Lezione sulle Trasformazioni Isometriche nel Piano

Definizione di Isometria

• Isometria: trasformazione geometrica che conserva lunghezze, angoli e aree.
• Isometrie trattate:
  • Simmetria centrale
  • Simmetrie assiali (riflessioni)
  • Traslazioni
  • Rotazioni

Classificazione delle Isometrie

• Isometrie Dirette: traslazioni, simmetrie centrali, rotazioni (figure scorrono sul piano).
• Isometrie Inverse: simmetrie assiali (richiedono rotazione nello spazio).

Simmetria Centrale

• Definizione: Trasformazione dove a ogni punto P(x, y) corrisponde P’(x’, y’).
• Punto unito: C(a, b) resta invariato.
• Equazioni:
  • x’ = 2a - x
  • y’ = 2b - y
• Caso particolare: C coincide con l'origine (x’ = -x, y’ = -y).

Esempio

• Simmetria centrale di C(0,2): Triangolo ABD si trasforma in A’B’D’ (orientamento orario conservato).

Simmetria Assiale

• Definizione: Riflette i punti rispetto a una retta r (asse di simmetria).
• Punti uniti: Punti su r restano invariati.

Equazioni Particolari

• Simmetria rispetto a y = y0:
  • x’ = x
  • y’ = 2 y0 - y
• Simmetria rispetto a x = x0:
  • x’ = 2 x0 - x
  • y’ = y
• Simmetria rispetto alla bisettrice:
  • Primo e terzo quadrante: x’ = y, y’ = x
  • Secondo e quarto quadrante: x’ = -y, y’ = -x

Esempio

• Triangolo ABC rispetto alla retta x=1 si trasforma in A’B’C’ (cambiamento di orientamento).

Traslazioni

• Definizione: Trasformazione definita da un vettore v(a, b).
• Equazioni:
  • x’ = x + a
  • y’ = y + b

Esempio

• Traslazione di v(3,2): Triangolo ABC si trasforma in A’B’C’ (orientamento orario conservato).

Rotazioni

• Definizione: Trasformazione definita da un centro O e un angolo α.
• Equazioni:
  • x’ = x0 cosα - y0 senα
  • y’ = x0 senα + y0 cosα

Esempio

• Rotazione di 90° attorno a O(0,0): Triangolo ABC si trasforma in A’B’C’ (orientamento orario conservato).

Proprietà delle Isometrie

• Trasformano rette in rette.
• Conservano parallelismo tra rette.
• Conservano ampiezze degli angoli.
• Figure isometriche hanno stesso perimetro e area.