po tym filmie poznasz wszystkie własności i wzory na ciąg geometryczny Cześć z tej strony Artur dzisiaj Zrobimy sobie wszystkie własności wzory i ogólnie wszystko co powinniście wiedzieć z takiej strony teoretycznej na temat ciągu geometrycznego także zapraszam a po co mi temat No dobrze Oczywiście jeżeli potrzebujecie materiału na przykład z ciągu arytmetycznego to tutaj trzymajcie link do materiału wszystko właśnie o ciągu arytmetycznym natomiast dzisiaj się bierzemy za geometryczny No dobrze w takim razie ciąg geom dobra czym on się przede wszystkim różni od ciągu arytmetycznego No bo dla przypomnienia arytmetyczny powstaje tak że każdy kolejny wyraz tworzymy w ten sposób że dodajemy do tego na którym jesteśmy stałą liczbę tak zwaną różnicę r jeżeli chodzi o ciąg geometryczny No to może jakiś przykładowy wam pokażę o co chodzi Załóżmy że mamy sobie ciąg No taki jakiś w miarę prosty je Ewa 48 16 Oczywiście on sobie tam będzie szedł dalej no ciąg czyli kolejne jakieś liczby te liczby tworzą ciąg ciąg to ogólnie taki można powiedzieć zestaw liczb No tylko w których kolejność ma znaczenie i teraz jak działa ciąg geometryczny ciąg geometryczny działa tak że w przeciwieństwie do arytmetycznego gdzie coś tam dodawali zawsze żeby dostać kolejny wyraz to tutaj nie dodajemy tylko mnożymy czyli żeby dostać z jedynki dwójkę to ja powinienem to pomnożyć tym razem przez D później z dwójki do CW znowu bym pomnożył przez d z czwórki do ósemki znowu bym pomnożył przez 2 i z ósemki do 16 znowu bym pomnożył przez 2 czyli ciąg w którym kolejne wyrazy powstają przez Mnożenie przez stałą taką samą liczbę za każdym razem tego poprzedniego wyrazu żeby dostać kolejny nazywamy ciągiem geometrycznym i teraz ta liczba przez którą wymnażanie sprawa o której nie ma w karcie wzorów ogólnie Umówmy się tak że znowu wzory które są w karcie wzorów będą tam na zielono a wzory których nie ma w karcie wzorów które warto zapamiętać będą na czerwono czyli ta dwójeczka czyli ta liczba przez którą tutaj wymnażanie wzorów natomiast no już sobie tu wrzućmy Czyli iloraz iloraz ciągu iloraz ciągu czyli nasze q liczymy w ten sposób że od kolejnego wyrazu czyli n plus pierwzy wyraz Znaczy od kolejny wyraz po prostu dzielimy przez bieżący wyraz czyli n okej Tak się liczy iloraz ciągu i żeby ciąg był i żeby ciąg był geometryczny to ta liczba to musi być liczba stała liczba stała Innymi słowy niezależna od n jeżeli będziecie mieli jakieś zadanie Udowodnij że ciąg jest właśnie geometryczny to musicie wtedy wyznaczyć iloraz tak podobnie jak arytmetycznym z różnicą się robiło Tylko tym razem dzielimy i te wszystkie n muszą się posk Poreda i tak dalej żeby rzeczywiście udowodnić że ten ciąg będzie ciągiem geometrycznym Jeżeli mówimy o dowodzie dobra natomiast teraz tak tego wzoru nie ma na na iloraz natomiast Sprawdźmy o co chodzi No przecież my to mieliśmy coś o mnożeniu Mówiliśmy a ja teraz znowu że dzielenie w ogóle iloraz jak sama nazwa wskazuje to iloraz to jest wynik dzielenia właśnie dlatego ilorazem jest wynik dzielenia kolejnego jest bieżący natomiast Zauważcie że okej no to to Q A to q mogę policzyć na przykład że jeżeli już wiem że ciąg jest geometryczny że to jest na przykład nie wiem Trzeci wyraz przez Drugi wyraz Ile by to u nas było a nie podpisałem wyrazów więc podpiszemy to by był nasz oczywiście to by był nasz Oczywiście pierwszy wyraz to by był nasz Drugi wyraz to by był nasz Trzeci wyraz to by był nasz Czwarty wyraz to by był nasz Piąty wyraz No i tak dalej i tak dalej nie to trzeci to jest 4 przez drugi czyli przez D daje 2 dobra zgadza się A na przykład mógłbym też k policzyć że to jest Piąty wyraz przez Czwarty wyraz czyli 16 na 8 no to też daje 2 Zauważcie że zawsze te liczby przez które wymnożyć jeżeli wiecie że ciąg jest geometryczny wystarczy wstawić za za n jakąś liczbę i wtedy możecie sobie ten iloraz policzyć No dobra to to mamy to teraz to co jest w karcie wzorów to jest tak zwany wzór ogólny ciągu podobnie jak w ciągu arytmetycznym również geometryczny mamy wzór ogólny który daje nam przepis na który chcecie wyraz i ten wzór macie w karcie wzorów nasz n wyraz ciągu to jest A1 tym razem razy q czyli nasz iloraz do potęgi n min pierze tak czyli to jest mnożenie arytmetycznym było tam dodawanie nie z tym RM no i ten wzór ogólnie macie oczywiście żeby jak macie wyznaczyć wzór ogólny to co musicie zrobić No to musicie A1 mieć tu wstawione jako liczby i q musicie mieć wstawione jako liczby i również warto to zrobić porządek bo Pamiętajcie że tu jest min-1 a był sobie taki wzorek na potęgi że jeżeli sobie jest a do potęgi załóżmy x - y czyli odejmowanie to można to zamienić na dzielenie potęg takie coś też gdzieś tu się może ewentualnie przydać żeby nie było okej dobra To wzór ogólny mamy ta potęga przy q jest o jeden mniejsza niż ten numer wyrazu czyli na przykład jeżeli ja bym chciał policzyć siódmy wyraz to będę miał pierwszy wyraz razy q No 7-1 czyli do sz jakbym chciał policzyć 50 wyraz to będę miał A1 x q do potęgi 49 i tak dalej i tak dalej na tym to polega natomiast jest sobie taki wzorek którego nie ma znowu w karcie wzorów na który który się Czasami przydaje i to jest wzór że że jakiś n wyraz ciągu możecie policzyć że to jest nie pierwszy ale może być jakiś Katy wyraz ciągu Okej ale razy q do potęgi nie n-1 tylko n k to może się przydać ewentualnie równoważność tego wzoru jest również taka że q do potęgi n min k to jest dzielenie n tgo wyrazu przez k wyraz tak czyli tak jak tu macie an + 1 przez an a tu macie n przez k No to tu macie po prostu różnicę numerów tych wyrazów które ze sobą dzielicie można tak Można tak to wykorzystywać zależności trochę od potrzeby to nie mówię że to jest wzór ogólny bo to nie jest wzór ogólny jako tako tylko to jest sposób na szybsze radzenie sobie z pewnymi zadaniami co mam na myśli mam na myśli na przykład taką sytuację że dadzą wam w zadaniu że no załóżmy Piąty wyraz jest równy załóżmy 20 a na przykład Trzeci wyraz to jest równy 5 O a czemu nie tak i chcecie policzyć po prostu q No to żeby się nie bawić jakieś układy równań bo można oczywiście można zrobić tak że A5 sobie zapisać że to jest A1 x q do C że to jest 20 A3 to jest A1 x k że to jest równe 5 i z takiego układu jakość sobie a1 i q policzy tak Tak można ale można szybciej można tak naprawdę jak chodzi o q to można z tego wzoru bardzo szybko to policzyć Czyli że okej czyli q do potęgi No i tak tu wezmę że n To jest moje 5 raczej raczej tutaj w tych wzorach polecam robić tak żeby n było większe niż k tak no to wtedy nie będzie żadnych problemów q 5 3 czyli te numery wyrazów sobie tutaj odejmuję A tutaj po prostu będę miał A5 prz A3 czyli tak naprawdę moje q do 22 wychodzi A5 to było 20 A3 to jest 5 czyli moje q kwadrat wychodzi 4 czyli q jest równe 2 lub uwaga q również może być równe us-2 okej w ten sposób wtedy Macie chyba wydaje mi się szybciej A kiedy to ma zastosowanie No na przykład to ma zastosowanie ten wzór ma zastosowanie kiedy No załóżmy macie jakiś tam siódmy wyraz że jest równy nie wiem 4 wiecie że q jest równe 3 i macie policzyć na przykład 10 wyraz to żeby się tu nie bawić we wzór ogólny bo nie ma takiej potrzeby możemy napisać wtedy że nasze A10 to jest A7 czyli nasze k jest równe 7 r q do potęgi 10 - 7 czyli A10 będzie równe A7 to jest 4 x 3 do TR No czyli 4 x 27 No to 100 plus chyba 8 108 w ten sposób wtedy można sobie szybko policzyć A10 jeżeli macie któryś wyraz niekoniecznie pierwszy iloraz No dobra to mamy to mamy to może teraz się weźmiemy za sąsiad tak jak w przypadku ciągu arytmetycznego wiedzieliśmy że środkowy wyraz jest średnią arytmetyczną dwóch jakby bezpośrednich sąsiadów lub ewentualnie odsunięty o tyle samo w każdą stronę to w przypadku ciągu geometrycznego jak w arytmetycznym była średnia arytmetyczna No to w geometrycznym może być średnia geometryczna w gruncie rzeczy natomiast no tutaj nie do końca że średnia tylko to tam bez pierwiastków się robi co mam na myśli ogólnie w karcie wzorów macie że jakiś nty wyraz czy jakiś nty wyraz do kwadratu tym razem możecie policzyć że to jest n min pierwszy wyraz razy n d 1 czyli ny plus i pierwszy czyli na przykład ten wzór macie w karcie wzorów bez problemu Czyli na przykład można by to policzyć w ten sposób że mój trzeci wyraz do kwadrat to jest No co 3 - 1 to będzie A2 i 3 + 1 to będzie raz A4 No Sprawdźmy na tym przykładowym ciągu geometrycznym czy tak by to zadziałało No to załóżmy tak A3 u mnie to jest 4 czyli 4 do kwadratu i tu mamy A2 to jest 2 A4 to jest 8 no to wychodzi 16 = 16 czyli rzeczywiście się zgadza tak na przykład ale za n możecie też wstawić dwójkę po prostu czyli A2 do kW ale jeżeli za n na przykład dwójkę to wychodzi że A2 do kW to jest A1 x A3 to Sprawdźmy na tym naszym ciągu A2 u nas to jest 2 czyli 2 do kwadratu A1 to jest 1 1 A3 to jest 4 x 4 no 4 jest równe 4 czyli też się zgadza ale uwaga jest inny Tajemny wzór którego nie ma w karcie wzorów bo Uwaga to też nie muszą być bezpośredni sąsiedzi ja tutaj ich dorzucę z boku czyli ewentualnie mój środkowy wyraz do k okej to może być n ale minus jakiś Katy wyraz raz an do K tak Czyli chodzi mi o to że ci sąsiedzi nie muszą stać o jedno miejsce na lewo i na prawo mogą stać o ile chcecie to k to jest o ile mają stać tyle samo na prawo i na lewo dobra jakość przykład tak Czyli jako przykład do tego tajemnego wzoru który się może przydać czasami Słuchajcie przyspieszyć czasami robotę No to jakbym tutaj za n wstawił sobie załóżmy 3 to wyszło że A3 do kwadratu to jest No i teraz a za k też muszę sobie wymyśleć to za k wstawię 2 No mogę zawsze k równe 1 to dostaniecie wtedy ten wzór jak k będzie równe 1 oczywiście tu również n musi być większe niż k żeby tutaj nie było że jakieś ujemne numery wyrazu wychodzą tak No to tu będzie Tu będzie A3 - 2 x a 3 + 2 tak czyli wychodzi że mój trzeci wyraz do kwadratu to jest pierwszy wyraz razy Piąty wyraz tak Zauważcie ten jest pośrodku jedynki i piątki niekoniecznie o jeden się muszą różnić tylko tyle że jest pośrodku dobra Sprawdźmy według tego ciągu takiego przykładowego który to napisałem Nie w sumie no dobra A3 to jest 4 czyli 4 do kwadrat rów A1 to jest 1 No dobra 1 x A5 to to jest razy 16 czyli 16 = 16 czy okej Znaczy to nie jest dowód na to w sensie wystarczy tak naprawdę wstawić to według wzoru ogólnego na przykład i też udowodnic że tamte q się odpowiednio nam będą zgadzać po obu stronach natomiast no taki przykład zastosowania dobra no jakiś jeszcze przykład załóżmy wiem że na przykład 50 wyraz ciągu mogę policzyć jako do kwadratu Oczywiście mogę policzyć że to jest na przykład 20 wyraz razy Który No jeżeli tu jest różnica 30 w lewą stronę No to teraz by musiał 30 do 50 czyli razy a80 a 20 wyraz 20 wyraz razy 80 wyraz one są oddalone od 50 o 30 tylko raz w jedną raz w drugą stronę tak też by można było ten wzór wykorzystać no dobra no to jeszcze wzór który jest w karcie wzorów w gruncie rzeczy natomiast no trzeba by go dorzucić czyli Suma n początkowych wyrazów ciągu i tutaj mamy dwie sytuacje słuchajcie bo Tą sumę normalnie tu mamy dwie sytuacje kiedy q jest różne od 1 i kiedy q jest równe 1 czyli ten iloraz Zauważcie jeżeli q będzie równe 1 tak Czyli to się skróci do jedynki to oznacza że kolejny wyraz jest taki sam jak ten bieżący czyli ten ciąg nie wyglądałby w ten sposób tylko on by wyglądał typu 5 5 5 5 i tak dalej tak to będzie ciąg stały on wszystkie wyrazy będzie miał takie same nie mnożę przez jeden żeby dostać kolejne to zawsze będzie ten sam co był pierwszy No i teraz tak jeżeli q jest różne od 1 sumę n wyrazów możemy policzyć ze wzoru że to jest A1 x 1 q do pot n PR 1 min q taki wzór wtedy jest No troszkę cięższy do zapamiętania ale mówię w karcie wzorów jest Nie ma problemu Natomiast jeżeli a q jest równe 1 zauważ nie mógłbym tutaj tego wstawić bo będę miał 1 min 1 czyli 0 jeżeli q jest równe 1 to Zauważcie skoro wszystkie wyrazy tak będą tak naprawdę takie same jak który No jak pierwszy bo jak pierwszy będzie ileś to pomnożę przez j to drugi będzie tyle samo co pierwszy trzeci będzie tyle samo co pierwszy i tak dalej i tak dalej jeżeli ja chcę dodać n takich wyrazów które są takie same No to ja Tą sumę mogę policzyć że to jest ten pierwszy wyraz razy ich liczba czyli raz n czy n r n r A1 i tyle załatwioną to jest raczej dość specyficzny przykład i przypadek natomiast tak żebyście też wiedzieli jak sobie z czymś takim poradzić A dobra Przypomniała mi się jeszcze taka dość istotna sprawa bo ogólnie tak jak w ciągu arytmetycznym można poznać że dany Ciąg jest arytmetyczny tak nawet od razu na oko jeżeli wiecie że to jest podobna sprawa do funkcji liniowej tak z ciągiem geometrycznym też jest na swój sposób całkiem podobnie bo Zauważcie że jeżeli ja ten wzór ogólny zrobię z nim porządek tak to naprawdę to będzie A1 x q do nte przez Q do pierwszej czyli tu się pojawi jakaś tam liczba A1 PR q raz q do nte tak to jeżeli byśmy sobie wyobraz że ten ułamek A1 prz q to jest po prostu jakaś liczba nie wiem jaka jakaś jakiś x tak to możemy spojrzeć sobie na wzór na ciąg geometryczny że jest sobie jakaś Liczba x r q do nte Tak i teraz warto zauważyć że zawsze jeżeli n macie wykładniku to jest duża szansa że to będzie ciąg geometryczny a jeżeli jest to podstawa tej potęgi Gdzie jest n to jest ten iloraz naszego ciągu tak natomiast Gdyby się okazało że tu jest jeszcze jakieś dodawanie tak to może być jeszcze Mnożenie przez jakąś liczbę ale żeby się okazało że to jeszcze dodać 5 na przykład już mogę wam powiedzieć że to w ogóle nie będzie ciąg geometryczny tak raczej suma nie No chyba że jest jakoś bardzo nie za dobrze zapisane trzeba to uporządkować to wtedy okej także warto pamiętać że jak na przykład miałbym Ciąg an = pierwiastek Z3 r 1/4 do potęgi n tak No to ja już wiem że 1/4 to jest moje q tak W takim razie w ten sposób można się szybko zorientować że dany ciąg jest geometryczny No dobra słuchajcie Czyli mamy to mamy to mamy to no to też na czerwono no bo tego nie ma w karcie wzorów musimy przejść do jednej dość bardziej skomplikowanej sprawy Jeśli chodzi o ciąg geometryczny bo musimy sobie powiedzieć o monotoniczności ciągu geometrycznego bo to już nie jest taka prosta sprawa jak w arytmetycznym że to zależy od różnicy jak różnica dodatnia była to ciąg był rosnący jak ujemna to malejący jak różnica równa zero to stały i koniec w geometrycznym jest sprawa trochę cięższa No i monotoniczności też nie ma nic na ten temat w karcie wzorów więc zrobimy to na czerwono monotoniczność No i zrobimy to trochę na zasadzie kilku tabelek Dobra czyli zrobimy sobie najpierw sytuację kiedy ciąg jest po prostu rosnący czyli Ciąg an rosnący zrobimy kilka przykładów bo na ciąg rosnący jest już kilka opcji skoro rosnący to niech będzie na czerwono słuchajcie bo tak jeżeli moje a1 jest dodatnie to po pierwsze a po drugie moje q czyli mój iloraz ciągu jest większy niż je to ten ciąg jest rosnący no od razu przykład ciągu tak No niech będzie właśnie 2 4 8 16 i tak dalej nie No tutaj ten m iloraz q No ile będzie równy No będzie razy 2 czyli tak tu wszystko iloraz będzie równy 2 moje A1 w tej sytuacji Moje a1 jest równe 2 tak przykładowy ale jeżeli moje A1 będzie tym razem ujemne OKE q będzie z zakresu od zera do jedynki czyli takim ułamkiem można powiedzieć No to Zauważcie że jakiś przykładowy czyli A1 ujemne czyli mogło być no załóżmy minus min 16 a q zrobię że to jest 1/2 czyli raz 1/2 to będzie 8 x 1/2 - 4-2 i tak dalej i tak dalej te wyrazy też są coraz mniejsze tylko Wystartowaliśmy na minusie i coraz bardziej jesteśmy i tak dalej natomiast rośniemy nie No i tu rzeczywiście A1 To jest moje A1 a1 jest ujemne a q tutaj No to tak jak mówiliśmy to jest razy 1/2 w tej sytuacji okej No to teraz druga sytuacja kiedy ciąg będzie malejący ciąg będzie malejący wtedy kiedy na przykład A1 będzie dodatnie ale nasz iloraz q tym razem się zmieni czyli on będzie od zer do 1 tak czy jakiś przykład na przykład no nie bdzie 16 8 4 2 1 1/2 i tak dalej tak tutaj ten iloraz jest równy 1/2 mnożę to przez 1/2 tak a moje a1 jest dodatnie tak Czyli jeżeli A1 jest dodatnie no to może być i rosnący i malejący To zależy ale jeżeli A1 będzie mniejsze od zera a q czy iloraz będzie większy niż 1 tak to też będzie ciąg malejący czyli to tak trochę A1 się zamienia można powiedzieć No ale jakiś przykładowy No dobrze no to znowu załóżmy możemy sobie zacząć od min2 min 4 tak coraz bardziej na minusie więc coraz mniejsze liczby 8-1 i tak dalej I tutaj mój iloraz No jest ile równy No razy 2 tak razy 24 x 2 daje 8 nie czyli rzeczywiście ten iloraz znowu jest większy od OK to są takie podstaw sy one raczej powinny nas najbardziej interesować natomiast no to jeszcze nie wszystko no ciąg może być też na pewno ciągiem stałym tak czyli że wszystkie wyrazy są takie same i kiedy tak będzie no na przykład wtedy tak będzie kiedy No A1 mój pierwszy wyraz ciągu jest zerem tak a q jest totalnie dowolne jak q będzie totalnie dowolną liczbą tak Czyli mnożę zer przez cokolwiek to dostanę same zera czy nawet nie tyle że na przykład tylko ten ciąg będzie po prostu ciągiem zerowym wszystkiego wyrazy będą zerem będzie on ciągiem stałym po prostu zero ale może być jeszcze sytuacja że a1 jest po prostu dowolną liczbą rzeczywistą nie ma problemu Natomiast q będzie równe 1 no to wtedy jako przykład jakiegoś takiego ciągu który w ten sposób by działał No to jak za A1 wstawię nie wiem 7 No to będę miał same siódemki Nie 7 i tak dalej to będzie taka sytuacja no jeszcze może sy że ten ciąg po prostu będzie niemonotoniczny I to też kilka sytuacji jest możliwych ogólnie do wymyślenia no i tutaj Ogólnie to Słuchajcie tak naprawdę mamy kilka sytuacji też jeżeli A1 będzie totalnie dowolną liczbą byle nie zerem czyli No różną od zera tak ale q będzie liczbą ujemną tak no to Zauważcie że no jakiś przykład tak No przykładowy ciąg taki no załóżmy że to by była piątka a było równe - 2 No to razy - 2 to będzie min-1 x-2 to będzie 20 r-2 to będzie - 40 x-2 to będzie 80 i tak dalej tak Tutaj rzeczywiście wymnażanie [Muzyka] raz maleje raz rośnie raz maleje więc on nie jest monotoniczny jeżeli q jest ujemne No a nie może być zerem Bo jakby było zero No to byśmy mieli wtedy tą sytuację ciąg by był po prostu stały No dobra a jakaś jeszcze może być sytuacja m być jeszcze taka sytuacja że nadal A1 będzie różne od zera ale q Słuchajcie mogłoby być równie dobrze równe zer czyli ja bym mógł równie dobrze tutaj to dokręcić ale specjalnie to chciałem rozbić na dwa przypadki No bo Okej jak to czyli co A1 czyli A1 ma być różny od zera Czyli jakiś przykład no dobra to mogłoby być nie wiem no 7 tak ale skoro iloraz jest zer 7 x0 Da mi z potem będzie potem będzie zer potem będzie zer to jest dość specyficzna sytuacja właśnie zorientowałem że chyba Zrobiłem błąd bo tak naprawdę ten ciąg chyba byłby tak naprawdę Powiedzmy sobie szczerze monotoniczny tylko tylko to będzie ciąg No nie malejący na przykład nie no bo Siódemka do zera spada potem są same zera czyli jest stały No to teoretycznie No dobra to Słuchajcie No to to zmieniłem zdanie ale to już jest taka sytuacja wiecie bardzo nietypowa no ale dob No w sumie żeby nie było czyli tu byśmy jeszcze dorzucili ciąg niemalejący i ciąg nierosnący No tak na upartego ale to wiecie to bardzo dziwny ciąg No tak bym powiedział bardzo specyficzny ciąg ale żeby nie było tak że nie przewidziałem czyli rzeczywiście jeżeli jeżeli A1 będzie mniejszy od zera a q będzie równe 0 No to dostaniemy taki ciąg typu 5 i później same zera bo razy zer raz zer raz Tey tak by się mogło wydawać A gdyby A1 było większe od zera i Kuby było równe zer No to teoretycznie wtedy byśmy mieli na przykład 700 i ogólnie Zgadzam się że to będzie ciąg właśnie niemalejący i nie rosnący Zresztą tak samo w tej sytuacji natomiast Prawda jest taka że tu jest pewien problem o którym muszę powiedzieć bo Zauważcie że jakbym chciał policzyć iloraz tak Czyli 0 podzieli przez 0 to nie mogę tego zrobić dla bezpieczeństwa swojego i wasz też możemy powiedzieć że ten ciąg jest stały ten ciąg jest niemalejący a ten jest nierosnący Natomiast te trzy ciągi nie są geometryczne tak ponieważ byłby problem ogólnie z wyznaczeniem naszego ilorazu q czyli te trzy ciągi jako tako ja bym je wyrzucił dla bezpieczeństwa po prostu w ogóle z grupy ciągów geometrycznych No teoretycznie gdzieś tam na początku działa później nie działa tak No Zauważcie trzeci przez drugi to będzie dzielenie przez zer to drugi trzeci przez drugi czwarty i tak dalej też będzie dzielenie przez zero także tutaj trzeba uważać raczej za q nie wstawiamy zera tak żeby po prostu nie było problemu z dzieleniem także te trzy ciągi po prostu bym potraktował że nie są geometryczne są po prostu dziwnymi ciągami takimi jakimiś nie wiadomo jakimi natomiast to nad czym się bym tutaj skupił to pozostałe przypadki czyli ten nie jest geometryczny ten też nie jest geometryczny ten też nie jest geometryczny żeby ewentualnie was zabezpieczyć okej Macie tu ewentualnie ściągę z tej monotoniczności Jeśli chodzi na jakąś sprawdzenie i tak dalej no czarny na białym będzie myślę przyjemniej i to jest wszystko co myślę że trzeba z teorii wiedzieć z ciągu geometrycznego a jeżeli byście chcieli sprawdzian na pi z tego tematu to śmiało Napiszcie w komentarzu as c g jakieś zadania praktyczne też dla was przygotowuję mił d usłyszenia tamat m [Muzyka]