Convergencia y Sucesiones de Cauchy

Lo último que vimos el otro día, creo recordar que hablábamos de convergencia en espacio normado y hablamos de convergencia con respecto a la norma. Y como teníamos una fuerte dependencia de la norma, es posible que tuviésemos una fuerte dependencia de la convergencia en particular. Vimos un ejemplo de funciones continuas, ¿verdad? Donde en función de si cogíamos la norma 1, la norma 2 o la norma infinito, Podríamos tener siempre convergencia a una constante o convergencia a cero o podríamos modificarlo para tener convergencia infinita. Y eso nos permitía hablar de que las normas en espacios de dimensión infinita no siempre tienen por qué ser equivalentes. Lo cual me fastidiaba también ese concepto de convergencia de normas. Bueno, aunque a lo mejor no tengamos convergencia de normas, sí podemos hablar de sucesiones de Cauchy igual que hacíamos en dimensión infinita y tratar de relacionar esos dos conceptos. Entonces... Por otro lado, el concepto que nos interesa trabajar hoy es el mismo que teníamos en nuestro espacio vectorial de dimensión infinita, que es el de sucesión de coches. Entonces, vamos a poner nuestra definición. ¿Qué nos dice? Pues sea, en nuestro caso, nuestro x con su norma, un espacio normado. Y vamos a coger x sub n, con n perteneciente a los naturales, que esté contenido en nuestro x, que sea una sucesión. Entonces, ¿cuándo vamos a decir que esta sucesión es de cochí? Y diremos que nuestra x sub n... Es una sucesión de Cauchy, obviamente en el correspondiente espacio X, si lo que verifica es convergencia con respecto a la norma. Es decir, yo cojo unos elementos X, Y, N. Cojo el elemento X, Y, M de nuestra sucesión. Calculo la norma de esta diferencia. Y lo que quiero es que aquí hacemos un doble límite. Es un límite tanto cuando la n como la m tienden a infinito. Queremos que esto sea cero. Así que cuando simultáneamente hacemos tender tanto la n como la m a infinito, ese límite valga cero. Es decir que al final eso se te acerca. Esto lo podemos reescribir también en términos de epsilon. No voy a decir delta porque cuando son elementos naturales nos gusta coger una n. Pero podemos tener nuestra definición epsilon delta por así decirlo. Es decir, podemos reescribirlo del siguiente modo. Tenemos que decir aquí que para todo epsilon mayor que cero, Existe un cierto término n0 natural, tal que para todos n y m que sean mayores o iguales que ese n sub 0, se tiene que la norma del x sub n menos el x sub m es aquí. Dudo no porque no lo sepa, sino porque me estoy acordando del libro y en el libro les gusta poner un menor o igual. No hay ninguna diferencia real entre poner un menor o un menor igual, porque como es para todo épsilon mayor que cero, bueno, pues no nos afecta. Es cierto que yo tengo la costumbre siempre de poner el menor estricto, que es a lo mejor más una manía mía personal. No pasa nada porque sea un menor o un menor igual. La condición es la misma. Pero bueno, si es verdad que a mí me gusta más poner el menor estricto. Te lo voy a dejar como menor estricto en lugar de como menor o igual. Esto sería el concepto de sucesión de Cauchy. Y aquí, aunque estamos trabajando en un espacio normado, no hemos tenido que especificar la dimensión. Cuidado que siempre que hablemos de espacio normado, ese espacio vectorial x puede tener dimensión finita o infinita. Obviamente nos interesará el caso infinito en general. porque es el que puede tener propiedades distintas a lo que ya estábamos acostumbrados, pero que esto definimos en general. Ahora bien, queremos relacionar esta sucesión de Cauchy con la convergencia. A lo mejor no toda sucesión de Cauchy tiene por qué ser convergente. Entonces, tenemos un concepto que es el mismo concepto que teníamos previamente en análisis, topología, etc., que nos habla de completitud de espacios. Definición, dado x norma que sea un espacio normado, diremos que es... completo si toda sucesión de Cauchy es convergente. Lo único especial es que este concepto de completitud es general para cualquier tipo de... espacio en el que podamos definir convergencia. Es decir, siempre hablamos de espacio completo si toda sucesión de Cauchy es convergente. En nuestro caso, este espacio es un espacio un poquito más especial, porque es un espacio que llamamos espacio normado. Tenemos algo adicional que es una norma. Igual que podríamos hablar también de espacios métricos completos, de espacios topológicos completos. Entonces... El que tenga esa propiedad especial de ser normado hace que le cambiemos el nombre a nuestro espacio normado completo. Y para no hablar de espacio normado completo, lo llamamos espacio de Banach. Entonces, llamaremos espacio de Banach. a un espacio normado completo. Y cuidado, que es Banach, con J de Jaén, es decir, no Banach, como a veces dice la gente. Ejemplos clásicos de espacios de Banach, ¿cuáles son? Los casos finitos que nosotros ya conocemos, porque, por ejemplo... Podemos tomar, podemos considerar como espacios de Banach a x, que lo tomamos como nuestro cuerpo k elevado a d, donde está k. Es o bien R o nuestra K es igual al conjunto de los complejos con cualquier norma. ¿Y por qué con cualquier norma? Porque probamos que en Rn de dimensión infinita todas estas normas como son equivalentes. Entonces, tener convergencia en una norma implica tener convergencia en cualquier otra norma. Ya tenemos ejemplos clásicos de espacios de Banach con respecto a una norma arbitraria. La duda que tendríamos ahora sería, bueno, ¿qué ocurre cuando pasamos de espacios vectoriales de dimensión infinita como r elevado a d o c elevado a d y nos vamos a espacios vectoriales de dimensión infinita? Claro, ahí empezamos a tener problemas. De hecho, nosotros hemos visto... Dos tipos de espacios de dimensión infinita. Dos familias. Por un lado hemos dicho, mira, cosa muy sencilla, coge sucesiones. Coge sucesiones y estudia comportamiento de esas sucesiones. Esos son los espacios LP minúscula. Otros espacios de dimensión infinita han sido coger funciones continuas. Dentro de las funciones, funciones continuas, tenemos nuestras normas y pasan otras cosas. Hemos visto, por ejemplo, que... Gracias a las funciones continuas habíamos probado que no había equivalencia de normas, porque teníamos ejemplos donde fallaban esas normas. Bueno, pues vamos a irnos primero a, en lugar de tener una sucesión con un elemento vectorial, con una cantidad finita de componentes, vamos a ver qué ocurre si hubiese infinitas componentes. Y la primera extensión natural que sería coger espacios L algo. Entonces, dentro de los espacios L algo están asociados a qué? A la correspondiente norma. Entonces, vamos a estudiar qué ocurre con los espacios L, P, N o la correspondiente norma P. Estoy cogiendo la misma notación que el libro, aunque en realidad la notación cuando yo la puse no sería con la N. Realmente aquí, en lugar de N... Para mí tiene más sentido colocar el conjunto donde cada componente va a pertenecer. Es decir, recordemos que ¿cómo se definía el espacio LP de los naturales? En el libro lo introducimos simplemente como aquellas sucesiones, es decir, le ponemos una raíz y de repente tenemos estos infinitos elementos. de la forma x sub n, con la n que va desde 1 hasta infinito, que están contenidos donde? Aquí, como quiero únicamente sucesiones de elementos, que normalmente los pondríamos en k elevado a n, y esto puede ser tanto números reales como números complejos, ¿verdad? Tales que, ¿cuál es la condición? La condición que la norma P de este elemento X sea finita. Siendo, ¿quién sería esa norma P? Era simplemente coger la suma desde el n igual a 1. hasta el infinito del módulo del x sub n elevado a p y todo eso elevado a 1 partido por p. Y esto sería para todo 1 menor o igual que p, menor o igual que más infinito, ¿verdad? El espacio LP. Esta norma se define así para todo 1 menor o igual que p, menor estricto que infinito, ¿verdad? Y en el caso p igual a infinito, tomamos la norma p del elemento x como el supremo para n perteneciendo a los naturales del x sub n. Estos son nuestras parejas de espacio LP. Lo que digo es que para mí tiene más sentido poner aquí dentro el conjunto k donde estoy cogiendo. Es decir, que si tú fueses x elevado a n son... todas las sucesiones de elementos que están en el x. Entonces yo pondría aquí lp de x para indicar dónde estoy cogiendo cada una de esas infinitas componentes. El libro no, el libro dice como espacio lp de n para indicar que son sucesiones de números complejos o de números reales. A gusto los colores, no pasa nada. Muy bien, entonces dentro de estos distintos espacios hemos visto distintas normas. ¿Cuál sería la primera norma que nos encontramos? Coger el p igual a 1. Entonces, para p igual a 1, ¿qué tendríamos? Para p igual a 1 y, por ejemplo, k igual a c, tendríamos el espacio. normado, que sería el L1 de n con la norma 1, dado por nuestro espacio L1 de los naturales, son todas las sucesiones X de la forma. x sub n con n pertenecientes a los naturales. contenido en nuestro c elevado a n, tal es que la norma 1 de este x rayita es finita. ¿Dónde tiene esa norma 1 ahora? Simplemente la norma 1 del x es coger la serie desde n igual a 1 hasta infinito de módulo De x sub n. Oye, ¿conocemos a lo mejor algunos elementos importantes que tienen esta familia? Cuando habíamos introducido esos espacios de dimensión infinita, uno decía, ah, bueno, podemos extender como una base canónica, lo que pasa que ya no era base, porque fallaban y nos faltaban elementos, pero había ciertos vectores sencillos que extendían esa base canónica, que eran cuáles. Por ejemplo... Si tomamos, vamos a llamar e rayita sub n, la sucesión formada por los elementos delta sub n k, donde entonces esta sucesión varía en k, pertenecientes naturales, que es una sucesión que tendría 0, 0... Un montón de ceros hasta que en la posición n aparece un 1. Y luego ya el resto de términos son todos ceros. Entonces, este elemento, ¿qué verifica? Tenemos que, ¿cuánto vale la norma que su n rayita 1? Sería la suma infinita, la serie infinita de n igual a... de K igual a 1 hasta infinito, K porque ahora estamos tomando la sucesión en K, de el módulo de los delta NK. ¿Qué ocurre con estas delta NK? Que o valen 0 o valen 1. Solo hay un 1, o sea que en realidad toda esta serie vale precisamente 1, que es una cantidad finita. Por lo que tenemos seguro que... Cada elemento S1 está fijo en este espacio L1 de los naturales para todo n perteneciente a los naturales. O sea que ya conozco infinitos elementos de esta familia. La pregunta natural sería, bueno, ya que tengo un espacio normado, espacio vectorial de dimensión infinita, ¿podría ser un espacio completo? Es decir... ¿Puedo garantizar que toda sucesión de Couchy es convergente en este tipo de espacio? Pues lo que vamos a ver es un primer resultado que nos dice efectivamente. Es decir, la exposición, a ver cómo lo pongo, vamos a poner L1 naturales con nuestra norma 1 es... un espacio de Banach. ¿Cómo lo demostraríamos? Con este tipo de demostraciones tenemos que saber manejarla muy bien para ver la idea que tenemos detrás. La idea, para que sea un espacio de Banach, tengo que probar que toda sucesión de Cauchy Tiene que ser convergente. Por lo tanto, lo primero que tengo que hacer es considerar una sucesión de coches cualquiera. Pero cuidado, porque un elemento de L1 de N, ¿qué es? Es una sucesión de números complejos. Entonces, tengo que coger una sucesión cuyos elementos son sucesiones de. Entonces, cuidado con la anotación y con cómo trabajamos con estos elementos, ¿vale? Es decir, sea... Vamos a llamar sucesión aquí y por distinguirlo de lo de antes vamos a poner una x rayita, va a ser un elemento y voy a poner como superíndice para indicar que estos son los distintos elementos de nuestra sucesión. Desde n igual a 1 hasta infinito que está contenido en L1 de los naturales. Es decir... Cada x rayita n. Se puede expresar como una sucesión cuyos elementos son x super n, vamos a poner ahora el subíndice k, y esta k es la que varía desde 1 hasta infinito, y es un elemento de l1 de n, sea cual sea el n que nosotros cojamos. Es decir, cada elemento es a su vez una sucesión, ¿de acuerdo? Ahora, vamos a suponer que esta sucesión es una sucesión de Cauchy. ¿Qué significa que sea una sucesión de Cauchy? Que los términos se van aproximando cada vez más. Entonces, en términos de Y delta sabemos que, entonces... Para cada épsilon mayor que 0, tenemos nuestro término n es 0 natural, tal que para cualquiera n y m que sean mayores o iguales que el n sub 0, que se verifica que la norma de esta sucesión, que sería la norma del xn menos el xm, En norma 1, ¿eso cómo es? Menos tristo que épsilon. Perdona, la que estamos asumiendo que es de coche es la que la x paréntesis n. Arriba, exactamente. Vale, vale. Entonces lo que tú haces es coger dos términos cualesquiera de esa sucesión y de ahí en adelante tienen que estar más cercanos al épsilon. Pero recuerda que aquí cada término x rayita super n es a su vez una sucesión. Por eso tenemos la norma 1 en ese espacio. Claro, ¿qué significa esta norma 1? Esto es lo que estamos diciendo que es, norma 1 es coger la suma, las componentes dependen de k, ¿verdad? Desde k igual a 1 hasta infinito y estamos cogiendo la diferencia entre, de la sucesión xn cogemos la correspondiente componente késima y le restamos de la sucesión x super m la correspondiente componente késima. Y cuando sumamos todas estas infinitas componentes en módulo, eso es como menor que infinito. Eso es lo que nosotros sabemos. Menor que épsilon. Has dicho infinito, sí. He dicho infinito, sí, sí. Menor que épsilon, ¿vale? Fíjate, aquí hay una cosa natural que sería épsilon es un número finito. Y tengo un montón de cosas. que suman épsilon, ¿verdad? Lo que es inmediato, ya sea una cantidad finita o una cantidad infinita, si todo eso suma algo menor que épsilon, en particular, ¿qué puedo afirmar sobre cada uno de los sumandos? Estoy seguro de que, forzosamente, cada uno de estos sumandos, xnk menos el xmk, ¿K cómo tiene que ser? También menor que épsilon, ¿verdad? ¿Cierto? Pero, ahora esos elementos de ahí, esos xnk menos xmk, si tú fijas el k, ¿qué tienes? Una sucesión, ¿dónde? Una sucesión de números complejos, ¿verdad? Lo que estamos diciendo es fijar el k que implica quedarte con la correspondiente componente, ¿verdad? Entonces, en lugar de decir, para que veamos la diferencia en lo que estamos haciendo, podemos expresar entonces este elemento x super... 1 rayita, ¿quién sería? Sería una sucesión, ¿verdad? La vamos a poner con llave, aunque a mí me gustan más los paréntesis, pero bueno, con llave que sería el x super 1 entre paréntesis componente 1 y luego el x super 1 componente 2 y el x super 1 componente 3 y así hasta el infinito, ¿verdad? ¿Y quién sería el x rayita super 2? Sería una sucesión formada por el x super 2 componente 1 y el x super 2 componente 2 y el x super 2 componente 3. Y así hasta el infinito. ¿Quién sería el x rayita super 3? Una sucesión donde tenemos el x super 3 componente 1 y el x super 3 componente 2. Y el x super 3 componente 3. Y así hasta el infinito, ¿verdad? Este es un elemento que está, ¿dónde? En L1 de n. Y este es otro elemento que está en L1 de n. Y este es otro elemento que está en L1 de n. Y yo podría seguir este argumento, ¿verdad? Sin ningún problema. Porque tengo una sucesión de... Infinitas sucesiones, ¿cierto? Ahora, fijar el K significa quedarte con cada una de esas componentes. Entonces, si tú fijas ahora K1, querías quedarte con la primera componente de cada una de estas sucesiones, ¿verdad? Y si fijases el K2, te quedarías con la segunda componente de todas estas sucesiones. Si fijases el caso 3, te quedas con la tercera componente de todas estas sucesiones. Entonces la pregunta natural sería, oye, si yo voy horizontalmente, por así decirlo, tienes tu sucesión x1 rarita, y esa sabes que está en L1. Si vas horizontalmente, tienes la sucesión x2 rarita, que sabes que está en L1. Y si en lugar de eso voy verticalmente... Hombre, también tengo sucesiones. La pregunta es, ¿qué puedo afirmar ahora sobre la convergencia de esas sucesiones? Es decir, ahora, ¿qué ocurre si fijamos el K? Fijado K perteneciente a los naturales, que sería esta componente, o esta componente, o esta componente. Vamos a considerar... Las sucesiones que van a ser ahora, pues como dependen de k, vamos a ponerle x sub k super n porque va a ir cambiando cada uno de estos elementos, ¿verdad? Ahora la n es la que varía desde 1 hasta infinito. Para k igual a 1, que obtengo todas las primeras componentes. Para k igual a 2, tengo todas las segundas componentes. k igual a 3, todas las terceras componentes. Entonces lo que varía es el elemento enésimo de tu sucesión. ¿Vale? ¿Dónde están estas sucesiones, seguro? Hombre, sabemos seguro que esto está en cn, ¿verdad? Como cada componente era un número complejo, y la tengo infinita, seguro que va a ser una sucesión de números complejos. ¿Por qué no hemos escrito L1 de n? Ah, porque yo ya no sé si esto es convergente o no con respecto a esa norma, ¿verdad? Pero, fíjate, observemos, hemos visto antes... Que para todo épsilon mayor que 0 existe un n0 natural tal que para cualquiera n y m mayores o iguales que n0 se tenía que, si cojo el x sub k super n y le resto el x sub k super m en módulo, ¿Qué ocurría con esta diferencia? Que era menor que épsilon, ¿cierto? Porque esto había sido consecuencia realmente de que las correspondientes sucesiones fuesen sucesión de Cauchy en L1. En particular, tengo que esto es una sucesión de números complejos, ¿verdad? Por lo tanto, esta sucesión, este x sub nk con la n que va desde 1 hasta infinito, Es una sucesión de cochí en C, ¿verdad? Para todo K perteneciente a las naturales, ¿cierto? Por separado, toda la sucesión morada, ella independiente, es una sucesión de cochí. Y toda la sucesión naranja... ella independiente es una sucesión de cochís y toda la sucesión verde, ella independiente es una sucesión de cochís. ¿Dónde? En el espacio de los complejos con el módulo. Y resulta que ahí que sabemos que los espacios de dimensión finita, Rd o Cd, en este caso tengo C elevado a 1. Esos espacios sí son completos, ¿verdad? Entonces cada uno de estos espacios finitos es un espacio completo. Y tengo una sucesión de cochí en los complejos. Por lo tanto, esa sucesión de cochí en concreto es convergente, ¿verdad? Es decir, cada sucesión de componentes, por ser una sucesión de cochí en un espacio que sí que sabemos que es completo porque tiene dimensión finita, ahí sí sabemos que hay convergencia. Entonces, ¿cómo C con el módulo S? un espacio de Banach, tenemos que para cada k perteneciente a la naturale existe un, vamos a llamarlo x sub k, número complejo, tal que... Si yo cojo la correspondiente sucesión y estudio el límite cuando la n tiene infinito de las sucesiones x sub k super n, esto convergen al x sub k. Entonces, toda sucesión de componentes es convergente, ¿verdad? Bueno, pues, llamamos entonces x rayita. a la sucesión formada por a lo que converge cada una de las componentes, es decir, a cada x sub k con k que va desde 1 hasta infinito. Lo que estamos diciendo es que en este proceso todas estas moradas van a tener a un x sub 1, todas estas naranjas van a tener a un x sub 2, todas estas azules van a tener a un x sub 3, y vamos a llamar x al límite formado por cada uno de los límites de las componentes. La pregunta natural sería, ah, espera, si todas esas sucesiones azules estaban en L1, a mí lo que me encantaría entonces es que esa sucesión límite que me estoy construyendo componente a componente estuviese también en L1, ¿verdad? Entonces, la pregunta natural ahora sería, ¿podemos asegurar? que esta sucesión x está en L1 de n, sabemos seguro que es una sucesión que está en c elevado a n, ¿verdad? Porque cada uno de estos elementos es un número complejo. La pregunta es, ¿podemos mejorar el comportamiento y que esa sucesión horizontal esté en el L1, que es lo que estamos... intentando conseguir qué tenemos que hacer es que a su norma verdad y lo único que tengo que hacer es estudiar la norma de este elemento x1 como estudiamos la norma claro la norma sería estudiar una convergencia de una serie infinita tendríamos si La norma del x1 es finita. Para ello, estudiamos qué ocurre con las correspondientes. Sumas parciales. Es decir, vamos a estudiar qué ocurre con la suma desde, hemos dicho que las componentes son desde k igual a 1, y como son parciales vamos a poner un n mayúscula, ¿vale? De nuestros x sub k en módulo. Mi objetivo es cambiar esta n mayúscula por un infinito. Eso sería la norma 1 de este elemento x, ¿vale? Bueno, lo que seguro puedo hacer es expresar esto como la suma... Desde k igual a 1 hasta el n mayúscula y aquí podría poner el elemento x sub k que le vamos a restar el x sub k super n menos o más el correspondiente x sub k super n. A cada límite le resto y le sumo el correspondiente término. Si ahora aplicamos la desigualdad triangular, ¿verdad? ¿Qué tendríamos? Que esto es menos o igual que la suma, como es una suma finita, no hay problema, suma desde k igual a 1 hasta el n mayúscula y tendremos aquí el correspondiente x sub k menos el x sub k elevado a n, super n, más la suma finita desde k igual a 1 hasta el n mayúscula del módulo del x sub k. Super n, ¿de acuerdo? Ahora, ¿qué podemos garantizar nosotros sobre esto? ¿Podemos acotar esto de algún modo? ¿No podemos acotarlo? ¿Qué crees? ¿Qué sabemos nosotros? Lo único que sabemos era convergencia o... ¿A qué convergencia? Sabíamos que la sucesión de los x super n era una sucesión de cotxi, ¿verdad? Entonces, recordemos que como este x rayita super n, o la n que va desde 1 hasta infinito, es sucesión de cotxi, En L1 de n, con la norma 1, para cada épsilon mayor que 0 existe un n0 natural tal que, para cualesquiera n y m mayores o iguales que n sub 0, ¿qué se tenía? Que la norma del x rayita n... menos el x rayita m, eso como era, la norma 1 menor que epsilon, ¿verdad? Y a mí me hemos dicho que esto que significaba, que la suma infinita, desde k igual a 1 hasta infinito, del módulo de los x super nk menos los x super mk, esto como era siempre, menor que epsilon, ¿verdad? Lo cual implica entonces que si tomamos límite cuando la m tiende a infinito, ¿verdad? ¿En qué se convierte la expresión de la izquierda? En la serie desde k igual a 1 hasta infinito. Del x super nk. Pero. ¿A qué converge el x super mk. Cuando la m tiende infinito. A un término que habíamos llamado. El xk ¿verdad? Y lo de la derecha. Bueno como es epsilon. Y epsilon no depende de m. Eso sigue siendo menor que. Epsilon ¿verdad? Ahora fíjate que entonces. Toda esta serie. Es menor que epsilon ¿verdad? Aquí estoy truncando la serie, estoy llegando hasta un cierto término únicamente, lo cual implica que, ¿qué podemos afirmar entonces? Por lo tanto, cuando yo cojo la correspondiente serie y tomo límite, cuando la n tiende a más infinito, es decir, tomando límite, Cuando la n mayúscula tiene infinito, obtenemos que, por un lado, esta serie en que se convierte en la serie desde k igual a 1 hasta infinito de quién? Del x sub k, que no es otra cosa que quién? La norma 1 del... x rayita, ¿verdad? Y eso es menor que esta suma, ¿no? Sería menor o igual que la serie sumatoria desde k igual a 1 hasta infinito del x sub k n menos el x sub k. Y a todo eso le sumamos la serie de k igual a 1 hasta infinito del x sub k n, ¿verdad? ¿Esto de aquí quién es? Esto de aquí es menos estricto que épsilon, ¿verdad? ¿Esto de aquí quién es en realidad? Esto es la norma 1 de qué elemento? De qué elemento? Del xn rayita, ¿verdad? O sea que en realidad esto es simplemente épsilon más la norma del xn rayita. Es norma 1, ¿cierto? ¿Qué ocurre? Estos elementos x o n sí los había cogido de L1 de n. Por lo tanto, esa norma como es finita. Y si a una cantidad finita le sumo un épsilon, que es también finito, obtengo algo que es seguro finito, ¿verdad? Lo cual significa que entonces nuestro elemento x que acabamos de construir está ¿dónde? En L1 de n, ¿vale? ¿Está bien? Sí. Entonces, ¿este quién va a ser precisamente nuestro candidato al límite? Es decir, aquí tenemos el candidato al límite de la sucesión formada por... estos x sub n rayitas, desde n igual a 1 hasta infinito, porque queremos por lo menos que el elemento al que tienda esté también en el mismo espacio, que es el L1 de n. Pues ya nos hemos construido una sucesión que está en ese L1 de n. La idea ha sido muy tonta. La idea ha sido, si tengo una sucesión cuyos elementos son sucesiones, y esas sucesiones tienen infinitas componentes, haz una cosa. Coge la primera componente, mira que tiene la primera componente. Coge la segunda componente, mira que tiene la segunda componente. Haz ese proceso con todas y cada una de las infinitas componentes. Y eso te va a dar un nuevo elemento x. Entonces, tiene sentido pedirle que la sucesión converja a ese nuevo elemento. Ya hemos visto que ese candidato efectivamente está en nuestro mismo espacio. Lo que necesito ahora es ver si efectivamente converge A. Ojo, aquí el modo de estudiar converge A es mediante normas, ¿verdad? Entonces, para estudiar si esta sucesión X super n converge a este X rayita, tengo que estudiar qué ocurre con su norma 1. Y la norma 1 de eso tiende a 0, ¿no? ¿verdad? Entonces, nos faltaría ver... Si la norma del x rayita n menos del x rayita tiende, cuando la n tiende a infinito, a 0. Es decir, la norma 1, cuidado porque son números reales, ¿verdad? Una norma es un número que va de 0 a más infinito. Por lo tanto... Aquí estoy hablando de convergencia de números reales. Lo que pasa es que esos números reales son normas de cosas raras. ¿Qué significa que el límite de algo tiende a cero? Si para todo épsilon mayor que cero existe un cierto n cero natural, tal que para todo n mayor o igual que ese n sub cero, ¿qué se tiene? ¿Qué ocurre con esta? norma del XN Menos el x, que es norma 1, que eso sea como menor que épsilon, ¿verdad? Vamos a reescribirlo. Esto lo que nos diría es de forma equivalente que la suma desde k igual a 1 hasta infinito de nuestro x super n k menos el x k sea menor que épsilon, ¿verdad? ¿Cómo podemos saber si esto ocurre o no? Esto ha sido una consecuencia especialmente de qué? De esta parte que tenemos aquí de ser sucesión de Cauchy y por cómo he construido el x sub k, ¿verdad? Como era una sucesión de Cauchy, cada término que aparecía aquí era menor que épsilon. Si te mamás límite en... una de las índices m obtenía precisamente ¿quién? esto de aquí ¿qué era? lo mismo que tenemos aquí ¿verdad? es decir, antes sin darnos cuenta o sin explicitarlo, por así decirlo hemos probado ya que esa sucesión x o n converge precisamente a ese candidato x que hemos tenido, lo que nos faltaba comprobar era que ese candidato x estaba en el mismo espacio que nuestra sucesión es decir, antes Hemos visto que esto se verifica. Hemos visto antes que se tiene como consecuencia de ser de cochí. Lo cual implica que entonces tenemos precisamente que nuestra x sub n menos el x converge en norma 1 al 0. Es decir, tengo probado que x sub n converge cuando la n tiende a infinito a nuestro x rayita en el espacio L1 de los naturales con respecto a la norma 1. Lo cual significa que, sea cual sea la sucesión que yo coja, siempre que sea una sucesión de Cochí, acabamos de probar que qué ocurre. Que puedo encontrar un límite x rayita. Y lo que hemos hecho para demostrar este resultado ha sido una prueba constructiva. Hemos obtenido explícitamente cuál es ese candidato a límite. ¿Vale? ¿Todo bien hasta ahí? Sí. Igual, no digo igual porque no siempre es tan sencillo, pero de un modo similar a lo que hacemos aquí existen otros espacios que también son espacios de vana. Es decir, de forma similar podemos probar que... No sólo el L1, sino que, por ejemplo, L2n con la norma 2 o el L infinito n con la norma infinito son también espacios de Banach. En realidad podemos tomar cualquier LP de N con la norma P. Lo que ocurre es que no es tan fácil construirlo explícitamente cuando el P vale 3,7. Porque no tenemos esas acotaciones tan bonitas. con L1, con L2, con L infinito, si es fácil sacar esas acotaciones porque tenemos desigualdades con valores absolutos, o con raíces, o con supremos de cosas. Pero cuando intentes acotar en menos o igual la raíz de orden 1 partido 3,7 de esto elevado a 3,7, podemos sacar relaciones similares pero nos cuesta un poquito más. Lo importante es que básicamente esa extensión natural que tenemos de los elementos mediante sucesiones, Se comporta todo bien. Todos estos espacios que tenemos son espacios de vanas. Si coges sucesiones y pasas de una cantidad finita a una cantidad infinita de componentes, perfecto, igual que antes. Entonces la pregunta sería, ¿hay cosas que no sean espacios de vanas? ¿Y espacios normados donde pueda encontrar sucesiones de coches que no sean convergentes? Bueno, vamos a recurrir a los espacios que habíamos visto el otro día. que eran los espacios de funciones continuas. Es decir, la pregunta natural sería, ¿existen espacios normados de dimensión infinita que no sean... espacio de banach o para eso vamos a coger hemos visto espacios el pelo en los espacios vamos a coger cd en general podemos poner ave Pero por simplificarlo vamos a coger un intervalo cualquiera. ¿Cuál es el intervalo más sencillo que se te ocurra? El 0, 1. El 0, 1, ¿no? Porque seamos caprichosos, porque para coger el menos 1, 1, coger el 2, 40, cojo el 0, 1. A ver si me lo puedo construir ahí. Entonces, vamos a considerar nuestro espacio de 0, 1 por coger un ejemplo sencillo. Con las correspondientes normas, ¿verdad? Y hemos visto qué normas tenemos ahí. Con las normas pésimas también. Dadas por, si cogemos la norma p de una función continua, esto sería coger la integral entre 0 y 1, como es continua, siempre es... integral, elevamos a p, diferencial de t, y todo eso elevado a 1 partido por p. Y esto sería, para todo 1, menor o igual que p, menos restricto que infinito, ¿verdad? Y el caso de la norma infinito, o lo que llamamos norma uniforme, ¿quién sería? Coger, cogería un supremo, como es una función continua, En un compacto sé que su uniformemente continuo alcanza su máximo y su mínimo. Por lo tanto, en lugar de poner un supremo, puedo poner aquí si quiero un máximo para t perteneciente al intervalo 0,1 de f de t en valor absoluto o en módulo. Porque, ¿quién es esta función? f es una función que va de 0,1 en general a k. Y aquí tenemos nuestro k que sea o bien los reales o k que sean los complejos. Vale, sabiendo eso, ¿cuál es la primera norma que podemos hacer? Bueno, pues igual que hemos hecho con los espacios de sucesiones, a ver qué ocurre precisamente con nuestros espacios de funciones continuas con la norma 1. Igual que hemos hecho antes, lo más sencillo, integrar en... valor absoluto o en módulo. Y así nos quitamos del problema. Decimos, venga, pues vamos a considerar, vamos a considerar primero el espacio normado dado por nuestro espacio de funciones continuas en intervalo 0, 1 con respecto a la norma 1. ¿Qué ejemplo de funciones nos podemos coger? Bueno, pues vamos a considerar o vamos a construir una sucesión de Cochín. Del siguiente modo. Vamos a coger nuestra sucesión, en lugar de llamarlo xn, como son funciones, pues yo lo llamaría fn, que van de 0 a 1, por simplificarlo, podemos coger k, pero puedes poner simplemente r, y te quita del problema. A cada t le haces corresponder un f, o bueno, yo qué sé, que es complejo, o k. f sub n de t. Esto sería para cada n natural, ¿verdad? ¿Cómo vamos a definir esta función? Vamos a hacer una construcción un poquito simétrica. Así que así siempre vemos bien estos ejemplitos. Cogemos nuestro intervalo 0,1. Aquí tenemos nuestro x, aquí nuestro y, aquí nuestro y. Venga, cogemos aquí. El 1. Queremos que esté definido únicamente en 1. Vamos a coger aquí el 1. Vamos a dividir por la mitad. El 1 medio. ¿Qué dice el 1 medio? Realmente dice, elige un punto cualquiera. Lo que pasa es que, ¿cuál es el punto? Ya que tiene el intervalo 0, 1, o quitarte o no tener problema, coge el punto medio. ¿Qué prefiere? ¿Que del 0 al 1 medio sea constante? ¿O que del 1 medio al 1 sea constante? ¿Qué te da más coraje? del 0 al 1 medio constante. ¿Qué valor constante quieres? Hombre, pues 0, es más fácil. Si tuvieses que elegir dos valores constantes, ¿qué dos posibles valores constantes elegirías? El 0 y el 1. ¿Qué prefieres, que valga primero 0 o que valga primero 1? Primero 0 y luego 1. Mimo, te estoy dando elegir, ¿eh? O sea que tú eliges. Y ahora, ¿quieres que sea 0 hasta...? El 1 medio, un poquito más o un poquito menos. Un poquito menos. Tú manda. ¿Cuánto poquito menos? Bueno, no lo sé. Vamos a poner, por ejemplo, aquí un punto, ¿vale? Ya veremos qué punto es. Y entonces lo que voy a pedirle es que desde el 0 hasta este punto, que ya veremos cuál es, ahí valga 0, ¿vale? Ahora, ¿de dónde a dónde quieres que sea 1? ¿Desde el 1 medio o desde un poquito más del 1 medio? Desde el 1 medio. Quieres complicar las cosas, ¿no? Entonces, desde el 1 medio hasta el 1 la cogemos constante, ¿vale? Lo más sencillo, que sería simplemente, pues, que aquí tome... Desde el 1 medio, desde el 1, y aquí toma el valor 1. ¿Cuál es el modo más sencillo que se te ocurre de unir esos dos trozos de forma continua? Con una recta. Una recta, pero podría ser cualquier otro tipo de cosa. Podría ser una parábola, podría ser exponencial, podría ser logaritmo. Algo que las una de forma continua. Es cierto que cuando se nos ocurre, lo más sencillo obviamente sería, pues cojo aquí. Cojo acá y ahí tengo mi resta, ¿verdad? Ahora, la duda es, este punto está claro que es el 1 medio, pero este punto no me ha dicho cuánto vale. A mí lo que me gustaría es que, conforme va aumentando la n, este punto se acercase cada vez más al 1 medio, para que cada vez más fuese más pronunciada esa pendiente. Una idea de hacerlo sería, pues, si te quieres acercar, lo más sencillo sería al 1 medio, le vas a restar 1 partido de n, ¿verdad? Eso es lo más sencillo que puedes hacer, ¿cierto? Es cierto que hay un problema con esto. Es que si lo pones de este modo, para n igual a 1, ¿cuánto vale 1 medio menos 1 partido de n? Menos 1 medio. Que está fuera del 0,1, ¿verdad? Vale, bueno, como lo hemos puesto... con el guión 0, 1, vamos a ajustar esto entonces un poquito. En lugar de poner 1 partido por n, voy a poner aquí un 2 partido de n. Eh, no. Voy a coger al revés. Tengo que poner el 2 abajo, ¿verdad? Voy a coger un 1 partido 2n. Vale. Con eso, ¿qué consigo? Cuando la n vale 1, 1 medio menos 1 medio, 0. Ah, pues empieza de aquí. Y conforme la un n va aumentando, cada vez restan menos, ¿verdad? Oye, ¿y esto cómo funciona a trozos? ¿Quién sería? Bueno, pues vamos a ponerla. ¿Quién sería esta f sub n de t? Sería entonces 3 trozos. Si la t varía entre 0 y 1 medio menos 1 partido 2n. ¿Quieres ponerlo abierto o cerrado? Abierto. Vale. Entonces ahí sé que vale cero, ¿verdad? Si la T varía del 1 medio, abierto o cerrado. ¿Qué te da más coraje? Da igual. Como es continuo, pero bueno. Es la falsa elección de ilusión. Es cerrado, ala, por seguir todo bonito y sin el tiempo. Y aquí ponemos hasta el 1 cerrado y aquí sabemos que vale 1, ¿verdad? Y si estoy entonces entre t, que sería el 1 medio menos, menos 1 partido 2n, hasta el 1 medio abierto, ¿vale? Uf, la recta que une estos dos puntos. Nada, tú, sabemos que es una recta de la forma igual a mx más n, ¿verdad? Y tiene que pasar cuando la x vale esto, sería la altura vale 0, cuando aquí tengo m que multiplica a 1 medio menos 1 partido 2n, ¿verdad? Más la n. Y vale 1 cuando tengo el 1 medio, ¿no? Más la n. Lo cual significa que de aquí que sacamos que si sustituimos aquí tendría m por 1 medio menos... M partido 2N más la N, eso vale 1, ¿verdad? Vale, entonces, por ejemplo, si restamos, ¿cómo lo quiero hacer? Me da exactamente igual, en verdad. Si restamos, ¿qué tenemos aquí? Tendríamos... A la de arriba, la de recto, la de abajo. Entonces me quedaría menos 1 igual a m un medio, m un medio fuera, nn fuera me queda menos m partido por 2n, ¿verdad? El n está fijo, entonces ¿cuánto vale la m? 2n, ¿verdad? Lo que sería 2n por x y si la pendiente es 2n... sustituimos en otro lado, por ejemplo, ¿dónde? Oh, mierda. Ya he visto el fallo. ¿Has visto el fallo? He llamado n a la pendiente y n al término del de este. Entonces vamos a poner aquí un gorrito y aquí un gorrito. Aquí un gorrito, aquí un gorrito, pero esta n no lleva gorrito. Aquí un gorrito y aquí un gorrito. Vale, ahora sí. Entonces, esta sería la m gorrito, esta sería la m gorrito y esta es la n gorrito. Entonces, la m gorrito es 2n sin gorrito. La pendiente es 2n, pero esa 2n no es la ordenada en el origen. Entonces, cuando sustituya, una vez que ya sé que esto es 2n, si sustituyo aquí, ¿cuánto vale la n gorrito? Nos quedaría de aquí que la n gorrito es 1 menos... La n, ¿verdad? Entonces me quedaría más 1 menos n. Lo que nos haríamos en sucio, ¿no? Para tenerlo todo así bonito y demás. Y ya tenemos esta recta. Podemos comprobar, oye, en el 1 medio, cuando la x vale 1 medio, 2n por 1 medio sería n, n menos n, 0, y nos queda 1. ¿Vale? Cuando la x vale 1 medio por 1 partido de 2n, 1 medio por 2n nos quedaría n. 2n por 1 partido por 2n nos quedaría menos 1 y n menos 1 más 1 menos n nos queda 0. Vamos a echar bien, ¿vale? Y esto es una sucesión o una función que para cada n va cambiando. Primero empieza en el punto 0, luego resta la mitad, luego otra vez la mitad, luego la mitad y cada vez se va acercando más, ¿verdad? Entonces me diría, bueno, vamos a estudiar convergencia de esta sucesión. En nuestro espacio, ¿verdad? ¿Cómo lo hacemos? Con respecto a la norma. Vamos a comprobar primero, hombre, se supone que para hablar de convergencia tendríamos que tener efectivamente una sucesión de Cauchy. Bueno, pues vamos a comprobar si esto efectivamente es una sucesión de Cauchy. Entonces, veamos si esta sucesión fn con la n que va desde 1 hasta infinito es una sucesión. De coche. Para ello, estudiamos qué ocurre con la norma de f sub n menos f sub m en norma 1, ¿verdad? Fíjate, de los dos números, o bien la n o bien la m, algunos de esos números más grandes, ¿verdad? ¿Cuál quieres que sea más grande, la n o la m? La n. Entonces, vamos a suponer, sin pérdida de generalidad, que la n es mayor... Vamos a poner mayor estricto porque si son iguales es una tontería, no, porque si son iguales obviamente es cero. Que la n es mayor estricto que la m. Si la n es mayor estricto que la m, entonces ¿qué ocurre? ¿Qué relación hay entre el punto 1 medio menos 1 partido 2n y el punto 1 medio? menos 1 partido 2m. ¿Cuál es más grande? El de la m es más grande. Está más a la derecha, ¿verdad? Porque simplemente multiplicamos por 2, tomamos inverso, cambia de desigualdad, multiplico por menos, vuelve a cambiar, se mantiene mayor y suma un medio. O sea que, ¿eso qué significa? Que este puntito está más a la derecha. Cuando estamos haciendo la función f sub n que es con la función f sub m, ¿verdad? Entonces, ¿quién es esta norma? Sería integrar entre todo 0 y 1 el módulo de f sub n de t menos f sub m de t, ¿verdad? ¿Y por qué lo hacemos así? Porque si nos fijamos, del 1 medio al 1... Todas esas funciones, ¿cuánto valen siempre? Realmente tenemos varios trozos en los que integrar, ¿verdad? Tenemos cuatro trozos exactamente. Debería separar esta integral en la integral entre 0 y... ¿Qué trozo es más chico? El 1 medio menos 1 partido 2m. Luego tendría que sumar el trocito desde el 1 medio... menos 1 partido 2m al 1 medio menos 1 partido 2n. Luego tendría que sumar el trocito desde 1 medio menos 1 partido 2n hasta el 1 medio. Y por último, el trocito desde el 1 medio hasta el 1. Venga, vamos a coger primero la f sub n, ¿verdad? Si estoy entre 0 y algo que sea más chico que el 1 medio menos 1 partido 2n, ¿cuánto vale tu función? Cierto. Estoy integrando hasta el 1 partido... hasta el 1 medio menos 1 partido 2m. ¿Ese es más chico o más grande que el 1 medio menos 1 partido 2n? Más pequeño. Por lo tanto, ahí la función fn vale siempre 0, ¿verdad? Y si integro desde el 1 medio menos 1 partido 2m hasta el 1 medio menos 1 partido 2n, sigo estando por debajo de este. O sea que ahí sigue valiendo 0. Justamente entre este punto y el 1 medio, ahí es cuando vale esta expresión, ¿verdad? Cuando mi función vale 2nx más 1 menos n, ¿verdad? ¿Lo hacéis bien? Y luego, del 1 medio al 1, la función vale siempre 1. Luego tengo que restar, restar, restar, restar. Y ahora vamos a coger la otra función, que sería la fm. Mismo comportamiento, solo que la fm me vale 0 hasta el... 1 medio menos 1 partido de 2m O sea que aquí esta función vale todo el rato 0, ¿verdad? Luego, entre el 1 medio menos 1 partido de 2m y el 1 medio menos 1 partido de 2n, ¿ahí cuánto vale nuestra función? 2mx más 1 menos m, ¿verdad? Luego... Desde este punto hasta el 1 medio, ¿cuánto vale? Lo mismo, ¿verdad? Valdría también 2mx más 1 menos m. Y por último, del 1 medio al 1, ¿cuánto vale? 1. Entonces, cuando estudiamos estas integrales, ¿qué nos quedaría? Primer trocito, vale 0 porque la función que estoy integrando, ¿cuánto es? La función nula, ¿verdad? Esta también es la función nula. O sea que en realidad, por un lado, integra únicamente esta función de aquí, ¿verdad? Es decir, tenemos que calcular la integral entre el punto 1 medio menos 1 partido 2m, 1 medio menos 1 partido 2n, ¿de qué trocito? Sería... 0 menos, con el valor absoluto, este menos se convierte en más, ¿y qué nos quedaría? 2 mx. Ya quitamos el valor absoluto, ¿verdad? El 2 mx más 1 menos m. Espérate, ¿no? Porque yo soy un poquito así. Y aquí que he dicho que esto es una f su n de t, y he puesto aquí una x y me queda tan pancho, ¿verdad? y aquí igual he puesto una equis y aquí una equis y aquí una equis cosas mías aquí una t y aquí sería una t y aquí una t verdad y aquí también a que son un puesto la t vamos a ser consecuente diferencial de t y luego este trocito que nos quedaría pesador recta cuál está por encima Fíjate, el que tenga el punto más a la derecha toma un valor por debajo de, ¿verdad? ¿Qué punto estaba a la derecha, el de la n o el de la m? El de la m. Por lo tanto, el que está por encima es la m, ¿verdad? O sea que la m es la cantidad grande y el resto es la cantidad chica. Es decir, integro entre 1 medio menos 1 partido 2n y el 1 medio. Y para quitar el valor absoluto cojo la morada que sería el 2MT y le resto el 2NT. El 1 con el 1 se me simplifica y luego me queda más M menos N. Todo eso es diferencial de T. Venga, hombre, todo esto ya es relativamente sencillo, ¿verdad? Porque son integrales inmediatas. Es decir, obtenemos entonces... obtenemos entonces, ¿cuánto valdría la norma F sub n menos F sub m en norma 1? Integramos este trocito, sería 2m t cuadrado partido 2, el 2 se me va y nos queda m t cuadrado, 1 menos m, pues más 1 menos m, todo eso por t. Todo eso lo evaluamos entre la t igual a 1 medio menos 1 partido 2m, y parece que lo he puesto como elevado, pero es un m multiplicando, y evalúo en 1 medio menos 1 partido 2m. Venga, integramos aquí, pues nos quedaría igual el mt cuadrado menos nt cuadrado, o sea que si quieres puedes ponerlo como un... m menos n, todo eso, t cuadrado. Y aquí nos quedaría un más m menos n, t. Debe sacar bastante cosas, factores comunes. Y todo esto lo evaluamos entre el t igual a 1 medio menos 1 partido 2n y t igual a 1 medio, ¿verdad? Venga, ya nos quedaría todo esto entonces. Nos quedaría aquí una m que multiplica a 1 medio menos 1 partido 2n, todo eso al cuadrado, más el 1 menos m por el 1 medio menos el 1 partido 2n y restamos el m que multiplica aquí al 1 medio. Menos 1 partido 2m, todo eso al cuadrado, menos el 1 menos m, que multiplica al 1 medio, menos 1 partido 2m, ¿verdad? Aquí están las n, aquí están las n, y luego resto las m y las m, ¿vale? Y luego aquí, más... T igual a 1 medio sería un m menos n por 1 cuarto más m menos n por 1 medio menos m menos n por el 1 medio menos 1 partido 2n al cuadrado. Más, menos, un m menos n por el 1 medio menos 1 partido 2n. Vale. Vamos a simplificar términos, ¿verdad? ¿Por qué? Si desarrollamos estos cuadrados, ¿qué nos quedaría? A ver. Lo primero que vemos. Cosas así que podemos simplificar. Aquí tenemos 1 menos m por 1 medio Y aquí tengo 1 menos m por 1 medio Restando y sumando, ¿verdad? O sea que este 1 medio con este 1 medio Se me va a cancelar Del mismo modo, tengo Aquí m menos n por 1 medio Y aquí m menos n por 1 medio Sumando y restando Entonces todo este término con este 1 medio Se me cancela, ¿verdad? Venga, ¿qué más desarrollamos? Si nos fijamos, cuando haga este cuadrado, ¿verdad? 1 medio al cuadrado por m menos n nos queda 1 cuarto. Y aquí tengo m menos n, 1 cuarto. Todo este término con este 1 medio se me cancela. Cuando tengo aquí cuadrado del primero es m, 1 cuarto. Y aquí cuadrado del primero es m, 1 cuarto. Sumando o restando, este también se me cancela, ¿verdad? Entonces, ¿qué términos parece que todavía no se me cancelan? A lo mejor cojo esta m por... El doble del primero por el segundo, ¿verdad? ¿Qué nos quedaría? Como es doble por un medio, 1 por el segundo nos quedaría menos m partido 2n, ¿no? Y el cuadrado del segundo sería más m partido 4n cuadrado, ¿no? De aquí nos queda un 1, con este sería menos 1 partido 2n. Más M partido 2N. De aquí, cuando hago el doble primer por el segundo me quedaría 2 por 1 medio, nada, menos con menos, más, y sería M partido 2M. Y luego el cuadrado, ¿de qué nos quedaría? Menos M partido 4M cuadrado, ¿verdad? Seguimos aquí. Menos 1 por este sería menos con menos más y tendría 1 partido por 2m. Y luego menos con menos con menos sería menos m partido por 2m, ¿verdad? De aquí nada, de aquí nada, de aquí ¿qué tendríamos? Doble del primero por el segundo, ¿qué nos quedaría? Menos con este menos se convierte en más y tendría m menos n. partido 2n, ¿no? Y luego el cuadrado que nos quedaría menos m menos n partido 4n cuadrado. Aquí menos con menos se convierte en más m menos n dividido entre el 2n, ¿verdad? Vale. Entonces, vamos a ver qué tendríamos aquí. Esto sería menos, menos con menos, menos el doble primero por el segundo. Aquí un menos. Está todo bien, ¿no? Venga. ¿Qué podemos simplificar? M partido por 2N con un M partido por 2N, ¿verdad? ¿Qué más? Un M partido por 2M con un menos M partido por 2M. ¿Qué más? ¿Qué más? ¿Qué más? Un M. Uy, casi, Algo más que podamos simplificar, es que veamos aquí, porque hemos cogido... El m partido... Ah, no, porque es m. Exactamente, porque aquí es 2mt menos 2nt más m menos n, ¿verdad? Y aquí es menos con menos... Ah, no, espera, que me he equivocado. Es que este no es m menos n porque hacíamos a este... Le resto este, ¿verdad? Entonces este de aquí es, no es m menos n, es n menos m. Al revés, porque al morado le resto el azul. Al 2mt le resto el 2nt, al menos m le resto la n. Entonces aquí ha cambiado y este término sería, aquí tendría que poner un menos, si lo quiero poner como n menos m. Lo cual significa que entonces, ¿qué signo me ha fallado? Me ha fallado este signo de aquí, ¿verdad? Porque este no sería más, sino que ¿quién sería? Un menos, ¿verdad? Sería este, que es el cuadrado. Le resto este con un medio. Y aquí le sumo, ¿no? Vale, entonces, todo sigue igual en el sentido de que el 1 medio con el 1 medio se me cancela también, pero ahora, como aquí hay un signo más, en que se me convierte esta segunda parte. Este término no sería más, sino que sería ahora menos. Ese es el único cambio, ¿verdad? Entonces aquí se me convierte esto en este con este se me cancela. ¿Sí? Y entonces ¿qué tendríamos aquí? Un m, m partido 4n cuadrado menos 1 partido 2n menos 1 partido 4m más 1 partido 2m menos... m menos n partido 4n cuadrado, ¿verdad? Y fíjate, si ahora tomamos límite cuando tanto la m como la n tienden a infinito, ¿qué ocurre? Hay cocientes de polinomio, pero entre m y n cuadrado, ¿quién gana cuando tienden las dos a infinito? El denominador. Y el 1 partido por 2n a 0. Y el 1 partido por 4m a 0. Y el 1 partido por 2m a 0. Y el m menos n entre algo cuadrático también a 0. O sea que todo esto tiende a cero, ¿verdad? Oye, porque acabamos de ver que si este límite tiende a cero en la m y en la n, es justamente la definición de sucesión de Cauchy. O sea que efectivamente esta sucesión es de Cauchy. Ya tenemos construida entonces una sucesión de Cauchy. Siguiente paso, ¿converge esa sucesión de Cauchy? Bueno. vamos a ver a qué tendría que converger, ¿verdad? Es decir, acabamos de ver o acabamos de probar que nuestra sucesión f su n, con la n que va desde 1 hasta infinito, es sucesión de Cauchy. en nuestro espacio de funciones continuas, en 0, 1, con respecto a la norma 1. Entonces, si estudiamos su posible convergencia, Primero analizamos cuál sería el posible candidato. Candidato F al límite. ¿Cuál es el límite más sencillo que podemos estudiar? límite puntual de nuestra sucesión de funciones. Entonces, para ello, fijamos nuestro x perteneciente al intervalo 0,1 y tomamos límite, que sería un límite puntual. Entonces, ¿a qué tiende? Nuestra función f sub n de t cuando la n tiende a infinito. Claro, tenía que hacer el límite cuando la n tiende a infinito de, por un lado, tengo ni a tres trozos. Si la t estaba en el trozo de 0 a 1 medio menos 1 partido por 2n, valía 0. Si la t estaba en el trozo de 1 medio menos 1 partido por 2n hasta el 1 medio, valía 2nx menos n más 1, más 1 menos n, menos n más 1. Y luego, si la t estaba en el trozo de 1x, Te he vuelto a poner x. Qué empeñado. Y luego si la t estaba del 1 medio al 1, la función valía 1, ¿verdad? ¿Qué ocurre? Cuando tomamos límite, tengo que estudiar dos cosas. Tanto la expresión explícita de mi función como el posible intervalo. ¿Qué ocurre? Cuando la n tiende a infinito, el punto 1 medio menos 1 partido por 2n tiende a 1 medio, ¿verdad? O sea que en realidad... desaparecen esos tres intervalos y lo que se convierte en mi función es en una función a trozos que tiene únicamente dos intervalos. El intervalo donde la t varía entre si 1 partido por 2n tiende a 0, este intervalo se convierte en el intervalo 0 un medio abierto. Claro, es que este intervalo se convertiría en el cerrado un medio abierto un medio. No puede ser al mismo tiempo que no cojas el un medio que si lo coja, o sea que... Esta expresión de aquí en medio desaparece, ¿verdad? Y luego tengo el trozo donde la t varía entre 1 medio y 1. Pero en el intervalo 0, en este intervalo de aquí, la función siempre valía 0. En este intervalo de aquí, la función siempre valía 1, ¿verdad? Este es nuestro candidato a función f de t. Pero, ¿qué ocurre? ¿Es la función f que acabamos de construir o de obtener aquí como límite puntual una función continua en el intervalo 0,1? No, ¿verdad? No. ¿Qué ocurre entonces? El posible límite que puede tener esta sucesión de Cauchy es algo que no está en mi espacio, ¿verdad? Entonces, hemos encontrado una sucesión de Cauchy que no converge a ningún elemento de nuestro espacio. Luego... Nuestro espacio 0,1 con la norma 1 no es un espacio de Banach, porque hemos sido capaces de encontrar una sucesión de Cauchy que no es convergente, porque lo que converge no cae dentro de nuestro espacio. Mala suerte. Del mismo modo, es decir, si en lugar de hacerlo mediante, para esta sucesión, hubiésemos cogido en lugar de estos elementos cualquier otra norma, norma 2, norma 3, etc. Es decir, vamos a poner aquí una nota de forma análoga. Podemos probar que nuestros espacios de 0, 1 con la norma P no son espacios de Banach. Para todo P que esté entre 1 y más infinito. Porque lo único que va a ocurrir es que al elevar a P, lo que estás haciendo es afinar más todavía esa diferencia de área. Lo cual significa que lo único que vas a hacer es que converja más rápidamente a 0 tu sucesión de cochí. Porque en lugar de tener ahora rectas, ahora vas a tener parábolas, ahora cada vez cosas más estrechas. Pero... Con esa misma sucesión, el candidato al límite es siempre la misma función. El candidato al límite puntual es siempre esa función que vale 0 entre 0 y 1 medio y que vale 1 del 1 medio al 1. Que no es una función continua. Entonces, toda la sucesión que nos hemos construido antes es siempre una sucesión de Cauchy. Da igual la norma P que tú cojas. Pero nunca va a converger en una función continua. Pero si te fijas aquí, ¿cuáles son los valores del P? Del 1 al más infinito, pero el más infinito no lo tocamos, ¿verdad? Todas estas normas, por así decirlo, comparten la misma definición en el sentido de que son integrales de. Integrales de ciertas potencias de nuestra función. Si falla con un polinomio, lo mismo es con el polinomio al cuadrado, que al cubo, que a la cuarta, que a la quinta, que a lo que te dé la gana. No hay problema. Pero... Cuando ponemos el más infinito, la definición cambia radicalmente. Ya no es una integral, ¿verdad? Entonces, la pregunta sería, ¿quién es más infinito? Es decir, ahora, nuestra pregunta natural sería, ¿sigue ocurriendo lo mismo? en nuestro espacio de funciones continuas, pero cogiendo ahora la norma infinito, pues claro, ahí ya no tienes una sucesión o no tienes que coger integrales, sino que ahora la norma del supremo es coger un máximo de cosas. Y ahí, si recuerdas, esa convergencia se llamaba convergencia uniforme. Y lo cual de la convergencia uniforme es que era la mejor convergencia que teníamos con funciones en realidad. O sea, a lo mejor el comportamiento cambia radicalmente si pasamos de integrales a algo que no es una integral. Y efectivamente es así, es decir, proposición, el espacio de funciones continuas e intervalo 0,1. Y pongo 0, 1, pero quien dice 0, 1 pone cualquier intervalo AB con la norma infinito del supremo es un espacio de Banach. ¿Cómo lo probaríamos ahora? Tenemos que hacer una idea similar a lo que hemos hecho en los espacios LP, ¿verdad? Partir de una sucesión de Cauchy y probar que... Puedo construirme bien nuestra sucesión siempre. Entonces, sea ahora nuestra f sub n con n1 hasta infinito contenido en nuestro c de 0,1 que sea una sucesión de cotx. Entonces. ¿Qué necesitamos? Por ser una sucesión de Cauchy, ¿qué podemos asegurar? Que entonces, para cada épsilon mayor que 0, existe un cierto término n sub 0 natural, tal que, para todo n y m, mayor o igual que el n sub 0, que se verifica que la norma del f sub n menos el f sub m, en norma infinito, es menor o tristo que épsilon. O lo que es lo mismo. que el máximo para t perteneciente, ve cuánto tarda en escribir una x, para t perteneciente al intervalo 0, 1, de este f sub n de t menos el f sub m de t, ¿cómo es? Menor que épsilon, ¿verdad? Y ahora tengo el máximo, pero lo que está claro es que... Si el máximo de esas cantidades es menor que épsilon, entonces todas esas cantidades, como son también menores que épsilon, lo mismo que hacíamos antes con la suma, antes decía, si estoy sumando cosas y suman algo más chico que, todas esas cosas tienen que ser más chicas que la suma. Ahora no, ahora digo, oye, si lo más grande de una serie de cosas es menor que épsilon, entonces también tengo garantía de que el f sub n de t menos el f sub m de t, Eso tiene que ser más chico que epsilon, sea cual sea el t que yo coja del intervalo 0, 1. ¿Vale? Claro. Entonces, ¿qué vamos a hacer? Vamos a fijar el t. Es decir, en particular, si fijamos nuestro t perteneciente... al intervalo 0, 1, tenemos que nuestra sucesión f sub n de t con la n que va desde 1 hasta infinito es una sucesión ¿dónde? Es una sucesión de Cauchy. en el cuerpo K, ¿verdad? Que K es o R o los complejos. Y como el cuerpo K con R los complejos es un espacio de dimensión infinita que sabemos que es completo, en particular que ocurre que para cada T las F sub n de T convergen a algo, ¿verdad? Es decir, por lo que... Existe un f sub t en k tal que el límite cuando la n tiende a infinito de nuestra f sub n de t es igual a la f de t, ¿verdad? Para todo t perteneciente al intervalo 0,1. Ahora bien, ¿qué ocurre con esta convergencia que tenemos aquí? Lo que me faltaría es decir, ya tengo un candidato a límite, ¿verdad? Ese candidato a límite es esa función f sub t. Para que todo funcionase bien, necesitaría que esa convergencia como fuese, uniforme. Necesito que esa función que tengo ahí sea una función de qué tipo? Continua, ¿verdad? Bueno. vamos a ver si puedo garantizar que esa función es continua y si puedo garantizar que la convergencia sea uniforme. Es decir, observemos entonces que si yo cojo por ser esta sucesión, una sucesión de Cochy, ¿verdad? ¿Qué sabíamos? Que la norma de fn menos fm, en norma del supremo, era... menor que épsilon, ¿verdad? Y esto sería así lo mismo que decir que el máximo para cada t perteneciente al intervalo 0, 1 de nuestra f sub n de t menos la f sub m de t, que eso era menor que épsilon. Pero entonces si tomamos límite cuando el otro te da más coraje la n o la m ¿Cuál quieres que se vaya? La n. La n quieres que se vaya, vale. Pues si tomo límite cuando la n tiende a infinito, ¿a qué tiende f sub n? A la ft. Exactamente, pues la f de t, aquí sigo teniendo un máximo cuando la t tiende a 0,1, menos la f sub m de t, todo eso es menor que epsilon, ¿verdad? ¿Qué ocurre entonces? Esto de aquí, ¿quién es? Lo que estamos diciendo es que la norma de la f sub m menos la f en norma infinito, ¿a qué tiende? Cuando la m tiende infinito a cero, ¿verdad? Por lo tanto, hay convergencia de nuestra sucesión a la función, ¿verdad? Es decir, ya sabemos entonces... Tenemos entonces que esta f sub n o m converge a la f en norma infinito, ¿verdad? ¿Qué es lo último que falta? Necesito que ese límite esté también en el mismo espacio en el que estamos trabajando. No puede ser que se salga fuera, ¿verdad? Además, por ser las, por ser, pone, f su n continua para todo n natural y tener convergencia uniforme, Podemos garantizar que lo que vimos en funciones de una variable 2, creo, que el límite f es también una función continua, ¿verdad? Y entonces, ¿qué acabamos de probar? Hemos construido explícitamente el candidato a límite. Hemos probado que ese candidato a límite está en nuestro espacio, es decir, que es una función continua. y hemos probado que hay convergencia en la correspondiente norma, que es la norma infinito. Por lo tanto, tenemos que nuestro espacio de funciones continuas con la norma infinito, si es un espacio de vanas, si es un espacio normado completo. Pero cuidado, ¿qué hemos hecho aquí? Hemos mantenido nuestro espacio de funciones continuas, ¿verdad? Si te fijas, la construcción que hemos hecho en la clase de hoy ha sido, coge un espacio infinito, sucesiones, con unas normas, todos son completos. ¡Ah, qué guay! Oye, ¿y si cambio el espacio? ¿Funciona siempre igual de bien? No. Si cambias el espacio por las funciones continuas, manteniendo el mismo tipo de norma, por así decirlo, que son las normas P, falla. Y ya no es completo. Ojo, pero no falla siempre, porque dentro del espacio de funciones continuas hay una norma especial, que es la norma uniforme o la norma infinita, que sí garantiza completitud. Y eso funciona... ¿Siempre con la norma infinito? No siempre. ¿Por qué? Porque, nota, es importante tanto la norma como el espacio. Es decir, aunque el espacio de funciones continuas, intervalo 0, 1, con la norma infinito sí es... un espacio de van a si cogemos una cantidad menor de elementos es posible que perdamos la propiedad de completitud. Por ejemplo, vamos a coger P caligráfica, que vamos a llamarlo... o vamos a poner p caligráfica de intervalo 0, 1 igual, que van a ser todo el conjunto de polinomios p de x, p de t, de la forma a sub 0 más a sub 1t más a sub n t elevado a n. con n pertenecientes a los naturales, cada coeficiente a0, a1, hasta an, que sean números complejos, pero para todo t, el intervalo 0,1. Y no pasa nada, que lo único que estamos haciendo es restringir nuestros polinomios y solo le damos valores entre 0 y 1. No tiene ningún problema. Oye, fíjate, estos polinomios están clarísimos. ¿Qué son? ¿Qué? Un subconjunto de nuestra familia de funciones continuas. Porque todo polinomio es una función continua. Si en lugar de trabajar en todo R, o en todo C, o en todo lo que tú quieras, lo coges en un intervalo más chiquitito, bueno, pues no pasa nada. Sigue siendo continuidad. No hay ningún problema. Pero, vamos a coger una familia especial. Es decir, tomemos ahora... La sucesión F sub n, o podemos llamar, si quiere, ya que son polinomios, ¿no? Polinomios P minúscula sub n, desde n igual a 1 hasta infinito, contenida en este P caligráfica del 0, 1. Dada por cada t sub n de t va a ser el siguiente polinomio. Voy a coger 1 más t partido de 1 factorial más t cuadrado partido de 2 factorial más t elevado a n partido de n factorial. Efectivamente, fijado cada n, estos polinomios, ¿qué le ocurre? Son polinomios de 0, 1. Es decir, todos estos elementos están efectivamente en nuestro 0, 1. Pero ahora, si tomamos límites cuando la n tiende a infinito, ¿qué ocurre con esto de aquí? Que esto converge cuando la n tiende a infinito a quién? A la exponencial, ¿no? A elevado a t, ¿verdad? Y además, esta convergencia... No es una convergencia de cualquier tipo, no es una convergencia puntual, es una convergencia en norma infinito, ¿verdad? Porque la distancia, el máximo que hay entre este polinomio y este elevado a t, lo puedo hacer tan chico como yo quiera. Puedo aproximar esta exponencial precisamente por estos polinomios. Es su desarrollo de Taylor, justamente. O sea que tenemos que hay una convergencia en norma infinito. Pero... ¿Qué pasa con elevado a t? Que no es un polinomio. Pero la función elevado a t no es un polinomio. O sea que fíjate que no solo la norma es importante, sino que aunque tengas funciones continuas, a lo mejor en el momento en el que quitas elementos de ese conjunto... pierdes justamente esa propiedad de completitud de ser espacio de vanas que tú tienes. Entonces, aunque el espacio de funciones continuas sí es un espacio de vanas, sin embargo, el espacio de polinomios del intervalo 0, 1 con la norma del supremo, la norma infinito, no es un espacio... De Banach. Es decir, es fundamental tener en cuenta tanto tu conjunto de espacio vectorial como la norma con la que estés trabajando. Porque como toques algunos de esos elementos de forma adecuada, puedes cargarte u obtener las propiedades que necesitas. Y con eso tenemos ya toda esta parte de sucesiones y completitud. Completa.

Donde en función de si cogíamos la norma 1, la norma 2 o la norma infinito, Podríamos tener siempre convergencia a una constante o convergencia a cero o podríamos modificarlo para tener convergencia infinita. Y eso nos permitía hablar de que las normas en espacios de dimensión infinita no siempre tienen por qué ser equivalentes. Lo cual me fastidiaba también ese concepto de convergencia de normas. Bueno, aunque a lo mejor no tengamos convergencia de normas, sí podemos hablar de sucesiones de Cauchy igual que hacíamos en dimensión infinita y tratar de relacionar esos dos conceptos. Entonces...

Por otro lado, el concepto que nos interesa trabajar hoy es el mismo que teníamos en nuestro espacio vectorial de dimensión infinita, que es el de sucesión de coches. Entonces, vamos a poner nuestra definición. ¿Qué nos dice? Pues sea, en nuestro caso, nuestro x con su norma, un espacio normado. Y vamos a coger x sub n, con n perteneciente a los naturales, que esté contenido en nuestro x, que sea una sucesión.

Entonces, ¿cuándo vamos a decir que esta sucesión es de cochí? Y diremos que nuestra x sub n... Es una sucesión de Cauchy, obviamente en el correspondiente espacio X, si lo que verifica es convergencia con respecto a la norma.

Es decir, yo cojo unos elementos X, Y, N. Cojo el elemento X, Y, M de nuestra sucesión. Calculo la norma de esta diferencia. Y lo que quiero es que aquí hacemos un doble límite.

Es un límite tanto cuando la n como la m tienden a infinito. Queremos que esto sea cero. Así que cuando simultáneamente hacemos tender tanto la n como la m a infinito, ese límite valga cero. Es decir que al final eso se te acerca.

Esto lo podemos reescribir también en términos de epsilon. No voy a decir delta porque cuando son elementos naturales nos gusta coger una n. Pero podemos tener nuestra definición epsilon delta por así decirlo.

Es decir, podemos reescribirlo del siguiente modo. Tenemos que decir aquí que para todo epsilon mayor que cero, Existe un cierto término n0 natural, tal que para todos n y m que sean mayores o iguales que ese n sub 0, se tiene que la norma del x sub n menos el x sub m es aquí. Dudo no porque no lo sepa, sino porque me estoy acordando del libro y en el libro les gusta poner un menor o igual. No hay ninguna diferencia real entre poner un menor o un menor igual, porque como es para todo épsilon mayor que cero, bueno, pues no nos afecta.

Es cierto que yo tengo la costumbre siempre de poner el menor estricto, que es a lo mejor más una manía mía personal. No pasa nada porque sea un menor o un menor igual. La condición es la misma.

Pero bueno, si es verdad que a mí me gusta más poner el menor estricto. Te lo voy a dejar como menor estricto en lugar de como menor o igual. Esto sería el concepto de sucesión de Cauchy. Y aquí, aunque estamos trabajando en un espacio normado, no hemos tenido que especificar la dimensión. Cuidado que siempre que hablemos de espacio normado, ese espacio vectorial x puede tener dimensión finita o infinita.

Obviamente nos interesará el caso infinito en general. porque es el que puede tener propiedades distintas a lo que ya estábamos acostumbrados, pero que esto definimos en general. Ahora bien, queremos relacionar esta sucesión de Cauchy con la convergencia. A lo mejor no toda sucesión de Cauchy tiene por qué ser convergente.

Entonces, tenemos un concepto que es el mismo concepto que teníamos previamente en análisis, topología, etc., que nos habla de completitud de espacios. Definición, dado x norma que sea un espacio normado, diremos que es... completo si toda sucesión de Cauchy es convergente. Lo único especial es que este concepto de completitud es general para cualquier tipo de...

espacio en el que podamos definir convergencia. Es decir, siempre hablamos de espacio completo si toda sucesión de Cauchy es convergente. En nuestro caso, este espacio es un espacio un poquito más especial, porque es un espacio que llamamos espacio normado.

Tenemos algo adicional que es una norma. Igual que podríamos hablar también de espacios métricos completos, de espacios topológicos completos. Entonces...

El que tenga esa propiedad especial de ser normado hace que le cambiemos el nombre a nuestro espacio normado completo. Y para no hablar de espacio normado completo, lo llamamos espacio de Banach. Entonces, llamaremos espacio de Banach.

a un espacio normado completo. Y cuidado, que es Banach, con J de Jaén, es decir, no Banach, como a veces dice la gente. Ejemplos clásicos de espacios de Banach, ¿cuáles son? Los casos finitos que nosotros ya conocemos, porque, por ejemplo... Podemos tomar, podemos considerar como espacios de Banach a x, que lo tomamos como nuestro cuerpo k elevado a d, donde está k.

Es o bien R o nuestra K es igual al conjunto de los complejos con cualquier norma. ¿Y por qué con cualquier norma? Porque probamos que en Rn de dimensión infinita todas estas normas como son equivalentes.

Entonces, tener convergencia en una norma implica tener convergencia en cualquier otra norma. Ya tenemos ejemplos clásicos de espacios de Banach con respecto a una norma arbitraria. La duda que tendríamos ahora sería, bueno, ¿qué ocurre cuando pasamos de espacios vectoriales de dimensión infinita como r elevado a d o c elevado a d y nos vamos a espacios vectoriales de dimensión infinita?

Claro, ahí empezamos a tener problemas. De hecho, nosotros hemos visto... Dos tipos de espacios de dimensión infinita. Dos familias. Por un lado hemos dicho, mira, cosa muy sencilla, coge sucesiones.

Coge sucesiones y estudia comportamiento de esas sucesiones. Esos son los espacios LP minúscula. Otros espacios de dimensión infinita han sido coger funciones continuas. Dentro de las funciones, funciones continuas, tenemos nuestras normas y pasan otras cosas.

Hemos visto, por ejemplo, que... Gracias a las funciones continuas habíamos probado que no había equivalencia de normas, porque teníamos ejemplos donde fallaban esas normas. Bueno, pues vamos a irnos primero a, en lugar de tener una sucesión con un elemento vectorial, con una cantidad finita de componentes, vamos a ver qué ocurre si hubiese infinitas componentes. Y la primera extensión natural que sería coger espacios L algo. Entonces, dentro de los espacios L algo están asociados a qué?

A la correspondiente norma. Entonces, vamos a estudiar qué ocurre con los espacios L, P, N o la correspondiente norma P. Estoy cogiendo la misma notación que el libro, aunque en realidad la notación cuando yo la puse no sería con la N. Realmente aquí, en lugar de N...

Para mí tiene más sentido colocar el conjunto donde cada componente va a pertenecer. Es decir, recordemos que ¿cómo se definía el espacio LP de los naturales? En el libro lo introducimos simplemente como aquellas sucesiones, es decir, le ponemos una raíz y de repente tenemos estos infinitos elementos.

de la forma x sub n, con la n que va desde 1 hasta infinito, que están contenidos donde? Aquí, como quiero únicamente sucesiones de elementos, que normalmente los pondríamos en k elevado a n, y esto puede ser tanto números reales como números complejos, ¿verdad? Tales que, ¿cuál es la condición? La condición que la norma P de este elemento X sea finita.

Siendo, ¿quién sería esa norma P? Era simplemente coger la suma desde el n igual a 1. hasta el infinito del módulo del x sub n elevado a p y todo eso elevado a 1 partido por p. Y esto sería para todo 1 menor o igual que p, menor o igual que más infinito, ¿verdad?

El espacio LP. Esta norma se define así para todo 1 menor o igual que p, menor estricto que infinito, ¿verdad? Y en el caso p igual a infinito, tomamos la norma p del elemento x como el supremo para n perteneciendo a los naturales del x sub n. Estos son nuestras parejas de espacio LP. Lo que digo es que para mí tiene más sentido poner aquí dentro el conjunto k donde estoy cogiendo.

Es decir, que si tú fueses x elevado a n son... todas las sucesiones de elementos que están en el x. Entonces yo pondría aquí lp de x para indicar dónde estoy cogiendo cada una de esas infinitas componentes. El libro no, el libro dice como espacio lp de n para indicar que son sucesiones de números complejos o de números reales. A gusto los colores, no pasa nada.

Muy bien, entonces dentro de estos distintos espacios hemos visto distintas normas. ¿Cuál sería la primera norma que nos encontramos? Coger el p igual a 1. Entonces, para p igual a 1, ¿qué tendríamos?

Para p igual a 1 y, por ejemplo, k igual a c, tendríamos el espacio. normado, que sería el L1 de n con la norma 1, dado por nuestro espacio L1 de los naturales, son todas las sucesiones X de la forma. x sub n con n pertenecientes a los naturales.

contenido en nuestro c elevado a n, tal es que la norma 1 de este x rayita es finita. ¿Dónde tiene esa norma 1 ahora? Simplemente la norma 1 del x es coger la serie desde n igual a 1 hasta infinito de módulo De x sub n. Oye, ¿conocemos a lo mejor algunos elementos importantes que tienen esta familia?

Cuando habíamos introducido esos espacios de dimensión infinita, uno decía, ah, bueno, podemos extender como una base canónica, lo que pasa que ya no era base, porque fallaban y nos faltaban elementos, pero había ciertos vectores sencillos que extendían esa base canónica, que eran cuáles. Por ejemplo... Si tomamos, vamos a llamar e rayita sub n, la sucesión formada por los elementos delta sub n k, donde entonces esta sucesión varía en k, pertenecientes naturales, que es una sucesión que tendría 0, 0... Un montón de ceros hasta que en la posición n aparece un 1. Y luego ya el resto de términos son todos ceros. Entonces, este elemento, ¿qué verifica?

Tenemos que, ¿cuánto vale la norma que su n rayita 1? Sería la suma infinita, la serie infinita de n igual a... de K igual a 1 hasta infinito, K porque ahora estamos tomando la sucesión en K, de el módulo de los delta NK.

¿Qué ocurre con estas delta NK? Que o valen 0 o valen 1. Solo hay un 1, o sea que en realidad toda esta serie vale precisamente 1, que es una cantidad finita. Por lo que tenemos seguro que... Cada elemento S1 está fijo en este espacio L1 de los naturales para todo n perteneciente a los naturales. O sea que ya conozco infinitos elementos de esta familia.

La pregunta natural sería, bueno, ya que tengo un espacio normado, espacio vectorial de dimensión infinita, ¿podría ser un espacio completo? Es decir... ¿Puedo garantizar que toda sucesión de Couchy es convergente en este tipo de espacio?

Pues lo que vamos a ver es un primer resultado que nos dice efectivamente. Es decir, la exposición, a ver cómo lo pongo, vamos a poner L1 naturales con nuestra norma 1 es... un espacio de Banach. ¿Cómo lo demostraríamos? Con este tipo de demostraciones tenemos que saber manejarla muy bien para ver la idea que tenemos detrás.

La idea, para que sea un espacio de Banach, tengo que probar que toda sucesión de Cauchy Tiene que ser convergente. Por lo tanto, lo primero que tengo que hacer es considerar una sucesión de coches cualquiera. Pero cuidado, porque un elemento de L1 de N, ¿qué es? Es una sucesión de números complejos. Entonces, tengo que coger una sucesión cuyos elementos son sucesiones de.

Entonces, cuidado con la anotación y con cómo trabajamos con estos elementos, ¿vale? Es decir, sea... Vamos a llamar sucesión aquí y por distinguirlo de lo de antes vamos a poner una x rayita, va a ser un elemento y voy a poner como superíndice para indicar que estos son los distintos elementos de nuestra sucesión. Desde n igual a 1 hasta infinito que está contenido en L1 de los naturales. Es decir...

Cada x rayita n. Se puede expresar como una sucesión cuyos elementos son x super n, vamos a poner ahora el subíndice k, y esta k es la que varía desde 1 hasta infinito, y es un elemento de l1 de n, sea cual sea el n que nosotros cojamos. Es decir, cada elemento es a su vez una sucesión, ¿de acuerdo? Ahora, vamos a suponer que esta sucesión es una sucesión de Cauchy. ¿Qué significa que sea una sucesión de Cauchy?

Que los términos se van aproximando cada vez más. Entonces, en términos de Y delta sabemos que, entonces... Para cada épsilon mayor que 0, tenemos nuestro término n es 0 natural, tal que para cualquiera n y m que sean mayores o iguales que el n sub 0, que se verifica que la norma de esta sucesión, que sería la norma del xn menos el xm, En norma 1, ¿eso cómo es? Menos tristo que épsilon. Perdona, la que estamos asumiendo que es de coche es la que la x paréntesis n.

Arriba, exactamente. Vale, vale. Entonces lo que tú haces es coger dos términos cualesquiera de esa sucesión y de ahí en adelante tienen que estar más cercanos al épsilon.

Pero recuerda que aquí cada término x rayita super n es a su vez una sucesión. Por eso tenemos la norma 1 en ese espacio. Claro, ¿qué significa esta norma 1? Esto es lo que estamos diciendo que es, norma 1 es coger la suma, las componentes dependen de k, ¿verdad? Desde k igual a 1 hasta infinito y estamos cogiendo la diferencia entre, de la sucesión xn cogemos la correspondiente componente késima y le restamos de la sucesión x super m la correspondiente componente késima.

Y cuando sumamos todas estas infinitas componentes en módulo, eso es como menor que infinito. Eso es lo que nosotros sabemos. Menor que épsilon.

Has dicho infinito, sí. He dicho infinito, sí, sí. Menor que épsilon, ¿vale? Fíjate, aquí hay una cosa natural que sería épsilon es un número finito. Y tengo un montón de cosas.

que suman épsilon, ¿verdad? Lo que es inmediato, ya sea una cantidad finita o una cantidad infinita, si todo eso suma algo menor que épsilon, en particular, ¿qué puedo afirmar sobre cada uno de los sumandos? Estoy seguro de que, forzosamente, cada uno de estos sumandos, xnk menos el xmk, ¿K cómo tiene que ser?

También menor que épsilon, ¿verdad? ¿Cierto? Pero, ahora esos elementos de ahí, esos xnk menos xmk, si tú fijas el k, ¿qué tienes? Una sucesión, ¿dónde? Una sucesión de números complejos, ¿verdad?

Lo que estamos diciendo es fijar el k que implica quedarte con la correspondiente componente, ¿verdad? Entonces, en lugar de decir, para que veamos la diferencia en lo que estamos haciendo, podemos expresar entonces este elemento x super... 1 rayita, ¿quién sería? Sería una sucesión, ¿verdad? La vamos a poner con llave, aunque a mí me gustan más los paréntesis, pero bueno, con llave que sería el x super 1 entre paréntesis componente 1 y luego el x super 1 componente 2 y el x super 1 componente 3 y así hasta el infinito, ¿verdad?

¿Y quién sería el x rayita super 2? Sería una sucesión formada por el x super 2 componente 1 y el x super 2 componente 2 y el x super 2 componente 3. Y así hasta el infinito. ¿Quién sería el x rayita super 3? Una sucesión donde tenemos el x super 3 componente 1 y el x super 3 componente 2. Y el x super 3 componente 3. Y así hasta el infinito, ¿verdad?

Este es un elemento que está, ¿dónde? En L1 de n. Y este es otro elemento que está en L1 de n. Y este es otro elemento que está en L1 de n.

Y yo podría seguir este argumento, ¿verdad? Sin ningún problema. Porque tengo una sucesión de...

Infinitas sucesiones, ¿cierto? Ahora, fijar el K significa quedarte con cada una de esas componentes. Entonces, si tú fijas ahora K1, querías quedarte con la primera componente de cada una de estas sucesiones, ¿verdad?

Y si fijases el K2, te quedarías con la segunda componente de todas estas sucesiones. Si fijases el caso 3, te quedas con la tercera componente de todas estas sucesiones. Entonces la pregunta natural sería, oye, si yo voy horizontalmente, por así decirlo, tienes tu sucesión x1 rarita, y esa sabes que está en L1.

Si vas horizontalmente, tienes la sucesión x2 rarita, que sabes que está en L1. Y si en lugar de eso voy verticalmente... Hombre, también tengo sucesiones. La pregunta es, ¿qué puedo afirmar ahora sobre la convergencia de esas sucesiones?

Es decir, ahora, ¿qué ocurre si fijamos el K? Fijado K perteneciente a los naturales, que sería esta componente, o esta componente, o esta componente. Vamos a considerar... Las sucesiones que van a ser ahora, pues como dependen de k, vamos a ponerle x sub k super n porque va a ir cambiando cada uno de estos elementos, ¿verdad?

Ahora la n es la que varía desde 1 hasta infinito. Para k igual a 1, que obtengo todas las primeras componentes. Para k igual a 2, tengo todas las segundas componentes.

k igual a 3, todas las terceras componentes. Entonces lo que varía es el elemento enésimo de tu sucesión. ¿Vale?

¿Dónde están estas sucesiones, seguro? Hombre, sabemos seguro que esto está en cn, ¿verdad? Como cada componente era un número complejo, y la tengo infinita, seguro que va a ser una sucesión de números complejos. ¿Por qué no hemos escrito L1 de n? Ah, porque yo ya no sé si esto es convergente o no con respecto a esa norma, ¿verdad?

Pero, fíjate, observemos, hemos visto antes... Que para todo épsilon mayor que 0 existe un n0 natural tal que para cualquiera n y m mayores o iguales que n0 se tenía que, si cojo el x sub k super n y le resto el x sub k super m en módulo, ¿Qué ocurría con esta diferencia? Que era menor que épsilon, ¿cierto?

Porque esto había sido consecuencia realmente de que las correspondientes sucesiones fuesen sucesión de Cauchy en L1. En particular, tengo que esto es una sucesión de números complejos, ¿verdad? Por lo tanto, esta sucesión, este x sub nk con la n que va desde 1 hasta infinito, Es una sucesión de cochí en C, ¿verdad?

Para todo K perteneciente a las naturales, ¿cierto? Por separado, toda la sucesión morada, ella independiente, es una sucesión de cochí. Y toda la sucesión naranja... ella independiente es una sucesión de cochís y toda la sucesión verde, ella independiente es una sucesión de cochís. ¿Dónde?

En el espacio de los complejos con el módulo. Y resulta que ahí que sabemos que los espacios de dimensión finita, Rd o Cd, en este caso tengo C elevado a 1. Esos espacios sí son completos, ¿verdad? Entonces cada uno de estos espacios finitos es un espacio completo. Y tengo una sucesión de cochí en los complejos.

Por lo tanto, esa sucesión de cochí en concreto es convergente, ¿verdad? Es decir, cada sucesión de componentes, por ser una sucesión de cochí en un espacio que sí que sabemos que es completo porque tiene dimensión finita, ahí sí sabemos que hay convergencia. Entonces, ¿cómo C con el módulo S? un espacio de Banach, tenemos que para cada k perteneciente a la naturale existe un, vamos a llamarlo x sub k, número complejo, tal que... Si yo cojo la correspondiente sucesión y estudio el límite cuando la n tiene infinito de las sucesiones x sub k super n, esto convergen al x sub k.

Entonces, toda sucesión de componentes es convergente, ¿verdad? Bueno, pues, llamamos entonces x rayita. a la sucesión formada por a lo que converge cada una de las componentes, es decir, a cada x sub k con k que va desde 1 hasta infinito.

Lo que estamos diciendo es que en este proceso todas estas moradas van a tener a un x sub 1, todas estas naranjas van a tener a un x sub 2, todas estas azules van a tener a un x sub 3, y vamos a llamar x al límite formado por cada uno de los límites de las componentes. La pregunta natural sería, ah, espera, si todas esas sucesiones azules estaban en L1, a mí lo que me encantaría entonces es que esa sucesión límite que me estoy construyendo componente a componente estuviese también en L1, ¿verdad? Entonces, la pregunta natural ahora sería, ¿podemos asegurar? que esta sucesión x está en L1 de n, sabemos seguro que es una sucesión que está en c elevado a n, ¿verdad? Porque cada uno de estos elementos es un número complejo.

La pregunta es, ¿podemos mejorar el comportamiento y que esa sucesión horizontal esté en el L1, que es lo que estamos... intentando conseguir qué tenemos que hacer es que a su norma verdad y lo único que tengo que hacer es estudiar la norma de este elemento x1 como estudiamos la norma claro la norma sería estudiar una convergencia de una serie infinita tendríamos si La norma del x1 es finita. Para ello, estudiamos qué ocurre con las correspondientes. Sumas parciales.

Es decir, vamos a estudiar qué ocurre con la suma desde, hemos dicho que las componentes son desde k igual a 1, y como son parciales vamos a poner un n mayúscula, ¿vale? De nuestros x sub k en módulo. Mi objetivo es cambiar esta n mayúscula por un infinito.

Eso sería la norma 1 de este elemento x, ¿vale? Bueno, lo que seguro puedo hacer es expresar esto como la suma... Desde k igual a 1 hasta el n mayúscula y aquí podría poner el elemento x sub k que le vamos a restar el x sub k super n menos o más el correspondiente x sub k super n. A cada límite le resto y le sumo el correspondiente término.

Si ahora aplicamos la desigualdad triangular, ¿verdad? ¿Qué tendríamos? Que esto es menos o igual que la suma, como es una suma finita, no hay problema, suma desde k igual a 1 hasta el n mayúscula y tendremos aquí el correspondiente x sub k menos el x sub k elevado a n, super n, más la suma finita desde k igual a 1 hasta el n mayúscula del módulo del x sub k. Super n, ¿de acuerdo? Ahora, ¿qué podemos garantizar nosotros sobre esto?

¿Podemos acotar esto de algún modo? ¿No podemos acotarlo? ¿Qué crees? ¿Qué sabemos nosotros? Lo único que sabemos era convergencia o...

¿A qué convergencia? Sabíamos que la sucesión de los x super n era una sucesión de cotxi, ¿verdad? Entonces, recordemos que como este x rayita super n, o la n que va desde 1 hasta infinito, es sucesión de cotxi, En L1 de n, con la norma 1, para cada épsilon mayor que 0 existe un n0 natural tal que, para cualesquiera n y m mayores o iguales que n sub 0, ¿qué se tenía?

Que la norma del x rayita n... menos el x rayita m, eso como era, la norma 1 menor que epsilon, ¿verdad? Y a mí me hemos dicho que esto que significaba, que la suma infinita, desde k igual a 1 hasta infinito, del módulo de los x super nk menos los x super mk, esto como era siempre, menor que epsilon, ¿verdad? Lo cual implica entonces que si tomamos límite cuando la m tiende a infinito, ¿verdad? ¿En qué se convierte la expresión de la izquierda?

En la serie desde k igual a 1 hasta infinito. Del x super nk. Pero. ¿A qué converge el x super mk. Cuando la m tiende infinito.

A un término que habíamos llamado. El xk ¿verdad? Y lo de la derecha.

Bueno como es epsilon. Y epsilon no depende de m. Eso sigue siendo menor que.

Epsilon ¿verdad? Ahora fíjate que entonces. Toda esta serie. Es menor que epsilon ¿verdad?

Aquí estoy truncando la serie, estoy llegando hasta un cierto término únicamente, lo cual implica que, ¿qué podemos afirmar entonces? Por lo tanto, cuando yo cojo la correspondiente serie y tomo límite, cuando la n tiende a más infinito, es decir, tomando límite, Cuando la n mayúscula tiene infinito, obtenemos que, por un lado, esta serie en que se convierte en la serie desde k igual a 1 hasta infinito de quién? Del x sub k, que no es otra cosa que quién?

La norma 1 del... x rayita, ¿verdad? Y eso es menor que esta suma, ¿no? Sería menor o igual que la serie sumatoria desde k igual a 1 hasta infinito del x sub k n menos el x sub k.

Y a todo eso le sumamos la serie de k igual a 1 hasta infinito del x sub k n, ¿verdad? ¿Esto de aquí quién es? Esto de aquí es menos estricto que épsilon, ¿verdad?

¿Esto de aquí quién es en realidad? Esto es la norma 1 de qué elemento? De qué elemento?

Del xn rayita, ¿verdad? O sea que en realidad esto es simplemente épsilon más la norma del xn rayita. Es norma 1, ¿cierto?

¿Qué ocurre? Estos elementos x o n sí los había cogido de L1 de n. Por lo tanto, esa norma como es finita.

Y si a una cantidad finita le sumo un épsilon, que es también finito, obtengo algo que es seguro finito, ¿verdad? Lo cual significa que entonces nuestro elemento x que acabamos de construir está ¿dónde? En L1 de n, ¿vale?

¿Está bien? Sí. Entonces, ¿este quién va a ser precisamente nuestro candidato al límite?

Es decir, aquí tenemos el candidato al límite de la sucesión formada por... estos x sub n rayitas, desde n igual a 1 hasta infinito, porque queremos por lo menos que el elemento al que tienda esté también en el mismo espacio, que es el L1 de n. Pues ya nos hemos construido una sucesión que está en ese L1 de n. La idea ha sido muy tonta.

La idea ha sido, si tengo una sucesión cuyos elementos son sucesiones, y esas sucesiones tienen infinitas componentes, haz una cosa. Coge la primera componente, mira que tiene la primera componente. Coge la segunda componente, mira que tiene la segunda componente.

Haz ese proceso con todas y cada una de las infinitas componentes. Y eso te va a dar un nuevo elemento x. Entonces, tiene sentido pedirle que la sucesión converja a ese nuevo elemento. Ya hemos visto que ese candidato efectivamente está en nuestro mismo espacio. Lo que necesito ahora es ver si efectivamente converge A.

Ojo, aquí el modo de estudiar converge A es mediante normas, ¿verdad? Entonces, para estudiar si esta sucesión X super n converge a este X rayita, tengo que estudiar qué ocurre con su norma 1. Y la norma 1 de eso tiende a 0, ¿no? ¿verdad?

Entonces, nos faltaría ver... Si la norma del x rayita n menos del x rayita tiende, cuando la n tiende a infinito, a 0. Es decir, la norma 1, cuidado porque son números reales, ¿verdad? Una norma es un número que va de 0 a más infinito.

Por lo tanto... Aquí estoy hablando de convergencia de números reales. Lo que pasa es que esos números reales son normas de cosas raras.

¿Qué significa que el límite de algo tiende a cero? Si para todo épsilon mayor que cero existe un cierto n cero natural, tal que para todo n mayor o igual que ese n sub cero, ¿qué se tiene? ¿Qué ocurre con esta?

norma del XN Menos el x, que es norma 1, que eso sea como menor que épsilon, ¿verdad? Vamos a reescribirlo. Esto lo que nos diría es de forma equivalente que la suma desde k igual a 1 hasta infinito de nuestro x super n k menos el x k sea menor que épsilon, ¿verdad?

¿Cómo podemos saber si esto ocurre o no? Esto ha sido una consecuencia especialmente de qué? De esta parte que tenemos aquí de ser sucesión de Cauchy y por cómo he construido el x sub k, ¿verdad? Como era una sucesión de Cauchy, cada término que aparecía aquí era menor que épsilon.

Si te mamás límite en... una de las índices m obtenía precisamente ¿quién? esto de aquí ¿qué era?

lo mismo que tenemos aquí ¿verdad? es decir, antes sin darnos cuenta o sin explicitarlo, por así decirlo hemos probado ya que esa sucesión x o n converge precisamente a ese candidato x que hemos tenido, lo que nos faltaba comprobar era que ese candidato x estaba en el mismo espacio que nuestra sucesión es decir, antes Hemos visto que esto se verifica. Hemos visto antes que se tiene como consecuencia de ser de cochí. Lo cual implica que entonces tenemos precisamente que nuestra x sub n menos el x converge en norma 1 al 0. Es decir, tengo probado que x sub n converge cuando la n tiende a infinito a nuestro x rayita en el espacio L1 de los naturales con respecto a la norma 1. Lo cual significa que, sea cual sea la sucesión que yo coja, siempre que sea una sucesión de Cochí, acabamos de probar que qué ocurre. Que puedo encontrar un límite x rayita.

Y lo que hemos hecho para demostrar este resultado ha sido una prueba constructiva. Hemos obtenido explícitamente cuál es ese candidato a límite. ¿Vale?

¿Todo bien hasta ahí? Sí. Igual, no digo igual porque no siempre es tan sencillo, pero de un modo similar a lo que hacemos aquí existen otros espacios que también son espacios de vana.

Es decir, de forma similar podemos probar que... No sólo el L1, sino que, por ejemplo, L2n con la norma 2 o el L infinito n con la norma infinito son también espacios de Banach. En realidad podemos tomar cualquier LP de N con la norma P.

Lo que ocurre es que no es tan fácil construirlo explícitamente cuando el P vale 3,7. Porque no tenemos esas acotaciones tan bonitas. con L1, con L2, con L infinito, si es fácil sacar esas acotaciones porque tenemos desigualdades con valores absolutos, o con raíces, o con supremos de cosas. Pero cuando intentes acotar en menos o igual la raíz de orden 1 partido 3,7 de esto elevado a 3,7, podemos sacar relaciones similares pero nos cuesta un poquito más.

Lo importante es que básicamente esa extensión natural que tenemos de los elementos mediante sucesiones, Se comporta todo bien. Todos estos espacios que tenemos son espacios de vanas. Si coges sucesiones y pasas de una cantidad finita a una cantidad infinita de componentes, perfecto, igual que antes.

Entonces la pregunta sería, ¿hay cosas que no sean espacios de vanas? ¿Y espacios normados donde pueda encontrar sucesiones de coches que no sean convergentes? Bueno, vamos a recurrir a los espacios que habíamos visto el otro día.

que eran los espacios de funciones continuas. Es decir, la pregunta natural sería, ¿existen espacios normados de dimensión infinita que no sean... espacio de banach o para eso vamos a coger hemos visto espacios el pelo en los espacios vamos a coger cd en general podemos poner ave Pero por simplificarlo vamos a coger un intervalo cualquiera. ¿Cuál es el intervalo más sencillo que se te ocurra? El 0, 1. El 0, 1, ¿no?

Porque seamos caprichosos, porque para coger el menos 1, 1, coger el 2, 40, cojo el 0, 1. A ver si me lo puedo construir ahí. Entonces, vamos a considerar nuestro espacio de 0, 1 por coger un ejemplo sencillo. Con las correspondientes normas, ¿verdad? Y hemos visto qué normas tenemos ahí.

Con las normas pésimas también. Dadas por, si cogemos la norma p de una función continua, esto sería coger la integral entre 0 y 1, como es continua, siempre es... integral, elevamos a p, diferencial de t, y todo eso elevado a 1 partido por p. Y esto sería, para todo 1, menor o igual que p, menos restricto que infinito, ¿verdad? Y el caso de la norma infinito, o lo que llamamos norma uniforme, ¿quién sería?

Coger, cogería un supremo, como es una función continua, En un compacto sé que su uniformemente continuo alcanza su máximo y su mínimo. Por lo tanto, en lugar de poner un supremo, puedo poner aquí si quiero un máximo para t perteneciente al intervalo 0,1 de f de t en valor absoluto o en módulo. Porque, ¿quién es esta función? f es una función que va de 0,1 en general a k.

Y aquí tenemos nuestro k que sea o bien los reales o k que sean los complejos. Vale, sabiendo eso, ¿cuál es la primera norma que podemos hacer? Bueno, pues igual que hemos hecho con los espacios de sucesiones, a ver qué ocurre precisamente con nuestros espacios de funciones continuas con la norma 1. Igual que hemos hecho antes, lo más sencillo, integrar en...

valor absoluto o en módulo. Y así nos quitamos del problema. Decimos, venga, pues vamos a considerar, vamos a considerar primero el espacio normado dado por nuestro espacio de funciones continuas en intervalo 0, 1 con respecto a la norma 1. ¿Qué ejemplo de funciones nos podemos coger? Bueno, pues vamos a considerar o vamos a construir una sucesión de Cochín. Del siguiente modo.

Vamos a coger nuestra sucesión, en lugar de llamarlo xn, como son funciones, pues yo lo llamaría fn, que van de 0 a 1, por simplificarlo, podemos coger k, pero puedes poner simplemente r, y te quita del problema. A cada t le haces corresponder un f, o bueno, yo qué sé, que es complejo, o k. f sub n de t. Esto sería para cada n natural, ¿verdad? ¿Cómo vamos a definir esta función?

Vamos a hacer una construcción un poquito simétrica. Así que así siempre vemos bien estos ejemplitos. Cogemos nuestro intervalo 0,1. Aquí tenemos nuestro x, aquí nuestro y, aquí nuestro y. Venga, cogemos aquí.

El 1. Queremos que esté definido únicamente en 1. Vamos a coger aquí el 1. Vamos a dividir por la mitad. El 1 medio. ¿Qué dice el 1 medio? Realmente dice, elige un punto cualquiera.

Lo que pasa es que, ¿cuál es el punto? Ya que tiene el intervalo 0, 1, o quitarte o no tener problema, coge el punto medio. ¿Qué prefiere?

¿Que del 0 al 1 medio sea constante? ¿O que del 1 medio al 1 sea constante? ¿Qué te da más coraje?

del 0 al 1 medio constante. ¿Qué valor constante quieres? Hombre, pues 0, es más fácil.

Si tuvieses que elegir dos valores constantes, ¿qué dos posibles valores constantes elegirías? El 0 y el 1. ¿Qué prefieres, que valga primero 0 o que valga primero 1? Primero 0 y luego 1. Mimo, te estoy dando elegir, ¿eh? O sea que tú eliges. Y ahora, ¿quieres que sea 0 hasta...?

El 1 medio, un poquito más o un poquito menos. Un poquito menos. Tú manda.

¿Cuánto poquito menos? Bueno, no lo sé. Vamos a poner, por ejemplo, aquí un punto, ¿vale?

Ya veremos qué punto es. Y entonces lo que voy a pedirle es que desde el 0 hasta este punto, que ya veremos cuál es, ahí valga 0, ¿vale? Ahora, ¿de dónde a dónde quieres que sea 1?

¿Desde el 1 medio o desde un poquito más del 1 medio? Desde el 1 medio. Quieres complicar las cosas, ¿no?

Entonces, desde el 1 medio hasta el 1 la cogemos constante, ¿vale? Lo más sencillo, que sería simplemente, pues, que aquí tome... Desde el 1 medio, desde el 1, y aquí toma el valor 1. ¿Cuál es el modo más sencillo que se te ocurre de unir esos dos trozos de forma continua?

Con una recta. Una recta, pero podría ser cualquier otro tipo de cosa. Podría ser una parábola, podría ser exponencial, podría ser logaritmo.

Algo que las una de forma continua. Es cierto que cuando se nos ocurre, lo más sencillo obviamente sería, pues cojo aquí. Cojo acá y ahí tengo mi resta, ¿verdad?

Ahora, la duda es, este punto está claro que es el 1 medio, pero este punto no me ha dicho cuánto vale. A mí lo que me gustaría es que, conforme va aumentando la n, este punto se acercase cada vez más al 1 medio, para que cada vez más fuese más pronunciada esa pendiente. Una idea de hacerlo sería, pues, si te quieres acercar, lo más sencillo sería al 1 medio, le vas a restar 1 partido de n, ¿verdad? Eso es lo más sencillo que puedes hacer, ¿cierto?

Es cierto que hay un problema con esto. Es que si lo pones de este modo, para n igual a 1, ¿cuánto vale 1 medio menos 1 partido de n? Menos 1 medio.

Que está fuera del 0,1, ¿verdad? Vale, bueno, como lo hemos puesto... con el guión 0, 1, vamos a ajustar esto entonces un poquito. En lugar de poner 1 partido por n, voy a poner aquí un 2 partido de n.

Eh, no. Voy a coger al revés. Tengo que poner el 2 abajo, ¿verdad? Voy a coger un 1 partido 2n.

Vale. Con eso, ¿qué consigo? Cuando la n vale 1, 1 medio menos 1 medio, 0. Ah, pues empieza de aquí. Y conforme la un n va aumentando, cada vez restan menos, ¿verdad? Oye, ¿y esto cómo funciona a trozos?

¿Quién sería? Bueno, pues vamos a ponerla. ¿Quién sería esta f sub n de t? Sería entonces 3 trozos. Si la t varía entre 0 y 1 medio menos 1 partido 2n.

¿Quieres ponerlo abierto o cerrado? Abierto. Vale. Entonces ahí sé que vale cero, ¿verdad? Si la T varía del 1 medio, abierto o cerrado.

¿Qué te da más coraje? Da igual. Como es continuo, pero bueno. Es la falsa elección de ilusión. Es cerrado, ala, por seguir todo bonito y sin el tiempo.

Y aquí ponemos hasta el 1 cerrado y aquí sabemos que vale 1, ¿verdad? Y si estoy entonces entre t, que sería el 1 medio menos, menos 1 partido 2n, hasta el 1 medio abierto, ¿vale? Uf, la recta que une estos dos puntos.

Nada, tú, sabemos que es una recta de la forma igual a mx más n, ¿verdad? Y tiene que pasar cuando la x vale esto, sería la altura vale 0, cuando aquí tengo m que multiplica a 1 medio menos 1 partido 2n, ¿verdad? Más la n. Y vale 1 cuando tengo el 1 medio, ¿no?

Más la n. Lo cual significa que de aquí que sacamos que si sustituimos aquí tendría m por 1 medio menos... M partido 2N más la N, eso vale 1, ¿verdad?

Vale, entonces, por ejemplo, si restamos, ¿cómo lo quiero hacer? Me da exactamente igual, en verdad. Si restamos, ¿qué tenemos aquí?

Tendríamos... A la de arriba, la de recto, la de abajo. Entonces me quedaría menos 1 igual a m un medio, m un medio fuera, nn fuera me queda menos m partido por 2n, ¿verdad? El n está fijo, entonces ¿cuánto vale la m?

2n, ¿verdad? Lo que sería 2n por x y si la pendiente es 2n... sustituimos en otro lado, por ejemplo, ¿dónde?

Oh, mierda. Ya he visto el fallo. ¿Has visto el fallo?

He llamado n a la pendiente y n al término del de este. Entonces vamos a poner aquí un gorrito y aquí un gorrito. Aquí un gorrito, aquí un gorrito, pero esta n no lleva gorrito.

Aquí un gorrito y aquí un gorrito. Vale, ahora sí. Entonces, esta sería la m gorrito, esta sería la m gorrito y esta es la n gorrito. Entonces, la m gorrito es 2n sin gorrito. La pendiente es 2n, pero esa 2n no es la ordenada en el origen.

Entonces, cuando sustituya, una vez que ya sé que esto es 2n, si sustituyo aquí, ¿cuánto vale la n gorrito? Nos quedaría de aquí que la n gorrito es 1 menos... La n, ¿verdad? Entonces me quedaría más 1 menos n. Lo que nos haríamos en sucio, ¿no?

Para tenerlo todo así bonito y demás. Y ya tenemos esta recta. Podemos comprobar, oye, en el 1 medio, cuando la x vale 1 medio, 2n por 1 medio sería n, n menos n, 0, y nos queda 1. ¿Vale? Cuando la x vale 1 medio por 1 partido de 2n, 1 medio por 2n nos quedaría n. 2n por 1 partido por 2n nos quedaría menos 1 y n menos 1 más 1 menos n nos queda 0. Vamos a echar bien, ¿vale?

Y esto es una sucesión o una función que para cada n va cambiando. Primero empieza en el punto 0, luego resta la mitad, luego otra vez la mitad, luego la mitad y cada vez se va acercando más, ¿verdad? Entonces me diría, bueno, vamos a estudiar convergencia de esta sucesión. En nuestro espacio, ¿verdad? ¿Cómo lo hacemos?

Con respecto a la norma. Vamos a comprobar primero, hombre, se supone que para hablar de convergencia tendríamos que tener efectivamente una sucesión de Cauchy. Bueno, pues vamos a comprobar si esto efectivamente es una sucesión de Cauchy.

Entonces, veamos si esta sucesión fn con la n que va desde 1 hasta infinito es una sucesión. De coche. Para ello, estudiamos qué ocurre con la norma de f sub n menos f sub m en norma 1, ¿verdad? Fíjate, de los dos números, o bien la n o bien la m, algunos de esos números más grandes, ¿verdad? ¿Cuál quieres que sea más grande, la n o la m?

La n. Entonces, vamos a suponer, sin pérdida de generalidad, que la n es mayor... Vamos a poner mayor estricto porque si son iguales es una tontería, no, porque si son iguales obviamente es cero.

Que la n es mayor estricto que la m. Si la n es mayor estricto que la m, entonces ¿qué ocurre? ¿Qué relación hay entre el punto 1 medio menos 1 partido 2n y el punto 1 medio?

menos 1 partido 2m. ¿Cuál es más grande? El de la m es más grande.

Está más a la derecha, ¿verdad? Porque simplemente multiplicamos por 2, tomamos inverso, cambia de desigualdad, multiplico por menos, vuelve a cambiar, se mantiene mayor y suma un medio. O sea que, ¿eso qué significa?

Que este puntito está más a la derecha. Cuando estamos haciendo la función f sub n que es con la función f sub m, ¿verdad? Entonces, ¿quién es esta norma? Sería integrar entre todo 0 y 1 el módulo de f sub n de t menos f sub m de t, ¿verdad?

¿Y por qué lo hacemos así? Porque si nos fijamos, del 1 medio al 1... Todas esas funciones, ¿cuánto valen siempre? Realmente tenemos varios trozos en los que integrar, ¿verdad? Tenemos cuatro trozos exactamente.

Debería separar esta integral en la integral entre 0 y... ¿Qué trozo es más chico? El 1 medio menos 1 partido 2m. Luego tendría que sumar el trocito desde el 1 medio... menos 1 partido 2m al 1 medio menos 1 partido 2n.

Luego tendría que sumar el trocito desde 1 medio menos 1 partido 2n hasta el 1 medio. Y por último, el trocito desde el 1 medio hasta el 1. Venga, vamos a coger primero la f sub n, ¿verdad? Si estoy entre 0 y algo que sea más chico que el 1 medio menos 1 partido 2n, ¿cuánto vale tu función?

Cierto. Estoy integrando hasta el 1 partido... hasta el 1 medio menos 1 partido 2m.

¿Ese es más chico o más grande que el 1 medio menos 1 partido 2n? Más pequeño. Por lo tanto, ahí la función fn vale siempre 0, ¿verdad?

Y si integro desde el 1 medio menos 1 partido 2m hasta el 1 medio menos 1 partido 2n, sigo estando por debajo de este. O sea que ahí sigue valiendo 0. Justamente entre este punto y el 1 medio, ahí es cuando vale esta expresión, ¿verdad? Cuando mi función vale 2nx más 1 menos n, ¿verdad? ¿Lo hacéis bien? Y luego, del 1 medio al 1, la función vale siempre 1. Luego tengo que restar, restar, restar, restar.

Y ahora vamos a coger la otra función, que sería la fm. Mismo comportamiento, solo que la fm me vale 0 hasta el... 1 medio menos 1 partido de 2m O sea que aquí esta función vale todo el rato 0, ¿verdad?

Luego, entre el 1 medio menos 1 partido de 2m y el 1 medio menos 1 partido de 2n, ¿ahí cuánto vale nuestra función? 2mx más 1 menos m, ¿verdad? Luego...

Desde este punto hasta el 1 medio, ¿cuánto vale? Lo mismo, ¿verdad? Valdría también 2mx más 1 menos m.

Y por último, del 1 medio al 1, ¿cuánto vale? 1. Entonces, cuando estudiamos estas integrales, ¿qué nos quedaría? Primer trocito, vale 0 porque la función que estoy integrando, ¿cuánto es? La función nula, ¿verdad?

Esta también es la función nula. O sea que en realidad, por un lado, integra únicamente esta función de aquí, ¿verdad? Es decir, tenemos que calcular la integral entre el punto 1 medio menos 1 partido 2m, 1 medio menos 1 partido 2n, ¿de qué trocito? Sería... 0 menos, con el valor absoluto, este menos se convierte en más, ¿y qué nos quedaría?

2 mx. Ya quitamos el valor absoluto, ¿verdad? El 2 mx más 1 menos m.

Espérate, ¿no? Porque yo soy un poquito así. Y aquí que he dicho que esto es una f su n de t, y he puesto aquí una x y me queda tan pancho, ¿verdad? y aquí igual he puesto una equis y aquí una equis y aquí una equis cosas mías aquí una t y aquí sería una t y aquí una t verdad y aquí también a que son un puesto la t vamos a ser consecuente diferencial de t y luego este trocito que nos quedaría pesador recta cuál está por encima Fíjate, el que tenga el punto más a la derecha toma un valor por debajo de, ¿verdad? ¿Qué punto estaba a la derecha, el de la n o el de la m?

El de la m. Por lo tanto, el que está por encima es la m, ¿verdad? O sea que la m es la cantidad grande y el resto es la cantidad chica.

Es decir, integro entre 1 medio menos 1 partido 2n y el 1 medio. Y para quitar el valor absoluto cojo la morada que sería el 2MT y le resto el 2NT. El 1 con el 1 se me simplifica y luego me queda más M menos N. Todo eso es diferencial de T.

Venga, hombre, todo esto ya es relativamente sencillo, ¿verdad? Porque son integrales inmediatas. Es decir, obtenemos entonces... obtenemos entonces, ¿cuánto valdría la norma F sub n menos F sub m en norma 1?

Integramos este trocito, sería 2m t cuadrado partido 2, el 2 se me va y nos queda m t cuadrado, 1 menos m, pues más 1 menos m, todo eso por t. Todo eso lo evaluamos entre la t igual a 1 medio menos 1 partido 2m, y parece que lo he puesto como elevado, pero es un m multiplicando, y evalúo en 1 medio menos 1 partido 2m. Venga, integramos aquí, pues nos quedaría igual el mt cuadrado menos nt cuadrado, o sea que si quieres puedes ponerlo como un...

m menos n, todo eso, t cuadrado. Y aquí nos quedaría un más m menos n, t. Debe sacar bastante cosas, factores comunes.

Y todo esto lo evaluamos entre el t igual a 1 medio menos 1 partido 2n y t igual a 1 medio, ¿verdad? Venga, ya nos quedaría todo esto entonces. Nos quedaría aquí una m que multiplica a 1 medio menos 1 partido 2n, todo eso al cuadrado, más el 1 menos m por el 1 medio menos el 1 partido 2n y restamos el m que multiplica aquí al 1 medio.

Menos 1 partido 2m, todo eso al cuadrado, menos el 1 menos m, que multiplica al 1 medio, menos 1 partido 2m, ¿verdad? Aquí están las n, aquí están las n, y luego resto las m y las m, ¿vale? Y luego aquí, más...

T igual a 1 medio sería un m menos n por 1 cuarto más m menos n por 1 medio menos m menos n por el 1 medio menos 1 partido 2n al cuadrado. Más, menos, un m menos n por el 1 medio menos 1 partido 2n. Vale. Vamos a simplificar términos, ¿verdad? ¿Por qué?

Si desarrollamos estos cuadrados, ¿qué nos quedaría? A ver. Lo primero que vemos. Cosas así que podemos simplificar.

Aquí tenemos 1 menos m por 1 medio Y aquí tengo 1 menos m por 1 medio Restando y sumando, ¿verdad? O sea que este 1 medio con este 1 medio Se me va a cancelar Del mismo modo, tengo Aquí m menos n por 1 medio Y aquí m menos n por 1 medio Sumando y restando Entonces todo este término con este 1 medio Se me cancela, ¿verdad? Venga, ¿qué más desarrollamos?

Si nos fijamos, cuando haga este cuadrado, ¿verdad? 1 medio al cuadrado por m menos n nos queda 1 cuarto. Y aquí tengo m menos n, 1 cuarto. Todo este término con este 1 medio se me cancela.

Cuando tengo aquí cuadrado del primero es m, 1 cuarto. Y aquí cuadrado del primero es m, 1 cuarto. Sumando o restando, este también se me cancela, ¿verdad?

Entonces, ¿qué términos parece que todavía no se me cancelan? A lo mejor cojo esta m por... El doble del primero por el segundo, ¿verdad? ¿Qué nos quedaría? Como es doble por un medio, 1 por el segundo nos quedaría menos m partido 2n, ¿no?

Y el cuadrado del segundo sería más m partido 4n cuadrado, ¿no? De aquí nos queda un 1, con este sería menos 1 partido 2n. Más M partido 2N. De aquí, cuando hago el doble primer por el segundo me quedaría 2 por 1 medio, nada, menos con menos, más, y sería M partido 2M. Y luego el cuadrado, ¿de qué nos quedaría?

Menos M partido 4M cuadrado, ¿verdad? Seguimos aquí. Menos 1 por este sería menos con menos más y tendría 1 partido por 2m. Y luego menos con menos con menos sería menos m partido por 2m, ¿verdad?

De aquí nada, de aquí nada, de aquí ¿qué tendríamos? Doble del primero por el segundo, ¿qué nos quedaría? Menos con este menos se convierte en más y tendría m menos n. partido 2n, ¿no? Y luego el cuadrado que nos quedaría menos m menos n partido 4n cuadrado.

Aquí menos con menos se convierte en más m menos n dividido entre el 2n, ¿verdad? Vale. Entonces, vamos a ver qué tendríamos aquí.

Esto sería menos, menos con menos, menos el doble primero por el segundo. Aquí un menos. Está todo bien, ¿no?

Venga. ¿Qué podemos simplificar? M partido por 2N con un M partido por 2N, ¿verdad?

¿Qué más? Un M partido por 2M con un menos M partido por 2M. ¿Qué más? ¿Qué más?

¿Qué más? Un M. Uy, casi, Algo más que podamos simplificar, es que veamos aquí, porque hemos cogido... El m partido...

Ah, no, porque es m. Exactamente, porque aquí es 2mt menos 2nt más m menos n, ¿verdad? Y aquí es menos con menos... Ah, no, espera, que me he equivocado. Es que este no es m menos n porque hacíamos a este...

Le resto este, ¿verdad? Entonces este de aquí es, no es m menos n, es n menos m. Al revés, porque al morado le resto el azul. Al 2mt le resto el 2nt, al menos m le resto la n.

Entonces aquí ha cambiado y este término sería, aquí tendría que poner un menos, si lo quiero poner como n menos m. Lo cual significa que entonces, ¿qué signo me ha fallado? Me ha fallado este signo de aquí, ¿verdad? Porque este no sería más, sino que ¿quién sería? Un menos, ¿verdad?

Sería este, que es el cuadrado. Le resto este con un medio. Y aquí le sumo, ¿no?

Vale, entonces, todo sigue igual en el sentido de que el 1 medio con el 1 medio se me cancela también, pero ahora, como aquí hay un signo más, en que se me convierte esta segunda parte. Este término no sería más, sino que sería ahora menos. Ese es el único cambio, ¿verdad? Entonces aquí se me convierte esto en este con este se me cancela. ¿Sí?

Y entonces ¿qué tendríamos aquí? Un m, m partido 4n cuadrado menos 1 partido 2n menos 1 partido 4m más 1 partido 2m menos... m menos n partido 4n cuadrado, ¿verdad? Y fíjate, si ahora tomamos límite cuando tanto la m como la n tienden a infinito, ¿qué ocurre? Hay cocientes de polinomio, pero entre m y n cuadrado, ¿quién gana cuando tienden las dos a infinito?

El denominador. Y el 1 partido por 2n a 0. Y el 1 partido por 4m a 0. Y el 1 partido por 2m a 0. Y el m menos n entre algo cuadrático también a 0. O sea que todo esto tiende a cero, ¿verdad? Oye, porque acabamos de ver que si este límite tiende a cero en la m y en la n, es justamente la definición de sucesión de Cauchy.

O sea que efectivamente esta sucesión es de Cauchy. Ya tenemos construida entonces una sucesión de Cauchy. Siguiente paso, ¿converge esa sucesión de Cauchy? Bueno. vamos a ver a qué tendría que converger, ¿verdad?

Es decir, acabamos de ver o acabamos de probar que nuestra sucesión f su n, con la n que va desde 1 hasta infinito, es sucesión de Cauchy. en nuestro espacio de funciones continuas, en 0, 1, con respecto a la norma 1. Entonces, si estudiamos su posible convergencia, Primero analizamos cuál sería el posible candidato. Candidato F al límite.

¿Cuál es el límite más sencillo que podemos estudiar? límite puntual de nuestra sucesión de funciones. Entonces, para ello, fijamos nuestro x perteneciente al intervalo 0,1 y tomamos límite, que sería un límite puntual. Entonces, ¿a qué tiende?

Nuestra función f sub n de t cuando la n tiende a infinito. Claro, tenía que hacer el límite cuando la n tiende a infinito de, por un lado, tengo ni a tres trozos. Si la t estaba en el trozo de 0 a 1 medio menos 1 partido por 2n, valía 0. Si la t estaba en el trozo de 1 medio menos 1 partido por 2n hasta el 1 medio, valía 2nx menos n más 1, más 1 menos n, menos n más 1. Y luego, si la t estaba en el trozo de 1x, Te he vuelto a poner x. Qué empeñado.

Y luego si la t estaba del 1 medio al 1, la función valía 1, ¿verdad? ¿Qué ocurre? Cuando tomamos límite, tengo que estudiar dos cosas. Tanto la expresión explícita de mi función como el posible intervalo. ¿Qué ocurre?

Cuando la n tiende a infinito, el punto 1 medio menos 1 partido por 2n tiende a 1 medio, ¿verdad? O sea que en realidad... desaparecen esos tres intervalos y lo que se convierte en mi función es en una función a trozos que tiene únicamente dos intervalos.

El intervalo donde la t varía entre si 1 partido por 2n tiende a 0, este intervalo se convierte en el intervalo 0 un medio abierto. Claro, es que este intervalo se convertiría en el cerrado un medio abierto un medio. No puede ser al mismo tiempo que no cojas el un medio que si lo coja, o sea que... Esta expresión de aquí en medio desaparece, ¿verdad?

Y luego tengo el trozo donde la t varía entre 1 medio y 1. Pero en el intervalo 0, en este intervalo de aquí, la función siempre valía 0. En este intervalo de aquí, la función siempre valía 1, ¿verdad? Este es nuestro candidato a función f de t. Pero, ¿qué ocurre?

¿Es la función f que acabamos de construir o de obtener aquí como límite puntual una función continua en el intervalo 0,1? No, ¿verdad? No. ¿Qué ocurre entonces?

El posible límite que puede tener esta sucesión de Cauchy es algo que no está en mi espacio, ¿verdad? Entonces, hemos encontrado una sucesión de Cauchy que no converge a ningún elemento de nuestro espacio. Luego... Nuestro espacio 0,1 con la norma 1 no es un espacio de Banach, porque hemos sido capaces de encontrar una sucesión de Cauchy que no es convergente, porque lo que converge no cae dentro de nuestro espacio.

Mala suerte. Del mismo modo, es decir, si en lugar de hacerlo mediante, para esta sucesión, hubiésemos cogido en lugar de estos elementos cualquier otra norma, norma 2, norma 3, etc. Es decir, vamos a poner aquí una nota de forma análoga.

Podemos probar que nuestros espacios de 0, 1 con la norma P no son espacios de Banach. Para todo P que esté entre 1 y más infinito. Porque lo único que va a ocurrir es que al elevar a P, lo que estás haciendo es afinar más todavía esa diferencia de área. Lo cual significa que lo único que vas a hacer es que converja más rápidamente a 0 tu sucesión de cochí. Porque en lugar de tener ahora rectas, ahora vas a tener parábolas, ahora cada vez cosas más estrechas.

Pero... Con esa misma sucesión, el candidato al límite es siempre la misma función. El candidato al límite puntual es siempre esa función que vale 0 entre 0 y 1 medio y que vale 1 del 1 medio al 1. Que no es una función continua. Entonces, toda la sucesión que nos hemos construido antes es siempre una sucesión de Cauchy.

Da igual la norma P que tú cojas. Pero nunca va a converger en una función continua. Pero si te fijas aquí, ¿cuáles son los valores del P?

Del 1 al más infinito, pero el más infinito no lo tocamos, ¿verdad? Todas estas normas, por así decirlo, comparten la misma definición en el sentido de que son integrales de. Integrales de ciertas potencias de nuestra función.

Si falla con un polinomio, lo mismo es con el polinomio al cuadrado, que al cubo, que a la cuarta, que a la quinta, que a lo que te dé la gana. No hay problema. Pero...

Cuando ponemos el más infinito, la definición cambia radicalmente. Ya no es una integral, ¿verdad? Entonces, la pregunta sería, ¿quién es más infinito?

Es decir, ahora, nuestra pregunta natural sería, ¿sigue ocurriendo lo mismo? en nuestro espacio de funciones continuas, pero cogiendo ahora la norma infinito, pues claro, ahí ya no tienes una sucesión o no tienes que coger integrales, sino que ahora la norma del supremo es coger un máximo de cosas. Y ahí, si recuerdas, esa convergencia se llamaba convergencia uniforme.

Y lo cual de la convergencia uniforme es que era la mejor convergencia que teníamos con funciones en realidad. O sea, a lo mejor el comportamiento cambia radicalmente si pasamos de integrales a algo que no es una integral. Y efectivamente es así, es decir, proposición, el espacio de funciones continuas e intervalo 0,1.

Y pongo 0, 1, pero quien dice 0, 1 pone cualquier intervalo AB con la norma infinito del supremo es un espacio de Banach. ¿Cómo lo probaríamos ahora? Tenemos que hacer una idea similar a lo que hemos hecho en los espacios LP, ¿verdad?

Partir de una sucesión de Cauchy y probar que... Puedo construirme bien nuestra sucesión siempre. Entonces, sea ahora nuestra f sub n con n1 hasta infinito contenido en nuestro c de 0,1 que sea una sucesión de cotx. Entonces. ¿Qué necesitamos?

Por ser una sucesión de Cauchy, ¿qué podemos asegurar? Que entonces, para cada épsilon mayor que 0, existe un cierto término n sub 0 natural, tal que, para todo n y m, mayor o igual que el n sub 0, que se verifica que la norma del f sub n menos el f sub m, en norma infinito, es menor o tristo que épsilon. O lo que es lo mismo. que el máximo para t perteneciente, ve cuánto tarda en escribir una x, para t perteneciente al intervalo 0, 1, de este f sub n de t menos el f sub m de t, ¿cómo es? Menor que épsilon, ¿verdad?

Y ahora tengo el máximo, pero lo que está claro es que... Si el máximo de esas cantidades es menor que épsilon, entonces todas esas cantidades, como son también menores que épsilon, lo mismo que hacíamos antes con la suma, antes decía, si estoy sumando cosas y suman algo más chico que, todas esas cosas tienen que ser más chicas que la suma. Ahora no, ahora digo, oye, si lo más grande de una serie de cosas es menor que épsilon, entonces también tengo garantía de que el f sub n de t menos el f sub m de t, Eso tiene que ser más chico que epsilon, sea cual sea el t que yo coja del intervalo 0, 1. ¿Vale? Claro. Entonces, ¿qué vamos a hacer?

Vamos a fijar el t. Es decir, en particular, si fijamos nuestro t perteneciente... al intervalo 0, 1, tenemos que nuestra sucesión f sub n de t con la n que va desde 1 hasta infinito es una sucesión ¿dónde? Es una sucesión de Cauchy. en el cuerpo K, ¿verdad?

Que K es o R o los complejos. Y como el cuerpo K con R los complejos es un espacio de dimensión infinita que sabemos que es completo, en particular que ocurre que para cada T las F sub n de T convergen a algo, ¿verdad? Es decir, por lo que...

Existe un f sub t en k tal que el límite cuando la n tiende a infinito de nuestra f sub n de t es igual a la f de t, ¿verdad? Para todo t perteneciente al intervalo 0,1. Ahora bien, ¿qué ocurre con esta convergencia que tenemos aquí? Lo que me faltaría es decir, ya tengo un candidato a límite, ¿verdad?

Ese candidato a límite es esa función f sub t. Para que todo funcionase bien, necesitaría que esa convergencia como fuese, uniforme. Necesito que esa función que tengo ahí sea una función de qué tipo?

Continua, ¿verdad? Bueno. vamos a ver si puedo garantizar que esa función es continua y si puedo garantizar que la convergencia sea uniforme. Es decir, observemos entonces que si yo cojo por ser esta sucesión, una sucesión de Cochy, ¿verdad?

¿Qué sabíamos? Que la norma de fn menos fm, en norma del supremo, era... menor que épsilon, ¿verdad? Y esto sería así lo mismo que decir que el máximo para cada t perteneciente al intervalo 0, 1 de nuestra f sub n de t menos la f sub m de t, que eso era menor que épsilon.

Pero entonces si tomamos límite cuando el otro te da más coraje la n o la m ¿Cuál quieres que se vaya? La n. La n quieres que se vaya, vale.

Pues si tomo límite cuando la n tiende a infinito, ¿a qué tiende f sub n? A la ft. Exactamente, pues la f de t, aquí sigo teniendo un máximo cuando la t tiende a 0,1, menos la f sub m de t, todo eso es menor que epsilon, ¿verdad? ¿Qué ocurre entonces? Esto de aquí, ¿quién es?

Lo que estamos diciendo es que la norma de la f sub m menos la f en norma infinito, ¿a qué tiende? Cuando la m tiende infinito a cero, ¿verdad? Por lo tanto, hay convergencia de nuestra sucesión a la función, ¿verdad? Es decir, ya sabemos entonces...

Tenemos entonces que esta f sub n o m converge a la f en norma infinito, ¿verdad? ¿Qué es lo último que falta? Necesito que ese límite esté también en el mismo espacio en el que estamos trabajando.

No puede ser que se salga fuera, ¿verdad? Además, por ser las, por ser, pone, f su n continua para todo n natural y tener convergencia uniforme, Podemos garantizar que lo que vimos en funciones de una variable 2, creo, que el límite f es también una función continua, ¿verdad? Y entonces, ¿qué acabamos de probar? Hemos construido explícitamente el candidato a límite.

Hemos probado que ese candidato a límite está en nuestro espacio, es decir, que es una función continua. y hemos probado que hay convergencia en la correspondiente norma, que es la norma infinito. Por lo tanto, tenemos que nuestro espacio de funciones continuas con la norma infinito, si es un espacio de vanas, si es un espacio normado completo. Pero cuidado, ¿qué hemos hecho aquí?

Hemos mantenido nuestro espacio de funciones continuas, ¿verdad? Si te fijas, la construcción que hemos hecho en la clase de hoy ha sido, coge un espacio infinito, sucesiones, con unas normas, todos son completos. ¡Ah, qué guay! Oye, ¿y si cambio el espacio?

¿Funciona siempre igual de bien? No. Si cambias el espacio por las funciones continuas, manteniendo el mismo tipo de norma, por así decirlo, que son las normas P, falla. Y ya no es completo. Ojo, pero no falla siempre, porque dentro del espacio de funciones continuas hay una norma especial, que es la norma uniforme o la norma infinita, que sí garantiza completitud.

Y eso funciona... ¿Siempre con la norma infinito? No siempre. ¿Por qué? Porque, nota, es importante tanto la norma como el espacio.

Es decir, aunque el espacio de funciones continuas, intervalo 0, 1, con la norma infinito sí es... un espacio de van a si cogemos una cantidad menor de elementos es posible que perdamos la propiedad de completitud. Por ejemplo, vamos a coger P caligráfica, que vamos a llamarlo... o vamos a poner p caligráfica de intervalo 0, 1 igual, que van a ser todo el conjunto de polinomios p de x, p de t, de la forma a sub 0 más a sub 1t más a sub n t elevado a n. con n pertenecientes a los naturales, cada coeficiente a0, a1, hasta an, que sean números complejos, pero para todo t, el intervalo 0,1.

Y no pasa nada, que lo único que estamos haciendo es restringir nuestros polinomios y solo le damos valores entre 0 y 1. No tiene ningún problema. Oye, fíjate, estos polinomios están clarísimos. ¿Qué son? ¿Qué? Un subconjunto de nuestra familia de funciones continuas.

Porque todo polinomio es una función continua. Si en lugar de trabajar en todo R, o en todo C, o en todo lo que tú quieras, lo coges en un intervalo más chiquitito, bueno, pues no pasa nada. Sigue siendo continuidad. No hay ningún problema.

Pero, vamos a coger una familia especial. Es decir, tomemos ahora... La sucesión F sub n, o podemos llamar, si quiere, ya que son polinomios, ¿no? Polinomios P minúscula sub n, desde n igual a 1 hasta infinito, contenida en este P caligráfica del 0, 1. Dada por cada t sub n de t va a ser el siguiente polinomio. Voy a coger 1 más t partido de 1 factorial más t cuadrado partido de 2 factorial más t elevado a n partido de n factorial.

Efectivamente, fijado cada n, estos polinomios, ¿qué le ocurre? Son polinomios de 0, 1. Es decir, todos estos elementos están efectivamente en nuestro 0, 1. Pero ahora, si tomamos límites cuando la n tiende a infinito, ¿qué ocurre con esto de aquí? Que esto converge cuando la n tiende a infinito a quién?

A la exponencial, ¿no? A elevado a t, ¿verdad? Y además, esta convergencia...

No es una convergencia de cualquier tipo, no es una convergencia puntual, es una convergencia en norma infinito, ¿verdad? Porque la distancia, el máximo que hay entre este polinomio y este elevado a t, lo puedo hacer tan chico como yo quiera. Puedo aproximar esta exponencial precisamente por estos polinomios.

Es su desarrollo de Taylor, justamente. O sea que tenemos que hay una convergencia en norma infinito. Pero...

¿Qué pasa con elevado a t? Que no es un polinomio. Pero la función elevado a t no es un polinomio. O sea que fíjate que no solo la norma es importante, sino que aunque tengas funciones continuas, a lo mejor en el momento en el que quitas elementos de ese conjunto... pierdes justamente esa propiedad de completitud de ser espacio de vanas que tú tienes.

Entonces, aunque el espacio de funciones continuas sí es un espacio de vanas, sin embargo, el espacio de polinomios del intervalo 0, 1 con la norma del supremo, la norma infinito, no es un espacio... De Banach. Es decir, es fundamental tener en cuenta tanto tu conjunto de espacio vectorial como la norma con la que estés trabajando. Porque como toques algunos de esos elementos de forma adecuada, puedes cargarte u obtener las propiedades que necesitas.

Y con eso tenemos ya toda esta parte de sucesiones y completitud. Completa.

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Convergencia y Sucesiones de Cauchy