hallo ihr Lieben heute möchte ich euch eine Einführung in die Integralrechnung geben und wir werden am Ende des Videos tatsächlich das Integral von dieser Funktion hier berechnen bevor wir aber an die Berechnung gehen möchte ich euch erstmal zeigen was das Ganze überhaupt soll bei der Integralrechnung geht es um Flächenberechnungen und zwar hat man wenn man das jetzt anschaulich sehen will hier so ein Koordinatensystem und da ist so eine Funktion eingezeichnet und bei der Flächenberechnung geht es zum Beispiel um die Fläche die dieser Graph mit der x-Achse einschließt also zum Beispiel könnte ich sagen hier unterhalb dieses Graphen von der 0 bis zur 4 hätte ich gerne dieses Flächenstück hier ausgerechnet da ich das nicht ganz so schön zeichnen kann habe ich das einfach mal hier schon mal vorbereitet hier hätten wir das ganze noch mal und jetzt sagt ihr vielleicht naja wozu brauche ich da Integralrechnung das ist doch einfach nur ein Dreieck ich kann das doch einfach ausrechnen der Flächeninhalt wäre wie die Formel halt eben ist ein halbmal die Grundseite die ist hier viermal die Höhe die ist hier auch vier und wenn ich das ausrechne 4 x 4 sind 16 mal einhalb sind acht und ich habe meine Flächeninhalt ja das stimmt schon das geht hier sehr einfach aber die Funktion ist ja auch sehr einfach wenn die Funktion plötzlich so aussieht und ihr wollt dieses Flächenstück hier berechnen dann sieht die Welt nicht mehr ganz so gut aus und ihr sagt vielleicht ja Integralrechnung könnte da vielleicht hilfreich sein also alles was sie am Anfang basiert könnte man noch mit den normalen Formeln berechnen aber sobald die Funktionen an sich also dieses rote was man hier sieht komplizierte aussieht braucht man auf jeden Fall die Integralrechnung ich will euch aber trotzdem jetzt an diesem Beispiel an diesem einfachen Beispiel zeigen dass wenn wir die integrale benutzen klar für den Flächeninhalt auch acht rauskommt so wie wir das jetzt gerade mit dem Dreieck einfach berechnet haben schauen wir uns das mal an was wir dafür brauchen als allererstes muss ich die Funktionsgleichung von dieser roten Funktion eben kennen die ist gegeben die heißt FX = x das ist einfach nur eine Gerade okay die braucht man immer und dann muss ich wissen von wo bis wo ich integrieren will ich soll die Fläche von 0 bis 4 Integrieren von wo bis wo bedeutet auf der x-Achse nicht auf der Y-Achse das interessiert uns nicht sondern von wo von rechts nach links von wo bis wo von 0 bis 4 dann kann ich mein integral nämlich aufstellen das Integralzeichen sieht so aus ist um geschwungenes S und langgezogenes S und da kommen jetzt oben und unten die Grenzen dran in denen ich eben integrieren möchte von 0 bis 4 die Linke Grenze kommt hier nach unten nach oben kommt die rechte Grenze in das Integral kommt jetzt das was ich noch nicht benutzt habe nämlich meine Funktion die heißt hier x und damit ich jetzt sage das Integral ist jetzt abgeschlossen kommt hinter die Funktion immer noch so ein DX lasst euch von diesem DX nicht irritieren das sagt einfach nur das Integral dass sie hier vorne geöffnet habt ist jetzt zu Ende ist jetzt zu es hat noch den Vorteil dass man sieht X ist das wonach wir integrieren aber am Anfang hat er sich euch das eigentlich nicht zu interessieren also schließt euer integral einfach mit einem DX ab und das kann man jetzt berechnen habt ihr noch die Ableitungsregeln im Kopf integrieren ist nämlich jetzt genau das Gegenteil vom ableiten und das macht das Ganze immer so super spaßig dass man da jetzt völlig durcheinander kommt mit den Ableitungsregeln die man kennengelernt hat ihr wisst ja wenn man zum Beispiel x hoch 3 ableitet ableitet dass die drei nach vorne kommt und aus dem x^3 wird nur noch ein X Quadrat das ist die Ableitung das haben wir im Kopf die Integration ist jetzt der umgekehrte Weg im Grunde bekommt ihr das hier und sollt wissen oder daraus finden was war das denn mal vorher und da gibt es aber auch eine Regel dazu die man sich merken kann die folgendermaßen geht und zwar lösen wir dieses Integral jetzt auf indem wir hier so zwei eckige Klammern machen unsere Grenzen kommen hier hinten an diese Klammern dran und aus diesem x das müssen wir jetzt integrieren oder die Stammfunktion bilden oder aufleiten es gibt so viele Wörter für für diesen Prozess hier jetzt die Regel ist folgende wenn hier ein x^1 also eure Hochzahl ist eine 1 x hoch 1 stand dann wird da ein x^2 raus also beim Ableiten wart ihr es gewohnt dass die Hochzahl eins kleiner wurde beim aufleiten oder integrieren wird die Hochzahl jetzt eins größer ist ja der umgekehrte Prozess macht ja Sinn okay das haben wir geschafft vorne dran brauchen wir jetzt aber auch noch so ein Korrekturfaktor und zwar kommt vor dieses x Quadrat immer das was vorher da stand da die Zahl die vorne dran stand vor unserem x da stand eine 1 also 1 das ist die 1 die da vorne dran stand durch die neue Hochzahl das ist immer der Teil der vorne dran muss also nochmal von der Regel eure Hochzahl wird eins größer und vorne dran kommt ein Bruch der sich zusammensetzt aus der Zahl die vor meinem x stand das war eine 1 und der 9 Hochzahl und das kann man jetzt eben ausrechnen also das hier ist der schwierigste Prozess dieses Stammfunktion zu finden aber wenn wir sie gefunden haben dann wird jetzt eingesetzt die Grenzen werden nämlich jetzt eingesetzt als allererstes setzen wir die obere Grenze ein die 4 für das X hier drin also dann steht da ein halb mal zuerst die obere also vier zum Quadrat dann kommt immer ein Minus und jetzt setzte die untere Grenze ein die Null ein halb mal für das X die 0 einsetzen sind es 0 zum Quadrat und das müsst ihr nur noch ausrechnen 0 mal 1/2 des da hinten fällt weg 4 zum Quadrat sind 16 mal einhalb sind oh Wunder unsere acht die wir ja schon ausgerechnet hatten in einem etwas schnelleren Prozess haben jetzt aber durch die Integralrechnung auch herausgefunden dass dieser Flächeninhalt zwischen dieser Funktion und der x-Achse eben 8 ist es geht immer um die Fläche zwischen von der Funktion und der x-Achse auch wenn ihr unterhalb seid könntet ihr diesen Flächeninhalt hier ausrechnen zwischen der Funktion und der x-Achse also immer zur x-Achse hin und das geht halt beliebig kompliziert wir machen mal noch ein Beispiel dass ihr nicht nur dass sie gesehen habt sondern eben das was ich euch am Anfang gezeigt habe dass wir jetzt die Fläche integrieren wollen oder berechnen wollen die Fläche von 0 bis 1 sage ich jetzt mal die unterhalb dieser Parabel hier liegt auch das habe ich jetzt nicht ganz so schön gezeichnet deswegen schauen wir uns das hier noch mal an diese Fläche soll berechnet werden die Parabel bekommen wir die soll 4x^2 heißen und die wollen wir jetzt eben integrieren die Fläche berechnen ist jetzt wirklich nicht mehr so einfach dass wir das mit irgendwelchen geometrischen Formen machen können deswegen nehmen wir das Integral was wir gelernt haben die Grenzen sind auf der x-Achse von 0 bis 1 die kommen hier an unser Integralzeichen ran dann kommt da die Funktion rein unter der eben die Fläche liegt das ist dieses 4x Quadrat und hinten schließen wir das ganze jetzt noch mit diesem dubiosen DX ab schreibt wie gesagt einfach hin das sagt euch jetzt am Anfang erstmal gar nichts das ist einfach nur dass das Integral abgeschlossen ist dann gehen wir jetzt ans integrieren diese eckigen Klammern kommen dahin unsere Grenzen von 0 bis 1 schreiben wir dran und wir machen das was wir eben gesehen haben wie man jetzt aufleitet die Stammfunktion bildet aus dem X Quadrat wird ein x hoch 3 1 höher und vorne dran kommt ein Bruch der sich zusammensetzt aus der Zahl die vorne dran stand die vier und der neuen Hochzahl die 3 und das war's fast schon jetzt werden nur noch die Zahlen eingesetzt die Grenzen zuerst die obere in das X also vier Drittel mal eins hoch 3 dann kommt immer ein Minus und jetzt wird die untere Grenze eingesetzt 4/3 mal 0 hoch 3 das wird Gott sei Dank wieder Null das kann man ausrechnen und wird zu vier dritteln und das hier ist jetzt die Fläche oder der Flächeninhalt der hier so blau gezeichnet ist sehr gut das ist die Einleitung in die Integralrechnung die Funktion werden natürlich schwieriger also da kommt noch einiges auf euch zu aber das sind schon mal die Basics und wenn ihr die beherrscht dann solltet ihr da Stück für Stück durchkommen dann hoffe ich dass ihr wisst wie es geht jetzt und dass wir uns beim nächsten Video sehen macht's gut