Hello students, welcome to this lecture इस lecture में बच्चो हम बात करेंगे बहुत important coordinate system है that is called as plain polar coordinate system इससे पहले बच्चो हमने 2D and 3D Cartesian coordinate system के बारे में बात की थी Cartesian coordinate system हमने पढ़ा है 2D Cartesian coordinate system में बच्चो हम X और Y से denote करते हैं थ्रीडी कार्टीजिन क्वार्डिनेट सिस्टम में बच्चों हम बात करते हैं विद एक्स कॉमा वाइ कॉमा जेट मतलब हमारे पास थ्री विरिवल्स होते हैं बट इन केस ऑफ प्लेन पोलर क्वार्डिनेट सिस्टम वी यूज टू पैरामीटर्स आर एंड थीटा दिजा द वेरी इंपोर्टेंट क्वार्डिनेट सिस्टम इसके अंदर हम अगर किसी पॉइंट को रिपरेजेंट करेंगे तो हम एक तो यूज करेंगे आर और दूसरा पैरामीटर हम यूज करेंगे जाएंगे द इस कॉल्ड एस थीटा तो सपोस करो यह मेरे पास एक शुआई कार्टीजियन क्वाइडिनेट सिस्टम है जिसके अंदर हमारे पास एक पॉइंट है पी विच इज रिप्रेजेंटर बाय द एक्स एंड वाइट तो यहां पर बच्चों अगर हम देखें व्हाट इस माइ एक्स द परपेंडिकुलर ड्रॉन ऑन द एक्स एक्स इस अ एक्स हो गया और उरीजन से ऊपर की तरफ यहां तक का डिस्टेंस हमारा वाई हो गया ठीक है तो हमने यहां पर बच्चों दो पॉइंट्स कुछ इस तरह से रिप्रेजेंट कर दिए बट अगर हम जो यह नया coordinate system है which is plain polar coordinate system इसके अंदर हम बात करें इसके अंदर बच्चों r and theta क्या चीज है अब इस point P को हम represent करेंगे with the new coordinates called as r and theta so what is r and what is theta r is the distance of the observation point P from the origin so this distance is इस डिस्टेंस इस कॉल्ड एस आर दिस आर विद थी होरिजोंटल डारेक्शन इस कॉल्ड एस थीटा सो व्हाट इस आर एंड थीटा तो जो हमारा पॉइंट है पी वहां से लेकर ओरिजन ओ तक की धूरी इस कॉल्ड एस आर तो आर बच्चों क्या है डिस्टेंस between point P and origin O so this is the distance between the observation point P and the origin O और what is theta अब ये जो हमारा OP vector बन गया है अब इसको OP line बोल दो line OP makes एन एंगल विद दिखो रिजॉन्टल डारेक्शन विद एक्स एक्सिस इस कॉल्ड एस थीटा तो इसको बच्चों क्या बोलते हैं इस इस दिखित तो हमारे पास प्लेन पोलर क्वाडिनेट सिस्टम के अंदर दो बहुत इंपोर्टेंट विडियो मीटर होगी आफ एंड थीटा आफ और थीटा के साथ अब हम represent करेंगे in the new coordinate system which is called as the plane polar coordinate system and ये जो plane polar coordinate system है बच्चो it is a two dimensional coordinate system two dimensional plane polar coordinate system जैसे जैसे कार्टीजियन में हमने तीन तरह के पड़े थे, वन डिमेंशनल, टू डिमेंशनल और त्री डिमेंशनल, यह ऐसे ही यह जो प्लेन पोलर क्वाडिनेट सिस्टम है, इसको बच्चों हम क्या बोल सकते हैं, इसको बच्चों हम क्या बोल सकते हैं, इसको बच्चों हम क्या ब सिस्टम और इन नेक्स्ट स्लाइड अगर हम बात करें वह ट्रिंग भी दिवेंज फॉर आफ एंड वह ट्रिंग भी दिवेंज फॉर थीटा आर की वैल्यू कहां से कहां तक लाइक कर सकती है एंड वह ट्रिंग ऑफ थीटा अगर हम देखिए आर इस पॉट आर इस दिस्टेंस बिट्विन दी पॉइंट पी एंड दी ओरिजन ओ अगर यह जो पॉइंट पी है बिल्कुल ओरिजन के पास आ जाए या फिर ये बिल्कुल origin के उपर आ जाए, if point P lies on origin, तो R क्या हो जाएगा, R is 0, but if P बहुत दूर है origin से, if P is at a very large, एड वेरी लार्ज डिस्टेंस फ्रॉम ओरिजन तो आर की वेल्यू क्या होगी आर की वेल्यू होगी इंफानाइट तो इसका मतलब आर की बच्चों रेंज क्या बनी आर लाइस विट्वीन जीरो टू इनफिनिटी आर की रेंज क्या होगी यह कम से कम जीरो हो सकता है और जादा से जादा इंफानाइट हो सकता है और अगर हम बात करें अब थीटा के बारे में थीटा इस वाट थीटा की बच्चो वैल्यू क्या होगी अगर यह पी पॉइंट इस डारेक्शन में घूमे तो थीटा हमारा कम होता जाएगा और अगर हमारा यह जो पॉइंट पी है यह anti-clockwise direction में गूमें, तो हमारा theta बढ़ता जाएगा, तो इसका मतलब minimum, theta क्या होगा, theta minimum will be 0, और maximum theta क्या होगा, और theta maximum will be 2 pi, ये ज़्यादा से ज़्यादा घूम के circle complete कर सकता है, तो theta कितना होगा, 2 pi, तो इसका मतलब बच्चो, theta की range क्या होगी, 0 से लेके 2 pi, तो r की value कम से कम 0 और ज़्यादा से ज़्यादा infinite हो सकती है, और theta की value कम से कम 0 और ज़्यादा से ज़्यादा 2π हो सकती है, इसके बाद next slide में बच्चो हम बात करेंगे, relation between, अगर हमने इसको plain polar coordinate system को समझना है, तो सबसे पहले हमें एक relation पता होना चाहिए, between 2D Cartesian coordinate system and plain polar coordinate system, ताँ जो हम इस system के बारे में, ज्यादा अच्छे से जान सकते हैं so next slide में relation between 2D Cartesian coordinate system and plane पोलर क्वार्डिनेट सिस्टम तो इसके लिए हम क्या करेंगे इसके लिए मैं दोबारा से डाइग्राम बनाता हूं दिस इस क्वार्डिनेट सिस्टम डारेक्शन एक्स डारेक्शन वाइड अब यह मैंने एक point P ले लिया, इसके coordinates ले लिये x, y according to 2D Cartesian coordinate system, and r, theta ले लिये with respect to plane polar coordinate system. अब मैं दोनों coordinate system के according इसकी representation करूँगा, P से हम बच्चों एक perpendicular draw करेंगे on the x direction. Suppose यह perpendicular fall कर रहा है at the point Q.
This point is origin. यहाँ पे x and y की value 0 होगी. अब यह जो हमारा OQ है.
This is x. And what is PQ? The height is y.
This is y. Clear? So this is y.
अब मैं यहाँ पे represent करूँगा with respect to r and theta. r and theta की अगर हम बात करें so o से लेके p तक का distance is what this is r and this angle is what this angle is theta तो मेरे पास बच्चो यहाँ पे एक triangle बन गई triangle का नाम है opq तो अगर हम इस triangle में देखें what is perpendicular थीटा के जो सामने वाली साइड होती है that is the perpendicular तो P क्यों हमारा क्या है perpendicular है base क्या है O क्यों है and what is the hypotenuse that is OP so now I will write down here the T ratio sin theta so sin theta बच्चो क्या है sin theta is perpendicular over hypotenuse perpendicular is what this is PQ and what is hypotenuse that is OP और अगर हम देखें what is PQ, PQ बच्चो हमें क्या निजर आ रही है, PQ is Y so this is Y divided by, what is OP OP हमारा है R तो अगर मैं यहां से cross multiplication कर दूं तो what is Y y is r sin theta तो y क्या है r sin theta हम अगर बात करें cos theta दूसरी t ratio हमने ले ली, cos theta हमारा क्या है, base over hypotenuse, base is what, oq, divided by what is hypotenuse, that is op, oq क्या है, this is x, divided by op क्या है हमारा, r, तो अगर मैं इसमें cross multiplication कर दू, तो x मेरा क्या है, r, cos of theta, तो बच्चो हमारे पास दो relation आगे अगर हमें r and theta पता है तो I can find out the value for x and y और अब हमने बोला था article के नाम के अंदर्शिक्षा अंदर the relation between 2D Cartesian coordinate system and plain polar coordinate system, तो इसके अंदर basically हम क्या करेंगे, अगर R and theta हमें पता है, तो मैं x and y भी find out कर सकता हूँ, सकता हूँ और अगर हमें इसका vice versa पता है मतलब x and y पता है तो मैं r and theta भी calculate करना सीख सकता हूँ तो मैं अब एक बार फिर से लिखूँगा what is my x x is r cos theta and what is y y is r sin theta तो ये मेरा relation आ गया, अगर मुझे r and theta पता है, तो I can find out x and y. Next, slide के उपर हम बात करेंगे, अगर हमें x and y पता है, then what is the value of r and theta?
तो now, again मैं फिर से वही relation लिखता हूँ, x is what? r cos theta, and y is what? r sin theta. इसको बच्चों हम equation number 1 लिख लेते हैं, इसको हम equation number 2 लिख लेते हैं, लिख लेते हैं so now now scaling and adding equation 1 and 2 equation number 1 and 2 को हमने scale करके add कर दिया तो बनेगा क्या x square plus y square which is equal to r square cos2 θ plus r2 sin2 θ और अगर हम देखें यहां से r2 हमारा right hand side से common आ रहा है तो अंदर क्या बचा cos2 θ plus sin2 θ and we know that what is the value for cos2 θ plus sin2 θ its value is 1 तो हमारा right hand side बच्चों क्या बना only r2 तो मैं लिख सकता हूँ r2 is what this is x2 plus y2 means r is what this is the under root of x2 plus y2 तो इस तरह से students हमने find out कर लिया अगर हम हमें x and y पता है तो हम क्या चीज फाइंड आउट कर सकते हैं हम y की वैल्यू फाइंड आउट कर सकते हैं और अब सेकंड चीज अब मैं वन और टू को इस तरह से कुछ करूंगा relation mathematical ता जो मुझे थीटा की वैल्यू आ जाए अगर students हम इसको डिवाइड कर दें तो r से r cancel हो ज अब दोनों को जब डिवाइड करेंगे तो left hand side बनेगा r sin theta divided by r cos theta which is equal to y over x तो ये r के हो गया, cancel हो गया, तो tan theta बच्चो हमारा क्या है, tan theta is y over x, means theta is what, theta is tan inverse y over x, तो ये हमारी students, second formulation होगी जिसके अंदर हम theta की value find out कर सकते हैं अगर हमें x and y की value पता है तो मैं एक बार दोनो relations फिर से next slide में लिखता हूँ x की value क्या आई r cos theta और y की value की आई, r, sin, theta, ये relations आपको याद रखने होंगे, next articles में भी हम इनको use करेंगे, और दूसरा जब मैंने relation बनाया था, r की value की आई बच्चो, x square plus y square under root, and theta की value की आई हमारे पास, theta है हमारा tan inverse y over x, तो ये मेरा दूसरा relation है, तो इस तरह से हम यह जो R and theta है या फिर X and Y है वो हम calculate कर सकते हैं So this is the relation between 2D Cartesian coordinate system and Plane Polar coordinate system इस बार बच्चों अगर हम बात करें जैसे हमने unit vectors की बात की थी unit vectors हमने unit vector बच्चों क्यों लिये थे to represent the directions जैसे हमने XYZ, 3D Cartesian Coordinate System पढ़ा था इसके अंदर x की तरफ जो हमारा unit vector था that was i cap, y की तरफ था j cap and z की तरफ था k cap.
यह हम standard unit vectors suppose करते हैं in the Cartesian coordinate system. Similarly, what are the unit vectors? in plain polar coordinate system तो plain polar coordinate system के अंदर unit vector कैसे हैं, वो unit vectors किस direction में होंगे, and उनको कैसे represent करना है, तो वो हम इसमें सीखेंगे, that is very very important, तो इसके अंदर बच्चो, जैसे हमने Cartesian coordinate system के अंदर पढ़ा था, एक unit vector है, उस direction में, जिस direction में x बढ़ रहा है, increase हो रहा है, दूसरा unit vector उस direction में है, जिस direction में, में y increase होता है and तीसरा vector यो हमारा k cap है वो उस direction में जिस direction में हमारा z increase होता है अगर हम बात करें, plane polar coordinate system की, plane polar coordinate system के अंदर, जो हमारे components हैं, वो r and theta हैं, तो इसका मतलब, हम दो ऐसे unit vector लेंगे, एक unit vector होगा, हमारा er cap, और दूसरा हमारा unit vector होगा, e theta cap, er cap वो direction होगी, जिस direction में क्या increase करेगा, R increase करेगा और E theta के अप हमारा वो direction होगी जिस direction में हमारा theta increase करेगा तो ये बात आपको समझानी चाहिए ER क्या direction है बच्चो ER वो direction है जिस direction में R increase होता है जैसे मैंने I, G, K लिखे जिस direction में X increase होता है या फिर Y increase होता है या फिर Z increase होता है similar तो प्रिवेशल ने एर कैप और ए थीटा कैप दिरेक्शन इन विच आर इंक्रीजेस एंड थीटा इंक्रीजेस तो नेक्स्ट स्लाइड के ऊपर हम डारेक्शन्स फाइंड आउट करेंगे इन केस आफ प्लेन पोलर क्वाडिनेट सिस्टम कॉंट्री डारेक्शन्स एर कैप की डारेक्शन एंड ए थीटा कैप की डारेक्शन सो नाओ नेक्स्ट इस विरी विरी इंपोर्टेंट प्लेन पोलर यूनिट वेक्टर्स प्लेंग पोलर यूनिट वेक्टर्स मैंने आपको आलरेडी बता दिया इसमें हमारे पास दो यूनिट वेक्टर्स हैं एक का नाम हम लिखेंगे ER कैप दूसरे का नाम लिखेंगे E थीटा कैप तो ये हमारा हैडिंग हो गया तो फर्स्ट जो है डाइग्राम मैं बनाऊंगा फ़ॉर ER कैप तो मैंने फिर से वही कॉर्डिनेट सिस्टम ड्रॉव कर लिया टू डी क्वाइडिनेट सिस्टम यह हमारा कोई पॉइंट पी है पी पॉइंट के क्वाइडिनेट हैं आर एंड थीटा तो यह हमारा बच्चों क्या हो गया देश इस आर, the distance of point P from the origin is called as आर, and ये हमारा क्या हो गया बच्चो, this is the angle थीटा, तो अब P point के जो coordinates हैं, this is what, आर कॉमा थीटा, ओरिजन के क्वार्डिनेट्स हैं 0, 0, ठीक है, ओरिजन के क्वार्डिनेट्स हमेशा ही हम कैसे लिखते हैं, 0, 0, और अगर हम इसमें एक चीज और देखें, मैं आपको पीछे जैसे मैंने बताता हूँ मैं आपको, जैसे हमने ए रिलेशन बिट्विन टू डी कार्टीजियन क्वाइडिनेट सिस्टम एंड प्लेन पोलर क्वाइडिनेट सिस्टम भड़ा इसमें हमने देखा एक्स इकल टू आर कॉस थीटा एंड वाइड इकल टू आर साइन थीटा इसमें अगर मैं एक चीज आपको और बताओ, what is OP vector? OP vector बस चूब basically क्या होगा?
ये हमारा position vector होता है, OP vector, this is what? This is x i cap plus y j cap, ये मैंने पढ़ाया था आपको, in the Cartesian Coordinate System. position vector in the Cartesian coordinate system कैसे लिखते हैं अगर दो डामेंशन में है टू डामेंशन में है तो एक्स आई कैप वाइज के अगर वन डामेंशन में है तो एक्स आई कैप अगर थ्री डामेंशन में है तो एक्स आई कैप वाइज कैप एंड कैप तो अब हम क्या करेंगे अगर हम इसको प्लेन पोलर क्वाइडिनेट सिस्टम में लिखना चाहते हैं तो यहां पर एक्स की वैल्यू रखेंगे विच इस एक्स sorry r cos theta i cap and आर्प साइन थीटा जे कैप तो यह मेरा पोजीशन वेक्टर बनेगा इन द प्लेन पोलर क्वाडिनेट सिस्टम इसको मैं यूज करूंगा वहां पर तो मैं बापस उसी सलाइड में जाता हूं तो अब यहां पर बच्चों हमारा ओपी वेक्टर क्या है ओपी वेक्टर मैंने अभी आपको बताया ओपी वेक्टर कैसे लिखना है एक बार फिर से आपको चाहिए बता देता हूं इस इस x and this is y, clear?
तो op vector basically हमारा होता क्या है बच्चो, x i cap y j cap, which is equal to, x की value अभी मैंने आपको बताया, x क्या था हमारा, r cos theta i cap plus r sin theta j cap, यह हमारा position vector वन गया in the, plane polar coordinates, which is r and theta, तो ये हमारा उपी vector है, अगर हम बात करें, er cap, er cap मैंने अभी आपको बताया, er cap क्या है, er cap is a unit vector, in the direction, in which r increases, er cap, a unit vector, in the direction, इन विच आर इनक्रीजेस तो अगर मैं यहां पर एक और पॉइंट क्यों ले लूं जिसमें आर थोड़ा सा बढ़ गया आप ले लिया बट थीटा रिमेंट से तो वह पॉइंट बच्चों कुछ इस डारेक्शन में लाइक करेगा तो यह मेरा पॉइंट नया पॉइंट क्या हो गया इसको मैं अलग कलर से रिपरेसेंट कर लेता हूं दिस पॉइंट इस क्यों अब क्यों पॉइंट क्वाइडिनेट्स क्या है आज प्लस डी आफ कॉमा थीटा मींस दिए एंगल रिमेंट से जो एंगल ओपी ने बनाया है होरिजोंटल के के साथ वही एंगल ओ क्या उन्हें बनाया है होरिजोंटल के साथ बट द डिफरेंस इस दियर ओ पी की लेंथ क्या है ओ पी कितना है आर है एंड व्हाट इस ओ क्यों दिस इस आर प्लस डी आर सिर्फ लेंथ का वर्क है ओ से लेकर क्या पी की लेंथ थोड़ी सी ज्यादा है ओ से पी की लेंथ आर है तो अगर हम यहां पर ओ क्यों वेक्टर लेकर व्हाट विल बीडी ओ क्यों वेक्टर जब just by replacing R with R plus DR, तो ये मेरा component क्या बनेगा, R plus DR into cos theta i cap, plus R plus DR into sin theta j cap, मैंने बच्चो ओ पी भी find out कर लिया, ओ क्याओ भी find out कर लिया, और अगर हम अब सिर्फ एक vector find out करें, कहां से कहां तक का, पी से लेके क्याओ तक का, ये जो मेरा point है, पी, और ये वाला point है क्या हो, P से क्या हो तक का vector होगा, P क्या हो vector, तो अब मैं बात करूँ P क्या हो vector, वो क्या होगा, वो होगा O क्या हो vector, minus O, पी वेक्टर अगर हम देखें पी के वेक्टर क्या है इट इस दिफरेंस बिट्विन ओकेव वेक्टर माइनस ओपी वेक्टर तो अब मैं अगर पी के वेक्टर फाइंड आउट करूं ओकेव वेक्टर क्या है मेरा आर प्लस दी आर इंटू कॉस थीटा आई कैप प्लस आर प्लस दी आर इंटू साइन थीटा जी कैप माइनस यह मेरा हो गया OQ vector अब minus क्या करना है minus करना है OP vector OP vector क्या है R cos theta i cap plus R sin theta j cap अगर हम PQ vector को find out करें अब हमारे पास बच्चो क्या है एक ये cos वाली term है और यहाँ पे भी cos वाली term है दूसरे हमारे पास क्या है ये जो sin वाली terms हैं दोनो cos वाली terms में से cos theta है और i cap common आजाएगा और साथ में हमारे पास बचेगा difference of r plus dr minus r तो हमारे पास बचेगा r plus dr minus r into cos theta i cap plus अब यहां से जो मेरे पास sin theta वाली terms हैं इन में से sin theta common आजाएगा तो बचेगा क्या r प्लस डी आर माइनस आर इंटू साइन थीटा जी कैप यह जो आर आर कैंसल यहां पर भी आर आर कैंसल तो पी के वेक्टर हमारा क्या बना पी के वेक्टर बना डी आर into cos theta i cap plus dr, इसको मैं bracket में रख लेता हूँ dr को, into sin theta j cap, and now what is er cap, er आर किसे डारेक्शन में इंक्रीज करें बच्चो अगर हम P से क्यों की तरफ जाएं तो हमारा आर इंक्रीज कर रहा है तो P से क्यों की जो डारेक्शन है इन दा डारेक्शन अलांग PQ तो ये PQ vector की तरफ है जो उमारा ER vector है ये जो उमारा ER vector है that is along PQ vector तो मैंने PQ vector का vector मैंने find out कर लिया और हमने already lower classes में पड़ा है unit vector की definition बच्चो क्या होती है unit vector की definition होती है vector divided by vector magnitude जो उमारा ये चीज आपने lower classes में पड़ी होगी तो मैंने p के वेक्टर तो find out कर लिया अगर मैं p के वेक्टर का modulus means magnitude भी find out कर लूँ तो मेरे पेस क्या आएगा ये जो उपर vector p के वेक्टर लिखा है इसका magnitude क्या होगा i के component का square plus jk component का square और under root तो ये बनेगा dr square cos square theta plus dr square sin square theta इसमें से बच्चो dr square हमारा क्या आजाएगा common आजाएगा so dr square हमारा क्या आया कि कमना या पीछे बचा क्या पीछे बचा कॉस्ट के थीटा प्लस साइन स्केट थीटा कॉस्ट के थीटा प्लस साइन स्केट थीटा वह हमारा है वन तो अल्टिमेटली डीएर स्केट बचा और साथ में अंडर रूट और अंडर रूट को स्केट के साथ कैंसल कर दें तो इटी सिंपली डीएर तो अब मैं यहां पर डाइन करता हूं अकॉर्डिंग टू डेफिनेशन ऑफ यूनिट वैक्टर What we have studied in the lower classes? A cap is what? A vector divided by its magnitude. कोई unit vector is what? This is the vector divided by its magnitude.
तो ER cap हमारा क्या है? This is the ratio of PQ vector and its magnitude. तो PQ vector में नहीं बच्चो, already find out कर लिया PQ vector है हमारा.
अगर मैं इसमें से D R भी common कर दूँ पी के वेक्टर में से, तो ये जो मेरी expression है, इसमें से मैं D R common कर दूँगा, D R common कर दूँगा, तो पीछे मेरे पास बचा, cos theta i cap plus sin theta j cap, clear, और divided by क्या आएगा, डिवाइटे वाइट अ मैग्निचूड ऑफ पी क्यों एंड वी हैव कैलकुलेटर वाट इस दिन एग्निचूड ऑफ पी क्यों दिस इस दी आर तो अब दी आर से डी आर कैंसल हो गया तो अल्टिमेटली जो हमारा रिजल्ट था यह कैप डाट कम्स आउट टू बी कॉस थीटा आई कैप प्लस साइन थीटा जी कैप इन केस ऑफ प्लेन पोलर क्वाडिनेट सिस्टम व्हाट इज दी यूनिट वेक्टर अलांग दी आर इस जो direction है जिसके तरफ EER cap है इसको बोलते हैं बच्चो radial direction इसको क्या बोलते हैं? Radial Direction ये कौन सी Direction है? In which R increases ये कौन सी Direction है बच्चो? Radial Direction जिसकी along R increase कर रहा है और ये है किस direction में कुछ इस तरह से है O से बाहर की तरफ है O से P की तरफ and then Q की तरफ इस direction में हमारा R increase कर रहा है तो इसको हम क्या बोलते हैं It is called as the radial direction.
अब मैं second जो हमारा e theta cap है उसके बारे में बात करता हूँ. Second जो हमारा unit vector है that is e theta cap. ये कौन सा direction है?
Direction in which theta increases. ये वो direction है जिस तरफ थीटा इंक्रीज कर रहा है तो मैं फिर से बचो एक क्वार्डिनेट सिस्टम बनाता हूँ इस एक्स वाइड क्वार्डिनेट सिस्टम एंड इस इस दिखुद रिजन अगेन दिस इस दिपॉइंट पी हैविंग दिफॉर इनेट्स आर एंड थीटा तो तो अब मैं यहां पर देखूं वह टिस आर ओशे पी तक की दूरी हमारी आर है एंड वह टिस थीटा ओपी लाइन मेक्स एन एंगल विद यू होरिजॉन्टल डारेक्शन इस कॉल्ड एस थीटा तो अब मैं यहां पर लिखूं पी के कॉर्डिनेट्स हैं जो आर कॉमा थीटा ओके कॉर्डिनेट्स है जीरो कॉमा जीरो अब मैंने दूसरा पॉइंट जो क्यों है वह इस तरह से लेना देना है कि उसमें आर चेंज ना हो बट थीटा चेंज हो और थीटा में हम स्लाइड चेंज लेंगे जैसे बच्चों हमने यहां पर जब आर में चेंज लीजिए हमने थीटा कॉंस्टेंट रखा ताज हम आर की विरीशन की डारेक्शन देख सकें सिमिलरली अगर हमें थीटा की विरीशन की डारेक्शन देखनी है तो हम आर को कॉंस्टेंट कर देंगे एंड थीटा के नित थोड़ा सा इंक्रीमेंट ले लेंगे तो क्यों पॉइंट हम कुछ इस तरह से लेंगे उसका आर कॉडिनेट सेम हो होगा but theta plus d theta बन जाएगा second coordinate तो अब वो किस तरह से होगा अगर मैं p से इस तरफ को जाओं तो मेरा theta बचो मुझे लग रहा है increase होगा clear तो अब हम क्या करेंगे एक निया point लेंगे क्या हूँ यहाँ पे this is the another point क्या हूँ तो इसके coordinates क्या होंगे? r, theta plus d theta मतलब क्यों पॉइंट ऐसा पॉइंट है जिसकी दूरी फ्रॉम दी ओरिजन उतनी ही है जितनी पी की दूरी ओ से है बट अगर बात करें थीटा की तो ओक्यो का एंगल ओपी के मुकाबले थोड़ा सा हमें जादा नजर आएगा कलियर तो ये आपको थोड़ा सा ध्यान से इसकी पिक्चर को समझना होगा O Q point ऐसा point है जिसका distance origin से उतना ही है जितना distance P से लेके O तक का है बट theta जितना OP line बना रही है horizontal direction के साथ उससे थोड़ा सा ज़्यादा है थोड़ा सा ज़्यादा है तो हमें जो है anti-clockwise direction में point को लेना पड़ेगा तो मैंने q point anti-clockwise direction में थोड़ा सा आगे ले लिया तो अब हम बात करेंगे करेंगे सिमिलरली जैसे हमने बात की थी इन केस ऑफ ईयर कैप तो मैं एक बार डाइग्राम फिर से दिखाता हूं तो हमने यहां पर एक ओपी वेक्टर लिखा था एक ओकेव वेक्टर दिखा था और देन दोनों का डिफरेंस पीकेव वेक्टर डिस्प्लेसमेंट वेक्टर निकाला था तो सिमिलरली अब हम यहां पर भी क्या करेंगे वही काम करेंगे एक वेक्टर हम ओपी पोजीशन वेक्टर निकालेंगे देन हम ओकेव पोजीशन वेक्टर निकालेंगे उसके बाद बाद हम एक ऐसा वेक्टर निकालेंगे विच इस पी क्यो वेक्टर तो अल्टीमेटली विविल फाइंड आउट व्हाट इस दी पी क्यो वेक्टर एंड इस पी क्यो वेक्टर इस कॉल्ड एस दी डिस्प्लेसमेंट वेक्टर अ अजय को ये जो displacement vector है, ये displacement उस direction में है, जिस direction में theta increase कर रहा है, मतलब ये हमें e theta cap के बारे में बताएगा आगे जाके, तो now, I will write down here, what is OP vector, बच्चो हमने आलड़ी पढ़ लिया, if the coordinates, थीटा और आर तो वो अपने वेक्टर बनाएगा यह आर है cos theta i cap plus r sine theta j cap and if we know the coordinates of q point also then how I can write down oq vector, so now what we will do just theta will be replaced by theta plus d theta so this will be r cos theta plus d theta i cap plus r sine theta plus d theta j cap now Now, from that triangle OPQ, अगर हम triangle OPQ को देखें, यहाँ पे दो vectors, OP vector and PQ vector are in the same order, and OQ vector is in the opposite order. तो OQ vector हमारा resultant हो गया according to triangle law of vector addition. So, triangle OPQ में using triangle law of...
वेक्टर अडिशन तो व्हाट इज ओक्यो वेक्टर ओक्यो वेक्टर इज व्हाट ओपी वेक्टर प्लस पीक्यो वेक्टर तो मैं नेक्स्ट स्लाइड में बच्चों लिखूंगा तो पीक्यो वेक्टर हमारा क्या आया दिस इस ओक्यो वेक्टर माइट minus OP vector, तो हम क्या करेंगे, OQ vector की value रख देंगे, और OP vector की value रख देंगे, और दोनों को हम solve करेंगे, OQ vector है हमारा, R cos, थीटा प्लस दी थीटा इंटू आई कैप प्लस आर साइन थीटा प्लस दी थीटा इंटू जी कैप माइनस ओपी वेक्टर हमारा क्या है आर कॉस थीटा आई कैप प्लस आर साइन थीटा जी कैप पी के वेक्टर के हम देखते हैं एक तरह कॉस थीटा वाली और यहां पर भी एक तरह कॉस थीटा वाली अब एक तरह हमारे हमारे पास साइन थीता वाली है यहां पर भी एक टर्म साइन थीता वाली है कॉस्ट थीता वाली टर्म्स को अलग से सॉल्व करेंगे एंड साइन थीता वाली टर्म्स को अलग से सॉल्व करेंगे तो यह जो आई कैप के कंपोनेंट है इनमें से आर कॉमन आ जाएग है और अंदर बचेगा कॉस थीटा प्लस डी थीटा माइनस कॉस थीटा इंटू आई कैप प्लस सेकिन जो जे के कंपोनेंट से इनमें से भी आर्थमान आ जाएगा अंदर बचेगा साइन थीटा प्लस डी थीटा माइनस साइन थीटा इंटू जे कैप अब इस equation के अंदर ये जो हमारे पास दो factors है इनको बच्चो हम simplify करेंगे, simplify करने के बाद हम देखेंगे इसको हम क्या लिख सकते हैं, ठीक है, तो हमने एक चीज़ पढ़ी है, according to definition of derivative, हमने क्या पढ़ा है? f'x is what? This is x plus dx minus fx divided by dx. This is the definition of derivative. यहां पर अप्लाई करूं फंक्शन में ले लूं अगर मैं फर्स्ट यह जो मेरी फर्स्ट ब्रैकेट है इसको मैं देखूं और यह सेकंड ब्रैकेट को देखूं अगर मैं एक वर फंक्शन कॉस थीटा ले लूं मैं आपको प्रूव करके दिखाता हूं यहां पर इसको हम ए F function मैंने suppose कर लिया cos है, तो मैंने लीते है cos x plus dx मतलब theta plus d theta, minus function कौन सा है cos theta, divided by दोनों का difference x plus dx minus x means dx तो यहाँ पे difference क्या जाएगा d theta तो यह किसके बराबर होगा this is equal to f dash x मतलब derivative of fx fx क्या है हमारा इसका derivative क्या होगा बच्चो, sin theta, तो इसका मतलब cos theta plus d theta minus cos theta, ये क्या बना, this is minus sin theta, तो हम ये जो property है, इसको हम उपर equation number 1 में use करेंगे, similarly आप लिख सकते हो, similarly sin theta, थीटा प्लस दी थीटा माइनस साइन थीटा विज इस एकल टू कॉस्ट थीटा डी थीटा तो यह जो दो प्रॉपर्टीज हैं इनको हम लूस करेंगे इक्वेशन नंबर वन के अंदर तो मैं लिखूंगा कैसे इन द नेक्स्ट लाइट पी क्यों वेक्टर विच इस इकल टू आर हमारे पास था कॉस्ट थीटा प्लस दी थीटा माइनस कॉस्ट थीटा इसकी वैल्यू है माइनस सॉरी इसकी value है sin theta d theta, clear?
तो यह मैं D थीटा लेकना मेरा रह गया था गलती से, तो इसको आप correct कर लीजी please, तो अब हम इसकी value रखेंगे equation number 1 के अंदर, तो this is minus sin theta D थीटा, तो यहाँ पे आएगा minus sin theta D थीटा into i cap, plus second value है R, साइन थीटा प्लस डी थीटा माइनस साइन थीटा और उसकी वैल्यू है कॉस थीटा डी थीटा कॉस थीटा डी थीटा जे कैप तो ये जो हमारा वेक्टर आया है इस इस दी डिस्प्लेश्मेंट वेक्टर अगर हम बापस जाएं इस डेफिनिशन के उपर इस दी थीटा कैप क्या होगा इस दी थीटा कैप होगा बच्चो पी क्यों वेक्टर डिबाइडेड बाई पीकेओ वेक्टर मैंने चूट पीकेओ वेक्टर मैंने कौन सा वेक्टर लिया वह वेक्टर लिया जिस डारेक्शन के अलॉंग हमारा थीता इंक्रीज कर रहा है तो अब पीकेओ वेक्टर हमने find out कर लिया अब इसका magnitude find out करेंगे magnitude find out करने का तरीका वही सेम है i के component का square plus j के component का square and then under root i का component है r उसका square हो गया negative plus हो जाएगा हो जाएगा sin2 theta d theta square plus j के component का square r square cos2 theta into d theta square और अगर मैं इसमें से देखूं क्या क्या मेरा common आ रहा है common आ रहा है r square d theta square पीछे बचा sin2 theta plus cos2 theta sin2 theta plus cos2 theta बचा हमारा है 1 तो अंदर बचेगा R square D theta square, तो PQ modulus हमारा क्या बचा, this is R D theta, अब हमने जो E theta cap define किया है, this is PQ vector divided by PQ vector modulus, तो मैं सारी values वहाँ पे रखूँगा, PQ vector मैंने अलड़ी उपर लिख दिया, this is minus R sine theta D theta I cap plus R, R cos theta d theta j cap divided by R d theta, यह जो नीचे R है, उपर R common आ रहा है, वो भी cancel हो जाएगा, और d theta भी common आ रहा है, वो भी cancel हो जाएगा, clear, मैं आपको यहाँ पे भी लिखके बता देता हूँ, तो यहाँ से R d theta common आया, तो अंदर क्या बचा, minus sine theta i cap plus cos theta j cap, चीके जी, तो, अल्टिमिटली कैंसल होके ये जो R है ये दोनों R से कैंसल हो जाएगा और D थीटा D थीटा से कैंसल हो जाएगा तो अंसर हमारा आएगा minus sine theta i cap plus cos theta j cap जैसे हमने r cap का direction निकाला था उसी तरह से हमारा मैं e theta cap की direction लिखता हूँ this comes out to be minus sine theta i cap plus cos theta j cap ये हमारी e theta cap की value आगे and what is the value for er cap मैं आपको लिखके बताता हूँ cos theta i cap plus sin theta j cap ये दो बच्चो हमारे के आगे these are the unit vectors एक unit vector जिस direction की तरफ है उसमें r increase कर रहा है इसको बोलते हैं radial direction और इसको बोलते हैं transverse direction clear अगर मैं आपको graph के उपर represent करके बताओ this is x y coordinate system this is the point p having the coordinates r, theta ये मेरा ओरिजन, ये आर, ये थीटा अब यहाँ पे मैं बताऊं, what is i-cap, j-cap? i-cap है along x direction, j-cap है along y direction. यह i-cap, j-cap होगे in the 2D Cartesian Coordinate System, unit vector हमारे. अब हमने क्या बना है unit vector in the plain color coordinate system?
वो थे er-cap and e-theta-cap. er-cap किस direction है? इस direction में हमारा r increase करता है, r increase करता है इस direction में, this is er cap, second theta किस direction में increase करता है, इस direction में, तो इस direction को हम बोलते हैं e theta cap, er cap is the unit vector along this direction and e theta cap is the unit vector along this direction, is it clear?
तो ये बहुत important चीज़ है बच्चो एक चीज़ आपको और बताता हूँ यहाँ पे i-cap and j-cap are perpendicular परपेंडिकुलर जो unit vector होते हैं i cap, j cap, k cap वो हमने already पता है कि ये mutually perpendicular होते हैं सबी एक दूसरे से तो एक चीज़ मैं आपको और prove करके दिखाता हूँ यहाँ पे er cap and e theta cap are perpendicular to each other यह जो radial and transverse direction है, एक दूसरे के perpendicular हैं, तो कैसे prove करेंगे? ER cap क्या है? ER cap है cos theta i cap plus sin theta j cap. E theta cap क्या है? This is minus sin theta i cap plus cos theta j cap.
दोनों की बीच में angle अगर हम देखें, So, what is the dot product? Angle check करने के लिए बच्चों हम क्या करते हैं? Dot product करते हैं. So, ER cap and E theta cap की dot product करेंगे. IK component की, IK component की साथ multiplication करेंगे and JK component की.
की j की component के साथ multiplication करेंगे, तो अगर हम यहाँ पे multiplication करके देखें, तो i की component की i की component के साथ multiplication करें, यहाँ है cos theta, वहाँ है minus sin theta, तो मनेगा क्या, minus sin theta, theta cos theta plus j का component यहां पे है sin theta और वहां पे है cos theta तो क्या बनेगा sin theta cos theta और हम देखें ये दोनों terms क्या हो सकती है अपस में cancel हो सकती है तो er cap dot e theta cap क्या हो गया हमारा zero हो गया if dot product between two vectors is zero so angle between the vectors इस 90 दिग्री तो उन दोनों वेक्टर्स के अंदर क्या होगा 90 डिग्री एंगल होगा So, ER cap and E theta cap are perpendicular to each other तो ये बच्चो एक दूसरे क्या होगे? परपेंडिकुलर होगे तो ये बहुत इंपोर्टन लेक्चर है जिसके अंदर हमने प्लेन पोलर क्वार्डिनेट सिस्टम के बारे में बात की एक बार मैं आपको सारा जो आज पड़ा उसका रिवाइज करा देता ह� सबसे पहले हमने देखा कार्टिजियन कॉर्डिनेट सिस्टम टू डिमेंशन का और प्लेन पोलर कॉर्डिनेट सिस्टम का रिलेशन क्या था X होता है R cos theta and Y होता है R sin theta और अगर मैं इसका reverse करूँ तो r क्या होगा under root of x square plus y square and theta क्या होगा tan inverse y over x और position vector बच्चों कैसे लिखते हैं अगर हमारे पास कोई point p है तो o से उसका position vector लिखेंगे r cos theta i cap plus r sin theta j cap एक चीज़ हमने और सिखी er cap and e theta गैप दिस आप द यूनिट वेक्टर्स यह कैप हमने क्या लिखा इस इस कॉस थेटा आई कैप प्लस साइन थेटा जे कैप एंड इट गैप क्या था दिस इस साइन थेटा आई कैप प्लस कॉस थेटा जे कैप तो यह जो चीजें हमने आल्ट पड़ी है इसमें आपको थोड़ा सा कैसे याद करना है वह भी आपको सिखाता हूं अगर आप ओपी वेक्तर को देखो उसमें क्या आ रहा है बच्चों उसमें आ रहा है आर कॉस थेटा theta i cap plus r sin theta j cap, और er vector क्या है, just r हटा दिया, तो हमारा cos theta i cap sin theta j cap, वही उसी की तरह just r हटा दो, तो हमारा er cap बन जाएगा, और er cap की terms का, अगर derivative कर दें, cos का derivative minus sign हो गया, sign का derivative cos हो गया, तो हमारा क्या बन गया, e theta cap बन गया, तो ये हमारा आज का lecture complete हुआ, हमने plain polar coordinate system के बारे में पढ़ा तो इसको आप अच्छे से revise करो अगर कोई doubts हो तो आप comment section में मेरे से पूछ सकते हो, thank you