Lecture Notes on Center of Mass

Continuous Mass Distribution

• Center of Mass का दूसरा वीडियो, जिसमें हम Continuous Mass Distribution में Center of Mass निकालना सीखेंगे।
• Integration का concept महत्वपूर्ण है।

Mass Element (dm) निकालना

• dm का integration करना सीखेगे।
• Center of Mass की calculation के लिए छोटे mass elements को लेना जरूरी है।

Basic Examples

• Uniform rod का Center of Mass: L/2
• Ring का Center of Mass: बीच में।
• Semi-circular disk का Center of Mass: डेरिवेशन से पता चलता है।

Key Formulae

• Center of Mass Formula:
  • Discrete Mass:
    [ x_{cm} = \frac{m_1 x_1 + m_2 x_2 + m_3 x_3 + ...}{m_1 + m_2 + m_3 + ...} ]
  • Continuous Mass Distribution:
    [ x_{cm} = \frac{\int x dm}{\int dm} ] [ y_{cm} = \frac{\int y dm}{\int dm} ] [ z_{cm} = \frac{\int z dm}{\int dm} ]

Example: Center of Mass of Uniform Rod

• Rod Length: L
• Mass: M
• Center of Mass: L/2

Linear Mass Density (λ)

• Linear Mass Density: ( \lambda = \frac{M}{L} )
• dm की value निकालना:
  [ dm = \lambda dx ]

Derivation for Center of Mass

• Total Mass: M
• Integration Limits: 0 to L

Center of Mass of Non-uniform Rod

• Non-uniform Linear Mass Density: ( \lambda = 2x )
• Center of Mass Calculation:
  • Integrate from 0 to L

Semi-Circular Wire

• Center of Mass: (2R/π)
• Radius: R

Center of Mass of a Disk

• Center of Mass: (4R/3π)

Triangular Lamina

• Base Length: R
• Height: H
• Center of Mass: h/3

Sphere and Cone

• Sphere Center of Mass: Center में होता है।
• Solid vs Hollow Sphere: Center of Mass की स्थिति अलग होती है।
• Cone का Center of Mass भी अगली वीडियो में।

Conclusion

• सारा Center of Mass का concept समझ आ गया है।
• अगले वीडियो में Sphere और Cone का Center of Mass पढ़ेंगे।
• सबको अच्छे से पढ़ाई करें, सभी के लिए शुभकामनाएँ!