Akar Persamaan dengan Metode Newton

Pendahuluan

• Metode Newton digunakan untuk mencari akar-akar persamaan.
• Kelebihan metode ini:
  • Tidak perlu menentukan dua fungsi berbeda.
  • Konvergensi lebih cepat.
  • Hanya perlu menghitung turunan dari sebuah fungsi.

Langkah-langkah Metode Newton Secara Grafis

1. Tentukan Titik Awal (X1)
   • Pilih X1 sembarang.
2. Tentukan Fungsi dari X1
   • Hitung nilai fungsi F(X1).
3. Buat Garis Singgung
   • Garis singgung di F(X1) memotong sumbu X di X2.
4. Iterasi Selanjutnya
   • Gunakan rumus:
     • X2 = X1 - (F(X1) / F'(X1))
   • Ulangi proses untuk mendapatkan X3, X4, dst.

Contoh Perhitungan

Mencari Akar dari Persamaan Kubik

• Fungsi yang digunakan: F(x) = x^3 + x^2 - 3x - 3
• Toleransi: E = 0,0001

Langkah Penyelesaian

1. Tentukan X1: Misalnya X1 = 1
2. Hitung F(X1):
   • F(1) = 1^3 + 1^2 - 3*1 - 3 = -4
3. Hitung Turunan F'(X1):
   • F'(x) = 3x^2 + 2x - 3
   • F'(1) = 31^2 + 21 - 3 = 2
4. Hitung X2:
   • X2 = 1 - (-4 / 2) = 3
5. Hitung F(X2):
   • F(3) = 3^3 + 3^2 - 3*3 - 3 = 24
6. Cek Kondisi:
   • |F(X2)| = 24 > E (0,0001)
   • Ulangi dengan X1 = 3
7. Lanjutkan Iterasi hingga |F(X2)| < E

Penggunaan Excel untuk Metode Newton

1. Masukkan fungsi F(x) ke dalam sel.
2. Hitung turunan F'(x) dan gunakan rumus untuk iterasi.
3. Gunakan fungsi IF untuk mengganti X1 dengan iterasi baru jika F(X2) positif.
4. Lanjutkan hingga |F(X2)| < E.

Hasil Akhir

• Akar yang ditemukan: X2 ≈ 1,73205
• Kecepatan konvergensi:
  • Metode Newton: 7 iterasi
  • Metode Bisection: 51 iterasi
  • Metode Regula Falsi: 20 iterasi

Kesimpulan

• Metode Newton lebih efisien dibandingkan metode lainnya dalam mencari akar persamaan.
• Menggunakan Excel dapat membantu dalam perhitungan dan iterasi.

Terima kasih.