वेक्टर क्रॉस प्रोडक्ट

Overview

यह लेक्चर वेक्टर के क्रॉस प्रोडक्ट (Cross Product) के कॉन्सेप्ट, नियम, उदाहरण और इससे जुड़े महत्वपूर्ण सवालों को कवर करता है। इसमें आई-जेजे-के (i, j, k) यूनिट वेक्टर्स के क्रॉस प्रोडक्ट के शॉर्टकट व डिटर्मिनेंट मेथड भी समझाए गए हैं।

क्रॉस प्रोडक्ट/वेक्टर प्रोडक्ट की परिभाषा

• दो वेक्टर A और B का क्रॉस प्रोडक्ट (A × B) एक नया वेक्टर देता है।
• क्रॉस प्रोडक्ट = |A| × |B| × sinθ × n̂ (जहाँ n̂, A और B दोनों के परपेंडिकुलर यूनिट वेक्टर है)।
• A × B का डायरेक्शन, राइट हैंड थंब रूल या स्क्रू रूल से निकाला जाता है।
• यदि दो वेक्टर प्लेन में हैं तो उनका क्रॉस प्रोडक्ट उस प्लेन के परपेंडिकुलर (ऊपर या नीचे) होगा।

उदाहरण एवं विशेष बातें

• A × B का मैग्निट्यूड: |A| × |B| × sinθ
• यदि A = 5, B = 2, θ = 30°, तो A × B = 5×2×sin30° = 5
• A × B ≠ B × A; बल्कि A × B = – (B × A)
• क्रॉस प्रोडक्ट कम्युटेटिव नहीं होता
• Self product: i × i = j × j = k × k = 0 vector

आई, जे, के यूनिट वेक्टर्स के नियम

• i × j = k;  j × k = i;  k × i = j (cyclic order)
• उल्टा चलने पर साइन नेगेटिव बदल जाता है:  j × i = –k आदि
• शॉर्टकट: i, j, k लिखकर cyclic clockwise रूल लगाएं

डिटर्मिनेंट मेथड से क्रॉस प्रोडक्ट

• A = a₁i + a₂j + a₃k, B = b₁i + b₂j + b₃k
• डिटर्मिनेंट द्वारा:
   A × B = |i j k|       |a₁ a₂ a₃|       |b₁ b₂ b₃|
• उदाहरण से:
   A = 2i + 3j + 4k, B = 3i + 2j + 3k
   A × B = (9–8)i + (12–6)j + (6–9)k = i + 6j – 3k

क्रॉस प्रोडक्ट के विशेष नियम व प्रश्न

• यदि A × B = 0, तो या तो वेक्टर समानांतर (parallel/anti-parallel) या कोई एक वेक्टर 0 है।
• A • B = 0 ⇒ वेक्टर आपस में परपेंडिकुलर (θ = 90°)
• |A × B| = |A • B| होने पर θ = 45°
• A • (A × B) = 0 (क्योंकि दोनों परपेंडिकुलर होते हैं)
• यदि A • B = 0 और A • C = 0, तो A, B और C दोनों के परपेंडिकुलर या उनके क्रॉस प्रोडक्ट के समानांतर होता है।

Key Terms & Definitions

• क्रॉस प्रोडक्ट (Cross Product) — दो वेक्टर का ऐसा गुणनफल जिसका परिणाम एक वेक्टर होता है।
• राइट हैंड थंब रूल — A से B की दिशा में उंगलियाँ मोड़ें, थंब जिस दिशा में वो क्रॉस प्रोडक्ट का डायरेक्शन।
• डिटर्मिनेंट मेथड — i, j, k के साथ डिटर्मिनेंट बनाकर क्रॉस प्रोडक्ट जल्दी निकाला जाता है।
• यूनिट वेक्टर (Unit Vector) — जिसके मान की लंबाई (magnitude) 1 हो।

Action Items / Next Steps

• होमवर्क: यदि A = i + j + 2k, B = 2i + 3j – k, तो A × B ज्ञात करें और उसका मैग्निट्यूड निकालें।
• अगले वीडियो में एडवांस्ड क्वेश्चन और वेक्टर के अन्य टॉपिक (जैसे ट्रायंगल लॉ, ट्रायंगल एरिया, पोजीशन वेक्टर) पढ़ें।
• नोटबुक में प्रमुख शॉर्टकट, नियम और उदाहरण चार्ट रूप में लिखें।