x, और tan x का derivative c square x, और इधर भी c square x, और cos का derivative minus sign, x plus pi by 4, तो बस अब pi by 4 put कर दो, यह पाई by 4, तो pi by 4 put कर दो यहाँ पे, तो pi by 4 plus pi by 4, pi by 2, तो यह तो sign pi by 2 हो जाएगा, जो की 1 है, तो sign pi by 2, 1 हो गया, 3, 10π by 4 भी 1 है, Cπ by 4 root 2 होता है, root 2 का square तो 2, ये भी root 2 का square तो 2, और नीचे वाला minus 1, तो ये आएगा देखो आपका answer, तो finally this is how much, 6 minus 2, 4, minus 4 आ रहा है, ठीक है, तो alpha का value minus 4 है, और beta का value 1 है, और they are the roots of this quadratic, तो बस अगर ये वाली जो quadratic है, ax square plus bx minus 4, इसके root है alpha और beta, beta का value 1 है और alpha का value minus 4 है, तो a और b का value आपको निकाल के बताना है, बहुत ही simple है, right, एक तो आप ले लो product of roots, तो product of roots c by a होता है, और यहां से minus 4 है, तो a का value 1 दिग्गया, product of roots को equate कर दो, और एक sum of roots को equate कर देना, तो minus b by a होता है sum of roots, और यहाँ पे जो sum of roots है वो minus 3 है, तो b equal to 3a आ जाएगा, और a का value 1 है, तो b का value 3 आ जाएगा, ठीक है, b का value 3 है, तो b का value 3 और a का value 1, 1,3 इस दान से, ठीक है, a का value कितना, 1, और b का value कितना, 3, तो simple, 1 की पार infinity भी आपको साँज में आ गया, और 0 by 0 या infinity by infinity है, तो लोपिटल ल अब आते है एक और topic बचा हुआ है अपना final topic जो है limit involving gif greatest integer function वाली जो limit आती है ना उसका मजा ही अलग होता है ठीक है मतलब मजा भी है और थोड़ा सा समझ में नहीं आता कुछ लोगों को नहीं समझ में आता है बट यह बहुत simple होता है अभी तक आपने जितना भी पढ़ा ना उसके बाद आपको जो greatest integer में limit वाले सवाल होते है वो actually जादा interesting लगेंगे तुकि ये simple है अभी तक आपने जो किया वो difficult हो सकता है बट ये difficult नहीं हो सकता है ठीक है तो कितने लोगों को डर लगता है पहली बात तो लिमिट के अंदर जब greatest integer आता है न तो काफी लोगों को डर लगता है लेकिन मेरे कहाल से अब नहीं लगेगा कोशिश करेंगे कि भाई आपको डर न लगे तो greatest integer में कुछ नहीं होता है जो भी value है वो put कर दो जैसे मान लोग कल को ऐसा कुछ आ गया, limit x tending to 3, और यहाँ पे कुछ ना कुछ लिख देते हो वो greatest integer में, इसे 3 minus greatest integer of x, upon x square minus 3x plus 2, कुछ भी लिख देंगे, मतलब something like this, ऐसा कुछ लिख दिया, ठीक है, तो अब यह कैसे करोगे, तो कुछ नहीं, एक बार, एक बार basically आपको LHL तो एक बार आप इसमें क्या put करो एक बार put करो 3 plus 3 से जादा मतलब 3.1 put कर दो एक बार x का value put कर देना 3 से थोड़ा जादा, 3 से जादा मतलब 3.00001 भी आप put कर सकते हो, और एक बार आप x का value put कर देना 3 से थोड़ा कम, 3 से थोड़ा कम जब आप put करोगे तो 2.9999 ये, इसमें basically जब भी greatest integer वाले सवाल आएंगे आपको दोनों अलग-अलग ही निकालना पड� तो एक बार आपको निकालना पड़ेगा limit extending to 3 plus और एक बार आपको निकालना पड़ेगा limit extending to 3 minus जब आप 3 plus वाला निकालोगे तो यहाँ पे 3 plus put करना है 3 से ज़ादा तो 3 से ज़ादा उसका greatest integer कितना होता है उसका greatest integer 3 होता है तो यह 0 आजाएगा इसका value क्योंकि 3 minus 3 आजाएगा और जब 3 minus की बात करेंगे इसमें 3 minus मतलब 2.99 put करो तो 2.99 का greatest integer 2 होता है तो 3-2, 1 आ जाएगा, और नीचे basically आपका same to same, समझ गए, मतलब greatest integer का value put करना होता है, एक बार मैं 2 put करूँगा, एक बार मैं 3 put करूँगा, एक बार इसका greatest integer 3 आएगा, और इसका greatest integer 2 आएगा, तो जब आप RHL निकालोगे, तो greatest integer जहां पे भी है, वहाँ पे 3 put कर दो, और जहां पे LHL निकालोगे, वहाँ पे आप 2 put कर देना, तो greatest integer का fixed value होता है, वो आपको substitute करना होता है, समझ गए, अब जैसे इसके उपर सवाल क्या है, तो इसके उपर जैसे ये वाला सवाल है, इसको ट्राइ करो, अच्छा पहले आपको ये भी पता है क्या, greatest integer की एक property भी होती है, कि greatest integer of x plus integer अगर है, तो integer को बाहर निकाल सकते हो, ये property कितने लोगों पता है, greatest integer में अगर कोई integer तो आप 3 को बाहर निकाल सकते हो क्योंकि वो integer है जो भी integers होते हैं उनको अगर negative भी होता तो यहाँ पर negative आ जाता मतलब अगर minus वाला भी है तो भी बाहर निकल जाएगा integers को आप बाहर निकाल सकते हो यह property है तो निकाल सकते हो बाहर integers को बाहर निकाल सकते हो कोई tension नहीं है ठीक है तो अब देखो यहाँ पर तो question क्या है तो पहले तो question में जहां पे भी integers क्योंकि आपको बोला है कि a is integer तो अगर a integer है तो नीचे देखो आपको 3a दिख रहा है तो 3a भी तो integer होगा अगर a integer है तो उसका 3 times integer का 3 times भी integer ही होगा तो वो बाहर निकल जाएगा तो पहले तो आपको ये साँच माया कि बई ये जो 3a है वो बाहर निकल जाएगा और उपर भी जो 1 है वो बाहर निकलेगा ना 1 भी तो integer है तो यहाँ पे bracket लगा लो पहले तो और 1 को बाहर निकालो, 1 बाहर निकाला तो bracket के अंदर बचेगा minus x, यह ध्यान रखना, क्योंकि x के आगे minus भी है, ठीक है, तो यह आपने इदर 1 को बाहर निकाला, इदर 3a को बाहर निकाला, यह minus 3a को बाहर निकाला, आप ऐसा बोल सकते हो और minus greatest integer of minus x, और नीचे अपने पास है greatest integer of x minus 3, ठीक है, तो यह actually आपका सवाल है, जो सवाल था, उसको पहले तो मैंने simplify किया, और अब हम निकालेंगे LHL और RHL, तो एक आप निकालो LHL, और एक आप निकालो RHL, सीधा मैं value ही लिख देता हूँ, तो जब हम LHL निकालेंगे, तो greatest integer का value put करेंगे 7 से थोड़ा कम, 7 से थोड़ा कम मतलब 6.99, तो आप 6.99 put करो, तो यह बन जाएगा 17 minus minus और x का value आपको put करना है 6.99, चमक गया, इदर भी x का value put करना है, जहां जहां पर x है, वहां वहां पर 6.99, तो यह आपका आएगा LHL, अब RHL निकालना है, right hand limit निकालना है, तो आप x का value put करो 7 से तोड़ा जादा, वलब 7.01 ले लो minus 7.01 और नीचे आजाएगा 7.01 minus 3 और ultimately दोनों बराबर होना चाहिए क्योंकि आपको बोल रहा है कि limit exist since limit exist कर रही है तो LHL और RHL को बराबर होना पड़ेगा ठीक है तो ultimately ये कितना आगे 17 इसका value आजाएगा minus 7 तो plus 7 हो जाएगा minus minus plus इसका value आएगा 6 इसका greatest integer कितना होता है 6 होता है इसका greatest integer minus 7 होता है minus 7 और minus तो plus 7 हो जाएगा तो ये and then this is 3 है ठीक है इदर कितना हैगा इदर 17 minus और ये है minus 8 तो plus 8 हो जाएगा और इसका greatest integer 7 है, minus 3 है, तो ultimately यह आ रहा है देखो आपके पास, इस चीज को अगर मैं इधर लिखो, तो यह कितना है, यह basically आ गया 24 divided by 6 minus 3 है, and this is 25 divided by 7 minus 3 है, अब आप चाहो तो cross multiply करके आप निकाल सकते हो, एक वैल्यू, यह सीधा सीधा option checking कर लो न, option checking से minus 6 आ जाएगा मेरे खा अगर इसमें आप A का value put करोगे minus 6, ये दोनों बराबर आएगा, minus 6 put करके देखो न, minus 6 put करोगे तो ये plus और 6 into 3, 18 हो जाएगा, और यहाँ पर देखो 25, नीचे है 7, और minus 3 into minus 6, तो plus 6 हो जाएगा, तो ये 18 plus 7, 25 upon 25, ये 24 upon 24, आगया न बराबर, तो option checking ही कर लो आप सिद्धा सि� आप चाहो तो cross multiply करके निकाल भी सकते हो, otherwise भी option checking कर लो, तो C is the answer, ठीक है, A का value आएगा, A का value आएगा minus 6, clear एकदम, yes or no, yes, तो ये भी समझ में आगिया, A का value ही आपको निकालना था, चलो और आगे बढ़ेंगे, एक और सवाल है यहाँ पे, जिसमें greatest integer है, ये सवाल अगर आ यहाँ पे लिखा हुआ है, limit x tending to 0 plus, और बहुत छोटा सा सवाल ही है, cos inverse है, उसके अंदर यह है, और बस बहुत छोटा सवाल है, sin inverse भी है, और उसके अंदर बस इतना साई तो है, यह है बस, और नीचे तो बहुत ही छोटा सा cubic polynomial है बस, तो यह आपका सवाल है, छोटा सा सवाल, ठीक है, actually छोटा ही है, आपको क्या लग रहा है, actually बड़ा है, छोटा सवाल है, यह क्योंकि 0 plus बोला है न, x is tending to 0 plus, तो आपको खाली r, h, l ही तो निगालना है, अगर x tending to 0 plus है, अलग x का value approximately 0 से थोड़ा सा बड़ा होगा, ऐसा कुछ होगा, ठीक है, 0.00, तो इसका greatest integer 0 आ जा तो जहां जहां greatest integer है वहां वहां 0 आ गया value put कर दो जैसे ही आपने value put किया यह बन गया limit extending to 0 plus यहां पे आ गया cos inverse x ठीक है x बचेगा खाली इधर sin inverse x बचेगा खाली ठीक है यह आ गया और नीचे x common ले लेना तो x common ले लिया तो बचेगा 1 minus x square अब इसको इधर इसलिए लिखा क्योंकि sin inverse x by x यह standard form होता है जैसे sin x by x होता है ना वैसे sin inverse x by x भी 1 होता है, यह भी 1 होता है, तो यह 1 हो जाएगा, ठीक है, sin inverse x by x, even tan inverse x by x, वो भी 1 होता है, tan x by x भी 1 होता है, तो खाली बचेगा इतना, cos inverse x upon 1 minus x square, क्योंकि वो तो 1 हो गया, और अब x का value 0 put कर दो, ठीक है, तो x का value 0 put कर दो, जैसे आप x का value 0 put करोगे, यह आ तो cos inverse 0 कितना होता है? πi by 2 होता है और नीचे 1 minus 0 मतलब πi by 2 is the answer चमक गया?
Finally option D is the answer तो greatest integer वाले सवाल में देख लेना कि greatest integer का value कितना है जो भी है मतलब 0 plus है तो 0.01 ले लिया करो अगर 3 plus है तो 3.01 3 minus है तो 2.99 तो उसके हिसाब से greatest integer का value आ जाता है वो आप substitute कर जैसे यहाँ पे भी तो हमने यही किया न जो भी x का value है वो आप सीधा सीधा put ही करना होता है direct substitution and you will get the answer greatest integer वाले सवाल actually जादा आसान होता है चिंदी सवाल है यह सब ठीक है तो limits chapter में इतना ही है है रहा हमने सारे concepts मतलब जितनी भी indeterminate forms थी सब कुछ हमने यहाँ पे detail में concept wise हमने सारे के सारे concepts है उनको भी discuss किया है ठीक है so definitely यार I hope की सारे concepts आपको चमक गया होंगे बाकि आप इसके short notes बना लेना जित्ते भी बच्चे JEE brief को follow कर रहे हैं जो भी बच्चे JEE brief को follow कर रहे हैं short notes बना लिया करो एक तो एक आपने lecture attend किया lecture attend करने के बाद at least आप short notes बना लो तो short notes ही काम आएंगे कोई video काम नहीं आएगा तो ultimately आप short notes बना लो अभी आपने एकदम पढ़ा ही है just, तो आप इसके short notes बना लो, और फिर आप कुछ extra questions की practice भी कर लो, जो भी आपका self-study का time है मान लो, 2-3 गंटे का जो भी आपने plan किया है, उसमें आपका self-study time है, उसमें आप questions की practice भी कर लो, ठीक है, तो definitely एक short notes बनाना compulsory है, और जैसे आपने आज ये chapter पढ़ा है, तो कल सुबह या आज शाम को कभी भी आपने इसके उपर और 20, 30, 40, 50 सवाल जो भी recent वाले PYQs है उनको एक बार आप attempt करके देख सकते हो, अगर वो बन रहे हैं तो very good, नहीं बन रहे हैं तो आपको कहीं न कहीं जो understanding वाला part है उस पे थोड़ा और focus करना पड़ेगा, हो सकता है कि आपको और थोड़ा deep में यहाँ पे जो बड़े lectures हैं हो सकता है वो दे� ठीक है, next lecture जो हम करने वाले, that is continuity and differentiability, तो उसमें मिलेंगे, I hope कि आज सबको मजा आया होगा, है न, limits वैसे तो छोटा सा chapter है, but हमने कोशिश करी है कि सबकुछ detail में ही हम यहाँ पर पढ़े, ठीक है, चलो, बाकी अगली