Zagadnienia dotyczące ciągu geometrycznego

Definicja ciągu geometrycznego

• Ciąg geometryczny to ciąg liczb, gdzie każdy wyraz powstaje przez pomnożenie poprzedniego przez stałą liczbę, zwaną ilorazem (Q).
• Przykład: pierwszy wyraz = 1, iloraz Q = 2.
  • Kolejne wyrazy: 1, 2, 4, 8, 16, 32, itd.

Wzór na wyraz ciągu geometrycznego

• Wyraz n-ty można zapisać jako ( a_1 \times Q^{n-1} ).
• W przypadku pierwszego wyrazu: ( a_1 = a_1 \times Q^0 ).

Przykłady różnych ciągów geometrycznych

Przykład 1: Ciąg dodatni

• ( a_1 = 1 ), ( Q = 2 ).
• Ciąg: 1, 2, 4, 8, 16.

Przykład 2: Iloraz ujemny

• ( a_1 = 5 ), ( Q = -3 ).
• Ciąg: 5, -15, 45, -135, itd.
• Liczby na przemian dodatnie i ujemne.

Przykład 3: Ciąg malejący

• ( a_1 = 12 ), ( Q = 0.5 ) (jedna druga).
• Ciąg: 12, 6, 3, 1.5, itd.
• Ostatecznie zmierza do zera.

Suma nieskończonego ciągu geometrycznego

• Możliwość obliczenia sumy dla ciągów malejących, gdy 0 < |Q| < 1.
• Wzór: ( S = \frac{a_1}{1-Q} ).
• Przykład: suma 12 + 6 + 3 + ... = 24.

Rozwiązanie zadań z ciągu geometrycznego

Przykład 4: Znalezienie wyrazu ciągu

• Dano ( a_5 = 10 ), ( a_9 = 160 ).
• Obliczenie Q korzystając z równania: ( a_5 \times Q^4 = a_9 ).
• Znalezienie ( a_2 ) poprzez ( a_2 \times Q^3 = a_5 ).
• Należy pamiętać o obu rozwiązaniach dla Q (dodatnie i ujemne).

Trzy kolejne wyrazy w ciągu geometrycznym

• Zależność: ( y^2 = x \times z ) dla trzech kolejnych ( x, y, z ).
• Zadanie: Obliczenie wartości zmiennej x, gdy dane są 3 liczby w ciągu.

Wzory i techniki

Wzór sumy skończonej liczby wyrazów

• ( S_n = a_1 \times \frac{1-Q^n}{1-Q} ).
• Przykład: Suma pierwszych 10 wyrazów, gdzie ( a_1 = 3 ), ( Q = 2 ).

Podsumowanie i ostrzeżenia

• Uważaj na dwa rozwiązania dla Q.
• Zwróć uwagę na specyficzne warunki, np. ciąg musi być rosnący.
• Pamiętaj o wzorach i zależnościach w ciągach geometrycznych.