Definiční obory funkcí

Úvod

• Představuje se Petr Habala.
• Téma: Definiční obory funkcí.

Definiční obor

• Definiční obor = Množina všech reálných čísel, které lze dosadit do vzorce bez problémů.
• Rozdíl mezi otázkami: Může být kladena přímo otázka na množinu nebo na definici oboru.

Jak přistupovat k problému

• Zkoumá se vzorec část po části.
• Typické součásti vzorce:
  • Elementární funkce (např. logaritmus, polinom).
  • Algebraické operace (dělení, sčítání, odčítání, skládání).

První příklad

• Funkce obsahuje dělení, logaritmus a polinomy.
• Dělení: Nesmí být nulou.
• Jmenovatel: Polinom x² - 4 (akceptuje všechna reálná čísla).
• Čitatel: Polinom x + 1 (akceptuje všechna reálná čísla).
• Logaritmus: Akceptuje pouze kladná čísla.

Podmínky

1. Logaritmus: x + 1 > 0 → x > -1.
2. Jmenovatel: x² - 4 ≠ 0 → x ≠ ±2.

• Kombinace podmínek: x > -1 a x ≠ ±2.

Grafické znázornění

• Značení: intervaly na číselné ose.
• Definiční obor: (-1, 2) ∪ (2, ∞).

Druhý příklad

• Funkce jako zlomek, hleďme na jmenovatel a čitatel.
• Jmenovatel: Polinom x - 1 (akceptuje všechna reálná čísla).
• Exponenciála: Akceptuje cokoliv.
• Odmocnina: Vyžaduje, aby vnitřní výraz byl ≥ 0.

Podmínky

1. Odmocnina: f(x) ≥ 0 → f(x) ≥ 0.
2. Kvadratická nerovnice: x² - 2x - 3 ≥ 0 (hledáme kořeny).

Kořeny a intervaly

• Kořeny: x = -1 a x = 3.
• Hledáme oblasti, kde je funkce ≥ 0.
• Průnik podmínek: intervaly: [-1, 0) a [0, 3].

Třetí příklad

• Základní analýza vzorce.
• Jmenovatel: Základní podmínky pro odmocninu a logaritmus.
• Podmínky:
  1. Odmocnina: vnitřní výraz > 0.
  2. Logaritmus: základ > 1.

Řešení a skládání podmínek

• Kombinace podmínek a určení průniku.
• Definiční obor: (0, 10).

Závěr

• Důležitost správného určení definičního oboru pro správné fungování funkcí.
• Metoda krok za krokem ke zjištění podmínek.