In questa lezione analizzeremo le trasformazioni isometriche nel piano. Si definisce ISOMETRIA una trasformazione geometrica che lascia invariate le lunghezze, gli angoli e le aree. Analizzeremo le seguenti isometrie: – simmetria centrale – simmetrie assiali (dette anche riflessioni) – traslazioni – rotazioni Le isometrie si possono classificare in dirette e inverse. Le isometrie dirette sono le traslazioni, le simmetrie centrali e le rotazioni per le quali le figure possono essere traslate facendole semplicemente scorrere sul piano. Le isometrie inverse sono invece le simmetrie assiali per le quali non è sufficiente traslare la figura ma è necessario farla ruotare nello spazio. Iniziamo lo studio delle isometrie a partire dalle simmetrie centrali. La simmetria centrale C di coordinate a,b è la trasformazione geometrica che fa corrispondere a ogni punto P(x, y) del piano il punto P’ (x’,y’). In particolare il punto C viene trasformato dalla simmetria centrale in se stesso, e per questo viene detto punto unito. Le equazioni della simmetria di centro C(a, b) sono: x’ = 2a - x y’ = 2b - y Si può notare che se C coincide con l’origine degli assi, questi due valori si annullano e così ritroviamo le note equazioni della simmetria rispetto all’origine: x’ = -x y’ = -y Vediamo ad esempio che, nella simmetria centrale di C(0,2), il triangolo ABD si trasforma nel triangolo A’B’D’. Come avete visto è stato sufficiente scorrere il triangolo sul piano per cui si tratta di una trasformazione diretta: vi faccio notare anche che l’orientamento dei punti viene mantenuto. In entrambi i triangolo il senso è orario. Passiamo ora alla simmetria assiale. Data una retta r la simmetria assiale (o riflessione) rispetto a r è la trasformazione che associa a ogni punto P(x, y) del piano il simmetrico di P’(x’, y’) rispetto a r. La retta r si chiama asse di simmetria della trasformazione. In particolare, ogni punto della retta r viene trasformato in se stesso dalla simmetria, quindi ogni punto della retta r è unito. Di queste simmetrie vediamo le equazioni di alcuni casi particolari: Simmetria rispetto alla retta di equazione y = y0 le equazioni sono: x’ = x y’ = 2 y0 - y In particolare se l’asse di simmetria coincide con l’asse x cioè y0 = 0, ritroviamo le equazioni delle simmetrie rispetto all’asse delle ascisse: x’ è uguale a x y’ è uguale a meno y Simmetrie rispetto alla retta di equazione x=x0 le equazioni sono: x’ = 2 x0 - x y’ = y In particolare se l’asse di simmetria coincide con l’asse delle y cioè x0=0, ritroviamo le equazioni della simmetria rispetto all’asse delle ordinate: x’ = -x y’ = y Le equazioni della simmetria rispetto alla bisettrice del primo e terzo quadrante sono: x’ = y y’ = x Le equazioni della simmetria rispetto alla bisettrice del secondo e quarto quadrante sono: x’ = -y y’ = -x Vediamo un esempio: il triangolo ABC, nella simmetria assiale rispetto alla retta x=1, si trasforma nel triangolo A’B’C’ in questo caso non è stato sufficente scorrere il triangolo ma ho dovuto ruotarlo nello spazio: per questo la simmetria è una isometria inversa. Vi faccio notare che in questo caso l’ordinamento dei vertici cambia: in senso orario nel primo triangolo, antiorario nel secondo. Inoltre si nota che il punto B, appartenente all’asse di simmetria, resta fisso, ed è quindi un punto unito. Passiamo ora ad analizzare le traslazioni. Si chiama traslazione di vettore v la trasformazione che associa a ogni punto P(x,y) del piano il punto P'(x’, y’) tale che il vettore PP' ha la stessa direzione, lo stesso verso e lo stesso modulo di v. Pertanto le equazioni della traslazione di vettore v(a,b) sono: x’ = x + a y’ = y + b Vediamo ad esempio che, nella traslazione di vettore v(3,2) , il triangolo ABC si trasforma nel triangolo A’B’C’. Anche in questo caso è stato sufficiente scorrere il triangolo sul piano per cui si tratta di una trasformazione diretta: vi faccio notare anche che l’orientamento dei punti viene mantenuto. In entrambi i triangolo il senso è orario. Inoltre i vertici del triangolo trasformato seguono le indicazioni del vettore, l’ascissa del trasformato aumenta di 3 e l’ordinata aumenta di 2. Passiamo ora alle rotazioni Dati in un piano un punto O e un angolo di orientato α (in cui sono fissati il primo e il secondo lato e il verso orario o antiorario con cui il primo lato si porta sul secondo), si dice rotazione di centro O e ampiezza α la trasformazione che associa O a O e a ogni punto P del piano il punto P’ tale che OP≅OP’ e POP’≅α. Osserviamo che se l’angolo di rotazione è piatto allora la rotazione di centro O coincide con la simmetria centrale di centro O: questo le fa diventare un caso particolare di rotazioni. Lo studio per via analitica delle rotazioni che richiede l’impiego delle funzioni trigonometriche, è più laborioso rispetto alle precedenti. Qui ci limitiamo a dare qualche cenno. Le equazioni di una rotazione di centro l’origine O e ampiezza α sono: x’ = x0 cosα - y0 senα y’ = x0 senα + y0 cosα Per questo tipo di isometria nei test, non occorre applicare le equazioni delle trasformazioni, ma occorre applicare la definizione. Vediamo ad esempio che, dato il punto O di coordinate (0,0) e un angolo di ampiezza 90°, mediante la rotazione il triangolo ABC si trasforma nel triangolo A’B’C’. Anche la rotazione è una isometria diretta perchè è stato sufficiente scorrere il triangolo sul piano: anche in questo caso anche l’orientamento dei punti viene mantenuto. In entrambi i triangolo il senso è orario. Concludiamo con un elenco di alcune proprietà delle isometrie: Un’isometria trasforma rette in rette. Un’isometria trasforma rette parallele in rette parallele. Un’isometria conserva le ampiezze degli angoli. Figure isometriche hanno lo stesso perimetro e la stessa area.