हेलो बच्चों कैसे हैं आप सब लोग आई होप आप सबके सब बहुत बढ़िया होंगे सबसे पहले आप सबका स्वागत है तू दिस अमेजिंग प्लेटफार्म ऑफ फिजिक्स वाला तो आज की क्लास के अंदर हम लोग एप्लीकेशन ऑफ डेरिवेटिव्स स्टार्ट से लेके एंड तक सारे टॉपिक हम कवर करने वाले हैं हर टॉपिक के ऊपर हमने चुन चुन के ऐसे एग्जांपल्स लिए हैं क्योंकि हमें ये सेशन कूल लिमिटेड रखना है ऐसा भी नहीं की सेशन बहुत लंबा चले जाए ये सेशन का पर्पस इतना सा है की आप लोग एग्जाम से पहले अगर 40 45 मिनट में पूरा-पूरा टॉपिक करना चाहते हो तो वो रिवाइज कर सको तो डेट इसे डी पर्पस ऑफ दिस सेशन तो इसलिए हमने कुछ लिमिटेड क्वेश्चंस लिए हैं बट हर सवाल इस तरीके से लिया है की वो आपको कुछ इंपॉर्टेंट बातें सीखने ठीक है तो सारे टॉपिक्स हम लोग कवर करने वाले हैं स्टार्टिंग विद रीत मेजर्स एरर एंड एप्रोक्सीमेशन इसके ऊपर कुछ एग्जांपल्स भी हमने लिए है दें टांगेंट्स एंड नॉर्मल के डिफरेंट डिफरेंट प्रकार के क्वेश्चंस दें मिन वैल्यू थ्योरम जिसके अंदर रोल्स थ्योरम एंड आलम बी टी थ्योरम के बारे में देखेंगे हम लोग फर्स्ट डेरिवेटिव टेस्ट सेकंड डेरिवेटिव टेस्ट एंड मैक्सिमम एंड मिनीमा के साथ में यह चैप्टर हम समाप्त करने वाले हैं ठीक है तो चलिए शुरुआत किया जाए सबसे पहले रीत मा सर रेट ऑफ चेंज ऑफ एक वेरिएबल दे रखा होता है रेट ऑफ चेंज ऑफ हमें दूसरा वेरिएबल निकलना है और इस टाइप के क्वेश्चन बहुत पूछे गए हैं के मांस के अंदर तो अगर इस टाइप का सवाल आता है तो आपको बिल्कुल डेफिनेटली करके आना है है ना ठीक है पहला सवाल इफ रेडियस ऑफ अन सर्कल इस डिक्रीजिंग आते अन रेट ऑफ तू सेमी पर सेकंड मतलब डॉ / डीटी दे रखा है सर्कल के बारे में ना की -2 सेमी पर सेकंड पर / डीटी चेंज इन रेडियस विथ रिस्पेक्ट तू टाइम इस - 2 सेंटीमीटर पर सेकंड दें फाइंड डी रेट ऑफ डिक्रीज है ना क्या पूछा गया कौन सी रेट पूछी गई रेट ऑफ डिक्रीस पूछा गया है ऑफ सर्कल व्हेन रेडियस इस 28 सेंटीमीटर तो सर्कल का एरिया होता है पाई r² ठीक है जैसे मैंने बोला की भाई एक वेरिएबल को दूसरे वेरिएबल के टर्म्स में रिलेट कर दो आपने एरिया और आर को रिलेट कर दिया आप दोनों साइड सिंपली डिफरेंशिएट कर दो डॉ / डीटी दे रखा है दी ए / डीटी ए जाएगा डिफरेंटशिएट करते ही ठीक है तो दा / डीटी की वैल्यू ए रही है डिफरेंटशिएटिंग बोथ साइड विद रिस्पेक्ट तू टी π टाइम्स r² का डर 2r * डॉ / डीटी यहां पे चेन रूल लग रहा है देखो r² का डर 2r * डी डर ऑफ आर विथ रिस्पेक्ट तू टाइम तो डॉ / डीटी की वैल्यू गिवन है -2 ओके रेडियस गिवन है रेडियस इस 20 तो दी ए / डीटी की वैल्यू ए गई π टाइम्स 2 टाइम्स डीडीएस की जगह 20 रख दिया डॉ / डीटी की वैल्यू -2 रख दी तो ये ए रहा है -80π डिक्रीज ऑफ एरिया पूछा गया है तो आप आंसर ऑप्शन बी नहीं लगाओगे ऑप्शन बी तब लगाते हैं जब रेट ऑफ चेंज ऑफ एरिया पूछा जाता है ना तब ठीक है माइंस अत 5 सेंटीमीटर क्योंकि ये माइंस हमें ये दिखा रहा है की भाई डिक्रीज हो रहा है बट पूजा इसे रेट ऑफ डिक्रीस गया है तो यहां पे आंसर लगाएंगे 85 सेमी स्क्वायर पर सेकंड डेट विल बी ए आंसर ऑप्शन सी देखो फिर से बताता हूं रेट ऑफ चेंज पूछा जाता तो माइंस लगाते हैं बट रेट ऑफ डिक्रीस भी पूछा गया है तो यह ए जाएगा है ना क्लियर है तो बहुत सारे सवाल पूछे गए हैं और बहुत सिंपल है ओके इसके डाइमेंशन हमें दे रखा है ना इसका जो सर्कुलर तू टॉप ओपनिंग है उसकी रेडियस 2 मीटर है एंड हाइट इसे फूड तो दिस इस तू एंड डी हाइट इस फोन यह दो बातें हमें इसके बारे में बता राखी है इफ वाटर इस बीइंग पंप इन डी टैंक आते डी रेट ऑफ 2 मीटर कब पर मिनट डी / डीटी की वैल्यू गिवन है ना 2 मीटर कब पर मिनट फाइंड रेट अत व्हिच वाटर लेवल इस राइजिंग व्हेन वाटर इस 3 मीटर दीप की जब वाटर है ना तो पानी जब देखो कितना थ्री है ना 3 मीटर दीप है टैंक आते अन रेट ऑफ 2 मीटर कब पर मिनिट्स फाइंड रेट अत विच वाटर लेवल इस राइजिंग व्हेन वाटर इस 3 एम दीप है ना 3 मीटर गहरा पानी है तब हमें क्या बताना है दी ह / डीटी हमें बताना है ठीक है दी ह / डीटी की वैल्यू अपने को पता नहीं है जो हाइट है वो ह है वॉल्यूम थर्ड [संगीत] पंप किया जा रहा है इसके अंदर है ना तो आर्मी चेंज हो रहा है हाइट भी चेंज हो रही है दोनों चेंज हो रहा है चीज तो अगर मैं डायरेक्टली दोनों साइड डिफरेंशिएट करूं तो यहां पर राइट हैंड साइड में दो वेरिएबल बैठे हैं आर भी एक वेरिएबल है ह बी एक वेरिएबल है बोथ आर चेंजिंग विद रिस्पेक्ट तू टाइम ओके सो आई वांट तू फाइंड डी ह बाय दी टी तो राइट हैंड साइड में आर और ह को हम एक्सप्रेस कर देंगे देखो की इसके अंदर हमें पता है की आर/ह सिमिलरिटी भी उसे करेंगे तो आर / ह = 2 / 4 राइट आर / ह = 2 / 4 सिमिलरिटी हमने उसे कारी है एक तो ये वाला ट्रायंगल ठीक है एनडीए जो बड़ा वाला ट्रायंगल दिखाई दे रहा है तो आर / ह = 2 / 4 तो आर की वैल्यू हो गई ह/2 आर = 1/3 पाई r² मतलब ह / 2 का स्क्वायर इन ह तो विच इस इक्वल तू वैन बाय थ्री डिनॉमिनेटर में फोर बन रहा है 4 * 3 = 12 लिख देता हूं मैं है ना 1 / 12 * पाई * h³ / डीटी की वैल्यू पता है दी ह बाय डीटी की वैल्यू ए जाएगी तो डिफरेंटशिएटिंग ऑन बोथ साइड विल गेट लेफ्ट हैंड साइड में डी / डीटी बनेगा राइट हैंड साइड में 1/12 पाई h³ का डर हो जाएगा 3x² * डीएक्स/डीटी ठीक है हाइट उसे मोमेंट पे कितनी है की व्हेन वाटर इस 3 मीटर दी मतलब उसे मोमेंट पे जो हाइट है डेट इसे थ्री तो ह की जगह पे यहां पे थ्री रख देंगे बचा पार्टी और इधर से दी ह / डीटी की वैल्यू आती हुई दिखाई दी तो इस टाइप से अपन ने इस टाइप के क्वेश्चन को हैंडल कर लेते हैं बड़ी इजीली ये भी देख सकते हैं लैडर 10 सेमी लॉन्ग रेस्ट अगेंस्ट अन वर्टिकल वॉल विद डी लोअर एंड ऑन डी हॉरिजॉन्टल ग्राउंड डी लोअर एंड ऑफ डी लैडर इस पुल्ड अलांग डी ग्राउंड आवे फ्रॉम डी वॉल आते डी रेट जो है टेन सेंटीमीटर अलांग डी ग्राउंड आवे फ्रॉम डी वॉल आते अन रेट ऑफ थ्री सेंटीमीटर पर सेकंड है ना अपर एंड किस रेट पे डिस्टेंट हो रहा है किस रेट पे ये नीचे ए रहा है वो हमें पूछा गया है मतलब अगर इसको मैं ए मानूं तो बेसिकली दी / डीटी की वैल्यू पूछी गई है ना डीएक्स / डीटी की वैल्यू दे राखी है डी डीडी की वैल्यू पूछी गई है तो सबसे पहले एक्स और ए के टर्म्स में एक रिश्ता बना लो एक रिलेशन बना लो है ना तो रिलेशन हमें दिख रहा है पाइथागोरस थ्योरम x² + y² x²+y² = tan² दोनों साइड डिफरेंटशिएट कर देंगे विद रिस्पेक्ट तू टाइम तो x² का डर ए जाएगा 2X * डीएक्स / डीटी Y2 का डर 2y * दी / डीटी tan² का डिफरेंशियेशन जीरो हो जाएगा है ना तू आप लोग कैंसिल आउट कर सकते हो इक्वेशन को तू से डिवाइड कर दिया ओके एक्स की वैल्यू क्या दे राखी है क्या @ एग्जैक्ट मोमेंट एक्स कितना है ए कितना है वो हमें लिखना है डीएक्स / डीटी की वैल्यू दे राखी है ठीक है यहां पे ये है डीएक्स / डीटी ओके डीएक्स / डीटी की वैल्यू एक्स की वैल्यू सेंडिंग इफ अपर एंड इसे डेट 6 कम फ्रॉम डी कॉर्नर ऑफ डी वॉल अपार्ट एंड जब सिक्स हो मतलब ए की वैल्यू सिक्स होगा तो एक्स कितना हो जाएगा एक्स 8 हो जाएगा पाइथागोरस थ्योरम से अपन निकल सकते हैं की tan² - 6² का अंडररूट डेट विल बी 8 तो एट डेट मूवमेंट एक्स इस 8 है ना तो एक्स की जगह आते रख देंगे तो 8 * 3 + ए की वैल्यू अपन लोग सिक्स रखने वाले हैं स्टिक इन दी / डीटी तो इधर से अपने को दी / डीटी की वैल्यू निकालनी है दी / डीटी की वैल्यू आती है वो दिखाई दे रही है है ना की इट इमले इसे बाय डीटी = - 24 - 24 / 6 दी / डीटी की वैल्यू -4 तो रेट ऑफ डीसेंट जो होगा किस रेट से नीचे ए रहा है डेट इस 4 कम पर सेकंड ओके क्लियर है सिंपल है चलिए नौ एरर्स वाले जो सवाल होते हैं उसके अंदर हमें सिंपल सा फंडा ये ध्यान में रखना है की भाई दी / डीएक्स को एप्रोक्सीमेटली अपॉन डेल्टा वही आई डेल्टा एक्स लिख सकते हैं जहां पे डेल्टा ए डेल्टा एक्स से एक बहुत ही स्मॉल चेंज है ठीक है तो दी / डीएक्स इसे एप्रोक्सीमेटली = डेल्टा ए / डेल्टा एक्स बस इस चीज को ध्यान में रखो और इसके क्वेश्चंस हमारे सामने हो जाएंगे फाइंड एप्रोक्सीमेट चेंज इन वॉल्यूम परसेंट इंक्रीज इनसाइड ओके तो कब का जो वॉल्यूम होता है वो होता है एक्स कब है ना माना जो इनिशियली वॉल्यूम है कब का डेट इस साइड में 1% का इंक्रीज ए गया ना मतलब जो डेल्टा एक्स है एक्स में जो चेंज है 0.0x बताना है की किस परसेंटेज से वॉल्यूम बदल रहा है व्हाट इस डी यू नो परसेंटेज चेंज इन डी वॉल्यूम तो परसेंटेज चेंज इन डी वॉल्यूम इस बेसिकली हमसे पूछा गया है डेल्टा वी / वी * 100 इसकी वैल्यू पूछी गई है ना डेट इस आर क्वेश्चन व्हाट इसे डी वैल्यू फॉर डेल्टा बी/बी * 100 परसेंटेज चेंज इन डी वॉल्यूम राइट ओके तो अगर बी ये है तो डी / डीएक्स डी / डीएक्स = व्हाट 3x² का डर विद रिस्पेक्ट तू एक्स डेट विल बी थ्री एक्स स्क्वायर और सिंपल सी बात यही है की भाई डी / डीएक्स को ही अपॉन एक्स प्रॉक्सीमेटली डेल्टा बी बाय डेल्टा एक्स लिख सकते हैं डेल्टा एक्स ओके [संगीत] 3x² * डेल्टा एक्स / वॉल्यूम इस x³ ओके * x² और एक्स कब कैंसिल आउट हो के डिनॉमिनेटर में एक्स बचेगा डेल्टा एक्स की वैल्यू पता है है ना की चेंज इन साइड इस 1% 1% हो गया तो डाटा एक्स की वैल्यू वैन रख देंगे तो 3 * 0.01 इन एक्स डेट इसे डी वैल्यू फॉर डेल्टा एक्स यू नो मीटर में एक्स लिखाई है सो डेट इसे इक्वल तू व्हाट परसेंटेज चेंज थ्री परसेंट सिंपल है क्लियर है तो यहां पर एप्रोक्सीमेटली डेल्टा सी बाई डेल्टा एक्स लिख सकते हैं तो इस तरीके के अपन एरर वाले एप्रोक्सीमेशन वाले क्वेश्चंस को हैंडल करते हैं ओके लेट्स मूव अहेड फाइंड एप्रोक्सीमेट वॉल्यूम ऑफ मेटल इन अन होलो स्फेरिकल हु इसे इंटरनल एंड एक्सटर्नल रेडियन r3 एंड 3.0 005 सेंटीमीटर रिस्पेक्टिवली है ना एक होलो स्फेरिकल शैल है ठीक है हेलो मतलब दिस इसे डी वॉल्यूम इन डी रेडियस है ना की इनर रेडियस 3 है आउटर रेडियस 3.0 005 ओके वॉल्यूम लिख सकते हैं अपन एक होलो सर्कल का वॉल्यूम होता है 4 / 3 पाई r³ राइट 4/3πr कब का वॉल्यूम हो गया अपने पास यहां पे ठीक है स्फीयर का वॉल्यूम जनरली यही रहता है 4/3πr कब ओके डी / डॉ हम लोग निकल लेंगे की डी/डॉ = 4 / 3 पाई r³ का डर यहां पे थ्री आर स्क्वायर हो जाएगा ओके 3 से 3 हमने इधर से उदा दिया तो ये बन रहा है स्क्वायर अपॉन एप्रोक्सीमेटली लिख सकते हैं की इधर से इधर तक कितना वॉल्यूम में फर्क पड़ा है एस येलो सर्कल से स्पिन सर्कल पर जाए तो वॉल्यूम में कितना चेंज आया डेट इस डेल्टा बी डेट इसे डी वॉल्यूम ऑफ दिस एंड अन होल्स फेर यही अपने पास वॉल्यूम ए जाएगा होलो स्फीयर का है ना तो 4 पाई r² आर की वैल्यू आर की वैल्यू थ्री है थ्री स्क्वायर डेल्टा आर कितना 0.05 ओके सो डेट इसे डी आंसर ये अपन एजीली कैलकुलेट कर सकते हैं ओके इक्वेशन ऑफ टांगें लिख सकते हैं वैसे ही अगर एक्शन ऑफ नॉर्मल पूछी गई है नॉर्मल हमसे यहां पे पूछ ली गई तो इधर क्या करेंगे अपन लोग की भाई नॉर्मल की स्लोप ए चुकी है तो नॉर्मल की स्लोप पता है अगर टांगें की स्लोप एम है तो नॉर्मल की स्लोप -1/एम ए जाएगी डी नॉर्मल तू डी कर्व y² = 5x - 1 आते दी पॉइंट कमा - 2 इस ऑफ दी फॉर्म एक्स-55 + बी = 0 दें फाइंड डी वैल्यू ऑफ ए एंड बी ओके तो इस पॉइंट के ऊपर नॉर्मल के बारे में हमें बता रखा है है ना इंजन की स्लोप में निकल सकता हूं इस पॉइंट के ऊपर दोनों को डिफरेंशिएट किया तो y² का डर 2y * दी / डीएक्स 5x का डर 5 हो जाएगा है ना y² का डर लिख दिया 5x का हमने यहां पे डर ली कोऑर्डिनेट्स एक्जेक्टली उसे पॉइंट पे कितना है -2 तो ए की जगह पे -2 रख देंगे तो दी / डीएक्स दी / डीएक्स की वैल्यू मिल रही है माइंस फाइव बाय फोर माइंस फाइव अगर स्लोप ऑफ़ टांगें - 5 / 4 ए रही है तो स्लोप ऑफ नॉर्मल अपने पास ए जाएगी 4 / 5 है ना क्योंकि प्रोडक्ट ऑफ स्लोप इस गोइंग तू बी माइंस वैन इफ तू लाइंस ऑफ परपेंडिकुलर तू इ आदर इक्वेशन ऑफ नॉर्मल इसे गोइंग तू बी ए - y1 ये रहा स्लोप ये रही तो ए - 2 = एम टाइम 4/5 टाइम्स एक्स - ऑफ वैन ओके सो ए + 2 * 5 = 4X - 4 बन रहा है सबको एक साइड में लेके आया है ठीक है तो सब को राइट हैंड साइड में भेज दो तो फॉरेक्स - 5y प्लस फाइव राइट हैंड साइड में गया तो माइंस फाइव फाइव प्लस टेन माइंस फोर ऑलरेडी है तो -10 -4 - 14 = 0 तो दिस इसे डी इक्वेशन ऑफ नॉर्मल अब यहां से ए एंड बी को कंपेयर किया जा सकता है की देख सकते हैं ए की वैल्यू 4 ए रही है बी की वैल्यू -14 ए रही है है ना ए = 4 बी = - 4 फाइंड डी पॉइंट ऑन डी कर्व विच इस नियरेस्ट तू एक्स + ए = 7 ये दूसरे टाइप के सवाल बनते हैं जिसके अंदर हमें पॉइंट कर्व के ऊपर नहीं दिया हो पॉइंट अगर कर्व के ऊपर दे रखा है तो सवाल बहुत इजी है कुछ नहीं है क्वेश्चन अगर पॉइंट हमें कर्व के ऊपर नहीं दे रखा हो ठीक है जबकि tenjent की स्लोप प्रोवाइड करती है ना की टांगें की स्लोप हमें प्रोवाइड कर राखी है ओके क्योंकि इस क्वेश्चन का मतलब यही हुआ की इस कर्व के जैसे ये कर्व हमारे बाकी नहीं भी पता हो कौन सा कर्व हो स्टैंडर्ड नहीं भी हो तो भी चलेगा ओके तो विच इस नियरेस्ट तू डी लाइन एक्स + ए = 7 तो एक्स + ए = 7 के जो नियरेस्ट पॉइंट होगा ना वो ये वाला पॉइंट होने वाला है X1 y1 ये अल्फा कमा बिता है ना ये वो पॉइंट होगा जहां पे टांगें की स्लोप इस लाइन के पैरेलल होगी वेदर टांगें इस पैरेलल तू दिस लाइन डेट पॉइंट विल बी डी नेरेस्ट ये नियरेस्ट पॉइंट हमारे सामने होने वाला है ठीक है ओके तो हमें पता है की यहां पर जो स्लोप ऑफ इंजन है इस लाइन की तट स्लोप ऑफ दिस लाइन इसे माइंस वैन तो यहां पे स्लोप ऑफ टांगें भी क्या माइंस वैन होने वाली है तो इस क्वेश्चन को वैसे तो कोनिक सेक्शन से भी जया जा सकता है अगर आप स्टैंडर्ड रिजल्ट्स याद रखो की लिप्स के ऊपर tenjent की इक्वेशन क्या रहती है वो अगर डायरेक्टली याद है तो इस क्वेश्चन को पूरा पूरा कॉनिक सेक्शन से हम लोग ले जा सकते हैं दूसरा तरीका हो गए इस क्वेश्चन को की एप्लीकेशन ऑफ डेरिवेटिव से देखते हैं की दोनों साइड मैंने डिफरेंटशिएट किया है ना तो ये बन रहा है देखो 2X + y² का डर हो जाएगा 4y है ना तू इधर मल्टीप्लाई हुआ तो तू इन तू फोर फोर बाई इन दी / डीएक्स = 0 हम किसके रिस्पेक्ट में डिफरेंशिएट कर रहे हैं एक्स के रिस्पेक्ट में एक्स के रिस्पेक्ट में एक्स स्क्वायर का डर 2X y² का डर 2y * डी / डीएक्स अब दी / डीएक्स की वैल्यू हमें पता है माइंस वैन है एक्स की जगह अल्फा ए की जगह पे बिता पॉइंट है तो अपने पास एक रिलेशन ए रहा है की तू अल्फा प्लस तू अल्फा माइंस फोर बिता बराबर गेटिंग है ना की तू अल्फा माइंस फोर बिता बराबर जीरो तू इधर से अल्फा = 2 बेटा ए रहा है तो अल्फा एंड बिता गेट हम इसमें एक रिलेशन मिल गया दूसरा रिलेशन और मिल जाएगा अल्फा एंड बिता गया टर्म्स में क्योंकि अल्फा बिता लिस ऑन दिस कर सो इट विल सेट इस फाइव डी इक्वेशन ऑफ डी स्क्वायर सो अपॉन इसको यहां पे सेटिस्फाई करें तो ये बनेगा alpha² + 2 बेटा स्क्वायर बराबर से ठीक है क्लियर है तो अब अल्फा की वैल्यू यहां पर 2 मीटर रख देंगे तो बिता की दो वैल्यूज ए रही है है ना अल्फा की भी दो वैल्यू ए जाएगी इस रिस्पेक्ट में की जब बिता की वैल्यू वैन रखें व्हेन यू पुट अल्फा विल बी तू एंड जो पॉइंट है अगर बिता की वैल्यू माइंस वैन रखोगे ठीक है दो ऐसे पॉइंट्स होने वाले हैं जहां पर वो कौन सा पॉइंट नियर है या तो आप डिस्टेंस निकल सकते हो की तू कमा 1 की इस लाइन से डिस्टेंस निकल के देख लो माइंस तू कमा -1 की इस लाइन से डिस्टेंस निकल के देख लो देख लो डिस्टेंस किसकी ज्यादा कम ए रही है ठीक है तो अगर मैं डिस्टेंस ऑफ तू कमा वैन निकलूं तो डिस्टेंस ऑफ तू कमा वैन है की अगर तू कम वैन की मेडिसिन निकलना चाहता हूं परपेंडिकुलर डिस्टेंस तू दिस लाइन लाइन इस एक्स + ए - 7 = 9 यहां पर डिस्टेंस आएगी की मॉडल्स ऑफ आप ये पॉइंट को इस लाइन की इक्वेशन में रखोगे तो ये बनेगा देखो 2 + 1 - 7 / √ ऑफ कॉएफिशिएंट ऑफ एक्स का स्क्वायर प्लस कॉएफिशिएंट ऑफ y² है ना 1 + 1 तो विच इसे इक्वल तू तू प्लस वैन थ्री सेवन माइंस थ्री फोर मॉडल्स ऑफ है ना डेट विल बी फोर फोर बाई रूट तू ये फोर बाई रूट तू ए रहा है याद है ना स्ट्रेट लाइन के अंदर हम लोग पढ़ते हैं की किसी पॉइंट की किसी लाइन से डिस्टेंस निकालनी हो तो पॉइंट को इस लाइन की इक्वेशन में रखो इसका मॉडल्स डिवाइडेड बाय अंडर रूट ऑफ ए स्क्वायर प्लस बी स्क्वायर वेयर ए कॉएफिशिएंट ऑफ एक्स बी इसे डी कॉएफिशिएंट ऑफ ए इन डी इक्वेशन ऑफ लाइन ओके सो फोर बाई रूट तू है ना मतलब 2√2 ये अपने पास ए गया 2 वैसे ही अगर मैं माइंस तू कॉम माइंस वैन से डिस्टेंस निकलना चाहूं इसी लाइन की -2 -1 तो मॉड्यूल ऑफ -2 -1 इस लाइन की इक्वेशन में रखूंगा तो देख लो चीज ऐड हो जाएगी तो यही दो डिस्टेंस आएगी -2 -1 -3 -7 - है ना देखो यहां पे बन रहा है -3 -7 10 मॉडल्स ऑफ डेट विल बी 10 10 / √2 ये डिस्टेंस ए रही है 10/√2 कमा वैन से डिस्टेंस ए रही है 4/√2 तो ऑफ कोर्स विच पॉइंट इस नियर दिस पॉइंट इसे नियर है ना तू कमा वैन ज्यादा करीब का पॉइंट होगा सो डेट इस अन आंसर फॉर दिस ओके सिंपल है इस टाइप के सवाल जिसके अंदर हमें पॉइंट बाहर ही पॉइंट दे रखा हो ना ठीक है जैसे ये एक कर्व दे रखा है ओरिजिन से 0 से वैसे तो ये वर्टिकल पैराबोला है बट कोई फर्क नहीं पद रहा है हमें ओके तो किसी बाहरी पॉइंट से हम दो टांगेंट्स ड्रॉ कर सकते हैं किसी भी करके पूछी हो तो कैसे हमें प्रोसीड करना है देखो इस तरीके से समझेंगे आप लोग की पहले तो एक पॉइंट एसोसिएशन क्या आएगा t² + 9 आएगा बच्चा पार्टी राइट एक्स की जगह टी रखा ए की जगह पे ए गया t² + 9 इन दोनों पॉइंट्स को उसे करते हुए स्लोप लिख सकते हो Y2 वैन अपॉन X2 - X1 मतलब p² + 9 - 0 / टी - 0 है ना Y2 - y1 अपॉन X2 - X1 इन दोनों पॉइंट्स को उसे करते हुए स्लोप लिख दिया और साथ के साथ आप इस कर्व को डिफरेंशिएट करके स्लोप ऑफ tenjent निकल लोग है ना डेट इसे इक्वल तू दी / डीएक्स दिस इसे इक्वल तू दी / डीएक्स आते दिस पॉइंट टी कमा t² + 9 है ना टी ए / डीएक्स आते डी पॉइंट t² कमा t² + 9 तो दी / डीएक्स चली निकलती हैं कर्व की इक्वेशन दे राखी है ए बराबर x² + 9 दोनों साइड डिफरेंशिएट करोगे विद रिस्पेक्ट तू एक्स तो दी / डीएक्स = 2X मिल रहा है ठीक है हमें दी / डीएक्स कौन सा पॉइंट पे चाहिए अपने को दी / डीएक्स चाहिए जहां पे एक्स koardinate टी हो ए कोऑर्डिनेट्स t² + 9 तो एक्स की जगह पर अगर मैं टी रखता हूं तो दी / डीएक्स की वैल्यू कितनी ए जाएगी 2t ए जाएगी तो दिस इस डी वैल्यू फॉर दी / डीएक्स तो इसकी वैल्यू मैंने यहां पर रख दी 2t = Y2 - y1 फिर कर्व को डिफरेंशिएट करेंगे दी / डीएक्स एंड दी / डीएक्स की वैल्यू निकल लेंगे इस पॉइंट पे तो दी / डीएक्स को इक्वेट कर दिया ठीक है तो यहां से टी की वैल्यू ए जाएगी ओके की t² + 9 = 2t² की वैल्यू थ्री ए रही है मतलब ए की वैल्यू यहां से + - 3X हम लोग ड्रॉप कर सकते हैं ना इस पॉइंट से दो टांगेंट्स ए सकती है मेजर एंड M2 तो स्लोप है कितनी दी / डीएक्स के इक्वल है यही तो स्लोप है दी / डीएक्स आते टी विच इसे इक्वल तू टी तो स्लोप इसे स्लोप इस 2t है ना हमने निकल रखा है टी की वैल्यू जब +3 रखा तो स्लोप की वैल्यू 6 ए गई टी की वैल्यू -3 रखोगे तो स्लोप की वैल्यू - एक्स ए जाएगी तो स्लोप ऑफ दी टांगेंट्स आर सिक्स एंड माइंस पता है पॉइंट पता है ओरिजिन से जो भी लाइन जाती है वो ए बराबर एमएक्स फॉर्मेट भी होती है एम की वैल्यू प्लस 6 या माइंस सिक्स ए रही है तो ए = 6x एंड ए बराबर माइंस सिक्स एक्स डीज आर दी इक्वेशन ऑफ चेंज इन डी रॉक करते हैं तो उसको अपन इस तरीके से हैंडल करते हैं अब फिर अगला टॉपिक जिसके अंदर हमसे पूछा जाए एंगल बिटवीन डी तू गर्ल्स इंटरसेक्ट कर रहे हैं तो बेसिकली डेट इस डी एंगल बिटवीन डी टांगेंट्स वह घर को सॉल्व एफसी है तो वैसे ही ये जो M2 है M2 बराबर ये कर्वी बराबर जीएक्स है तो उसका डर जी- X1 ठीक है आते दिस पॉइंट m1 M2 पता है दोनों टांगेंट्स के बीच का एंगल हो जाएगा तन थीटा = माड्यूल्स ऑफ M2 - m1 / 1 + m1 M2 कंडीशन फॉर ऑर्थोंगनालिटी अगर दोनों कर्व ऑर्थोगोनली कट कर रहे हैं मतलब इनके बीच का एंगल 90 डिग्री है तो प्रोडक्ट ऑफ दी स्लोप विल बी इक्वल तू माइंस वैन पता है ये बात है माड्यूल्स ऑफ x² - 1 एंड ए = माड्यूल्स ऑफ x² - 3 तो सबसे पहले तो ये सोचना पड़ेगा की ये दोनों कर्व्स इंटरसेक्ट कहां पे कर रहा है ठीक है कहां पे ये दोनों कार्बन इंटरसेक्ट कर रहे हैं तो ग्राफ से भी जा सकता है है ना की ए = x² का ग्राफ कुछ इस प्रकार से पढ़ता है दिस इसे डी ग्राफ ऑफ ए = x² तो नेगेटिव वाले पोर्शन को रिफ्लेक्ट कर देंगे पॉजिटिव साइड में है ना नेगेटिव वाले पोर्शन को रिफ्लेक्ट कर दिया पॉजिटिव साइड में ठीक है तो चलिए इसको रिफ्लेक्ट कर देते हैं तो यह एक्स बराबर तो इधर ये कट करता हुआ पाया जाएगा वैसे ही ए = माड्यूल्स ऑफ x² - 3 का ग्राफ ड्रा करेंगे ठीक है से इसी तरीके से की ये जो ग्राफ होगा -√3 एंड प्लस रूट 3 पे कट करता हुआ एक्स एक्सेस को माइंस रूट 3 प्लस ए की वैल्यू सेट कर रहा है ना एक तो ये पॉइंट ऑफ इंटरसेक्शन ए गया दोनों का दूसरा ये पॉइंट ऑफ इंटरसेक्शन ए गया हमें पॉइंट ऑफ इंटरसेक्शन पे एंगल बताना है की एंगल ऑफ इंटरसेक्शन क्या है इन दोनों का ठीक है तो दी / डीएक्स इस वाले कर पे दी / डीएक्स वाले कर्फ्यू पे निकल के m1 M2 की वैल्यू निकल के ए गए आपको पता है तो सबसे पहले तो हमें ये पॉइंट ऑफ इंटरसेक्शन मांगता है ठीक है सी वांट दिस पॉइंट ऑफ इंटरसेक्शन की यह कहां पर इंटरसेक्ट कर रहा है माड्यूल्स ऑफ x² - 3 सीक्वल करूं दोनों को सॉल्व करते हैं तो ध्यान रखें की अगर मॉडल्स ऑफ ए = माड्यूल्स ऑफ बी दे रखा है तो ए की वैल्यू प्लस माइंस बी हो सकते हैं ना एक एंड बी इक्वल तू प्लस बी और ए कैन बी इक्वल तू माइंस बी तो यहां पे भी वही चीज की x² - 1 = + - x² - 3 + वाला केस लेने पे तो कोई सॉल्यूशन मिलेगा नहीं है ना प्लस वाला केस लोग हैं तो x² से एक्स स्क्वायर कट गया कोई सॉल्यूशन मिला नहीं माइंस वाला केस लिया ठीक है तो यहां से सॉल्यूशन मिलेगा ठीक है प्लस तू एक्स स्क्वायर बन जाएगा राइट हैंड साइड में देखो +3 + 1 + 4 बनेगा तो x² की वैल्यू तू मतलब एक्स की वैल्यू प्लस माइंस रूट तो पॉइंट ऑफ इंटरसेक्शन हमें मिल रहा है यहां पे ये पॉइंट हो गया प्लस रूट तू दिस पॉइंट इसे माइंस रूट तू किसी भी एक पॉइंट पे दी / डीएक्स निकल लो दोनों कर के लिए की यहां पे मैं प्लस रूट तू के ऊपर दी / डीएक्स निकल देता हूं दोनों कर के लिए ओके तो √2 पे बात करें तो √2 के ऊपर ये वाला जो है मॉडल्स है वो पॉजिटिव साइन के साथ खुलेगा है ना तो ये कब होगा ए = x² - 1 एक्स = √2 ये पॉजिटिव के साथ खुलता हुआ दिखाई दे रहा है दी / डीएक्स की वैल्यू हो जाएगी यहां पे 2X के इक्वल आते एक्स = √2 तो दी / डीएक्स हो जाएगा 2√2 के इक्वल है ना एक्स की वैल्यू √2 रखें है तो m1 अपने पास ए रहा है तू रूट तू वैसे यह जो दूसरा वाला कर्व है मॉडल्स विल ओपन नेगेटिव साइन तो ए = 3 - x² ऐसा बन रहा है दी / डीएक्स की वैल्यू निकलोगे तो वो -2x आएगी एक्स की जगह √2 रखोगे ठीक है तो यहां से दी / डीएक्स मिल गया M2 मिल गया m1 M2 वो फॉर्मूला लगा देंगे नॉर्मल चार इंपॉर्टेंट फॉर्मुलस आता है की लेंथ ऑफ टांगें इस इक्वल तू मॉडल्स ऑफ फाइव वैन इन अंडर रूट ऑफ 1 + 1 / n² ठीक है y1 क्या है देखो पॉइंट ले लिया हमने कर्व पे X1 कमा y1 दिस इस डी पॉइंट तो y1 इस बेसिक अली दिस परपेंडिकुलर डिस्टेंस ये पॉइंट कितना ऊपर है एक्स एक्सिस से मॉडल्स ऑफ ए वैन इसे बेसिकली दिस डिस्टेंस दिस परपेंडिकुलर डिस्टेंस ठीक है डीएक्स डेट इस बेसिकली 10 ऑफ थीटा हमारे पास यह बहुत ही सिंपल सा फॉर्मूला है बहुत सिंपल तरीके से अपन लोग कर सकते हैं की इस ट्रायंगल के अंदर तन थीटा की वैल्यू पता है कर्व की इक्वेशन दे राखी हो दी / डीएक्स निकल सकते हैं तन थीटा की वैल्यू हमको पता होगी ठीक है ये परपेंडिकुलर डिस्टेंस मॉडल्स ऑफ फाइव वैन है हमें हाइपोटेन्यूज बताना है इस ट्रायंगल में परपेंडिकुलर पता है हाइपोटेन्यूज बताना है की भाई साइन ऑफ थीटा का अपन रेश्यो उसे करेंगे ना की सिन थीटा = परपेंडिकुलर अपॉन हाइपोटेन्यूज परपेंडिकुलर की लेंथ मॉडल्स ऑफ ए वैन अपॉन हाइपोटेन्यूज हाइपोटेन्यूज को ही मैंने पॉइंट = लेंथ ऑफ टांगें तो पॉइंट की वैल्यू [संगीत] वैन अपॉन साइन थीटा राइट मॉडल्स ऑफ फाइव वैन इन अंडर रूट ऑफ 1 + cot² थीटा कट थीटा 1 / तन थीटा एंड तन थीटा ही एम के इक्वल है ना कट थीटा का 1 / tanθ मतलब 1 / एन लिखेंगे तो ये फॉर्मूला आता होगा दिखाई दे रहा है इसी तरीके से हमने बाकी के सारे formulez डेरिव किया है जैसे लेंथ ऑफ नॉर्मल लेंथ ऑफ नॉर्मल मतलब ये लेंथ पूछा जा रहा है ना पी से ले के एन तक की लेंथ θ है तो ये 90 - θ हो जाएगा 90° - θ दें दिस एंगल इसे अगेन θ तो फिर से यहां पर कोस ऑफ थीटा वाला रेश्यो अपन लोग उसे कर लेंगे इस ट्रायंगल के अंदर इस ट्रायंगल में कोस θ = बेस अपॉन हाइपोटेन्यूज थीटा के लिए माड्यूल्स y1 इस बेस ओके एंड हाइपोटेन्यूज इस आरपीएन विच इसे डी लेंथ ऑफ नॉर्मल एसईसी थीटा प्रोजेक्शन इसका इजी पूछा गया है ना डेट इस लेंथ ऑफ कबड्डी injent की टांगें का प्रोजेक्शन इसके लिए अपन tanθ वाला रेश्यो उसे कर लेंगे की भाई इस ट्रायंगल के अंदर तन थीटा = माड्यूल्स ऑफ y1 / ग ठीक है तो ग की वैल्यू लगाना सही रहेगा लेंथ ऑफ सब नॉर्मल सब नॉर्मल यह हो गया है ना ये चीज लिखी है मॉडल्स ऑफ y1 तन थीटा माड्यूल्स ऑफ पाई वैन इन इस तरीके से चारों फॉर्मूले बड़ी इजी आप चाहो तो रात सकते हो इनफॉर्मल को ताकि डायरेक्ट एप्लीकेशन ए जाए इसकी आदर वाइस आप डेरिव भी कर सकते हो है ना आते डी मोमेंट यू कैन डेरिव दिस फॉर्मूला ठीक है फॉर एन एग्जांपल फाइंड डी लेंथ ऑफ टांगें फॉर दी कर्व आते टैक्स बराबर जीरो पे तो जब एक्स कोऑर्डिनेट्स जीरो है तो ए कोऑर्डिनेट्स क्या होगा बच्चा यह सक्सेस बनाएं इधर हमने टैसेंट बनाई है ये एंगल अगर थीटा बना रहा है डीएक्स है ना तो तन थीटा विच इस दी / डीएक्स दी / डीएक्स की वैल्यू ए रही है 3x² + 6 + 4 एक्स = 0 चाहिए है ना तो अटैक एक्स = 0 पी ए / डीएक्स अत एक्स = 0 बराबर 4 है ना स्लोप ऑफ टांगें ये तन थीटा की वैल्यू हमारे पास मिल गई तन थीटा = 4 ठीक है इस ट्रायंगल में देखें तो हमको ये लेंथ चाहिए ना ये लेंथ चाहिए तो अपन रेश्यो उसे करेंगे कौन सा वाला साइन थीटा वाला के सिन थीटा = 1 / एन सिन देता = 1 / एल तो एल की वैल्यू किसके इक्वल होगी कोस थीटा के इक्वल हो गई तन थीटा की वैल्यू पता है क्या कोस एक्स थीटा की वैल्यू निकल सकते हैं इजीली कोसेक थीटा हो गया अंडर रूट ऑफ 1 + cot² थीटा तो तन थीटा इसे फोर कट थीटा विल बी 1 / 4 तो √1 + 1 / 16 विच इसे इक्वल तू रूट 17/4 ओके सो डेट इस डी लेंथ ऑफ 17 / 4 तो आप फॉर्मूला याद रख सकते हो नहीं तो ये थ्योरी ध्यान में रख सकते हो ठीक है एस यू ओके नौ रूल्स इन एन इंटरवल इट इस डिफरेंशियल इन एंड इंटरवल अगर यह दो बातें फुलफिल कर रहा है और तीसरी बात है से वैल्यू से होने का मतलब हो गया की ये दोनों पॉइंट से हाइट पे है ए पे जो हाइट बन रही है वही बी पे हाइट बन रही है दोनों पॉइंट से हाइट पे है तभी अपन बोलेंगे की भैया इन दोनों की वैल्यू से है ओके एंड इसके बीच में फंक्शन कंटीन्यूअस है डिफरेंशियल है तो पक्का इसका जो ग्राफ है ना पक्का पक्का इसका ग्राफ एक जगह तो मुड़ा होगा है ना टर्न लिए होंगे इसके ग्राफ है तभी तो से हाइट पे पहुंच पाए या टर्न लिया होगा बट यहां पर मेक सर करना है की फंक्शन क्या कंटीन्यूअस एंड डिफरेंशियल होना चाहिए तो जब अगर टर्न लेना होगा एफ-एक्स पक्का एक बार तो एटलिस्ट जीरो आया होगा बिटवीन ए तू बी तो दें देयर एक्सिस 80 है ना एक पॉइंट यहां पे सी ले लेते हैं बिटवीन ए तू बी सच डेट एफ-c=0 डेट इस एफ'एक्स बराबर जीरो हैज आते लिस्ट वैन रूट इन ए तू बी ऐसे बी के बीच में एफ-x=0 का कम से कम एक रूट तो होगा ही होगा ठीक है एक से ज्यादा भी हो सकता है से हाइट पे आने के लिए एक से ज्यादा भी रूट हो सकता है बट एक्चुअली से एक बार तो ग्राफ मोड ही होगा है ना इसके लिए कंटीन्यूअस एंड डिफरेंशियल होना है अगर इसका एटलिस्ट टेक रूट है की एफ-एक्स का एटलिस्ट एक रूट होगा इस इंटरवल में तो ये मेरे को कुछ एफ-एक्स वाली की मैंने माना की लेट एफ-x=ax² + बीस + सी तो एफसी क्या हो जाएगा बच्चा पार्टी एफसी हो जाएगा इसका इंटीग्रेशन एक्स स्क्वायर का इंटीग्रेशन हो जाएगा bx² / 2 सी का इंटीग्रेशन हो जाएगा सीएक्स + कुछ orbiterra कांस्टेंट लामबीडीए भी मिल जाएगा तो दिस इसे आर एफ एक्स ठीक है ये हमारे पास फंक्शन है ओके जीरो से वैन के बीच में हमें चाहिए की एफ'एक्स का एक तू रूट होना ही होना चाहिए तो देख देख लेते हैं भाई एफ ऑफ जीरो की वैल्यू कितनी है एफ ऑफ जीरो की वैल्यू लामबीडीए ए रही है और अगर मैं एफ ऑफ वैन की वैल्यू निकलूं एफ ऑफ वैन की वैल्यू ए जाएगी ए / 3 + बी / 2 + सी + λ एंड ए / 3 + बी / 2 + सी की वैल्यू जीरो दे राखी होनी चाहिए ठीक है यहां पे एलसीएम लेते हैं तो ये बनेगा देखो 2a + 3b + 6c डिवाइड बाय सिक्स प्लस लामबीडीए अच्छा ये तू है ना तू ए है ठीक है हल्की सी प्रिंटिंग मिस्टेक ओके तो एलसीएम लिया तो 2a + 3b + 6c बन रहा है जिसकी वैल्यू गिवन है की जीरो है तो इसकी जगह पर जीरो रख देंगे तो एफ ऑफ वैन की वैल्यू भी क्या ए गई लैंब ए गई तो एफ ऑफ जीरो की वैल्यू एफ ऑफ वैन की वैल्यू भी लामबीडीए तो जीरो से वैन के बीच में एफ'एक्स एक बार तो जीरो हुआ ही हुआ है एटलिस्ट वैन रूट इन बिटवीन जीरो तू वैन ठीक है तो जिसका प्रूफ करना होता है ना की भाई इसका एटलिस्ट रूट हो गई होगा उसको मैन लो एफसी निकल लो इस इंटरवल में देखना है जीरो से वैन के बीच में तो जीरो पे वैल्यू देख लो वैन पे वैल्यू देख लो दोनों पे अगर वैल्यू से ए गई मतलब दोनों पॉइंट से हाइट पे है अगर दोनों पॉइंट से हाइट पे तो एफ-एक्स कहीं ना कहीं जीरो हुआ होगा ग्राफ कही मुड़ा होगा और जहां पे भी ग्राफ होता है एफ-एक्स वहां पे जीरो हो जाता है ठीक है सिंपल है चलिए तो इन डी स्टेटमेंट ऑफ रोज थ्योरम इफ एफ ऑफ ए बराबर एफ ऑफ बी बराबर जीरो ए पे और बी पे दोनों पे वैल्यू जीरो ए रही है दोनों पॉइंट से हाइट पे है तब भी हम बोल सकते हैं की भाई अब दशक जीरो हुआ होगा है ना ये दोनों ही पॉइंट्स पे ग्राफ की वैल्यू जीरो ए रही है ए पे भी जीरो बी पे भी जीरो ये पॉइंट ये हो गया ये बी हो गया ठीक है तो ग्राफ कहीं ना कहीं तो एटलिस्ट एक बार बड़ा होगा और ग्राफ मुद्रा है तो एफ-एक्स जीरो आया होगा एटलिस्ट वंस ठीक lmbt थ्योरम क्या बोलती है थोड़ा सा जैसे रोज थ्योरम जाओगे स्पेशल केस ऑफ एलिमेंट्री का भी स्टेटमेंट बड़ा ही सिंपल है की अगर वैल्यू ए पे एफ ऑफ ए है ए जिसके ऊपर फंक्शन की वैल्यू एफ ऑफ है एक पॉइंट बी है जिसके ऊपर फंक्शन की वैल्यू है एफ ऑफ बी ओके इन दोनों पॉइंट्स को हमने ज्वाइन किया तो इसकी जो स्लोप बन रही है इसकी स्लोप अपन निकल सकते हैं एफ ऑफ बी - एफ ऑफ ए / बी - ए एफ ऑफ बी माइंस एफ ए / बी - ए दिस इस डी स्लोप ऑफ दिस वीकेंड ऑब्जर्वेशन से अपनी बात बोल सकते हैं ना की एटलिस्ट टेक पॉइंट तो जरूर होगा वह कौन सा पॉइंट तो जरूर होगा जहां पे एफ- सी मतलब यहां पे स्लोप ऑफ जो टैसेंट है ये जो पिंक लाइन है और ये हरि लाइन पैरेलल हो जाएगी तो देयर इसे एटलिस्ट वैन पॉइंट बिटवीन ए तू बी वेयर एफ-c=f ऑफ बी माइंस एफ ऑफ ए / बी - एक्स से ज्यादा पॉइंट भी हो सकते हैं बट अटली सीट तो हो गई जैसे इस केस के अंदर देखा जाए तो इससे ज्यादा पॉइंट है यहां पे भी टैसेंट इसके पैरेलल है इस पॉइंट पे भी इंडियन पैरेलल है इस पॉइंट पे अभी tagent पैरेलल ए रही है बट अत लिस्ट ये पॉइंट तो ऐसा जरूर होगा ओके तो इसको हमें समझना है रत्न नहीं है ना यह बस फोटो ध्यान रखें फोटो से समझे है ना तो माना की फाइव तो जो है वो एफ ऑफ फाइव ए रही है लेट्स से ठीक है और ग्राफ कुछ इस टाइप का है इसके बीच में या ऐसा है या फिर ऐसा ऐसा है जैसा भी बनाना चाहो ठीक है तो हमने एक सिंपल सा ऐसा ग्राफ बना लिया ओके अब अपन बोल रहे हैं की जरूर एक पॉइंट सी ऐसा होगा यहां पर ज्वाइन करने पर जो स्लोप ऑफ लाइन ए रही है स्लोप ऑफ सीक्रेट डायरी है तो एम = f5 -3 / 5 - 1 Y2 - y1 अपॉन X2 - X1 एफ ऑफ फाइव माइंस थ्री अपॉन 5 - 1 तो दिस इसे डी वैल्यू ऑफ स्लोप और कहीं ना कहीं ऐसा पॉइंट होगा जहां पे एफ-सी की वैल्यू उसके इक्वल हो प्लीज वैन पॉइंट बिटवीन सी जो होगा वो ग्रेटर दें और इक्वल तू तू होने वाला है तो अपने पास ए गया देखो एफ ऑफ फाइव माइंस थ्री बाय फोर ग्रेटर दें और इक्वल तू तू क्रॉस मल्टीप्लाई करेंगे तो एफ ऑफ फाइव इस माइंस थ्री ग्रेटर दें और इक्वल तू 8 तो एफ ऑफ फाइव इसे ग्रेटर दें ओर इक्वल तू 11 सो मिनिमम वैल्यू ऑफ एफ ऑफ फाइव इस 11 है ना कुछ नहीं रत्न है बस समझना है ओके अब फटाफट बात कर लेते हैं इंक्रीजिंग फंक्शन डिक्रीजिंग फंक्शन इन सब के बारे में चर्चा कारी जाए जल्दी से तो स्ट्रिक्टली इंक्रीजिंग फंक्शन का मतलब हो गया इंक्रीजिंग फंक्शन है इसको अपन स्ट्रिक्टली इंक्रीजिंग नहीं बोलेंगे क्योंकि हो क्या रहा है की इंक्रीज हो रहा था सो गया कांस्टेंट हो गया फिर वापस इंक्रीज हो गया ना कछुआ खरगोश वाले गाने सुनिए जैसे भाग रहा था खरगोश खींचने में सो गया ए से बी के बीच में कांस्टेंट हो गई फंक्शन की वैल्यू ए से बी के बीच में फंक्शन इंक्रीज ही नहीं हो रहा है कांस्टेंट हो चुकी है फंक्शन की वैल्यू देखो हॉरिजॉन्टल लाइन है फंक्शन की वैल्यू कांस्टेंट है तो इस फंक्शन को हम इंक्रीजिंग बोल सकते हैं इस फंक्शन को इंक्रीजिंग बोला जा सकता है या फिर बट सटकली इंक्रीजिंग नहीं बोल सकता है तो स्ट्रिक्टली इंक्रीजिंग अपुन क्या बोल सकते हैं जब या तो एफ- ग्रेटर दें जीरो हो कंटीन्यूअसली या फिर या फिर बच्चा पार्टी एफ'एक्स ग्रेटर दें और इक्वल तू जीरो होगा तब भी स्ट्रिक्टली इंक्रीजिंग बोल सकता है बट ये एफ-एग्जाम जीरो हो रहा है ना एक ही पॉइंट पे होना चाहिए बस ऐसा नहीं की एक इंटरवल में जैसे ए = x³ है यहां पर दी / डीएक्स निकलोगे तो दी / डीएक्स की वैल्यू 3x² ए रही है अटैक बराबर जीरो डिवाइडेड जीरो हो जाएगा बट इसका मतलब ये नहीं की ये स्ट्रिक्टली इंक्रीजिंग फंक्शन नहीं ए रहा ये है स्ट्रिक्टली इंक्रीस क्योंकि इसके अंदर देखो एक्स को badhaaoge तो ए बढ़ता है कांस्टेंट नहीं हो रही है फंक्शन की वैल्यू है ना कांस्टेंट नहीं ए रही है एक इंटरवल में तो अगर एफ'एक्स जीरो है पार्टिकुलरली आते टैक्स बराबर जीरो दें इट इस इंक्रीजिंग फंक्शन तो स्ट्रिक्टली इंक्रीजिंग फंक्शन के लिए सिंपल सी बात इतनी सिंपल बात बोलूं कांस्टेंट नहीं होना चाहिए एक इंटरवल में ठीक है ऐसा नहीं की इंक्रीस हो रहा था इंक्रीस हो रहा था फिर अब ये कांस्टेंट हो गया फिर वापस इंक्रीज होना स्टार्ट हो गया तो अपन उसको स्ट्रिक्टली इंक्रीजिंग फंक्शन नहीं बोलेंगे जीरो पे जो वैल्यू ए रही है 0.1 पे वैल्यू ए रही है देखो जीरो पॉइंट पे वैल्यू बड़ी हो जाएगी 0.2 पे और बड़ी वैल्यू हो रही है कांस्टेंट नहीं हो रहा है ठीक है क्लियर है ओके इसके बारे में देखा जाए इंक्रीजिंग फंक्शन है की देखो फंक्शन है यहां पे भी देख सकते हैं ग्रेटर दें जीरो है ना किसी भी पॉइंट पर अगर स्लोप ऑफ इंजन देखिए वो कैसे निकलती हैं की भाई यहां पे टांगें बना दी इंजन देख लो कैसा एंगल बना रही है कोई पॉइंट लिया उसके ऊपर tenjent बनाई अगर वो टैसेंट क्यूट एंगल बना रही है तो दी / डीएक्स पॉजिटिव है ठीक है तो ये भी कैसा है इस वाले फंक्शन के अंदर भी आप किसी भी पॉइंट पर तेनजिन ड्रा करो इंजन ड्रा कारी दी / डीएक्स पॉजिटिव ए रहा है ए रहा है ना दी / डीएक्स पॉजिटिव क्योंकि टैसेंट क्यूट एंगल बना रही है इधर भी मैंने कोई भी पॉइंट लियांग क्यूट एंगल बना रही है दी / डीएक्स हर जगह पॉजिटिव है है ना एफ-एक्स इस ग्रेटर दैन जीरो व्हेयरवर एफसी इस डिफरेंशियल बट एफसी इसे नॉट ओवरऑल स्ट्रिक्टली इंक्रीजिंग ये स्ट्रिक्टली इंक्रीजिंग फंक्शन नहीं है obbvious सी बात है देखो इंक्रीस हो रहा था अचानक से देखो जीरो से पहले और जीरो के बाद में वैल्यूज देखो वैल्यू घाटी है ना कम हो गई ना अचानक से अचानक से वैल्यू कम हो गई तो सिर्फ जीरो बोलना एफ-एक्स ग्रेटर दैन जीरो बोलना देस नॉट मेक सर की फंक्शन क्विकली इंक्रीजिंग होगा अगर फंक्शन इस टाइप का हुआ की इंक्रीज हो रहा था फिर डिस्कंटीन्यूअस हुआ और फिर इंक्रीज होना चालू हुआ तो देखो तुम तो बढ़ रहे द ना बढ़ रहे द ना अचानक से तुम वापस घाट गए हो और फिर वापस ठीक है वापस से फिर फंक्शन में इंक्रीज होना स्टार्ट कर दिया ओके तो इस केस के अंदर अपन बोलेंगे की भाई ये स्ट्रिक्टली इंक्रीजिंग फंक्शन नहीं है एल्डो दी / डीएक्स इस पॉजिटिव एवरीव्हेयर डीएक्स हर जगह पॉजिटिव है बट फिर भी ये स्ट्रिक्टली इंक्रीजिंग फंक्शन नहीं है तो डेफिनेशन क्या है इंक्रीजिंग स्ट्रिक्टली डिक्रीजिंग की ठीक है इंक्रीजिंग ओवरऑल एंड इंटरवल ए तू बी इफ एक्स तू ग्रेटर दें X1 मेक सर डेट एफ ऑफ X2 इस अलसो ग्रेटर दैन एफ ऑफ एक्स अगर इनपुट बदायूं तो आउटपुट भरना है अगर X2 X1 से बड़ा है तो फंक्शन की वैल्यू है X2 शुड बी ग्रेटर दें फंक्शन की वैल्यू एट X1 तो इसको अपन बोलेंगे स्ट्रिक्टली इंक्रीजिंग फंक्शन सेट तू बी इंक्रीजिंग और नॉन डिक्रीजिंग इंक्रीजिंग या नॉन डिक्रीजिंग तब बोला जाएगा जब अगर मैंने इनपुट बढ़ाया तो फंक्शन की वैल्यू या तो ग्रेटर या इक्वल भी ए रही है एफ ऑफ X2 इस ग्रेटर दैन इक्वल तू एफ ऑफ X1 इनपुट बड़ा है बट वैल्यूज से है अभी भी है ना मतलब अगर कांस्टेंट ए रहा है ना फंक्शन एफ'एक्स जीरो ए रहा है इन एंड इंटरवल ठीक है इस टाइप का फंक्शन बन रहा है की आप इंक्रीज हो रहे द फिर अपडेट्स जीरो ए गया एक इंटरवल में और फिर वापस इंक्रीज होना स्टार्ट हो गया तो अब ये स्ट्रिक्टली इंक्रीजिंग फंक्शन नहीं है क्योंकि यहां पे दो अलग-अलग पॉइंट्स पे से वैल्यू आती भी दिखाई दे रही है है ना एक्स की वैल्यू बदली बट वही की वैल्यू इन दोनों पॉइंट पर से है अगर दो अलग-अलग पॉइंट पर फंक्शन की वैल्यू से ए रही है तो उसको स्ट्रिक्टली इंक्रीजिंग तो नहीं कहा जाएगा क्योंकि स्ट्रिक्टली इंक्रीज होता है भैया पॉइंट बदलोगे पॉइंट badhaaoge वैल्यू भी बढ़ेगी यहां पे देखो एक्स बढ़ाया वैल्यू नहीं बढ़े ओके तो यहां पे एफ'एक्स जीरो हो जाए अगर एक इंटरवल में एक अंतराल में सो गया एक अंतराल में ठीक है एफ'एक्स जीरो हो जाए इन एन इंटरवल कब अपन बोलेंगे की भाई ये इंक्रीजिंग है स्ट्रिक्टली इंक्रीजिंग तो नहीं है ये फंक्शन ठीक है एफसी सेट तू बी स्ट्रिक्टली इंक्रीजिंग ओवर एंड इंटरवल यही बातें एफसी सेट तू बी मोनोटोनिक इन एंड इंटरवल देखो मोनोटोनिक क्या होता है ना आईएफ इट इस इदर ओनली इंक्रीजिंग और ओनली स्ट्रिक्टली डिक्रीजिंग इन डेट इंटरवेल डेट इट डेट मिंस इट हज सिंगल बिहेवियर इन टाइटल या तो स्ट्रिक्टली इंक्रीजिंग हो या स्ट्रिक्टली डिक्रीजिंग फंक्शन हो एक सिंगल बिहेवियर फॉलो कर रहा है एक इंटरवल में तो उसको अपन मोनू टॉनिक फंक्शन बोलते हैं इन डेट इंटरवल ठीक है सो फाइंड ए सो डेट दिस फंक्शन इस इंक्रीजिंग ऑन ऑल रियल नंबर तो ये क्यों भी हमारे सामने दे रखा है अगर ये इंक्रीजिंग है फॉर ऑल रियल नंबर सबसे पहले आप एम दश टैक्स निकलोगे तो एफ-एक्स की वैल्यू ए गई x³ का डर 3x² तो a² - 1 * 3 x² / 3 तो है ही ऑलरेडी एक्स स्क्वायर का डर यहां पर लिख दोगे 2X तो ए - 1 टाइम्स 2X 2X का डर इधर ए गया वैन ओके अगर यह स्ट्रिक्टली इंक्रीजिंग है या फिर इंक्रीजिंग है है ना इंक्रीजिंग बोला गया है तो एफ-एक्स ग्रेटर दैन और इक्वल तू जीरो आना चाहिए तो एक क्वाड्रेटिक हमारे पास मिलती भी दिखाई दे रही है विच इस a² - 1 * x² + 2 * ए - 1 * एक्स + 1 ग्रेटर दें और इक्वल तू जीरो फॉर ऑल एक्स बिलॉन्गिंग तू रियल नंबर ठीक है हमेशा कैसा होना चाहिए ग्रेटर दें और इक्वल तू जीरो होना चाहिए अगर दे रखा है सवाल में की इट इस इंक्रीजिंग फॉर ऑल रियल नंबर है यह क्वाड्रेटिक जो है ग्रेटर दें और इक्वल तू जीरो है फॉर ऑल एक्स बिलॉन्ग तू रियल नंबर तो क्वाड्रेटिक हमेशा इक्वल तू जीरो हो जाए ठीक है जब इसका डिस्क्रिमिनेंट लेस दें और इक्वल तू जीरो क्योंकि अगर डिस्क्रिमिनेंट ग्रेटर दैन जीरो हो जाता है तो वो क्वाड्रेटिक का ग्राफ एक्स एक्सिस को दो जगह पे कट कर जाता है और अगर इसका ग्राफ दूध जगह पर कट कर रहा है तो कभी इसके जीवन में खुशियां है कभी गम है मतलब कभी पॉजिटिव है कभी नेगेटिव तो इसका आंसर जरूर कमेंट करें जीएक्स भी इंक्रीजिंग है तो उनका कंपोजिट एफ ऑफ जीएसबी इंक्रीजिंग होगा बट अगर एफसी भी decreesing है तो भी उसका कंपोजिटिंग होगा अगर उन दोनों में से एक इंक्रीजिंग दूसरा इंक्रीजिंग हो जाए तो उनका कंपोजिट एफ ऑफ जीएक्स या फिर एक डिक्रीजिंग फंक्शन होना ऐसा क्यों क्योंकि सपोज मैंने एचसी माना दिस इसे एचसी ए जाएगा यहां पे तो मोटा मोटा देखा जाए तो ये क्या लिखा है ना एफ- ऑफ समथिंग इन जी दश ऑफ समथिंग ये चीज लिखिए डेट इसे डी सेक्स तो अगर दोनों इंक्रीजिंग है मतलब अगर दोनों पॉजिटिव है एफ-जी- दोनों पॉजिटिव हो गए दोनों इंक्रीजिंग हो गया तो एसिडिक इंक्रीजिंग आएगा एफ ऑफ जेएसबी इंक्रीजिंग हो गया ये भी पॉजिटिव हो गया ठीक है अगर दोनों नेगेटिव होगा मतलब अगर दोनों डिक्रीजिंग है तब भी एफ ऑफ जीएक्स इंक्रीजिंग होने वाला है ओके नौ इंक्रीज करते हैं की यार देखो ए पे तो वैल्यू जीरो है ए जीरो ए पे वैल्यू जीरो है मतलब यहां पे जो फंक्शन है वो एक्स एक्सिस को कट कर रहा है ठीक है यहां पे वैल्यू जीरो है और अगर इसके आगे डिक्रीजिंग है फंक्शन इसके आगे फंक्शन डिक्रीजिंग है तो ग्राफ कैसा जाएगा ग्राफ एक्स एक्सिस के नीचे चला जाएगा ना तो मतलब फंक्शन की वैल्यू कैसी हो जाएगी नेगेटिव हो जाएगी वहीं पर यह बात बोली गई की अगर ए पर वैल्यू जीरो है ए एक्स एक्सिस को कट कर रहा है ग्राफ और उसके बाद में इंक्रीजिंग है मतलब ऊपर जाएगा ये तो फंक्शन की वैल्यू कैसी हो जाएगी फंक्शन की वैल्यू पॉजिटिव हो जाएगी है ना यह पॉजिटिव ओके ग्रेटर दें और इक्वल तू ए दें एफसी विल बी पॉजिटिव फॉर एक्स ग्रेटर दें ए ठीक है जैसे कंपेयर डी फॉलोइंग फंक्शन यूजिंग कैलकुलस की एक्स एंड तन इन्वर्स एक्स में से कौन बड़ा है फॉर एक्स बिलॉन्ग इन तू जीरो तू इंफिनिटी तो यहां पे आप एक फंक्शन मैन लोग एफसी = 1 - 1 / 1 + x² है ना ये एफ-एक्स की वैल्यू ए गई एक्स बिलॉन्ग तू जीरो तू इंफिनिटी अगर जीरो से बड़ा नंबर है यहां पर एलसीएम भी लेकर देखें तो यह बनेगा पॉजिटिव ए रहा है मतलब फंक्शन इंक्रीजिंग है देखो जीरो पे तो वैल्यू जीरो है मतलब ओरिजिन से ये ग्राफ स्टार्ट करें अगर अपन ओरिजिन से ये ग्राफ को स्टार्ट करें जीरो पे वैल्यू जीरो उसके बाद में ग्राफ को इंक्रीज करना है ग्राफ को इंक्रीज किया तो एफसी हमें दिखाई दे रहा है की एफसी पॉजिटिव वैल्यू ही लेगा इफेक्ट्स पॉजिटिव दें इन्वर्स एक्स तो इस तरीके से अपन कंपेरिजन वाले सवाल करते हैं की अगर मुझे पूछा जाए की भाई एग्जॉशन इन्वर्स एक्स में कौन बड़ा तो एक फंक्शन अपुन मैन लेंगे एक्स - tan⁻¹ एक्स डेट इसे आर फंक्शन एफसी जीरो पे वैल्यू जीरो ए रही है एफ-एक्स पॉजिटिव है तो मतलब इसके आगे ये फंक्शन ऊपर ही जाएगा ऊपर जाएगा तो मतलब एफसी कैसा है पॉजिटिव है तो मतलब एक्स ≥ एक्स हो गया इस टाइप के समान हो गया की आई की पावर वैन बाय पाई में कंपर करो क्योंकि विच वैन इसे ग्रेटर ठीक है तो इस टाइप के सवालों में हम लोग kaiseed करेंगे की फंक्शन हमने मैन लिया एफसी = xⁿ हो गया ओके बचा पार्टी एफ'एक्स की वैल्यू निकलना चाहता हूं यहां पे तो एक्स की पावर 1/एक्स को अपन ऐसे लिख सकते हैं की ए की पावर है ना ए की पावर वैन बाय एक्स एल एन एक्स ऐसा लिख सकते हो अपन लिख सकते हैं है ना क्योंकि लोग की प्रॉपर्टी होती है लॉक की प्रॉपर्टी क्या होती है दोनों आपस में जगह इंटरचेंज कर सकते हैं तो वैन हो जाएगा और ये एक ही पावर भी बन जाएगा ओके तो एक्स की पावर 1/एक्स को ए की पावर 1/एक्स एल एन एक्स लिखा जा सकता है उसके बाद में डिफरेंशिएट किया जा सकता है एफ-एक्स की वैल्यू ए जाएगी ए की पावर समथिंग का डर यही ए जाएगा ए ^ 1 / एक्स 1 / एक्स साइलेंट एक्स मल्टीप्लायड बाय अब अपन इस पावर का डर करेंगे तो 1/एक्स का डर - 1 / x² रखेंगे एल एन एक्स का डर 1 / एक्स ए जाएगा ठीक है तो विच इसे इक्वल तू इस चीज को वापस से अपन एक्स की पावर 1 / एक्स लिख सकते हैं है ना इसको वापस से लिख दिया एक्स की पावर 1/एक्स ठीक है एंड दिस थिंग इसे वैन बाय एक्स स्क्वायर कॉमन ले लो डिनॉमिनेटर से तो अंदर बन रहा है माइंस इंक्स + 1 ये बन रहा है दिस इस आर एफ- अपने पास फंक्शन ग्राफ कुछ इस तरीके का बनने वाला है ये हो गया एक्स बराबर एक्स बराबर ए पे हम लोग देख सकते हैं 1 - ए डेट विल बी जीरो एक्स = एक्स की वैल्यू जीरो ए रही है एक्स = आई से पहले अगर एक्स की वैल्यू ए से छोटी है तो एल एन एक्स वैन से छोटी वैल्यू देगा तो 1 - 1 से छोटी वैल्यू है ना इंक्रीजिंग है ए से पहले ये इंक्रीजिंग ए रहा है और ए के बाद में ये डिक्रीज होना स्टार्ट हो गया है ना अगर एक्स की वैल्यू मैं इसे बड़ी रखता हूं तो ये नेगेटिव बन गया नेगेटिव हो जाएगा तो एक्स बराबर फंक्शन की हाईएस्ट वैल्यू मिलेगी है ना फंक्शन हमने माना है एक्स की पावर 1/2 क्योंकि पैटर्न दिख रहा था ना ए की पावर 1 / ए पाई की पावर 1 / π ठीक है तो एक्स = ए पे ये जो वैल्यू आएगी डेट इसे आई की पावर वैन बाय है ना एक्स = ए पे ये वैल्यू ए रही है पाई से बड़ा होता है ना पाई इसके राइट में कहीं पे होगा और एक्स बराबर पाई पे वैल्यू आएगी पाई की पावर 1 / 5 तो विच वैन इसे ग्रेटर अमोंग डीज तू अपन देख सकते हैं की ए की पावर 1 / ए इस ग्रेटर दें पाई की पावर 1/5 है ना पावर 1 / ए इस ग्रेटर दें पाई रेश्यो डी पावर 1 / 5 ठीक है तो इस तरीके के कंपैरिजन के सवाल आता है स्टैंडर्ड इक्वेशन है इंपॉर्टेंट क्वेश्चन है यह सारे लोकल मैक्सिमा लोकल मिनिमम ग्लोबल मैक्सिमम ग्लोबल मिनीमा इन चार तरह की चीज आप लोग देखते हैं लोकल मैक्सिमा का मतलब हो गया की भाई लोकल गुंडा अपने आजू-बाजू के पॉइंट से वैल्यू ज्यादा है डेट इस लोकल मैक्सिमा ग्लोबल का मतलब हो गया की इस पूरे इंटरवल में सबसे ज्यादा बड़ी वैल्यू इसी की है है ना डेट इस ग्लोबल मैक्सिमम ठीक है तो लोकल मैक्सिमम लोकल मिनिमम टुगेदर आर रिफ्रेड आगे लोकल एक्सट्रीम वैल्यू ऑफ लोकल एस्टीमेट ओके ग्लोबल मैक्सिमा फंक्शन हज ग्लोबल मैक्सिमा अटैक्स = ए इफ एफ इसे ग्रेटर दें ओर इक्वल तू एफसी फॉर ऑल एक्स इन डी इंटरवल ठीक है जी सिंपल है क्रिटिकल पॉइंट यहां पे बहुत इंपॉर्टेंट चीज आती है की क्रिटिकल पॉइंट्स वो पॉइंट्स होते हैं dashkas जीरो हो जाए या एफ-एक्स फेस तू एक्सिस्ट या तो एफसी जीरो हो जाए वो एक क्रिटिकल पॉइंट है या वहां पे एफ-एक्स एक्जिस्ट ही नहीं कर रहा है तो दूध पॉइंट्स आर दी क्रिटिकल पॉइंट तो क्रिटिकल ऑफ डी इंटरवल एंड पॉइंट्स ओपन इन क्रिटिकल पॉइंट्स में नहीं लेते क्रिटिकल पॉइंट एक इंटरवल के इंटीरियर पॉइंट होते हैं ठीक है नोट दी एंड पॉइंट्स क्रिटिकल पॉइंट्स आर contendance फॉर गिविंग मैक्सिमम एंड मिनीमा ठीक है तो मैक्सिमम मिनीमा के कंटेंडर्स कौन-कौन से होते हैं देखो मैक्सिमम और मिनीमा कहां कहां मिलती है हमें तो मैक्सिमम मिनिमम हमें क्रिटिकल पॉइंट्स में मिल सकती है दो कंटेंट्स होते हैं पहला कंटेंडर क्रिटिकल पॉइंट क्रिटिकल पॉइंट्स मतलब वो सारे पॉइंट्स जहां जीरो हो रहा हो और एड्रेस हमारे पास होते हैं ठीक है ही सपोज इस तरीके का ग्राफ होगा अपने पास ओके तो मैक्सिमम मिनिमम हमें कहां-कहां दिखाई दे रही है देखो ग्लोबल मैक्सिमम मुझे ये वाला एंड पॉइंट पे दिख रही है सबसे हाईएस्ट वैल्यू ये है ग्लोबल मिनिमम मेरे को इस वाले पॉइंट पे दिख रही है सबसे लोएस्ट वैल्यू है ये भी एक लोकल मैक्सिमा है यहां पर एफ-एक्स जीरो हो रहा है ये भी एक लोकल मैक्सिमा है ये देखो यहां पे एफ'एक्स एक्सिस ही नहीं कर रहा क्योंकि यहां पे शार्प कॉर्नर है शॉप कॉर्नर जहां पर होता है वहां पे एक्जिस्ट करता ही नहीं है तो ये भी बट पॉइंट तो एक तो क्रिटिकल पॉइंट्स लोकल मैक्सिमा ग्लोबल मैक्सिमा कंटेंडर पॉइंट होने वाले हैं और एंड पॉइंट्स तो मैक्सिमम मिनिमम कभी भी ढूंढना हो हमें तो यहां पे ढूंढेंगे हम लोग ठीक है क्रिटिकल जीरो हो रहा हो या दस नॉट एक्सिस्ट या फिर एंड पॉइंट्स ओके तो इधर अपन ढूंढ क्रिटिकल पॉइंट दें सी हैव अन मैक्सिमम और मिनिमम देयर अगर साइन बदल रहा है एक पॉइंट के अबाउट तो वहां पे हमें मैक्सिमा या मिनिमम मिल सकती है ना वहां पर मिनिमम मिलेगी ठीक है बट अगर साइन ही नहीं बदल रहा है [संगीत] जैसे की देखो अगर ग्राफ इस तरीके से जीरो हुआ ठीक है इधर देख सकते भाई एफ-0 हो रहा है अब इससे पहले भी इंक्रीजिंग है तो पहले भी इंक्रीज हो रहा है इसके बाद भी इंक्रीज हो रहा है बट इससे पहले भी इंक्रीजिंग बात भी इंक्रीजिंग एफ-एक्स का साइन में परिवर्तन नहीं आया अगर साइन में परिवर्तन नहीं आया है तो ये पॉइंट ना ही मैक्सिमम का पॉइंट है ना ही मिनीमा का पॉइंट है देख सकते भाई है ना क्योंकि मैक्सिमम मिनिमम का हो गया पॉइंट जैसे इस टाइप का पॉइंट धीस इसे पॉइंट ऑफ मैक्सिमम यह पॉइंट ऑफ मैक्सिमम यहां पर डिक्रीज होना चालू हो गया तो वो वाला पॉइंट ए जाएगा तो अगर एफ-एक्स का साइन चेंज हो रहा है पॉजिटिव इंक्रीजिंग से decreesing जा रहा है है ना और यहां पे एफ'एक्स जीरो हो रहा है तो पहले तो अपने को कभी भी मैक्सिमम मिनिमम निकलना होता है पहले तो ये चेक कर लो जीरो ए रहा है जीरो ए रहा है फिर देख लो इस पॉइंट्स के अबाउट सिन में परिवर्तन क्या ए रहा है क्या वहां पे साइन में परिवर्तन ए रहा है तो तो मैक्सिमम हो जाएगा अगर नेगेटिव supposit आया जीरो हो रहा है इसके अबाउट जो सिन में परिवर्तन है वो अगर नेगेटिव से पॉइंट ऑफ मिनिमम ए जाएगा ठीक है दिस इसे डी पॉइंट ऑफ मिन है ना ये चीज का खास ख्याल रखें जैसे इस टाइप के सवाल हो गया 5 * एक्स की पावर 4 - 20 * x³ + 15x² कॉमन लिया तो 5x स्क्वायर कॉमन लेंगे तो ये x² - 4X + 3 फैक्टर्स क्या-क्या बन रहा है 5x² * एक्स - 3 * एक्स - 1 दिस इसे डी वैल्यू फॉर एफ-एक्स ठीक है यह हमारे पास की वैल्यू ए गई है ठीक है एक्सट्रीम राइट में साइन देखोगे एफ-एक्स का तो पॉजिटिव फिर नेगेटिव बट दिस साइड में परिवर्तन नहीं क्योंकि यहां पे एक्स की पावर क्या है तू है jispector की पावर एवं होती है उसके अबाउट सिन में परिवर्तन नहीं आता व करना था याद है की देखो 3 के अबाउट सिन में परिवर्तन आएगा X3 से बड़ा होगा तो पॉजिटिव थ्री से छोटा होगा तो नेगेटिव बन के अबाउट भी साइन में परिवर्तन आएगा बट जीरो के अबाउट सिन में कोई परिवर्तन नहीं आएगा ठीक है तो ग्राफ किस तरीके से बनेगा ग्राफ इस तरीके से बनने वाला है की देखो इंक्रीजिंग हो रहा है वैन तक इंक्रीज ही हो रहा है जीरो हुआ ठीक है बंद तक इंक्रीज हो रहा है फिर एक्स बराबर वैन के बाद में डिक्रीज होना स्टार्ट हुआ 3 के बाद वापस से इंक्रीज हो गया एक्स = 0 एक्स बराबर जीरो के बाद भी इंक्रीज बराबर 1 से पहले इंक्रीज इन है और वैन के बाद में डिक्रीज होना स्टार्ट हुआ ठीक है वैन से थ्री के बीच में डिक्रीज हो रहा है एक्स बराबर वैन से एक्स बराबर थ्री के बीच में डिक्रीज हो रहा है थ्री के बाद में वापस इंक्रीज होना स्टार्ट हो गया ओके तो ये तो पॉइंट हो गया मैक्सिमम का पॉइंट है और यह हो गया पॉजिटिव से नेगेटिव जा रहा है इंक्रीजिंग से डिक्रीजिंग होना स्टार्ट हुआ फंक्शन तो ये पॉइंट मैक्सिमम का पॉइंट ए गया एनडीए पॉइंट मिनीमा का पॉइंट ए गया ठीक है इंडेक्स बराबर जीरो एफ-एक्स वहां पर जीरो हो रहा है बट फिर भी एक्स बराबर जीरो इसे नीडर डी पॉइंट ऑफ मैक्सिमम नॉट डी पॉइंट ऑफ मिनीमा ओके क्रिटिकल पॉइंट जरूर बोलेंगे एक्स = 0 को बट मैक्सिमम या मिनीमा का पॉइंट नहीं बोलेंगे अब चलिए डबल डेरिवेटिव टेस्ट पे चलने से पहले ग्राफ इस तरीके का है है ना ऊपर की तरफ इसका मुंह है तो इधर एफ डबल दश एक्स पॉजिटिव है तो ग्राफ ऊपर की तरफ होगा ना जैसे ये हो गया या फिर इस तरीके का इसको भी अपन बोलेंगे कॉनकेव वर्ब या फिर ये हो गया कॉनकेव है ना ऊपर की तरफ मूव तो इसको अपन केबल्स ठीक है सिंपल है और अगर जीरो है तो ग्राफ कॉनकेव डाउन ग्राफ होने वाला है अब यहां पे देखो इंपॉर्टेंट चीज आती है की अगर एफ डबल दश ग्रेटर दैन जीरो है ना एफ डबल दश ग्रेटर दें जीरो मतलब ग्राफ अगर कॉनकेव अप है ग्राफ अगर दो पॉइंट्स मैंने लिया एक पॉइंट मैंने लिया X1 कमा एफ ऑफ एक्स ठीक है दूसरा पॉइंट मैंने लिया X2 एक्स यही चीज मैं आपको समझने वाला हूं बट ग्राफिकल समझेंगे rathenge नहीं चीजों को ना और एक अपन ने लिया की भैया इन दोनों का एग्जैक्ट मिड पॉइंट इन दोनों का एग्जैक्ट मिढ्वाइंट जो होगा वो हो जाएगा एक्सपर्ट वैन प्लस एफ ऑफ x2/2 है ना एफ ऑफ X1 + एफ एक्स Y2 + X1 + एफ ऑफ X2 होल डिवाइडेड बाय तू इसे ग्रेटर दें एफ ऑफ X1 + एक्स / 2 है ना एफ ऑफ X1 + एफ ऑफ X2 / 2 इस ग्रेटर दैन और इक्वल तू एफ ऑफ X1 + x2/2 ठीक है देख भी सकते हैं इस ग्राफ से की भैया इसका ए कोऑर्डिनेट्स इस वाले पॉइंट का ए cardinate इस वाले फॉन्ट का ए koardinate कंपेयर किया जाए तो इसका wikordinate ज्यादा है ना इस पॉइंट से एंड एफ ऑफ X1 + x2/2 इसी कर्व के ऊपर पॉइंट ट्राई करता हुआ पॉइंट है तो देख सकते हैं भाई एफ ऑफ X1 + fx2 होल डिवाइडेड बाय तू ग्रेटर दैन ठीक है वैसे ही ये तीन पॉइंट्स के बारे में भी यही बात से चर्चा कर सकते हैं सेट्रॉयड बना के ट्रायंगल बना के सिम पॉइंट्स के लिए भी लागू होती है ना उनके कुछ इस तरीके से रहती है है ना अगर ग्राफ कॉनकेव डाउन है तो एफ डबल टैक्स लेस दें जीरो होगा और अगर ग्राफ कॉनकेव डाउन है आप अगर कॉनकेव डाउन है इफ डबल दश एक्सिस लेस दें जीरो ठीक है तो दो पॉइंट्स अगर मैं ज्वाइन करता हूं ये वाला पॉइंट X1 एफ ऑफ X1 ओके एंड दूसरा वाला ये पॉइंट ले लिया X2 f2 तो इसके बीच में कहीं पर जो पॉइंट होगा वैन प्लस X2 होल डिवाइडेड बाय तू एक फंक्शन इसी ग्राफ के ऊपर लाइक करता हुआ पॉइंट है है ना एंड एफ ऑफ X1 प्लस स्ट्रेट लाइन को ज्वाइन करें तो ये वाला पॉइंट ऊपर है तो ये ग्रेटर होगा तो एफ ऑफ X1 + x2/2 इसे ग्रेटर दें और इक्वल तू एफ ऑफ एक्स वैन प्लस ठीक है सिंपल है बातें ओके तो वैसे ही अगर X1 X2 बिलॉन्गस तू जीरो तू पाई तो विच ऑफ डी फॉलोइंग ऑप्शन इस करेक्ट ये होमवर्क के लिए मैं आपको सवाल दे रहा हूं ठीक है रात नहीं कोई जरूरत नहीं है जीरो से पाई के बीच में सिन एक्स एक कॉनकेव डाउन ग्राफ होता है तो आप यहां पे जज कर सकते हैं भाई ये वाला पॉइंट X1 F1 चलो कर ही लेते हैं एंड ऑफ X1 प्लस यहां पे कहीं पॉइंट होने वाला है इन दोनों पॉइंट्स का मिड पॉइंट दिस पॉइंट एफ ऑफ X1 + x2/2 इसे ग्रेटर दें ओर इक्वल तू एफ ऑफ X1 + एफ ऑफ x2/2 वही चीज की सिन ऑफ X1 + x2/2 डेट इस एफ ऑफ एक्स / 2 = ग्रेटर दें ओर इक्वल तू एफ ऑफ X1 + fx2 / 2 तो ऑप्शन ए इसे डी राइट आंसर फॉर दिस डबल डेरिवेटिव टेस्ट जीरो हो रहा है एक्स बराबर होने का मतलब हुआ की ग्राफ है ग्राफ कॉनकेव है और इस पॉइंट के ऊपर जीरो ए रहा है एफ-एक्स मतलब स्लोप जीरो ए रही है तो यह पॉइंट हो जाएगा यहां पे ठीक है तो एफसी लोकल मैक्सिमा आते एक्स बराबर है तो यहां पर हमें लोकल मैक्सिमा देखने को सिंपल है ओके बट जीरो है [संगीत] उसे केस में सिंगल डेरिवेटिव टेस्ट का सहारा लेंगे हम एफ- साइन का परिवर्तन एक्स में साइन का परिवर्तन कैसा है टाइम परिवर्तन हो रहा है की नहीं हो रहा है सिंगल डेरिवेटिव टेस्ट का वहां पे सारा हम लोग ले लेंगे क्लियर इतनी बात है चलिए तो इसी के साथ बस एक दो सवाल हमने लिए हैं यह वाला क्वेश्चन मैं आपको होमवर्क के लिए दे रहा हूं ठीक है मैक्सिमम वॉल्यूम एंड गिवन स्लेंट हाइट इसे 10 इन्वर्स रूट एक कौन है उसका सेमी वर्टिकल एंगल हमें निकलना है ठीक है मतलब ये एंगल थीटा हमको निकलना है प्लांट हाइट गिवन है ये फिक्स कर राखी है अगर यह थीटा बोलूं तो रेडियस हो जाएगी इसकी एल साइन थीटा और यह साइन थीटा बिकॉज प्लांट इट तो फिक्स होता है डेट इस फिक्स्ड राइट तो आर की वैल्यू रख दी एल साइन थीटा तो 1 / 3 पाई एल साइन थीटा का स्क्वायर इन डी वैल्यू ऑफ ह इस एल कोस्थेटा दिस इस आर वॉल्यूम विच इस इक्वल तो 1/3πl³ sin² थीटा * कोस थीटा को हम लोग 0 कर देंगे तो ये तो कांस्टेंट है इसको आप कुछ कांस्टेंट के की तरह ही ट्रीट कर लो ए टाइम ठीक है तो के टाइम्स टाइम्स को थीटा का डर हो जाएगा 2sinθ इन कोस थीटा और कोस थीटा आज इट इस बैठा है यहां पे प्लस अब साइन स्क्वायर थीटा को आज इट इस रखेंगे एंड कोस थीटा का डर हो गया माइंस ऑफ साइन थीटा इसे इक्वल तू जीरो ठीक है साइन थीटा कोस थीटा रख दिया डीबी / दत्त को अपन ने जीरो किया क्योंकि अगर मुझे मैक्सिमम मिनीमा चाहिए तो वहां पे एफ-एक्स की वैल्यू जीरो होनी चाहिए है ना डी / दत्त की वैल्यू वहां पे जीरो और ही होगी तो इधर से अपन लोग इक्वेट कर सकते भाई की तू टाइम्स साइन थीटा इन कोस स्क्वायर थीटा इसे इक्वल तू ये माइंस साइन कब थीटा को उसे साइड भेजा तो प्लस सिन कब थीटा इधर से अपने पास ए रहा है टेन स्क्वायर थीटा बराबर 2 तो मतलब [संगीत] डेरिवेटिव टच का सारा ले सकते हैं या सिंगल डेरिवेटिव टेस्ट का भी अपन यहां पे सारा ले सकते हैं तो आई होप दिस इस क्लियर तू ऑल ऑफ यू ओके तो यस सेक्शन हमारा रहा जिसके अंदर हमने पूरा एप्लीकेशन ऑफ डेरिवेटिव रिवाइज कर लिया है हर एक टॉपिक को हमने टच कर ठीक है तो इसको आप रिवीजन ले सकते हो बाकी सब से इंपॉर्टेंट यही है की अभी कॉन्फिडेंस रखे और कॉन्फिडेंट अपनी तैयारी करते रहे सेट को भी पॉजिटिव रखना बहुत जरूरी है की एग्जाम तक हम कुछ ना सोचे इधर उधर भटके ना डिस्ट्रिक्ट ना हो और एग्जाम तक हम अपना 100% यही तो दिन आगे जाके याद आएंगे है ना अभी जो मेहनत करोगे और अभी जो एक दो महीना में मेहनत करके आप अपना जो कैरेक्टर डेवलपमेंट कर रहे हो कभी भी मेहनत करनी पड़ेगी कल को आगे जाके टू टाइम से आया है जहां पे चैलेंज मूवमेंट आया तो इस टाइम से आप ले सकते हो ऐसा समय पहले भी आया था ना तब टाइम मिक्स ऑफ पीपल ठीक है तो अभी अगर टाइम टू चल रहा है तो आप भी तो आगे जाके तब बनोगे इसी मूवमेंट से तो आप आगे जा के स्ट्रेंथ लोग हैं ना तो इसी के साथ पढ़ते रहे मुस्कुराते रहे मिलते हैं अगले सेशन में तब तक के लिए दिस इस योर मैच टीचर कुंदन मारकर साइनिंग ऑफ टाटा बाय-बाय हैव अन ग्रेट