Dobrý den, jmenuji se Petr Habala a dnes vám budu vyprávět o definičních oborech. Máme tady otázku, která je v celku typická, dostali jsme funkci, je zadaná nějakým odzorcem a po nás se chce najít definiční obor. Co to znamená? tak máme tady překlad do trošku ličtějšího jazyka.
Máme najít množinu všech reálných čísel, která je možno do toho vzorce dosadit, aniž by došlo k nějaké nepříjemnosti. Dokonce ta otázka někdy bývá přímo takto klazená. to znamená, že se nás ptají na nalezení té množiny.
A praktický rozdíl mezi těmito dvěma otázkami je vlastně jen jediný. Tady máme pro ten vzoreček značení, zatímco tady ji nemáme, ale uvidíme, že to je jen opravdu malinkatý rozdíl. A teď už se do toho dáme. Takže jak obvykle je potřeba vědět, jak k takovému problému přistupovat a je to ve skutečnosti velice snadné.
My se prostě na ten vzorec podíváme a začneme ji prohlížet část po části a přemýšlíme, kde by se mohlo něco pokazit. Typický vzorec se skládá z takových dvou hlavních věcí. Jednak tam jsou elementární funkce.
Tady třeba vidíme logaritmus, tady je polinom x plus jedna a tady je polinom x na druhou minus čtyři. A pak se tam používají operace, většinou algebraické, tady se třeba dělí, anebo to taky můžeme rozložit na dvě malé elementární funkce, které se sčítají, po případě odčítají. A také se používá operace skládání, to znamená, že se vezme jedna funkce. a dosadit druhé jako proměna. Tady je funkce x plus 1, nebo výraz x plus 1, a ta je dosazená do logaritmu, takže to je skládání.
O všech těchto operacích bychom měli vědět, jak se chovají, a hlavně bychom měli vědět, stále nemají nějaké zvláštní přání. Takže já se podívám tady na tento výraz a první, čeho se všimnu, je dělení. A my samozřejmě víme, že nesmíme dělit nulou.
Takže máme první podmínku a... A ta podmínka říká, že to, co je ve jmenovateli, celá ta věc, nesmí být 0. Takže to máme. Jednu věc pro bránu. Teď třeba ten jmenovatel rovnou proskoumáme, když jsme u něj.
Já tam vidím polinom x na druhou minus 4 a já vím, že ten akceptuje všechna reálná čísla. Tam žádné podmínky nejsou. Přesunu se do čitatele. Tady vidím polinom x plus 1. Tak ten zase akceptuje všechny reálná čísla a pak tam vidím logaritmus a o tom si musíme pamatovat, že je velice vybíravý. Ten akceptuje pouze kladná čísla a to je druhá podmínka.
Takže podmínka je, že to, co je uvnitř logaritmu, to, čím jej krmíme, má být větší než 0. Takže máme dvě podmínky a žádný další zdroj problému v tomto výrazu není. Takže teďka tyto dvě podmínky vyřešíme, pak to dáme dohromady a úloha je vyřešena. Tak začnu třeba tady tou druhou.
Toto nastane právě tehdy, když je x větší než minus jedna. Tak to bylo jednoduché, teď se podíváme na tu druhou. x na druhou minus čtyři nemá být nula. Tak často bývá jednodušší si to přepsat jako rovnici a pak to vyřešit.
Když si to přepíšu jako rovnici, tak na to už umíme nějaké postupy, které velice snadno vedou k výsledku. Z této rovnice jsme dostali, že x je plus nebo minus 2, ale my vlastně chceme opak, takže x nesmí být plus minus 2. Tak, máme dva požadavky a ty teď musíme dát dohromady. Protože náš výraz k tomu, aby existoval, potřebuje, aby všechny jeho části správně fungovaly, tak to znamená, že potřebujeme, aby obě tyto podmínky platily zároveň.
To znamená, že množiny, které vytvářejí, budeme pronikat. Chceme být zároveň v obou. Takže naskreslíme si reálnou osu, obvykle se značí počátek, ale já ho nepotřebuji.
Mě zajímají tato tři čísla. Takže minus dvojka, minus jednička, dvojka. A teď si zakreslím obě množiny. x větší než minus jedná, to je tato množina.
A druhá množina je daná podmínkou, že x není ani dvojka, ani minus dvojka. A my teďka potřebujeme takové x, která jsou zároveň v obou množinách. A to tady krásně vidíme.
Tady je jeden díl a druhý díl. A jsme připraveni napsat odpověď. Takže třeba podle první otázky můžeme napsat, že definiční obor, a proto máme krásné značení.
Takže definiční obor funkce F má podobu intervalu od minus jedné do dvou, otevřeného, a pak intervalu od dvou do nekonečna. A tím je naše odpověď hotová. Pokud by nám tu otázku zadali tímto druhým způsobem, tak vlastně nemáme značení F k dispozici. A museli bychom odpověď napsat bětou, například takto. Hledaná množená je...
A teďka ji tady napíšem. A to je vlastně jediný rozdíl mezi těmito dvěma zadáními. Podíváme se na další příklad. Takže tentokrát se nás ptají přímo na množinu, takže nebudeme mít k dispozici značený pro funkci a použijeme normální standardní postup.
To znamená, podíváme se na vzoreček a ptáme se, co se v něm může pokazit. Opět vidíme podíl, takže už víme, že si musíme hlídat, co se děvejme novateli. První podmínka říká, že točím dělíme nesmí být 0. A posouváme se dál. Ve jmenovateli samotném nx toho minus 1, to je výraz, který existuje pro všachna reálná čísla, exponenciála je schopná akceptovat cokoliv. A podíváme se do čitatele.
Vidíme tam odmocninu a to je velice známá funkce, o které víme, že není schopná akceptovat záporná čísla. Takže točení krmíme tento polinom. Musí být větší nebo rovný 0. To je druhá podmínka. A posouváme se dále dovnitř.
Vidíme tady kvadratický polinom. Ten akceptuje cokoliv. Takže máme pouze dvě podmínky a opět je potřebujeme vyřešit.
Začneme tou první. Potřebujeme zjistit, kdy je e na x to vlastně rovno 1, protože si to zase převedeme do rovnice. A toto je úkol, který nejsnáze vyřešíme z toho, že známe graf funkce E na x tou. Vypadá takto.
A je na ní jeden velice populární bod a je to právě s hodou okností jednička. Takže my víme, že rovnost tady nastává, když x je rovno nule. A přesně to chceme vyloučit. A pak tady máme druhý problém a to je vlastně kvadratická nerovnice. Na řešení kvadratické nerovnice je hodně metod.
Zkusíme tady například grafickou. Když se podíváme před x na druhou, vidíme záporné znamenko, takže ta parabola, její graf je otočená směrem dolů a ještě potřebujeme nalézt průsečíky. Na to je možné použít například kvadratický vzoreček.
A nebo je možné například zkusit faktorizaci tohoto kvadratického výrazu. Takže já se podívám čistě na ten výraz a změním si znamenko, abych měl před x na druhou plus. Není to nutné, ale pro mnoho lidí je to psychologicky jednodušší, takže takovéto psychologické matematické úpravy se vyplatí.
A já se zamyslím, jestli to náhodou nepůjde rozložit. Takže tady chci mít x a tady potřebuji získat trojku, což je možné jedině díky trojce a jedničce. A teď se zamyslíme, jak je to se znamenky.
Aby vznikla minus trojka, tak tady znamenka musí být plus a minus v nějaké rozumné pozici. A když vyzkouším takto, tak se mi poté objeví i minus 2x. Takže je to v pořádku. x na druhou, pak je tady minus 2x a minus 3. Toto je správná faktorizace, díky ní vím, že jeden kořen je minus jednička, ten je odsud a druhý kořen je trojka. Takže tady mám správné zakreslení výrazu, který je ve mé nerovnici a já hledám části, kde je větší nebo rovný nule a to je přesně tady.
Takže můžeme napsat, že podmínka, kterou tady máme, se dá také zachytit nerovnicemi, že x je větší nebo rovno minus jedna a menší nebo rovno třem. A tím jsme si zpracovali naše podmínky a je opět čas nakreslit si k něm obrázek. Takže já udělám třeba tady, bude takový menší.
Zajímá mě číslo minus 1, 3 a 0. Takže první podmínka říká, že nechceme nulu. A druhá podmínka říká, že chceme být pouze mezi minus jedničkou a trojkou, a to včetně. A zase tady vidíme krásný průnik, takže napíšeme odpověď.
Tentokrát je musíme slovně hledat na množina. Je a vidíme tady interval od minus jedničky do nuly, minus jednička náleží a nula ne. A pak tady je interval od nuly do trojky a trojka náleží.
Samozřejmě v okamžiku, kdy píšeme česky, tak můžeme volit i jiné formulace, můžeme třeba napsat. Zadaný výraz je definován na množině a napsat tuto. Každopádně měly by se tam objevit takovéto intervaly. Takže se podíváme na tento příklad.
Budeme hledat definiční obor funkce zadané vzorečkem, ve kterém zase na první pohled vidíme zlomek, takže už máme první podmínku. Výraz, který je ve jmenovateli, to znamená celá ta odmocněna, nesmí být nula. Jdeme dále.
Zlomek má dvě části, začneme nahoře, tam to vypadá přátelštěji. Sínus akceptuje cokoliv, Ečko také při čítání třináctky nemůže nic skazit, takže celý čitatel projede krásně bez jakékoliv podmínky. Přesouváme se do jmenovatele, tam vidíme odmocninu.
A odmocnina je náročná, ta vyžaduje, aby to, co je vevnitř, bylo větší nebo rovno nule. Posuneme se dovnitř té odmocniny, vidíme tady jedničku, odčítáme, to je v pořádku. Ale pak tady je desítkový logaritmus. Předtím jsme měli přirozený logaritmus, ale desítkový má úplně stejný požadavek, takže potřebujeme, aby to, čím jej krmíme, to znamená x, bylo větší než 0. Takže máme tři podmínky a tím jsme skončili s procházením výrazu.
Teď tyto tři nerovnosti budeme muset vyřešit. Já začnu dole, protože už je to hotovo, tak mám třetinu práce za sebou, to nám to pěkně ocejpá. Teď se zkusím podívat třeba nahoru.
Máme tady, že odmocnina nesmí být rovna 0 a když si připomeneme například graf odmocniny, tak vidíme, že to vyžaduje, aby číslo, které je vevnitř, také nebylo 0. Proč jsem tam začal? Protože jsem tušil, že tyto dvě podmínky budou mít něco společného. A tady to vidíme.
My tady máme podmínku, že výraz 1 minus logaritmus má být větší nebo rovenule, ale tady jsme si tu nulu zakázali, takže to můžeme spojit. Budeme řešit jenom jednu úlohu, budeme řešit nerovnost. 1 minus logaritmus je větší než 0 ostře. A tím splníme obě dvě podmínky. Tak, tuhle nerovnost si někde bokem vyřešíme.
Nejprve si ji převedu. Logaritmus desítkový z x má být venší než jedna. A to je nerovnost z logaritmy, na tu budeme mít speciální video, ale tahle nerovnost je zase příjemná, tu bych měl být schopen vyřešit. Začnu připomínkou grafu logaritmu.
Základ desítka je větší než jedna. Takže ten graf určitě vypadá takto. Je tam takový velice nápadný bod, ale bohužel to není bod, který by nám pomohl, protože ten ukazuje, kdy je logaritmus rovný 0. Ale my bychom potřebovali vědět, kdy je logaritmus rovný 1. A až to zjistíme, tak nás bude zajímat tato větev.
Na to, abychom zjistili, kdy je logaritmus rovný 1, si musíme trošku připomenout, co to vlastně ten logaritmus je. My víme, že to je inverzní funkce k umocňování, k exponenciále o základu 10. Já tady udělám takový trošku symbolický obrázek. Mám tady dvě kopie reálných čísel.
A všichni známe umocňování 10 na y. Já schválně použiju trošku jinou proměnou. Takže tady si dám y, tady si dám x.
A funkce 10 na y vezme číslo a pošle ho do této reálné osy. Zarečkem 10 na y. A logaritmus to dělá přesně naopak. Vezme toto číslo x. A pošle ho zpátky logaritmus o základu 10x.
Nás pošle do y. A nás by teď zajímalo, co se stane, když je tady v cíli číslo 1. Protože my chceme, aby logaritmus desítkovy x byl rovný 1. Takovéhle číslo nás zajímá. Čili tady je nějaká neznámá x a ta se pomocí logaritmu pošle do jedničky.
A teď si ten obrázek dokončíme. Tady v opačném směru nám vede exponenciála o základu 10 a rovnou vidíme, že když vezmeme jedničku a dosadíme, tak dostáváme desítku. Čili logaritmus desíti o základu 10 dává jedničku.
Krásně nám to souhlasí. Takže tady je číslo 10 a my jsme tím pádem vyřešili naši nerovnost. Desítkový logaritmus x je menší než jedna přesně tehdy, když x je Menší než 10. A tím máme zvládnutou i takovou tu nejtěžší podmínku.
Je tady opravdu vidět, že budeme potřebovat speciální video. Ono se to dá udělat i jednodušeji možná než obrázkem, ale je dobré vědět, co vlastně člověk dělá, s čím pracuje, trošku tomu rozumět. Tak, vrátíme se k příkladu.
Našli jsme tři podmínky, jednu jsme vyřešili, první dvě jsme sloučili a nakonec jsme je... Také vyřešili, takže si uděláme trošku místa a teď to dáme dohromady. Takže x má být větší než 0, což nám dává tuhle podmínku, a x má být menší než 10. A hned vidíme průnik a můžeme psát definiční obor naší funkce. Je otevřený interval od 0 do 10. A to je všechno.