Запись лекции по пределам

Введение

• Старт учебного года, система TutorOnline.
• Обсуждение вопросов по вычислению пределов.
• Пределы изучаются в 11 классе и на первом курсе университета.

Основные принципы вычисления пределов

Что такое предел?

• При нахождении предела необходимо определить, к какому числу стремит x.
• Если подставив значение, мы получаем 0/0, это неопределенность.
• Нужно избавиться от неопределенности.

Устранение неопределенностей

• Если x стремится к числу, которое обнуляет числитель и знаменатель, это корень.
• Разложить числитель и знаменатель на множители и сократить.

Пример 1: Предел при x = 2

1. Подставляем x = 2.
2. Получаем 0/0.
3. Разложение на множители:
   • Числитель: x^3 - 2x^2 + 4x - 8.
   • Знаменатель: x^2 + 2x - 16.
4. Сокращаем (x - 2) и подставляем 2.
5. Ответ: 5/8.

Пример 2: Предел при x = 8

1. Подставляем x = 8.
2. Получаем 0/0.
3. Используем формулы разности кубов для числителя.
4. Сокращаем и подставляем 8.
5. Ответ: 12.

Устранение иррациональности

• Метод: домножение на сопряжённое выражение.
• Устраняем корни в числителе или знаменателе.

Пример 3: Предел с корнем

1. Подставляем x = 0.
2. Получаем 0/0.
3. Домножаем на сопряженное выражение.
4. Упрощаем и подставляем.
5. Ответ: 1/2.

Пределы при стремлении к бесконечности

• Если предел – это отношение многочленов, обращаем внимание на максимальные степени.

1. Если степень числителя < степени знаменателя, предел = 0.
2. Если степень числителя > степени знаменателя, предел = бесконечность.
3. Если степени равны, предел равен отношению коэффициентов.

Пример 4: Предел с корнями

1. Предел x стремится к бесконечности.
2. Выносим максимальные степени.
3. Упрощаем и подставляем.
4. Ответ: e^(-1).

Заключение

• Обобщение методов нахождения пределов.
• Вопросы можно задавать в системе Ответка.