şunu bir netleştirelim temel Pisagor üslüsü ne demek tanım temel ilkel Pisagor üslüsü Ne demek şu denklemde a kare + b k = c k denklemini sağlayan a BC pozitif tam sayıları için a ve c elemanıdır pozitif tam sayıları için a b ve C'nin ortak bölenleri Yoksa yani aralarında asalsa diyoruz biz yani obebleri 1 ise ob AB c e 1 ise bunlara ABC üçlüsüne temel ya da ilkel aynı İkisi de kullanılır ilkel Pisagor 3lüsü denir şurası parlıyor olabilir buraya pek yazmamaya çalışıyorum Ne var mesela bildiğimiz 3 4 5 5 12 138 15 17 şim biraz da dikkatli inceleyelim 3 4 5 5 12 13 7 24 2 8 15 17 önce e bütün bu temel Pisagor üçlerin vermeye başlamadan önce önemli bir ayrıntıya değmem lazım şurada bak bunların her biri tek çift tek çift tek çift çift tek şimdi o zaman A B C'nin Teklik Çiftlik durumu ele almamız lazım Burada da hemen çok basit bir şekilde inceleyebiliriz Bu da şaşırtıcı geliyor bana teorem teorem Her defasında şey yazmayacağım bu denklemi sağlayan a c Pisagor üçlüleri için A ve B aynı anda x birden o yüzden V diyorum A ve B Tek olamaz bu birincisi bir teorem şunu bir sileyim tanımım Dursun tanımım işe yarayacak ispat diyelim ki tek olsun ne demek bir tek sayı bir K sayısı için aş işte 2K + 1 olsun B de 2t + 1 Olsun ikisi tek a k + b k eş c k olduğunda ne yaşıyorum ben 2K + 1 kares + 2t + 1 kar = C karey miş gibi görünüyor bakalım böyle bir şey Mümkün mü Bunun karesi 4K K + 1 ile ikincinin çarpımının 2 katı 4K + 1 + 2 T Hayır 4 t k + 4t + 1 = c k kritik nokta burası 4 4 4 4 4 alıyorum k k + k + t k + t sonra bunları topla + 2 c k Şimdi burada kritik nokta şu şey diye düşünüyor insan burası şimdi ne olursa olsun 4 çarpılmış Burası çift değil mi Çift ekledim çiftle çifti toa çi ha olabilir C de çift olabilir gibi düşünüyor insan olamaz Şöyle ki olamaz dikkatli bakalım çift olması bizi yanıltmasın bir çift sayının karesi hiçbir zaman 4 ile bölündüğünde 2 kalanını veremez Yani bir E bu haliyle C çift bir doğal sayı olamaz örnek verelim mesela 4ün karesi 16 herhangi bir çift sayının karesi 4E tam bölünmek zorunda 2 kalanını veremez O yüzden C bir doğal sayı bile olamaz bu haliyle herhangi bir 6 verin 6 karesi 36 4'e tam bölünmek zorunda bu Ama şu ifade bana diyor ki 4'ün katı + 2 yani 4 le bölen kalan 2y imiş o yüzden Demek ki neymiş tek tek olamaz haliyle tek tek çift ya da tek tek tek ihtimalleri elendi çift çift de olamaz Ç çift niye Olamaz Hemen gösterelim teorem teorem aynı şekilde a ve b a k + b k c k eş ABC Pisagor üçlüsü için a ve b çift olamaz bu biraz daha bariz A ne diyelim 2K bir çift sayı K tam sayı b2t t bir tam sayı bir çift a k + b k c k Tabii ki Bütün bunlar temel Pisagor üçlüsü için konuşuyorum temel Pisagor uçusu için ne olacak 2K kares 4K k 2t kares 4t k şu xin toplamı bir çift sayı Demek ki ve 4'ün katı C de çift olur bu sefer c kare C şöyle 2 n gibi bir sayı olmak zorunda o zaman aralarında ası olmaz yani ortak bölenleri olur temel Pisagor ol demek ki çift çift çift olamaz ama ne zaman olur bir mesela 3 4 5in 2 katı gibi bir ifadede hepsi çift olabilir temel Pisagor için olamaz Peki geriye ne seçenek kalıyor geriye tek bir seçenek kalıyor Öyleyse Sadece a biri tek biri çift olmak zorunda ve c de tek olur bu durumda Tekin karesi tek çiftin karesi çift Toplamları bir tek sayının karesi tek seçeneğim şu Eğer ki eğer ki a b c bir Eee temel ilkel Pisagor üçlüsü ise Tek seçenek tek Gerçi bunla okunmaya Bu da mor bu hiç okunmaz Belki bunlardan biri çift biri tek olacak tek çift tek tek olasılığım Bu temel Pisagor üsü ise buraya kadar ilginç mi buraya kadar Bence gayet ilginç şimdi bir iki adım daha gidelim Ne olacak asıl mevzu bu a c üçlüleri üretebileceğimiz biri tek olur fark etmez hangisinin yani şu ikisi dik kenara sırasının da bir önemi yok Yeter ki birinden biri tek biri çift olsun hipotenüs mecbur tek olacak şimdi tek sayıyı yalnız bırakayım yok çift sayıyı çift sayıyı yalnız bırakayım Mesela B çift olsun B çift olsun Bunu yalnız bırakacağım b k = c k - a k yani b k = c - a x c + a şimdi B'ye çift dedik B ne olsun Şurada b b 2K gibi bir ifade olsun B'nin karesi 4K k c tek C tek a tek Tekten tek çıktı Bir çift sayı Bu da bir çift sayı çift sayı diyelim ki 2n Olsun bu da 2m olsun bunları not alalım C - A'ya 2n dedim c - a = 2n aynı zamanda c - hemen altını yazayım C + A pardon + a = 2m olsun 4K K 2 n m ise şunlar gitti k k = n x m kaldı mı burada bir şey küçücük bir ara teorem ekleyeceğim şuraya ekleyelim teorem ob [Alkış] n ve M aralarında asaldır yani birdir n ile m'nin obbi birdir ispat şimdi bu da şaşırtıcı gelebilir ya olmalı mı gerçekten olmak zorunda mı şöyle diyeceğim ispat diyelim ki olmasın diyelim ki diyelim ki ob nm D gibi bir sayı olsun Tamam mı Şimdi c - a 2aa şunları taraf tarafa toplarım şunlar gider 2C = n 2n + 2m yani c = n + m oldu şimdi Yukarıyı eksi ile çarparım ve topladığımda ne olacak Onu da kırmızıyla falan gö göstereyim eksi ile çarp - + - ve topla c'ler gitti bu sefer 2A = 2m - 2n yani a = m - n Maksim ne olacak n ve m'nin obbi D ise D n'yi böler bu böler demek aynı şekilde D m'yi de böler bir sayı iki sayıyı bölüyorsa toplamlarını da böler Öyleyse D bö m + n bir sayı iki sayıyı bölüyorsa farklarını da böler Bu bölmenin temel kurallarından biridir H hemen ispatlayabiliriz Hatta varsa tereddüt eden mutlaka ispatlasın ve D böler m - n farklarını da böler toplamlarını da böler dedik m + n kim c'dir m - n kim a'dır a'dır a ve C'nin ortak böleninin 1 olduğunu biliyorum O bebinin 1 olduğunu biliyorum başta temel e Pisagor üstüydü a ve C'nin obbi 1 bunu biliyorum AC 1E eş d a ve C'yi bölüyorsa Ober de bölmek zorunda yani D böler 1 bir doğal sayı 1i bölüyorsa O sadece 1 demektir ve pozitif Doğal sayılardan bahsediyoruz Demek ki D 1 bu çok önemli bir teorem her şey olu mu bakayım Şarjımız da var Şahane anlaşılıyor muar Şimdi burada önemli bir şey bulduk bu bitirecek bu her şeyi bitirecek M ve n'nin aralarında asal olduğunu nereye Yazım ha M ve n'nin aralarında asal olduğunu gösterdik Öyleyse aralarında asal iki sayının çarpımı bir tam kare ise Bunlar da birer tam kare olmak zorunda Burası Mesela bir p gibi bir sayının Bu da mesela q gibi bir sayının karesi olmak zorunda bu tereddütü yaşayan varsa bunu ödev olarak bırakıyorum bunu ispatlamaya çalışın aralarında asal iki sayının çarpımı bir tam kare ise bu sayılar da n ve m'nin aralarında asal sayılarında birer tam kare olması lazım Hatta ve hatta p ve K'nın obbi de nereye yazalım Aynen şuraya yazalım obb PK 1 olmak zorunda bu çok önemli ve bu Tamamsa Ya bu çok bariz bir şey ama ispatlanabilir ayrı bir videoda bunu ispatlayabiliriz ama bence çok keyifli de bir şey Neden doğru olduğunu düşünmenizi tavsiye ederim yazayım mı buraya aralarında Yo yazmayın aralarında As iki sayının çarpımı bir tam kare ise sayıların her biri birer tam karedir Üstelik bu sayılar da aralarında asaldır şimdi bitti Şimdi her şey bitti ne var şurada C'yi bulduk c = n + m Hatta A'dan başlayalım a = a = m - n değil mi B = B'ye 2K demiştik B'ye 2K demiştik değil mi k k eş şöle düzgünce yazalım k k p k x q K ise k p x q mudur güzel B de 2K demiştik yerine yazıyorum yerine yazıyorum b = 2 x k yerine p x q yazarım doğrudan Eee 2 m m n'yi doğrudan atladık aslında burada evet ve c neydi c n + mdi c = m + n şimdi hepsini yerine yazabilirim M kimmiş q kare mi Öyleyse a = q k - p k p k m - n m'ye q kare nye p k demiştim a = q k - p k b = 2pq c = m + n q k + p k q k + p kare şartım ne p ve q aralarında asal bakalım sağlanacak mı şurası p sayısı q diyelim şurası q şurası p şurası A sayısı A kimmiş q k - p k sonra B kimmiş 2 pq sonra C kimmiş q k + p kare bana Pisagor seçtiğim q ve p aralarında asal Ve tabii ki Ne olacak Burada bir fark olduğu için qp büyük olmak zorunda öyle seçeceğim q > p şeklinde seçeceğim q B P ve aralarında asal q ve p doğal sayıları için her bir seçimim bana bir Pisagor üsü verecek mi Bunu inceleyeceğim şimdi başlayalım Mesela ne olsun qp büyük mesela 2ye 1 2 ile 1 hoş görünmüyor ama bakalım q2 P1 olsun 2 kares 4 -1 3 2 x 2 x 1 4 yaptı 2 karesi 4 1 daha 5 yaptı 3 4 5'i buldu mu güzel bu yöntem bütün Pisagor üş veriyor yani temel olan olmayan bütün Pisagor üler veriyor şimdi 2 ile 1 3 4 5i verdik bunun katlar burada verdiğim değerlerden yola çıkarak bulabilirim mesela rastgele bir sayı söyle küçük olsun 4 sonra daha küçük bir şey 3 4E 3 4ün karesi 16 - 9 7 doğru mu 2 x 4 x 3 24 a güzel gördün m q kares 4ün kares 16 9 daha 25 bunun gibi e p ve q'ya aralarında asal olmak koşuluyla değerler vererek bütün Pisagor üstlerini bulabilirsiniz Hadi 5'e 3'ü de mesela 5'e 3'ü de siz bulun Umarım anlaşılır bir video olmuştur Anlaşıldı mı sence Tamam görüşmek üzere hoşça kalın