Einführung in die Integralrechnung

Hauptziel der Integralrechnung

• Integralrechnung beschäftigt sich mit der Berechnung von Flächen, die durch Funktionen und die x-Achse eingeschlossen werden.

Beispiel 1: Einfache Flächenberechnung

• Koordinatensystem: Fläche unterhalb des Graphen von 0 bis 4.
• Dreieck: Fläche berechenbar durch bekannte Formel: ( \frac{1}{2} ) mal Grundseite mal Höhe.
  • Berechnung: ( \frac{1}{2} \times 4 \times 4 = 8 ).

Wann ist Integralrechnung nützlich?

• Bei komplexeren Funktionen, wo einfache geometrische Formeln nicht mehr ausreichen.

Berechnung eines Integrals

• Funktion: ( f(x) = x ) (eine Gerade).
• Bereich: von 0 bis 4 (auf der x-Achse).
• Integralzeichen: Geschwungenes S mit Grenzen unten (0) und oben (4).
• Formulierung: ( \int_{0}^{4} x , dx ).
  • DX: Schließt das Integral ab; zeigt die Variable, nach der integriert wird._

Integration und Ableitung

• Integration ist das Gegenteil der Ableitung.
  • Beispiel: Ableitung von ( x^3 ) gibt ( 3x^2 ).
  • Integration: Umkehrung der Ableitung, z.B. aus ( x^1 ) wird ( \frac{1}{2}x^2 ).

Regel für Integration

• Hochzahl: Erhöht sich um eins.
• Korrekturfaktor: Bruch aus der ursprünglichen Zahl vor ( x ) und der neuen Hochzahl.

Beispiel 2: Integrieren des ersten Beispiels

• Funktion: ( f(x) = x ).
• Stammfunktion: ( \frac{1}{2}x^2 ).
• Einsatz der Grenzen: ( \frac{1}{2}(4^2) - \frac{1}{2}(0^2) = 8 ).

Weiteres Beispiel: Komplexere Funktion

• Funktion: ( 4x^2 ).
• Bereich: von 0 bis 1.
• Integral: ( \int_{0}^{1} 4x^2 , dx ).
• Stammfunktion: ( \frac{4}{3}x^3 ).
• Berechnung: ( \frac{4}{3}(1^3) - \frac{4}{3}(0^3) = \frac{4}{3} )._

Fazit

• Grundlagen der Integralrechnung verstanden.
• Zukünftige Aufgaben werden komplexer, aber mit diesen Grundlagen sollten weitere Schritte möglich sein.