Stabilizzazione dei Sistemi Non Lineari via Retroazione dallo Stato

Introduzione

• Stabilizzazione di sistemi non lineari tramite retroazione dallo stato.
• Nelle lezioni precedenti: stabilità di sistemi non lineari senza ingresso.
• Obiettivo: scegliere una legge di controllo che renda stabile un punto di equilibrio.
• Modello completo di un sistema non lineare:
  • $ x ext{'} = f(x,u) $ con ingresso $ y= g(x)

$.

Problema di Stabilizzazione

• Determinare una legge di controllo che renda il sistema chiuso stabile a un punto di equilibrio.
• Importanza dello stato operativo desiderato (es. orientamento di un satellite).
• Esempi: postura di un manipolatore robotico, posizione e orientamento di un robot mobile.
• Il punto di equilibrio deve essere un punto d'equilibrio per il sistema chiuso.
• Trasformazione di coordinate per portare il punto di equilibrio desiderato all'origine.

Stabilizzazione di Sistemi Lineari

• Legge di controllo $u=Kx$ per rendere il sistema $ x ext{'} = Ax + Bu $ asintoticamente stabile.
• Stabilizzazione se la coppia $(A, B)$ è stabilizzabile.

Retroazioni Statiche e Dinamiche

• Retroazione statica: dipende istantaneamente dal valore dello stato.
• Retroazione dinamica: il controllo è l'uscita di un sistema dinamico pilotato dallo stato.
• Problemi quando non è possibile misurare tutte le componenti dello stato.

Approssimazione Lineare

• Stabilizzare l'approssimazione lineare del sistema nel punto di equilibrio.
• Criterio indiretto di Lyapunov : un sistema lineare asintoticamente stabile implica stabilità locale per il sistema non lineare.

Esempio di Sistema Scalare

• Sistema: $ x ext{'} = ax^2 + bu $
• Approssimazione lineare: $x ext{'} = 0 = a x$

Stabilizzazione via Approssimazione Lineare

• Trasformazione di coordinate.
• Calcolo della jacobiana.
• Stabilizzazione se la coppia è stabilizzabile.

Linearizzazione Esatta

• Metodo alternativo alla stabilizzazione locale.
• Obiettivo: ottenere stabilità globale tramite la cancellazione della non linearità.
• Esempio: pendolo con attuatore.

Equazione di Stato

• Riformulazione dell'equazione del pendolo con traslazione di coordinate.
• Divisione del controllo in feedforward e feedback.

Approssimazione Lineare del Sistema

• Calcolo dell'approssimazione lineare.
• Stabilizzazione della matrice $ A + BK $

Considerazioni Finali

• Stabilizzazione locale vs stabilizzazione globale.
• Robustezza dei metodi.
• Conoscenza esatta dei parametri richiesta per la cancellazione delle non linearità.
• Possibile inefficacia della cancellazione in presenza di termini benefici per la stabilizzazione.

Simulazioni

• Confronto tra controllore lineare e non lineare.
• Effetti delle condizioni iniziali sulla stabilizzazione.
• Importanza dei guadagni del controllore.
• Vantaggi e limiti dei controllori non lineari nei confronti dei lineari.