लोगों बच्चों आज वेक्टर का सिक्थ वीडियो हम लेके आए हैं जिसमें हम बात करेंगे cross product of vector या की vector product की इसके पहले हमने dot product पढ़ लिया है आप सबको very good evening very good morning very good afternoon or good night जो भी आपका समय चल रहा हो और आज का वीडियो हम स्टा दो वेक्टर को मल्टिप्लाई करने का एक अनोखा तरीका हमने एक वेक्टर A लिया, दूसरा वेक्टर B लिया, उनके बीच में क्रॉस लिखा तो जो आंसर आएगा वो भी एक वेक्टर होगा इसको हम बोलते है cross product ये cross या vector product क्योंकि answer भी vector बना तो दो vector को multiply करने पे यदि answer भी vector आता है तो ऐसे multiplication को अपन बोलते है cross product या vector product आपने ये देख रखा है, class 10th में, जब आपने torque या class 9th में, जब आपने moment of force निकाला था, torque या moment of force निकलता है, जब force को multiply करते हो displacement से, या कई लोग कह रहे होंगे R से Force or displacement, vector quantity, vector quantity. Torque or moment of force, vector quantity. दो vector को multiply करने पे answer भी vector आया, मतलब कौन सा product है?
Cross product है. तो यह है cross product की logic. यदि दो vector को multiply करने पे answer भी vector आता है, यानि कि वो दोनो vector कैसे multiply हुए है, cross product या vector product. तो क्या logic है cross product की, जल्दी समझाते हैं आपको. जैसे हम से कहा A cross B key वैल्यू बताईए हमें तो आप बोलोगे mod A, mod B multiplied by sin theta जैसे यहाँ पे हमारे पास दो vector हैं एक vector B, एक vector A और इनके बीच में angle है theta तो A cross B करने पे answer आएगा A की value, B की value multiplied by sin theta यह तो हो गई वैल्यू अब क्योंकि जो answer है वो vector है तो इसका direction होगा n cap.
अब ये n cap क्या चीज़ है? किसी भी vector को अगर direction देना हो तो हम क्या use करते हैं? unit vector पिछले videos में मैंने यह बात कई बार आपको बताई कि vector को direction देने के लिए एक ही चीज यूज होती है जो की है unit vector तो n cap लगा दिया and this is a unit vector which is perpendicular to both vector A and vector B मतलब इसका जो direction है वो A vector और B vector के perpendicular है तो A, B के perpendicular एक ऐसे हो सकता है उपर और एक ऐसे हो सकता है नीचे बाई A और B मान लो इस plane में है इस plane में A और B है तो इसके perpendicular या तो उपर या तो नीचे अब एक बात समझ लो A cross B करने पे जो answer C आता है वो C vector का direction N cap से मिला और N cap A और B के perpendicular या तो उपर या तो नीचे मतलब जो ये vector C होता है बच्चो it is perpendicular to vector A and this vector C is also perpendicular to vector B बातें ध्यान से समझो जब दो vector का cross product करोगे तो जो answer आएगा वो उन दोनों vector के perpendicular होगा और answer का direction निकालने का तरीका क्या बताया गया है n-cap ज़्यादा confused नहीं होना n-cap में यार देखो इसका जो answer आना है वो vector आना है अब vector अगर c vector है तो c के पास दो चीज़े होंगी एक तो c का magnitude और एक c का direction magnitude निकलेगा mod a mod b sin theta से और direction निकलेगा n-cap से confuse करने के लिए n-cap का मतलब ऐसा vector जो a और b के perpendicular हो तो या तो perpendicular upwards या perpendicular downwards ले लो, बन गया, answer हो गया, चलिए example लेते हैं, example से ही चीज़ें समझ में आती हैं, तो हमें जैसे एक सवाल दिया इन्होंने, कि हमारे पास एक vector a है, which is suppose 5, एक vector b है, which is suppose 2, और इनके बीच में angle है suppose 30 degree हमसे इन्होंने कहा find A cross B और ध्यान से सुनना find B cross A हमसे दोनों चीजें पूछी हैं, A cross B और B cross A, तो A cross B होगा, mod A, mod B, sin theta, multiplied by n cap, mod A की value कितनी हो गई, 5, B की value 2, sin 30, और n cap देखा जाएगा, तो sin 30 कितना होता है, 1 by 2, तो 5 into 2 into 1 by 2, 2 से 2 मर गया, answer आया 5, ये क्या होगा, mod B, mod A, sin 30, या साइन थीटा, तो मॉड बी की वैल्यू हो गई 2, ए की वैल्यू हो गई 5, और साइन 30, यानि 1 by 2, 2 cancel, फिर answer आया 5, अब देखो क्या difference है दोनों में, ठी और angle है कितना 30 degree तो a cross b की value कितनी आ रही है 5 b cross a की value भी कितनी आ रही है 5 तो क्या हम ये लिख सकते हैं कि a cross b is equal to b cross a no no we can never write this ये गलत है क्यों?
देखो, A cross B का दो direction हो सकता है, या तो उपर, या तो नीचे, perpendicular इन दोनों के, कैसे निकालना है, मैं आपको बताता हूँ, आप यूज़ करो, right hand thumb rule, किताब में screw rule दिया है, वो भी समझा देंगे, right hand thumb rule, आप यूज़ करो, right hand thumb rule, क्या कहता फिर जहां से जहां जा रहे हो वहां से वहां ऐसे fingers को curl करो जिधर आपका thumb point करे वही direction होगा n cap का या a cross b का जो unit vector है, यह ना unit vector, जो direction बताएगा, उसका direction निकालना है, तो right hand की fingers को curl करो, vector A से B, या B से A, जहां से जहां जाना हो, जिधर thumb point करेगा, that will be the direction of A cross B, चलो यहां करते हैं, A से B की तरफ curl किया, thumb किदर आया, उपर, यह vector A, B अंदर की तरफ है, तो A से B की तरफ curl कि फिर दूसरा क्या है हमारा, B x A, अब क्या करना है, right height की fingers को B से A की तरफ curl करो, B से A की तरफ, तो यार B से A एक तो ऐसे curl कर सकते हो, ब एसे बीट करना है या बीट से एक करना है छोटे एंगल में यह रहा छोटा एंगल तो आप क्या करो हाथ कोलटा कर दो अब देखो छोटे एंगल मे कि क्या हो गया डाउनवर्ड्स हो गया फिर से एक रॉस भी करना है राइट हैंड खोला फिंगल्स को कर किया एसे along the small angle along the small एक angle यह है 150 degree वाला नहीं यह 360 होगा ना 330 degree वाला एक तो 30 degree है एक 330 तो छोटे angle में curl करना है तो ए से बी curl किया उपर तो A cross B किदर है? Upward और फिर कहा क्या, B से A, तो B से A भी करल करना है इसी एंगल में, यह नहीं कि यहां घुमा दिया, तो मैंने उल्टा किया, B से A करल किया, किदर आए, डाउनवर्ड्स आया, चेक, तो A क्रॉस B का आंसर 5, ए और बी दिखाई पड़ा आपको ये ए और बी दिख रहे हैं दोनों ए क्रॉस बी उपर बी से बी क्रॉस ए किदर नीचे बी क्रॉस ए नीचे तो यातो ये रूल यूज़ करो या दूसरा रूल आप यूज़ कर ल इसमें क्या करना है, दोनों वेक्टर को टेल से टेल जोड लो, जुड़े हुए हैं, वहाँ पे स्क्रू को रख दो, अब जहां से जहां जाना है, वहाँ से वहाँ एसे बी की तरफ तो स्क्रू किधर जा रहा ऊपर यह देखो एसे बी एडर है बी अंदर है तो एसे बी स्क्रू किधर आया ऊपर तो डायरेक्शन किधर हो गया अपवर फिर उन्हें ने कहा बी से ए निकालो तो ठीक है यहां भी बना कर दिखाओ देखो बी वेक्टर थोड़ा सा अंदर की तरफ है एवेक्टर इस तरफ है तो यहां स्कूल रखा A से B तो ऐसे घुमाया A से B स्क्रूप को जब ऐसे घुमाते हैं anti-clockwise तो किदर जाता है उपर तो खुलने लगा और B से A घुमाया तो अंदर clockwise, anticlockwise वो बोली मारो यार मतलब अपने direction sense पे बिलीफ करो जैसे यहाँ पे रखा मैंने अब इसको स्क्रूड को अगर ऐसे घुमाओगे तो यहाँ खुलेगा ऊपर और ऐसे खुलाओगे तो यहाँ खुलेगा नीचे तो ऐसे डिर पर direction wise just opposite है direction wise just opposite है can we write it like this no क्योंकि a cross b का answer एक vector है b cross a का भी answer एक vector है ये दोनों vector magnitude में तो equal है पर direction में opposite है तो हम इनको equal नहीं लिख सकते we cannot write this this is wrong ये दोनों vector magnitude में equal है पर direction में opposite है तो ऐसा लिखना गलत हो जाएगा ठीक है तो आपको direction निकालना पक्का आ गया है या तो screw रखके direction निकाल लो या तो thumb रखके निकाल लो और एक बात और आपको side में यहाँ लिखने को पता चल जो commutative rule था, commutative क्या होता है? कि जो relation A का B से हो, वही relation B का A से हो. commutative rule vector product या cross product में valid नहीं है. जबकि यहाँ पे valid था, पिछला वीडियो ध्यान से देखना, A.B किसके equal था?
B.A. वहाँ पे commutative valid था, cross product में commutative product वैलिड नहीं है. यह rule वैलिड नहीं है.
या direction निकालने वाला काम और करना है एक vector इस तरफ है एक डिरेक्शन में ठीक है एक विक्टर इस तरफ है वाइड एक्शन में और मैं बोल देता हूं एक टिप्टर इस डिरेक्शन में है लेट एड ए एक विक्टर y direction में है, let it be b आप मुझे बताओ a cross b का direction क्या होगा a cross b का, सब लोग सोच के बताओ तो मैं क्या करूँगा, right hand खोल लूँगा और छोटे एंगल के पे A से B घुमाऊंगा, A से B, तो देखो थम किदर आ रहा, outward, तो A cross B का direction किदर हो गया हमारा तो यार B से A या तो ऐसे घूमें बड़े एंगल में नहीं, छोटे एंगल में घूमना है तो मैंने थाम अंदर कर लिया, B से A, किदर गया? Inward. तो अगर हमसे कोई पूछे B x A का direction क्या होगा तो आप बोलोगे inward तो यह समझना जरूरी है कि A x B या B x A एक vector quantity है और उसका direction होगा और जो direction होगा वो A और B के perpendicular या तो बाहर आता यानि A के भी perpendicular B के भी perpendicular दोनों के perpendicular जैसे यहाँ पे देखो यह vector जो है यह A से भी 90 degree पे है B से भी 90 degree उपर चला गया या नीचे चला जाता तो भी यह A था यह B था नीचे गया तो भी उन दोनों से कितना हो गया 90 degree, so A cross B का जो answer आता है, वो A से भी 90 degree पे होता है और B से भी 90 degree पे होता है ठीक है, अब मान लो, हमसे वो कहते हैं कि आप orthogonal unit vectors का crossword समझाईए, मतलब जैसे exam में सवाल आ गया, आपसे पूछ लिया i cross j कितना है, आपसे पूछ लिया j cross k कितना है, आपसे पूछ लिया i cross i कितना है, ये सारी बातें आपसे कर ली, तो कैसे answer निक जेट डायरेक्शन तो एक्स का यूनिट वेक्टर होता है आई कैप वाइट यूनिट वेक्टर होता है जे कैप और जेट का यूनिट वेक्टर होता है के आई कैप जे कैप और के आई ठीक है अब हमसे ने कहा कि आप पाइंट करिए आई क्रॉस i cap या j cross j cap या k cross k cap मतलब self product मतलब vector a क्रॉस वेक्टर ए पूछ रहे हैं आइए करते हैं क्या लिखेंगे आप?
मॉड आई अच्छा अब एंगल लिखना है आई का आई से क्या एंगल है? 0 डिग्री इधर आई उसी के उपर आई आई का खुद से क्या एंगल होगा? 0 तो आई sin 0 sin 0 की value 1 1 तो यार sin 0 की value 0 sorry 0 1 तो answer कितना आ गया 0 इस तरह से j cross j, तो क्या लिखोगे, mod j, into sin 0, इस तरह से k cross k भी 0, तो आपको याद रखना है, i cross i, j cross j, k cross k की value कितनी होती है, 0 होती है, अच्छा अगर याद हो, तो यहीं पे एक कि ओके डॉट की वेल्यू कितनी आ रही थी बना रही थी यानी सेल्ट डॉट लोगे तो आंसर बनाएगा और प्रॉब्लम लोगे तो जैसे a cross a mod a mod a और a का as angle कितना होगा?
sine 0 तो answer will be 0 अब ध्यान से सुनना ये 0 vector होगा समझाया है कि 0 vector होता है यहाँ answer vector आना चाहिए क्योंकि 2 vector का cross word तरह तो ये जीरो स्केलर नहीं है, जीरो वेक्टर, एग्जाम मान लो दो अप्शन दे जाई तो वो, कि जीरो आंसर है कि जीरो वेक्टर आंसर है, तो आप हम यहाँ पे लिख लेते हैं चलिए I x I is equals to K x K is equals to J x J and all are equal to 0 अब बात करते हैं बच्चों इसकी I x J की क्या कहते हो I x J तो I और J के बीच में एंगल कितना है 90 तो mod I mod J साइन 90 ठीक है तो मॉड आई हो गया वन क्योंकि यूनिट वेक्टर है मॉड जे हो गया वन यूनिट वेक्टर है साइन 90 हो गया वन आंसर कितना आया वन क्या ये आंसर सही है नहीं क्योंकि क्रॉस प्रोड करने पे आंसर क्या आना चाहिए था वेक्� आई से जे की तरफ, स्क्रू किदर आ रहा, बाहर, यहाँ पे या तो थम रख लो राइट हेंड का, आई से जे की तरफ थम को घुमाओ, डिरेक्शन किदर आया, बाहर, यानि तुम् तो 1 into k cap, answer will be k cap, वा बाई वा, यानि i cross j की value क्या आती है, k cap आती है, पक्का समझ में आया है आपको, बढ़िया से, एक और example लेते हैं, और उमीद करते हैं कि इस वार आपको पक्के समझ में आएगा, चलो मैं यह जे वेक्टर ये रहा के वेक्टर जे क्रॉस के तो पहले तो जे और के बीच में एंगल 90 डि है तो वन इंटू वन साइन 90 इस वन तो आंसर वन पर यह नहीं हो सकता क्योंकि आंसर एक वेक्टर होना है और उसका विवेशन कैसे निकलेगा स्क्रूड से या राइट हैंड थम रूप से तो जैसे की तरफ हमको राइट हैंड का थम फॉर राइट हैं कि फिंगल को करना है तो जैसे की तरफ हमने राइट हैंड की फिंगल को कर किया और थम देखो इधर आया जैसे कि अब इस direction का हमें क्या चाहिए होगा, एक unit vector, और इस direction का unit vector कौन है, i cap, तो multiply कर दो i cap से, answer will be i cap, screw रखके चक्कल लो, j से k की तरफ screw को घुमाओ, j से k की तरफ screw को घुमाओ, j से k की तरफ screw घुमाओ, screw इधर आ रहा, मतलब इस direction का तुम्हें क्या चाहिए होगा इस direction का तुम्हें n cap चाहिए होगा unit vector और इस direction का unit vector कौन है i cap तो मैंने लिख लिया i cap और answer आज जाएगा मतलब i cross j आता है के जे क्रॉस के आता है आई, आई क्रॉस जे आता है के, जे क्रॉस के आता है आई, तो एक ब सब ले समझ गए हैं, answer जी होगा, आओ चेक करते हैं, k cross i, क्या लिखेंगे, mod k, mod i, sine 90, और क्या लिखने बोलो, n cap भी लिख लेते हैं, 1, 1 आया, अब n cap is a unit vector perpendicular to k and i, और कैसे निकलेग तो हम किदर आया? Upward इस direction का unit vector, उपर की direction का unit vector कौन है? J cap, तो multiplied by J cap, answer becomes J cap ठीक है, बहुत बढ़िया, तो एक काम करते हैं, इन चीजों को यहां side में लिख लेते हैं ठीक है ठीक है तो हम बोल सकते हैं I cross J किसके क्वल है K cap के फिर क्या लिया था हमने j cross k, किसके equal था?
i cap, फिर हमने लिया था k cross i, किसके equal था? j cap k, ठीक है, क्योंकि cross product में जो answer आएगा न, वो vector आएगा, तो i और j को cross किया तो k आया, j और k को cross किया तो i आया, k और i को cross किया तो j आया, ठीक है, i x j पता है, अब क्या पूछ लिया मैंने j x i कितना आएगा j x i, और j x i चेक करते हैं तो j x i में देखो mod j, mod i, sin 90 इस तो सेम रहेगा mod j mod i sign 90 answer तो वन ही आएगा direction की बात है इस बार j से i की तरफ भूमना है तो j से i किधर गए अंदर j से i किधर गए j से i किधर गए अंदर मतलब पीछे की direction का unit vector यहाँ का unit vector है k cap तो पीछे का क्या हो जाएगा minus k cap तो मैंने multiply कर दिया minus k cap से answer क्या आ जाएगा minus k cap तो j cross i अगर हमसे पूछता है तो हम बोल देंगे minus k अब या तो एक को निकालो या तो तुम्हारे पास कोई short cut हो या तो आप एक को determine करो भाईया या तो आपके पास कोई short cut हो जिससे आप खटा चिस्म जैसे अब मैं आपसे फुल फिर पूछ लूँ कि यह बताओ K cross J कितना होगा कि J cross K I आया है तो K cross J कितना हो जाएगा minus I के अब चेक करके देखें K cross J तो mod K mod J sine 91 अब K से J की तरफ, तो ये right hand कहां से कहां घुमाना है, K से J, कैसे घुमेगा, K से J, ये ऐसे घुमेगा देखो, K से J, K बाहर की तरफ है, J उपर की तर तो यार मैं तुमको एक short trick बताई देता हूँ, क्योंकि काफी समय हो गया, concept आपको समझ में आ गया, तो concept समझने के बाद अब एक short trick समझो, आप तीन vector यहाँ पे लिख लो, i cap, j cap, k cap, i, j, k, ऐसे लिख लो, अब जब i cross j करोगे तो answer k आएगा, क्या कहा मैंने, मैंने कहा तीन वेक्टर लिख लो, I, J, K, ऐसे लिख लो Cyclic Order में, ऐसे लिख अब i से j पे जाओगे तो answer के आएगा, j से k पे जाओगे तो answer i आएगा, k से i पे आओगे तो answer j आएगा, जैसे मैं पूछूं i cross j तो इसके बाद कौन है, k तो answer बोल दो k के आप, मैं बोलूं j cross k तो आप answer बोलना i के आप आजाएगा, मैं बोलूं k cross i तो अब मान लो उल्टा चलने लगे हम, हम आपसे पूछ लें I x K कितना आएगा, I x K, मतलब उल्टा चलने लगे हैं, जब उल्टा चलेंगे तो answer यही आएग K x J, तो अगला वाला होगा minus के साथ, minus I क्या? हाँ आप से बुचें, J x I कितना होगा? J x I, उल्टा चले गए, तो K ही होगा, पर किस के साथ?
minus k के साथ compare कलो i cross j k आया तो j cross i minus k आया j cross k i आया, तो k cross j minus i आया, तो बड़ा असान है, क्या सिखाया मैंने आपको, फिर से देख लो यहाँ पे, अब जल्द जल्दी आंसर बताना, मैं पूस्ता जा रहा हूँ, i, j, k, i से j चलेंगे तो k, क्योंकि clockwise j से k चले तो i clockwise k से i चले तो j clockwise जब clockwise चलोगे तो answer positive में अगला वाला और उल्टा अगर कर दिया i से k चले तो minus j के से जे चले तो माइनस आई, जे से आई चले तो माइनस के, आई से के चले तो माइनस जे, के से जे चले तो माइनस आई, समझ में आगे आपको क्लियर हो गई ये बात, कि इस तरह से आप इस बात को याद रख सकते हो, बाकि यार इसको आपको रिवाइन करके देखना पड� एक vector है वे पास b जिसकी value है 2k cap हमने आपसे पूछा find करिए vector a cross b vector a cross b तो 5 i cap cross 2k cap ऐसे लिख सकते हैं 5 2's है कितना हो गया 10 अब i cross k i cross k जल्दी से दिमाग में i j k i cross k उल्टा चले तो minus j तो answer will be minus 10 j cap, जैसे मालिए जब हम दूसरा example ले ले, आपसे इसी में हम पूछ ले, b cross a निकालिये, b cross a, मतलब 2k cross 5i, तो 2 5s पहले लिख लो 10, अब k cross i, तो ये तो सीधा तो इस तरह से आपको answer निकाल लें, ठीक है, कार्टीसिन फॉर्म में अगर आपसे पूछता है, अच्छा यहां से आपको एक चीज और समझ में आ रही है, काफी questions देख लिये आपने, अब आपको एक चीज़ बहुत clear हो गई होगी इतने questions देखने के बाद कि a cross b की value b cross a की equal तो नहीं होती पर a cross b की value minus b cross a की equal होती है देखा आपने सारे example में, पिछले example में देखा, फिर से बात करो चाहो तो i, j, k, i cross j क्या आएगा, k, अच्छा और j cross i क्या आएगा, j cross i उल्टा चले गए, क्या आएगा, दिख रहा है? तो ये relation cross product में है, जबकि dot product में क्या था? a.b, किसके equal था? b.a यहाँ पे ऐसा नहीं है, यहाँ पे minus लगा के उल्टा होता है एक अगर उपर आता है तो दूसरे एक answer नीचे की तरफ आता है आपके बहुत बढ़ी है तो आपको यह तो समझ में आ गया यह आईजेके की कहानी समझ में आ गई होगी एक सवाल और कर लेते हैं देख लेते हैं आपके तरह नहीं है आप तीन वेक्टर लेते हैं वेक्टर ए है विच इक्वल्स टू फॉर जे जाए बेक्रॉसी वेक्टर सी प्रॉस ए वेक्टर एक रॉसी वेक्टर सी क्रॉस बी ठीक है बेक्टर बी क्रॉस ए चलिए सारी वाल्यूज आप जल्दी निकाले हैं स्टार्ट करें चलिए ए क्रॉस बी तो फोर थ्री जा ट्वेल्व और जे क्रॉस आई मतलब उल्टा जा रहे हैं तो माइनेस के कैप तो माइनेस ट्वेल्व के कैप बी क्रॉस सी तो थ्री ट 2 4s are 8, और K cross J, K cross J, मतलब उल्टा जा रहे हैं, minus, I cap, A cross C, 4 2s are 8, और J cross K करना पड़ेगा, J cross K, मतलब clockwise, मतलब सीधा जा रहे हैं, I cap, C cross B, तो 2 3s are 6, और K cross I, K cross I, मतलब सीधा जा रहे हैं, clockwise, तो कैसा आएगा जे फिर भी क्रॉस ए फ्री पोर्ट ट्वेल्फ अ और i से j जा रहे हैं, i से j मतलब सीधा जा रहे हैं, तो answer will be plus 12k, k cap, तो इस तरह से आप a cross b, b cross c, i, j, k की कहानी को अब बढ़िया से समझ सकते हो, अच्छे से समझ सकते हो, मेरे ख्याल से अब आपको clear हो गया होगा i, j, k का concept अब मान लो बच्चों मैं तुम्हें question दे दूँ कि vector A is equals to let it be 2i cap plus 3j cap plus 4k cap and vector B is equals to 3i cap plus 2j cap plus 3k cap और मैं आपसे पुछूँ find vector A cross B कर सकते हैं क्या A cross B कर तो सकते हैं बड़ा लंबा प्रोसेस हो जाएगा पहले इसको इससे मिल्टीप्लाई करो इसको इससे मिल्टीप्लाई तो 2 3 कितना आएगा 6 और i cross i कितना हो जाएगा 0 फिर 2 को इससे करो 2 कितना हो जाएगा 4 और i cross j कितना आ रहा था k फिर 2 को 3 से करो 2 3 कितना हो गया 6 और i cross k मतलब उल्टा चले तो क्या हो जाएगा minus j cap 3 को इस से करो 3 जा कितना हुआ 9 और j cross i मतलब उल्टा चले तो minus k का आ जाएगा फिर इसको इससे करो 3, 2, जा कितना हुआ 6, और j cross j, same से किया तो 0, फिर इसको इससे करो 3, जा 9, और j cross k, मतलब cyclic चल रहे हैं तो i cap, फिर इसको तीनों से करो 4, 3, जा 12, और k cross i, मतलब cyclic चल रहे हैं तो plus j, फिर 4, 2, जा 8, और k cross j, i, j, k, k cross j, मतलब फिर इसको इससे करेंगे 4 3s 12 और k cross k will be 0 फिर सबको जोड़ना पड़ेगा आइए जोड़ें 4k cap और k cap कहाँ है minus 9k cap और k cap कहाँ है और कहीं नहीं है तो 4k cap minus 9k cap तो पहले j i दूड़ लेते हैं आई सरा i कहां ये रहा, 9 i cap minus 8 i cap, तो i cap फिर आईए j दूरते हैं minus 6 j प्लस 12J, तो कितना हो गया? 6J, फिर के दूरते हैं?
4K cap, minus 9K cap, कितना हो गया? minus 5K cap, this is the answer for vector A cross B, ठीक है? तो एक तरीका तो ऐसे हो गया, कि मतलब conceptually आपने समझा, और logically इस बात को निकाला, और आपको समझ में आया, पर school में ऐसे नहीं करेंगे, keyboard time ले रहा, देखो एक-एक दिया होता बसान था, जैसे हमसे बोलता है, इसको नहीं मिटा सकते हैं, एक उशिन फिर चलेंगे, जैसे हमसे यह बोलता, A is equals to 3J cap, B is equals to 4I cap, अभी असान होता है cross B सीधा करना, अभी तो बहुत easy था, 3 तो बच्चों कैसे cross product निकालते हैं?
shortcut क्या है? आईए आपको सिखाते हैं एक और shortcut shortcut क्या है बच्चों? आप यहाँ पे एक determinant बना लो अभी आपको determinant नहीं पता आप यहाँ पे एक ऐसे line कीच लो यहाँ पे लिख लो i cap यहां लिख लो j cap यहां लिख लो k cap यहां लिखो vector a यहां लिखो vector b अब a की value क्या है 2i 3j 4k बी की वैलू क्या है?
3i, 2j, 3k. अब क्या करो? अब a cross b जब निकालना हो, तो आप लिखो i cap, पहले लिखली i cap, अब इस line को और इस line को भूल जाओ.
मतलब i जिस row में है उसको भूल जाओ, i जिस column में है उसको भूल जाओ, इन दोनों को भूल जाओ, i जिसमें था, अब आगे बढ़ो, i से आगे बढ़ो, 3 को 3 से multiply करो, 3 into 3, minus 4 को 2 से multiply करो, 4 into 2, आगे बढ़ो, plus j लगाओ, अब जे की row को भूल जाओ जे के column को भूल जाओ इसकी row को इसके column को भूल जाओ अब 4 को 3 से multiply करो माइनस 2 को 3 से मल्टीप्लाई करो, cross, ना, cross multiply, अब आजाओ k पे, plus k cap, k की row को बूल जाओ, k के column को बूल जाओ, और आगे बढ़ जाओ, आगे मतलब यहाँ पहुँच जाएंगे, 2 को 2 से multiply करो 2 into 2 इसकी row इसके column को भूल गए 2 को 2 से किया अब क्या बचा 3 को 3 से answer check करें 3 is a 9 minus 8 क्या बचा i cap 4 3 is a 12 minus 6 क्या बचा plus 6 j cap 2 is a 4 minus 9 मतलब minus 5 k cap देखें यही answer वहाँ से भी आया था यह यहाँ से भी आ गया असान है नहीं आया चलिए कोई बात नहीं, फिर से समझाएंगे नहीं आया तो एक बात फिर से देखें, क्योंकि अभी कई लोग कमेंट करेंगे ये चीज नहीं समझ में आई तो इसको मैं फिर से बता रहा हूँ तो वीडियो को इंटिव टू करके देखो और जिनको नहीं आता है वो आराम से देखो यहाँ पे लिखो i cap यहाँ लिखो j cap अब A के सामने लिखो 2, 3, 4, B के सामने लिखो 3, 2, 3, अब निकालना क्या है हमको A cross B, अब पहले लिख लो I cap, अब I की row को और I के column को भूल जाओ, बचा क्या ये चार नमबर, अब यहाँ से आगे बढ़ो और पहले वाले को उठा के नीचे वाले से मिल्टिप्लाई कर दो, तो 3 into 3, minus ये तो छुपा हुआ है, ये भी छुपा हुआ ह ये भी गायब, अब इससे आगे बढ़ो, cross multiply, 4 को 3 से, minus 2 को 3 से, तो 4 into 3, minus 2 into 3, plus k cap, अब k पे आए, ये row बूल जाओ, ये column बूल जाओ, आगे बढ़ जाओ, अब ये पूर 2 x 2-3 x 3 किताबों में एक बार बीच में minus j लगा के लिखा होता है टेंशन मत लेना आंसर मेरा 100% correct आएगा उससे simple उससे असान method है तो वह थोड़ा तो count plus होता है देखो आगे आंसर शॉर्ट मिक्टम 4-9-5 cap 4-12-6 6j cap 339-8 आगे answer फिर से अब I ले लिया है 339-4208 फॉर थी जाएंगे जब लिया तो इसको बुल जाओ आगे बढ़ जाओ आगे मतलब क्या पहुंचाओं उपर वाले को क्रॉस करो तो इसको नीचे और इस तरह से क्रॉस बहुत निकाला जा सकता है बिना वह आईएज़े के वह सर्किल वाला पर जब एक दिया हो तब ये method अपना lengthy हो जाएगा तो cross predict लंबा topic है फ़ोड़ा saturate करना है आप सबको पता है class 11 में आ चुके हो तो topics लंबे होंगे चले मैं आपको एक question दे देता हूँ और question हमारे पास यह है कि find the magnitude of A cross B if A is equals to 2i cap plus j cap minus k cap and B is equals to 6i cap प्लस 3J कैप माइनस 3K कैप ठीक है आपको इस वेक्टर का मैंग्निट्यूड बताना है ठीक है चलिए सब लोग ट्राइड करिए पॉस्ट करके ऑप्शन मैं देता हूं A, B, C, D magnitude निकालने तरीका पता है finally जो भी answer आएगा जैसे मान लो जैसे answer आगया 3i cap plus 2j cap plus 4k cap ये मान लो a cross b का answer आया तो magnitude कैसे निकलता है मैं जल्दी से इसका square plus इसका square जो भी answer आएगा उसके इस वाले term का square इसको हम बोलते हैं A cross B का magnitude चलिए सब लोग निकाले pause करके और answer बताएं मैं option दे रहा हूँ यहाँ पे under root 47 या तो फिर 7 या under root 48 या फिर 0 यह under root 49 है तो आप check करें, pause करके एक बार solve करें तो make a hell सबने solve कर लिया होगा और सब के answer मेरे ख्याल से 0 आए होंगे, ठीक है, तो 0 क्यों आया answer, आए समझते हैं, solve करके देखते हैं पहले, a cross b, आए solve करते हैं, मैं वही method लूँगा जो बताया, i, j, k, यहां लिखा a, यहां यहाँ पे value है 1, और k के सामने value है minus 1, फिर मैं b पे आया, b के सामने value है 6, दूसरी value है 3, और यह value है minus 3, अब मुझे निकालना है a cross b, तो मैंने i cap ले लिया, अब इसको, इसको भूल गया, 1 into minus 3, which will be minus 3, minus 1 into 3, पहले minus लगाओंगा, 1 into minus 3, फिर माइनस लगाऊंगा फिर माइनस वन इंटू थ्री विच लीजिए गेन माइनस थ्री यह प्लस थ्री माइनस थ्री यह जीरो गया फिर जे कैप जे लूंगा तो इसको छुपाऊंगा यह छुप गया अब आगे बढ़ेंगे तो system कौन सा होगा minus 1 into 6 minus 2 into 3 2 into minus 3, so minus 1 into 6, minus 6, फिर minus लगाया, 2 into minus 3, again minus 6, plus 6 minus 6, answer 0, k cap, इसको छुपाया, इसको छुपाया, अब, 2, 3, 6, माइनस वन इंटू सिक्स टू थी राशिक्स माइनस वन इंटू सिक्स यहां से अंसर आएगा जीरो यहां से यानि answer will be 0 अगर option 0 vector होता तो 0 vector तो a cross b का answer इस पास 0 a cross b का answer 0 आ सकता है root 48 भी आ सकता है कुछ भी आ सकता है कि A x B कैसे determine करते हैं ठीक हैं, एक मैं आपको homework में दे रहा हूँ A x B निकालने को, आप जरूर बताएं कितना आ रहा तो vector A है हमारे पास माले लेते हैं I plus J plus 2K cap और vector B है हमारे पास 2I प्लस 3J, माइनस K कैप, और इसका आंसर आप जरूर निकाल के चेक करें, कि आपका आंसर सही आ रहा है कि नहीं, ठीक है, कमेंट करें, मै i, j, k, vector a, vector b, तो a की value है 1, 2, b की value है 2, 3, minus 1, तो answer निकालेंगे, तो 1 लिखा i, अब ये भूल गया, 1 को minus 1 से multiply किया minus 1, minus लगाया 2 को 3 से multiply किया 6 फिर k cap लगाया फिर j cap लगाएंगे, j को भूल गए, आगे बड़े, 2 को 2 से multiply किया 4, minus, 1 को minus 1 से multiply किया minus 1, फिर आगे बड़े, k cap, इसको भूल गए, आगे बड़े, 1 into 3, आया 3, minus 1 into 2, आया 2, तो यह हो गया, minus 7 i cap, यह हो कि मतलब कि एक बाद चेक कर लिया जाए आई लेंगे तो वन जा माइनस 12361 माइनस वन माइनस 6-7 आई लिए जे लेंगे यह छुप जाएगा टू जाएगा 4 माइनस वन इंटू माइनस प्लस हो जाएगा प्लस 5 जे के लेंगे तो यह छुप जाएगा 1 into 3 minus 1 into 2 आई के कैप ठीक है तो इस तरह से अब माल लो यहाँ पे magnitude कूछ लेता A cross B के जगह आपसे कहता है इसका आप क्या बताईए A cross B का हमें magnitude बताईए तो बच्चों magnitude निकालने तरीका क्या था under root minus 7 का square plus 5 का square plus 1 का square के आगे क्या लिखा है? 1 तो 1 का square और जो भी answer होगा that would be the magnitude of A cross B तो बच्चो ये A cross B निकालने का तरीका IJ में तरीका, थीटा से तरीका ये साइड चीज़े मैंने आपको समझाई अब कुछ special points लेते हैं और अच्छे questions की बात करते हैं तो पहला सवाल यह आता है कि अगर a cross b की value 0 आ गई तो इसका क्या मतलब है इसका क्या मतलब है? देखिए इसका मतलब हो सकता हो या तो A 0 हो या तो B 0 हो या एक और मतलब हो सकता है क्या?
A cross B कैसे निकलता है? Mod A, Mod B, sin theta is equal to 0 अगर हम कहते हैं कि A 0 नहीं है और B भी 0 नहीं है तो definitely इसको 0 होना पड़ेगा मतलब sin theta की value 0 होगी sin theta बच्चों 0 तब होता है जब theta कितना हो 0 degree sin 00 होता है तो जब दो vector के बीच में angle 0 होता है, तब A cross B 0 आता है, मतलब ये vector A और ये vector B, अब देखो इनके बीच में angle कितना है, 0 degree, मतलब जब दो vector बच्चों parallel होते हैं, तब A cross B की value कितनी आती है, 0 आती है, क्योंकि इसमें किसका term है, sin theta का, अच्छे बच्चों अब यहाँ पे एक बात note करना, अपने notes में डालना, कि sin 180 की value भी 0 होती है, मतलब b ऐसे भी हो सकता था, पीछे की तरफ, इन दोनों में angle देखो कितना हो गया, 180, इन दोनों में 0, तो इन दोनों में कितना हो गया, 180, तो अगर दो vector parallel हैं या दो vector anti-parallel हैं उस case में A cross B की value कितनी आएगी? 0 और बच्चो यहीं पे एक छोटा सा सवाल मुझे उमीद है आपको याद होगी कि A dot B की value 0 कब होती है? जब A B के perpendicular हो मतलब theta कितना हो?
90 तो exam में लिखा हो A dot B 0 हो समझ जाओ angle कितना है 90 A cross B 0 हो तो angle 0 भी हो सकता है और 180 भी हो सकता है ठीक है? चलो, हमें दिया है कि एक वेक्टर A है, जिसका magnitude 5 है, एक वेक्टर B है, जिसका magnitude 6 है, और A x B का magnitude है, यह A का magnitude, यह B का magnitude, और A x B का magnitude है, मैं बताया है, A cross B come include 15 तुमसे पुछा है find the कि एंगल बिट्वीन ए एंड बी ए और बी के बीच के एंगल की बात की है कर सकते हैं सवाल बेट कर सकते हैं a cross b के उपर mod लगाया, mod a, mod b, sine theta, मतलब सिर्फ magnitude की बात की है, तो a cross b का magnitude 15, एका मैंक्यूड 5, इसका मैंक्यूड 6, multiplied by sin, theta, तो यहाँ से sin, theta कितना हो गया, 15, बटे, 55, 6, 30, 15, 2, 30, तो sin, theta की value, 1 by 2, अब बच्चो, sin, theta की value, 1 by 2 कब होती है, जल्दी से बताईए, मैं आपको option दे देता हूँ, A, B, C, D, तो आपके option है, है अप्शन है 45 डिग्री 30 डिग्री 150 डिग्री 60 डिग्री सब सोच रहे होंगे क्या हल्वा सवाल सबको पता है थीटा की value कितनी होगी 30 degree तो सबने मार दिया 30 degree पर answer होगा 30 degree और 150 degree पिछले question से एक बात आपको मैं बताता चल रहा हूँ कि sine 180 minus theta is equals to sine theta और cos 180 minus theta is equals to minus cos theta इसका use किया था vector addition subtraction sin 180 minus theta किसके equal होता है कि साइन 183 किसे पड़ता है साइन थीटा जरा चेक करो साइन 180 माइनस 30 कितना होगा साइन 30 केक्वल साइन 180-30-30-30-30-30-30-30-30-30-30-30-30-30-30-30-30-30-30-30-30-30-30-30-30-30-30-30-30-30-30-30-30-30-30-30-30-30-30-30-30-30-30-30-30-30-30-30-30-30-30-30-30-30-30-30-30-30-30-30-30-30-30-30-30-30-30-30-30-30-30-30-30-30-30 शाइन 30 की वैलू 1 by 2, तो 150 की वैलू भी 1 by 2, तो answer will be 30 degree, as well as 150, both will be correct answer, हो सकता हो A और B के बीच में 30 degree का एंगेलो, हो सकता हो 150 degree का एंगेलो, दोनों ही answer सही हो सकते हैं, तो पहला question हमारा इस तरह का हो गया और सवाल लेते हैं इसे अधिकार पर previous year भी करेंगे, अभी तो vector पर और videos आएंगे, परिशान ना हो, जैसे एक question यह है, हमसे बोला है कि, हमसे बोला है कि a cross b का magnitude is equals to a dot b का magnitude, so find the angle between a and b, find the, कि एंग्ल बिट्वीन वेक्टर ए एंड वेक्टर बीटी सवाल है तो और बी और क्या लग जाएगा साइन थीटा यहां पर मॉड ए मॉड बी डॉट में क्या लगता है कॉस्ट थीटा मॉड ए कैंसल मॉड बी कैंसल साइन थीटा इसको इधर ले आया साइन थीटा divide by cos theta is equals to 1 sin theta upon cos theta कितना हो गया tan theta tan theta is equals to 1 ये कब होगा जब theta कितना degree हो 45 तो टेन थीटा वन कब होता है वें थीटा एस फ़ॉर्टी फाइव डिग्री ठीक है यहां पाइट रॉम्स पर आपसे दिया है तो 1624520 तो पैसा लेस्ट गई ठीक है अगर कंपनीशन में आया तो अभी से बात करेंगे पाइवाले मैथमेटिकल टूज जब आपको पढ़ाएंगे तब यह सारी बात करेंगे अच्छा फिर हमसे पूछा है हुं अ कि बच्चों A.A x B किसके equal होगा? is equals to what?
option A, B, C, D option A है A.B के equal होगा option B है B के equal होगा option C 0 के equal होगा option D A x B के equal होगा हमसे यह सवाल पुछा है ठीक है तो इसको थोड़ा सा ना logically सोच के करना पड़ेगा इस सवाल को आए ए क्रॉस बी आए बना लेते हैं ये मान लो वेक्टर बी ये मान लो वेक्टर ए इस प्लेन के अंदर है ठीक है इस प्लेन में है दोनों वेक्टर अब बच्चो A cross B A cross B या तो इस plane के उपर होगा या तो नीचे जैसा भी बनाओ मैं इन दोनों के perpendicular थोड़ी देर के लिए माल लेते हैं ये हमारा vector है A cross B ठीक है यह वेक्टर A क्रॉस B पूरा का पूरा अब इसका dot पर लेना है वेक्टर A से तो यह रहा वेक्टर A और यह रहा A क्रॉस B यानि हमें दो वेक्टर का dot पर लेन बच्चों इन दोनों में angle कितना दिख रहा है 90 degree, 90 degree में आपको याद होगा कि a.b की value कितनी होती है 0, क्योंकि भाई यहाँ पर आप लिखोगे mod a, और दो वेक्तर अगर perpendicular हो, इसका इस पूरे के साथ dot है, किस के साथ? a cross b के साथ, और a cross b कितना है? a से कैसा है?
perpendicular, so answer will be 0, तो हमने answer मान दिया 0, ठीक है? अच्छा फिर हमारे पास और जो सवाल है सवाल पर सवाल लेकर आए हम जल्दी सवाल आपको करा दें आज कुछ अच्छे सवाल करेंगे हमसे बोला कि if a.b is equals to 0, a.c is equals to 0, then a is parallel to option a, vector c, vector b, सब vector हैं, arrow नहीं लिगा रहा, b.c, माफ करना, और b.c, ठीक है, तो हमसे बोला है कि a.b की value 0 है, एडवाट सी की वैल्यू भी जीरो है ऐसा होने के बाद एक किस वेक्टर को पैरलेल होगा आप पहले समझते हैं एडवाट बी जीरो का मतलब हुआ एड इस परपेंडिकुलर टू बी दो वेक्टर का डॉट प्रोड जीरो मतलब परपेंडिकुलर a.c is 0 मतलब a is perpendicular to c dot word 0 मतलब perpendicular तो a b के भी perpendicular है और c के भी perpendicular यहां बना लेते हैं यह vector b यह vector c और जो vector A है वो बी और C के दोनों के perpendicular है मतलब ऐसे अब पूछ रहा है A किसके parallel है C के parallel है क्या नहीं C तो इधर है A तो इसके 90 degree पे है B के parallel है क्या नहीं B से भी 90 degree है B cross C अब बच्चो ध्यान दो B cross C is plane के नीचे हो सकता है या plane के उपर मालो मैं B इधर बनाना C इधर बनाता है तो B cross C तो ये बनता vector बी क्रॉस सी तो एस परलेल टू बी क्रॉस सी मतलब समझ में आ रहा है एडवाट बी जीवर मतलब एस परपेंडिकुलर टू बी एडवाट सी जीवर मतलब एस परपेंडिकुलर टू सी एक इसके परले 0 तब होता है जब a और b परलेल हो, जब angle 0 हो या 180 हो, मतलब parallel या anti-parallel, और a.b 0 तब होता है जब angle 90 degree हो, मतलब a is perpendicular to b, इतना समझेंगे, इतनी logic के साथ आप सारे सवाल solve कर सकते हैं, ठीक है, ये इसके बाद एक वेक्टर का एक वीडियो और पोस्ट करूँगा अभी cross product में कुछ questions वाकी है concepts हो गए है कुछ अच्छे सवाल वाकी है और पेरा नेक्स्ट वीडियो जरूर देखना जिसमें बताऊंगा कि यूट्यूब पर मैं अब कैसे पढ़ाई करूंगा और क्या चलने वाला है चली आज वेक्टर के सारे कंसेप्ट नियुक्त राप पूछ गए हैं देखो कभी भी कोई टॉपिक खत्म नहीं हो सकता कंप्लीट है मैं एक खतम नहीं कह सकता क्योंकि अभी बहुत से क्वेश्चन बाकी है बहुत तरह के नए-नए कंसिड बाकी है जो बेसिक था साथ में हम लोग mathematical tools differentiation integration करेंगे और vector का एक दो video बीच में और आएगा जिसमें additive questions होंगे कि और दे सारे questions कर लो और तरह की चीज़ें कुछ concepts जैसे vector बाकी हैं जैसे आपको triangle law बाकी है अभी तक जैसे आपको triangle law से related सवाल है की sign law a upon sign a is equal to b upon sign b फिर area of triangle half a cross b area of hologram a cross b फिर unit vector ऐसा निकालना जो a और b के perpendicular हो ऐसा vector बनाना एक position vector का topic बाकी है, तो इस तरह की कुछ चीज़ें भी बाकी है हमारे पास, इसको हम definitely करेंगे, आज की वीडियो में एक last बात यह समझ लो, कि जब torque निकालने को बोले, तो क्या कर देना, r cross f, और क्या नहीं करना, f cross r, क्योंकि torque का formula होता है, distance cross product force कई बार यह distance कि force जो है वो इस point पे लग रही p point पे और इसका पोजीशन दे देगा 1,0,1 मान लो ऐसा बोल दिया और आपको बोलेगा टॉर्क निकालो about point O और O का coordinate आपको दे दिया 2,0 या 2,1,3 ऐसा ठीक है इस point के about टॉर्क निकालना है और इस point पे force लग रही है तो क्या करना आपको vector R बनाना होगा तो R ऐसे बनेगा O से P ठीक है position vector concept है यह पत्वड� ठीक है इस पॉइंट पर फोर्स लग रही और इस पॉइंट के अब आउट टॉर्क निकालना है या यह एक्सेस हो या यहां about rotate कर रहा हो तो ऐसे torque निकलेगा तो r is equals to निकालना है इसमें से यह minus कर देना 1 minus 2 minus 1 0 minus 1 minus 3 minus 2 अब यह हो गया x y z तो आप लिख लोगे minus i cap minus j cap minus 2k cap r vector तैयार हो गया और force vector दिया होगा तो हमको उम्मीद है आशा है पूरा भरोसा है कि आपको वीडियो