Własności i wzory na ciąg geometryczny

Wstęp

• Ciąg geometryczny różni się od arytmetycznego tym, że kolejne wyrazy powstają przez mnożenie przez stałą liczbę, a nie dodawanie.

Iloraz ciągu geometrycznego

• Iloraz ciągu (oznaczany jako (q)) oblicza się dzieląc kolejny wyraz przez bieżący.
• Aby ciąg był geometryczny, (q) musi być stałą liczbą niezależną od (n).

Wzór ogólny ciągu geometrycznego

• Wzór: (a_n = a_1 \cdot q^{n-1})
• (a_1) to pierwszy wyraz, (q) to iloraz
• Potęga (q) jest o jeden mniejsza niż numer wyrazu
• Można także użyć wzoru (a_n = a_k \cdot q^{n-k}) do szybkiego obliczenia wyrazu

Średnia geometryczna i inne wzory

• Wzór: (a_n^2 = a_{n-1} \cdot a_{n+1})
• Alternatywny wzór: (a_n^2 = a_{n-k} \cdot a_{n+k})

Suma n początkowych wyrazów

• Dla (q ≠ 1): (S_n = a_1 \cdot \frac{1 - q^n}{1-q})
• Dla (q = 1): (S_n = n \cdot a_1)

Rozpoznawanie ciągu geometrycznego

• Jeśli w wykładniku jest (n), istnieje duża szansa, że ciąg jest geometryczny
• Dla ciągów typu (a_n = \text{liczba} \cdot q^n), (q) to iloraz

Monotoniczność ciągu geometrycznego

• Ciąg rosnący:
  • (a_1 > 0) i (q > 1)
  • (a_1 < 0) i (0 < q < 1)
• Ciąg malejący:
  • (a_1 > 0) i (0 < q < 1)
  • (a_1 < 0) i (q > 1)
• Ciąg stały:
  • (a_1 = 0) i (q) dowolne
  • (q = 1)
• Ciąg niemonotoniczny:
  • (a_1 ≠ 0) i (q < 0)
• Ciągi, gdzie (q = 0), nie są traktowane jako geometryczne ze względu na problem z dzieleniem przez zero.

Podsumowanie

• Wzory i właściwości ciągów geometrycznych są przydatne w rozwiązywaniu zadań z matematyki.
• Zrozumienie różnic i podobieństw do ciągów arytmetycznych jest kluczowe.