Привет, школьники, студенты и все, кто интересуется математикой. Вы знаете, стартовал учебный год, и я вот решила зайти на такой прекрасный сервис, который есть у нас на сайте TutorOnline, называется он Ответка. Поэтому, если вы им не пользовались или не знаете вообще, что такое есть, заходите, смотрите.
Так вот, я вот... днях и захожу туда, начинаю листать вопросы по математике и вижу, что там полным-полно вопросов про вычисление пределов. Иногда это изучают в 11 классе в школах с повышенным изучением уровня математики или...
Чаще всего это изучают на первом курсе университета. Так вот, я решила, что нам срочно, очень срочно нужно сделать урок по пределам. И назовем мы его так.
Пять, ну или ладно, давайте, наверное, шесть пределов, чтобы точно вы могли сдать зачет по пределам. Ну что, начинаем? Что же мы должны уметь делать? Какие пределы мы должны уметь считать?
Если вас просят найти предел, вот это будет выглядеть как-то так. И вы посмотрите для начала, к какому числу стремится ваш х. И первое, что попробуйте сделать, это просто взять и подставить это.
двойку как у меня вместо икса везде где его встречаете и что же мы получим давайте посчитаем если нам повезет то это просто будет какой-то результат и мы его напишем в ответ но если нам не повезет а что значит не повезет вот давайте посмотрим Если я подставляю двойку, я получаю 8 минус 2 умножить на 4, 8, 2 минус 2. В итоге будет 0. Так, я посчитала, у меня получился 0. В знаменателе подставляю двойку, будет 8 плюс 4 минус 16 плюс 4. Мы получаем опять-таки 0. Значит, 0 делить на 0, но это же не ответ. Это неопределенность вот такого вида. И если вы получаете нечто кривое, вот такого плана, то вам надо как-то от нее избавиться. И вот в этом... и есть вся суть пределов избавиться от вот этих проблем кстати кроме вот такой проблема вот такой неопределенности вы можете попасть на следующие неопределенности вот они те самые неопределенности которые тоже у вас могут получиться при подстановке ваших чисел которым будет стремиться x так вот мы сейчас будем от этих неопределенности избавляться в данном случае мы получили 0 делить на 0 и что же нам делать вот если вы видите что ваш x стремится какому-то конкретному числу и это число обнуляет ваш числитель и знаменатель, как у нас, значит, оно является корнем.
Так вот, попробуйте разложить на множители числитель и знаменатель и убрать эту проблему. Сократить вот эту скобку x минус 2. Потому что если x равный 2 это корень, раз он обнулил, значит, он корень, то у вас по-любому получится это разложение сделать. Итак, я переписываю. Лимит x стремится к 2. И я теперь попробую что-нибудь сделать с числителем.
Вспоминаем старые методы. Например, в 8 классе вам показывали вынесение формулы... группировку здесь вполне может это подойти смотрите-ка я например могу сгруппировать вот x куб и x могу сгруппировать вот эту парочку и тогда мне что получится в этой паре я вынесу x за скобки вот моя самая звездочка отдельная я и пишу x выношу за скобки получается x квадрат плюс 1 дальше в этой паре выношу минус двойку за скобки получается x квадрат плюс 1 и дальше мы выносим x квадрат плюс 1 за скобки и здесь будет x минус 2 То есть я вместо числителя могу написать вот этот результат.
x квадрат плюс 1 разделить на x минус 2. Вот, мне на помощь пришла группировка. А, например, со знаменателем, пускай будет 2 звездочки, что мы можем сделать? Кстати, какие еще есть подходы у вас?
Вот я сказала вынесение формулы группировки. Здесь можно тоже что-нибудь попробовать придумать, как-нибудь сгруппировать, может быть. А вообще такой универсальный метод, если вы подобрали корень, вот мы сказали, что x равно 2, это корень, потому что он обнуляет у нас этот многочлен. Значит, я могу взять...
взять, чтобы мы все методы проговорили, которые вам могут помочь. Давайте просто поделим столбик на х минус вот этот корень, который мы подобрали. И таким образом мы здесь сделаем х минус 2, а здесь в скобке будет тот результат, который получится в результате деления.
Будет полезно всем, кто сейчас проходит деление в столбик. Что я делаю? Я подбираю такое вот здесь выражение, чтобы при умножении на этот х я получала х куб.
Это будет х квадрат. Умножаю. Получается х в кубе.
и минус 2х квадрат. То есть я этот х квадрат еще умножаю на 2. В итоге вычитаю. У меня получается здесь 0. То есть я все правильно делаю.
И дальше х квадрат минус минус х квадрат. Минус 2х квадрат. Получается 3х квадрат.
Будьте внимательны со знаками. И сношу следующее. Минус 8х.
Здесь будет плюс 3х. Я всегда подбираю так, чтобы при умножении получилось вот это первое. 3х квадрат и минус 6х. Вычитаем.
Потому что 3х на минус 2 получается минус 6х. Здесь будет 0, а тут минус 8х минус минус 6х, то есть станет плюс. И получается минус 2х, здесь вниз идет плюс 4, и последний заход, вот здесь мы пишем минус 2, потому что мы умножим, будет минус 2х и минус 2 на минус 2 плюс 4 и 0. То есть вот это результат нашего деления, и я себе пишу его во вторую скобочку.
минус 3х, минус 2. Все, круто. Вот эту проблему с х минус 2 мы сокращаем, и дальше мы уже можем без проблем подставить эту двойку. Если бы вдруг опять эта двойка нам обнуляла числитель и знаменатель, то есть мы опять выходили бы на эту проблему, то... продолжили бы деление, мы опять бы числитель еще делили бы на х-2 и еще раз знаменатель делили на х-2 и сокращали эту проблемку.
Теперь я эту двойку подставляю. У меня получается 2 в ��вадрате это будет 4 плюс 1. Здесь подставляю. Будет 4 плюс 2 на 3 6 минус 2. И высчитываем. Будет 5. Здесь 8. Значит наш ответ 5 восьмых. Вот мы и нашли предел.
Может быть еще один такой примерчик решим. Вот наш пример. И мы попытаемся опять же подставить вот эту восьмерку вместо х.
У нас получится 8 минус минус 8, 0. А если я подставляю в знаменатель, получается 8 корень третьей степени будет 2, 2 минус 2, опять мы получаем 0. Опять та самая неопределенность, которая у нас получалась в первом случае. И здесь вроде бы как надо действовать таким же образом. Раз у нас х равно 8, это корень, то мы должны как-то вот эту проблему сократить. И в принципе, ну тут по-другому все выглядит.
Я не смогу разложить на множители вот это и вот это? Или смогу? Вот давайте... Давайте-ка еще раз вспоминать. У нас же были способы разложения, это вынесение формулы и группировка.
Конечно, вынесение тут никакое нигде не сделаешь. Но вот формулы, помните, у вас, кстати, это будет актуально сейчас для, наверное, 10-ти классников, были формулы, например, разность квадратов или разность кубов, было дело. Так вот, эти формулы, они работают не только для степеней, там, например, квадраты и квадраты, они работают и для четвертых степеней, и для шестых степеней.
Эта формула вам степень делит пополам. И... И то же самое с кубами. Но в том числе мы можем спуститься, как говорится, под землю и работать этой формулой с корнями. То есть я могу оценить вот эту вот всю картинку и понять, что вот этот х в корне третьей степени, он все-таки меньше, чем этот х.
И я могу вот это выражение воспринимать как, внимание, корень третьей степени из х в третьей степени. А из восьмерки могу сделать как 2 в третьей степени. И вот если присмотреться, оказывается, что... Оказывается, что к числителю я могу применить формулу разность кубов. И тогда что у меня получается?
По разности кубов у нас в одной скобке будет а минус b, а во второй скобке будет а квадрат, вот это мое а, это мое b. Значит, будет корень третьей степени из х в квадрате плюс а b, 2 на корень третьей степени из х и плюс квадрат второго числа. Значит, плюс 4. И в номере.
номинатели корень третьей степени из х минус 2. Вот что у меня получилось. Дальше я могу, опять же, вот это вот одинаковое сократить и без проблем теперь подставляю сюда восьмерку и высчитываю, чему будет равен этот предел. И получается корень третьей степени из 8 в квадрате плюс 2, корень третьей степени из 8 плюс 4, уже никаких пределов нет, я подставила вместо х восьмерку, и получаем здесь будет 2 в квадрате 4, здесь 4 и плюс Плюс 4. Значит, наш ответ 12. Вот так вот мы присмотрелись и увидели здесь формулы.
Опять же, как вот здесь разложили на множители и смогли сократить вот эту проблему с двойкой. Но, кстати, для корней есть другой подход, и мы сейчас с ним тоже разберемся. Это подход избавиться от иррациональности. Я могла бы взять вот этот вот знаменатель, в котором я вижу корень, и попытаться избавиться от корня.
А как бы я это сделала? Всегда, когда вы избавляетесь, у нас, конечно, в школе давали в основном два правила. то вы домножаете на такой же корень, а если корень разрывной, то вы домножали на сопряженное. Но сопряженное нам надо было для того, чтобы получалась формула разность квадратов.
А здесь, если бы мы домножили на сопряженное, это бы нам ничего не дало. Нам надо было бы домножать на вот такую вот штуку. То есть мы должны были бы знаменатель довести до формулы. То есть почти то же самое, что сделала я, только взять вот эту скобку, догадаться, что надо до нее домножить знаменатель, домножить на нее числитель.
Эта штука бы свернулась по формуле, сократилась бы с x-8, и мы все равно... оба остались вот с таким выражением надеюсь так на словах более-менее было понятно ну а если нет у меня для вас сейчас третий предел вот как и обещала еще один предел с корнем и давайте опять же убедимся что вот это вот этот нолик вместо икса нас не устраивает посмотрите если я подставляю сюда 0 сюда 0 не получается один минус один это будет 0 делить на 0 та самая неопределенность от которой мы должны избавиться и вот тот метод который я проговорила предыдущем В этом случае этот метод избавится от иррациональности. Вспоминайте, как мы это делали в 8 классе.
Мы домножаем, кстати, здесь неважно, где эта иррациональность находится, в числителе или в знаменателе, просто избавьтесь от нее. Мы домножим вот этот числитель, у нас там 1 плюс х квадрат минус 1, мы домножим на точно такое же сопряженное. То есть у нас будет корень из 1 плюс х квадрат плюс 1, а домножаем мы для того, чтобы они умножились, и корень... За счет того, что это формула разность квадратов, будет вот эта штука в квадрате минус 1 в квадрате.
И она уберет, квадрат нам уберет корень, и там что-то получится посчитать. И раз мы что-то сделали в числителе, то делаем то же самое в знаменателе. То есть домножаем на 1 плюс х квадрат под корнем плюс 1. Было такое, вот оно, вот такое у нас было. Мы домножили на одинаковое. Равно.
И дальше, как я уже сказала, избавляемся от этой иррациональности. Вот х стремится к нулю. У нас будет...
Эта штука в квадрате это 1 плюс х квадрат и минус 1 в квадрате остается единицей. Ну а знаменатель оставляем пока вот таким страшным, какой он и есть. 1 плюс х квадрат плюс 1. Обычно вот этого одного захода бывает достаточно.
Посмотрите, у нас 1 минус 1 это будет 0, я их удалю. Потом остаются х квадрат и этот х квадрат, они благополучно сокращаются. У нас в числителе остается просто единица. И теперь если мы подставляем вместо х 0, то все будет великолепно.
Великолепно. 1 в числителе. Теперь 0 подставляем.
Будет 1 плюс 0. Значит, корень из единицы это 1. 1 плюс 1 будет 2. Значит, наш предел равен 1 второй. Давайте-ка посмотрим на этот предел. Он отличается от предыдущих тем, что здесь уже х стремится к бесконечности. И если мы подставляем эту бесконечность, то мы получаем, опять же, какую-то неприятную вещь.
Вот я буду подставлять, у меня получится тут какая-то бесконечность и тут какая-то бесконечность. Что же с ней делать? Для нее особенный подход, который...
я даже оформила для вас специально вот таким вот правилам. Если ваш предел при их стремиться к бесконечности это отношение каких-то многочленов, то обратите внимание на максимальные степени этих одночленов. Именно на максимальные степени.
Вот если у меня степень числителя будет меньше, чем степень знаменателя, это вот именно об этом, n и m это степени, то у меня предел будет равен нулю. Если степень числителя будет больше, чем степень знаменателя, то предел будет равен нулю. бесконечности и вот если степень числителя и знаменателя совпадают то тогда он будет равен просто отношению вот тех коэффициентов старших которые стоят при вот этих максимальных степенях ну давайте-ка так вот эту схему посмотрите на первое и на последнее а вот с этим случаем мы сейчас разберемся вот тот самый предел о котором я говорила я вижу что здесь какой-то многочлен здесь какой-то многочлен какие интересные степени вот если я посмотрю тут у меня x в 1 умножается здесь корень третьей степени и и тут x3.
Если я бы достала этот корень, у меня получился бы еще один x, он вылез бы x. И x умножить на x был бы x2. То есть я понимаю, что здесь максимальная степень это x2.
В знаменателе тут стоит x4, но он стоит под корнем квадратным, поэтому если бы он вылез из-под корня, был бы тоже x2. Степени совпадают, и мне надо тогда брать... отношение вот тех коэффициентов которые стоят при старших степенях но это делать в особенно в этом примере не очень-то удобно давайте-ка я просто преобразую обычно так и предлагается делать и вынесу вот этот x максимальный x квадрат в числителе и в знаменателе сокращу его и вот то что мне останется я посчитаю с подстановки с подставленным вот этим x равным бесконечности вот так вот мы сделаем равно лимит икс стремится к бесконечности тут этот икс я оставляю и вот вынесу этот вот икс в третьей степени из под корня у меня получится просто икс я же когда достаю этот икс у меня здесь стоит плюс и я не могу просто взять и только из него достать корень я как бы его вынесла то есть я икс куб под корнем вынесла у меня получилось один плюс один разделить на икс в третий это все находится вот у меня сейчас под корнем и я этот икс куб из под корня достаю а вот эта штука штуковина у меня под корнем останется.
1 плюс 1 разделить на х в третий. Меня вот то, что здесь такая штука получается, вообще не волнует. Это все нормально, потому что, когда вы будете подставлять бесконечность, число делить на бесконечность это 0. Такой предел считается.
И теперь о знаменателе. Я, опять же, ориентируюсь на максимальный х. Я его как бы вынесу, пока это происходит под корнем.
х в четвертый будет 2 плюс 3 разделить на х в третий минус 2 разделить на х в четвертый. Там, где не… не было иксов, я их тоже выношу и пишу в знаменатель. Вот если я бы раскрывала скобки, получилось бы 3х.
Если бы здесь раскрыла скобки, получилось бы просто 2. Этот х4 достаю из-под корня. Получается х2. И здесь под корнем у меня будет 2 плюс 3 разделить на х.
Куб минус 2 разделить на х в четвертой. Так, здесь я забыла плюс единицу еще написать. Вот так вот.
Следующий шаг. Вот тут х квадрат, я бы его уже готова была сокращать, но здесь этот. x не имеет никакого отношения к единице.
Поэтому мы здесь видим два слагаемых. И еще должны этот x квадрат достать. У нас получится лимит. x стремится к бесконечности. Вот мы достаем x квадрат.
В скобках будет корень. Вот-вот. Вот он, 1 плюс 1 разделить на х в третий, плюс, я же достаю х квадрат, значит 1 разделить на х квадрат, это уже не под корнем. И тут х квадрат корень 2 плюс 3 делить на х в третий, минус 2 разделить на х в четвертый.
Теперь эти самые х квадраты сокращаются, и мы смотрим, что будет, если я подставляю бесконечность. Подставляем, будет 1 плюс, вот эта штука дает 0, потому что 1 делить на бесконечность, эта штука дает 0. Это дает 0 и это дает 0. Но нас это не волнует, потому что будет 1. Тут все нормально в числителе. А в знаменателе будет корень из 2. Корень из 2. Все, предел посчитан.
Вот так вот вы разбираетесь с пределами, которые содержат корни, вот как у нас. Ну а теперь на очереди замечательные пределы. какая же я замечательная я вам не только первый замечательный предел написала и второй замечательный предел я еще написала для вас следствие из этих пределов и вот если вы попадаете в заданиях на нечто похожее как это или как вот это или вот что то в таком духе то вы просто гоните это задание под ваш предел вот обратите внимание я замечаю что вот этот предел который мне подсунули в задании очень напоминает вот этот первый замечательный конечно он не такой не тот точь-в-точь.
Поэтому мы сейчас будем над ним колдовать, и вот мы будем всеми силами его подгонять под вот этот первый замечательный предел или под какое-то следствие. Ну, а, кстати, а почему плохо? Зачем вообще нам это делать? Потому что если мы подставим 0, то у нас будет проблемка вида 0 делить на 0. Ну что, я понимаю, что тангенс тут, похоже, не к месту. Давайте-ка я тангенс заменю на синус делить на косинус.
Лимит. Х стремится к 0. Так, оставляю дробь. Вместо тангенса пишу синус.
Синус х разделить на косинус х минус синус х и разделить на х куб. Равно. Так, теперь я в этом числителе могу, например, привести к общему знаменателю. У меня получается лимит х стремится к нулю.
Далее. Здесь остается синус х минус, здесь я домножаю, будет синус х на косинус х. И теперь для этого числителя там еще получается знаменатель, который будет косинус х.
и все это пока делится на x куб. И дальше вспоминаем, как нам эту трехэтажную дробь расфасовать. Мы вот этот косинус опускаем вниз, у нас получается уже более-менее нормальная дробь.
Вот будет лимит, x стремится к нулю, и я в знаменатель, вот там, где был x куб, я отправляю туда же и косинус x. А в числителе замечаю, что синус и синус повторяются в двух слагаемых, я этот синус вынесу за скобки. Вот сделаю синус, единица минус косинус x, и сейчас самое интересное.
Я вот то, что у меня получилось, постараюсь разбить на несколько пределов, потому что по свойству пределов я могу найти пределы от каждого множителя, который у меня получится. В итоге, вот посмотрите, синус х, я от этого х куба возьму 1х. чтобы подогнать под вот этот первый замечательный предел.
То есть я делаю так. Лимит х стремится к нулю, и первая дробь у меня будет синус х отдельно делить на х. То есть я только кусочек какой-то выписала для того, чтобы это уже было такое, как в нашем первом замечательном пределе.
Что у меня остается? Остается 1 минус косинус х, тут останется х квадрат и косинус х. Внимание! 1 минус косинус х разделить на х квадрат. Вот я вам написала, вот он, да, следствие из первого замечательного предела.
То есть я напишу отдельно 1 минус косинус х разделить на х квадрат. И я его таким образом оставлю, потому что мне он уже удобен, я уже знаю его предел. И что у нас осталось еще? То есть синус х мы использовали, 1 минус косинус и х квадрат мы забрали.
Значит осталось только единицы разделить на косинус х. Ну а теперь подробно. От каждого элемента смотрим предел.
Итак, это наш первый замечательный предел, значит это единичка. Вот эта штуковина, это у нас следствие из первого замечательного. Там оно выводится просто заменой по формуле. тригонометрической а вот эта штука вообще-то если я вместо икса подставлю 0 и я получаю косинус 0 это единицы поэтому 1 делить на 1 это будет просто один то есть это такая штука не проблемная для нас в итоге наш предел будет равен 1 умножить на 1 2 нужно 1 равно 1 2 вот так нам первый замечательный предел помог решить вот Такое сложное задание.
Ну а этот предел, он... Опять же, получилась бы какая-то ерунда, если бы мы подставили бы эту бесконечность. И он чем-то нам отдаленно напоминает второй замечательный предел. Поэтому нам надо всеми силами из него сделать нечто подобное.
Вот мы и постепенно это будем делать. Нам надо, чтобы тут была единица плюс что-то. Окей, значит, я сделаю так. Лимит, это у меня равно, х стремится к бесконечности.
Я напишу 1 плюс, то есть я сама искусственно припишу эту единицу. Х разделить. на x плюс 1 и сделаю минус 1 чтобы не изменить свое задание то есть вот эти единицы они появились для того чтобы был подгон под вот этот второй замечательный вот у меня один а тогда вот эту вот штуку я наверное приведу в единую дробь равно лимит x стремится к бесконечности 1 плюс а тут приведем к общему знаменателю у нас получится x плюс 1 и далее x минус а эту единицу домножаем на этот знаменатель будет минус И это в степени х.
Равно. Дальше здесь мы видим, что х и х у нас дадут 0, и получается минус 1. А нам надо, чтобы предел выглядел так. 1 плюс...
Этот минус нам портит картину, значит, я его опускаю вниз. То есть я перепишу так. Лимит х стремится к бесконечности.
1 плюс... И сделаю 1 разделить на минус х плюс 1. И все это в степени х. Вот теперь это уже похоже на второй замечательный предел. И причем идея тут такая.
Вам не просто тут х. Х и х надо, а чтобы было в знаменателе и в степени нечто одинаковое, содержащее х. Поэтому нас вполне устроит, чтобы в нашей степени, чтобы получился второй замечательный, стояла вот такая вот штуковина. Но у нас пока стоит х, поэтому что я сделаю?
Я сделаю так, как мне надо, и вы так делайте. Я пока этот х уберу, точнее отодвину его в сторону, то есть он-то у меня останется, но мне-то нужно что-то другое, и я поэтому искусственно дописываю минус х. плюс 1 то есть мне надо чтобы это и вот это совпадало все готово значит это уже был бы мой первый второй замечательный предел это было бы е но я же что-то искусственно приписала значит нужно от этого избавляться также как мы единицу добавляем и отнимаем чтобы ничего не поменялось задание поэтому я приписала и тут же я это уберу а как мне это убрать я допишу 1 разделить на минус x плюс 1 то есть эта степень была дописана то что она мне была нужна и тут же я умножаю на 1 делить на эту же степень. Если бы они посчитались, они бы сократились.
И у меня бы остался просто х, как и был изначально. И теперь осталось только это дело аккуратненько посчитать. Как мы уже сказали, вот эту часть я полностью заменяю на е, потому что это точь-в-точь мой второй замечательный предел. То есть это будет е. А вот эта степень, которую я искусственно приписывала, и тот х, который у меня был изначально, они останутся у меня на этом е, но только...
только этот лимит именно к ним и перейдет. То есть я буду писать здесь лимит, х стремится к бесконечности от вот этой вот штуковины. х разделить на минус х плюс 1. Вот такая штука.
Ну и теперь, что же делать дальше? Если я подставляю бесконечность, у меня получается какая-то ерунда. Бесконечность делить на бесконечность.
Или мы можем что-то с этим сделать? Можем. Если у нас степени в многочленах числителя и знаменателя совпадают, когда х стремится к бесконечности, то мы просто делим на эту максимальную...
степень и числитель и знаменатель то есть я могу разделить и числитель на x и знаменатель разделить на x каждое слагаемое и получается что у меня давайте этот предел отдельно напишу вот у меня там что лимит x стремится к бесконечности и вот мы как договаривались x поделили на x получилась единичка потом здесь поделили на x получили минус скобка 1 плюс единица деленная на x Вспоминаем, что если мы 1 делим на бесконечность, вместо х у нас бесконечность, это получается 0. И поэтому наш результат 1 разделить на минус 1, это будет минус 1. Значит, если возвращаемся в наш предел, у нас будет е в степени минус. с единицей и это уже есть ответ. Вот такой вот замечательный урок у нас получился.
Ребята, ну что, если у вас проблема была с пределами, надеюсь, что после нашего урока с ними проблем не будет. Ищите пределы так, как это делали мы на уроке. Ну а если остались вопросы, как я уже сказала, пишите в ответку.