केंद्रक द्रव्यमान के नोट्स

हेलो बच्चो, आज हम Center of Mass का Second वीडियो लेके आए हैं जिसमें हम आपको Continuous Mass Distribution में जिसमें Mass पूरी तरह से Distributed होगा उन System का Center of Mass निकालना सिखाएंगे अब ये चीज आने के लिए आपको integration का concept आना चाहिए नहीं आता? कोई बात नहीं इस वीडियो के अंदर integration का concept भी धीमे धीमे समझाएंगे आज जो हम आपको चीज दिखाएंगे कि ना चोटा सा mass element dm निकालना उसको integrate करना DM को कैसे choose करना ये बड़ा important होगा बहुत important होगा चाहे वो center of mask के ले लो चाहे वो rotational chapter के अंदर जब ��प rotation पढ़ोगे तो उसके अंदर moment of inertia के ले लो हम करने क्या वाले हैं शॉट में आपको आपको बता दें, जैसे हम आपसे पूछते बच्चों, कि इस rod का center of mass कहाँ पे है, तो आप बोलोगे, sir, इसके mid point पे center of mass, हम कहेंगे, ठीक है, हम पूछें, यह एक ring है, इसका center of mass कहाँ पे, आप बोलोगे, बीच में, हम बोलेंगे, चलो, ठीक है, center पे है, हम आपसे पूछे यह आज हमें सीखना है, जैसे हम आपसे बोले हैं, हमारे पास एक डिस्क है, क्या है एक डिस्क, सेमी सर्कुलर डिस्क, आधी डिस्क है, अब इस डिस्क का सेंटर आफ मास कहाँ पे होगा, तो आपको पता यहाँ कहीं होगा, पर यह कितना उपर है, कौन सी हाइट है, तो यह डेरिवेशन अपनी जगा सही है, आप values याद करना है, डेरिवेशन क्यों सही है, क्योंकि हो सकता हो, जेई में कुछ नय तरह का problem बना दे, कोई नय तरह की body बना दे, तो आपको derivation आना चाहिए, basics के लिए, otherwise आप values भी याद करते चलना है, चले बच्चो, start करते हैं आज का topic, Center of Mass of Continuous Mass Distribution, Center of Mass of Continuous Mass Distribution, हम उमीद करते हैं कि आपने Center of Mass का पहला वीडियो देखा है, और type करें center of mass 0,1 physics वाला और इसका first video देखें चलो बच्चो सबसे पहले बड़ा आसान question दे रहा हूँ अगर किसी को यह आता है तो skip करके आगे पढ़ जाओ कम से कम 10 minute और अगला question पर चल जाओ मेरा पहला question यह है कि मेरे पास एक uniform rod है uniform मतलब कि mass हर तरफ बराबर है इसका center of mass कहाँ पे होगा इस rod की length L है, mass M है हमसे पूछा इसका center of mass कहाँ पे है center of mass of uniform rod बच्चो uniform बोलने का मतलब mass हर जगे बराबर से बटा हुआ है तो ठीक है आप अपने के लिए खटाक से बता दोगे मुझको कि sir इसका center of mass exactly बीच में होगा at a distance of L by 2 ठीक है चलो आपको answer मिल गया center of mass L by 2 distance में कैसे रहा है sir हमको पता है ठीक है हम मानते हैं आसान लगेगी चलो सीखते हैं इसको कैसे करना है इस तरह कुछ इनको आइए देखिए अब बच्चों जब आपको ऐसे एक रॉट दे दे ये ये तो सेंटर ओफ मास कैसे निकालें इसको और पतला बना लूँ में ताकि ये वन डामेशनल का लगे हैं में देखने में ठीक है अब बच्चो जो सिंटर ओफ मास निकलने का फॉर्मला था अगर आपको याद हो एक्स सी एर मैं जानता हूँ इसमें बीच में मुझे भी पता है मैं निकलवा रहा हूँ क्योंकि आगे उसका यूज है तो उसको समझ लो एक्स सी ओम इस इकोड चुक्या था M1 x2 plus m3, x3 and so on and so on and so on, और नीचे हम क्या लिखते थे, m1 plus m2 plus m3 dash dash dash, यार ये वाला formula तब सही था, जब m1, m2, m3 discrete मार्च, अलग-अलग एक बॉल यहां रखिए एक बॉल यहां रखिए तो सेंटर ऑफ मास कहीं बीच में उसके लिए तरीका था हमारे पास यहां क्या करें यहां तो मास डिस्ट्रिब्यूटेड है हर जगह मास है यहां मास यहां पर भी है यहां पर भी है यहां पर पूरे में मास बटा हुआ है हर जगह मास है एम एम टू एम थ्री देखी नहीं रहा कहां पर यहां पर एम वन उसके बगल में इन पूरे जस्ट बगल में इन पूरे पता नहीं इंफनाइट मास इसके अंदर discrete बास है ही नहीं ये क्या है continuous mass system क्या है ये continuous mass पूरे में बटा हुआ है continuous mass में ये formula कर जाएगा, क्या करेंगे अब? एक काम करते हैं बच्चों यहाँ पे चलके एक छोटा समास छोटा समास, छोटा समास काट लेते हैं, जिसको हम बोलते हैं DM यहाँ माल लेते हैं हमारे पास origin है 0,0 DM माल लेते हैं origin से x1 distance दूर है इसी तरह से एक पतला समाज मैंने यहाँ पर फिर से काट लिया यह भी क्या होगा dm मालने थे यह कितना दूर है x2 distance दूर है ऐसी dm dm dm dm dm लेते जाओ कोई x1 कोई x2 कोई x3 पतले पतले dm dm dm क्योंकि मास यार बहुत चोटा है you are not understanding ऐसा नहीं कि M1 इतना बड़ा ले ले पूरे में मास है हम क्या लिख सकते हैं XCOM is equals to DMX1 plus DMX2 plus DMX3 समझ रहे हैं हर मास का distance आ रहा है इसने divided by DM plus DM plus DM plus DM यार ये तो कुछ देखी वे चीज लग रही है DM बगेरा को जोड़ना कहाँ सी काम ने? इंटिग्रेशन में चोटे चोटे ADM को जोड़ने को हम बोलते हैं क्या? इंटिग्रेशन अगर हमसे कोई बोले DMX1 इसको चोटे चोटे पाट में पहले काटो फिर सारे पाट को जोड़ो उसको हम क्या बोलते हैं? इंटिग्रेशन यहाँ पर एक मास लिया M1 जिसको बोला DM जो X1 दूर है फिर लिया दूसरा मास M2 जो कितना दूर है X2 फिर ने तीसरा मास सब मास DM ही है क्योंकि बहुत चिटी-चिटी मास पूरे में मास बटा हुआ है तो मैंने सब मास को जोड़ना है या इन values को जोड़ना है तो उसका उसका हमारे पास जो physics में तरीका है, maths में तरीका है बच्चों, उसको हम बोलते है integration integration of dmx dmx, x को integrate कर दो यार, कहां से कहां? 0 से लेके l तक 0 से लेके l तक x की value देखो लगातार change हो रही है, छोटी छोटी x की value लो हमने, मानों लिया x1, फिर x2, x3, x4, x5, कहां तक जाना है? l तक divided by dm dm dm dm dm जोडना है, मतलब सारे dm को जोडने का मतलब integration of dm so this is the formula जो हम use करेंगे कहाँ पे जब हमारे पास continuous mass distribution हो note करेंगे इसको बच्चो note करेंगे, सबको clear है formula क्यों आया है 100% clear है बहुत बढ़िया भाई, बहुत बढ़िया यानि जब continuous यह तो discrete mass है कि m1 एक जगह रखा है, m2 एक जगह ना continuous में integral dm x divided by integral dm इसको मैं ऐसे लिख दूँ xdm integral x, पर मेरे को ऐसे प्यारा लगता है लिखने में ऐसे लिख दिया integral xdm divided by integral dm याद रहेगा, जैसे इस तरह से y center of mass निकाल लोगे तो x coordinate वा center of mass का, y coordinate, y coordinate of center of mass, बोलो क्या होगा, integral y dm divided by integral dm, clear है, इधर से कोई z coordinate बोलेगा, तो z coordinate क्या होज़ेगा, integral z dm divided by integral dm, एक खास बात आपको मैं यहाँ बताना चाहूँगा integral dm का मतलब क्या है dm dm dm dm dm सारे dm को जोड के क्या होगा total mass so either you write this or you can write integral x dm divided by total mass m अरे आई dm dm dm dm यह सारे dm को जोड दोगे तो इसका पूरा mass m नहीं आजाएगा क्या so we can also write dm dm dm का integration मिला कितना हो गया capital तो अब अबन यह formula यूज़ करने जा रहे हैं आपको फिल हो जानी चाहिए तो अपने साइड में इसको कहीं लिख लेते हैं और इस तरीके में मिटार देते हैं और वापस चलते हैं क्वेश्चन के ऊपर अभी क्वेश्चन सॉल्ल नहीं हुआ है अभी तो तरीका नया मिला है अभी तक सेंटर ओफ मास निकालने तरीका क् complete mass बोल दूँ मैं, clear है? चलिए start करते हैं, अब मेरे पास एक uniform rod है, जिसमें continuous mass distribution है, और मुझे उसका center of mass proof करना है, L by 2 पे, चलो मैंने सवाल दे दिया, proof करो, कि वो, L by 2 पे, ठीक है? चलो या start करते हैं इसको, चलो मैंने यहाँ पर मान लिया origin है 0,0 बहुत बढ़िया मैंने यहाँ पर एक छोटा सा मास DM ले लिया किते distance पर यहाँ से मान लेते हैं x distance पर यहाँ जाकर distance कितना होने वाला है L हो जाएगा ना L,0 देखो Y center of mass की किसी को यहाँ पे confusion नहीं होगी बहुत गधा होगा खेर यहाँ तो X की भी confusion नहीं है समझने के लिए बता रहा हूँ Y center of mass तो इसका यह रहना है मतलब Y coordinate तो 0 रहना है अगर इस question पूछू मैं Y coordinate of center of mass तो 0 भाई रहेगा तो इसी line पे ना अच्छा ठीक है इतना भी clear है वो भी आजाएँ, फॉर्मदा लगा देते हैं, x यू अब निकालते हैं, y भी मैं निकाल के दिखा दूँगा, 0 आएगा, टेंशन नहीं लोग, हम x यू अब निकालेंगे, हमको पता है x की value l by 2 आनी चाहिए, बीच में, हम देखा है आती है कि नहीं, integral x dm, divide by, integral dm लिख ल� अगर आपको xdm मिलेगा आप कभी integrate नहीं कर पाओगे आप integrate करते थे xdx या mdm होता तो भी integrate हो जाता है ये variable और ये variable सेम होता तो काम बनता न xdx integrate होता है कि xdm xdx होता है तो दिक्कत क्या है इस dm को हमें किसी तरह से x के form में change करना पड़ेगा तबी integration होगा ठीक है ना? ठीक है, तब ही तो integration हो सकता है हमें करना क्या है? हमें actual में center of mass निकालने क्या होता है? actual में होता है m1 x1 plus m2 x2 original तरीका तो यही है ना? m3 x3 है ना? तो हमारे पास m1 m2 थे नहीं तो हमने छोटे छोटे dm लिए तहला वाला x1 distance पर x2 x3 x4 ऐसे सारे dm को लेके जोड दिया यही तो हुआ और divided by m1 plus m2 plus m3 यानि सारे dm dm dm को जोड के integration of dm किया तो m आया तो असल भी तो हमें x को यहां में से start करके पूरा l तक ले जाना है तो x को हमें 0 से लेके l तक ले जाना है इन सब में problem नहीं problem क्या है problem variable में है यह चीज integrity नहीं हो सकती x dm dm की जगे कुछ dx का term लाओ तब काम बने आपको एक नए बताने जा रहा हूं दियान से सुनना आज की टॉपिक में बहुत सी चीजें नहीं मिलने वाली तो उसको ग्रास्प करो है और यह आगे यूज भी होगी मैं आपको बताने जा रहा हूं लीनियर मास डेंसिटी इसके बिना भी काम चल सकता था पर क्या करें सारी किताबों ने बता रखा है लीनियर मास डेंसिटी जिसको बोलते हैं लैमडा अ अब लेमडा क्या होता है? लेमडा होता है बच्चों, मास पर यूनिट लेंथ, मास पर यूनिट लेंथ, जैसे इसका पूरा मास कितना है रॉड का, हमने पूरा मास बूर लखा है M, और लेंथ कितनी है L, तो मास पर यूनिट लेंथ, यह है लेमडा, फील चाहिए लेमडा का? फील, एहसास, अगर एक मीटर तुम इसका रॉड लो, मास पर यूनिट लेंथ, मास पर यूनिट लेंथ, इस रॉट का तुम 2 मीटर हिस्सा लो, तो उसका मास होगा 2 लेंडा, इस रॉट का तुम 3 मीटर लंबा हिस्सा लो, तो उसका मास होगा 3 लेंडा, मास पर यूनिट लेंथ, यूनिट लेंथ का मास जो है उसी को लेंडा बो बहुत बढ़िया बहुत अच्छे बात अब मैं बोलता हूं मैं एक जिसने सा की यह पातला सा जो मैंने काटा इसकी लेंथ कितनी होगी यह जो पतला सा इसकी length कितनी होगी यार x distance i हो तो इसकी length कितनी ले सकते हैं पर dx है तो बहुत चोटा सा है तो इसकी length हमने x distance पर आ क्या ले ली dx ले ली clear अगर length वन होती तो mass lambda होता, mass per unit length, length वन होती तो mass 2 lambda, 3 होती तो 3 lambda, length dx है, तो mass कितना हो जाएगा, तो दी एक्स टाइम्स ओफ लैमडा, clear? ये dx lambda कितनी length का mass है इसका इसका mass dm कितना आएगा lambda time of dx नहीं believe let me show you another thing lambda is equals to mass per unit length इसका mass distribution हर जगा same है हर जगे बराबर से mass बटा है तो आपने लिखा lambda is equals to mass per length पूरे rod के लिए अगर मैं इस छोटे से part के लिए बोलूं तो इस छोटे से part का mass कितना है? dm length कितनी है? dx यहाँ से देखो dm is equals to lambda dx the same things comes over there the same things comes over here the concept remains the same नहीं आया नहीं आया ये ये नहीं आया मैं क्या कह रहा, मैं कह रहा इस पूरे का मास m length l, तो lambda क्या होगा, मास पर unit length, clear, very good, इस छोटे से का, मास कितना है, dm, length कितनी है, dx, तो lambda is equals to mass per unit length, अब ये मत सोचना कि इसका lambda, इसका lambda अलग होगा, भाई same ही तो होगा, मास distribution हर तरफ same है, बराबर से बटा एकदम, एकदम playing, एकदम smoothly, मतलब जो मास पर unit length यहाँ, का है वही इस element का है तो मैंने element के लिए बोला कि element का mass dm element की length dx तो dm is equal to lambda dx तो एक तो ये feel हो गया ये feel नहीं है तो ये feel समझ लो mass per unit length है ये mass per unit यानि एक length का mass lambda, दो length का, two lambda तो dx का, dx lambda so whichever gives you feel, you get that clear है, नया concept था आइए यहाँ पर रखते हैं integration of x dm डिवाइड बाई इंटेग्रेशन ऑफ डीम लिखो एक्सिम्म क्या था इंटेग्रेशन ऑफ डीम लिखो या इंटेग्रेशन करके सिधा मास एम लिख दो सारे डीम डीम डीम जोड़के क्या आ जाएंगे मास एम अच्छा क्या लामडा का कंसेप्ट क्लियर है तुम समझो मास पर यूनिट लेंथ यानि टोटल मास ले लो लामडा इसे एक्वल्स टोटल मास अपण टोटल लेंथ DM by DX रिलेट कर लो हो जाएगा यहां से कहा नहीं वापस आते हैं जीरो से एल तक जाना था तो यार इंटेग्रेट कर रहे हैं यार लैमडा तो एक कॉंस्टेंट वैल्यू है लैमडा की वैल्यू क्या है मास कॉंस्टेंट लेंथ कॉंस्टेंट लैमडा बाहर आगे इंटेग्रेशन के चुका एक्सडीएस का इंटेग्रेशन बोलो एक स्क्वेर बाई चू जीरो से लेकिन एल तक और नीचे यम लैमडा की वैल्यू क्या है यम बराबर एल तो लैमडा के जगे मैंने लिखा यम तो आपको गए L square by 2 minus 0 square by 2 so this will be what? और नीचे भी क्या है? एक L है L, है न? So L से L मर जाएगा it will be L by 2 is the answer, XCOM and I rest my case over here तो आपको मिल गया कि इसका center of mass यहाँ से कितना distance दूर होगा यहाँ से L by 2 distance दूर होगा clear है? XCOM is L by 2, आप चाहो तो YCOM निकाल के देख लो, YCOM की value आएगी 0 भाईया जी, YCOM की value value कितनी आएगी? 0, tension नहीं लेने का है, यहाँ center of mass y axis पे है ही नहीं, कहाँ पे है x axis पे, y तो 0 है, clear है, concept पकड़ना था, पता सबको था अलबैट, अरे यार ले अगला question भाई तू तुम अगला question लो और वो solve जाया बिना concept के तुम्हाई logic से तो मैं मान जाओ जब आप logic लगा रहे हो कि सर center of mass तो बीच में होता है rod पे mass है तो rod के center पे जाएंगे center of mass निकालेंगे, ice cream खाएंगे यह एक rod है, बहुत बढ़िया, इसका mass हमें नहीं given है, हमसे बोला, जो इसकी linear mass density है, जो इसकी linear mass density, linear mass density बोले तो feel हो गया आपको क्या, lambda, it is equal to 2x, और यहाँ पे इन्होंने x is equal to 0 ले रखा है, आप समझो feel को, इस rod की जो length है, इस rod की length L है, ठीक है, आपसे पूछा है इस rod का center of mass बताईए भाईया चलो करके दिखाओ मैं पहले आपको एक चीज़ बतादू इसका center of mass बीच में नहीं आएगा क्यों नहीं आएगा समझो ये lambda है linear mass density यानि unit length पे कितना mass बाट रहा हूँ unit length पे कितना mass बाट रहा हूँ यहाँ पे lambda ध्यान से देखो variable है लैमडा एक्स पर डिपेंट कर रहा है, यहाँ एक्स की वैलू 0, यहाँ पे मास है ही नहीं, इस यूनिट लेंथ में कोई मास नहीं है, जहाँ एक्स की वैलू 1 होगी, वहाँ लैमडा की वैलू कितनी होगी, 2, यानि उस एक मीटर में कितना मास है, 2 केजी, जहाँ एक्स की व यानि इस एक मीटर में 6 केजी, कहने का मतलब ये इसमें जो मास भरा है न, इसमें मास कुछ ऐसे भरा है, ध्यान से देखो कम है, ज़्यादा हो रहा है, ज़्यादा हो रहा है, ज़्यादा हो रहा है, ज़्यादा हो रहा है, ज़्यादा हो रहा है, ज़्यादा हो रहा है, ज़्यादा हो रहा है, ज़्यादा हो रहा है, ज़्यादा हो रहा है, ज़्यादा हो रहा है, ज़्यादा हो रहा है, ज़्याद जाएगा कम होता जाएगा और इस तरफ कम यह है सिचूशन क्या इसका सेंटर ओफ मास इधर मेड में होगा बिल्कुल नहीं होगा बच्चों इसका सेंटर ओफ मास इस तरफ होगा क्योंकि सारा मास इधर भाग गया है ये यूनिफॉर्म डिस्ट्रिब्यूशन नहीं हुआ अब, नॉन यूनिफॉर्म है, पूरी तरह से सही से मास बटा नहीं, मास कैसे बटा है, लामडा इस इकोल से टू एक्स है, जहाँ एक्स की वैलू जीरो हो वहाँ कोई मास नहीं है, जहाँ एक्स की वैलू एलो होगी, वहा और ये बात डिपेंड कर रही है आप एक्स पे चली सॉल्व करेंगे दिखाईए कंसेप्ट लगाओगे सॉल्व जाएगा अपने कंसेप्ट से पक्का 100% सॉल्व होगा ओप्शन दे रहा हूँ मैं है सब लोग ट्राइ करेंगे ओप्शन ए इस उ आ ए टू एल बाई थ्री ओप्शन बी इस थ्री एल बाई थ्री ओप्शन सी इस एल बाई थ्री ओप्शन डी इस फोर एल बाई थ्री पॉस करेंगे वीडियो को ट्राइ करेंगे क्वेश्चन को पॉस करेंगे वीडियो को ट्राइ करेंगे क्वेश्चन को क्या मेरी बात आपको समझ में आगे ही सेंटर आफ मास्ट देखो कहीं भी ओप्शन एल बाई टू है भी नहीं गदे चल भ चलो मैं solve करने जा रहा हूँ, एक, दो, तीन, चार, पांच, पॉस्ट करके खुद से बच्चों, प्लीज क्वेश्चन solve किया करो, तभी तुम्हारा concept बनेगा, अगर सीधा answer देखोगे तो मज़ा नहीं आएगा, अब मैं क्या करूँगा, मैं इसमें एक छूटा सा element काटू� फूलों का तारों का सबका कहना है, DM मास सबको लेना है, एक्स डिस्टेंस में जाके छोटा सा DX और छोटा सा DM मैंने काट लिया, वाइट्स तो मैंने बोला x यह क्या हुआ मेरे हाथ को xcom is equal to integration of xdm divided by integration of dm अब dm dm dm जो और क्या है माना है पर देखो यहाँ mass नहीं दिया कुछ चीज़ों को ध्यान दिया करो, यहाँ पे मास दिया नहीं है, कि इस पूरे का मास कितना है, तो मैंने integration DM छोड़ दिया, जब मास दिया हो तो capital M लिख देना, जब नहीं दिया तो भाईया DM ही लेना पड़ेगा integration, चलो भाई care anyways, आगे बढ़ते हैं integration X DM, अब अगली दो� तो इनको सही करना पड़ेगा, DM को हटाना पड़ेगा, तो हम पिरसे बोलेंगे, लैमडा क्या है? मास पर यूनिट लेंथ, इसका मास हमको गिवेन, नहीं है, कोई बात नहीं, कैप्टल M by कैप्टल, ऐसी माल लिया थोड़े दिर के लिए, अच्छा, इस चटे से एलिमें इसका mass dm इसकी length dx इसके लिए तुम lambda क्या लिख सकते हो dm बराबर dx यहाँ से dm की value बोलो dm is equal to lambda dx अब शायद तुमको यह चीज़ भी feel हो गई होगी अब तक हुई है जान में जान आई है सांस ले पाओगे कर पाओगे सवाल dm is equal to lambda dx फील फील फील लाओ इसका नोट करो कॉपी लेके बैठो DM is equals to लामडा DX जब जब लीनियर होगा जब जब लीनियर होगा जब जब लीनियर होगा बच्चो DM is equals to लामडा तो मरब खटड़ से लिखना है यहाँ पे खटड़ से लिखना है बोल भाई लैंडा कांशेंट की वेरीबिल कांशेंट की वेरीबिल लेंडा कांशेंट वेरीबिल variable sir variable variable constant नहीं है variable है किस पे dependent कर रहा x पे बाहर नहीं आ सकता lambda value रखनी पड़ेगी आओ value रखते हैं x lambda की जगा 2x dx नीचे 2x dx clear है अब क्या करें? 2 से 2 कट जाएगा, x से x कट जाएगा, d x से d x कट जाएगा, आहाट, पागले, ऐसा तो रहे ना कटेगा integration के अंदर, कुछ नहीं कटेगा, कहां से कहां integrate करना है? 0 से l, 0 से l तक, 0 से l तक, सारे dm dm dm include जाएगे, 0 से l तक, 0 से l तक, पूरा मास 0 से l, 0 से l, 2 constant 2 constant है, बाहर आ जाएगा, और 2 से 2 मर जाएगा, x बाहर नहीं आया, इसलिए नहीं कट रहा, अगर x भी बाहर आता तो, cancel out हो जाता, खेल, यहाँ पर 2x है, x square df का integration हो जाएगा, x cube by 3, कहां से कहां, 0 से l, और नीचे क्या है मेरे पास, x है, तो x का integration हो जाएगा, x square by 2, कहां से क L square by 2, so you can write L square by 2, तो यह क्या हो जाएगा, L L मर जाएगा, तो 2 L by 3, कोई option है क्या, पहला option अपने पास, 2 L by 3, so option is correct, L by 2 नहीं आया, तो अगर पहला वाला question किया होगा चेसे, formula क्या रहेगा, center of mass का integral x dm, divided by integral dm, यह integral dm क्यों लिखा, क्योंकि यह mass m नहीं दिया था प्यारे बच्चो, clear हो गया, बहुत बढ़िया भाई, तो अब ऐसे सवाल आप कर लेंगे, मुझे पूरी उमीद है आपसे, तो ये था center of mass का determination for a uniform rod and a non-uniform rod, एक बार हमने uniform ले लिया, एक बार हमने non-uniform rod भी ले लिया, जिसमें mass बराबर से distributed, देखो, अगर जे ही point of view से पूछा तो तुमको भी समझ में नॉन यूनिफॉर्म वाला ठीक है तो अगर आएगा कभी तो नॉन यूनिफॉर्म ये चीजे तुमको कहाँ पे हेल्प करेंगे बच्चों जब आप एलेक्ट्रो स्टाटिक्स पढ़ोगे क्लास्टर्यूत्वे तो वहाँ पे ये एंटिग्रेशन बहुत हेल्प करेगी बहुत ज्यादा विश्वास मानो एलेक्ट्रिक फील्ड वगरा निकालने के लिए बहुत हेल्प करेगी ये सारी चीजे सब कंसेप्ट हैं धीमे धीमे बनते जाते चलो आगे बढ़ते आज़ो आगे बढ़ जाओ त वर्मा सर की semi circular wire यह उन्होंने अपनी किताब में यूज़ किया है center of mass of a semi circular wire अब wire बोलने का मतलब ही है उनका कि one dimensional चलना है one dimensional मतलब mass per unit length मतलब lambda की बात होनी है जब हम बना के दिखाता हूँ ये रहा semi circular wire ये रहा हमें एक semi circular wire दिया भाई साब और हमसे बताया कि इसका जो radius है वो है capital R मान लीजिये, मान लिया और हमसे बताया कि इसका जो मास है, वो है capital M ये भी हमने मान लिया हमसे का इसका center of mass बताये wire है, wire, ठीक है? wire, तार है, तार तार होता है one dimensional हमारे लिए, है न? चीटी के लिए होता है three dimensional हमारे तार पे आके एक चुडिया बैटी है, उसके लिए two dimensional we lose dimension as our size grows string theory बिलनाय सपोर्ट करते हैं वापस आते हैं तो हमें इस ring का आप ring भी बोल सकते हो semi-circular wire या semi-circular ring ring word भी use होगा इसके लिए किताबों में इस ring का center of mass कहाँ है तो पहली बात तो सबको clear है center of mass इस line पर lie करेगा कोई बहुत गदा तो नहीं है कैसे कोई मानेगा हाँ है गदा है नहीं अच्छा भाई, तो सबको इतना तो clear है कि lie तो इसी line पे करेगा, क्योंकि इसके about body symmetric है, है न, confusion होगी height की, why, क्योंकि देखो, यहां से देखो, यार lie तो इसी पे करेगा, इसपे तो किसी को doubt नहीं है, ना लेट एस कंसिडर दिस आफ पूरी जो हम तो कहीं भी बात सकते हैं ओर जैसे अपने हाथ में अपने जेब में मैंने आमान ली है तो इसी लाइन पर करने वाला सेंटर मास्क कि इसके दोमां तरफ एकदम बराबर चला है दिक्कत यह भी ऊपर होगा कि नीचे तो देखो यहां पर है कुछ मांस देखो इतनी हाइट पर कुछ मांस देखो इतनी हाइट पर यूच मांस देखो इतनी हाइट पर कुछ मांस इतनी हाइट पर यूच मांस देखो यहां पर कुछ मांस देखो यहां पर कुछ मांस देखो चाहिए समझ चाहिए शाद बदल बदल चोटा सा लिए लेने वाला हूं क्योंकि उसी से काम बनने वाला है कि छोटा सा लिए लिया है ने डीएम और डीएम को मैंने लिया यहां से एट एंग्ल थीटा शायद यह वर्क ने जी में पह��े बता चुका हूं अगर आप वीडियो मेरा रेगिलर ली देखते हैं तो मैंने थीटा एंग्ल पर जाकर एक छोटा सा element लिया, dm, let this angle be what? d theta. यह अला angle d theta, इसको मैं बाहर बनाऊँगा, definitely बनाऊँगा, यह. मैंने यह element लिया है, और यह angle मैं बोल रहा हूँ, d theta, और यह element है dm mass, यह वाला छोटा सा. ठीक है? कितना angle पर, theta angle पर आके. हमें ये पता लगाना है सिर्फ बच्चों, Y COM, X COM तो clear है न, X कहां पे हैं यहीं पे हैं, Y में देखना है कहां जाना है, ठीक है, अच्छा बहुत बढ़िया, बच्चों ये radius R होगा, बहुत बढ़िया, तो बच्चों ये distance कितना हो गया, ये R, ये theta, ये R cos theta और ये distance R sin theta, वैसे वैसे r sin theta की value, मतलब अलग अलग dm की height अलग अलग है, are you getting what I am saying, हमें करना क्या हमें निकालना है ycom, जिसका formula क्या होगा, integral ydm, divide by integral dm, यह हमें करना है, अब जो आपने dm लिया है न, यह लाए dm, यह dm, तो dm का जो y है वो यही तो है, यही तो y है, y distance of dm, from origin, यही तो है, यह जो y है, यह vary हो रहा है, देखो न, r sign theta के इसाब से, अरे dm यहां लोगे की नहीं, dm यहां लोगे की नहीं, जब dm यहां पे लोगे, तो y की value r के बराबर हो जाएगी, जब dm यहां पे लोगे, तब भी y की value r के बराबर होगी, otherwise y की इसे सब वाई की वैलू चेंज होगी, क्लियर है? हमें करना क्या है? हम चोटे-चोटे DM काटेंगे, सबका वाई निकालेंगे, और इंटिग्रेट मारेंगे. अच्छा, अब प्रॉब्लम क्या है? प्रॉब्लम यह है कि एक वाई है, एक DM है. बड़ी दु� दोनों का variable same होना चाहिए तो भाईया ये कैसी body है one dimensional बच्चों जब भी one dimensional body होगी हमें मिलेगा linear linear मतलब one dimensional mass density जब भी one dimensional body हो देखो ये one dimensional है कि two dimensional है तार है यार उसकी कोई breath नहीं है कोई उसकी depth नहीं है कि इसलिए विशेष तार सीधा होता है तो लेंडा इस इक्वल्स टू मास पर यूनिट लेंथ दिक्कत क्या इसकी लेंथ कितनी है कंफ्यूजन पाइज बाचीज की लेंथ कितनी है मास्तुम है तो बच्चों अगर पूरा सर्किल होता तो लेंथ होती है 2πr, आधा सर के लिए तो लेंथ हो जाएगी पायार, क्या बात है, m बटे पायार, बहुत से ही, अब मैं आता हूँ dm element पे, तो यह lambda is equal to dm, divide by क्या लिखोगे, बोलो, डी एक्स है ना इसकी लेंथ को हम अगर क्या बोलें इस प्यारी सी लेंथ को अगर हम डी एक्स बोलें और इसका मास कितना है डी एम इस पोशिशन का तो हमने बोला डी एम बटे डी एक्स है ना यह आपको मैंने पहले बता दिया लैमडा डी एम इस इक्वल्स टू लैमडा भाई ठीक है सर यह तो हम कर लेंगे लैमडा क्या है मास पर यूनिट लेंड यह तो हम कर लेंगे सर ठीक है ठ ओई ओई, अगर ये आर है बच्चों, ये एंगल ठीता है, तो ये लेंड कितनी होती है? आर डी थीता, पढ़ाई की नहीं? अगर ये डी थीता, ये आर, तो ये लेंड कितनी होगी? आर डी थीता, मतलब डी एक्स की जगह में ले सकते हैं, आर डी थीता, तो हमारे डी एक हो जाएगा, इस इक्वस्ट लैमडा आर डी थीता, ओके, अमाई क्लियर ओन दिस? 100% भाई साब इसका mass dm निकालना था तो हमने बोला dm is equal to lambda dx इसकी length dx फिर हमने कहा dx भी हमको नहीं पता ये length हमको नहीं पता तो हमने कहा ये भाईया ये क्या है एक arc वगेरा है arc वगेरा की कहानी हमने पड़ी है कि ये जो length होती है arc की वो होती है r और d theta तो हमने लिखा lambda r d theta मैं जितना basic हो सकता हूँ basic से बता रहा हूँ आपको clear है चलो values रखते हैं y c o m is equal to integration of y, dn, अब बचों ये y जो है, ये भी तो vary हो रहा है, y की value कितनी है, r sin theta तो मैंने y की जगह लिख दिया, r sin theta, clear है न, ये r, तो ये height कितनी होगी, r sin theta, change होता जाएगा theta के साथ साथ, और डीम की value कितनी आ रही है, lambda r d theta, divided by integration of dm, integration of dm बीचा के मैं एन लिख दूँ क्या, कोई दिक्कत तो नहीं है न, येस और नूँ? येस डिम डिम जोड़ो क्या आएगा? कप्टल म, इसका पूरे का मास, एंड दे रखा है इसके बाद क्वेश्चन हल्वा हो गया इसके बाद इंटेग्रेशन हो गया बचा है इसको तो मैं पहले ही आपको बता तो यही आएगा, क्या आएगा, 2R बटे पाई, यहां से कितनी उपरे सेंटर ओफ मास, पहले से, पहले से लिख लो, 2R बटे पाई, पर कहानी समझ नहीं थी, चलो, अब integration कहां से कहां करना है, अगर मैं थीटा की वैलू को, 0 कर दूँ तो ये DM include हो जाएगा थीटा की value 90 होगी जब तब ये DM भी आ जाएगा और थीटा की value जब 180 हो जाएगी तो ये DM भी include हो जाएगा मतलब थीटा को 0 से लेके पाई तक जाना है पाई मतलब 180 कि पाई बाई 2 90 में तो काम नहीं बन रहा ना नहीं सारे DM लेना है ये DM ये DM ये DM ये DM थीटा को vary करा दो सारे DM अपने आप बहुत बढ़िया चलो आगे बढ़ते हैं ये clear हो गई बाद बहुत बढ़िया बाई बहुत मज़ा या अब हम क्या करेंगे यहाँ से constant क्या क्या है r constant r constant lambda constant इनको बाहर ले लो तो r square lambda ये बाहर ले लो अंदर बचा में है पास, sin theta d theta, divided by mass m, integration 0 से pi, बहुत बढ़िया, lambda की value कितनी है, lambda is mass per unit length, इसकी length कितनी थी हमने बताया था, pi r, तो lambda की जगह M divided by pi R M से M मर गया एक R से एक R भी मर गया sin theta का integration बोलेंगे बच्चे sin theta का integration होता है cos theta sorry, minus cos theta कहां से कहां जाना है हमको 0 से लेके pi तक divided by क्या बचा R बटे pi बच्चा रहा है मेरे पास क्या बच्चा रहा है अर बटे pi minus cos theta का integration 0 से pi तो यहाँ इसको integrate करो r बटे पाई minus cos पाई minus minus plus हो जाएगा cos 0 yes or no? minus already गा रहा है minus cos पाई minus minus plus cos पाई is minus 1 minus 1 minus 1 plus 1 cos 0 is 1 1 1 2 तो it comes out to be what? 2 r बटे पाई cos 180 is minus 1 minus 1 1 इसकी value minus 1 होगी कि नहीं? minus 1 minus plus 1 plus 1 2 2 r बटे पाई So yes, YCOM comes out to be, YCOM comes out to be 2R बटे पाई, and this is the whole concept, I hope this is clear to you, I have told this derivation in work energy पाहर, when we were discussing potential energy of such a thing, इसकी मैंने chain रखी थी, इसके ऊपर potential energy वगेरा निकाली थी, इसके ऊपर chain रखकर, तब भी मैंने बताया था, कि इसका center of mass होता है 2R बटे पाई, आज proof किया, clear, बड़िया एकदम, पक्क, बचे पाई हाइट पे होता है सेमी सर्कुलर रिंग का सेंटर ओफ मास यहां से कितनी हाइट पे टू आर बचे पाई और डेफिनेटली इस लाइन पे होगा होगा तो सेंटर में तो यहां कहीं होगा इसका सेंटर ओफ मास टू आर बचे पाई पे चली अब नेक्स्ट कोशिशन लेते हैं आपा आन रिंग भी हो गया, रोड भी हो गया, वन डामेशनल की कानी खतम हो गई, अब अब चलते हैं टू डामेशन पर टू डामेशन पे, ठीक है, बात करते हैं, प्लेट वगेरा की, प्लेट, घर में होती हैं, प्लेट, तो बात करते हैं, प्लेट वगेरा की, ठीक है न, चल बाई, थोड़ा सा मुझे पता है, लेक्चर बोरिंग है, क्योंकि इसमें एक सिस्टेमाटिक तरीका है, उसको यह फ� कितना पढ़ा दिया center of mass of semi-circular disc semi-circular disc disc आ गया disc disc क्या होता है plate इसको कहें lamina भी बोलते हैं इस style से है ना two dimensional body क्या दे रखा है mass M दे रखा है radius R दे रखा है आओ देखो ऐसे पिचका पिचका पिचका अब सही है? यह हमारे पास ठीक है, Semi-Circulated Disc है, यह Disc है मेरे बाई, Disc का मतलब सर? टी टी टी टी, टी टी टी, टी टी टी टी टी, वहाँ वाला Disc नहीं, Is the time to Disco, Disc ��तलब? कई लोग feel हुए आ गया, disc है sir, नाच होगा तो आज नाच, disc मतलब two dimensional plate जैसी body, अब हम इसका center of mass निकालना है, देखो तुम लोग बहुत intelligent हो, तुम समझ गए हो, इस line पे lie करेगा, नहीं समझो अपने बगलाले को समझा देना इतना और अब बात हो रह गई है कि कितनी उपर या कितनी नीचे होगा तो height होगी 4R बटे 3Pi पहले तो note मारोगे इसको Y center of mass निकालना है X निकालने की जरूरत नहीं X आप समझ गए हो यहीं पे आएगा Y निकालना है पहले note कर लो क्यों note करा रहे हो सर center of mass निकालो 4R बटे और उसका क्या था बटे ठीक है बहुत बढ़ी है अब कैसे करें इसका यह काम करते हैं अब कि अब उनको बताएं तो निकालना नहीं है अब उनको भाई से मतलब है कितना ऊपर कितना नीचे से मतलब है बहुत जाके क्योडी रे चीची कितना गण्डा बना और बड़ा बना आते हैं कैसा लग रहा है आप लोग को कई दिन से मैं नहीं था आपने मज़े किये सिंदगी में बोलो इतने दिन से आपने क्या किया क्या किया यहां से मालों आर डिस्टेंस पर जाके एक पतली सी रिंग काट लें रिंग, रिंग, डिस्क नहीं एक रिंग काट लें हम R डिस्टेंस उपर गए और R डिस्टेंस उपर जाके हमने एक रिंग काट लें एक चक, कचक यहाँ से R डिस्टेंस पर जाके हमने एक पतली सी रिंग काटी पतली किती पतली? बहुत पतली D R डिस्टेंस वाली रिंग इस रिंग को मैं अभी तक DM मास सच में DM था छोटा सा ना सच में DM ले रहे थे अब ये टू डाइमिशनल ओब्जेक्ट है पूरे में मास भरा हुआ है पूरे में अब की बार जो हमारी छोटा सा एलिमेंटल मास है वो भी इतने आप में एक रिंग है ये करना क्या होगा पतले पतले पतले रिंग लेंगे, integrate कर देंगे, DM DM DM DM DM DM DM DM DM, वाई लगातार change हो रहा है, DM DM DM, यहां से start होगी रिंग, पहली रिंग, दूसरी रिंग, तीसी रिंग, अगर सारी रिंग को लेकर integrate कर देंगे, तो सारे mass include हो जाएंगे, center of mass मिल जाएगा, क्या बात है, तो इसमें elemental ring को बाहर निका कि लोग बहुत सुन्दर है शेकर या तालिश में करो यह नहीं रिंग बनाई ठीक है इस रिंग का रेडियस कितना है और इसकी विड्ड कितनी है डी आफ ठीक है इसका मास्क कितना है डीएम बोल लगा है ठीक है तो यह तो मैंने इस एलीमेंट इस element को मैंने बाहर ले लिया अब बाई सब हमें पता है कि हमें इसमें YCOM ही निकालना है X coordinate तो निकालना नहीं पता है तो है इसी पे आएगा कहीं उपर की तरफ आएगा कहीं इसके उपर X में तो आपको पता है बीच में आएगा क्योंकि कि disc में दोनों तरफ mass बराबर से divided है सो मैं बता देता हूँ answer आने वाला है 4R बटे 3Pi पहले तो इसको note कल लो मैं हर बार कह रहा हूँ answer को आप पहले से note रखो फायदा होगा ring में क्या था? 2R बटे Pi disc में क्या है? 4R बटे 3Pi यहाँ से ठीक है अब आपको बता निकालना कैसे YCOM is equal to integral YD अपन एंटिग्रेशन डियम, एक्स यूम की कोई दिक्कत नहीं, आपको पता है एक्स कॉर्डिनेट तो यही है, एक्स में कोई दिक्कत नहीं रहेगा इसी लाइन पे, वाई चेक करना है सिर्फ, अच्छा, आप क्या करें, क्या करें, अब कि मेरे जो खास बात है इसका center of mass बच्चो कहाँ पे होगा इसका center of mass यहाँ पे होगा कितनी उपर 2R बटे पाई आपने देखा था ring का center of mass 2R बटे पाई मतलब जो यह DM element है उसके लिए जो wide डिस्टेंस होगा दैट विल टू आर बटे पाई नहीं समझे अभी तक हम क्या करते इसे मानों यहां पर मेरे पास बीएंट होता था और डिएम यहां से कितना ऊपर होता था मान लो वाइड इस तरह उपर होता था तो हम बोलते थे इंटीग्रेशन डीएम वाइड अभी दिक्कत क्या है कि डिएम अपने आप में एक डिस्ट्रिब्यूटेड मास ह तो डीएम का सेंडर ओफ बास यहाँ पर है, तो डीएम के लिए वाइड डिस्टेंस यह वाला होगा न, कि यह वाला लोग है पूरा, सोच के बोलो, क्या सारा डीएम इतने उपर है, नहीं, कुछ डीएम यहाँ पर भी है, कुछ डीएम यहाँ पर भी है, कुछ डीएम यह लेको यहाँ पे कुछ dm यहाँ पे कुछ dm यहाँ पे कुछ dm यहाँ पे पूरा मिला की dm बना है मतलब dm का भी center of mass देखना पड़ेगा और क्योंकि यह semi circular ring है तो इसका center of mass 2r बटे पाई which is the value of y for dm y for dm clear है dm के इस बार y की value क्या use करेंगे y की value हम यह r नहीं use कर सकते r height उपर नहीं है जो इसका center of mass है वो कितनी height उपर है 2r बटे पाई clear है इतनी बात क्लियर है क्योंकि DM इस बारे अपने आपने एक object है अच्छा दूसरा problem बच्चों क्या होता है Y तो clear हो गया हम क्या लिख लेंगे Y की जगह हम लिख लेंगे 2R बटे पाई DM upon integration DM कहां से कहां जाना है हमको हमें Y की value कहां से कहां ले जानी है 0 से लेके R तक पहुचना है एक ring यहां ले लेंगे दियेंगे dm dm dm dm dm सारे ring मिल जाएंगी तो dm dm dm सब integrate हो जाएंगी दियेंगे y1 dm y2 dm y3 करते करते और लीचे dm plus dm plus dm integration dm यानि यह में जाना है r को vary कराना है 0 वेलो जो हम ले रहे थे यह आर की सबसे पहले वेलो जी रोफ फिर बढ़ते बढ़ते बढ़ते बढ़ते ठीक है अब डिएम को एक्सप्रेस करना है कुछ आर के टर्म्स में दूसरी प्रॉब्लम यह थी कि डिएम को इसके टर्म्स में लेकर अब चुड़े टू डामेशनल ऑब्जेक्ट है कैसा ऑब्जेक्ट है टू डामेशनल टू डामेशनल के लिए हमारे पास आता है सरफेज मास डेंसिटी क्या आता है सरफेज मास डेंसिटी जिसको हम मास पर यूनिट एरिया भी बोलते हैं लिवियर में क्या था मास पर यूनिट लेंथ दो डामेशनल में क्या हो जाएगा? वन्डी में मास पर यूनिट लेंथ, लैमडा दो डामेशनल में मास पर यूनिट एरिया इसका सिम्बल है बच्चों, सिग्मा सिग्मा सिग्मा, इसका सिम्बल है सिग्मा वाट इस सिग्मा? मास पर यूनिट एरिया है तो हम सिग्मा की वैल्यूज इसके लिए निकाल सकते हैं बिल्कुल सिग्मा इएक्वल्स टू मास एम और इसका एरिया कितना होगा इसका बच्चों पूरी कंप्लीट होती तो पायार स्क्वेयर आदि है तो पायार स्क्वेयर डिवाइड बाइट टू तेरे टू पर आ गया पूरी कंप्लीट डिस्क होती तो एरिया होता पायार स्क्वेयर आदि है तो पायार स्क्वेयर सिग्मा समझ में आ रहा है क्या है जैसे वन डामेशनल में मास्क पर यूनिट लेन था तो टू डामेशनल में मास्क पर यूनिट एरिया क्योंकि यह आ गया थी डामेशनल पर mass पर unit volume उसको हम बोलते हैं row clear है? sigma ले लिया mass पर unit area अब हमें dm को हटाना है कहा रहा dm? यह रहा मेरा dm mass अब हम क्या कर सकते हैं? क्या कर सकते हैं? क्या कर सकते हैं? हम यह लिख सकते हैं sigma is equals to dm upon da हाँ ना बोलो? लिख सकते हैं कि नहीं? dm upon इसका area da sigma क्या है? mass पर unit area sigma की जो value पूरे disk के लिए है sigma की वही value इस पतली सी ring के लिए होगा क्योंकि mass हर तरफ बराबर से बटा है ठीक है यहाँ से dm की value होगी sigma dA धियां से दिखना dm की value क्या आ रही sigma dA सर इतना आप क्यों detail बता रहे हो समझो यार sigma dA समझो पहले याद है DM की एक value आई थी lambda dx बस अब feel आ जाना चाहिए तुमको DM की एक value थी lambda dx अगली value है sigma da जब volume आएगा तो त्या हो जाएगा volume के लिए symbol है row, row dv जब length थी तो lambda dx, जब area हुआ तो sigma da, जब volume आएगा तो row dv, सीधा dm निकालने का सीधा तरीका, वरना sigma is equal to mass पर area, element का mass dm, element का area da, तो dm is equal to sigma da भी हम लिख सकते हैं, जैसे dm is equal to lambda dx, वैसे dm is equal to sigma da, ठीक है, clear है, यहाँ से भी दिख सकते हूँ, यहाँ से भी, dm is equal to sigma da, इस तरह से DM को change कर लेंगे अब DA क्या है इसका area यार इसका area क्या है इसका area क्या होगा इस element का area क्या इसको मैं उठा कर सीधा कर देता हूँ इसको उठा कर सीधा कर देता हूँ A S कर सकते हैं सीधा इसकी width कितनी है बच्चों DR इसकी length कितनी हो जाएगी बच्चों PR problem, no, भाई पूरा circle होता है, तो 2 pi r, इसको मैंने सीधा किया, तो ये पूरा circumference, इसकी length कितनी है, pi r, अब इसका area बताओ, ये rectangle हो गया, rectangle का area, length, into breadth, ये dm का, इसका ही तो area चाहिए था, area कितना हो जाएगा, length into breadth, so we can write sigma की जगा, sigma, DA की जगा, length, length कितनी है, pi r, breadth कितनी है, dr, this is the value of d, clear, फिर जल्दी से बताता हूँ, दिन के विले जब भी कभी लिखनी हो, तो क्या लिखोगे, या तो lambda dx लिखोगे, या तो sigma DA लिखोगे, अब मैंने बोला, DA कैसे निकालना, इसको सीधा कर दिया, length हो गई, pi r, breadth हो गई, dr, तो DA की जगा मैंने लिखा, length into breadth, यही तो आ रहा है, सिग्मा पाई आर, डी आर, क्लियर है, अच्छा, तो आइए, रिप्लेस करते हैं यहाँ पे, integration of 2R बटे पाई और डीम की जगह, सिग्मा पाई आर, डी आर, कहां से कहां, जीरो से आर, नीचे integration of, डीम को मैं हम लिख दू, डीम, डीम, जो रोगे क्या आएगा, मास, हम आएगा, बहुत पढ़िया, इतनी बातें clear हो गई, यहाँ से देखो पाई से पाई मर जाएगा, constant 2 और sigma बाहर आ जाएगा, तो 2 और sigma बाहर आ गया, अंदर बचा r, r, r square dr, integration हो जाएगा, r, q, r, r, r, r, r, r, r, r, r, r, r, r, r, r, r, r, r, r, r, r, r, r, r, r, r, r, r, r, r, r, r, r, r, r, r, r, r, r, r, r, r, r, r, r3, yes or no? हाई या ना? r2 dr, integration हो जाएगा r3 कहां से कहां? 0 से r, नीचे बच रहा है mass m ok, so it will be what? 2 into sigma sigma की value? total mass कितना है? m area कितना है? pi r2 by 2 तो ये sigma की value? ठीक है इसमें r और r की value रखो कितना आएगा r3-0 by 3 और नीचे m mcm मर जाएगा क्या बचेगा 2 2's of 4 एक r cube से r square मर गया एक r बचेगा 4 r बटे 3 pi तो answer तो अपना यही आना था load तो थाई नहीं लोड नहीं लेना है, जिन्दगी में टेंशन नहीं लेना है, अपने को आंसर पता है क्या आना है, 4R by 3Pi, आंसर आ गया 4R by 3Pi, पर बात यह थी कि फील होना चाहिए, क्यों होना चाहिए, अभी बताता हूँ अगला कॉशिन देकर, अगला कॉशिन देकर मैं आपको बताता ह उसको समझना होगा, clear है यहाँ तक, कितना आया, 4R बटे 3π, तो आपने देखा 2 dimensional object के लिए कोई नई चीज़ आ गई, sigma, which is mass per unit area, और अब dm के दो formula हैं, या तो lambda times of dx लिख लो, या dm is equal to sigma times of dA लिख लो, sigma क्या है, total mass upon total area, lambda क्या है, total mass upon total length, तो यार इसको देखो और करते हैं इसमें यह याद रखना कि जो आपने elemental चीज लिए वो एक ring है और ring के लिए y की value आपको क्या लेनी पड़ेगी 2r by pi क्योंकि उसका खुद का भी center of mass है तो आइए देख लेते हैं वो next question तो अगले question में हमसे बोला कि find center of mass of the system shown शेरो भाई, अगर पिछला question तुमने ढंग से किया था, मेरे साथ सीखा था, तब ही यह वाला आप figure solve कर पाओगे, otherwise नहीं कर पाओगे, और रटने को आप रट सकते हो, मना नहीं कर रहा, पर यह चीज़ें जो आप concept पर आएगी, मालों मैं ऐसी एक figure दे दी, ठीक है, हमसे बो यहाँ कोई material नहीं है, ठीक है? Annular ring type का, जैसा हम पढ़ते हैं maths में, Annular ring, यहाँ तक radius R1, इस वाले का radius R2, और definitely R2 is greater than R1, हमसे पूछा इसका center of mass, तो पहली logic बढ़ाएगा, बहुत ही clear है कि center of mass इस line पर lie करेगा इसमें तो कोई डाउब नहीं है दूसरी बात यह है कि इस बार इधर कोई mass है नहीं मतलब center of mass इस तरफ तो नहीं होगा मतलब इधर कोई mass नहीं है कहीं ना कहीं कहानी change होगी ऐस करें क्या करें पूरी कहानी जल्दी से लगाएंगे हम इसके अंदर क्या करेंगे यहां पर आके एक पतली सी elemental ring काट लेंगे elemental ring को मैं बाहर बना रहा हूँ यह यह यू यू यह मैंने एलेमेंटल ring काटी राडियस की थिकनेस कितनी डी आर इसका मास कितना डी एम मुझे निकालना क्या है वाइसी ओएम तो मैंने बोला वाइसी ओएम इजी को ट्रिक्ट वाइडी एम अपन इंटेग्रल डीएम अब फिर तो अच्छाल में ये आर उपर ना मान के मैं मानूँगा जो ये DM मास है वो कितनी उपर है मैं मानूँगा ये 2 आर बटे पाई उपर है मतलब DM मास का जो Y distance है वो आर उपर है नहीं मानूगा मैं क्योंकि उसका center of mass कहाँ है 2R बटे पाई तो YCOM मैं लिखूँगा integration 2R बटे पाई DM नीचे integration DM DM DM जोड़के हो जाएगा M अब बात है कहां से कहां integrate करना है मास कहा से कहा है, क्या मास r is equal to 0 पे है, नहीं है, मास start होगा r is equal to r1 पे, यहाँ पे, जहाँ पे r की value r1 है, और कहा तक जाएगा, जहाँ r is equal to r2, सिव इतने में ही तो मास भरा है, तो integration r1 से r2 तक, rest everything will be same, मास पर unit area हम sigma निकाल लेंगे, sigma will be mass upon area, पाई, यादेस का एरिया कैसे निकालते हैं हम? R2 square minus R1 square ऐसे निकालते हैं ना और क्योंकि आधी ring है तो divide by 2 तो ये 2 ये तो annular ring का आपको एरिया निकालना आता है ना पाई R square minus बाहर वाले का external radius square minus internal radius square, क्योंकि आधी ring है तो divide by 2, यह हो गया sigma, फिर dm निकालना है, तो बच्चों dm क्या होता है, sigma times of dA, अब dA कैसे निकलेगा, याद आगया, इसको हम सीधा कर देंगे, सीधा कर देंगे, तो यह हो गया πाई आर, सीधा करने पर, और यह कितना होगा, dR, यहां से इसका area कितना होगा, पाई आर times of dR, यहां से dM आपको मिल जाएगा, sigma, पाई आर, dR, आप पुट कर दोगे, integration 2R बटे पाए, sigma, pi, R, D, R कुछ छुटा तो नहीं, कुछ छुटा तो नहीं, divided by m, 0 से r, बोलो clear है, dm निकालना तरीका sigma d x, सीधा, जैसे sigma d x, d x की जगा, इसका area, खिच दिया, pi r dr, clear, यहाँ जाते हैं, इसकी value रखते हैं, pi से pi मर गया, 2 और sigma constant बाहर आ गया, 2 sigma constant बाहर, अंदर बचा r r r, square dr का integration, r cube by 3 divided by इस पूरे का मास माना है हमने yam चलो yam लिख लिया अब sigma की value प्रुख देते हैं 2 sigma की value है 2 times of m divided by pi r2 square minus r1 square square, मैं थोड़े देख लें, इसको यहां से हटा लो, इतना काम हो गया, sigma की value रख दी मैंने, sigma की value होगी, इसका mass m, divided by area, pi r2 square minus r2 square, divided by 2, ठीक, divided by यह m, अब, यहां यहाँ पहले R2 रखेंगे, R2 का Q by 3 minus R1 का Q by 3, यही होगा, बहुत बढ़िया, M से M मर जाएगा, 2 to the 4, और क्या हो सकता है, 2 to the 4, बाए, पाए, और 3 बाहर, 3 पाए, उपर बच रहा, R2 square minus R1 square, R2 cube, माइनस आरवन क्यूब और नीचे बच रहा आर टू स्क्वेयर माइनस आरवन स्क्वेयर तो यार यह क्वेश्चन तभी सॉल्व हो पाता अगर आपको यह पूरा कंसेप्ट मतलब कैसे निकाला था पिछला वाला वह कंसेप्ट अगर क्लियर होता तभी आप इसको इं� तभी आपको समझ में आता कि यहाँ पे element जो लेना है वो ring लेनी है उस ring के लिए area वगेरा निकालना है उसका center of mass 2r बटे पाई जो y की value है dm के लिए वो 2r बटे पाई और integration r1 से r2 किया क्योंकि mass सिर्फ r1 से r2 था इसी सीरीज का एक कोशिन मैं आपको दे रहा हूँ जो आप खुद से ट्राइ करोगे और उसके बाद मैं आपको आगे बढ़ा दूँगा नेक्स्ट टॉपिक बढ़ा दूँगा एक कोशिन मैं आपको दे रहा हूँ इसी सीरीज का वो भी तबी होगा जब आप सेम कंसिप सही होगा, then only you can solve that तो उसको comment करना है next question के answer को next question के answer जो सही comment करेगा उसको मिलेगा center of mask के अगले video में salute next next video में salute मिलेगा तो देखते हैं कौन सही करता है, question यह है कि यह एक disk है ok यहाँ पे एक disk है और इस disk की जो mass density है sigma, that is equals to 2 times of R, मतलब mass density है इसकी, वो R के साथ change हो रही है, यहाँ पे mass बहुत कम है, जैसे इसे बाहर की तरफ जा रहे है, mass जादा है, मतलब यहाँ पे mass जा रहे है, यहाँ मास बहुत जादा है, ठीक है, इस तरफ मास बहुत जादा है, और अंदर आते वक्त मास कम हो जाएगा, जैसे ऐसे हम अंदर आ रहे हैं, जैसे ऐसे मास कम हो गया, ठीक है, sigma is equal to 2r, जैसे ऐसे r की value बढ़, बढ़ रही है, mass पर unit area बढ़ रहा है, तो आपको इस system का center of mass find करना है, कहानी वही चलेगी, try करें और इसको comment करें, clear है, चल. अब चलते हैं बढ़ next topic पे, जो है center of mass of a triangular lamina, मतलब हमें पस triangular plate हो, या triangle का center of mass, center of mass of triangular lamina, triangular lamina. आए इसके भी बात कर लेते हैं triangular lamina की ये मान लो मेरे पास एक triangular lamina है ठीक है मान लो इसके base का जो radius है वो r है और इस triangular lamina की जो height है वो h है capital h है ठीक है हमें इसका center of mass find करना है कहाँ पे है ठीक है न अच्छा हम ये मान लेते हैं ये isosceles है ठीक है ये given है this is isosceles दोनों sides की बराबर है अगर दोनों साइड बराबर हैं बच्चों तो center of mass इस line पर lie करेगा कहीं ठीक है यहां से कितनी उपर जाना यही सवाल होगा ठीक है, तो answer is h by 3 उपर, center of mass, अब यह हम निकालेंगे कैसे आया, तो बच्चों इसके लिए हमें ycm निकालना है, x तो हम फिर से clear होगा है, हमें तो y में देखना है, तो ycm is integral ydm upon integral dm, और हम माल लेते हैं इसका पूरा mass कितना है, m है, अच्छा, क्या किया जाये, क्या किया जाये, हम यहाँ पे आके, या कहीं पे भी, एक पतली से strip काट लेते हैं, थोड़ा उपर काट, काटता हूं यहां पर हमने पतली सिस्ट्रिप काट ली सिस्ट्रिप का मास डेम हो गया हमने यहां से वाइड इस प्रेसिटेंस ऊपर आके एक d y थिकनेस की स्ट्रिप काटी जो कि d m है ऐसे d m d m d m d m d m देखो न यहां d m लो यहां d m लो यहां d m लो सारे d m d m d m लो तो d m y 1 d m y 2 सब जुरुजुरुगे उपर अलग काम तो बन गया और नीचे integration d m ठीक है अब problem क्या थी problem वही है d m और y को आपस में एक जैसा लिखने का बच्चों यह भी एक two dimensional body है triangular lamina 2d 2d के लिए आता है हमारा sigma mass per unit area हाँ या ना definitely इसका area कितना होगा बच्चो sigma is equals to mass upon area area बोलो half into base base कितना हो जाएगा इसका 2R into height यह R है तो यह हो जाएगा 2R half into base into height so sigma will be equal to M बटे R into H चलो sigma की value हमको मिल गई M बटे RH M बटे RH mass per unit area अब हमें dm को ले जाना है किस के terms में कुछ y के terms को ले जाना है तो यहाँ मैं इस strip को बहार निकाल लूँ यह रही strip strip की length कितनी है strip की length कितनी है नहीं पता अच्छा इसकी width कितनी है dy यह पता है अब इसकी length भी नहीं पता बाई आपको पता है dm को express कैसे करना चाहेंगे हम हम dm को express करना चाहेंगे sigma times of ds हाँ की न sigma times of ds डी एस का area area length into breadth लेंथ नहीं पता ऐसे तो dm अटाओगे न two dimensional में sigma ds है one dimensional होता है lambda dx two dimensional है sigma ds अब dm में area चाहिए इसके length नहीं पता आप क्या करें तो ऐसा कर लेते हैं बच्चों मान लेते हैं ये r है मान लेते हैं ये जो length है वो r है तो यह ट्राइंगल और बड़ा ट्राइंगल similar हो जाएगा छोटा सा ट्राइंगल, बड़ा सा ट्राइंगल, अपस में similar similarity का theorem लगा देते हैं यह upon यह is equal to यह height upon ये height हाँ या ना एक triangle ये एक triangle बड़ा वाला तो हम बोल सकते हैं r upon r very important cone में भी काम आएगा ये cone में भी यही चीज़ cone में करेंगे हम r upon r is equals to इसकी height कितनी हो गई यह है यह हो गया ही माइनस वाइ इस इक्वेस्ट टू एक्शन माइनस वाइ बटे पूरे ट्रैंगल की हाइट एक ट्रैंगल बड़ा वाला यहां से देखो तुमको यह लेंथ मिल गई आर इज इक्वेस्ट टू एक्शन माइनस वाइ बटे एक्शन इन्टू आर ये तुमको इसकी length मिल गई, ये पूरी length कितनी है? 2R हुँ, हुँ, अब आप निकाल सकते हो, dm is equals to sigma times of dA, dA is what? 2R into dy, what is R? Here it is, रब तो खतम कहा नहीं आजाईए भाई सब, clear यहाँ तक, आजाईए, तो integration of y dM dm की जगह sigma dA यानि 2Rdy नीचे dm dm dm जोड़ोगे mass m आजाएगा ने इसका जो total mass होगा अच्छा भाई बहुत बढ़िया y sigma 2 अब r की जगे h-y upon h into r into dy upon m थोड़ा देखने में complex लगता है, है असान यार, step by step चलना है अब r हमको नहीं पता क्या, तो हमने r को change किया in terms of y अपना मकसद होता है dm की जगे कुछ dy लाना, यही तो मकसद होता है तो हमने dm सोचा क्या करें, तो sigma da, sigma da अब da की जगे हमने इसका area निकालना था, length into breadth, इसकी length हमने मालिए 2 आ, अब r भी नहीं पता similarity लगाते हैं r by r is equal to h minus y but h यहां से r की value मिली हो वो वहाँ ठकपट कर दी चलि यागे आते हैं इसको solve करते हैं सेगन वेल्यू क्या है m by r h चलो रखेंगे आगे बढ़ते हैं वहाँ से क्या constant है 2 constant है बाहर गया capital r constant है बाहर गया sigma constant है बाहर गया नीचे वाला h constant है बाहर गया 2 sigma r h बाहर गया h minus y into y into dy divided by अब मेरे को एक बात बताओ कहां से कहां integrate करोगे y को हमें vary कराना है y तो vary कर रहा है कहां से कहां यहां y 0 फिर बढ़ता बढ़ता बढ़ता बढ़ता h तो 0 से लेके h तक जाना है अब लेको 0 से h तक y को vary करा दो सारे dm include हो जाएगे sigma की value m upon r h तो sigma की जगह 2r by h m upon r h नीचे एक m integration होना है यह हो गया hy minus y square dy का integration 0 से h तक m से m मरा r से r मरा और h न जाने क्यों नहीं मरा तो 2 बटे h square अब square integrate करोगे, h y का integration dy, तो h बाहर आ जाएगा y square by 2, एक तो ये हो गया integrate, और दूसरा वाला minus, y square का integration y cube by 3, 0 से h, 0 से h, आइए integration को आगे बढ़ाते हैं, तो ये होगा 2 बटे h square, अब यहाँ पे आप y square जगे h रखोगे वगेरा वगेरा, तो h cube by 2, कि माइनस एच क्यूब बाइ थ्री यह यहां से त्रिएच क्यूब माइनस टू एच क्यूब सो दिस विल बी टू बाइ एच स्क्वेर एच क्यूब बाइ सिक्स यहां से यह इसको आप solve करो integrate करो edge बाहर जाएगा y का integration wise के लिए सब solve करो सब simple so the final answer will be edge by 3 कहां से from base base से कितना उपर आएगा center of mass edge by 3 height पे आएगा अब इस पे थोड़े बहुत variation कर देगा तो वो भी आप solve कर सकते हो clear हो रहा है समझ में आ रहा है? तो आज हमने center of mass पढ़ा बहुत सी चीज़ों का, हमने linear body का पढ़ा, हमने ring का पढ़ा, हमने disc का पढ़ा, हमने annular disc का पढ़ा, हमने triangular lamina का पढ़ा, अब बचा क्या क्या? बचा है हमारे पास sphere, अब मालो sphere है पूरा, center of mass कहा होगा, center पे, एक होगा solid, एक होगा hollow, sphere में हर जगे mass भरा हुआ, solid और एक होगा khokhla hollow sphere तो उनका center of mass और एक हमारा बचा है cone तो क्योंकि इस वीडियो बहुत लिंदी हो गया है तो three dimensional object का center of mass का मैं next वीडियो अभी तुलिंद बनाता हूँ तब तक आप इसको enjoy करें all the very best

इंटिग्रेशन यहाँ पर एक मास लिया M1 जिसको बोला DM जो X1 दूर है फिर लिया दूसरा मास M2 जो कितना दूर है X2 फिर ने तीसरा मास सब मास DM ही है क्योंकि बहुत चिटी-चिटी मास पूरे में मास बटा हुआ है तो मैंने सब मास को जोड़ना है या इन values को जोड़ना है तो उसका उसका हमारे पास जो physics में तरीका है, maths में तरीका है बच्चों, उसको हम बोलते है integration integration of dmx dmx, x को integrate कर दो यार, कहां से कहां? 0 से लेके l तक 0 से लेके l तक x की value देखो लगातार change हो रही है, छोटी छोटी x की value लो हमने, मानों लिया x1, फिर x2, x3, x4, x5, कहां तक जाना है? l तक divided by dm dm dm dm dm जोडना है, मतलब सारे dm को जोडने का मतलब integration of dm so this is the formula जो हम use करेंगे कहाँ पे जब हमारे पास continuous mass distribution हो note करेंगे इसको बच्चो note करेंगे, सबको clear है formula क्यों आया है 100% clear है बहुत बढ़िया भाई, बहुत बढ़िया यानि जब continuous यह तो discrete mass है कि m1 एक जगह रखा है, m2 एक जगह ना continuous में integral dm x divided by integral dm इसको मैं ऐसे लिख दूँ xdm integral x, पर मेरे को ऐसे प्यारा लगता है लिखने में ऐसे लिख दिया integral xdm divided by integral dm याद रहेगा, जैसे इस तरह से y center of mass निकाल लोगे तो x coordinate वा center of mass का, y coordinate, y coordinate of center of mass, बोलो क्या होगा, integral y dm divided by integral dm, clear है, इधर से कोई z coordinate बोलेगा, तो z coordinate क्या होज़ेगा, integral z dm divided by integral dm, एक खास बात आपको मैं यहाँ बताना चाहूँगा integral dm का मतलब क्या है dm dm dm dm dm सारे dm को जोड के क्या होगा total mass so either you write this or you can write integral x dm divided by total mass m अरे आई dm dm dm dm यह सारे dm को जोड दोगे तो इसका पूरा mass m नहीं आजाएगा क्या so we can also write dm dm dm का integration मिला कितना हो गया capital तो अब अबन यह formula यूज़ करने जा रहे हैं आपको फिल हो जानी चाहिए तो अपने साइड में इसको कहीं लिख लेते हैं और इस तरीके में मिटार देते हैं और वापस चलते हैं क्वेश्चन के ऊपर अभी क्वेश्चन सॉल्ल नहीं हुआ है अभी तो तरीका नया मिला है अभी तक सेंटर ओफ मास निकालने तरीका क् complete mass बोल दूँ मैं, clear है?

चलिए start करते हैं, अब मेरे पास एक uniform rod है, जिसमें continuous mass distribution है, और मुझे उसका center of mass proof करना है, L by 2 पे, चलो मैंने सवाल दे दिया, proof करो, कि वो, L by 2 पे, ठीक है? चलो या start करते हैं इसको, चलो मैंने यहाँ पर मान लिया origin है 0,0 बहुत बढ़िया मैंने यहाँ पर एक छोटा सा मास DM ले लिया किते distance पर यहाँ से मान लेते हैं x distance पर यहाँ जाकर distance कितना होने वाला है L हो जाएगा ना L,0 देखो Y center of mass की किसी को यहाँ पे confusion नहीं होगी बहुत गधा होगा खेर यहाँ तो X की भी confusion नहीं है समझने के लिए बता रहा हूँ Y center of mass तो इसका यह रहना है मतलब Y coordinate तो 0 रहना है अगर इस question पूछू मैं Y coordinate of center of mass तो 0 भाई रहेगा तो इसी line पे ना अच्छा ठीक है इतना भी clear है वो भी आजाएँ, फॉर्मदा लगा देते हैं, x यू अब निकालते हैं, y भी मैं निकाल के दिखा दूँगा, 0 आएगा, टेंशन नहीं लोग, हम x यू अब निकालेंगे, हमको पता है x की value l by 2 आनी चाहिए, बीच में, हम देखा है आती है कि नहीं, integral x dm, divide by, integral dm लिख ल� अगर आपको xdm मिलेगा आप कभी integrate नहीं कर पाओगे आप integrate करते थे xdx या mdm होता तो भी integrate हो जाता है ये variable और ये variable सेम होता तो काम बनता न xdx integrate होता है कि xdm xdx होता है तो दिक्कत क्या है इस dm को हमें किसी तरह से x के form में change करना पड़ेगा तबी integration होगा ठीक है ना? ठीक है, तब ही तो integration हो सकता है हमें करना क्या है?

हमें actual में center of mass निकालने क्या होता है? actual में होता है m1 x1 plus m2 x2 original तरीका तो यही है ना? m3 x3 है ना?

तो हमारे पास m1 m2 थे नहीं तो हमने छोटे छोटे dm लिए तहला वाला x1 distance पर x2 x3 x4 ऐसे सारे dm को लेके जोड दिया यही तो हुआ और divided by m1 plus m2 plus m3 यानि सारे dm dm dm को जोड के integration of dm किया तो m आया तो असल भी तो हमें x को यहां में से start करके पूरा l तक ले जाना है तो x को हमें 0 से लेके l तक ले जाना है इन सब में problem नहीं problem क्या है problem variable में है यह चीज integrity नहीं हो सकती x dm dm की जगे कुछ dx का term लाओ तब काम बने आपको एक नए बताने जा रहा हूं दियान से सुनना आज की टॉपिक में बहुत सी चीजें नहीं मिलने वाली तो उसको ग्रास्प करो है और यह आगे यूज भी होगी मैं आपको बताने जा रहा हूं लीनियर मास डेंसिटी इसके बिना भी काम चल सकता था पर क्या करें सारी किताबों ने बता रखा है लीनियर मास डेंसिटी जिसको बोलते हैं लैमडा अ अब लेमडा क्या होता है? लेमडा होता है बच्चों, मास पर यूनिट लेंथ, मास पर यूनिट लेंथ, जैसे इसका पूरा मास कितना है रॉड का, हमने पूरा मास बूर लखा है M, और लेंथ कितनी है L, तो मास पर यूनिट लेंथ, यह है लेमडा, फील चाहिए लेमडा का? फील, एहसास, अगर एक मीटर तुम इसका रॉड लो, मास पर यूनिट लेंथ, मास पर यूनिट लेंथ, इस रॉट का तुम 2 मीटर हिस्सा लो, तो उसका मास होगा 2 लेंडा, इस रॉट का तुम 3 मीटर लंबा हिस्सा लो, तो उसका मास होगा 3 लेंडा, मास पर यूनिट लेंथ, यूनिट लेंथ का मास जो है उसी को लेंडा बो बहुत बढ़िया बहुत अच्छे बात अब मैं बोलता हूं मैं एक जिसने सा की यह पातला सा जो मैंने काटा इसकी लेंथ कितनी होगी यह जो पतला सा इसकी length कितनी होगी यार x distance i हो तो इसकी length कितनी ले सकते हैं पर dx है तो बहुत चोटा सा है तो इसकी length हमने x distance पर आ क्या ले ली dx ले ली clear अगर length वन होती तो mass lambda होता, mass per unit length, length वन होती तो mass 2 lambda, 3 होती तो 3 lambda, length dx है, तो mass कितना हो जाएगा, तो दी एक्स टाइम्स ओफ लैमडा, clear?

ये dx lambda कितनी length का mass है इसका इसका mass dm कितना आएगा lambda time of dx नहीं believe let me show you another thing lambda is equals to mass per unit length इसका mass distribution हर जगा same है हर जगे बराबर से mass बटा है तो आपने लिखा lambda is equals to mass per length पूरे rod के लिए अगर मैं इस छोटे से part के लिए बोलूं तो इस छोटे से part का mass कितना है? dm length कितनी है? dx यहाँ से देखो dm is equals to lambda dx the same things comes over there the same things comes over here the concept remains the same नहीं आया नहीं आया ये ये नहीं आया मैं क्या कह रहा, मैं कह रहा इस पूरे का मास m length l, तो lambda क्या होगा, मास पर unit length, clear, very good, इस छोटे से का, मास कितना है, dm, length कितनी है, dx, तो lambda is equals to mass per unit length, अब ये मत सोचना कि इसका lambda, इसका lambda अलग होगा, भाई same ही तो होगा, मास distribution हर तरफ same है, बराबर से बटा एकदम, एकदम playing, एकदम smoothly, मतलब जो मास पर unit length यहाँ, का है वही इस element का है तो मैंने element के लिए बोला कि element का mass dm element की length dx तो dm is equal to lambda dx तो एक तो ये feel हो गया ये feel नहीं है तो ये feel समझ लो mass per unit length है ये mass per unit यानि एक length का mass lambda, दो length का, two lambda तो dx का, dx lambda so whichever gives you feel, you get that clear है, नया concept था आइए यहाँ पर रखते हैं integration of x dm डिवाइड बाई इंटेग्रेशन ऑफ डीम लिखो एक्सिम्म क्या था इंटेग्रेशन ऑफ डीम लिखो या इंटेग्रेशन करके सिधा मास एम लिख दो सारे डीम डीम डीम जोड़के क्या आ जाएंगे मास एम अच्छा क्या लामडा का कंसेप्ट क्लियर है तुम समझो मास पर यूनिट लेंथ यानि टोटल मास ले लो लामडा इसे एक्वल्स टोटल मास अपण टोटल लेंथ DM by DX रिलेट कर लो हो जाएगा यहां से कहा नहीं वापस आते हैं जीरो से एल तक जाना था तो यार इंटेग्रेट कर रहे हैं यार लैमडा तो एक कॉंस्टेंट वैल्यू है लैमडा की वैल्यू क्या है मास कॉंस्टेंट लेंथ कॉंस्टेंट लैमडा बाहर आगे इंटेग्रेशन के चुका एक्सडीएस का इंटेग्रेशन बोलो एक स्क्वेर बाई चू जीरो से लेकिन एल तक और नीचे यम लैमडा की वैल्यू क्या है यम बराबर एल तो लैमडा के जगे मैंने लिखा यम तो आपको गए L square by 2 minus 0 square by 2 so this will be what?

और नीचे भी क्या है? एक L है L, है न? So L से L मर जाएगा it will be L by 2 is the answer, XCOM and I rest my case over here तो आपको मिल गया कि इसका center of mass यहाँ से कितना distance दूर होगा यहाँ से L by 2 distance दूर होगा clear है? XCOM is L by 2, आप चाहो तो YCOM निकाल के देख लो, YCOM की value आएगी 0 भाईया जी, YCOM की value value कितनी आएगी? 0, tension नहीं लेने का है, यहाँ center of mass y axis पे है ही नहीं, कहाँ पे है x axis पे, y तो 0 है, clear है, concept पकड़ना था, पता सबको था अलबैट, अरे यार ले अगला question भाई तू तुम अगला question लो और वो solve जाया बिना concept के तुम्हाई logic से तो मैं मान जाओ जब आप logic लगा रहे हो कि सर center of mass तो बीच में होता है rod पे mass है तो rod के center पे जाएंगे center of mass निकालेंगे, ice cream खाएंगे यह एक rod है, बहुत बढ़िया, इसका mass हमें नहीं given है, हमसे बोला, जो इसकी linear mass density है, जो इसकी linear mass density, linear mass density बोले तो feel हो गया आपको क्या, lambda, it is equal to 2x, और यहाँ पे इन्होंने x is equal to 0 ले रखा है, आप समझो feel को, इस rod की जो length है, इस rod की length L है, ठीक है, आपसे पूछा है इस rod का center of mass बताईए भाईया चलो करके दिखाओ मैं पहले आपको एक चीज़ बतादू इसका center of mass बीच में नहीं आएगा क्यों नहीं आएगा समझो ये lambda है linear mass density यानि unit length पे कितना mass बाट रहा हूँ unit length पे कितना mass बाट रहा हूँ यहाँ पे lambda ध्यान से देखो variable है लैमडा एक्स पर डिपेंट कर रहा है, यहाँ एक्स की वैलू 0, यहाँ पे मास है ही नहीं, इस यूनिट लेंथ में कोई मास नहीं है, जहाँ एक्स की वैलू 1 होगी, वहाँ लैमडा की वैलू कितनी होगी, 2, यानि उस एक मीटर में कितना मास है, 2 केजी, जहाँ एक्स की व यानि इस एक मीटर में 6 केजी, कहने का मतलब ये इसमें जो मास भरा है न, इसमें मास कुछ ऐसे भरा है, ध्यान से देखो कम है, ज़्यादा हो रहा है, ज़्यादा हो रहा है, ज़्यादा हो रहा है, ज़्यादा हो रहा है, ज़्यादा हो रहा है, ज़्यादा हो रहा है, ज़्यादा हो रहा है, ज़्यादा हो रहा है, ज़्यादा हो रहा है, ज़्यादा हो रहा है, ज़्यादा हो रहा है, ज़्याद जाएगा कम होता जाएगा और इस तरफ कम यह है सिचूशन क्या इसका सेंटर ओफ मास इधर मेड में होगा बिल्कुल नहीं होगा बच्चों इसका सेंटर ओफ मास इस तरफ होगा क्योंकि सारा मास इधर भाग गया है ये यूनिफॉर्म डिस्ट्रिब्यूशन नहीं हुआ अब, नॉन यूनिफॉर्म है, पूरी तरह से सही से मास बटा नहीं, मास कैसे बटा है, लामडा इस इकोल से टू एक्स है, जहाँ एक्स की वैलू जीरो हो वहाँ कोई मास नहीं है, जहाँ एक्स की वैलू एलो होगी, वहा और ये बात डिपेंड कर रही है आप एक्स पे चली सॉल्व करेंगे दिखाईए कंसेप्ट लगाओगे सॉल्व जाएगा अपने कंसेप्ट से पक्का 100% सॉल्व होगा ओप्शन दे रहा हूँ मैं है सब लोग ट्राइ करेंगे ओप्शन ए इस उ आ ए टू एल बाई थ्री ओप्शन बी इस थ्री एल बाई थ्री ओप्शन सी इस एल बाई थ्री ओप्शन डी इस फोर एल बाई थ्री पॉस करेंगे वीडियो को ट्राइ करेंगे क्वेश्चन को पॉस करेंगे वीडियो को ट्राइ करेंगे क्वेश्चन को क्या मेरी बात आपको समझ में आगे ही सेंटर आफ मास्ट देखो कहीं भी ओप्शन एल बाई टू है भी नहीं गदे चल भ चलो मैं solve करने जा रहा हूँ, एक, दो, तीन, चार, पांच, पॉस्ट करके खुद से बच्चों, प्लीज क्वेश्चन solve किया करो, तभी तुम्हारा concept बनेगा, अगर सीधा answer देखोगे तो मज़ा नहीं आएगा, अब मैं क्या करूँगा, मैं इसमें एक छूटा सा element काटू� फूलों का तारों का सबका कहना है, DM मास सबको लेना है, एक्स डिस्टेंस में जाके छोटा सा DX और छोटा सा DM मैंने काट लिया, वाइट्स तो मैंने बोला x यह क्या हुआ मेरे हाथ को xcom is equal to integration of xdm divided by integration of dm अब dm dm dm जो और क्या है माना है पर देखो यहाँ mass नहीं दिया कुछ चीज़ों को ध्यान दिया करो, यहाँ पे मास दिया नहीं है, कि इस पूरे का मास कितना है, तो मैंने integration DM छोड़ दिया, जब मास दिया हो तो capital M लिख देना, जब नहीं दिया तो भाईया DM ही लेना पड़ेगा integration, चलो भाई care anyways, आगे बढ़ते हैं integration X DM, अब अगली दो� तो इनको सही करना पड़ेगा, DM को हटाना पड़ेगा, तो हम पिरसे बोलेंगे, लैमडा क्या है?

मास पर यूनिट लेंथ, इसका मास हमको गिवेन, नहीं है, कोई बात नहीं, कैप्टल M by कैप्टल, ऐसी माल लिया थोड़े दिर के लिए, अच्छा, इस चटे से एलिमें इसका mass dm इसकी length dx इसके लिए तुम lambda क्या लिख सकते हो dm बराबर dx यहाँ से dm की value बोलो dm is equal to lambda dx अब शायद तुमको यह चीज़ भी feel हो गई होगी अब तक हुई है जान में जान आई है सांस ले पाओगे कर पाओगे सवाल dm is equal to lambda dx फील फील फील लाओ इसका नोट करो कॉपी लेके बैठो DM is equals to लामडा DX जब जब लीनियर होगा जब जब लीनियर होगा जब जब लीनियर होगा बच्चो DM is equals to लामडा तो मरब खटड़ से लिखना है यहाँ पे खटड़ से लिखना है बोल भाई लैंडा कांशेंट की वेरीबिल कांशेंट की वेरीबिल लेंडा कांशेंट वेरीबिल variable sir variable variable constant नहीं है variable है किस पे dependent कर रहा x पे बाहर नहीं आ सकता lambda value रखनी पड़ेगी आओ value रखते हैं x lambda की जगा 2x dx नीचे 2x dx clear है अब क्या करें? 2 से 2 कट जाएगा, x से x कट जाएगा, d x से d x कट जाएगा, आहाट, पागले, ऐसा तो रहे ना कटेगा integration के अंदर, कुछ नहीं कटेगा, कहां से कहां integrate करना है? 0 से l, 0 से l तक, 0 से l तक, सारे dm dm dm include जाएगे, 0 से l तक, 0 से l तक, पूरा मास 0 से l, 0 से l, 2 constant 2 constant है, बाहर आ जाएगा, और 2 से 2 मर जाएगा, x बाहर नहीं आया, इसलिए नहीं कट रहा, अगर x भी बाहर आता तो, cancel out हो जाता, खेल, यहाँ पर 2x है, x square df का integration हो जाएगा, x cube by 3, कहां से कहां, 0 से l, और नीचे क्या है मेरे पास, x है, तो x का integration हो जाएगा, x square by 2, कहां से क L square by 2, so you can write L square by 2, तो यह क्या हो जाएगा, L L मर जाएगा, तो 2 L by 3, कोई option है क्या, पहला option अपने पास, 2 L by 3, so option is correct, L by 2 नहीं आया, तो अगर पहला वाला question किया होगा चेसे, formula क्या रहेगा, center of mass का integral x dm, divided by integral dm, यह integral dm क्यों लिखा, क्योंकि यह mass m नहीं दिया था प्यारे बच्चो, clear हो गया, बहुत बढ़िया भाई, तो अब ऐसे सवाल आप कर लेंगे, मुझे पूरी उमीद है आपसे, तो ये था center of mass का determination for a uniform rod and a non-uniform rod, एक बार हमने uniform ले लिया, एक बार हमने non-uniform rod भी ले लिया, जिसमें mass बराबर से distributed, देखो, अगर जे ही point of view से पूछा तो तुमको भी समझ में नॉन यूनिफॉर्म वाला ठीक है तो अगर आएगा कभी तो नॉन यूनिफॉर्म ये चीजे तुमको कहाँ पे हेल्प करेंगे बच्चों जब आप एलेक्ट्रो स्टाटिक्स पढ़ोगे क्लास्टर्यूत्वे तो वहाँ पे ये एंटिग्रेशन बहुत हेल्प करेगी बहुत ज्यादा विश्वास मानो एलेक्ट्रिक फील्ड वगरा निकालने के लिए बहुत हेल्प करेगी ये सारी चीजे सब कंसेप्ट हैं धीमे धीमे बनते जाते चलो आगे बढ़ते आज़ो आगे बढ़ जाओ त वर्मा सर की semi circular wire यह उन्होंने अपनी किताब में यूज़ किया है center of mass of a semi circular wire अब wire बोलने का मतलब ही है उनका कि one dimensional चलना है one dimensional मतलब mass per unit length मतलब lambda की बात होनी है जब हम बना के दिखाता हूँ ये रहा semi circular wire ये रहा हमें एक semi circular wire दिया भाई साब और हमसे बताया कि इसका जो radius है वो है capital R मान लीजिये, मान लिया और हमसे बताया कि इसका जो मास है, वो है capital M ये भी हमने मान लिया हमसे का इसका center of mass बताये wire है, wire, ठीक है? wire, तार है, तार तार होता है one dimensional हमारे लिए, है न?

चीटी के लिए होता है three dimensional हमारे तार पे आके एक चुडिया बैटी है, उसके लिए two dimensional we lose dimension as our size grows string theory बिलनाय सपोर्ट करते हैं वापस आते हैं तो हमें इस ring का आप ring भी बोल सकते हो semi-circular wire या semi-circular ring ring word भी use होगा इसके लिए किताबों में इस ring का center of mass कहाँ है तो पहली बात तो सबको clear है center of mass इस line पर lie करेगा कोई बहुत गदा तो नहीं है कैसे कोई मानेगा हाँ है गदा है नहीं अच्छा भाई, तो सबको इतना तो clear है कि lie तो इसी line पे करेगा, क्योंकि इसके about body symmetric है, है न, confusion होगी height की, why, क्योंकि देखो, यहां से देखो, यार lie तो इसी पे करेगा, इसपे तो किसी को doubt नहीं है, ना लेट एस कंसिडर दिस आफ पूरी जो हम तो कहीं भी बात सकते हैं ओर जैसे अपने हाथ में अपने जेब में मैंने आमान ली है तो इसी लाइन पर करने वाला सेंटर मास्क कि इसके दोमां तरफ एकदम बराबर चला है दिक्कत यह भी ऊपर होगा कि नीचे तो देखो यहां पर है कुछ मांस देखो इतनी हाइट पर कुछ मांस देखो इतनी हाइट पर यूच मांस देखो इतनी हाइट पर कुछ मांस इतनी हाइट पर यूच मांस देखो यहां पर कुछ मांस देखो यहां पर कुछ मांस देखो चाहिए समझ चाहिए शाद बदल बदल चोटा सा लिए लेने वाला हूं क्योंकि उसी से काम बनने वाला है कि छोटा सा लिए लिया है ने डीएम और डीएम को मैंने लिया यहां से एट एंग्ल थीटा शायद यह वर्क ने जी में पह��े बता चुका हूं अगर आप वीडियो मेरा रेगिलर ली देखते हैं तो मैंने थीटा एंग्ल पर जाकर एक छोटा सा element लिया, dm, let this angle be what? d theta. यह अला angle d theta, इसको मैं बाहर बनाऊँगा, definitely बनाऊँगा, यह. मैंने यह element लिया है, और यह angle मैं बोल रहा हूँ, d theta, और यह element है dm mass, यह वाला छोटा सा.

ठीक है? कितना angle पर, theta angle पर आके. हमें ये पता लगाना है सिर्फ बच्चों, Y COM, X COM तो clear है न, X कहां पे हैं यहीं पे हैं, Y में देखना है कहां जाना है, ठीक है, अच्छा बहुत बढ़िया, बच्चों ये radius R होगा, बहुत बढ़िया, तो बच्चों ये distance कितना हो गया, ये R, ये theta, ये R cos theta और ये distance R sin theta, वैसे वैसे r sin theta की value, मतलब अलग अलग dm की height अलग अलग है, are you getting what I am saying, हमें करना क्या हमें निकालना है ycom, जिसका formula क्या होगा, integral ydm, divide by integral dm, यह हमें करना है, अब जो आपने dm लिया है न, यह लाए dm, यह dm, तो dm का जो y है वो यही तो है, यही तो y है, y distance of dm, from origin, यही तो है, यह जो y है, यह vary हो रहा है, देखो न, r sign theta के इसाब से, अरे dm यहां लोगे की नहीं, dm यहां लोगे की नहीं, जब dm यहां पे लोगे, तो y की value r के बराबर हो जाएगी, जब dm यहां पे लोगे, तब भी y की value r के बराबर होगी, otherwise y की इसे सब वाई की वैलू चेंज होगी, क्लियर है?

हमें करना क्या है? हम चोटे-चोटे DM काटेंगे, सबका वाई निकालेंगे, और इंटिग्रेट मारेंगे. अच्छा, अब प्रॉब्लम क्या है?

प्रॉब्लम यह है कि एक वाई है, एक DM है. बड़ी दु� दोनों का variable same होना चाहिए तो भाईया ये कैसी body है one dimensional बच्चों जब भी one dimensional body होगी हमें मिलेगा linear linear मतलब one dimensional mass density जब भी one dimensional body हो देखो ये one dimensional है कि two dimensional है तार है यार उसकी कोई breath नहीं है कोई उसकी depth नहीं है कि इसलिए विशेष तार सीधा होता है तो लेंडा इस इक्वल्स टू मास पर यूनिट लेंथ दिक्कत क्या इसकी लेंथ कितनी है कंफ्यूजन पाइज बाचीज की लेंथ कितनी है मास्तुम है तो बच्चों अगर पूरा सर्किल होता तो लेंथ होती है 2πr, आधा सर के लिए तो लेंथ हो जाएगी पायार, क्या बात है, m बटे पायार, बहुत से ही, अब मैं आता हूँ dm element पे, तो यह lambda is equal to dm, divide by क्या लिखोगे, बोलो, डी एक्स है ना इसकी लेंथ को हम अगर क्या बोलें इस प्यारी सी लेंथ को अगर हम डी एक्स बोलें और इसका मास कितना है डी एम इस पोशिशन का तो हमने बोला डी एम बटे डी एक्स है ना यह आपको मैंने पहले बता दिया लैमडा डी एम इस इक्वल्स टू लैमडा भाई ठीक है सर यह तो हम कर लेंगे लैमडा क्या है मास पर यूनिट लेंड यह तो हम कर लेंगे सर ठीक है ठ ओई ओई, अगर ये आर है बच्चों, ये एंगल ठीता है, तो ये लेंड कितनी होती है? आर डी थीता, पढ़ाई की नहीं?

अगर ये डी थीता, ये आर, तो ये लेंड कितनी होगी? आर डी थीता, मतलब डी एक्स की जगह में ले सकते हैं, आर डी थीता, तो हमारे डी एक हो जाएगा, इस इक्वस्ट लैमडा आर डी थीता, ओके, अमाई क्लियर ओन दिस? 100% भाई साब इसका mass dm निकालना था तो हमने बोला dm is equal to lambda dx इसकी length dx फिर हमने कहा dx भी हमको नहीं पता ये length हमको नहीं पता तो हमने कहा ये भाईया ये क्या है एक arc वगेरा है arc वगेरा की कहानी हमने पड़ी है कि ये जो length होती है arc की वो होती है r और d theta तो हमने लिखा lambda r d theta मैं जितना basic हो सकता हूँ basic से बता रहा हूँ आपको clear है चलो values रखते हैं y c o m is equal to integration of y, dn, अब बचों ये y जो है, ये भी तो vary हो रहा है, y की value कितनी है, r sin theta तो मैंने y की जगह लिख दिया, r sin theta, clear है न, ये r, तो ये height कितनी होगी, r sin theta, change होता जाएगा theta के साथ साथ, और डीम की value कितनी आ रही है, lambda r d theta, divided by integration of dm, integration of dm बीचा के मैं एन लिख दूँ क्या, कोई दिक्कत तो नहीं है न, येस और नूँ? येस डिम डिम जोड़ो क्या आएगा?

कप्टल म, इसका पूरे का मास, एंड दे रखा है इसके बाद क्वेश्चन हल्वा हो गया इसके बाद इंटेग्रेशन हो गया बचा है इसको तो मैं पहले ही आपको बता तो यही आएगा, क्या आएगा, 2R बटे पाई, यहां से कितनी उपरे सेंटर ओफ मास, पहले से, पहले से लिख लो, 2R बटे पाई, पर कहानी समझ नहीं थी, चलो, अब integration कहां से कहां करना है, अगर मैं थीटा की वैलू को, 0 कर दूँ तो ये DM include हो जाएगा थीटा की value 90 होगी जब तब ये DM भी आ जाएगा और थीटा की value जब 180 हो जाएगी तो ये DM भी include हो जाएगा मतलब थीटा को 0 से लेके पाई तक जाना है पाई मतलब 180 कि पाई बाई 2 90 में तो काम नहीं बन रहा ना नहीं सारे DM लेना है ये DM ये DM ये DM ये DM थीटा को vary करा दो सारे DM अपने आप बहुत बढ़िया चलो आगे बढ़ते हैं ये clear हो गई बाद बहुत बढ़िया बाई बहुत मज़ा या अब हम क्या करेंगे यहाँ से constant क्या क्या है r constant r constant lambda constant इनको बाहर ले लो तो r square lambda ये बाहर ले लो अंदर बचा में है पास, sin theta d theta, divided by mass m, integration 0 से pi, बहुत बढ़िया, lambda की value कितनी है, lambda is mass per unit length, इसकी length कितनी थी हमने बताया था, pi r, तो lambda की जगह M divided by pi R M से M मर गया एक R से एक R भी मर गया sin theta का integration बोलेंगे बच्चे sin theta का integration होता है cos theta sorry, minus cos theta कहां से कहां जाना है हमको 0 से लेके pi तक divided by क्या बचा R बटे pi बच्चा रहा है मेरे पास क्या बच्चा रहा है अर बटे pi minus cos theta का integration 0 से pi तो यहाँ इसको integrate करो r बटे पाई minus cos पाई minus minus plus हो जाएगा cos 0 yes or no? minus already गा रहा है minus cos पाई minus minus plus cos पाई is minus 1 minus 1 minus 1 plus 1 cos 0 is 1 1 1 2 तो it comes out to be what? 2 r बटे पाई cos 180 is minus 1 minus 1 1 इसकी value minus 1 होगी कि नहीं?

minus 1 minus plus 1 plus 1 2 2 r बटे पाई So yes, YCOM comes out to be, YCOM comes out to be 2R बटे पाई, and this is the whole concept, I hope this is clear to you, I have told this derivation in work energy पाहर, when we were discussing potential energy of such a thing, इसकी मैंने chain रखी थी, इसके ऊपर potential energy वगेरा निकाली थी, इसके ऊपर chain रखकर, तब भी मैंने बताया था, कि इसका center of mass होता है 2R बटे पाई, आज proof किया, clear, बड़िया एकदम, पक्क, बचे पाई हाइट पे होता है सेमी सर्कुलर रिंग का सेंटर ओफ मास यहां से कितनी हाइट पे टू आर बचे पाई और डेफिनेटली इस लाइन पे होगा होगा तो सेंटर में तो यहां कहीं होगा इसका सेंटर ओफ मास टू आर बचे पाई पे चली अब नेक्स्ट कोशिशन लेते हैं आपा आन रिंग भी हो गया, रोड भी हो गया, वन डामेशनल की कानी खतम हो गई, अब अब चलते हैं टू डामेशन पर टू डामेशन पे, ठीक है, बात करते हैं, प्लेट वगेरा की, प्लेट, घर में होती हैं, प्लेट, तो बात करते हैं, प्लेट वगेरा की, ठीक है न, चल बाई, थोड़ा सा मुझे पता है, लेक्चर बोरिंग है, क्योंकि इसमें एक सिस्टेमाटिक तरीका है, उसको यह फ� कितना पढ़ा दिया center of mass of semi-circular disc semi-circular disc disc आ गया disc disc क्या होता है plate इसको कहें lamina भी बोलते हैं इस style से है ना two dimensional body क्या दे रखा है mass M दे रखा है radius R दे रखा है आओ देखो ऐसे पिचका पिचका पिचका अब सही है? यह हमारे पास ठीक है, Semi-Circulated Disc है, यह Disc है मेरे बाई, Disc का मतलब सर? टी टी टी टी, टी टी टी, टी टी टी टी टी, वहाँ वाला Disc नहीं, Is the time to Disco, Disc ��तलब?

कई लोग feel हुए आ गया, disc है sir, नाच होगा तो आज नाच, disc मतलब two dimensional plate जैसी body, अब हम इसका center of mass निकालना है, देखो तुम लोग बहुत intelligent हो, तुम समझ गए हो, इस line पे lie करेगा, नहीं समझो अपने बगलाले को समझा देना इतना और अब बात हो रह गई है कि कितनी उपर या कितनी नीचे होगा तो height होगी 4R बटे 3Pi पहले तो note मारोगे इसको Y center of mass निकालना है X निकालने की जरूरत नहीं X आप समझ गए हो यहीं पे आएगा Y निकालना है पहले note कर लो क्यों note करा रहे हो सर center of mass निकालो 4R बटे और उसका क्या था बटे ठीक है बहुत बढ़ी है अब कैसे करें इसका यह काम करते हैं अब कि अब उनको बताएं तो निकालना नहीं है अब उनको भाई से मतलब है कितना ऊपर कितना नीचे से मतलब है बहुत जाके क्योडी रे चीची कितना गण्डा बना और बड़ा बना आते हैं कैसा लग रहा है आप लोग को कई दिन से मैं नहीं था आपने मज़े किये सिंदगी में बोलो इतने दिन से आपने क्या किया क्या किया यहां से मालों आर डिस्टेंस पर जाके एक पतली सी रिंग काट लें रिंग, रिंग, डिस्क नहीं एक रिंग काट लें हम R डिस्टेंस उपर गए और R डिस्टेंस उपर जाके हमने एक रिंग काट लें एक चक, कचक यहाँ से R डिस्टेंस पर जाके हमने एक पतली सी रिंग काटी पतली किती पतली? बहुत पतली D R डिस्टेंस वाली रिंग इस रिंग को मैं अभी तक DM मास सच में DM था छोटा सा ना सच में DM ले रहे थे अब ये टू डाइमिशनल ओब्जेक्ट है पूरे में मास भरा हुआ है पूरे में अब की बार जो हमारी छोटा सा एलिमेंटल मास है वो भी इतने आप में एक रिंग है ये करना क्या होगा पतले पतले पतले रिंग लेंगे, integrate कर देंगे, DM DM DM DM DM DM DM DM DM, वाई लगातार change हो रहा है, DM DM DM, यहां से start होगी रिंग, पहली रिंग, दूसरी रिंग, तीसी रिंग, अगर सारी रिंग को लेकर integrate कर देंगे, तो सारे mass include हो जाएंगे, center of mass मिल जाएगा, क्या बात है, तो इसमें elemental ring को बाहर निका कि लोग बहुत सुन्दर है शेकर या तालिश में करो यह नहीं रिंग बनाई ठीक है इस रिंग का रेडियस कितना है और इसकी विड्ड कितनी है डी आफ ठीक है इसका मास्क कितना है डीएम बोल लगा है ठीक है तो यह तो मैंने इस एलीमेंट इस element को मैंने बाहर ले लिया अब बाई सब हमें पता है कि हमें इसमें YCOM ही निकालना है X coordinate तो निकालना नहीं पता है तो है इसी पे आएगा कहीं उपर की तरफ आएगा कहीं इसके उपर X में तो आपको पता है बीच में आएगा क्योंकि कि disc में दोनों तरफ mass बराबर से divided है सो मैं बता देता हूँ answer आने वाला है 4R बटे 3Pi पहले तो इसको note कल लो मैं हर बार कह रहा हूँ answer को आप पहले से note रखो फायदा होगा ring में क्या था? 2R बटे Pi disc में क्या है?

4R बटे 3Pi यहाँ से ठीक है अब आपको बता निकालना कैसे YCOM is equal to integral YD अपन एंटिग्रेशन डियम, एक्स यूम की कोई दिक्कत नहीं, आपको पता है एक्स कॉर्डिनेट तो यही है, एक्स में कोई दिक्कत नहीं रहेगा इसी लाइन पे, वाई चेक करना है सिर्फ, अच्छा, आप क्या करें, क्या करें, अब कि मेरे जो खास बात है इसका center of mass बच्चो कहाँ पे होगा इसका center of mass यहाँ पे होगा कितनी उपर 2R बटे पाई आपने देखा था ring का center of mass 2R बटे पाई मतलब जो यह DM element है उसके लिए जो wide डिस्टेंस होगा दैट विल टू आर बटे पाई नहीं समझे अभी तक हम क्या करते इसे मानों यहां पर मेरे पास बीएंट होता था और डिएम यहां से कितना ऊपर होता था मान लो वाइड इस तरह उपर होता था तो हम बोलते थे इंटीग्रेशन डीएम वाइड अभी दिक्कत क्या है कि डिएम अपने आप में एक डिस्ट्रिब्यूटेड मास ह तो डीएम का सेंडर ओफ बास यहाँ पर है, तो डीएम के लिए वाइड डिस्टेंस यह वाला होगा न, कि यह वाला लोग है पूरा, सोच के बोलो, क्या सारा डीएम इतने उपर है, नहीं, कुछ डीएम यहाँ पर भी है, कुछ डीएम यहाँ पर भी है, कुछ डीएम यह लेको यहाँ पे कुछ dm यहाँ पे कुछ dm यहाँ पे कुछ dm यहाँ पे पूरा मिला की dm बना है मतलब dm का भी center of mass देखना पड़ेगा और क्योंकि यह semi circular ring है तो इसका center of mass 2r बटे पाई which is the value of y for dm y for dm clear है dm के इस बार y की value क्या use करेंगे y की value हम यह r नहीं use कर सकते r height उपर नहीं है जो इसका center of mass है वो कितनी height उपर है 2r बटे पाई clear है इतनी बात क्लियर है क्योंकि DM इस बारे अपने आपने एक object है अच्छा दूसरा problem बच्चों क्या होता है Y तो clear हो गया हम क्या लिख लेंगे Y की जगह हम लिख लेंगे 2R बटे पाई DM upon integration DM कहां से कहां जाना है हमको हमें Y की value कहां से कहां ले जानी है 0 से लेके R तक पहुचना है एक ring यहां ले लेंगे दियेंगे dm dm dm dm dm सारे ring मिल जाएंगी तो dm dm dm सब integrate हो जाएंगी दियेंगे y1 dm y2 dm y3 करते करते और लीचे dm plus dm plus dm integration dm यानि यह में जाना है r को vary कराना है 0 वेलो जो हम ले रहे थे यह आर की सबसे पहले वेलो जी रोफ फिर बढ़ते बढ़ते बढ़ते बढ़ते ठीक है अब डिएम को एक्सप्रेस करना है कुछ आर के टर्म्स में दूसरी प्रॉब्लम यह थी कि डिएम को इसके टर्म्स में लेकर अब चुड़े टू डामेशनल ऑब्जेक्ट है कैसा ऑब्जेक्ट है टू डामेशनल टू डामेशनल के लिए हमारे पास आता है सरफेज मास डेंसिटी क्या आता है सरफेज मास डेंसिटी जिसको हम मास पर यूनिट एरिया भी बोलते हैं लिवियर में क्या था मास पर यूनिट लेंथ दो डामेशनल में क्या हो जाएगा? वन्डी में मास पर यूनिट लेंथ, लैमडा दो डामेशनल में मास पर यूनिट एरिया इसका सिम्बल है बच्चों, सिग्मा सिग्मा सिग्मा, इसका सिम्बल है सिग्मा वाट इस सिग्मा? मास पर यूनिट एरिया है तो हम सिग्मा की वैल्यूज इसके लिए निकाल सकते हैं बिल्कुल सिग्मा इएक्वल्स टू मास एम और इसका एरिया कितना होगा इसका बच्चों पूरी कंप्लीट होती तो पायार स्क्वेयर आदि है तो पायार स्क्वेयर डिवाइड बाइट टू तेरे टू पर आ गया पूरी कंप्लीट डिस्क होती तो एरिया होता पायार स्क्वेयर आदि है तो पायार स्क्वेयर सिग्मा समझ में आ रहा है क्या है जैसे वन डामेशनल में मास्क पर यूनिट लेन था तो टू डामेशनल में मास्क पर यूनिट एरिया क्योंकि यह आ गया थी डामेशनल पर mass पर unit volume उसको हम बोलते हैं row clear है? sigma ले लिया mass पर unit area अब हमें dm को हटाना है कहा रहा dm?

यह रहा मेरा dm mass अब हम क्या कर सकते हैं? क्या कर सकते हैं? क्या कर सकते हैं? हम यह लिख सकते हैं sigma is equals to dm upon da हाँ ना बोलो?

लिख सकते हैं कि नहीं? dm upon इसका area da sigma क्या है? mass पर unit area sigma की जो value पूरे disk के लिए है sigma की वही value इस पतली सी ring के लिए होगा क्योंकि mass हर तरफ बराबर से बटा है ठीक है यहाँ से dm की value होगी sigma dA धियां से दिखना dm की value क्या आ रही sigma dA सर इतना आप क्यों detail बता रहे हो समझो यार sigma dA समझो पहले याद है DM की एक value आई थी lambda dx बस अब feel आ जाना चाहिए तुमको DM की एक value थी lambda dx अगली value है sigma da जब volume आएगा तो त्या हो जाएगा volume के लिए symbol है row, row dv जब length थी तो lambda dx, जब area हुआ तो sigma da, जब volume आएगा तो row dv, सीधा dm निकालने का सीधा तरीका, वरना sigma is equal to mass पर area, element का mass dm, element का area da, तो dm is equal to sigma da भी हम लिख सकते हैं, जैसे dm is equal to lambda dx, वैसे dm is equal to sigma da, ठीक है, clear है, यहाँ से भी दिख सकते हूँ, यहाँ से भी, dm is equal to sigma da, इस तरह से DM को change कर लेंगे अब DA क्या है इसका area यार इसका area क्या है इसका area क्या होगा इस element का area क्या इसको मैं उठा कर सीधा कर देता हूँ इसको उठा कर सीधा कर देता हूँ A S कर सकते हैं सीधा इसकी width कितनी है बच्चों DR इसकी length कितनी हो जाएगी बच्चों PR problem, no, भाई पूरा circle होता है, तो 2 pi r, इसको मैंने सीधा किया, तो ये पूरा circumference, इसकी length कितनी है, pi r, अब इसका area बताओ, ये rectangle हो गया, rectangle का area, length, into breadth, ये dm का, इसका ही तो area चाहिए था, area कितना हो जाएगा, length into breadth, so we can write sigma की जगा, sigma, DA की जगा, length, length कितनी है, pi r, breadth कितनी है, dr, this is the value of d, clear, फिर जल्दी से बताता हूँ, दिन के विले जब भी कभी लिखनी हो, तो क्या लिखोगे, या तो lambda dx लिखोगे, या तो sigma DA लिखोगे, अब मैंने बोला, DA कैसे निकालना, इसको सीधा कर दिया, length हो गई, pi r, breadth हो गई, dr, तो DA की जगा मैंने लिखा, length into breadth, यही तो आ रहा है, सिग्मा पाई आर, डी आर, क्लियर है, अच्छा, तो आइए, रिप्लेस करते हैं यहाँ पे, integration of 2R बटे पाई और डीम की जगह, सिग्मा पाई आर, डी आर, कहां से कहां, जीरो से आर, नीचे integration of, डीम को मैं हम लिख दू, डीम, डीम, जो रोगे क्या आएगा, मास, हम आएगा, बहुत पढ़िया, इतनी बातें clear हो गई, यहाँ से देखो पाई से पाई मर जाएगा, constant 2 और sigma बाहर आ जाएगा, तो 2 और sigma बाहर आ गया, अंदर बचा r, r, r square dr, integration हो जाएगा, r, q, r, r, r, r, r, r, r, r, r, r, r, r, r, r, r, r, r, r, r, r, r, r, r, r, r, r, r, r, r, r, r, r, r, r, r, r, r, r, r, r, r, r, r, r3, yes or no?

हाई या ना? r2 dr, integration हो जाएगा r3 कहां से कहां? 0 से r, नीचे बच रहा है mass m ok, so it will be what?

2 into sigma sigma की value? total mass कितना है? m area कितना है? pi r2 by 2 तो ये sigma की value? ठीक है इसमें r और r की value रखो कितना आएगा r3-0 by 3 और नीचे m mcm मर जाएगा क्या बचेगा 2 2's of 4 एक r cube से r square मर गया एक r बचेगा 4 r बटे 3 pi तो answer तो अपना यही आना था load तो थाई नहीं लोड नहीं लेना है, जिन्दगी में टेंशन नहीं लेना है, अपने को आंसर पता है क्या आना है, 4R by 3Pi, आंसर आ गया 4R by 3Pi, पर बात यह थी कि फील होना चाहिए, क्यों होना चाहिए, अभी बताता हूँ अगला कॉशिन देकर, अगला कॉशिन देकर मैं आपको बताता ह उसको समझना होगा, clear है यहाँ तक, कितना आया, 4R बटे 3π, तो आपने देखा 2 dimensional object के लिए कोई नई चीज़ आ गई, sigma, which is mass per unit area, और अब dm के दो formula हैं, या तो lambda times of dx लिख लो, या dm is equal to sigma times of dA लिख लो, sigma क्या है, total mass upon total area, lambda क्या है, total mass upon total length, तो यार इसको देखो और करते हैं इसमें यह याद रखना कि जो आपने elemental चीज लिए वो एक ring है और ring के लिए y की value आपको क्या लेनी पड़ेगी 2r by pi क्योंकि उसका खुद का भी center of mass है तो आइए देख लेते हैं वो next question तो अगले question में हमसे बोला कि find center of mass of the system shown शेरो भाई, अगर पिछला question तुमने ढंग से किया था, मेरे साथ सीखा था, तब ही यह वाला आप figure solve कर पाओगे, otherwise नहीं कर पाओगे, और रटने को आप रट सकते हो, मना नहीं कर रहा, पर यह चीज़ें जो आप concept पर आएगी, मालों मैं ऐसी एक figure दे दी, ठीक है, हमसे बो यहाँ कोई material नहीं है, ठीक है?

Annular ring type का, जैसा हम पढ़ते हैं maths में, Annular ring, यहाँ तक radius R1, इस वाले का radius R2, और definitely R2 is greater than R1, हमसे पूछा इसका center of mass, तो पहली logic बढ़ाएगा, बहुत ही clear है कि center of mass इस line पर lie करेगा इसमें तो कोई डाउब नहीं है दूसरी बात यह है कि इस बार इधर कोई mass है नहीं मतलब center of mass इस तरफ तो नहीं होगा मतलब इधर कोई mass नहीं है कहीं ना कहीं कहानी change होगी ऐस करें क्या करें पूरी कहानी जल्दी से लगाएंगे हम इसके अंदर क्या करेंगे यहां पर आके एक पतली सी elemental ring काट लेंगे elemental ring को मैं बाहर बना रहा हूँ यह यह यू यू यह मैंने एलेमेंटल ring काटी राडियस की थिकनेस कितनी डी आर इसका मास कितना डी एम मुझे निकालना क्या है वाइसी ओएम तो मैंने बोला वाइसी ओएम इजी को ट्रिक्ट वाइडी एम अपन इंटेग्रल डीएम अब फिर तो अच्छाल में ये आर उपर ना मान के मैं मानूँगा जो ये DM मास है वो कितनी उपर है मैं मानूँगा ये 2 आर बटे पाई उपर है मतलब DM मास का जो Y distance है वो आर उपर है नहीं मानूगा मैं क्योंकि उसका center of mass कहाँ है 2R बटे पाई तो YCOM मैं लिखूँगा integration 2R बटे पाई DM नीचे integration DM DM DM जोड़के हो जाएगा M अब बात है कहां से कहां integrate करना है मास कहा से कहा है, क्या मास r is equal to 0 पे है, नहीं है, मास start होगा r is equal to r1 पे, यहाँ पे, जहाँ पे r की value r1 है, और कहा तक जाएगा, जहाँ r is equal to r2, सिव इतने में ही तो मास भरा है, तो integration r1 से r2 तक, rest everything will be same, मास पर unit area हम sigma निकाल लेंगे, sigma will be mass upon area, पाई, यादेस का एरिया कैसे निकालते हैं हम? R2 square minus R1 square ऐसे निकालते हैं ना और क्योंकि आधी ring है तो divide by 2 तो ये 2 ये तो annular ring का आपको एरिया निकालना आता है ना पाई R square minus बाहर वाले का external radius square minus internal radius square, क्योंकि आधी ring है तो divide by 2, यह हो गया sigma, फिर dm निकालना है, तो बच्चों dm क्या होता है, sigma times of dA, अब dA कैसे निकलेगा, याद आगया, इसको हम सीधा कर देंगे, सीधा कर देंगे, तो यह हो गया πाई आर, सीधा करने पर, और यह कितना होगा, dR, यहां से इसका area कितना होगा, पाई आर times of dR, यहां से dM आपको मिल जाएगा, sigma, पाई आर, dR, आप पुट कर दोगे, integration 2R बटे पाए, sigma, pi, R, D, R कुछ छुटा तो नहीं, कुछ छुटा तो नहीं, divided by m, 0 से r, बोलो clear है, dm निकालना तरीका sigma d x, सीधा, जैसे sigma d x, d x की जगा, इसका area, खिच दिया, pi r dr, clear, यहाँ जाते हैं, इसकी value रखते हैं, pi से pi मर गया, 2 और sigma constant बाहर आ गया, 2 sigma constant बाहर, अंदर बचा r r r, square dr का integration, r cube by 3 divided by इस पूरे का मास माना है हमने yam चलो yam लिख लिया अब sigma की value प्रुख देते हैं 2 sigma की value है 2 times of m divided by pi r2 square minus r1 square square, मैं थोड़े देख लें, इसको यहां से हटा लो, इतना काम हो गया, sigma की value रख दी मैंने, sigma की value होगी, इसका mass m, divided by area, pi r2 square minus r2 square, divided by 2, ठीक, divided by यह m, अब, यहां यहाँ पहले R2 रखेंगे, R2 का Q by 3 minus R1 का Q by 3, यही होगा, बहुत बढ़िया, M से M मर जाएगा, 2 to the 4, और क्या हो सकता है, 2 to the 4, बाए, पाए, और 3 बाहर, 3 पाए, उपर बच रहा, R2 square minus R1 square, R2 cube, माइनस आरवन क्यूब और नीचे बच रहा आर टू स्क्वेयर माइनस आरवन स्क्वेयर तो यार यह क्वेश्चन तभी सॉल्व हो पाता अगर आपको यह पूरा कंसेप्ट मतलब कैसे निकाला था पिछला वाला वह कंसेप्ट अगर क्लियर होता तभी आप इसको इं� तभी आपको समझ में आता कि यहाँ पे element जो लेना है वो ring लेनी है उस ring के लिए area वगेरा निकालना है उसका center of mass 2r बटे पाई जो y की value है dm के लिए वो 2r बटे पाई और integration r1 से r2 किया क्योंकि mass सिर्फ r1 से r2 था इसी सीरीज का एक कोशिन मैं आपको दे रहा हूँ जो आप खुद से ट्राइ करोगे और उसके बाद मैं आपको आगे बढ़ा दूँगा नेक्स्ट टॉपिक बढ़ा दूँगा एक कोशिन मैं आपको दे रहा हूँ इसी सीरीज का वो भी तबी होगा जब आप सेम कंसिप सही होगा, then only you can solve that तो उसको comment करना है next question के answer को next question के answer जो सही comment करेगा उसको मिलेगा center of mask के अगले video में salute next next video में salute मिलेगा तो देखते हैं कौन सही करता है, question यह है कि यह एक disk है ok यहाँ पे एक disk है और इस disk की जो mass density है sigma, that is equals to 2 times of R, मतलब mass density है इसकी, वो R के साथ change हो रही है, यहाँ पे mass बहुत कम है, जैसे इसे बाहर की तरफ जा रहे है, mass जादा है, मतलब यहाँ पे mass जा रहे है, यहाँ मास बहुत जादा है, ठीक है, इस तरफ मास बहुत जादा है, और अंदर आते वक्त मास कम हो जाएगा, जैसे ऐसे हम अंदर आ रहे हैं, जैसे ऐसे मास कम हो गया, ठीक है, sigma is equal to 2r, जैसे ऐसे r की value बढ़, बढ़ रही है, mass पर unit area बढ़ रहा है, तो आपको इस system का center of mass find करना है, कहानी वही चलेगी, try करें और इसको comment करें, clear है, चल. अब चलते हैं बढ़ next topic पे, जो है center of mass of a triangular lamina, मतलब हमें पस triangular plate हो, या triangle का center of mass, center of mass of triangular lamina, triangular lamina. आए इसके भी बात कर लेते हैं triangular lamina की ये मान लो मेरे पास एक triangular lamina है ठीक है मान लो इसके base का जो radius है वो r है और इस triangular lamina की जो height है वो h है capital h है ठीक है हमें इसका center of mass find करना है कहाँ पे है ठीक है न अच्छा हम ये मान लेते हैं ये isosceles है ठीक है ये given है this is isosceles दोनों sides की बराबर है अगर दोनों साइड बराबर हैं बच्चों तो center of mass इस line पर lie करेगा कहीं ठीक है यहां से कितनी उपर जाना यही सवाल होगा ठीक है, तो answer is h by 3 उपर, center of mass, अब यह हम निकालेंगे कैसे आया, तो बच्चों इसके लिए हमें ycm निकालना है, x तो हम फिर से clear होगा है, हमें तो y में देखना है, तो ycm is integral ydm upon integral dm, और हम माल लेते हैं इसका पूरा mass कितना है, m है, अच्छा, क्या किया जाये, क्या किया जाये, हम यहाँ पे आके, या कहीं पे भी, एक पतली से strip काट लेते हैं, थोड़ा उपर काट, काटता हूं यहां पर हमने पतली सिस्ट्रिप काट ली सिस्ट्रिप का मास डेम हो गया हमने यहां से वाइड इस प्रेसिटेंस ऊपर आके एक d y थिकनेस की स्ट्रिप काटी जो कि d m है ऐसे d m d m d m d m d m देखो न यहां d m लो यहां d m लो यहां d m लो सारे d m d m d m लो तो d m y 1 d m y 2 सब जुरुजुरुगे उपर अलग काम तो बन गया और नीचे integration d m ठीक है अब problem क्या थी problem वही है d m और y को आपस में एक जैसा लिखने का बच्चों यह भी एक two dimensional body है triangular lamina 2d 2d के लिए आता है हमारा sigma mass per unit area हाँ या ना definitely इसका area कितना होगा बच्चो sigma is equals to mass upon area area बोलो half into base base कितना हो जाएगा इसका 2R into height यह R है तो यह हो जाएगा 2R half into base into height so sigma will be equal to M बटे R into H चलो sigma की value हमको मिल गई M बटे RH M बटे RH mass per unit area अब हमें dm को ले जाना है किस के terms में कुछ y के terms को ले जाना है तो यहाँ मैं इस strip को बहार निकाल लूँ यह रही strip strip की length कितनी है strip की length कितनी है नहीं पता अच्छा इसकी width कितनी है dy यह पता है अब इसकी length भी नहीं पता बाई आपको पता है dm को express कैसे करना चाहेंगे हम हम dm को express करना चाहेंगे sigma times of ds हाँ की न sigma times of ds डी एस का area area length into breadth लेंथ नहीं पता ऐसे तो dm अटाओगे न two dimensional में sigma ds है one dimensional होता है lambda dx two dimensional है sigma ds अब dm में area चाहिए इसके length नहीं पता आप क्या करें तो ऐसा कर लेते हैं बच्चों मान लेते हैं ये r है मान लेते हैं ये जो length है वो r है तो यह ट्राइंगल और बड़ा ट्राइंगल similar हो जाएगा छोटा सा ट्राइंगल, बड़ा सा ट्राइंगल, अपस में similar similarity का theorem लगा देते हैं यह upon यह is equal to यह height upon ये height हाँ या ना एक triangle ये एक triangle बड़ा वाला तो हम बोल सकते हैं r upon r very important cone में भी काम आएगा ये cone में भी यही चीज़ cone में करेंगे हम r upon r is equals to इसकी height कितनी हो गई यह है यह हो गया ही माइनस वाइ इस इक्वेस्ट टू एक्शन माइनस वाइ बटे पूरे ट्रैंगल की हाइट एक ट्रैंगल बड़ा वाला यहां से देखो तुमको यह लेंथ मिल गई आर इज इक्वेस्ट टू एक्शन माइनस वाइ बटे एक्शन इन्टू आर ये तुमको इसकी length मिल गई, ये पूरी length कितनी है? 2R हुँ, हुँ, अब आप निकाल सकते हो, dm is equals to sigma times of dA, dA is what?

2R into dy, what is R? Here it is, रब तो खतम कहा नहीं आजाईए भाई सब, clear यहाँ तक, आजाईए, तो integration of y dM dm की जगह sigma dA यानि 2Rdy नीचे dm dm dm जोड़ोगे mass m आजाएगा ने इसका जो total mass होगा अच्छा भाई बहुत बढ़िया y sigma 2 अब r की जगे h-y upon h into r into dy upon m थोड़ा देखने में complex लगता है, है असान यार, step by step चलना है अब r हमको नहीं पता क्या, तो हमने r को change किया in terms of y अपना मकसद होता है dm की जगे कुछ dy लाना, यही तो मकसद होता है तो हमने dm सोचा क्या करें, तो sigma da, sigma da अब da की जगे हमने इसका area निकालना था, length into breadth, इसकी length हमने मालिए 2 आ, अब r भी नहीं पता similarity लगाते हैं r by r is equal to h minus y but h यहां से r की value मिली हो वो वहाँ ठकपट कर दी चलि यागे आते हैं इसको solve करते हैं सेगन वेल्यू क्या है m by r h चलो रखेंगे आगे बढ़ते हैं वहाँ से क्या constant है 2 constant है बाहर गया capital r constant है बाहर गया sigma constant है बाहर गया नीचे वाला h constant है बाहर गया 2 sigma r h बाहर गया h minus y into y into dy divided by अब मेरे को एक बात बताओ कहां से कहां integrate करोगे y को हमें vary कराना है y तो vary कर रहा है कहां से कहां यहां y 0 फिर बढ़ता बढ़ता बढ़ता बढ़ता h तो 0 से लेके h तक जाना है अब लेको 0 से h तक y को vary करा दो सारे dm include हो जाएगे sigma की value m upon r h तो sigma की जगह 2r by h m upon r h नीचे एक m integration होना है यह हो गया hy minus y square dy का integration 0 से h तक m से m मरा r से r मरा और h न जाने क्यों नहीं मरा तो 2 बटे h square अब square integrate करोगे, h y का integration dy, तो h बाहर आ जाएगा y square by 2, एक तो ये हो गया integrate, और दूसरा वाला minus, y square का integration y cube by 3, 0 से h, 0 से h, आइए integration को आगे बढ़ाते हैं, तो ये होगा 2 बटे h square, अब यहाँ पे आप y square जगे h रखोगे वगेरा वगेरा, तो h cube by 2, कि माइनस एच क्यूब बाइ थ्री यह यहां से त्रिएच क्यूब माइनस टू एच क्यूब सो दिस विल बी टू बाइ एच स्क्वेर एच क्यूब बाइ सिक्स यहां से यह इसको आप solve करो integrate करो edge बाहर जाएगा y का integration wise के लिए सब solve करो सब simple so the final answer will be edge by 3 कहां से from base base से कितना उपर आएगा center of mass edge by 3 height पे आएगा अब इस पे थोड़े बहुत variation कर देगा तो वो भी आप solve कर सकते हो clear हो रहा है समझ में आ रहा है? तो आज हमने center of mass पढ़ा बहुत सी चीज़ों का, हमने linear body का पढ़ा, हमने ring का पढ़ा, हमने disc का पढ़ा, हमने annular disc का पढ़ा, हमने triangular lamina का पढ़ा, अब बचा क्या क्या? बचा है हमारे पास sphere, अब मालो sphere है पूरा, center of mass कहा होगा, center पे, एक होगा solid, एक होगा hollow, sphere में हर जगे mass भरा हुआ, solid और एक होगा khokhla hollow sphere तो उनका center of mass और एक हमारा बचा है cone तो क्योंकि इस वीडियो बहुत लिंदी हो गया है तो three dimensional object का center of mass का मैं next वीडियो अभी तुलिंद बनाता हूँ तब तक आप इसको enjoy करें all the very best

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केंद्रक द्रव्यमान के नोट्स