Stabilizzazione dei Sistemi Non Lineari

l&#39;ultimo argomento di cui ci occupiamo nel corso di queste elezioni di controlli automatici e la stabilizzazione dei sistemi non lineari via retroazione dallo stato nelle precedenti edizioni abbiamo studiato la stabilità dei sistemi non lineari privi l&#39;ingresso quindi abbiamo essenzialmente preso un punto di vista analitico nel quale abbiamo determinato i punti di equilibrio di un sistema lineare espresso attraverso la sua dinamica e sputa uguale asterix e di questi punti di equilibrio abbiamo indagato le proprietà di stabilità stabilità asintotica e così via adesso questi queste nozioni che utilizzeremo per risolvere un problema di progetto quindi non più determinare se un dato sistema è stabile non o meno le vittorie di un certo punto di equilibrio ma invece scegliere una legge di controllo in modo tale che un certo punto di equilibrio diventa instabile asintoticamente quindi di queste elezioni ci avremo a che fare con un sistema del tipo spunto uguale f dx o y uguale gdx nel quale vedete compare adesso il segnale di ingresso per generalità abbiamo anche introdotto un equazione riuscita questa diciamo sarebbe il modello completo di un sistema non lineare stazionario da confrontare con un completo il modello completo di un sistema lineare che come ben sapete una forma di questo tipo come al solito supponiamo che lo stato abbia n componenti ingresso p componenti l&#39;uscita componenti il problema di stabilizzazione via retroazione dallo stato è quello di scegliere una legge di controllo tale che il sistema d&#39;anello chiuso abbia un certo punto di equilibrio xcode come punto di equilibrio sinteticamente stabile quindi l&#39;idea è quella di avere il nostro sistema non lineare di cui misuriamo lo stato e sulla base di questo stato andiamo a costruire una legge di controllo che utilizziamo per forzare il sistema di controllo l&#39;idea appunto e di rendere un certo stato di equilibrio asintoticamente stabile cos&#39;è questo stato di equilibrio bene lo stato di equilibrio dipende dall&#39;applicazione è essenzialmente uno stato operativo desiderato per esempio se stiamo progettando il sistema di controllo per un satellite una delle variabili variabili fondamentali che definiscono diciamo la condizione operativa di un satellite sono le condizioni abili di assetto quindi l&#39;orientamento e questo satellite per esempio nel caso in cui questo satellite porti come sempre accade delle antenne o comunque delle sensori di misura che devono essere quindi direzionati in un certo modo bene lo stato operativo è l&#39;assetto che desideriamo è questo stato operativo deve diventare il punto di equilibrio a cui vogliamo che convergano converga lo stato del sistema un altro esempio può essere quello di una postura per esempio per un manipolatore robotico in cui vogliamo muovere il manipolatore da una certa configurazione ad un&#39;altra configurazione nella quale per esempio il manipolatore sia in grado di afferrare un certo oggetto mediante il suo organo di presa la sua mano ebbene per portare questo sistema manipolatore robotico sistema fortemente non lineare dalla configurazione iniziale alla configurazione finale specificata come la postura desiderata e necessario che questa postura delle schierata diventi un punto di equilibrio e debba essere deve essere asintoticamente stabile per lo meno localmente cioè dobbiamo convergere da un ampio bacino di attrazione se possibile a quella configurazione altri esempi sono per esempio una posizione orientamento per un robot mobile un&#39;operazione di parcheggio si può rappresentare si può realizzare come la stabilizzazione del sistema robot mobile ad una posizione desiderata configurazione nello spazio con un certo orientamento del robot che deve diventare un punto di equilibrio asintoticamente stabile la cosa importante è che il generale il punto di equilibrio hicks con dean non è detto che sia un punto di equilibrio per il sistema lello aperto ma deve diventarlo per il sistema ad anello chiuso deve diventarlo perché noi vogliamo che nel caso in cui il sistema si trovi i knicks con dei non si muova da lì perché quella è la nostra e il nostro stato operativo desiderato ma viceversa se non siamo nessuno di vogliamo convergere di quindi vogliamo la stabilità ma sintetica di questo stato di equilibrio in generale ovviamente questo stato di equilibrio non è un punto di equilibrio per il sistema ad anello aperto deve diventarlo per il sistema ad anello chiuso che deve contenere in sé le informazioni di quale questo stato di equilibrio desiderato nel seguito facciamo l&#39;ipotesi che questo stato di equilibrio sia l&#39;origine infatti potete sempre ricondurli a questo caso con una semplice transazione di coordinate in cui definite le nuove variabili di stato z come hicks meno lo stato desiderato e quindi il vostro problema diventerà portare z a zero cioè all&#39;origine adesso parlando di un sistema lineare noi questa problema che abbiamo appena enunciato lo conosciamo bene si tratta di scegliere una legge di controllo o uguale k per hicks in modo tale che il sistema ycs punto uguale a xbv ad anello chiuso sia asintoticamente stabile quindi si tratta in effetti non come sapete bene di scegliere la matrice k in modo tale che gli auto valori dia più bk e abbiano parte reale negativa questo è il problema che abbiamo chiamato stabilizzazione con regolazione dallo stato c&#39;è sempre questo cambio di terminologia e ma di cui abbiamo già discusso l&#39;origine e cioè che quando parliamo di sistemi non lineari parliamo di stabilità dei punti di equilibrio quando parliamo dei sistemi lineari parliamo di stabilità e basta del sistema abbiamo osservato che questo accade perché nei sistemi lineari la stabilità di un punto di equilibrio implica la stabilità di tutti gli altri e l&#39;instabilità di un punto di equilibrio indica l&#39;instabilità di tutti gli altri quindi quando parliamo di stabilità asintotica di un sistema lineare stiamo parlando in effetti della stabilità stabilità sintetica dell&#39;unico punto di equilibrio che può essere asintoticamente stabile in un sistema lineare cioè l&#39;origine come sappiamo il problema di stabilizzazione con le tracce dello stato si può risolvere in un sistema lineare se il sistema è completamente raggiungibile oppure se la eventuali auto valori che non siano raggiungibili hanno già parte reale negativa in questo caso diciamo che il sistema e stabilizzabile ovvero che la coppia abi e stabilizzabile ci occupiamo di retroazioni stati che quindi qui abbiamo parlato vedete di detrazioni statiche o uguale k dx in che senso stati che nel senso di istantanee nel senso che se io conosco il valore dello stato misurato come in questo schema e calcolo istantaneamente una legge di controllo che all&#39;istante ti dipende soltanto dal valore dello stato all&#39;istante ti quindi una retrazione statica in generale potrebbe anche essere interessante considerare delle retro azioni dinamiche situazioni dinamiche quando avrei ce l&#39;avremo quando il controllo è a sua volta l&#39;uscita di un sistema dinamico guidato dallo stato si dallo stato hicks quindi in questo caso è la generazione dell&#39;ingresso è di questi del sito e segnali di ingresso e di questo tipo questo è la misura di hicks abbiamo un elemento dinamico per la cui dinamica è guidata da hicks e sulla base di xvi generiamo l&#39;uscita vera e propria tra l&#39;altro ne stiamo parlando di relazione dello stato quindi parliamo nel caso in cui tutte le componenti dello stato si possono misurare in generale come sappiamo bene questo potrebbe non essere possibile e in questo caso si fa una retrazione dell&#39;uscita quindi in realtà questo schema si si sostituisce uno schema in cui le trazioni amo l&#39;uscita e il da parte dinamica è governata guidata dall uscita e poi la legge di controllo e una funzione ancorati sì questo è quello che abbiamo fatto nel caso lineare quando abbiamo incluso un osservatore quindi il compito dello stato del osservatore a quello di ricostruire una stima xvi dello stato del sistema e poi di calcolare una retroazione dallo stato osservato ovviamente la stessa cosa in generale si può fare nei sistemi non lineari e infatti si può parlare di osservatore non lineare di retrazioni non lineare tuttavia noi ripeto in questa lezione conclusiva facciamolo stone cenno questo ampio argomento e quindi ci occupiamo soltanto di leggi di controllo che siano istantanee che siano funzione dello stato qual è l&#39;idea di base che utilizzeremo l&#39;idea di base è quella di stabilizzare il sistema considerando la sua approssimazione lineare perché facciamo questo perché abbiamo visto quando abbiamo citato il criterio indiretto di lia puro che se un sistema a una approssimazione lineare che è l&#39;intorno di un certo punto di equilibrio e risulta essere asintoticamente stabile allora il punto di equilibrio in questione è per il sistema originario non lineare asintoticamente stabile sia pure localmente con un certo bacino di attrazione che andrà poi determinato quindi un&#39;idea molto semplice per stabilizzare i sistemi non inari potrebbe essere questa calcoliamo l&#39;approssimazione lineare del sistema intorno all&#39;origine vi ricordo che l&#39;origine e il punto di equilibrio desiderato una volta calcolata questa approssimazione lineare stabilizziamo la e questo è possibile attraverso una retrazione lineare se riusciamo a stabilizzare l&#39;approssimazione lineare allora il criterio indiretto di apono indica che avremmo ottenuto anche la stabilità dell&#39;origine per il sistema non lineare di partenza sia pure in modo locale cioè all&#39;interno di un bacino di attrazione che poi eventualmente potremmo anche determinare quindi diciamo l&#39;idea di appoggiarci sul criterio indiretto di reato e di stabilizzare l&#39;approssimazione lineare per stabilizzare localmente il punto di equilibrio del sistema non lineare vediamo un esempio di questa idea su un semplicissimo sistema scalare si tratta di questo sistema che vedete contiene un parametro a sé ha una dinamica in cui abbiamo nel membro di destra una dipendenza quadratica dallo stato la dipendenza lineare invece dal segnale di ingresso la sua approssimazione lineare nell&#39;interno dell&#39;origine ovviamente è questa il punto uguale o perché perché la per quanto riguarda la funzione la dipendenza dallo stato questa è la funzione fbx a una derivata che è due a hicks e se la calcoliamo nell&#39;origine e zero quindi il sistema all&#39;approssimazione aree del sistema di partenza è un sistema che è un semplice integratore di spunto uguale out scompare completamente la dipendenza dallo stato ora questo è un sistema scalare che viene banalmente stabilizzato da questa retroazione lineare purché papa sia positivo otteniamo un sistema da noi hanno chiuso che x.org quale ha meno k dx essendo un sistema scalare la matrice dinamica coincide con il solito valore quindi se k è positivo questo sistema e asintoticamente stabile come approssimazione lineare bene abbiamo stabilizzato quindi l&#39;approssimazione lineare cosa possiamo dire per il sistema originario il sistema non lineare il sistema non lineare a questa dinamica ad anello chiuso no perché a ingresso o abbiamo sostituito la retrazione lineare meno kx quindi questa dinamica che ancora ovviamente non lineare per il criterio di léa pool a noi possiamo dire che l&#39;origine è un punto di equilibrio asintoticamente stabile perché è un punto di equilibrio asintoticamente stabile per l&#39;approssimazione lineare quindi avremmo ottenuto il risultato di rendere l&#39;origine del sistema origini del sistema non lineare stabile asintoticamente alcune osservazioni su questo risultato intanto vi faccio notare che questa proprietà di stabilità asintotica che abbiamo ottenuto è sicuramente locale infatti questo sistema ha un secondo punto di equilibrio vi ricordo che per calcolare i punti di equilibrio dobbiamo azzerare la dinamica del sistema in questo caso questo vuol dire che dobbiamo risolvere questa equazione e questo ovviamente si sa nulla quando hicks quale 0 che bene l&#39;origine ma anche quando hicks uguale cup su ha quindi il sistema ad anello chiuso a seguito della nostra retroazione a un ulteriore punto di equilibrio e per hicks uguale la cappa sua il sistema chiaramente resta indefinitamente in quel punto di equilibrio e addirittura se xe maggiore di k sua allora il sistema divergerà quindi la regione di attrazione per questo sistema che abbiamo stabilizzato localmente e hicks minore di k sua quindi abbiamo una regione che contiene sicuramente l&#39;origine e che però non può estendersi oltre k sua questo è il bacino di attrazione se abbiamo hicks maggiore di k sua allora evidentemente quello che succederà e che la dinamica del sistema ad anello chiuso sarà avrà una derivata positiva come potete verificare facilmente e in questo caso la convergenza all&#39;origine evidentemente si perde il sistema a uno stato che diverte e pur vero che pur essendo questo il risultato locale i miei per ciclo noi possiamo rendere questa regione di attrazione grande a piacere perché possiamo decidere noi il valore di kk e il guadagno della retroazione che abbiamo deciso di utilizzare quindi nel momento in cui vogliamo avere convergenza all&#39;interno di un insieme che sia per esempio di raggio r intorno all&#39;origine è sufficiente me è sufficiente che questo raggio è recata all&#39;interno del bacino di attrazione in questo modo quindi basta porre che k sia maggiore di a per hervé si parla in questi casi di stabilità non globale ma se mi globale nel senso che esiste un bacino di attrazione ma è possibile rendere questo bacino di attrazione grande a piacere modificando i parametri del controllore qui basta modificare il semplice guadagno k tuttavia in ogni caso si tratta di una stabilità che non è globale perché una volta costruito questo controllore scelto il valore di k avrete sempre comunque dei valori dello stato e quelli in maggiore di k sua dai cui non avete convergenza ragazzi avete le divergenze questo approccio che abbiamo utilizzato su questo sistema si può naturalmente generalizzare in maniera molto semplice è quello che facciamo adesso con riferimento a questo genere con sistema stazionario non lineare nell&#39;ipotesi che il quale 0 uguale zero sia un punto di equilibrio osservate come la definizione stessa di punto di equilibrio sia adesso veramente diversa mentre considerando sistemi con una dinamica il tipo di spunto quale f dx quindi non forzati da ingressi e la spunto di un libro fosse un punto dello spazio di stato adesso per avere spunto uguale a zero cioè fx uguale a zero dobbiamo decidere sia il valore di esse che il valore dio quindi un punto di equilibrio in realtà una coppia stato e valore dell&#39;ingresso accoppiato a quello stato che effettivamente mantiene in grado di mantenere il sistema e nelle zone intorno al punto di equilibrio qui nel punto di equilibrio quelli la coppia che supporre mo che sia hicks quale 0 che sia appunto di equilibrio supremo che sia il quale 0 uguale zero anche per quanto riguarda il segnale l&#39;ingresso se il valore dell&#39;ingresso all&#39;equilibrio non fosse 0 potremo sempre fare una traslazione dell&#39;ingresso che riporti a zero il punto di equilibrio quindi semplice un semplice accorgimento ci consentirà effettivamente di soddisfare queste cose qui lo vedremo anche un esempio però adesso nel resto nel seguito supponiamo che il punto di equilibrio sia caratterizzato da stato nullo e ingresso a questo punto procedendo così come abbiamo fatto per sistemi non forzati possiamo calcolare l&#39;approssimazione lineare intorno al punto di equilibrio come facciamo la funzione f in altri termini possiamo calcolarla in q come la funzione è in 00 più la derivata pf rispetto a hicks calcolata in 00 per la variazione dello stato più la derivata di f rispetto a calcolata in 00 per la variazione dell&#39;ingresso rispetto al suo valore più i termini di ordine superiore ora questo è zero perché perché abbiamo assunto che il suolo zero uguale zero sia un punto di equilibrio quindi questo non c&#39;è questo lo trascuriamo perché stiamo calcolando un approssimazione del sistema che è valido quando siamo nelle vicinanze del punto di equilibrio in questione è quindi quello che resta è quello che avete qui x.org uale questo termine più questo termine questa quindi la matrice di a rubiana rispetto allo stato calcolata nel punto di equilibrio la chiamiamo a questa la matrice a rubiana rispetto all&#39;ingresso calcolare nel punto di equilibrio la chiamiamo b e quindi l&#39;approssimazione lineare nel sistema è un classico sistema lineare della forma hicks puntuale ai più bio questi sistemi non li conosciamo molto bene e sappiamo che se la coppia ab risulta stabilizzabile dove a e questa e b è questa allora possiamo progettare una retrazione lineare dallo stato in modo tale che le auto valori dia più bk abbiano parte reale negativa e a questo punto se riusciamo a fare questa cosa l&#39;approssimazione e lineare e asintoticamente stabile e quindi per i criteri diretto di up all osso l&#39;origine è diventata localmente asintoticamente stabile per il sistema non lineare cosa può andare sotto beh può andare storto che quando andiamo a calcolare l&#39;approssimazione delineare questa risulta non essere stabilizzati a questo in effetti può accadere abbastanza spesso ora nel caso in cui l&#39;approssimazione lineare risulti non essere stabilizzabile questo non vuol dire assolutamente che il sistema originario si possa il sistema non lineare originario non possa essere stabilizzato intorno al punto di equilibrio origine e addirittura non si può neanche escludere che esista una retrazione lineare il grado di ottenere questo risultato basta considerare questo semplice esempio xp e spunto uguale o al cubo la cui approvazione lineare e naturalmente x.org uale a 0 come faccio a dire questo bene naturalmente non avete una dipendenza dallo stato avete una dipendenza dall ingresso quando calcolate la jacob jana della dinamica al cubo rispetto all&#39;ingresso avete tre al quadrato la calcolate per l&#39;origine nell&#39;origine quindi hicks uguale zero o uguale zero e ottenete zero quindi l&#39;approssimazione lineare di questo sistema è zero del resto quello che questo risultato ci sta suggerendo e che la dinamica di questo sistema è tutta non lineare infatti a kubica se trascuriamo le parti di grado superiore al primo la dinamica del sistema scompare ci troviamo con zero ora questa approssimazione lineare non è stabilizzabile ovviamente in ingresso e addirittura scomparso quindi è la matrice a e la matrice b sono nulla per questo sistema tuttavia questo se è questo sistema viene stabilizzato da questa legge in retroazione x.org uale meno hicks al cubo infatti è un a l&#39;origine come punto di equilibrio globalmente asintoticamente stabile 1 degli esempi che abbiamo studiato parlando di teoria della stabilità come quando proprio l&#39;esempio conclusivo mi pare al termine della nello studio del criterio indiretto quindi siamo in presenza di un sistema la cui approssimazione lineare non è stabilizzabile ma il sistema è banalmente stabilizzabile intorno all&#39;origine addirittura con un controllore lineare quindi questo nostro approccio al progetto di un controllore stabilizzante per un sistema non lineare e non è detto che funzioni sempre non funzionerà anche in situazioni nelle quali una soluzione esiste ed è piuttosto semplice però diciamo fatti salvi questi limiti si tratta di un metodo molto semplice da utilizzare che in effetti da risultati buoni in molti casi anche perché questo approccio basato sull&#39;uso dell&#39;approssimazione lineare e se funzionano solo stabilizza localmente il sistema intorno al punto di equilibrio ma ci consente anche di derivare una stima di at del dominio di attrazione del punto di equilibrio per il sistema non lineare infatti questo approccio ci suggerisce come è fatta una funzione di léa pool off per il sistema non lineare sulla base di questo risultato teorema questo tema dice che un sistema lineare x.org uale a hicks e asintoticamente stabile se è solo se l&#39;equazione di le app on off che questa ammette una unica soluzione simmetrica e definita positiva nel incognita p comunque fissi a venga fissata quinnell membro di destra una matrice di cu cu simmetrica e definita positiva quindi cosa come utilizziamo questo telefono iniziamo questo teorema dicendo che se il sistema lineare e stato stabilizzato allora sicuramente esiste una matrice picche soddisfa questa relazione vedremo tra un attimo perché questo è utile ma intanto vi mostriamo teorema dimostriamo la sufficienza quindi dimostriamo che se esiste una soluzione alla equazione delle a como in metrica e definita positiva allora il l&#39;origine del sistema lineare asintoticamente stabile la dimostrazione è un applicazione del criterio di dove ricordo che sistemi lineari possono sempre servizi come casi particolari sistemi non lineari e quindi ad essi si può applicare anche il criterio diretto di a call of allora in questo caso prendiamo come candidata di lavoro per studiare la stabilità dell&#39;origine questa funzione questa funzione definita positiva per ipotesi perché l&#39;api è definita positiva per ipotesi siamo mi ricordo dimostrando la sufficienza di questa condizione quindi questa è un mezzo di trasposto pdx è definita positiva quindi in realtà la v e addirittura radialmente illimitata oltre a essere definita positiva in qualsiasi intorno dell&#39;origine bene quanto vale la v punto dunque la v punto vale hicks trasposto per p x ics punto quindi sarebbe al posto di hicks punto possiamo sostituire a hicks posto pi.arc adesso facciamo una piccola elaborazione di questa quantità la scriviamo come un mezzo di due volte se stessa che banalmente vero dopodiché osservando che questo è uno scalare e questo anche ovviamente è uno scalare e quindi essendo uno scalare uguale altro po trasposto scriviamo il secondo di questi termini questo qui come il proprio trasposto quindi cosa abbiamo vi ricordo che nel trasporto nel trasporto andiamo ad est da destra a sinistra quindi abbiamo il trasposto ha trasposto p trasposto una b e simmetrica per ipotesi quindi rimane p x ics ed è questa che vedete qui a questo punto abbiamo messo in evidenza qui la matrice pia più ha trasposto p che per ipotesi è il meno cupi ricordo che stiamo prendendo queste ipotesi stiamo dimostrando la sufficienza in questa condizione quindi al posto di pia più ha trasposto p possiamo sostituire chi è quindi cosa abbiamo ottenuto abbiamo ottenuto che la v punto è definita negativa in qualsiasi intorno dell&#39;origine infatti vi ricordo che la matrice q è per ipotesi definita positiva e quindi la meno q è definita negativa quindi anche questa è definita negativa in qualsiasi intorno del rigine e di conseguenza abbiamo per l&#39;origine del nostro sistema lineare una funzione di lavoro la cui derivata è definita negativa possiamo concludere la stabilità asintotica dell&#39;origine quindi abbiamo dimostrato la sufficienza della condizione espressa dall equazione di diavolo in modo analogo si dimostra la necessità e quindi diciamo che questo teorema per noi è utile in che modo è utile perché abbiamo stabilizzato l&#39;approssimazione lineare ad anello chiuso attraverso la scelta di una o uguale a k dx cosa vuol dire vuol dire che applicando questo teorema essa deve ammettere come funzione di capo nord questa funzione qui in mezzo di trasposto pdx dove p è l&#39;unica soluzione simmetrica e definito positiva della corrispondente equazione di riaprono fa tensione qui l&#39;equazione diciamolo corrispondente va scritta considerando che il nostro sistema tranello chiuso a al posto di questo di questa matrice a vedete abbiamo la matrice a più bk quindi le questioni di carlos conterrà la matrice a più bk quindi questa è una funzione di lea bonus per il sistema lineare che noi abbiamo stabilizzato attraverso la scelta della legge di retrazione ebbene questa sarà una funzione di reato non fa anche per il sistema di non lineare e quindi potremo utilizzare questa questa funzione di capo non per studiare la stabilità del punto di equilibrio origine di in particolare per dedurre una stima del bacino di attrazione vediamo questa procedura con riferimento ad un esempio e in particolare parliamo sempre del pendolo ma questa volta abbiamo aggiunto un attuatore ha aggiunto quindi è un motore fondamentalmente un motore in grado di erogare una coppia rotante che modifica la posizione del pendolo si tratta quindi di modificare l&#39;equazione dinamica del pendolo vi ricordo che era questa era uguale a zero senza attuatore e adesso ovviamente nel membro di destra dobbiamo aggiungere alla forza di attrito e alla forza di levante dalla gravità la coppia derivante dalla gravità la coppia motrice quindi come ricaviamo l&#39;equazione con lo spazio di stato di questo sistema come al solito prendiamo come variabile di stato la posizione e la velocità angolare la di una nota che adesso abbiamo segnali di ingresso quindi la nostra coppia tau la chiamiamo perché è proprio il nostro segnale di ingresso quindi le equazioni quali sono le equazioni sono x1 punto uguale x2 perché la derivata di x1 e la derivata di teta quindi atleta punto e quindi e x2 la derivata di x2 essendo x2 pari a creta punto è invece 32 punti e quindi è ricavata da questa isolando 32 punti come al solito e scrivendo da due punti uguale abbiamo mgl seno ripeta col segno meno m si semplifica rimane gcl seno di teta poi abbiamo meno di cml 4tet a punto e poi abbiamo più uno su mm quadro per sé che è questa equazione qui avendo osservato che teta ex1 detta punto e x2 e averlo chiamato questi coefficienti rispettivamente a b e c adesso supponiamo di voler stabilizzare il pendolo ad un angolo teta di generico ora naturalmente in assenza di coppia motrice avevamo solo due voci di equilibrio questi due punti di equilibrio erano il pendolo da un chiamato no e il pendolo up e questi due punti in equilibrio vano delle proprietà di stabilità ben diverse e il punto di equilibrio down era asintoticamente stabile il punto di equilibrio a terra in stat adesso è intuitivo che grazie alla presenza della coppia motrice lui possiamo di fatto bloccare il pendolo in qualsiasi posizione perché possiamo erogare una coppia in qualsiasi posizione che bilancia la forza di attrito e quindi sostanzialmente mantenere bilanciare il pendolo in una qualunque configurazione e di cosa vuol dire vuol dire che applicando un&#39;opportuna coppia noi possiamo rendere qualunque posizione netta di un punto di equilibrio quindi supponiamo di voler e appunto risolvere il problema di stabilizzare questo tendo ad un angolo tetra di generico il punto di equilibrio e siderato quindi che cos&#39;è e così è stato desiderato uguale a prima componente desiderata seconda componente desiderata la prima componente e d&#39;età dei proprio questo angolo che vogliamo la seconda componente ovviamente è zero perché comunque punti di equilibrio devono avere velocità nulla allora cosa facciamo intanto ci troviamo di fronte al sistema in cui vogliamo stabilizzare non l&#39;origine non lo stato 0 ma uno stato teta di zero quindi la prima cosa che dobbiamo fare è fare una trasformazione di coordinato una traslazione che metta l&#39;origine che mette il punto di equilibrio e sterrato nell&#39;origine quindi come avevamo anticipato in precedenza si tratta di fare questa semplice trasformazione di coordinate quindi definiamo nelle nuove coordinate nelle quali la prima coordinata e la differenza tra lo stato la posizione scusate angolare è la posizione desiderata mentre la seconda componente è la velocità e chiaro che quando saremo all&#39;origine la posizione x1 sarà pari a detta di quindi avremo ottenuto il obiettivo che è quello di rendere il nostro punto di equilibrio desiderato pari all&#39;origine quindi con questa trasformazione di coordinate la dinamica del sistema viene riscritta in questo modo osservate che al posto di x1 punto un disco dal 3 posto di seta 1 punto abbiamo dunque delta 1 sarebbe x1 punto meno x1 punto di e quindi sarebbe x1 punto visto che x1 punto di e zero perché la posizione desiderata è costante quindi z1 punto quale x1 punto e su 1.2 che del resto uguale a z2 e quindi ecco la dove viene la prima equazione della seconda equazione z punto 2 è uguale ai spunto due perché z2 e suo sono uguali come abbiamo già osservato e quindi la prendiamo dalla precedente equazione che è questa soltanto andiamo a riscrivere la dove compare x1 x2 scriviamo le nuove componenti dello stato quindi meno a seno dx1 diventa meno a seno dx1 queste z1 quindi x1 è sita uno più tetto di meno bz2 ma z2 è uguale iceberg meno bx due mais uguale a z2 scusate io ecco da dove viene questa seconda equazione quindi abbiamo fatto una trasformazione di coordinate per rendere l&#39;origine punto di equilibrio e questa la formazione di coordinate ci ha portato a considerare delle nuove variabili stato z1 e z2 attenzione però adesso l&#39;origine è un punto di equilibrio non ancora infatti se poniamo z1 uguale a zero e z2 uguale a zero il membro di destra della dinamica non si annulla completamente rimane nel membro di sinistra di destra rimane meno a seno di z1 uguale a zero quindi a meno a seno di teta di meno bz2 si sa nulla rimane più cv quindi in pratica è necessario scegliere un controllo che renda questo un punto di equilibrio non forzato dunque quello che sto dicendo è che se noi abbiamo questa dinamica e poniamo z1 uguale a zero e z2 uguale a zero cioè origine dello spazio di stato allora otteniamo z1 punto è uguale a zero e va bene ma poi teniamo z2 punto quale in meno a seno di teta di meno bg da due bambine rimane più ci vedete che abbiamo ancora movimento quindi non è un punto di equilibrio a meno che non abbiamo che meno a seno di teta di più c o uguale a zero ovvero a meno che non scendiamo come valore dell&#39;ingresso un valore pari a a suu kyi se noti detratti ora questo a suu kyi seno di tradotti eccolo qui a come interpretazione quello di scrivendo il valore di a e dici che abbiamo definito in precedenza mgl seno di tetta di cioè che cos&#39;è è la coppia di gravità quando il pendolo si trova in the tadini quindi in pratica quello che stiamo dicendo che se vogliamo rendere il punto z uguale zero un punto di equilibrio e allora dobbiamo necessariamente scegliere un valore dell&#39;ingresso erogare un valore dell&#39;ingresso che mantenga il sistema in quello stato cioè dobbiamo erogare una coppia che bilanci la forza di gravità quindi in pratica quello che possiamo fare è quello che si fa e di porre un ingresso scegliere un ingresso che ha due componenti una è una componente che chiameremo il feedback che sceglieremo in funzione dello stato e la seconda è la componente che si chiama in fit for words il la componente il film forward ha il compito di rendere il punto di equilibrio il punto desiderato un punto di equilibrio e quindi in pratica la coppia che alla fine il nostro sistema di controllo erogherà sarà la somma di queste due coppie sempre la componente di feel for words che ha il compito di mantenere il sistema in equilibrio una volta che saremo andati a convergere all&#39;origine e la seconda componente componente in feedback ha il compito di stabilizzare il sistema a questo punto di equilibrio quindi il sistema pannello chiuso avendo scelto questa doppia natura del segnale di ingresso lo possiamo scrivere in questo modo il valore di più diventa cfb più cff infine vorwerk ora il valore di cfs e secondo questa formula ha per il seno di teta di e quindi lo abbiamo portato qui vedete ecco qua il sistema che rimane ad anello chiuso a quindi come ingresso residuo diciamo solo l&#39;ingresso di feedback l&#39;ingresso di fit forward avendone determinato rendono scelto l&#39;espressione appare adesso come una quantità che si va a sommare al resto della dinamica del sistema che non dipende più da all&#39;ingresso è definita vediamo se questo a 0 0 come punto di equilibrio quindi iscriviamoci questa dinamica e se vogliamo fare e ora z10 z 2 a 0 e vedere se il punto 0 0 è un punto di equilibrio quindi abbiamo z1 punto sul quale a zero e z 2.1 ha nemmeno a segno di testa di meno sentite tadi quindi questo la mia 0 più cfb e quindi l&#39;origine è un punto di equilibrio non forzato cioè se con chiamo un fb uguale a zero l&#39;origine è un punto di equilibrio quindi abbiamo ottenuto lo scopo di riscrivere il nostro sistema in modo tale che l&#39;origine sia il punto di equilibrio non forzato al quale vogliamo che il sistema converga fatto che il punto di equilibrio sia non forzato non vuol dire che all&#39;equilibrio non avremo forzamento vuol dire che questo questa componente dell&#39;ingresso sarà nulla all&#39;equilibrio ma come abbiamo detto la componente di fit for words quella è costante e serve a bilanciare il lo stato del sistema il pendolo nella configurazione teta di generica quindi quella non si annullerà mai ed è proprio quella che rende il punto un punto di equilibrio bene a questo punto possiamo partire con il nostro approccio tutta questa queste due fasi quindi la prima azione dello spazio di stato traslazione nell&#39;origine dx di origine diciamo e questa seconda procedura è stata quella di rendere xd un punto di equilibrio non forzato questo ci ha condotto a questa forma del sistema che adesso possiamo controllare come la controlliamo beh abbiamo detto il piano è molto semplice calcoliamo l&#39;approssimazione lineare del sistema e stabilizziamo l&#39;approssimazione lineare e questo ci darà una stabilità locale delle origini per il sistema non lineare e quindi avremo stabilizzato nelle coordinate originali e proprio il valore desiderato dello stato hicks con di e poi potremo anche studiarne il bacino di attrazione di questo punto di equilibrio come facciamo dunque si tratta di calcolare secondo la procedura che abbiamo discusso in precedente all&#39;approssimazione lineare di questo sistema in un lineare quindi si tratta di calcolare la matrice jaco piane rispetto all&#39;ingresso rispetto allo stato è calcolarla nel punto di equilibrio desiderato e rispetto all&#39;ingresso è calcolata nel punto di equilibrio desiderato quindi procediamo la derivata della dinamica s rispetto allo stato z calcolato nel punto di equilibrio desiderato mi ricordo che stato 0 e controllo in cig 0 c da allora la derivata la prima componente della dinamica e z2 quindi la derivata rispetto a z10 la derivata rispetto agita 21 poi la seconda componente della dinamica e la seconda il membro diretta della seconda equazione differenziale derivato rispetto a gente a 1 abbiamo meno coseno di z1 più tenta di e poi rispetto a dietro due abbiamo meno b questa matrice va calcolata per z uguale zero e feedback uguale del controllo di feedback è uguale a zero e quindi al posto di z1 sostiamo 0 e otteniamo questa matrice a per quanto riguarda la matrice b abbiamo la derivata della dinamica del sistema due componenti prima equazioni differenziali sono le equazioni differenziali rispetto ad un anche questa poi va calcolata nel punto di equilibrio 1 compare nella prima equazione differenziale quindi abbiamo zero nella seconda equazione differenziale o compare usb per la precisione comprare x c è quindi la derivata è semplicemente c quindi è già costante senza bisogno di calcolarla nel punto di equilibrio a questo punto calcoliamo la verifichiamo la raggiungibilità della coppia abi per vedere se è possibile trovare un controllore stabilizzante quindi calcoliamo la matrice di raggiungibilità p che b a b visto che il sistema dimensione due quindi 0 c e poi abbiamo c è meno bipper c è quindi questo matrice ha sicuramente ago due se c è diverso da zero vi ricordo che c è in questa quantità qui 12 ml quadro quindi se il pendolo ha una massa una lunghezza e quella quantità è sicuramente diversa da zero quindi possiamo sicuramente assegnare addirittura in modo arbitrario di auto valori di anello chiuso perché possiamo risolvere il problema a r s non solo il problema srs e quindi una legge di questo tipo usb mi ricordo che il controllo residuo sb e usb quindi siamo determinando usb pari a una retrazione dallo stato vi ricordo meno stato si chiama z quindi il classico www.all k per hicks qui è diventato usb uguale k per z è bene che a questa espressione vuol dire che possiamo scegliere k1 e k2 in modo da assegnare arbitrariamente gli auto valori del sistema ad anello chiuso in particolare potete calcolare il determinante e della potete calcolare poi nome caratteristico di questa matrice verificare che le auto valori hanno parte reale negativa purché siano soddisfatte queste due condizioni k1 minore di ac succose novità di e k2 minore di b suu kyi quindi in questa ipotesi abbiamo detto che la coppia è ottenuta come la somma della coppia dei feedback più la coppia del fit forward in cui la coppia di feedback è questa ed è funzione vedete dello stato e la coppia di fit formali invece questa ed è costante dipende soltanto da dove vogliamo posizionare il pendolo quindi dipende soltanto da teta di e risk riscritta nelle coordinate di partenza e anche più interessante perché z1 vi ricordate e da uno eccola qua ex1 o meno teta di mentre z2 e x2 quindi di fatto quello che stiamo dicendo che il primo termine del feedback e k1 per la differenza fra l&#39;angolo te fa e l&#39;angolo teta desiderata e il secondo termine è proporzionale semplicemente alla velocità del vento ebbene questa legge di controllo poiché rende asintoticamente stabile l&#39;approssimazione lineare secondo il criterio diretto di the app un offerente asintoticamente stabile d&#39;origine anche per il sistema non lineare di partenza cioè per il pendolo notate di interpretazione fisica di questo termine questo termine è come se diciamo così simula una molla di costante elastica k1 e la cui deformazione teta meno titta di quindi questa molla reagisce quando tetano è uguale atleta di e riporta il pendolo verso tetto di mentre questo secondo termine attraverso k2 simula la presenza di un attrito proporzionale alla velocità un attrito che è che esiste già nel sistema no ma questa coppia ha dunque una ulteriore componente e attrito quindi questo è come dire un interpretazione di questa legge di controllo che realizza un sistema molla smorzatore in cui l&#39;azione della molla e quella di ricondurre il pendolo verso la posizione angolare desiderata e l&#39;azione dello smorzatore quello di generare una dissipazione di energia che faccia poi convergere il pendolo alla posizione di equilibrio desiderato a questo a questo queste due componenti si somma un valore di formare costante quindi nella realizzazione di questo di questo controllore noi avremmo qualcosa di questo genere qui abbiamo il pendolo di cui misuriamo gli stati tète a tète a punto e costruiamo una legge di controllo che la somma di una componente in feedback più una componente in flashforward che generata a partire da è tardi e questo è quello che poi va a generare la coppia che guida il pendolo faccio notare che qui c&#39;è anche qui c&#39;è un valore di c&#39;è una operazione di confronto perché è un feedback ha bisogno del valore di teta di per confrontarlo con il valore di teta e generare la prima componente dello stato trasformato quindi in una posizione desiderata in realtà in questo sistema di controllo esce entra in due punti sia nel calcolo del feedback che nel calcolo dello chiffon ora è evidente che questa stabilità come ho detto è una stabilità locale per il pendolo perché perché essenzialmente abbiamo recuperati kato il criterio indiretto di lea tono e il dominio di attrazione dipenderà in modo cruciale dalla scelta di questi due guadagni k1 e k2 quindi a seconda di come sceglieremo questi guadagni potremmo avere un bacino attrazione più o meno ampio in effetti però abbiamo la possibilità di utilizzare il teorema sulla stabilità dei sistemi lineari che abbiamo richiamato prima in particolare il legame con la pro seconda fu un equazione di apple os per immaginare una candidata di lea prof per il sistema non lineare vediamo un esempio di come si può costruire una funzione di lì a 1 per il sistema non lineare originario a partire dalla rappresentazione dell&#39;approssimazione lineare mettiamo dei valori numerici alle costanti quindi riprendiamo per il pendolo a cinquale uno mi vuole 0 e supponiamo che il valore desiderato i terapisti apr come jimi essenzialmente vogliamo regolare il pendolo a questa configurazione nella quale l&#39;angolo detta di si sa di pi greco mezzi naturalmente si tratta di un punto che non sarebbe un equilibrio per il sistema privo di controllo e quindi sarà il controllo attraverso il termine di fit for words che abbiamo già discusso precedentemente a renderlo tale ma come facciamo poi a stimare il bacino di attrazione del controllore lineare che abbiamo progettato attraverso la nostra procedura quindi per questi valori numerici a uguale ci vuole uno e b uguale zero questa scelta dei guadagni k1 uguale k2 uguale a meno 1 e garantisce la stabilità asintotica dell&#39;approssimazione lineare infatti vi ricordo che le condizioni in generale erano queste due ed avendo scelto nel nostro caso ha uguale c uguale 1b uguale zero e teta di uguale a pi greco mezzi e le condizioni diventano k1 minore di 1 e k2 minori di zero e quindi abbiamo che il questa scelta è sicuramente tale da rendere la matrice a più bk una matrice che un&#39;auto valori negativi lavatrice diventa in particolare questa del resto vedete che il suo polinomio caratteristico e land quadro più lunga più uno perché questa in forma compagna e quindi avendo tre coefficienti positivi di sicuro le tue radici hanno tutte 3 parte reale negativa bene quindi questa è la magia più bk con la nostra scelta dei guadagni abbiamo stabilizzato il sistema retro azionato quindi secondo quello che abbiamo detto in precedenza l&#39;equazione di diavolo che questa ammette una radice in pi quindi una matrice una soluzione p unica simmetrica e definita positiva per qualunque scelta dico che sia simmetrica e definita positiva quindi cosa abbiamo fatto abbiamo in questo caso abbiamo scelto la matrice cuppari alla radice identità e sicuramente e si asimmetrica che definita positiva abbiamo scritto l&#39;equazione di rehab nov qui abbiamo vedete a qui abbiamo ha trasposto e qui abbiamo la matrice picche incognita che è caratterizzata però da tre di fatto incognite e non quattro perché dovendo essere simmetrica il suo elemento 21 è uguale elemento 12 a questo punto si tratta di risolvere questa equazione eguagliando gli elementi che si trovano a sinistra di segno uguale agli elementi a destra in ordine le equazioni di fatto sono tre perché la quarta sarà un identità visto che è abbiamo detto la soluzione simmetrica e risolvendo queste tre semplici equazioni si trova questa soluzione in più quindi questa è la soluzione l&#39;equazione di a1 per il nostro sistema avendo scelto come matrice cui amatrice e identità cosa vuol dire questo vuol dire che con questa matrice piccoli possiamo costruire una funzione di apono speri il sistema lineare nell&#39;intorno del punto di equilibrio ma anche e soprattutto per il sistema non lineare quindi da qui possiamo partire per determinare una stima del bacino di attrazione dell&#39;origine come punto di equilibrio del sistema non lineare come procediamo calcoliamo la v punto dx lungo le traiettorie del sistema attenzione ma qui a questo punto andremo a sostituire le la dinamica del sistema non lineare quindi del pendolo completo e non della sua approssimazione questo vuol dire che diciamo una volta effettuato questo calcolo troveremo che questa dinamica ovviamente è diversa da meno hicks trasposto qx perché questa sarebbe la v punto lungo le traiettorie del sistema lineare quindi le due saranno naturalmente diverse in particolare una volta che abbiamo ottenuto l&#39;appunto lungo le traiettorie del sistema non lineare la studiamo determiniamo le insieme dove è definita negativa siamo sicuri che esisterà questo insieme perché siamo sicuri di aver stabilizzato localmente il punto di equilibrio anche per il sistema non lineare e a questo punto andiamo a determinare una curva di livello vi ricordate che sia tutta contenuta nell&#39;insieme dove fu punto è definita negativa un qualunque insieme contenuto all&#39;interno di questa curva di livello per esempio una a un cerchio circonferenza che sia tutta contenuta all&#39;interno di questa coda di livello costituiva una stima per difetto del bacino di attrazione per il sistema tranello chiuso che è sottoposto vi ricordo ad un controllore libro lineare perché abbiamo utilizzato una legge di controllo di questo tipo che è certamente lineare nello stato come vedete beh a questo punto facciamo un passo in più e diamo un cenno ad una tecnica di progetto concettualmente diversa ma che cerca di risolvere lo stesso problema cioè essenzialmente quella di stabilizzare quello di stabilizzare un sistema non lineare nel ritorno di un punto di equilibrio qual è la principale tecnica della principale limitazione della tecnica che abbiamo visto finora è molto semplice perché è sufficiente calcolare l&#39;approssimazione lineare nell&#39;interno del punto di equilibrio che vogliamo rendere asintoticamente stabile se questa approssimazione lineare che risulta essere controllabile allora è facile stabilizzarla e avendo stabilizzato l&#39;approssimazione lineare abbiamo stabilizzato localmente anche il sistema non lineare dell&#39;interno del punto di equilibrio limitazione principale questa stabilità è però si asintotica ma locale cioè avremo una convergenza al punto di equilibrio desiderato soltanto all&#39;interno di un dominio di attrazione ora qualche volta questa limitazione può essere inaccettabile perché per le caratteristiche dell&#39;applicazione che stiamo considerando è necessario garantire che si abbia convergenza in realtà a partire da qualsiasi condizione iniziale dello stato in questo caso possiamo utilizzare una tecnica appunto diversa che è una tecnica che si basa sulla linearizzazione esatta e non approssimata del sistema per intuire come si può sviluppare una tecnica di questo genere consideriamo questo esempio scalare che lo stesso che abbiamo considerato per primo quando abbiamo parlato della tecnica basata sull&#39;approssimazione di reale in particolare cosa avevamo detto li abbiamo detto e l&#39;approssimazione di quel lineare di questo sistema che ha una parte quadratica rispetto allo stato da una parte lineare rispetto all&#39;ingresso è semplicemente il punto uguale o vi ricordate abbiamo notato che se calcoliamo la matrice jacob jana che in questo caso è uno scalare rispetto allo stato abbiamo due a x ics la calcoliamo nell&#39;origine che il punto di equilibrio che ci interessa diventa zero quindi l&#39;approssimazione lineare e hicks punto uguale o ea quel punto con la retrazione lineare uguale meno kx stabilizziamo questa approssimazione lineare e rendiamo localmente asintoticamente stabile anche il sistema originario come con il punto di equilibrio per il sistema originario con quale bacino di attrazione con un bacino di attrazione vi ricordate che si estende fino a k sua quindi da qui abbiamo il bacino di attrazione da qui tutte le traiettorie convergono all&#39;origine mentre se partiamo da un punto che al di fuori di questo bacino di attrazione abbiamo vi ricordate divergenza quindi una regolazione lineare ottiene una stabilità sintetica dell&#39;origine ma locale con un bacino di attrazione ora supponete invece di utilizzare questa legge di controllo diversa non lineare vedete che nella legge di controllo c&#39;è un termine infatti non lineare è un termine lineare uguale al precedente il sistema ad anello chiuso x.org uale a hicks quadro più uguale a hicks quadro sostituiamo questa espressione ad u abbiamo meno a hicks quadro meno kx quindi cosa osserviamo osserviamo che c&#39;è una cancellazione della nonnina rita il sistema che rimane ad anello chiuso a come dinamica ex punto uguale kx meno kx esattamente quindi non abbiamo effettuato alcune approssimazione lineare abbiamo preso lineare il sistema ad anello chiuso scegliendo opportunamente la legge di controllo quindi diciamo questa parte della legge di controllo ha come obiettivo quella di quello di cancellare la non linearità mentre questa parte qui della legge di controllo ha come obiettivo quello di stabilizzare la dinamica residua diciamo quindi essendo il punto uguale a meno kx la rappresenta equazione che descrive il sistema senza alcuna approssimazione possiamo dire che l&#39;origine è diventato punto di equilibrio globalmente asintoticamente stabile quindi in sostanza per passare dalla stabilità sintetica locale alla stabilità sintetica globale abbiamo dovuto passare da una relazione lineare a una retrazione che contiene la precedente l&#39;equazione lineare ma gli aggiunge il termine non lineare il cui obiettivo è quello di prendere la dinamica del sistema ad anello chiuso esattamente lineare cancellandone la non linearità come possiamo applicare questa stessa idea un esempio vivamente più strutturato che è l&#39;esempio del pendolo vediamo pro ripartiamo dalle equazioni del pendolo in particolare ripartiamo dalle equazioni in cui abbiamo già effettuato la trasformazione di coordinate che serve vi ricordate a portare il punto desiderato che sarebbe z di per il l&#39;angolo per la variabile angolare e zero per la velocità nell&#39;origine quindi abbiamo definito vi ricordate una z che la prima componente x1 meno i dettagli e la seconda componente di nuovo la velocità quindi naturalmente al punto di equilibrio tra di zero corrisponde nelle coordinate z all&#39;origine a questo punto cosa abbiamo fatto quando abbiamo lavorato sulla prossima azione lineare abbiamo a questo punto introdotto una legge di controllo in due parti perché abbiamo detto è ma qui l&#39;origine non è un punto di equilibrio origine a un punto di equilibrio non forzato ci serve un ingresso per renderlo punto di equilibrio e allora dobbiamo scegliere l&#39;ingresso in parte con un feedback in parte con un fit for world il filtro world deve equilibrare no la gravità nel punto di equilibrio eccetera eccetera ma prima di passare di tuffarci in questa procedura fermiamoci e guardiamo questa equazione contiamo queste due opzioni dunque la prima è lineare ma dice che la derivata della posizione della velocità questa equazione lineare la troviamo in tutti i sistemi meccanici indipendentemente dal fatto che poi il resto della dinamica sia o meno lineare la seconda equazione quella non lineare e contiene la non linearità nello stato eccola qua poi contiene un ulteriore termine nello stato ma questo è lineare e l&#39;attrito fondamentalmente e poi contiene questo termine lineare nell&#39;ingresso quindi ragionando un po come abbiamo fatto nell&#39;esempio precedente c&#39;è la possibilità di scegliere l&#39;ingresso e modo tale da cancellare la non linearità in particolare se scegliamo ingresso in questo modo abbiamo che la seconda equazione differenziale diventa z2 punto uguale meno a meno di da uno più tenta di meno bz2 e poi abbiamo più dovevo e questo più c quindi per a suu kyi seno tz1 protetta di più su c c ovviamente si semplifica e a questo punto vedete la non linearità come nell&#39;esempio precedente si cancella e quello che resta nella seconda equazione differenziale è tutto lineare meno bper z2 più v e abbiamo quindi ottenuto ancora una volta attraverso una legge di controllo che a termine non lineare che ha come scopo la cancellazione della non linearità e poi un secondo termine che introduce diciamo un termine di controllo residuo che possono ancora scegliere e che sceglierò per stabilizzare il sistema rimanente attraverso questa scelta quindi in cui combiniamo un termine non lineare è un termine che adesso decideremo e potrà magari anche essere lineare infatti lo sarà abbiamo reso il sistema ad anello chiuso lineare esattamente di nuovo e completamente raggiungibile infatti osservate che la matrice a di questo sistema è 0 1 0 meno b la matrice b e 0 1 domani nuovo ingresso ev ovviamente e quindi la matrice della raggiungibilità e b a per b ed è quindi al rango pieno questo vuol dire che il sistema è completamente raggiungibile possiamo mettere i suoi auto valori da qualunque in qualunque in qualunque posizione naturalmente vi faccio notare che gli auto valori prima della retroazione sono 10 e uno in meno b quindi l&#39;origine non sarebbe asintoticamente stabile perché c&#39;è un auto valore in 0 non vedremmo la convergenza al punto di equilibrio desiderato ma noi essendo il sistema raggiungibile possiamo spostare i suoi auto valori dove ci pare in particolare scegliendo questa legge di controllo che la classica tappa per lo stato per z scegliendo opportunamente k1 e k2 possiamo assegnare gli auto valori in modo arbitrario troviamo delle condizioni simili alle precedenti e alla fine che succede che questa legge di controllo che noi abbiamo costruito cos&#39;è e la a suu kyi seno di z1 più teta di che peraltro è d&#39;età ricordo infatti che hicks con uno è tesa e quindi z1 più teta di è proprio uguale attesa quindi questa prima parte e a suu kyi seno di teta è quella che cancella la non linearità e il termine invece di controllo del cibo che era x 1 suu kyi è quello qui uno suu kyi k1 per z1 che téte à téte a meno 30 di più k2 per z2 che sarebbe x2 che sarebbe teta punto quindi se adesso osserviamo questa legge di controllo cosa c&#39;è di differente rispetto alla precedente la precedente era questa ecco in questa legge di controllo avevamo notato che c&#39;erano due termini feedback 1 promozionale all&#39;errore di posizione l&#39;altro promozionale la velocità avevamo detto questo simula una presenza di una molla angolare che richiama il pendolo nella posizione dei tadi e un attrito viscoso e poi c&#39;era la coppia che equilibrava il pendolo nella posizione desiderata le prime due parti calcolata in feedback la seconda no era costante adesso se osserviamo questa legge di controllo osserviamo che questa legge di controllo è tutta in retroazione sia il primo termine che gli altri due è il primo termine a succi se lo ripeta che è quello che cancella il termine non lineare all&#39;equilibrio cioè quando teta è andato a convergere l&#39;atleta di assume proprio il valore desiderato della della coppia che tiene il pendolo in equilibrio quindi differenza sostanziale fra e due tra le prime della prima quella basata sulla prossima azione in area e questa è che in questo caso abbiamo un termine che è sempre pari alla coppia che equilibre rebbe il sistema nella configurazione corrente teta e diventa la coppia che equilibra il sistema nella configurazione desiderata teta di solo quando siamo andati a convergere al punto di equilibrio il secondo termine nell&#39;altro caso invece nel caso della prossima azione in area quel termine da costante ed era pari alla coppia all&#39;equilibrio anche quando non siamo nel punto di equilibrio e questo è il motivo per cui quella legge di contro non è in grado di stabilizzare globalmente il punto di equilibrio perché aggiunge diciamo la coppia di gravità soltanto quella calcolata nel punto di equilibrio che quindi può essere molto diversa da quella necessaria in un punto generico il secondo termine invece sostanzialmente uguale a parte la differenza che il primo non è diviso per circa quando è diviso per c ma questo serve esclusivamente a rendere il coefficiente del controllo residuo nel sistema d&#39;anello chiuso quindi la interpretazione di questi due termini come molla e attrito rimane anche in questo caso ecco qui una simulazione ma club del controllo del pendolo in due versioni abbiamo qui in particolare uno schema simulink implementa il controllo del pendolo vedete mediante approssimazione lineare qui un analogo schema secoli che però implementa il controllo del pendolo basato sulla linearizzazione santa qui sulla sinistra abbiamo la command window riman club è aperto uno script che contiene una serie di comandi che servono semplicemente ad assegnare i parametri meccanici del pendolo inizializzare il pendolo e scegliere i guadagni controllori allora vediamo intanto la struttura di questi schemi simulink abbiamo qui a sinistra qui a destra vedete in questo schema la dinamica del pendolo ripetuta esattamente uguale qui abbiamo due integratori vedete il primo è la trasformazione di accelerazione del pendolo venite da due punti in testa punto e poi sulla trasformazione di teta punto in testa l&#39;equazione dinamica del pendolo è ottenuta semplicemente retro azionando in ingresso a 32 punti quindi che se questo integratore qui le varie forze che agiscono sul pendolo se andate a confrontare con il segni con il modello che abbiamo scritto per il pendolo una e la forza di gravità eccola qui a se non x1 di uno siccome uno è il segnale di ingresso a questo blocco che è come vedete teta questo è semplicemente a per il seno di teta e qui c&#39;è la forza di attrito che bper e da punto vede che questo è stato ottenuto prendendo qui x2 che l&#39;integrale due punti quindi e te da punto riportandolo qui è moltiplicato per il coefficiente di attrito vanno a sottrarsi queste due forze sia la forza di attrito che il la forza di gravità hanno sei unica vivo rispetto atleta positive che vanno verso invece l&#39;alto poi c&#39;è la il termine che viene dall ingresso che ci per la coppia motrice quindi ha tenuto semplicemente moltiplicando per una costante in c.da coppia motrice ecco qui in questo l&#39;unico punto dove si differenziano questi due schermi nel senso che qui il controllore è il controllore del caso lineare e qui e controllare il caso non lineare andiamo a vedere come sono fatti dunque controllo del caso lineare ricorderete è la somma di una coppia di regime quella che abbiamo chiamato fit forward che è ancora qui un valore costante welfare che viene assegnato nello schema nella nel file noscript inizializzazione matlab eccolo qui e vedete pari a da diviso c per il seno dell&#39;angolo desiderato questa coppia di fitch suolo ed è utilizzata soltanto dal controllore lineare a questa coppia di fitch forward vi ricordate si somma il controllo e lineare che k1 per teta di teta meno teta di sarebbe z1 l&#39;errore di posizionamento quindi quello che si fa vedete in questo in questo schema il segnale 1 avviene x k2 il segnale 2 viene sottratto viene dal segnale 2 viene sottratto teta di e questo genera k1 allora andiamo a dare quali sono i due segnali il segnale 1 del controllore è tet adotta il segnale 2 del controllore ex1 cioè teta quindi qui abbiamo teta quindi questo realizzate da meno tenta di moltiplicato il k1 e questo è detta di e scusate tradotte lo moltiplica per k2 quindi primo e terzo componente sono il controllo in feedback la seconda componente e la coppia infine for words questa è la coppia che andiamo a iniettare nel controllore nel pendolo per confronto vediamo com&#39;è fatto magari lasciamo aperto vediamo come fatto il controllore lineare ricorderete nel iv linea molto simile con l&#39;unica differenza che la quantità che qui era una coppia costante è in realtà una coppia che dipende dalla posizione corrente e che diventa la coppia sul costante di regime soltanto quando abbiamo raggiunto l&#39;equilibrio automaticamente si trasforma nella coppia di regime quindi vediamo in questo caso anche questo blocco che ha seno di suu kyi prende in ingresso non te da di mattità perché appunto è calcolato sul valore corrente questa è la quantità che serve a cancellare no ricordate la non linearità dalla seconda equazione dinamica del peggio a questo andiamo a sommare questo è uguale agli altri due termini k2 per il primo cosplay il primo più k1 k2 perdo dell&#39;attrito per la velocità più k1 per l&#39;errore di posizione ma andiamo a vedere come si comportano questi due controllori partiamo da una situazione dove intanto vediamo qui i valori dei parametri meccanici massa unitaria coefficiente di attrito pari a 0.1 lunghezza unitaria l&#39;accelerazione di gravità e le costanti a b e c che abbiamo definito nelle slide la posizione desiderata supponiamo che si applica eco mezzi quindi con il pendolo ruotato fino a porsi in orizzontale e quindi supponiamo le condizioni iniziali del pendolo siano partiamo magari da una condizione iniziale più vicina a quella desiderata quindi partiamo da un valore di te da zero abbastanza vicino a quello desiderato pi greco mezzi meno 0.1 quindi circa 84 gradi e l&#39;aver sta invece la poniamo zero quindi partiamo con il pendolo abbastanza vicino alla posizione di equilibrio e velocità iniziale uguale a zero questa non è una posizione di equilibrio la posizione iniziale quindi dovremo suppone che qualcuno abbia posizionato manualmente o con opportuno valore anche lì della corpi abbia posizionato lì il valore del il pendolo e lo abbia lasciato sotto l&#39;azione controllore lineare e i guadagni li abbiamo posti almeno uno meno uno che sono proprio quelli che sono indicati nelle slide per il controllore di basato sull&#39;approssimazione lineare sono dei guadagni che sicuramente garantiscono la stabilità però ricordate all&#39;interno di un bacino di attrazione ora andremo a vedere essenzialmente in simulazione se questo tenta iniziale che abbiamo preso è sufficientemente vicino alla configurazione desiderata piegato mezzi da avere la convergenza quindi vediamo che cosa succede abbiamo quindi prima eseguiamo questa in modo che mark up sia a conoscenza di tutti questi valori numerici e adesso andiamo a simulare il pendolo sotto l&#39;azione del controllore lineare dunque creiamo teta e apriamo magari anche la coppia sembrano interessanti simuliamo e vediamo cosa otteniamo allora vedete siamo partiti abbastanza vicini 1,46 47 radianti dovevamo andare a convergere a 1.57 in effetti questo è proprio vedere se possiamo zoomare per verificare che il valore è proprio questo qui vedete quindi queste pirico mezzi e nel l&#39;esterno in modo da aiutare questa eccola qui scusate e diciamo questo questo è invece la coppia vedete la coppia totale circa parte da circa 10 minuto m naturalmente valore iniziale non è zero perché già iniziali all&#39;istante iniziale dobbiamo aggiungere alla coppia la coppia di atri di regime che come vedete da qui circa 9.8 perché vale proprio g la coppia che dobbiamo fornire quanto per tenere testa a pi greco mezzi e al regime vedete si produce appunto questa coppia 9.8 all&#39;inizio la coppia completa è diversa da 9.8 perché sovrapposta alla coppia di regime ci sono i termini lineari k per l&#39;errore di posizione più k per la velocità siccome abbiamo un errore di posizione iniziale che è diverso da zero quello da questa piccola differenza che c&#39;è all&#39;inizio rispetto alla coppia di regime questo è il comportamento del controllore lineare che quindi conferma che questa condizione iniziale che abbiamo scelto e all&#39;interno del bacino di attrazione vediamo cosa succede per il controllore non lineare naturalmente non abbiamo un problema di controllo meno lineare sul bacino di attrazione sul controllo e non lineare quindi dovremmo vedere convergenza a partire da qualsiasi configurazione vediamo la stessa stesse quantità all&#39;ingresso il valore della variabile angolare il valore della coppia e finiamo i valori allora anche qui abbiamo la convergenza al valore desiderato con una coppia che sostanzialmente ferite molto simile alla precedente non ci sono sostanziali differenze in questo caso vediamo cosa succede quando allontaniamo notevolmente la condizione iniziale in posizione dalla condizione iniziale desidera da quella posizione desiderata supponiamo di partire quindi da te da zero uguale all vero cosa vuol dire devo dire che il pendolo in effetti parte dal basso dalla posizione di riposo e lo vogliamo portare a convergere alla configurazione teta di uguale pi greco mezzi allora vediamo cosa succede alla seguiamo questo per informare un altro del fatto che abbiamo cambiato la condizione iniziale e andiamo a vedere cosa succede e vi dico dove quelle condizioni iniziali in simulink sanno all&#39;interno dei blocchi integratori e quindi quando apro il blocco integratore che genera teta o li dentro devo scrivere the da zero che ma club legge dal suo workspace avendo io eseguito questo scritto e analogamente qui avrò la velocità iniziale teta dote 02 dicevo per quanto riguarda il controllo e lineare vediamo cosa succede ecco the da ecco la coppia simuliamo ma vedete che siamo fuori scala quindi possiamo ri graphicar e vedete che abbiamo un valore di tanto di dp greatly di variabili angolare che ha fatto dei giri no vedete che siamo passati oltre pi greco mezzi siamo passati anche oltre pi greco oltre tre p tre co e a quanto siamo andati a convergere beh possiamo vederlo qui andando a leggere questo valore vicino siamo a circa 12.46 o qualcosa del genere 40 scillia mo in realtà c&#39;è ancora vedete una piccola oscillazione tra 12 e 40 e 12 e 50 che non è un multiplo di pi greco perché 4 pi greco fa circa 12 e 56 quindi dovremmo andare qui invece non ci siamo andati cosa vuol dire devo dire che abbiamo un errore di posizionamento finale in questo errore di posizionamento finale è dovuto al fatto che evidentemente siamo fuori dal bacino di attrazione del punto di equilibrio che essendo stato reso tale da una retrazione è puramente lineare è sì asintoticamente stabile ma solo localmente naturalmente l&#39;estensione del bacino di attrazione dipende da i valori del guadagno quindi magari sesso se cambiamo i guadagni del controllore in feedback cambia anche il bacino di attrazione vi ricordate che quando siamo andati a ragionare rapidamente su come si poteva trovare il bacino di attrazione abbiamo calcolato la matrice a più bk abbiamo risolto ed equazioni di diavolo ci abbiamo costruito una funzione di diavolo basandoci su quella a più bk ma se cambiamo la cappa ovviamente cambia anche la funzione di diavolo e quindi probabilmente cambia anche il bacino di attrazione ed è così in effetti come vediamo tra un altro però prima di fare questo voglio far vedere che il controllore non lineare invece non ha problemi neanche in questo caso quindi contro e non lineare vedete ecco qui vedete è completamente impermeabile alle condizioni iniziali abbiamo convergenza pigre comensi con una coppia che diciamo questi valori si mantiene tra 1,5 10 newton metro quindi delle coppie anche molto ragionevoli vediamo se modificando il valore dei guadagni nel controllore calcolato con l&#39;approssimazione lineare cambia il bacino di attrazione in modo tale da vedere se riusciamo a incorporare anche l&#39;attuale condizione iniziale quindi modifichiamo i guadagni li aumentiamo in questo caso e facciamo girare e andiamo sui simulare il sistema eccolo qui vediamo un po ecco qui vedete che avendo modificato i valori dei guadagni funziona anche il controllore lineare quindi che cosa è successo è successo che a questi guadagni corrisponde a una più bican e quindi corrisponde una funzione di napoli che ha che poi ci da una stima del bacino di attrazione che adesso comprende anche il punto iniziale te da zero uguale a zero le coppie vede sono piuttosto energiche e differiscono nel transitorio dalla coppia di regime che è sempre quella e 9.8 perché adesso la coppia nell&#39;immediato arriva a 25 newton metro per quale motivo perché alla coppia nel controllo e lineare alla coppia di regime viene sovrapposta k dell&#39;errore di posizione più k per la velocità e adesso ik sono più grandi li abbiamo moltiplicati in particolare per dieci quindi vediamo una ben diversa una ben diversa un ben diverso andamento della coppia per quanto riguarda il controllore non lineare e indipendente come abbiamo visto sia dai guadagni posto che i guadagni siano tali da stabilizzare il sistema lineare ad anello ad anello chiuso ci siamo esattamente lineare dicevo in questo caso lo vedremo anche per il controllore con la linearizzazione esatta vedremo questo attentato che non ci interessano parliamo tempo ecco qui con un valore vedete comunque una convergenza molto veloce ha pi greco mezzi e dei valori di coppia più bassi perché è bene perché sono così bassi più bassi rispetto all&#39;altro caso perché mentre il controllore è basato sulle approssimazione lineare a un fit for words sin dall&#39;inizio di 9.8 newton metro che servono a tenere serviranno a tenere il da coppi il pendolo in equilibrio nella posizione finale il controllore basato sull&#39;approssimazione lineare invece questo termine e lo sostituisce con un termine in cui viene sommata alla co alla coppia la coppia di e gravità nella posizione corrente e che diventerà quando teta con vegeta di la coppia di regime cosa vuol dire che partendo da una condizione iniziale che è zero la coppia all&#39;inizio e 0 la coppia di termine che serve a cancellare non alleni vita e quindi questo spiega perché da 25 siamo passati al 16 minuto m all&#39;istante zero perché essenzialmente sono stati eliminati qui è stata eliminata la coppia di gravità che verrà fornita vedete soltanto quando andiamo a regime automaticamente ma all&#39;inizio per questo controllore è inutile iniettare il 9.8 aiuto metodo della coppia di regime a questo punto ci chiediamo quanto a generare questa idea quando su quali sono i sistemi su cui riusciamo a leggere scegliere il valore del controllo in modo tale da cancellare non linearità attraverso la retroazione è ottenere un sistema che ad anello chiuso è esattamente stabile quindi è poi facile da stabilizzare esattamente lineare scusate quindi poi facile da stabilizzare bene ovviamente quello che stiamo cercando di individuare una proprietà strutturale dei sistemi che dica quali sono i sistemi che hanno una struttura tale per cui noi riusciamo in effetti a cancellare nello lineari qua allora è molto semplice vedere che se l&#39;equazione di stato a questa struttura allora noi siamo sicuramente in grado di scegliere il valore dell&#39;ingresso in modo tale da cancellare loro linearità infatti in questo caso vedete come fatta questa membro di testa della dinamica del sistema a una parte lineare nello stato e poi a una parte non lineare nello stato che questo alfa dx che moltiplica questa matrice qui e infine a una parte in generale non lineare nell&#39;ingresso e il coefficiente della di questo termine quindi il coefficiente beta dx deve essere una matrice non singolare in un dominio che contiene origine infatti se abbiamo questa struttura basta scegliere o in questo modo quindi come alpha dx più beta alla meno 1 dx per lui infatti abbiamo x.org uale a hicks più b per beta dx per alfa hicks più beta alla meno 1 xv e questo sarebbe meno alfa dx quindi vedete cancelliamo questa e poi con questa matrice inversa beta alla meno 1 cancelliamo anche la beta e quindi quello che rimane è a xbv ora verificare i due sistemi che abbiamo considerato in precedenza lo scalare il punto è uguale a ips quadro più e poi il pendolo vedete che hanno esattamente questa struttura quel che quindi non è una sorpresa che siamo riusciti a scegliere in modo tale da cancellare non la non linearità ora nel momento in cui siamo arrivati a questa dinamica che esattamente lineare se la coppia b risulta essere stabilizzabile noi possiamo provare una matrice k che assegna gli auto valori in modo tale al sistema nell&#39;odioso modo tale che siamo nel segno piano sinistro e quindi abbiamo ottenuto una stabilità sintetica globale per l&#39;origine che in generale il nostro punto di equilibrio desiderato la retroazione finale cioè la legge di controllo che dobbiamo poi effettivamente inviare al sistema quale è questa in cui andiamo a sostituire v quale ha kx quindi è questa e come le precedenti a vedete termine che cancella e non linearità è un termine che stabilizza il sistema ad anello chiuso che succede il sistema non ha questa struttura bene non tutto è perduto in effetti può darsi che si riesca a mettere il sistema in quella forma attraverso una trasformazione di coordinate considerate per esempio questo sistema il punto uguale a sè non x2 x2 punto quale meno essuno al quadrato più chiaramente si sistemano lineare ma vedete che non riusciamo a individuare quale può essere l&#39;espressione in modo da cancellare dalla non linearità a seno di sua mentre possiamo facilmente cancellare questa non linearità con e non compare nella prima equazione differenziale quindi non sembra possibile realizzare esattamente il sistema considerate però questa trasformazione di coordinate in cui z1 uguale x1 z2 ea seno di x2 quindi diciamo sarebbe x1 punto è questa e invertibile perché potrete sempre scrivere x1 uguale a z1 e x2 uguale palco il cui seno e z2 su ha perlomeno questa è ben definita perfetta 2 compreso fra meno ea perché il seno deve essere compreso fra meno 1 e 1 quindi e invertibile questa trasformazione di coordinate in un intorno dell&#39;origine accordo a questo punto riscriviamo la dinamica del sistema nelle coordinate trasformate abbiamo z1 punto mangiata una x1 quindi sarebbe x1 punto e quindi sarebbe z2 perché z2 propri x1 punto quindi la prima equazione eccola qui è diventato az 1 punto quale e da due z2 punto sarebbe la derivata di a seno di x2 per la derivata di x2 rispetto al tempo quindi sarebbe a per il coseno di x2 per x2 punto che questa eccola qui quindi beta 2 punto è diventata questa adesso vedete che la normalità è tutta nella seconda equazione la prima questione lineare e si vede subito che noi possiamo cancellare tutte le nuvole anita le non linearità in questo modo perché questa struttura è proprio di questo tipo qui in particolare scegliendo un uguale x1 quadro più uno sua coseno di x2 per l&#39;ingresso residuo abbiamo da sistemata nell&#39;ultimo gioco diventa z eccolo qui set a 1 punto uguale a z2 e z2 punto quale album molto semplice questa naturalmente retroazione vedete attenzione a una singolarità potenziale perché abbiamo dovuto dividere per il coseno e quindi dobbiamo necessariamente garantire che x2 sia più piccolo in valore assoluto di pi greco mezzi perché se raggiungesse pi greco mezzi uno sul coseno diverge rebbe all&#39;infinito e naturalmente non potremmo implementare questa retroazione quindi dobbiamo limitare la campo di applicabilità di questa retroazione a x2 compreso fra meno pi greco mezzi epicoco mesi ma del resto vi ricordo che dobbiamo avere un intorno dell&#39;origine e quindi sicuramente abbiamo garantito questo comunque attraverso questa scelta di x2 di questo sistema qui vedete è ad anello chiuso banalmente lineare anche controllabile infatti si tratta di un doppio integratore e quindi viene stabilizzato semplicemente da una retrazione lineare il controllo finale avrà questa espressione qui in cui quindi andremo a sostituire retro l&#39;azione stabilizzante che sarà uguale a k1 per z1 più k2 terzietà 2 con k1 k2 scelte in modo tale da assegnare gli auto valori ad anello chiuso la trasformazione che abbiamo utilizzato per passare nelle coordinate in cui il sistema la struttura desiderata e la sua inversa sono entrambi derivabili e hanno derivata continua e questo si indica dicendo che la matrice che la trasformazione di coordinata e un coordinate e un liceo morphx ismo allora a valle proprio di questo esempio noi possiamo dire che un sistema non lineare e linearità bile ingresso stato cioè esiste una legge che lo trasforma in un sistema che è completare la cura nel cui l&#39;evoluzione dello stato è descritta da una quantità equazioni lineari se esiste un disse home orfismo z funzione dello stato definito su un dominio che contenga l&#39;origine tale che il sistema nella forma trasformata sia quella che abbiamo definito il precedente con una matrice b che deve risultare non singolare all&#39;interno dello stesso dominio definito in precedente quindi sistema è sicuramente linea disabile ingresso stato se è già in questa forma oppure se esiste 11 mar fismo che lo metta in questa forma quando questo sia possibile allora possiamo stabilizzare globalmente attraverso una trasformazione di coordinate che questa qui quella che ci fa passare in questo form e poi una retrazione statica dallo stato che come abbiamo visto a una doppia struttura cancellare leno linearità e controllare il sistema linea rizzato stabilizzare se preferite il sistema linea rizzato qualche osservazione qui abbiamo fatto questa procedura di linearizzazione ingresso stato attraverso una retrazione statica cioè una retrazione in cui la legge di controllo dipende in modo istantaneo da lo stato hicks in realtà ve ne ricordate lo avevo accennato anche all&#39;inizio di questa lezione c&#39;è una classe più generale che è quella dei controlli dinamici in cui la legge di controllo dipende in modo dinamico dal valore dello stato quindi c&#39;è una parte del controllore che è descritta da un&#39;equazione differenziale come del resto in questi cori in questo posto noi abbiamo incontrate diverse ebbene interessante notare che la classe dei sistemi che si possono linea riza reingresso stato con situazione dinamica e più ampia di quella dei sistemi che si possono realizzare con e trazione statica quindi qualche volta può verificarsi il caso in cui noi non abbiamo la possibilità di trovare una situazione statica che linea riza il sistema ingresso stato ma invece siamo in grado di trovare una linea una retrazione dinamica che risolve lo stesso problema anche se naturalmente non abbiamo assolutamente la possibilità di approfondire questo aspetto in questo corso ma sono sappiate che esiste questa possibilità peraltro qui abbiamo parlato i rappresentati le realizzazioni ingresso stato un altra linearizzazione che si può fare la realizzazione ingresso uscita quella in cui si linea riza non tutta la dinamica del sistema quindi non l&#39;evoluzione dello stato ma si ottiene una mappa lineare tra lo stato e la sua tragica essi e le uscite questo è utile quando per esempio si vogliono risolvere dei problemi di inseguimento di uscite di riferimento questa legge di questo approccio che abbiamo che abbiamo brevemente descritto appare molto potente perché consente di stabilizzare globalmente i concerti punti dei sistemi di stemmi non lineari purché naturalmente i sistemi abbiano certe strutture ma nel momento in cui questo sia possibile e l&#39;approccio sicuramente molto potente per che otteniamo stabilità globale però qualche svantaggio ce l&#39;ha questo approccio rispetto anche a quello precedente basato sull&#39;approssimazione lineare quali sono questi svantaggi primo svantaggio è che questo approccio richiede la conoscenza esatta dei parametri del modello perché perché dobbiamo cancellare le non linearità e quindi dobbiamo conoscere la parte del modello per lo meno che andiamo a cancellare per intenderci se riprendete in esame la legge di controllo che abbiamo individuato su questo sistema con il metodo basato sulla realizzazione esatta questa legge di controllo era quest&#39;ano in cui avevamo detto bene la prima parte serve a cancellare nella non linearità e la seconda serve a stabilizzare il sistema beh se il parametro a è ignoto allora questa legge di controllo non si può implementare e in ogni caso anche se io la implemento con un valore nominale del parametro ama questo parametro ha poi ha un valore diverso dal valore nominale allora quello che succede che l&#39;hanno danno la cancellazione della non linearità che pensavo di aver ottenuto è invece non esiste e quindi il sistema che pensavo di aver stabilizzato in generale non sta bene dato questo invece non accade per il metodo di controllo che rinunciava a cancellare la verità e si limitava a stabilizzare localmente il sistema vi ricordate in questo caso la legge di controllo era semplicemente questa è naturalmente questa non richiede la conoscenza del parametro a questa funziona purché k sia minore di zero maggiore di zero e quindi non richiede alcuna informazione sul palazzo i parametri del sistema originario quindi la legge di controllo basato sulla prossima azione lineare che da una parte e meno performante perché non ottiene la stabilità sintetica globale dall&#39;altra però più robusta perché è più povera e quindi richiede di meno in termini di conoscenza del modello legge di controllo basata sulla prossima realizzazione satta ingresso stato più potente ma richiede di più in termini di conoscenza quindi meno robusta se il parametro a cambia rispetto al valore nominale non avremo più funzionamento desiderato ciò secondo svantaggio legato a dub l&#39;uso dei metodi e metodo basato sulla realizzazione cosa esatta ed è che in qualche caso uno si può trovare a cancellare attraverso la cancellazione delle non linearità dei termini che sono sino lineari eva sono in effetti benefici per il problema di stabilizzazione considerate per esempio questo sistema scalare che il sistema non lineare sicuramente a causa della presenza di questi termini cubico ora se noi ci buttiamo pedissequamente nella filosofia della linearizzazione esatta cosa facciamo diciamo bene facciamo così come prima cosa cancelliamo la non linearità scendiamo in modo che contenga il termine più bx al cubo e questo cancellerà la non linearità e poi avremo un sistema ad anello chiuso che sarah hicks punto o uguale a hicks meno bx al cubo si cancella con il termine pubblico che abbiamo messo nell&#39;ingresso quindi rimane a hicks meno kx e quindi a meno kx ovvero scriviamolo così meno k meno a x ics corazze cup e maggiore di a questo è convergente all&#39;origine abbiamo ottenuto quindi un sistema ad anello chiuso che esattamente stabile talmente lineare e globalmente simpaticamente stabile abbiamo ottenuto la stabilità si pratica globale dell&#39;origine benissimo però in effetti se ci riflettiamo un attimo il termine meno bx al cupo è un termine che in realtà aiuto alla stabilizzazione perché perché è una forza di richiamo non lineare vi ricordate quando abbiamo parlato dei delle card e molle non elastiche no del delle mole non lineari del termine del modello m m ms non lineare ebbene il termine meno bx al cubo come fatto positivo e meno b e spinge verso l&#39;origine se meno b per il cubo numero positivo quindi negativo spinge verso l&#39;origine se xe negativo meno bx al cubo è positivo spinge di nuovo verso l&#39;origine quindi questo termine è una forza di richiamo che noi abbiamo cancellato e non è detto che questo sia stata una buona idea infatti se considerate questo semplice controllore lineare quindi non cancelliamo la non linearità ma ci limitiamo a usare questo controllo e lineare il sistema ad anello chiuso diventa ovviamente questo che differisce dal precedente che era esattamente lineare perché vedete il termine cubico è ancora presente ora questo sistema ad anello chiuso pur essendo non lineare all&#39;origine come punto di equilibrio globalmente asintoticamente stabile per esempio potete dimostrarlo scegliendo come v questa che è definita positiva e qualsiasi intorno dell&#39;origine radialmente limitata vi lascio la verifica raccolata ev punto vedete che è definita negativa in qualsiasi intorno dell&#39;origine e le traiettorie di questo sistema convergono a 0 più rapidamente delle traiettorie di questo sistema infatti quando avete per esempio siete lontani dall origine questo termine meno bx al cubo e dominano sul termine lineare e qui a garantisce una convergenza molto veloce perché spinge moltissimo verso l&#39;origine mentre questo sistema qui quello esattamente lineare ad anello chiuso non ha quel termine cubico quindi continua convergere con una velocità che è sempre quella dettata dal membro di destra che lineare quindi avete ottenuto in entrambi i casi una stabilità sintetica globale l&#39;origine e il primo caso utilizzando la filosofia della realizzazione satta nel secondo caso usando una semplice legge di controllo lineare e avete avuto un sistema che converge più rapidamente all&#39;origine se usate una semplice legge di controllo lineare che non usando una legge di controllo che linea riza esattamente la dinamica del sistema ad anello chiuso peraltro un&#39;altra conseguenza di questa cancellazione inutile e uno sforzo di controllo molto più elevato infatti questa legge di controllo assume quando siete lontani dall origine valori molto grandi perché contiene un termine cubi con valori che domina il termine lineare quando siete lontani dall origine mentre la legge di controllo lineare quando siete lontani dall origine non contiene questo termine non contenendo questo termine pubblico non cresce quindi avete uno sforzo di controllo molto maggiore per il controllore basato sulla realizzazione esatta perché per che state andando a cancellare una parte del della dinamica del sistema e questo richiede controllo ma quella parte della dinamica del sistema è in realtà una parte benefica quindi usate più controllo per avere una convergenza più lenta e inoltre come abbiamo visto in precedenza il sistema e meno robusto ora questo non vuol dire che la filosofia lanciata sull&#39;approssimazione esatta sia fallimentare tutt&#39;altro sulla realizzazione esatta scusata sia fallimentare tutt&#39;altro si tratta è una tecnica molto potente ma va usata con parsimonia qualche volta è più conveniente usare una stabilizzazione è basata sul criterio di lettori akros che tra l&#39;altro ci dà anche un&#39;interpretazione fisica in termini energetici senza ricorrere necessariamente a queste linearizzazione che hanno un carattere matematico altre volte si può invece ragionare guardando attentamente la natura del sistema e per esempio ci si può limitare a linea lizzare i termini non lineari che siano diciamo così non benefici per la stabilizzazione lasciando invece sopravvivere i termini di me non lineari che aiutano a risolvere il problema di stabilizzazione

l&amp;#39;ultimo argomento di cui ci occupiamo nel corso di queste elezioni di controlli automatici e la stabilizzazione dei sistemi non lineari via retroazione dallo stato nelle precedenti edizioni abbiamo studiato la stabilità dei sistemi non lineari privi l&amp;#39;ingresso quindi abbiamo essenzialmente preso un punto di vista analitico nel quale abbiamo determinato i punti di equilibrio di un sistema lineare espresso attraverso la sua dinamica e sputa uguale asterix e di questi punti di equilibrio abbiamo indagato le proprietà di stabilità stabilità asintotica e così via adesso questi queste nozioni che utilizzeremo per risolvere un problema di progetto quindi non più determinare se un dato sistema è stabile non o meno le vittorie di un certo punto di equilibrio ma invece scegliere una legge di controllo in modo tale che un certo punto di equilibrio diventa instabile asintoticamente quindi di queste elezioni ci avremo a che fare con un sistema del tipo spunto uguale f dx o y uguale gdx nel quale vedete compare adesso il segnale di ingresso per generalità abbiamo anche introdotto un equazione riuscita questa diciamo sarebbe il modello completo di un sistema non lineare stazionario da confrontare con un completo il modello completo di un sistema lineare che come ben sapete una forma di questo tipo come al solito supponiamo che lo stato abbia n componenti ingresso p componenti l&amp;#39;uscita componenti il problema di stabilizzazione via retroazione dallo stato è quello di scegliere una legge di controllo tale che il sistema d&amp;#39;anello chiuso abbia un certo punto di equilibrio xcode come punto di equilibrio sinteticamente stabile quindi l&amp;#39;idea è quella di avere il nostro sistema non lineare di cui misuriamo lo stato e sulla base di questo stato andiamo a costruire una legge di controllo che utilizziamo per forzare il sistema di controllo l&amp;#39;idea appunto e di rendere un certo stato di equilibrio asintoticamente stabile cos&amp;#39;è questo stato di equilibrio bene lo stato di equilibrio dipende dall&amp;#39;applicazione è essenzialmente uno stato operativo desiderato per esempio se stiamo progettando il sistema di controllo per un satellite una delle variabili variabili fondamentali che definiscono diciamo la condizione operativa di un satellite sono le condizioni abili di assetto quindi l&amp;#39;orientamento e questo satellite per esempio nel caso in cui questo satellite porti come sempre accade delle antenne o comunque delle sensori di misura che devono essere quindi direzionati in un certo modo bene lo stato operativo è l&amp;#39;assetto che desideriamo è questo stato operativo deve diventare il punto di equilibrio a cui vogliamo che convergano converga lo stato del sistema un altro esempio può essere quello di una postura per esempio per un manipolatore robotico in cui vogliamo muovere il manipolatore da una certa configurazione ad un&amp;#39;altra configurazione nella quale per esempio il manipolatore sia in grado di afferrare un certo oggetto mediante il suo organo di presa la sua mano ebbene per portare questo sistema manipolatore robotico sistema fortemente non lineare dalla configurazione iniziale alla configurazione finale specificata come la postura desiderata e necessario che questa postura delle schierata diventi un punto di equilibrio e debba essere deve essere asintoticamente stabile per lo meno localmente cioè dobbiamo convergere da un ampio bacino di attrazione se possibile a quella configurazione altri esempi sono per esempio una posizione orientamento per un robot mobile un&amp;#39;operazione di parcheggio si può rappresentare si può realizzare come la stabilizzazione del sistema robot mobile ad una posizione desiderata configurazione nello spazio con un certo orientamento del robot che deve diventare un punto di equilibrio asintoticamente stabile la cosa importante è che il generale il punto di equilibrio hicks con dean non è detto che sia un punto di equilibrio per il sistema lello aperto ma deve diventarlo per il sistema ad anello chiuso deve diventarlo perché noi vogliamo che nel caso in cui il sistema si trovi i knicks con dei non si muova da lì perché quella è la nostra e il nostro stato operativo desiderato ma viceversa se non siamo nessuno di vogliamo convergere di quindi vogliamo la stabilità ma sintetica di questo stato di equilibrio in generale ovviamente questo stato di equilibrio non è un punto di equilibrio per il sistema ad anello aperto deve diventarlo per il sistema ad anello chiuso che deve contenere in sé le informazioni di quale questo stato di equilibrio desiderato nel seguito facciamo l&amp;#39;ipotesi che questo stato di equilibrio sia l&amp;#39;origine infatti potete sempre ricondurli a questo caso con una semplice transazione di coordinate in cui definite le nuove variabili di stato z come hicks meno lo stato desiderato e quindi il vostro problema diventerà portare z a zero cioè all&amp;#39;origine adesso parlando di un sistema lineare noi questa problema che abbiamo appena enunciato lo conosciamo bene si tratta di scegliere una legge di controllo o uguale k per hicks in modo tale che il sistema ycs punto uguale a xbv ad anello chiuso sia asintoticamente stabile quindi si tratta in effetti non come sapete bene di scegliere la matrice k in modo tale che gli auto valori dia più bk e abbiano parte reale negativa questo è il problema che abbiamo chiamato stabilizzazione con regolazione dallo stato c&amp;#39;è sempre questo cambio di terminologia e ma di cui abbiamo già discusso l&amp;#39;origine e cioè che quando parliamo di sistemi non lineari parliamo di stabilità dei punti di equilibrio quando parliamo dei sistemi lineari parliamo di stabilità e basta del sistema abbiamo osservato che questo accade perché nei sistemi lineari la stabilità di un punto di equilibrio implica la stabilità di tutti gli altri e l&amp;#39;instabilità di un punto di equilibrio indica l&amp;#39;instabilità di tutti gli altri quindi quando parliamo di stabilità asintotica di un sistema lineare stiamo parlando in effetti della stabilità stabilità sintetica dell&amp;#39;unico punto di equilibrio che può essere asintoticamente stabile in un sistema lineare cioè l&amp;#39;origine come sappiamo il problema di stabilizzazione con le tracce dello stato si può risolvere in un sistema lineare se il sistema è completamente raggiungibile oppure se la eventuali auto valori che non siano raggiungibili hanno già parte reale negativa in questo caso diciamo che il sistema e stabilizzabile ovvero che la coppia abi e stabilizzabile ci occupiamo di retroazioni stati che quindi qui abbiamo parlato vedete di detrazioni statiche o uguale k dx in che senso stati che nel senso di istantanee nel senso che se io conosco il valore dello stato misurato come in questo schema e calcolo istantaneamente una legge di controllo che all&amp;#39;istante ti dipende soltanto dal valore dello stato all&amp;#39;istante ti quindi una retrazione statica in generale potrebbe anche essere interessante considerare delle retro azioni dinamiche situazioni dinamiche quando avrei ce l&amp;#39;avremo quando il controllo è a sua volta l&amp;#39;uscita di un sistema dinamico guidato dallo stato si dallo stato hicks quindi in questo caso è la generazione dell&amp;#39;ingresso è di questi del sito e segnali di ingresso e di questo tipo questo è la misura di hicks abbiamo un elemento dinamico per la cui dinamica è guidata da hicks e sulla base di xvi generiamo l&amp;#39;uscita vera e propria tra l&amp;#39;altro ne stiamo parlando di relazione dello stato quindi parliamo nel caso in cui tutte le componenti dello stato si possono misurare in generale come sappiamo bene questo potrebbe non essere possibile e in questo caso si fa una retrazione dell&amp;#39;uscita quindi in realtà questo schema si si sostituisce uno schema in cui le trazioni amo l&amp;#39;uscita e il da parte dinamica è governata guidata dall uscita e poi la legge di controllo e una funzione ancorati sì questo è quello che abbiamo fatto nel caso lineare quando abbiamo incluso un osservatore quindi il compito dello stato del osservatore a quello di ricostruire una stima xvi dello stato del sistema e poi di calcolare una retroazione dallo stato osservato ovviamente la stessa cosa in generale si può fare nei sistemi non lineari e infatti si può parlare di osservatore non lineare di retrazioni non lineare tuttavia noi ripeto in questa lezione conclusiva facciamolo stone cenno questo ampio argomento e quindi ci occupiamo soltanto di leggi di controllo che siano istantanee che siano funzione dello stato qual è l&amp;#39;idea di base che utilizzeremo l&amp;#39;idea di base è quella di stabilizzare il sistema considerando la sua approssimazione lineare perché facciamo questo perché abbiamo visto quando abbiamo citato il criterio indiretto di lia puro che se un sistema a una approssimazione lineare che è l&amp;#39;intorno di un certo punto di equilibrio e risulta essere asintoticamente stabile allora il punto di equilibrio in questione è per il sistema originario non lineare asintoticamente stabile sia pure localmente con un certo bacino di attrazione che andrà poi determinato quindi un&amp;#39;idea molto semplice per stabilizzare i sistemi non inari potrebbe essere questa calcoliamo l&amp;#39;approssimazione lineare del sistema intorno all&amp;#39;origine vi ricordo che l&amp;#39;origine e il punto di equilibrio desiderato una volta calcolata questa approssimazione lineare stabilizziamo la e questo è possibile attraverso una retrazione lineare se riusciamo a stabilizzare l&amp;#39;approssimazione lineare allora il criterio indiretto di apono indica che avremmo ottenuto anche la stabilità dell&amp;#39;origine per il sistema non lineare di partenza sia pure in modo locale cioè all&amp;#39;interno di un bacino di attrazione che poi eventualmente potremmo anche determinare quindi diciamo l&amp;#39;idea di appoggiarci sul criterio indiretto di reato e di stabilizzare l&amp;#39;approssimazione lineare per stabilizzare localmente il punto di equilibrio del sistema non lineare vediamo un esempio di questa idea su un semplicissimo sistema scalare si tratta di questo sistema che vedete contiene un parametro a sé ha una dinamica in cui abbiamo nel membro di destra una dipendenza quadratica dallo stato la dipendenza lineare invece dal segnale di ingresso la sua approssimazione lineare nell&amp;#39;interno dell&amp;#39;origine ovviamente è questa il punto uguale o perché perché la per quanto riguarda la funzione la dipendenza dallo stato questa è la funzione fbx a una derivata che è due a hicks e se la calcoliamo nell&amp;#39;origine e zero quindi il sistema all&amp;#39;approssimazione aree del sistema di partenza è un sistema che è un semplice integratore di spunto uguale out scompare completamente la dipendenza dallo stato ora questo è un sistema scalare che viene banalmente stabilizzato da questa retroazione lineare purché papa sia positivo otteniamo un sistema da noi hanno chiuso che x.org quale ha meno k dx essendo un sistema scalare la matrice dinamica coincide con il solito valore quindi se k è positivo questo sistema e asintoticamente stabile come approssimazione lineare bene abbiamo stabilizzato quindi l&amp;#39;approssimazione lineare cosa possiamo dire per il sistema originario il sistema non lineare il sistema non lineare a questa dinamica ad anello chiuso no perché a ingresso o abbiamo sostituito la retrazione lineare meno kx quindi questa dinamica che ancora ovviamente non lineare per il criterio di léa pool a noi possiamo dire che l&amp;#39;origine è un punto di equilibrio asintoticamente stabile perché è un punto di equilibrio asintoticamente stabile per l&amp;#39;approssimazione lineare quindi avremmo ottenuto il risultato di rendere l&amp;#39;origine del sistema origini del sistema non lineare stabile asintoticamente alcune osservazioni su questo risultato intanto vi faccio notare che questa proprietà di stabilità asintotica che abbiamo ottenuto è sicuramente locale infatti questo sistema ha un secondo punto di equilibrio vi ricordo che per calcolare i punti di equilibrio dobbiamo azzerare la dinamica del sistema in questo caso questo vuol dire che dobbiamo risolvere questa equazione e questo ovviamente si sa nulla quando hicks quale 0 che bene l&amp;#39;origine ma anche quando hicks uguale cup su ha quindi il sistema ad anello chiuso a seguito della nostra retroazione a un ulteriore punto di equilibrio e per hicks uguale la cappa sua il sistema chiaramente resta indefinitamente in quel punto di equilibrio e addirittura se xe maggiore di k sua allora il sistema divergerà quindi la regione di attrazione per questo sistema che abbiamo stabilizzato localmente e hicks minore di k sua quindi abbiamo una regione che contiene sicuramente l&amp;#39;origine e che però non può estendersi oltre k sua questo è il bacino di attrazione se abbiamo hicks maggiore di k sua allora evidentemente quello che succederà e che la dinamica del sistema ad anello chiuso sarà avrà una derivata positiva come potete verificare facilmente e in questo caso la convergenza all&amp;#39;origine evidentemente si perde il sistema a uno stato che diverte e pur vero che pur essendo questo il risultato locale i miei per ciclo noi possiamo rendere questa regione di attrazione grande a piacere perché possiamo decidere noi il valore di kk e il guadagno della retroazione che abbiamo deciso di utilizzare quindi nel momento in cui vogliamo avere convergenza all&amp;#39;interno di un insieme che sia per esempio di raggio r intorno all&amp;#39;origine è sufficiente me è sufficiente che questo raggio è recata all&amp;#39;interno del bacino di attrazione in questo modo quindi basta porre che k sia maggiore di a per hervé si parla in questi casi di stabilità non globale ma se mi globale nel senso che esiste un bacino di attrazione ma è possibile rendere questo bacino di attrazione grande a piacere modificando i parametri del controllore qui basta modificare il semplice guadagno k tuttavia in ogni caso si tratta di una stabilità che non è globale perché una volta costruito questo controllore scelto il valore di k avrete sempre comunque dei valori dello stato e quelli in maggiore di k sua dai cui non avete convergenza ragazzi avete le divergenze questo approccio che abbiamo utilizzato su questo sistema si può naturalmente generalizzare in maniera molto semplice è quello che facciamo adesso con riferimento a questo genere con sistema stazionario non lineare nell&amp;#39;ipotesi che il quale 0 uguale zero sia un punto di equilibrio osservate come la definizione stessa di punto di equilibrio sia adesso veramente diversa mentre considerando sistemi con una dinamica il tipo di spunto quale f dx quindi non forzati da ingressi e la spunto di un libro fosse un punto dello spazio di stato adesso per avere spunto uguale a zero cioè fx uguale a zero dobbiamo decidere sia il valore di esse che il valore dio quindi un punto di equilibrio in realtà una coppia stato e valore dell&amp;#39;ingresso accoppiato a quello stato che effettivamente mantiene in grado di mantenere il sistema e nelle zone intorno al punto di equilibrio qui nel punto di equilibrio quelli la coppia che supporre mo che sia hicks quale 0 che sia appunto di equilibrio supremo che sia il quale 0 uguale zero anche per quanto riguarda il segnale l&amp;#39;ingresso se il valore dell&amp;#39;ingresso all&amp;#39;equilibrio non fosse 0 potremo sempre fare una traslazione dell&amp;#39;ingresso che riporti a zero il punto di equilibrio quindi semplice un semplice accorgimento ci consentirà effettivamente di soddisfare queste cose qui lo vedremo anche un esempio però adesso nel resto nel seguito supponiamo che il punto di equilibrio sia caratterizzato da stato nullo e ingresso a questo punto procedendo così come abbiamo fatto per sistemi non forzati possiamo calcolare l&amp;#39;approssimazione lineare intorno al punto di equilibrio come facciamo la funzione f in altri termini possiamo calcolarla in q come la funzione è in 00 più la derivata pf rispetto a hicks calcolata in 00 per la variazione dello stato più la derivata di f rispetto a calcolata in 00 per la variazione dell&amp;#39;ingresso rispetto al suo valore più i termini di ordine superiore ora questo è zero perché perché abbiamo assunto che il suolo zero uguale zero sia un punto di equilibrio quindi questo non c&amp;#39;è questo lo trascuriamo perché stiamo calcolando un approssimazione del sistema che è valido quando siamo nelle vicinanze del punto di equilibrio in questione è quindi quello che resta è quello che avete qui x.org uale questo termine più questo termine questa quindi la matrice di a rubiana rispetto allo stato calcolata nel punto di equilibrio la chiamiamo a questa la matrice a rubiana rispetto all&amp;#39;ingresso calcolare nel punto di equilibrio la chiamiamo b e quindi l&amp;#39;approssimazione lineare nel sistema è un classico sistema lineare della forma hicks puntuale ai più bio questi sistemi non li conosciamo molto bene e sappiamo che se la coppia ab risulta stabilizzabile dove a e questa e b è questa allora possiamo progettare una retrazione lineare dallo stato in modo tale che le auto valori dia più bk abbiano parte reale negativa e a questo punto se riusciamo a fare questa cosa l&amp;#39;approssimazione e lineare e asintoticamente stabile e quindi per i criteri diretto di up all osso l&amp;#39;origine è diventata localmente asintoticamente stabile per il sistema non lineare cosa può andare sotto beh può andare storto che quando andiamo a calcolare l&amp;#39;approssimazione delineare questa risulta non essere stabilizzati a questo in effetti può accadere abbastanza spesso ora nel caso in cui l&amp;#39;approssimazione lineare risulti non essere stabilizzabile questo non vuol dire assolutamente che il sistema originario si possa il sistema non lineare originario non possa essere stabilizzato intorno al punto di equilibrio origine e addirittura non si può neanche escludere che esista una retrazione lineare il grado di ottenere questo risultato basta considerare questo semplice esempio xp e spunto uguale o al cubo la cui approvazione lineare e naturalmente x.org uale a 0 come faccio a dire questo bene naturalmente non avete una dipendenza dallo stato avete una dipendenza dall ingresso quando calcolate la jacob jana della dinamica al cubo rispetto all&amp;#39;ingresso avete tre al quadrato la calcolate per l&amp;#39;origine nell&amp;#39;origine quindi hicks uguale zero o uguale zero e ottenete zero quindi l&amp;#39;approssimazione lineare di questo sistema è zero del resto quello che questo risultato ci sta suggerendo e che la dinamica di questo sistema è tutta non lineare infatti a kubica se trascuriamo le parti di grado superiore al primo la dinamica del sistema scompare ci troviamo con zero ora questa approssimazione lineare non è stabilizzabile ovviamente in ingresso e addirittura scomparso quindi è la matrice a e la matrice b sono nulla per questo sistema tuttavia questo se è questo sistema viene stabilizzato da questa legge in retroazione x.org uale meno hicks al cubo infatti è un a l&amp;#39;origine come punto di equilibrio globalmente asintoticamente stabile 1 degli esempi che abbiamo studiato parlando di teoria della stabilità come quando proprio l&amp;#39;esempio conclusivo mi pare al termine della nello studio del criterio indiretto quindi siamo in presenza di un sistema la cui approssimazione lineare non è stabilizzabile ma il sistema è banalmente stabilizzabile intorno all&amp;#39;origine addirittura con un controllore lineare quindi questo nostro approccio al progetto di un controllore stabilizzante per un sistema non lineare e non è detto che funzioni sempre non funzionerà anche in situazioni nelle quali una soluzione esiste ed è piuttosto semplice però diciamo fatti salvi questi limiti si tratta di un metodo molto semplice da utilizzare che in effetti da risultati buoni in molti casi anche perché questo approccio basato sull&amp;#39;uso dell&amp;#39;approssimazione lineare e se funzionano solo stabilizza localmente il sistema intorno al punto di equilibrio ma ci consente anche di derivare una stima di at del dominio di attrazione del punto di equilibrio per il sistema non lineare infatti questo approccio ci suggerisce come è fatta una funzione di léa pool off per il sistema non lineare sulla base di questo risultato teorema questo tema dice che un sistema lineare x.org uale a hicks e asintoticamente stabile se è solo se l&amp;#39;equazione di le app on off che questa ammette una unica soluzione simmetrica e definita positiva nel incognita p comunque fissi a venga fissata quinnell membro di destra una matrice di cu cu simmetrica e definita positiva quindi cosa come utilizziamo questo telefono iniziamo questo teorema dicendo che se il sistema lineare e stato stabilizzato allora sicuramente esiste una matrice picche soddisfa questa relazione vedremo tra un attimo perché questo è utile ma intanto vi mostriamo teorema dimostriamo la sufficienza quindi dimostriamo che se esiste una soluzione alla equazione delle a como in metrica e definita positiva allora il l&amp;#39;origine del sistema lineare asintoticamente stabile la dimostrazione è un applicazione del criterio di dove ricordo che sistemi lineari possono sempre servizi come casi particolari sistemi non lineari e quindi ad essi si può applicare anche il criterio diretto di a call of allora in questo caso prendiamo come candidata di lavoro per studiare la stabilità dell&amp;#39;origine questa funzione questa funzione definita positiva per ipotesi perché l&amp;#39;api è definita positiva per ipotesi siamo mi ricordo dimostrando la sufficienza di questa condizione quindi questa è un mezzo di trasposto pdx è definita positiva quindi in realtà la v e addirittura radialmente illimitata oltre a essere definita positiva in qualsiasi intorno dell&amp;#39;origine bene quanto vale la v punto dunque la v punto vale hicks trasposto per p x ics punto quindi sarebbe al posto di hicks punto possiamo sostituire a hicks posto pi.arc adesso facciamo una piccola elaborazione di questa quantità la scriviamo come un mezzo di due volte se stessa che banalmente vero dopodiché osservando che questo è uno scalare e questo anche ovviamente è uno scalare e quindi essendo uno scalare uguale altro po trasposto scriviamo il secondo di questi termini questo qui come il proprio trasposto quindi cosa abbiamo vi ricordo che nel trasporto nel trasporto andiamo ad est da destra a sinistra quindi abbiamo il trasposto ha trasposto p trasposto una b e simmetrica per ipotesi quindi rimane p x ics ed è questa che vedete qui a questo punto abbiamo messo in evidenza qui la matrice pia più ha trasposto p che per ipotesi è il meno cupi ricordo che stiamo prendendo queste ipotesi stiamo dimostrando la sufficienza in questa condizione quindi al posto di pia più ha trasposto p possiamo sostituire chi è quindi cosa abbiamo ottenuto abbiamo ottenuto che la v punto è definita negativa in qualsiasi intorno dell&amp;#39;origine infatti vi ricordo che la matrice q è per ipotesi definita positiva e quindi la meno q è definita negativa quindi anche questa è definita negativa in qualsiasi intorno del rigine e di conseguenza abbiamo per l&amp;#39;origine del nostro sistema lineare una funzione di lavoro la cui derivata è definita negativa possiamo concludere la stabilità asintotica dell&amp;#39;origine quindi abbiamo dimostrato la sufficienza della condizione espressa dall equazione di diavolo in modo analogo si dimostra la necessità e quindi diciamo che questo teorema per noi è utile in che modo è utile perché abbiamo stabilizzato l&amp;#39;approssimazione lineare ad anello chiuso attraverso la scelta di una o uguale a k dx cosa vuol dire vuol dire che applicando questo teorema essa deve ammettere come funzione di capo nord questa funzione qui in mezzo di trasposto pdx dove p è l&amp;#39;unica soluzione simmetrica e definito positiva della corrispondente equazione di riaprono fa tensione qui l&amp;#39;equazione diciamolo corrispondente va scritta considerando che il nostro sistema tranello chiuso a al posto di questo di questa matrice a vedete abbiamo la matrice a più bk quindi le questioni di carlos conterrà la matrice a più bk quindi questa è una funzione di lea bonus per il sistema lineare che noi abbiamo stabilizzato attraverso la scelta della legge di retrazione ebbene questa sarà una funzione di reato non fa anche per il sistema di non lineare e quindi potremo utilizzare questa questa funzione di capo non per studiare la stabilità del punto di equilibrio origine di in particolare per dedurre una stima del bacino di attrazione vediamo questa procedura con riferimento ad un esempio e in particolare parliamo sempre del pendolo ma questa volta abbiamo aggiunto un attuatore ha aggiunto quindi è un motore fondamentalmente un motore in grado di erogare una coppia rotante che modifica la posizione del pendolo si tratta quindi di modificare l&amp;#39;equazione dinamica del pendolo vi ricordo che era questa era uguale a zero senza attuatore e adesso ovviamente nel membro di destra dobbiamo aggiungere alla forza di attrito e alla forza di levante dalla gravità la coppia derivante dalla gravità la coppia motrice quindi come ricaviamo l&amp;#39;equazione con lo spazio di stato di questo sistema come al solito prendiamo come variabile di stato la posizione e la velocità angolare la di una nota che adesso abbiamo segnali di ingresso quindi la nostra coppia tau la chiamiamo perché è proprio il nostro segnale di ingresso quindi le equazioni quali sono le equazioni sono x1 punto uguale x2 perché la derivata di x1 e la derivata di teta quindi atleta punto e quindi e x2 la derivata di x2 essendo x2 pari a creta punto è invece 32 punti e quindi è ricavata da questa isolando 32 punti come al solito e scrivendo da due punti uguale abbiamo mgl seno ripeta col segno meno m si semplifica rimane gcl seno di teta poi abbiamo meno di cml 4tet a punto e poi abbiamo più uno su mm quadro per sé che è questa equazione qui avendo osservato che teta ex1 detta punto e x2 e averlo chiamato questi coefficienti rispettivamente a b e c adesso supponiamo di voler stabilizzare il pendolo ad un angolo teta di generico ora naturalmente in assenza di coppia motrice avevamo solo due voci di equilibrio questi due punti di equilibrio erano il pendolo da un chiamato no e il pendolo up e questi due punti in equilibrio vano delle proprietà di stabilità ben diverse e il punto di equilibrio down era asintoticamente stabile il punto di equilibrio a terra in stat adesso è intuitivo che grazie alla presenza della coppia motrice lui possiamo di fatto bloccare il pendolo in qualsiasi posizione perché possiamo erogare una coppia in qualsiasi posizione che bilancia la forza di attrito e quindi sostanzialmente mantenere bilanciare il pendolo in una qualunque configurazione e di cosa vuol dire vuol dire che applicando un&amp;#39;opportuna coppia noi possiamo rendere qualunque posizione netta di un punto di equilibrio quindi supponiamo di voler e appunto risolvere il problema di stabilizzare questo tendo ad un angolo tetra di generico il punto di equilibrio e siderato quindi che cos&amp;#39;è e così è stato desiderato uguale a prima componente desiderata seconda componente desiderata la prima componente e d&amp;#39;età dei proprio questo angolo che vogliamo la seconda componente ovviamente è zero perché comunque punti di equilibrio devono avere velocità nulla allora cosa facciamo intanto ci troviamo di fronte al sistema in cui vogliamo stabilizzare non l&amp;#39;origine non lo stato 0 ma uno stato teta di zero quindi la prima cosa che dobbiamo fare è fare una trasformazione di coordinato una traslazione che metta l&amp;#39;origine che mette il punto di equilibrio e sterrato nell&amp;#39;origine quindi come avevamo anticipato in precedenza si tratta di fare questa semplice trasformazione di coordinate quindi definiamo nelle nuove coordinate nelle quali la prima coordinata e la differenza tra lo stato la posizione scusate angolare è la posizione desiderata mentre la seconda componente è la velocità e chiaro che quando saremo all&amp;#39;origine la posizione x1 sarà pari a detta di quindi avremo ottenuto il obiettivo che è quello di rendere il nostro punto di equilibrio desiderato pari all&amp;#39;origine quindi con questa trasformazione di coordinate la dinamica del sistema viene riscritta in questo modo osservate che al posto di x1 punto un disco dal 3 posto di seta 1 punto abbiamo dunque delta 1 sarebbe x1 punto meno x1 punto di e quindi sarebbe x1 punto visto che x1 punto di e zero perché la posizione desiderata è costante quindi z1 punto quale x1 punto e su 1.2 che del resto uguale a z2 e quindi ecco la dove viene la prima equazione della seconda equazione z punto 2 è uguale ai spunto due perché z2 e suo sono uguali come abbiamo già osservato e quindi la prendiamo dalla precedente equazione che è questa soltanto andiamo a riscrivere la dove compare x1 x2 scriviamo le nuove componenti dello stato quindi meno a seno dx1 diventa meno a seno dx1 queste z1 quindi x1 è sita uno più tetto di meno bz2 ma z2 è uguale iceberg meno bx due mais uguale a z2 scusate io ecco da dove viene questa seconda equazione quindi abbiamo fatto una trasformazione di coordinate per rendere l&amp;#39;origine punto di equilibrio e questa la formazione di coordinate ci ha portato a considerare delle nuove variabili stato z1 e z2 attenzione però adesso l&amp;#39;origine è un punto di equilibrio non ancora infatti se poniamo z1 uguale a zero e z2 uguale a zero il membro di destra della dinamica non si annulla completamente rimane nel membro di sinistra di destra rimane meno a seno di z1 uguale a zero quindi a meno a seno di teta di meno bz2 si sa nulla rimane più cv quindi in pratica è necessario scegliere un controllo che renda questo un punto di equilibrio non forzato dunque quello che sto dicendo è che se noi abbiamo questa dinamica e poniamo z1 uguale a zero e z2 uguale a zero cioè origine dello spazio di stato allora otteniamo z1 punto è uguale a zero e va bene ma poi teniamo z2 punto quale in meno a seno di teta di meno bg da due bambine rimane più ci vedete che abbiamo ancora movimento quindi non è un punto di equilibrio a meno che non abbiamo che meno a seno di teta di più c o uguale a zero ovvero a meno che non scendiamo come valore dell&amp;#39;ingresso un valore pari a a suu kyi se noti detratti ora questo a suu kyi seno di tradotti eccolo qui a come interpretazione quello di scrivendo il valore di a e dici che abbiamo definito in precedenza mgl seno di tetta di cioè che cos&amp;#39;è è la coppia di gravità quando il pendolo si trova in the tadini quindi in pratica quello che stiamo dicendo che se vogliamo rendere il punto z uguale zero un punto di equilibrio e allora dobbiamo necessariamente scegliere un valore dell&amp;#39;ingresso erogare un valore dell&amp;#39;ingresso che mantenga il sistema in quello stato cioè dobbiamo erogare una coppia che bilanci la forza di gravità quindi in pratica quello che possiamo fare è quello che si fa e di porre un ingresso scegliere un ingresso che ha due componenti una è una componente che chiameremo il feedback che sceglieremo in funzione dello stato e la seconda è la componente che si chiama in fit for words il la componente il film forward ha il compito di rendere il punto di equilibrio il punto desiderato un punto di equilibrio e quindi in pratica la coppia che alla fine il nostro sistema di controllo erogherà sarà la somma di queste due coppie sempre la componente di feel for words che ha il compito di mantenere il sistema in equilibrio una volta che saremo andati a convergere all&amp;#39;origine e la seconda componente componente in feedback ha il compito di stabilizzare il sistema a questo punto di equilibrio quindi il sistema pannello chiuso avendo scelto questa doppia natura del segnale di ingresso lo possiamo scrivere in questo modo il valore di più diventa cfb più cff infine vorwerk ora il valore di cfs e secondo questa formula ha per il seno di teta di e quindi lo abbiamo portato qui vedete ecco qua il sistema che rimane ad anello chiuso a quindi come ingresso residuo diciamo solo l&amp;#39;ingresso di feedback l&amp;#39;ingresso di fit forward avendone determinato rendono scelto l&amp;#39;espressione appare adesso come una quantità che si va a sommare al resto della dinamica del sistema che non dipende più da all&amp;#39;ingresso è definita vediamo se questo a 0 0 come punto di equilibrio quindi iscriviamoci questa dinamica e se vogliamo fare e ora z10 z 2 a 0 e vedere se il punto 0 0 è un punto di equilibrio quindi abbiamo z1 punto sul quale a zero e z 2.1 ha nemmeno a segno di testa di meno sentite tadi quindi questo la mia 0 più cfb e quindi l&amp;#39;origine è un punto di equilibrio non forzato cioè se con chiamo un fb uguale a zero l&amp;#39;origine è un punto di equilibrio quindi abbiamo ottenuto lo scopo di riscrivere il nostro sistema in modo tale che l&amp;#39;origine sia il punto di equilibrio non forzato al quale vogliamo che il sistema converga fatto che il punto di equilibrio sia non forzato non vuol dire che all&amp;#39;equilibrio non avremo forzamento vuol dire che questo questa componente dell&amp;#39;ingresso sarà nulla all&amp;#39;equilibrio ma come abbiamo detto la componente di fit for words quella è costante e serve a bilanciare il lo stato del sistema il pendolo nella configurazione teta di generica quindi quella non si annullerà mai ed è proprio quella che rende il punto un punto di equilibrio bene a questo punto possiamo partire con il nostro approccio tutta questa queste due fasi quindi la prima azione dello spazio di stato traslazione nell&amp;#39;origine dx di origine diciamo e questa seconda procedura è stata quella di rendere xd un punto di equilibrio non forzato questo ci ha condotto a questa forma del sistema che adesso possiamo controllare come la controlliamo beh abbiamo detto il piano è molto semplice calcoliamo l&amp;#39;approssimazione lineare del sistema e stabilizziamo l&amp;#39;approssimazione lineare e questo ci darà una stabilità locale delle origini per il sistema non lineare e quindi avremo stabilizzato nelle coordinate originali e proprio il valore desiderato dello stato hicks con di e poi potremo anche studiarne il bacino di attrazione di questo punto di equilibrio come facciamo dunque si tratta di calcolare secondo la procedura che abbiamo discusso in precedente all&amp;#39;approssimazione lineare di questo sistema in un lineare quindi si tratta di calcolare la matrice jaco piane rispetto all&amp;#39;ingresso rispetto allo stato è calcolarla nel punto di equilibrio desiderato e rispetto all&amp;#39;ingresso è calcolata nel punto di equilibrio desiderato quindi procediamo la derivata della dinamica s rispetto allo stato z calcolato nel punto di equilibrio desiderato mi ricordo che stato 0 e controllo in cig 0 c da allora la derivata la prima componente della dinamica e z2 quindi la derivata rispetto a z10 la derivata rispetto agita 21 poi la seconda componente della dinamica e la seconda il membro diretta della seconda equazione differenziale derivato rispetto a gente a 1 abbiamo meno coseno di z1 più tenta di e poi rispetto a dietro due abbiamo meno b questa matrice va calcolata per z uguale zero e feedback uguale del controllo di feedback è uguale a zero e quindi al posto di z1 sostiamo 0 e otteniamo questa matrice a per quanto riguarda la matrice b abbiamo la derivata della dinamica del sistema due componenti prima equazioni differenziali sono le equazioni differenziali rispetto ad un anche questa poi va calcolata nel punto di equilibrio 1 compare nella prima equazione differenziale quindi abbiamo zero nella seconda equazione differenziale o compare usb per la precisione comprare x c è quindi la derivata è semplicemente c quindi è già costante senza bisogno di calcolarla nel punto di equilibrio a questo punto calcoliamo la verifichiamo la raggiungibilità della coppia abi per vedere se è possibile trovare un controllore stabilizzante quindi calcoliamo la matrice di raggiungibilità p che b a b visto che il sistema dimensione due quindi 0 c e poi abbiamo c è meno bipper c è quindi questo matrice ha sicuramente ago due se c è diverso da zero vi ricordo che c è in questa quantità qui 12 ml quadro quindi se il pendolo ha una massa una lunghezza e quella quantità è sicuramente diversa da zero quindi possiamo sicuramente assegnare addirittura in modo arbitrario di auto valori di anello chiuso perché possiamo risolvere il problema a r s non solo il problema srs e quindi una legge di questo tipo usb mi ricordo che il controllo residuo sb e usb quindi siamo determinando usb pari a una retrazione dallo stato vi ricordo meno stato si chiama z quindi il classico www.all k per hicks qui è diventato usb uguale k per z è bene che a questa espressione vuol dire che possiamo scegliere k1 e k2 in modo da assegnare arbitrariamente gli auto valori del sistema ad anello chiuso in particolare potete calcolare il determinante e della potete calcolare poi nome caratteristico di questa matrice verificare che le auto valori hanno parte reale negativa purché siano soddisfatte queste due condizioni k1 minore di ac succose novità di e k2 minore di b suu kyi quindi in questa ipotesi abbiamo detto che la coppia è ottenuta come la somma della coppia dei feedback più la coppia del fit forward in cui la coppia di feedback è questa ed è funzione vedete dello stato e la coppia di fit formali invece questa ed è costante dipende soltanto da dove vogliamo posizionare il pendolo quindi dipende soltanto da teta di e risk riscritta nelle coordinate di partenza e anche più interessante perché z1 vi ricordate e da uno eccola qua ex1 o meno teta di mentre z2 e x2 quindi di fatto quello che stiamo dicendo che il primo termine del feedback e k1 per la differenza fra l&amp;#39;angolo te fa e l&amp;#39;angolo teta desiderata e il secondo termine è proporzionale semplicemente alla velocità del vento ebbene questa legge di controllo poiché rende asintoticamente stabile l&amp;#39;approssimazione lineare secondo il criterio diretto di the app un offerente asintoticamente stabile d&amp;#39;origine anche per il sistema non lineare di partenza cioè per il pendolo notate di interpretazione fisica di questo termine questo termine è come se diciamo così simula una molla di costante elastica k1 e la cui deformazione teta meno titta di quindi questa molla reagisce quando tetano è uguale atleta di e riporta il pendolo verso tetto di mentre questo secondo termine attraverso k2 simula la presenza di un attrito proporzionale alla velocità un attrito che è che esiste già nel sistema no ma questa coppia ha dunque una ulteriore componente e attrito quindi questo è come dire un interpretazione di questa legge di controllo che realizza un sistema molla smorzatore in cui l&amp;#39;azione della molla e quella di ricondurre il pendolo verso la posizione angolare desiderata e l&amp;#39;azione dello smorzatore quello di generare una dissipazione di energia che faccia poi convergere il pendolo alla posizione di equilibrio desiderato a questo a questo queste due componenti si somma un valore di formare costante quindi nella realizzazione di questo di questo controllore noi avremmo qualcosa di questo genere qui abbiamo il pendolo di cui misuriamo gli stati tète a tète a punto e costruiamo una legge di controllo che la somma di una componente in feedback più una componente in flashforward che generata a partire da è tardi e questo è quello che poi va a generare la coppia che guida il pendolo faccio notare che qui c&amp;#39;è anche qui c&amp;#39;è un valore di c&amp;#39;è una operazione di confronto perché è un feedback ha bisogno del valore di teta di per confrontarlo con il valore di teta e generare la prima componente dello stato trasformato quindi in una posizione desiderata in realtà in questo sistema di controllo esce entra in due punti sia nel calcolo del feedback che nel calcolo dello chiffon ora è evidente che questa stabilità come ho detto è una stabilità locale per il pendolo perché perché essenzialmente abbiamo recuperati kato il criterio indiretto di lea tono e il dominio di attrazione dipenderà in modo cruciale dalla scelta di questi due guadagni k1 e k2 quindi a seconda di come sceglieremo questi guadagni potremmo avere un bacino attrazione più o meno ampio in effetti però abbiamo la possibilità di utilizzare il teorema sulla stabilità dei sistemi lineari che abbiamo richiamato prima in particolare il legame con la pro seconda fu un equazione di apple os per immaginare una candidata di lea prof per il sistema non lineare vediamo un esempio di come si può costruire una funzione di lì a 1 per il sistema non lineare originario a partire dalla rappresentazione dell&amp;#39;approssimazione lineare mettiamo dei valori numerici alle costanti quindi riprendiamo per il pendolo a cinquale uno mi vuole 0 e supponiamo che il valore desiderato i terapisti apr come jimi essenzialmente vogliamo regolare il pendolo a questa configurazione nella quale l&amp;#39;angolo detta di si sa di pi greco mezzi naturalmente si tratta di un punto che non sarebbe un equilibrio per il sistema privo di controllo e quindi sarà il controllo attraverso il termine di fit for words che abbiamo già discusso precedentemente a renderlo tale ma come facciamo poi a stimare il bacino di attrazione del controllore lineare che abbiamo progettato attraverso la nostra procedura quindi per questi valori numerici a uguale ci vuole uno e b uguale zero questa scelta dei guadagni k1 uguale k2 uguale a meno 1 e garantisce la stabilità asintotica dell&amp;#39;approssimazione lineare infatti vi ricordo che le condizioni in generale erano queste due ed avendo scelto nel nostro caso ha uguale c uguale 1b uguale zero e teta di uguale a pi greco mezzi e le condizioni diventano k1 minore di 1 e k2 minori di zero e quindi abbiamo che il questa scelta è sicuramente tale da rendere la matrice a più bk una matrice che un&amp;#39;auto valori negativi lavatrice diventa in particolare questa del resto vedete che il suo polinomio caratteristico e land quadro più lunga più uno perché questa in forma compagna e quindi avendo tre coefficienti positivi di sicuro le tue radici hanno tutte 3 parte reale negativa bene quindi questa è la magia più bk con la nostra scelta dei guadagni abbiamo stabilizzato il sistema retro azionato quindi secondo quello che abbiamo detto in precedenza l&amp;#39;equazione di diavolo che questa ammette una radice in pi quindi una matrice una soluzione p unica simmetrica e definita positiva per qualunque scelta dico che sia simmetrica e definita positiva quindi cosa abbiamo fatto abbiamo in questo caso abbiamo scelto la matrice cuppari alla radice identità e sicuramente e si asimmetrica che definita positiva abbiamo scritto l&amp;#39;equazione di rehab nov qui abbiamo vedete a qui abbiamo ha trasposto e qui abbiamo la matrice picche incognita che è caratterizzata però da tre di fatto incognite e non quattro perché dovendo essere simmetrica il suo elemento 21 è uguale elemento 12 a questo punto si tratta di risolvere questa equazione eguagliando gli elementi che si trovano a sinistra di segno uguale agli elementi a destra in ordine le equazioni di fatto sono tre perché la quarta sarà un identità visto che è abbiamo detto la soluzione simmetrica e risolvendo queste tre semplici equazioni si trova questa soluzione in più quindi questa è la soluzione l&amp;#39;equazione di a1 per il nostro sistema avendo scelto come matrice cui amatrice e identità cosa vuol dire questo vuol dire che con questa matrice piccoli possiamo costruire una funzione di apono speri il sistema lineare nell&amp;#39;intorno del punto di equilibrio ma anche e soprattutto per il sistema non lineare quindi da qui possiamo partire per determinare una stima del bacino di attrazione dell&amp;#39;origine come punto di equilibrio del sistema non lineare come procediamo calcoliamo la v punto dx lungo le traiettorie del sistema attenzione ma qui a questo punto andremo a sostituire le la dinamica del sistema non lineare quindi del pendolo completo e non della sua approssimazione questo vuol dire che diciamo una volta effettuato questo calcolo troveremo che questa dinamica ovviamente è diversa da meno hicks trasposto qx perché questa sarebbe la v punto lungo le traiettorie del sistema lineare quindi le due saranno naturalmente diverse in particolare una volta che abbiamo ottenuto l&amp;#39;appunto lungo le traiettorie del sistema non lineare la studiamo determiniamo le insieme dove è definita negativa siamo sicuri che esisterà questo insieme perché siamo sicuri di aver stabilizzato localmente il punto di equilibrio anche per il sistema non lineare e a questo punto andiamo a determinare una curva di livello vi ricordate che sia tutta contenuta nell&amp;#39;insieme dove fu punto è definita negativa un qualunque insieme contenuto all&amp;#39;interno di questa curva di livello per esempio una a un cerchio circonferenza che sia tutta contenuta all&amp;#39;interno di questa coda di livello costituiva una stima per difetto del bacino di attrazione per il sistema tranello chiuso che è sottoposto vi ricordo ad un controllore libro lineare perché abbiamo utilizzato una legge di controllo di questo tipo che è certamente lineare nello stato come vedete beh a questo punto facciamo un passo in più e diamo un cenno ad una tecnica di progetto concettualmente diversa ma che cerca di risolvere lo stesso problema cioè essenzialmente quella di stabilizzare quello di stabilizzare un sistema non lineare nel ritorno di un punto di equilibrio qual è la principale tecnica della principale limitazione della tecnica che abbiamo visto finora è molto semplice perché è sufficiente calcolare l&amp;#39;approssimazione lineare nell&amp;#39;interno del punto di equilibrio che vogliamo rendere asintoticamente stabile se questa approssimazione lineare che risulta essere controllabile allora è facile stabilizzarla e avendo stabilizzato l&amp;#39;approssimazione lineare abbiamo stabilizzato localmente anche il sistema non lineare dell&amp;#39;interno del punto di equilibrio limitazione principale questa stabilità è però si asintotica ma locale cioè avremo una convergenza al punto di equilibrio desiderato soltanto all&amp;#39;interno di un dominio di attrazione ora qualche volta questa limitazione può essere inaccettabile perché per le caratteristiche dell&amp;#39;applicazione che stiamo considerando è necessario garantire che si abbia convergenza in realtà a partire da qualsiasi condizione iniziale dello stato in questo caso possiamo utilizzare una tecnica appunto diversa che è una tecnica che si basa sulla linearizzazione esatta e non approssimata del sistema per intuire come si può sviluppare una tecnica di questo genere consideriamo questo esempio scalare che lo stesso che abbiamo considerato per primo quando abbiamo parlato della tecnica basata sull&amp;#39;approssimazione di reale in particolare cosa avevamo detto li abbiamo detto e l&amp;#39;approssimazione di quel lineare di questo sistema che ha una parte quadratica rispetto allo stato da una parte lineare rispetto all&amp;#39;ingresso è semplicemente il punto uguale o vi ricordate abbiamo notato che se calcoliamo la matrice jacob jana che in questo caso è uno scalare rispetto allo stato abbiamo due a x ics la calcoliamo nell&amp;#39;origine che il punto di equilibrio che ci interessa diventa zero quindi l&amp;#39;approssimazione lineare e hicks punto uguale o ea quel punto con la retrazione lineare uguale meno kx stabilizziamo questa approssimazione lineare e rendiamo localmente asintoticamente stabile anche il sistema originario come con il punto di equilibrio per il sistema originario con quale bacino di attrazione con un bacino di attrazione vi ricordate che si estende fino a k sua quindi da qui abbiamo il bacino di attrazione da qui tutte le traiettorie convergono all&amp;#39;origine mentre se partiamo da un punto che al di fuori di questo bacino di attrazione abbiamo vi ricordate divergenza quindi una regolazione lineare ottiene una stabilità sintetica dell&amp;#39;origine ma locale con un bacino di attrazione ora supponete invece di utilizzare questa legge di controllo diversa non lineare vedete che nella legge di controllo c&amp;#39;è un termine infatti non lineare è un termine lineare uguale al precedente il sistema ad anello chiuso x.org uale a hicks quadro più uguale a hicks quadro sostituiamo questa espressione ad u abbiamo meno a hicks quadro meno kx quindi cosa osserviamo osserviamo che c&amp;#39;è una cancellazione della nonnina rita il sistema che rimane ad anello chiuso a come dinamica ex punto uguale kx meno kx esattamente quindi non abbiamo effettuato alcune approssimazione lineare abbiamo preso lineare il sistema ad anello chiuso scegliendo opportunamente la legge di controllo quindi diciamo questa parte della legge di controllo ha come obiettivo quella di quello di cancellare la non linearità mentre questa parte qui della legge di controllo ha come obiettivo quello di stabilizzare la dinamica residua diciamo quindi essendo il punto uguale a meno kx la rappresenta equazione che descrive il sistema senza alcuna approssimazione possiamo dire che l&amp;#39;origine è diventato punto di equilibrio globalmente asintoticamente stabile quindi in sostanza per passare dalla stabilità sintetica locale alla stabilità sintetica globale abbiamo dovuto passare da una relazione lineare a una retrazione che contiene la precedente l&amp;#39;equazione lineare ma gli aggiunge il termine non lineare il cui obiettivo è quello di prendere la dinamica del sistema ad anello chiuso esattamente lineare cancellandone la non linearità come possiamo applicare questa stessa idea un esempio vivamente più strutturato che è l&amp;#39;esempio del pendolo vediamo pro ripartiamo dalle equazioni del pendolo in particolare ripartiamo dalle equazioni in cui abbiamo già effettuato la trasformazione di coordinate che serve vi ricordate a portare il punto desiderato che sarebbe z di per il l&amp;#39;angolo per la variabile angolare e zero per la velocità nell&amp;#39;origine quindi abbiamo definito vi ricordate una z che la prima componente x1 meno i dettagli e la seconda componente di nuovo la velocità quindi naturalmente al punto di equilibrio tra di zero corrisponde nelle coordinate z all&amp;#39;origine a questo punto cosa abbiamo fatto quando abbiamo lavorato sulla prossima azione lineare abbiamo a questo punto introdotto una legge di controllo in due parti perché abbiamo detto è ma qui l&amp;#39;origine non è un punto di equilibrio origine a un punto di equilibrio non forzato ci serve un ingresso per renderlo punto di equilibrio e allora dobbiamo scegliere l&amp;#39;ingresso in parte con un feedback in parte con un fit for world il filtro world deve equilibrare no la gravità nel punto di equilibrio eccetera eccetera ma prima di passare di tuffarci in questa procedura fermiamoci e guardiamo questa equazione contiamo queste due opzioni dunque la prima è lineare ma dice che la derivata della posizione della velocità questa equazione lineare la troviamo in tutti i sistemi meccanici indipendentemente dal fatto che poi il resto della dinamica sia o meno lineare la seconda equazione quella non lineare e contiene la non linearità nello stato eccola qua poi contiene un ulteriore termine nello stato ma questo è lineare e l&amp;#39;attrito fondamentalmente e poi contiene questo termine lineare nell&amp;#39;ingresso quindi ragionando un po come abbiamo fatto nell&amp;#39;esempio precedente c&amp;#39;è la possibilità di scegliere l&amp;#39;ingresso e modo tale da cancellare la non linearità in particolare se scegliamo ingresso in questo modo abbiamo che la seconda equazione differenziale diventa z2 punto uguale meno a meno di da uno più tenta di meno bz2 e poi abbiamo più dovevo e questo più c quindi per a suu kyi seno tz1 protetta di più su c c ovviamente si semplifica e a questo punto vedete la non linearità come nell&amp;#39;esempio precedente si cancella e quello che resta nella seconda equazione differenziale è tutto lineare meno bper z2 più v e abbiamo quindi ottenuto ancora una volta attraverso una legge di controllo che a termine non lineare che ha come scopo la cancellazione della non linearità e poi un secondo termine che introduce diciamo un termine di controllo residuo che possono ancora scegliere e che sceglierò per stabilizzare il sistema rimanente attraverso questa scelta quindi in cui combiniamo un termine non lineare è un termine che adesso decideremo e potrà magari anche essere lineare infatti lo sarà abbiamo reso il sistema ad anello chiuso lineare esattamente di nuovo e completamente raggiungibile infatti osservate che la matrice a di questo sistema è 0 1 0 meno b la matrice b e 0 1 domani nuovo ingresso ev ovviamente e quindi la matrice della raggiungibilità e b a per b ed è quindi al rango pieno questo vuol dire che il sistema è completamente raggiungibile possiamo mettere i suoi auto valori da qualunque in qualunque in qualunque posizione naturalmente vi faccio notare che gli auto valori prima della retroazione sono 10 e uno in meno b quindi l&amp;#39;origine non sarebbe asintoticamente stabile perché c&amp;#39;è un auto valore in 0 non vedremmo la convergenza al punto di equilibrio desiderato ma noi essendo il sistema raggiungibile possiamo spostare i suoi auto valori dove ci pare in particolare scegliendo questa legge di controllo che la classica tappa per lo stato per z scegliendo opportunamente k1 e k2 possiamo assegnare gli auto valori in modo arbitrario troviamo delle condizioni simili alle precedenti e alla fine che succede che questa legge di controllo che noi abbiamo costruito cos&amp;#39;è e la a suu kyi seno di z1 più teta di che peraltro è d&amp;#39;età ricordo infatti che hicks con uno è tesa e quindi z1 più teta di è proprio uguale attesa quindi questa prima parte e a suu kyi seno di teta è quella che cancella la non linearità e il termine invece di controllo del cibo che era x 1 suu kyi è quello qui uno suu kyi k1 per z1 che téte à téte a meno 30 di più k2 per z2 che sarebbe x2 che sarebbe teta punto quindi se adesso osserviamo questa legge di controllo cosa c&amp;#39;è di differente rispetto alla precedente la precedente era questa ecco in questa legge di controllo avevamo notato che c&amp;#39;erano due termini feedback 1 promozionale all&amp;#39;errore di posizione l&amp;#39;altro promozionale la velocità avevamo detto questo simula una presenza di una molla angolare che richiama il pendolo nella posizione dei tadi e un attrito viscoso e poi c&amp;#39;era la coppia che equilibrava il pendolo nella posizione desiderata le prime due parti calcolata in feedback la seconda no era costante adesso se osserviamo questa legge di controllo osserviamo che questa legge di controllo è tutta in retroazione sia il primo termine che gli altri due è il primo termine a succi se lo ripeta che è quello che cancella il termine non lineare all&amp;#39;equilibrio cioè quando teta è andato a convergere l&amp;#39;atleta di assume proprio il valore desiderato della della coppia che tiene il pendolo in equilibrio quindi differenza sostanziale fra e due tra le prime della prima quella basata sulla prossima azione in area e questa è che in questo caso abbiamo un termine che è sempre pari alla coppia che equilibre rebbe il sistema nella configurazione corrente teta e diventa la coppia che equilibra il sistema nella configurazione desiderata teta di solo quando siamo andati a convergere al punto di equilibrio il secondo termine nell&amp;#39;altro caso invece nel caso della prossima azione in area quel termine da costante ed era pari alla coppia all&amp;#39;equilibrio anche quando non siamo nel punto di equilibrio e questo è il motivo per cui quella legge di contro non è in grado di stabilizzare globalmente il punto di equilibrio perché aggiunge diciamo la coppia di gravità soltanto quella calcolata nel punto di equilibrio che quindi può essere molto diversa da quella necessaria in un punto generico il secondo termine invece sostanzialmente uguale a parte la differenza che il primo non è diviso per circa quando è diviso per c ma questo serve esclusivamente a rendere il coefficiente del controllo residuo nel sistema d&amp;#39;anello chiuso quindi la interpretazione di questi due termini come molla e attrito rimane anche in questo caso ecco qui una simulazione ma club del controllo del pendolo in due versioni abbiamo qui in particolare uno schema simulink implementa il controllo del pendolo vedete mediante approssimazione lineare qui un analogo schema secoli che però implementa il controllo del pendolo basato sulla linearizzazione santa qui sulla sinistra abbiamo la command window riman club è aperto uno script che contiene una serie di comandi che servono semplicemente ad assegnare i parametri meccanici del pendolo inizializzare il pendolo e scegliere i guadagni controllori allora vediamo intanto la struttura di questi schemi simulink abbiamo qui a sinistra qui a destra vedete in questo schema la dinamica del pendolo ripetuta esattamente uguale qui abbiamo due integratori vedete il primo è la trasformazione di accelerazione del pendolo venite da due punti in testa punto e poi sulla trasformazione di teta punto in testa l&amp;#39;equazione dinamica del pendolo è ottenuta semplicemente retro azionando in ingresso a 32 punti quindi che se questo integratore qui le varie forze che agiscono sul pendolo se andate a confrontare con il segni con il modello che abbiamo scritto per il pendolo una e la forza di gravità eccola qui a se non x1 di uno siccome uno è il segnale di ingresso a questo blocco che è come vedete teta questo è semplicemente a per il seno di teta e qui c&amp;#39;è la forza di attrito che bper e da punto vede che questo è stato ottenuto prendendo qui x2 che l&amp;#39;integrale due punti quindi e te da punto riportandolo qui è moltiplicato per il coefficiente di attrito vanno a sottrarsi queste due forze sia la forza di attrito che il la forza di gravità hanno sei unica vivo rispetto atleta positive che vanno verso invece l&amp;#39;alto poi c&amp;#39;è la il termine che viene dall ingresso che ci per la coppia motrice quindi ha tenuto semplicemente moltiplicando per una costante in c.da coppia motrice ecco qui in questo l&amp;#39;unico punto dove si differenziano questi due schermi nel senso che qui il controllore è il controllore del caso lineare e qui e controllare il caso non lineare andiamo a vedere come sono fatti dunque controllo del caso lineare ricorderete è la somma di una coppia di regime quella che abbiamo chiamato fit forward che è ancora qui un valore costante welfare che viene assegnato nello schema nella nel file noscript inizializzazione matlab eccolo qui e vedete pari a da diviso c per il seno dell&amp;#39;angolo desiderato questa coppia di fitch suolo ed è utilizzata soltanto dal controllore lineare a questa coppia di fitch forward vi ricordate si somma il controllo e lineare che k1 per teta di teta meno teta di sarebbe z1 l&amp;#39;errore di posizionamento quindi quello che si fa vedete in questo in questo schema il segnale 1 avviene x k2 il segnale 2 viene sottratto viene dal segnale 2 viene sottratto teta di e questo genera k1 allora andiamo a dare quali sono i due segnali il segnale 1 del controllore è tet adotta il segnale 2 del controllore ex1 cioè teta quindi qui abbiamo teta quindi questo realizzate da meno tenta di moltiplicato il k1 e questo è detta di e scusate tradotte lo moltiplica per k2 quindi primo e terzo componente sono il controllo in feedback la seconda componente e la coppia infine for words questa è la coppia che andiamo a iniettare nel controllore nel pendolo per confronto vediamo com&amp;#39;è fatto magari lasciamo aperto vediamo come fatto il controllore lineare ricorderete nel iv linea molto simile con l&amp;#39;unica differenza che la quantità che qui era una coppia costante è in realtà una coppia che dipende dalla posizione corrente e che diventa la coppia sul costante di regime soltanto quando abbiamo raggiunto l&amp;#39;equilibrio automaticamente si trasforma nella coppia di regime quindi vediamo in questo caso anche questo blocco che ha seno di suu kyi prende in ingresso non te da di mattità perché appunto è calcolato sul valore corrente questa è la quantità che serve a cancellare no ricordate la non linearità dalla seconda equazione dinamica del peggio a questo andiamo a sommare questo è uguale agli altri due termini k2 per il primo cosplay il primo più k1 k2 perdo dell&amp;#39;attrito per la velocità più k1 per l&amp;#39;errore di posizione ma andiamo a vedere come si comportano questi due controllori partiamo da una situazione dove intanto vediamo qui i valori dei parametri meccanici massa unitaria coefficiente di attrito pari a 0.1 lunghezza unitaria l&amp;#39;accelerazione di gravità e le costanti a b e c che abbiamo definito nelle slide la posizione desiderata supponiamo che si applica eco mezzi quindi con il pendolo ruotato fino a porsi in orizzontale e quindi supponiamo le condizioni iniziali del pendolo siano partiamo magari da una condizione iniziale più vicina a quella desiderata quindi partiamo da un valore di te da zero abbastanza vicino a quello desiderato pi greco mezzi meno 0.1 quindi circa 84 gradi e l&amp;#39;aver sta invece la poniamo zero quindi partiamo con il pendolo abbastanza vicino alla posizione di equilibrio e velocità iniziale uguale a zero questa non è una posizione di equilibrio la posizione iniziale quindi dovremo suppone che qualcuno abbia posizionato manualmente o con opportuno valore anche lì della corpi abbia posizionato lì il valore del il pendolo e lo abbia lasciato sotto l&amp;#39;azione controllore lineare e i guadagni li abbiamo posti almeno uno meno uno che sono proprio quelli che sono indicati nelle slide per il controllore di basato sull&amp;#39;approssimazione lineare sono dei guadagni che sicuramente garantiscono la stabilità però ricordate all&amp;#39;interno di un bacino di attrazione ora andremo a vedere essenzialmente in simulazione se questo tenta iniziale che abbiamo preso è sufficientemente vicino alla configurazione desiderata piegato mezzi da avere la convergenza quindi vediamo che cosa succede abbiamo quindi prima eseguiamo questa in modo che mark up sia a conoscenza di tutti questi valori numerici e adesso andiamo a simulare il pendolo sotto l&amp;#39;azione del controllore lineare dunque creiamo teta e apriamo magari anche la coppia sembrano interessanti simuliamo e vediamo cosa otteniamo allora vedete siamo partiti abbastanza vicini 1,46 47 radianti dovevamo andare a convergere a 1.57 in effetti questo è proprio vedere se possiamo zoomare per verificare che il valore è proprio questo qui vedete quindi queste pirico mezzi e nel l&amp;#39;esterno in modo da aiutare questa eccola qui scusate e diciamo questo questo è invece la coppia vedete la coppia totale circa parte da circa 10 minuto m naturalmente valore iniziale non è zero perché già iniziali all&amp;#39;istante iniziale dobbiamo aggiungere alla coppia la coppia di atri di regime che come vedete da qui circa 9.8 perché vale proprio g la coppia che dobbiamo fornire quanto per tenere testa a pi greco mezzi e al regime vedete si produce appunto questa coppia 9.8 all&amp;#39;inizio la coppia completa è diversa da 9.8 perché sovrapposta alla coppia di regime ci sono i termini lineari k per l&amp;#39;errore di posizione più k per la velocità siccome abbiamo un errore di posizione iniziale che è diverso da zero quello da questa piccola differenza che c&amp;#39;è all&amp;#39;inizio rispetto alla coppia di regime questo è il comportamento del controllore lineare che quindi conferma che questa condizione iniziale che abbiamo scelto e all&amp;#39;interno del bacino di attrazione vediamo cosa succede per il controllore non lineare naturalmente non abbiamo un problema di controllo meno lineare sul bacino di attrazione sul controllo e non lineare quindi dovremmo vedere convergenza a partire da qualsiasi configurazione vediamo la stessa stesse quantità all&amp;#39;ingresso il valore della variabile angolare il valore della coppia e finiamo i valori allora anche qui abbiamo la convergenza al valore desiderato con una coppia che sostanzialmente ferite molto simile alla precedente non ci sono sostanziali differenze in questo caso vediamo cosa succede quando allontaniamo notevolmente la condizione iniziale in posizione dalla condizione iniziale desidera da quella posizione desiderata supponiamo di partire quindi da te da zero uguale all vero cosa vuol dire devo dire che il pendolo in effetti parte dal basso dalla posizione di riposo e lo vogliamo portare a convergere alla configurazione teta di uguale pi greco mezzi allora vediamo cosa succede alla seguiamo questo per informare un altro del fatto che abbiamo cambiato la condizione iniziale e andiamo a vedere cosa succede e vi dico dove quelle condizioni iniziali in simulink sanno all&amp;#39;interno dei blocchi integratori e quindi quando apro il blocco integratore che genera teta o li dentro devo scrivere the da zero che ma club legge dal suo workspace avendo io eseguito questo scritto e analogamente qui avrò la velocità iniziale teta dote 02 dicevo per quanto riguarda il controllo e lineare vediamo cosa succede ecco the da ecco la coppia simuliamo ma vedete che siamo fuori scala quindi possiamo ri graphicar e vedete che abbiamo un valore di tanto di dp greatly di variabili angolare che ha fatto dei giri no vedete che siamo passati oltre pi greco mezzi siamo passati anche oltre pi greco oltre tre p tre co e a quanto siamo andati a convergere beh possiamo vederlo qui andando a leggere questo valore vicino siamo a circa 12.46 o qualcosa del genere 40 scillia mo in realtà c&amp;#39;è ancora vedete una piccola oscillazione tra 12 e 40 e 12 e 50 che non è un multiplo di pi greco perché 4 pi greco fa circa 12 e 56 quindi dovremmo andare qui invece non ci siamo andati cosa vuol dire devo dire che abbiamo un errore di posizionamento finale in questo errore di posizionamento finale è dovuto al fatto che evidentemente siamo fuori dal bacino di attrazione del punto di equilibrio che essendo stato reso tale da una retrazione è puramente lineare è sì asintoticamente stabile ma solo localmente naturalmente l&amp;#39;estensione del bacino di attrazione dipende da i valori del guadagno quindi magari sesso se cambiamo i guadagni del controllore in feedback cambia anche il bacino di attrazione vi ricordate che quando siamo andati a ragionare rapidamente su come si poteva trovare il bacino di attrazione abbiamo calcolato la matrice a più bk abbiamo risolto ed equazioni di diavolo ci abbiamo costruito una funzione di diavolo basandoci su quella a più bk ma se cambiamo la cappa ovviamente cambia anche la funzione di diavolo e quindi probabilmente cambia anche il bacino di attrazione ed è così in effetti come vediamo tra un altro però prima di fare questo voglio far vedere che il controllore non lineare invece non ha problemi neanche in questo caso quindi contro e non lineare vedete ecco qui vedete è completamente impermeabile alle condizioni iniziali abbiamo convergenza pigre comensi con una coppia che diciamo questi valori si mantiene tra 1,5 10 newton metro quindi delle coppie anche molto ragionevoli vediamo se modificando il valore dei guadagni nel controllore calcolato con l&amp;#39;approssimazione lineare cambia il bacino di attrazione in modo tale da vedere se riusciamo a incorporare anche l&amp;#39;attuale condizione iniziale quindi modifichiamo i guadagni li aumentiamo in questo caso e facciamo girare e andiamo sui simulare il sistema eccolo qui vediamo un po ecco qui vedete che avendo modificato i valori dei guadagni funziona anche il controllore lineare quindi che cosa è successo è successo che a questi guadagni corrisponde a una più bican e quindi corrisponde una funzione di napoli che ha che poi ci da una stima del bacino di attrazione che adesso comprende anche il punto iniziale te da zero uguale a zero le coppie vede sono piuttosto energiche e differiscono nel transitorio dalla coppia di regime che è sempre quella e 9.8 perché adesso la coppia nell&amp;#39;immediato arriva a 25 newton metro per quale motivo perché alla coppia nel controllo e lineare alla coppia di regime viene sovrapposta k dell&amp;#39;errore di posizione più k per la velocità e adesso ik sono più grandi li abbiamo moltiplicati in particolare per dieci quindi vediamo una ben diversa una ben diversa un ben diverso andamento della coppia per quanto riguarda il controllore non lineare e indipendente come abbiamo visto sia dai guadagni posto che i guadagni siano tali da stabilizzare il sistema lineare ad anello ad anello chiuso ci siamo esattamente lineare dicevo in questo caso lo vedremo anche per il controllore con la linearizzazione esatta vedremo questo attentato che non ci interessano parliamo tempo ecco qui con un valore vedete comunque una convergenza molto veloce ha pi greco mezzi e dei valori di coppia più bassi perché è bene perché sono così bassi più bassi rispetto all&amp;#39;altro caso perché mentre il controllore è basato sulle approssimazione lineare a un fit for words sin dall&amp;#39;inizio di 9.8 newton metro che servono a tenere serviranno a tenere il da coppi il pendolo in equilibrio nella posizione finale il controllore basato sull&amp;#39;approssimazione lineare invece questo termine e lo sostituisce con un termine in cui viene sommata alla co alla coppia la coppia di e gravità nella posizione corrente e che diventerà quando teta con vegeta di la coppia di regime cosa vuol dire che partendo da una condizione iniziale che è zero la coppia all&amp;#39;inizio e 0 la coppia di termine che serve a cancellare non alleni vita e quindi questo spiega perché da 25 siamo passati al 16 minuto m all&amp;#39;istante zero perché essenzialmente sono stati eliminati qui è stata eliminata la coppia di gravità che verrà fornita vedete soltanto quando andiamo a regime automaticamente ma all&amp;#39;inizio per questo controllore è inutile iniettare il 9.8 aiuto metodo della coppia di regime a questo punto ci chiediamo quanto a generare questa idea quando su quali sono i sistemi su cui riusciamo a leggere scegliere il valore del controllo in modo tale da cancellare non linearità attraverso la retroazione è ottenere un sistema che ad anello chiuso è esattamente stabile quindi è poi facile da stabilizzare esattamente lineare scusate quindi poi facile da stabilizzare bene ovviamente quello che stiamo cercando di individuare una proprietà strutturale dei sistemi che dica quali sono i sistemi che hanno una struttura tale per cui noi riusciamo in effetti a cancellare nello lineari qua allora è molto semplice vedere che se l&amp;#39;equazione di stato a questa struttura allora noi siamo sicuramente in grado di scegliere il valore dell&amp;#39;ingresso in modo tale da cancellare loro linearità infatti in questo caso vedete come fatta questa membro di testa della dinamica del sistema a una parte lineare nello stato e poi a una parte non lineare nello stato che questo alfa dx che moltiplica questa matrice qui e infine a una parte in generale non lineare nell&amp;#39;ingresso e il coefficiente della di questo termine quindi il coefficiente beta dx deve essere una matrice non singolare in un dominio che contiene origine infatti se abbiamo questa struttura basta scegliere o in questo modo quindi come alpha dx più beta alla meno 1 dx per lui infatti abbiamo x.org uale a hicks più b per beta dx per alfa hicks più beta alla meno 1 xv e questo sarebbe meno alfa dx quindi vedete cancelliamo questa e poi con questa matrice inversa beta alla meno 1 cancelliamo anche la beta e quindi quello che rimane è a xbv ora verificare i due sistemi che abbiamo considerato in precedenza lo scalare il punto è uguale a ips quadro più e poi il pendolo vedete che hanno esattamente questa struttura quel che quindi non è una sorpresa che siamo riusciti a scegliere in modo tale da cancellare non la non linearità ora nel momento in cui siamo arrivati a questa dinamica che esattamente lineare se la coppia b risulta essere stabilizzabile noi possiamo provare una matrice k che assegna gli auto valori in modo tale al sistema nell&amp;#39;odioso modo tale che siamo nel segno piano sinistro e quindi abbiamo ottenuto una stabilità sintetica globale per l&amp;#39;origine che in generale il nostro punto di equilibrio desiderato la retroazione finale cioè la legge di controllo che dobbiamo poi effettivamente inviare al sistema quale è questa in cui andiamo a sostituire v quale ha kx quindi è questa e come le precedenti a vedete termine che cancella e non linearità è un termine che stabilizza il sistema ad anello chiuso che succede il sistema non ha questa struttura bene non tutto è perduto in effetti può darsi che si riesca a mettere il sistema in quella forma attraverso una trasformazione di coordinate considerate per esempio questo sistema il punto uguale a sè non x2 x2 punto quale meno essuno al quadrato più chiaramente si sistemano lineare ma vedete che non riusciamo a individuare quale può essere l&amp;#39;espressione in modo da cancellare dalla non linearità a seno di sua mentre possiamo facilmente cancellare questa non linearità con e non compare nella prima equazione differenziale quindi non sembra possibile realizzare esattamente il sistema considerate però questa trasformazione di coordinate in cui z1 uguale x1 z2 ea seno di x2 quindi diciamo sarebbe x1 punto è questa e invertibile perché potrete sempre scrivere x1 uguale a z1 e x2 uguale palco il cui seno e z2 su ha perlomeno questa è ben definita perfetta 2 compreso fra meno ea perché il seno deve essere compreso fra meno 1 e 1 quindi e invertibile questa trasformazione di coordinate in un intorno dell&amp;#39;origine accordo a questo punto riscriviamo la dinamica del sistema nelle coordinate trasformate abbiamo z1 punto mangiata una x1 quindi sarebbe x1 punto e quindi sarebbe z2 perché z2 propri x1 punto quindi la prima equazione eccola qui è diventato az 1 punto quale e da due z2 punto sarebbe la derivata di a seno di x2 per la derivata di x2 rispetto al tempo quindi sarebbe a per il coseno di x2 per x2 punto che questa eccola qui quindi beta 2 punto è diventata questa adesso vedete che la normalità è tutta nella seconda equazione la prima questione lineare e si vede subito che noi possiamo cancellare tutte le nuvole anita le non linearità in questo modo perché questa struttura è proprio di questo tipo qui in particolare scegliendo un uguale x1 quadro più uno sua coseno di x2 per l&amp;#39;ingresso residuo abbiamo da sistemata nell&amp;#39;ultimo gioco diventa z eccolo qui set a 1 punto uguale a z2 e z2 punto quale album molto semplice questa naturalmente retroazione vedete attenzione a una singolarità potenziale perché abbiamo dovuto dividere per il coseno e quindi dobbiamo necessariamente garantire che x2 sia più piccolo in valore assoluto di pi greco mezzi perché se raggiungesse pi greco mezzi uno sul coseno diverge rebbe all&amp;#39;infinito e naturalmente non potremmo implementare questa retroazione quindi dobbiamo limitare la campo di applicabilità di questa retroazione a x2 compreso fra meno pi greco mezzi epicoco mesi ma del resto vi ricordo che dobbiamo avere un intorno dell&amp;#39;origine e quindi sicuramente abbiamo garantito questo comunque attraverso questa scelta di x2 di questo sistema qui vedete è ad anello chiuso banalmente lineare anche controllabile infatti si tratta di un doppio integratore e quindi viene stabilizzato semplicemente da una retrazione lineare il controllo finale avrà questa espressione qui in cui quindi andremo a sostituire retro l&amp;#39;azione stabilizzante che sarà uguale a k1 per z1 più k2 terzietà 2 con k1 k2 scelte in modo tale da assegnare gli auto valori ad anello chiuso la trasformazione che abbiamo utilizzato per passare nelle coordinate in cui il sistema la struttura desiderata e la sua inversa sono entrambi derivabili e hanno derivata continua e questo si indica dicendo che la matrice che la trasformazione di coordinata e un coordinate e un liceo morphx ismo allora a valle proprio di questo esempio noi possiamo dire che un sistema non lineare e linearità bile ingresso stato cioè esiste una legge che lo trasforma in un sistema che è completare la cura nel cui l&amp;#39;evoluzione dello stato è descritta da una quantità equazioni lineari se esiste un disse home orfismo z funzione dello stato definito su un dominio che contenga l&amp;#39;origine tale che il sistema nella forma trasformata sia quella che abbiamo definito il precedente con una matrice b che deve risultare non singolare all&amp;#39;interno dello stesso dominio definito in precedente quindi sistema è sicuramente linea disabile ingresso stato se è già in questa forma oppure se esiste 11 mar fismo che lo metta in questa forma quando questo sia possibile allora possiamo stabilizzare globalmente attraverso una trasformazione di coordinate che questa qui quella che ci fa passare in questo form e poi una retrazione statica dallo stato che come abbiamo visto a una doppia struttura cancellare leno linearità e controllare il sistema linea rizzato stabilizzare se preferite il sistema linea rizzato qualche osservazione qui abbiamo fatto questa procedura di linearizzazione ingresso stato attraverso una retrazione statica cioè una retrazione in cui la legge di controllo dipende in modo istantaneo da lo stato hicks in realtà ve ne ricordate lo avevo accennato anche all&amp;#39;inizio di questa lezione c&amp;#39;è una classe più generale che è quella dei controlli dinamici in cui la legge di controllo dipende in modo dinamico dal valore dello stato quindi c&amp;#39;è una parte del controllore che è descritta da un&amp;#39;equazione differenziale come del resto in questi cori in questo posto noi abbiamo incontrate diverse ebbene interessante notare che la classe dei sistemi che si possono linea riza reingresso stato con situazione dinamica e più ampia di quella dei sistemi che si possono realizzare con e trazione statica quindi qualche volta può verificarsi il caso in cui noi non abbiamo la possibilità di trovare una situazione statica che linea riza il sistema ingresso stato ma invece siamo in grado di trovare una linea una retrazione dinamica che risolve lo stesso problema anche se naturalmente non abbiamo assolutamente la possibilità di approfondire questo aspetto in questo corso ma sono sappiate che esiste questa possibilità peraltro qui abbiamo parlato i rappresentati le realizzazioni ingresso stato un altra linearizzazione che si può fare la realizzazione ingresso uscita quella in cui si linea riza non tutta la dinamica del sistema quindi non l&amp;#39;evoluzione dello stato ma si ottiene una mappa lineare tra lo stato e la sua tragica essi e le uscite questo è utile quando per esempio si vogliono risolvere dei problemi di inseguimento di uscite di riferimento questa legge di questo approccio che abbiamo che abbiamo brevemente descritto appare molto potente perché consente di stabilizzare globalmente i concerti punti dei sistemi di stemmi non lineari purché naturalmente i sistemi abbiano certe strutture ma nel momento in cui questo sia possibile e l&amp;#39;approccio sicuramente molto potente per che otteniamo stabilità globale però qualche svantaggio ce l&amp;#39;ha questo approccio rispetto anche a quello precedente basato sull&amp;#39;approssimazione lineare quali sono questi svantaggi primo svantaggio è che questo approccio richiede la conoscenza esatta dei parametri del modello perché perché dobbiamo cancellare le non linearità e quindi dobbiamo conoscere la parte del modello per lo meno che andiamo a cancellare per intenderci se riprendete in esame la legge di controllo che abbiamo individuato su questo sistema con il metodo basato sulla realizzazione esatta questa legge di controllo era quest&amp;#39;ano in cui avevamo detto bene la prima parte serve a cancellare nella non linearità e la seconda serve a stabilizzare il sistema beh se il parametro a è ignoto allora questa legge di controllo non si può implementare e in ogni caso anche se io la implemento con un valore nominale del parametro ama questo parametro ha poi ha un valore diverso dal valore nominale allora quello che succede che l&amp;#39;hanno danno la cancellazione della non linearità che pensavo di aver ottenuto è invece non esiste e quindi il sistema che pensavo di aver stabilizzato in generale non sta bene dato questo invece non accade per il metodo di controllo che rinunciava a cancellare la verità e si limitava a stabilizzare localmente il sistema vi ricordate in questo caso la legge di controllo era semplicemente questa è naturalmente questa non richiede la conoscenza del parametro a questa funziona purché k sia minore di zero maggiore di zero e quindi non richiede alcuna informazione sul palazzo i parametri del sistema originario quindi la legge di controllo basato sulla prossima azione lineare che da una parte e meno performante perché non ottiene la stabilità sintetica globale dall&amp;#39;altra però più robusta perché è più povera e quindi richiede di meno in termini di conoscenza del modello legge di controllo basata sulla prossima realizzazione satta ingresso stato più potente ma richiede di più in termini di conoscenza quindi meno robusta se il parametro a cambia rispetto al valore nominale non avremo più funzionamento desiderato ciò secondo svantaggio legato a dub l&amp;#39;uso dei metodi e metodo basato sulla realizzazione cosa esatta ed è che in qualche caso uno si può trovare a cancellare attraverso la cancellazione delle non linearità dei termini che sono sino lineari eva sono in effetti benefici per il problema di stabilizzazione considerate per esempio questo sistema scalare che il sistema non lineare sicuramente a causa della presenza di questi termini cubico ora se noi ci buttiamo pedissequamente nella filosofia della linearizzazione esatta cosa facciamo diciamo bene facciamo così come prima cosa cancelliamo la non linearità scendiamo in modo che contenga il termine più bx al cubo e questo cancellerà la non linearità e poi avremo un sistema ad anello chiuso che sarah hicks punto o uguale a hicks meno bx al cubo si cancella con il termine pubblico che abbiamo messo nell&amp;#39;ingresso quindi rimane a hicks meno kx e quindi a meno kx ovvero scriviamolo così meno k meno a x ics corazze cup e maggiore di a questo è convergente all&amp;#39;origine abbiamo ottenuto quindi un sistema ad anello chiuso che esattamente stabile talmente lineare e globalmente simpaticamente stabile abbiamo ottenuto la stabilità si pratica globale dell&amp;#39;origine benissimo però in effetti se ci riflettiamo un attimo il termine meno bx al cupo è un termine che in realtà aiuto alla stabilizzazione perché perché è una forza di richiamo non lineare vi ricordate quando abbiamo parlato dei delle card e molle non elastiche no del delle mole non lineari del termine del modello m m ms non lineare ebbene il termine meno bx al cubo come fatto positivo e meno b e spinge verso l&amp;#39;origine se meno b per il cubo numero positivo quindi negativo spinge verso l&amp;#39;origine se xe negativo meno bx al cubo è positivo spinge di nuovo verso l&amp;#39;origine quindi questo termine è una forza di richiamo che noi abbiamo cancellato e non è detto che questo sia stata una buona idea infatti se considerate questo semplice controllore lineare quindi non cancelliamo la non linearità ma ci limitiamo a usare questo controllo e lineare il sistema ad anello chiuso diventa ovviamente questo che differisce dal precedente che era esattamente lineare perché vedete il termine cubico è ancora presente ora questo sistema ad anello chiuso pur essendo non lineare all&amp;#39;origine come punto di equilibrio globalmente asintoticamente stabile per esempio potete dimostrarlo scegliendo come v questa che è definita positiva e qualsiasi intorno dell&amp;#39;origine radialmente limitata vi lascio la verifica raccolata ev punto vedete che è definita negativa in qualsiasi intorno dell&amp;#39;origine e le traiettorie di questo sistema convergono a 0 più rapidamente delle traiettorie di questo sistema infatti quando avete per esempio siete lontani dall origine questo termine meno bx al cubo e dominano sul termine lineare e qui a garantisce una convergenza molto veloce perché spinge moltissimo verso l&amp;#39;origine mentre questo sistema qui quello esattamente lineare ad anello chiuso non ha quel termine cubico quindi continua convergere con una velocità che è sempre quella dettata dal membro di destra che lineare quindi avete ottenuto in entrambi i casi una stabilità sintetica globale l&amp;#39;origine e il primo caso utilizzando la filosofia della realizzazione satta nel secondo caso usando una semplice legge di controllo lineare e avete avuto un sistema che converge più rapidamente all&amp;#39;origine se usate una semplice legge di controllo lineare che non usando una legge di controllo che linea riza esattamente la dinamica del sistema ad anello chiuso peraltro un&amp;#39;altra conseguenza di questa cancellazione inutile e uno sforzo di controllo molto più elevato infatti questa legge di controllo assume quando siete lontani dall origine valori molto grandi perché contiene un termine cubi con valori che domina il termine lineare quando siete lontani dall origine mentre la legge di controllo lineare quando siete lontani dall origine non contiene questo termine non contenendo questo termine pubblico non cresce quindi avete uno sforzo di controllo molto maggiore per il controllore basato sulla realizzazione esatta perché per che state andando a cancellare una parte del della dinamica del sistema e questo richiede controllo ma quella parte della dinamica del sistema è in realtà una parte benefica quindi usate più controllo per avere una convergenza più lenta e inoltre come abbiamo visto in precedenza il sistema e meno robusto ora questo non vuol dire che la filosofia lanciata sull&amp;#39;approssimazione esatta sia fallimentare tutt&amp;#39;altro sulla realizzazione esatta scusata sia fallimentare tutt&amp;#39;altro si tratta è una tecnica molto potente ma va usata con parsimonia qualche volta è più conveniente usare una stabilizzazione è basata sul criterio di lettori akros che tra l&amp;#39;altro ci dà anche un&amp;#39;interpretazione fisica in termini energetici senza ricorrere necessariamente a queste linearizzazione che hanno un carattere matematico altre volte si può invece ragionare guardando attentamente la natura del sistema e per esempio ci si può limitare a linea lizzare i termini non lineari che siano diciamo così non benefici per la stabilizzazione lasciando invece sopravvivere i termini di me non lineari che aiutano a risolvere il problema di stabilizzazione

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Stabilizzazione dei Sistemi Non Lineari