Hi und herzlich willkommen bei Lehrer Schmidt. Wir machen heute Mathematik und wir beschäftigen uns heute mit den Grundlagen bei den Potenzen. Wir fangen ganz einfach an und arbeiten uns dann Schritt für Schritt durch.
Vorwissen nicht erforderlich. Also ganz einfach meine ich tatsächlich. Wir rechnen nämlich 3 mal So, und da das gleichwertige Rechenoperationen sind, rechnen wir also von links nach rechts. 3 mal 3 sind 9, mal 3 sind 27, 27 mal 3 sind 81. Ja, kein Problem.
Wir können es uns aber auch einfach machen und können diese Aufgabe etwas anders aufschreiben, nämlich mit der Exponentialschreibweise. Und das ist nichts anderes als, ich mache es jetzt ein bisschen größer, Eine 3, die steht für diese 3 und eine kleine 4. 1, 2, 3, 4. So, und das ist auch alles. Die 3, die nennen wir Basis. Und die kleine Zahl hier oben, die nennen wir Exponent. Basis und Exponent.
Manchmal wird sie auch als Hochzahl bezeichnet. Ich schreibe es mal dazu. Hochzahl.
Und ganz einfach kann man sagen, die Basis, also die 3, zeigt an, um welche Zahl es geht. Und der Exponent bzw. die Hochzahl zeigt an, wie oft sie mit sich selber multipliziert wird.
Und 3 hoch 4 bedeutet eben 3 mal 3 mal 3 mal 3. Und 3 hoch 4 ist auch 81. Schauen wir uns das kurz auf dem Taschenrechner an. Ich kann eintippen 3 mal 3 mal 3 mal 3. Und wenn ich gleich drücke, steht da 81. Klar, ich kann aber auch eingeben 3 hoch 4. Und wenn ich jetzt gleich drücke, steht da auch 81. Ihr seht, der Mathematiker oder die Mathematiklehrer oder ab jetzt ihr macht es sich einfach einfach. Diese Exponentialschreibweise ist halt viel kürzer und sagt aber genau das gleiche aus.
Darum geht es. Und jetzt geht es darum, dass wir uns das noch ein bisschen genauer angucken. Wenn wir bei den Dreien bleiben.
dann müssen wir uns zwei Besonderheiten merken. Und zwar immer 3 als Beispiel hoch 0. Alles hoch 0 ist immer 1. Also 4 hoch 0, 5 hoch 0, 6 hoch 0. Alles hoch 0 ist immer 1. So, und 3 hoch 1, ja, das kann man zwar hinschreiben, aber das bleibt 3. Und 5 hoch 1 ist eben 5. Und 6 hoch 1 ist eben 6. Das sind die beiden Besonderheiten. Schauen wir uns das nochmal beim Taschenrechner an. Und die Taschenrechner funktionieren im Kern alle gleich. Ihr gebt also zuerst die Basis ein, in unserem Fall 3. Und dann mit dieser entweder XY-Laste oder hier in diesem Fall X-Quadrat-Taste gebt ihr das ein.
Und hier bei Casio könnt ihr jetzt oben zum Beispiel die 0 eingeben. Und wenn ihr gleich drückt, dann wird das Ganze ausgerechnet. Und ihr seht, aha, 1. Machen wir das nochmal.
3 für die Basis. Dann... die Exponententaste und dann in dem Fall 1. Und wenn ich jetzt gleich drücke, steht doch hoffentlich 3. Jo, haben wir alles richtig gemacht. Okay, geben wir das nochmal anders ein, nur damit ihr es gesehen habt.
2 hoch 5 ist dann ja nichts anderes, als haben wir ja gerade gesagt. 2 mal 2 mal 2 mal 2 mal 2. Und das können wir jetzt auch so ausrechnen. Also Mal 2, 32. Oder wir tippen ein, 2 hoch 5. Geht halt viel schneller und es kommt auch 32 raus.
Okay, dann haben wir das auch. Als nächstes, wir sind ja noch bei den Basics, müssen wir eben ein paar Sachen klären. Also 10 hoch 1, das ist 1 mal 10, also 10. Alles klar.
10 hoch 2 ist nichts anderes als... 10 mal 10, weil da steht ja 2 mal die 10 und 10 mal 10 sind 100. Okay, 10 hoch 3. 10 mal 10 mal 10, ich schreibe es noch hin, 10 mal 10 mal 10, also drei Nullen, 1000. Okay, was muss man noch kennen? Ein paar Zahlen, die man einfach kennt. 10 hoch 6 sind also 10 mal 10 mal 10 mal 10 mal 10 mal 10 oder, und deswegen ist die Sache so schön praktisch, ihr schreibt die 1 hin und dann sechs Nullen, also 1, 2, 3, 4, 5, 6 und dann ist das eben die Million.
Und 10 hoch 9, die kennt man halt, das ist die Milliarde, also eine 1 und dann 9 Nullen. Und das ist die Milliarde, 1000 Millionen Milliarde. Und 10 hoch 12, nur damit ihr es gesehen habt, das ist die Billion, also eine 1 mit 12 Nullen. So, so und dann haben wir es.
So, und das sind die Zahlen, die ihr in der Mathematik bis zum Realschulabschluss eigentlich seht. 10 hoch 1 bis 10 hoch 12, da hört der Zahlenraum dann aber auch auf. Okay, weiter geht's. Ein paar Kleinigkeiten haben wir noch.
So, in der Schreibweise, und das kommt fast immer an der Arbeit dran, seht ihr manchmal sowas hier. 3 mal 10 hoch 3. So, und das ist genauso wie gerade eben. Im Prinzip steht da jetzt Oder eben 3 mal 1000. Und das sind dann 3000. Ihr seht also, ihr schreibt die 3 hin, die hier steht, und dann drei Nullen. 1, 2, 3. Okay?
Das Ganze kann aber ein bisschen schwieriger werden, wenn da steht 3,1 mal 10 hoch 3. Und dann haben wir zwar immer noch den Tausender-Schritt, aber die 1 ist in dem Fall der Hunderter. Und dann sind das 3000 Einhoch. Und das können wir noch weiterführen. 3,14 mal 10 hoch 3 sind dann 3,14.
Das schreiben wir einfach ab. Und weil wir eigentlich ja drei Stellen nach dem Komma hätten, kommt hier noch eine hinterher. Also 3.140. Okay, und das, was in die Richtung große Zahlen funktioniert, das funktioniert natürlich auch mit Kommazahlen. Nehmen wir die Zahl.
3 mal 10 hoch minus 3, dann ist das das gleiche Prinzip. Also ist es dann 0,003. Also wieder 1000, aber in dem Fall Tausendstel.
Schauen wir uns das an mit 3 mal 10 hoch minus 6. Dann ist es jetzt das Millionstel, also 0,000003. Und setzen wir noch eine Kommastelle. 3. Komma 1 7 mal 10 hoch minus 6 sind dann 0,0000003.
Und jetzt die Kommastellen, die hängen wir natürlich bei den Kommazahlen an, also 1 7. Okay, das sind die Basics. Jetzt schauen wir uns die Potenzgesetze an. Die Potenzgesetze, die muss man einfach lernen.
Im Zweifel. muss man sie einfach nämlich nur anwenden. So, und das erste Potenzgesetz sagt nichts anderes aus, als dass a hoch m mal a hoch n, und das ist total egal, welche Buchstaben das sind, das gleiche sind wie a hoch m plus n. Sieht kompliziert aus, besagt Folgendes.
Wenn die Basis gleich ist und die Exponenten unterschiedlich und man multipliziert, dann... darf man die Exponenten, die Hochzahlen, einfach miteinander addieren. Das sieht immer kompliziert aus, also ein Beispiel.
4 hoch 3 mal 4 hoch 5 ist nichts anderes als, aha, Basis wieder hinschreiben und jetzt m plus n, also 3 plus 5. Und 3 plus 5 sind 8. Und dann sind wir fertig. Noch ein Beispiel. 7. hoch 3 mal 7 hoch 2 sind dann nichts anderes als Basis wieder hinschreiben und 3 plus 2, also 5. Das ist das erste Gesetz. So, das zweite Gesetz.
A hoch M geteilt durch A hoch N, und das kann man sich jetzt ja fast denken, ist nichts anderes als A hoch M minus N. Wichtig, man kann das Ganze natürlich auch A hoch M durch A hoch N als Bruch schreiben. Trotzdem ist das Ergebnis A hoch M minus N.
Beide Schreibweisen sind richtig und... Vermutlich seht ihr auch beides in Arbeiten. Erstes Beispiel. 4 hoch 5 geteilt durch 4 hoch 3. Also sehen wir es hier oben. Basis wieder hinschreiben, die 4 und dann 5 minus 3 sind dann 2. Und schon sind wir fertig.
Furchtbar kompliziert sieht das aus. 7 hoch 6 geteilt durch 7 hoch 3. Es ist aber de facto ganz einfach. Wir schreiben nämlich dann die Basis wieder hin.
Das sind 7 und dann 6 minus 3 und das sind 3. Das ist das zweite Gesetz. Kommen wir zum dritten. Und das dritte Gesetz, das ist ganz dankbar.
Das sagt nämlich aus, dass a hoch m im Klammern hoch n, also Hochzahl mit Hochzahl, nichts anderes ist als a hoch m mal n. Also in diesem Fall werden die Hochzahlen multipliziert. Sieht im Beispiel so aus.
7 hoch 2 in Klammern hoch 3 ist nichts anderes als Basis wieder hinschreiben. 7 und dann 2 mal 3 sind 6. Noch ein Beispiel. 5 hoch 4 in Klammern hoch 5 ist nichts anderes als 5 und jetzt 4 mal 5, 5. hoch 20. So, das war der Einstieg in die Potenzgesetze.
Damit hat man so die Basics verstanden. Das ganze Thema geht allerdings noch weiter. Da folgen aber weitere Videos. Okay, das war's.