Pisagor Üçlüleri ve Temel Özellikler

Pisagor Üçlüsü Tanımı

• Pisagor Üçlüsü: a^2 + b^2 = c^2 denklemini sağlayan pozitif tam sayılar a, b, ve c'ye Pisagor üçlüsü denir.
• Temel (İlkel) Pisagor Üçlüsü: a, b ve c'nin aralarında asal olması, yani en büyük ortak bölenlerinin (obeb) 1 olması durumudur.
• Örnekler: 3-4-5, 5-12-13, 8-15-17

Teklik ve Çiftlik Durumları

• Pisagor üçlüleri için a ve b aynı anda tek olamaz.
  • İspat: a=2k+1 ve b=2t+1 olsun.
    • a^2 + b^2 = (2k+1)^2 + (2t+1)^2 = 4k^2+4k+1 + 4t^2+4t+1 = 4(k^2+k+t^2+t) + 2
    • Sonuç olarak 4 ile bölündüğünde 2 kalanını verir ki bu c'nin çift olmasına neden olur. Ancak hiçbir çift sayının karesi 4 ile bölündüğünde 2 kalanını vermez.
• a ve b aynı anda çift de olamaz.
  • İspat: a=2k ve b=2t olsun.
    • a^2 + b^2 = (2k)^2 + (2t)^2 = 4(k^2 + t^2)
    • Bu da c'nin çift olması anlamına gelir ve aralarında asal olamayacakları için temel Pisagor üçlüsü olamazlar.
• Sonuç olarak, temel Pisagor üçlüsü için biri tek, diğeri çift olmalıdır ve c de tek olacaktır.

Temel Pisagor Üçlülerinin Üretilmesi

• B çift olacak şekilde: b^2 = c^2 - a^2 = (c-a)(c+a)
• B çift olduğunda b = 2k, k = n*m iken c-a = 2n ve c+a = 2m olur.
  • Bu durumda k = pq, m ve n'nin aralarında asal olması gerekmektedir.
    • İki sayının aralarında asal olması ve çarpımlarının bir tam kare olması durumunda bu sayılar da tam kare olmalıdır.
• Temel Pisagor üçlüleri şu şekilde üretilebilir:
  • a = q^2 - p^2
  • b = 2pq
  • c = q^2 + p^2
  • Burada q > p ve q, p aralarında asal olmalıdır.
• Örnekler:
  • q=2, p=1 için -> 3-4-5
  • q=4, p=3 için -> 7-24-25
  • q=5, p=3 için -> 9-40-41 (bu örneği öğrencilere bırakmıştır.)

Örnek Problem Çözümü

• 3-4-5 Pisagor üçlüsünü daha detaylı inceleyerek bu yöntemin tüm Pisagor üçlülerini verdiği gösterilmiştir.

Sonuç

• Bu yöntemle, p ve q'nun aralarında asal olmak koşuluyla verdiği değerlere göre tüm Pisagor üçlüleri bulunabilir. Bu q ve p'nin tüm aralarında asal değerleri için doğru sonuçlar verecektir.

Bu konuları anladığınızdan emin olun ve kendi örneklerinizi üreterek pekiştirin. Bu temel bilgiler ileride daha karmaşık matematiksel problemlerde işinize yarayacaktır.