Convergencia en Espacio Normado y Sucesiones de Cauchy

Conceptos de Convergencia

• Convergencia con respecto a la norma: Dependencia de la norma elegida (norma 1, norma 2, norma infinito) puede afectar la convergencia.
• Ejemplo: Funciones continuas que pueden converger a una constante, cero o infinito dependiendo de la norma utilizada.

Sucesiones de Cauchy

• Definición formal de una sucesión de Cauchy:
  • En un espacio normado ( X ) con norma ( | \cdot | ), una sucesión ( x_n ) es de Cauchy si, para todo ( \epsilon > 0 ), existe un ( n_0 ) tal que para todos ( n, m \geq n_0 ), ( | x_n - x_m | < \epsilon ).

Completitud de Espacios

• Un espacio normado es completo si toda sucesión de Cauchy es convergente.
• Un espacio normado completo es llamado Espacio de Banach.

Ejemplos de Espacios de Banach

• Espacios de Banach clásicos incluyen ( \mathbb{R}^n ) y ( \mathbb{C}^n ) con cualquier norma.
• Espacios ( L^p ):
  • ( L^1, L^2, L^\infty ) son espacios de Banach.

Espacios ( L^p )

• Definición: Sucesiones donde la norma p-ésima es finita.
• Norma p: [ |x|p = \left( \sum{n=1}^{\infty} |x_n|^p \right)^{1/p} \quad \text{para } 1 \leq p < \infty ]
  • Para ( p = \infty ), ( |x|\infty = \sup{n \in \mathbb{N}} |x_n| ).

Espacios de Dimensión Infinita

• Espacios de sucesiones ( \ell^p ) (sucesiones de elementos en ( \mathbb{R} ) o ( \mathbb{C} )) son de dimensión infinita pero completos.
• Problemas en espacios de funciones continuas donde no hay equivalencia de normas.

Ejemplo: Espacio ( L^1 )

• ( L^1(\mathbb{N}) ) es un espacio de Banach.
  • Prueba: Se construye una sucesión de Cauchy y se muestra que converge a un elemento dentro del espacio ( L^1 ).

Espacios No Completos

• Espacios de funciones continuas: Sobre un intervalo con norma ( L^p ) no siempre son espacios de Banach.
• Sucesiones de Cauchy en Normas ( L^p ): No siempre convergen a funciones continuas.

Espacio ( C([0,1]) ) con Norma Infinito

• Espacio de Banach: Por ser espacio normado completo usando la norma infinita (convergencia uniforme).

Consideraciones Finales

• Importancia de la elección del espacio y la norma para determinar completitud.
• Ejemplo de espacio de polinomios que no es de Banach bajo la norma infinita.
• Concepto de sucesiones de Cauchy y completitud es crucial para el análisis en espacios normados.