Ciąg geometryczny: definicje i przykłady

W tym nagraniu wideo postaram się omówić najważniejsze zagadnienia dotyczące ciągu geometrycznego i zilustruję je na prostych przykładach. Zacznijmy od tego, że pokażemy sobie jak powstaje ciąg geometryczny i prześledzimy to właśnie na prostym przykładzie. Weźmy sobie pierwszy wyraz naszego ciągu geometrycznego równy 1. Ciąg geometryczny to jest w ogóle ciąg liczb, który powstaje w taki sposób, że pierwszy wyraz takiego ciągu mnożymy przez pewną ustaloną liczbę, zwaną ilorazem ciągu geometrycznego. Niech w naszym przypadku ten iloraz będzie równy 2. Standardowo ten iloraz oznaczamy literką Q i za chwilkę to sobie zapiszemy. No i w ten sposób powstaje nam ciąg geometryczny. Pierwszy wyraz mnożymy przez Q i powstaje wyraz drugi. W tym przypadku to będzie 2. 1 razy 2 to 2. I dalej powstępujemy w taki sam sposób, aby właśnie ciąg liczb, który powstanie, był geometryczny. Czyli znowu mnożymy tą liczbę, drugi wyraz ciągu, znowu. przez iloraz ciągu geometrycznego, czyli przez 2 w naszym przypadku, otrzymamy wyraz trzeci, równy 4. Teraz, żeby obliczyć wyraz czwarty, to znowu czwórkę mnożymy przez iloraz, czyli przez 2 i otrzymujemy wyraz czwarty 8. Teraz ósemkę znowu mnożymy przez 2, otrzymujemy 16. No i dalej tak samo. 16 razy 2, 32. I w ten sposób tworzymy sobie ciąg geometryczny. Pierwszy wyraz tego ciągu zazwyczaj oznaczamy literką A1, czyli ta jedynka to w naszym przypadku jest A1, a iloraz ciągu geometrycznego oznaczamy literką Q. I te dwie liczby definiują nam ciąg geometryczny. Jeżeli byśmy mieli powiedziane właśnie, że pierwszy wyraz ciągu geometrycznego, czyli A1, jest równy 1, oraz Q, iloraz ciągu geometrycznego, jest równy 2, to na podstawie tych dwóch informacji jesteśmy sobie w stanie wyliczyć właśnie owc. W ten sposób każdy kolejny wyraz tego ciągu geometrycznego. Oczywiście to jest drugi wyraz, jego standardowo oznaczamy literką A2. To jest trzeci, czyli oznaczamy go literką A3. Tutaj mamy wyraz czwarty, A4. To jest nasze A5. To jest nasze A6. No i tak dalej moglibyśmy wypisywać. Zapiszmy sobie teraz te wszystkie kolejne wyrazy naszego ciągu geometrycznego w trochę inny sposób niż to zrobiliśmy w tym miejscu. Mianowicie, a1 zapiszę tak samo, bez zmian, że to jest 1, a2 w zasadzie też, chociaż zapiszę nie jako samo 2, ale jako ten iloczyn. 1 razy 2 to jest nasze a2, 1 razy 2. Natomiast a3 już nie zapiszę tego jako 4, tylko jako a1, czyli 1 razy 2, jeszcze raz razy 2, czyli 1 razy 2 w potężę drugiej. No i tak samo a4 możemy zapisać jako... iloczyn pierwszego wyrazu, czyli 1 i 2, tym razem w potędze trzeciej. 2 do 3, 8. No i tak samo a5, to będzie 1 razy 2 w potędze czwartej i a6, 1 razy 2 w potędze piątej. Dzięki takiemu zapisaniu naszego ciągu geometrycznego możemy odkryć, zauważyć pewną zależność. Mianowicie, że numerki wyrazów ciągu są ściśle związane z tymi potęgami naszego ilorazu Q, czyli w tym przypadku W przypadku dwójki zawsze potęga, do której podnosimy iloraz Q przy takim zapisywaniu kolejnych wyrazów ciągu geometrycznego jest o jeden mniejsza od numeru tego ciągu. Skoro tutaj był szósty wyraz ciągu, to potęgę mamy piątą. Tu był piąty wyraz, to potęga czwarta. Czwarty wyraz potęga trzecia. Trzeci wyraz ciągu, no to potęga druga. Drugi wyraz ciągu geometrycznego to potęga pierwsza. Jej tu się zwyczajowo nie pisze. Jeżeli mamy 2 do potęgi pierwszej, to to jest po prostu 2 i tej potęgi nikt tutaj nie pisze. No ale żeby pokazać tą zależność, że rzeczywiście zachodzi, to możemy ją sobie tutaj dopisać. A co więcej, dla a1 możemy zapisać, że a1 to jest 1 razy q w potędze zerowej. 2 do zerowej to jest po prostu 1. 1 razy 1 to jest 1. Nic się nie zmienia, a nasza zależność została podtrzymana. No i widzimy, że te potęgi dwójki są zawsze o 1 mniejsze od numeru. wyrazu ciągu. Czyli jaki z tego płynie wniosek? Z tego płynie dla nas wniosek taki, że wykorzystując tą zależność możemy sobie błyskawicznie policzyć, ile jest równe na przykład setny wyraz takiego ciągu, czyli A100. Jak to zrobić? No oczywiście wystarczy napisać, że A100 to jest A1, pierwszy wyraz, razy Q, w której potędze? No o 1 niższej, skoro tu było 100, to 99. 1 plus 99 musi dać nam 100. Czyli co my tu mamy? A1 to jest 1, Q jest równe 2, czyli mamy 2 w potęży 99. Co jeszcze prościej możemy zapisać, że to jest samo. 2 w 99, ponieważ to mnożenie przez 1 akurat w tym przypadku nic nie zmienia. No i tak samo, gdybyśmy mieli jakiś inny wyraz ciągu do policzenia, na przykład A87, 87 wyraz tego ciągu geometrycznego, no to napiszemy, że to jest A1, czyli 1, razy Q, czyli razy 2, w potędze o 1 niższej, czyli w 86, czyli to jest po prostu 2 w potędze 86. Zatem wykorzystując tę zależność bardzo łatwo i szybko możemy wyliczać dowolne wyrazy ciągu geometrycznego i to jest tak naprawdę najważniejsze w ciągu geometrycznym, żeby wiedzieć jak on powstaje i umieć wykorzystać tę zależność. No i wiedzieć, że wystarczy znać pierwszy wyraz i iloraz ciągu geometrycznego, aby mieć zdefiniowany cały ciąg geometryczny i móc wyliczyć dowolny jego wyraz. Co więcej, nawet znając nie pierwszy, a dowolny inny, wyraz ciągu geometrycznego oraz q. Również możemy sobie obliczyć cały ciąg geometryczny, to znaczy wyznaczyć każdy jego wyraz i to sobie za chwilkę pokażemy. Nim to jednak zrobię, to pokażę jeszcze jeden przykład, podobny do tego, ale różniący się tym, że il oraz q będzie liczbą ujemną. I zobaczymy, co się wtedy stanie. To niech będzie nasz przykład pierwszy. Teraz weźmiemy sobie przykład drugi. I w przykładzie drugim niech pierwszy wyraz będzie równy na przykład 5, a nasz il oraz q... niech będzie równy minus 3. Jeżeli iloraz Q w ciągu geometrycznym jest ujemny, to wtedy będziemy na przemian dostawali liczby dodatnie ujemne, dodatnie ujemne. No zobaczmy. 5 razy minus 3 to będzie minus 15. Teraz minus 15 razy znowu minus 3. To będzie liczba dodatnia, bo iloczyn dwóch liczb ujemnych jest dodatni. 15 razy 3 to 45. I znowu 45 razy... Minus 3 da nam coś ujemnego, 40 razy 320, czyli tu będziemy mieli minus 135 itd. Moglibyśmy w ten sposób wypisywać kolejne wyrazy tego naprzemiennego ciągu geometrycznego, w którym na przemian występuje liczba dodatnia, ujemna, dodatnia, ujemna itd. W ciągu geometrycznym z przykładu pierwszego mieliśmy same liczby dodatnie. Co więcej, Ten ciąg geometryczny, który tutaj otrzymaliśmy, był ciągiem geometrycznym rosnącym, ponieważ każda kolejna liczba była dwa razy większa od poprzedniej, a w przykładzie drugim takiej sytuacji nie ma. Ten ciąg nie jest ani rosnący, ani malejący, a co więcej, wiąże się z nim pewne niebezpieczeństwo, o którym powiemy sobie za chwilę, ale zanim to, to jeszcze sobie powiedzmy, kiedy otrzymamy ciąg geometryczny malejący. No tu widzimy ilorazku dodatni ciąg rosnący. Tutaj Q ujemne, ciąg ani nierosnący, ani nie malejący, no to kiedy otrzymamy ciąg malejący? Spójrzmy sobie na przykład trzeci i weźmy w tym przykładzie na przykład pierwszy wyraz ciągu geometrycznego równy 12, no i taki iloraz Q sobie dobierzemy, żeby ciąg był malejący. Powiedzmy, żeby drugi wyraz był równy 6, no to jakie musi być Q? Przez co tu musimy pomnożyć 12, żeby otrzymać 6? No oczywiście przez... jedną drugą. 12 razy jedna druga to będzie 6. No i w ten sposób otrzymamy ciąg geometryczny malejący. 6 razy jedna druga to będzie 3. No i tak dalej. 3 razy jedna druga to będą 3 drugie. 3 drugie razy jedna druga to będą 3 czwarte. I tak dalej, i tak dalej. Otrzymujemy ciąg malejący, który maleje do jakiej liczby? No oczywiście do zera. Będziemy zawsze otrzymywali liczbę 2 razy mniejszą, 2 razy mniejszą. coraz mniejsze ułamki, które będą zbliżały się do zera i cały ciąg będzie malejący. Zatem kiedy mamy ciąg geometryczny malejący? A no wtedy, gdy iloraz Q jest liczbą z przedziału 0,1. Jest ułamkiem z przedziału 0,1. Wtedy otrzymujemy ciąg geometryczny malejący. Z takim ciągiem wiąże się pewna taka ciekawostka. Mianowicie, bardzo łatwo jest obliczyć sumę takiego ciągu geometrycznego, który jest malejący. I mamy na to... dosyć prosty wzór. Mianowicie, gdybym chciał obliczyć, ile to jest 12 plus 6 plus 3 plus 3 drugie plus 3 czwarte i taką nieskończoną sumę, wszystkie wyrazy tego ciągu geometrycznego chciałbym zsumować i obliczyć, ile taka suma jest równa, no to ona jest równa pierwszemu wyrazowi, czyli a1, czyli w naszym przypadku 12, podzielonemu przez 1 minus... iloraz ciągu geometrycznego Q, które w tym przypadku jest równe 1 druga. 1 minus 1 druga to się równa 12 podzielić 1 minus 1 druga to jest 1 druga, czyli mamy 12 razy 2, czyli 20. 24. Zatem taka nieskończona suma tego malejącego ciągu geometrycznego jest równa 24. Można to bardzo łatwo zobrazować na rysunku, gdybyśmy sobie na przykład narysowali kwadrat o polu właśnie 24 i zamalowali na początku połówkę tego kwadratu, czyli wzięli pole, które jest równe 12. To jest ta nasza pierwsza liczba. Druga liczba naszego ciągu geometrycznego jest równa 6. No i jest tu. 2 razy mniejsza od tej liczby, czyli teraz już bierzemy sobie ćwiartkę naszego pola. To pole jest równe 6. Kolejny wyraz jest równy 3. No to dodajemy znowu obszar 2 razy mniejsze od tego, czyli znowu połówkę ćwiartki, czyli 1 ósmą. Tutaj będziemy mieli 3. Następny wyraz to jest 3 drugie, czyli 1,5. No to znowu bierzemy sobie kwadracik, który ma pole 1,5, no i tak dalej. 3 czwarte, znowu połówkę tego, co zostało, itd., itd. Jak będziemy sobie dodawali kolejne liczby takiego ciągu geometrycznego, które symbolizują kolejne pola tych obszarów, które są w tym przypadku dwa razy mniejsze od poprzedniego, no to w końcu zapełnimy cały ten kwadrat, tutaj wypełnimy ten narożniczek tymi malutkimi ułamkami, które tam będą się wlekuć w nieskończoność w tym ciągu geometrycznym i otrzymamy całe pole równe 24. Ta informacja, którą tutaj podałem, jest taka trochę na wyrost, nie z poziomu podstawowego. Na poziomie podstawowym się takimi rzeczami w tej chwili nie zajmujemy, ale warto wiedzieć, jak wygląda sytuacja właśnie z takimi malejącymi ciągami geometrycznymi, ponieważ nie jest to wcale trudne, takie ciekawostkowe, więc w ramach dygresji pozwoliłem sobie to powiedzieć. Wróćmy teraz może z powrotem na Ziemię i przećliczmy rzecz naprawdę... istotną i ważną, która bardzo często pojawia się w zadaniach, a mianowicie taką sytuację to będzie nasz przykład czwarty, w której mamy podane dwa jakieś wyrazy ciągu geometrycznego i nie jest to pierwszy wyraz ciągu geometrycznego. Na przykład weźmy sobie a5 równe, niech będzie 10, no i weźmy sobie może dziewiąty wyraz ciągu geometrycznego, a9 równe, no ile, niech będzie 160 na przykład. I polecenie jest takie, żeby obliczyć drugi wyraz tego ciągu, czyli A2. Jak się zabrać do rozwiązywania takiego zadania? Nie znamy przecież tutaj ani pierwszego wyrazu, ani ilorazu ciągu geometrycznego Q. Ale znamy dwa jakieś konkretne wyrazy tego ciągu i z nich możemy sobie wykombinować, ile to Q jest równe, a jak już będziemy znali Q, no to wtedy sobie bez problemu wyliczymy przykład A4, A6, sąsiednie wyrazy dla A5. I tak możemy dojść do A1. Zobaczmy przede wszystkim, jak wyliczyć Q znając A5 i A9. Możemy to zrobić w ten sposób, że wypiszemy sobie na ściąg geometryczny pierwszy wyraz, jego nie znamy, drugi wyraz, nie znamy, trzeci wyraz, nie znamy, czwarty wyraz, nie znamy, ale znamy piąty. Piąty jest równy 10. Potem znowu, szóstego nie znamy, siódmego nie znamy, ósmego nie znamy, ale znamy dziewiąty. 9 jest równy 160. Potem kolejnych wyrazów nie znamy, ale one nas nie obchodzą w tym momencie, ponieważ znamy te dwa wyrazy ciągu geometrycznego i co możemy z nich wywnioskować? Ano, jeśli ten wyraz, 5, pomnożymy przez nasze q, którego jeszcze nie znamy, to otrzymamy wyraz 6. Jeśli wyraz 6 pomnożymy przez q, to otrzymamy wyraz 7. Wyraz 7 pomnożony przez q da nam wyraz 8, a wyraz 8 pomnożony przez q Q da nam wyraz dziewiąty. Ile razy musimy pomnożyć dziesiątkę przez Q, żeby otrzymać 160? No oczywiście 4 razy. Moglibyśmy to zapisać tak. A5 razy Q w jakiej potędze? No w potędze czwartej. To jest to samo, co pomnożenie A5 4 razy przez Q ma dać nam A9, czyli 160. Na razie napiszę tak, żebyśmy zobaczyli, że ten numerek ciągu A5 pomnożony przez Q w potędze czwartej ma dać nam a9, czyli 5 plus 4 równa się 9. Zawsze taka zasada obowiązuje przy wyliczaniu konkretnych wyrazów ciągu geometrycznego, podobnie jak to miało miejsce w tym naszym przykładzie pierwszym. Tutaj znowu 1 plus 99 miało dać nam 100. Suma tych indeksów daje ten indeks i tak samo w tym przykładzie, żeby sprawa była. z piątego wyrazu dostać się do dziewiątego, no to musimy dodać cztery. Pięć plus cztery da nam dziewięć. No i w ten sposób napiszemy sobie, otrzymamy równanie prawdziwe. No to podstawmy i obliczmy, ile to Q jest równe z tego równania. A pięć jest równe z tego równania. Równe 10, czyli podstawiamy 10 razy Q do czwartej, równa się A9, czyli 160. Dzielimy obustronnie to równanie przez 10 i otrzymujemy po prawej stronie Q do czwartej, a po prawej 160 na 10, czyli 16. No i teraz możemy od razu wyciągnąć pierwiastek czwartego stopnia z tego równania i otrzymamy po lewej stronie Q, a po prawej stronie pierwiastek czwartego stopnia z 16, to będzie 2. No i fajnie, wyliczyliśmy sobie, ile to Q jest równe. Podkreślimy sobie nawet, Q jest równe 2. No i znając już Q równe 2, możemy sobie wyliczyć, ile jest równe A2. No to policzmy. W taki sam sposób, jak tutaj, układamy równanie z A2, że A2 razy Q, w jakiej potędze, na razie nie wiemy, ma dać nam, no i tutaj co wolimy. Możemy sobie wpisać A5 albo A9. Wpiszmy a5, bo jest to trochę mniejsza liczba, będzie łatwiej liczyć. To się równa a5. No to do której potęgi? Trzeba tu podnieść q, żeby a2 pomnożone przez q w tej potędze dało nam a5. No oczywiście trójkę. q w potędze trzeciej. Drugi wyraz trzeba trzy razy pomnożyć przez q, żeby dostać a5. No i to jest poprawne równanie, które teraz rozwiążemy. Podstawmy sobie pod q to, co wiemy. Czyli mamy a2 razy, i zamiast q napiszmy 2, 2 w potędze trzeciej, równa się a5 i a5 było równe 10. Czyli mamy a2 razy 2 do trzeciej to jest 8, równa się 10, czyli a2 jest równe 10 podzielić na 8, czyli 10 ósmych. Możemy to jeszcze uprościć, skrócić przez 2, to będzie 5 czwartych. No i to jest odpowiedź do naszego zadania. Tak myślicie, prawda? Że to jest już koniec rozwiązania i to jest dobra odpowiedź. Jeśli tak, no to niestety muszę Was zmartwić. Niestety nie. Zapomnieliśmy tutaj o jednej ważnej rzeczy. To jest dobre rozwiązanie do tego zadania, ale nie jedyne. Mianowicie, w tym miejscu, w którym wyliczaliśmy sobie Q, tu było równanie Q do czwartej równa się 16, wyliczyliśmy, że Q jest równe 2 i to jest dobre rozwiązanie, ale nie jedyne. Nie tylko dwójka. podniesiona do potęgi 4 da 16. Jeszcze to równanie ma drugie rozwiązanie, q równe minus 2. Minus 2 także podniesiona do potęgi 4 da 16 i to jest również dobry iloraz q, który pasuje do tego zadania. Dla niego również musimy znaleźć rozwiązanie. To jest jedno dobre rozwiązanie. a2 może być równe 5 czwartych, o ile q jest równe 2, ale a2 może być również równe minus 5 czwartych, jeżeli q jest równe 2. Q jest równe minus 2. Sprawdźmy, czy rzeczywiście. Układamy takie samo równanie dla tego drugiego Q, które również jest dobrym rozwiązaniem tego równania. Czyli napiszmy sobie A2 razy, od razu napiszę Q do trzeciej, które w tym przypadku jest równe minus 2, czyli minus 2 w potędze trzeciej, to się równa A5, czyli 10, czyli mamy A2 razy minus 2 do trzeciej, to będzie minus 8 równa się 10. No i dalej tak samo, a2 równa się 10 podzielić na minus 8, to będzie minus 10 ósmych. Możemy jeszcze skrócić, podobnie tak jak w tym przypadku, czyli napisać, że a2 równa się minus 5 czwartych. Czyli otrzymaliśmy bardzo podobny wynik, ale jednak inny. Tutaj 5 czwartych, tu minus 5 czwartych, dwa różne ciągi możemy otrzymać w tym zadaniu. Ta informacja, że piąty wyraz jest równy 10, a dziewiąty jest równy 160, nie definiuje nam jednoznacznie tego ciągu geometrycznego. Istnieją dwa ciągi geometryczne, które mają piąty wyraz równy 10, a dziewiąty równy 160. No i my możemy sobie nawet teraz wypisać te dwa ciągi geometryczne, czyli uzupełnić te znaki zapytania, które ja tutaj wypisałem, przewinę nieco niżej i pod naszymi rozwiązaniami wypiszę te dwa ciągi. Zaczniemy od środka, czyli od piątego wyrazu, żeby nie zapomnieć, ile on był równy. Piąty wyraz był równy 10, czyli tu mamy dziesiątkę, a teraz po obu stronach wypiszemy sobie kolejne wyrazy ciągu geometrycznego. Tu był piąty, czwarty, trzeci, drugi. Wyliczyliśmy, że jest równy 5 czwartych. No to ile będzie równy pierwszy wyraz tego ciągu geometrycznego? No, będzie jeszcze dwa razy mniejszy. Czyli 5 czwartych podzielić na 2 to będzie 5 ósmych. No i rzeczywiście, jeżeli teraz zastosujemy tutaj ten nasz iloraz Q, który tu wyliczyliśmy, on był równy 2, w pierwszym przykładzie w drugim był równy minus 2, czyli napiszę sobie, że tutaj mnożymy przez 2, to otrzymujemy nasz wyraz drugi, a 2 równy 5 czwartych. 5 czwartych. Znowu, pomnożone przez 2 da nam wyraz trzeci, który będzie równy 5 drugich. 5 drugich pomnożone przez 2 da nam równo 5. 5 pomnożone przez 2 da nam 10. Zgodziło się, to dobrze. No i dalej tak samo. Razy 2 otrzymamy 20. Znowu razy 2, 40. Piąty, szósty, siódmy wyraz. No to teraz ósmy. 40 razy 2, 80. I dziewiąty, 80 razy 2, 160. Dokładnie tak, jak było w treści naszego zadania. To jest pierwszy ciąg geometryczny, który spełnia nasze założenia. Czyli piąty wyraz A5 jest równy 10 i dziewiąty wyraz jest równy 160. A9 równa się 160. Ale jest jeszcze druga opcja dla A2 równego minus 5 czwartych i ku ujemnego. Może wypiszmy sobie, że to jest rozwiązanie dla... a2 równego 5 czwartych i q w tym przypadku jest równe 2. A teraz wypiszemy sobie ten drugi ciąg geometryczny, który również spełnia założenia naszego zadania, w którym a2 jest ujemne, jest równe minus 5 czwartych. q jest także ujemne, q jest równe minus 2. No i jak on wygląda? Wygląda bardzo podobnie do tego ciągu, który sobie tu wypisaliśmy, tylko te wyrazy są na przemian. Dodatnie i ujemne. Pierwszy wyraz będzie równy 5 ósmych, tak samo jak tutaj. 5 ósmych, a potem będzie na zmianę. Minus 5 czwartych, tutaj tak samo. 5 drugich, minus 5, dalej 10, minus 20, 40, minus 80 i znowu 160. Potem byłaby liczba ujemna, dodatnia i tak na zmianę. No i to jest właśnie to niebezpieczeństwo, o którym wspominałem, które czyha na nas z ujemnymi ilorazami w ciągu geometrycznym. Mianowicie, że w takim zadaniu jak to czasami zdarzają się dwa rozwiązania. Musimy na to bardzo uważać, czy przypadkiem nie przegapimy ujemnego rozwiązania. Czasami w zadaniach jest zaznaczone, że ciąg geometryczny, który mamy otrzymać, jest rosnący albo malejący i wtedy możemy się spodziewać Q dodatniego. Natomiast jeżeli nie ma takiego założenia, że ciąg geometryczny ma być rosnący, no to możemy się spodziewać, że dobrym rozwiązaniem będzie również ciąg naprzemienny z liczbami naprzemian dodatnimi i ujemnymi, tak jak miało to miejsce w tym przykładzie. No dobrze, no to mamy już za sobą to, co najtrudniejsze. Wiemy, że zadania z ciągu geometrycznego potrafią mieć dwa rozwiązania i no to musimy bardzo uważać, żeby nie wpaść w taką pułapkę i nie zapomnieć o rozwiązaniu dla Q ujemnego. No a teraz możemy przystąpić do, przejść do części dalszej, trochę przyjemniejszej i nieco łatwiejszej, a mianowicie powiemy sobie jeszcze o jednym takim bardzo ważnym fakcie. Weźmy sobie na przykład, niech to będzie nasz przykład piąty, mam nadzieję, że ten poprzedni był czwarty i zachowamy dobrą numerację. Mianowicie teraz chciałbym powiedzieć o czymś takim, że jeżeli mamy dane trzy kolejne wyrazy ciągu geometrycznego, na razie napiszę ogólnie, niech to będą trzy kolejne wyrazy x, y. z, niech one tworzą ciąg geometryczny, to wtedy dla takich trzech kolejnych wyrazów ciągu geometrycznego zachodzi pewna bardzo sympatyczna zależność. Mianowicie wynika z tego, że środkowy wyraz takiego ciągu geometrycznego, czyli w naszym przypadku y, podniesiony do kwadratu, jest równy iloczynowi liczb sąsiednich, czyli w tym przypadku x razy z. Jest to niezwykle przyjazna, przyjemna i użyteczna zależność, użyteczny wzór, który bardzo często się przydaje właśnie w zadaniach, gdy mamy trzy kolejne wyrazy ciągu geometrycznego, a taka sytuacja pojawia się niezwykle często. Na przykład, gdybyśmy mieli zadanie, no to weźmy przykład szósty dla odróżnienia, w którym byśmy mieli pierwszy wyraz ciągu geometrycznego równy 2, drugi wyraz równy x, a trzeci wyraz niech będzie równy 3. I byśmy powiedzieli... mieli powiedziane, że te wyrazy tworzą ciąg geometryczny i polecenie jest, żeby obliczyć, ile jest równy x. No to jak my to możemy zrobić? Najłatwiej jest skorzystać z tego wzoru, mianowicie napisać, że środkowa liczba, czyli w tym przypadku x, podniesiona do kwadratu, musi być równa iloczynowi liczb sąsiednich, czyli 2 razy 3. No i praktycznie mamy gotową odpowiedź do tego zadania. x kwadrat jest równe 6, czyli x jest równe pierwiastek z 6, w związku z czym koniec. mam odpowiedź do zadania. A właśnie, że nie. Jeśli znowu tak pomyśleliście, że to jest koniec, no to znowu was wpuściłem w maliny. Mianowicie, to jest prawie koniec. To jest dobre rozwiązanie, ale nie jedyne, ponieważ równanie kwadratowe, jak dobrze wiemy, może mieć dwa rozwiązania. x również może być... być równy w tym przypadku minus pierwiastek z 6. Czyli znowu mamy dwa rozwiązania do tego zadania i ten ciąg geometryczny, który mamy tutaj wypisany, może być albo rosnący, albo taki naprzemienny. Raz mieć wyraz dodatni, raz ujemny. Zobaczmy, jak to wygląda, jeśli x jest równe np. pierwiastek z 6. Czyli dla x równego pierwiastek z 6 będziemy mieli taką sytuację, że pierwszy wyraz jest równy 2, Drugi wyraz jest równy pierwiastek z 6. Trzeci wyraz jest równy 3. Czwarty wyraz... No, dobre pytanie. Ile jest równy czwarty wyraz tego ciągu? Musielibyśmy obliczyć Q, żeby to wiedzieć. Ile jest równe Q? Przez ile trzeba pomnożyć 2, żeby dostać pierwiastek z 6? No, nie tak trudno to znowu odgadnąć. Mianowicie trzeba pomnożyć przez pierwiastek z 6 na 2. Wtedy dwójki się skrócą i otrzymamy po prostu pierwiastek z 6. Zobaczmy, czy to mnożenie... zadziała w tym momencie. Czy rzeczywiście pierwiastek z 6 pomnożony przez pierwiastek z 6 na 2 da nam 3? No pierwiastek z 6 razy pierwiastek z 6 to jest 6, na 2 rzeczywiście 3, czyli działa ten nasz iloraz Q. Dobrze go w tym miejscu wyliczyliśmy. Jest równy pierwiastek z 6 na 2, czyli jeżeli teraz 3 znowu pomnożymy przez to stałe Q, to otrzymamy 3 pierwiastki z 6. na 2. No niestety, taki jest czwarty wyraz tego ciągu geometrycznego, nie za ładny, no ale nic na to nie poradzimy, kolejny wyraz byłby ładniejszy. Bo gdybyśmy pomnożyli znowu przez pierwiastek z 6 na 2, to pierwiastki z 6 by dały nam 6, czyli mielibyśmy w liczniku 3 razy 6, a w mianowniku byłoby 2 razy 2, czyli 4. No i już lepsza liczba, można byłoby ją skrócić, nie będę w to teraz wchodził, no, moglibyśmy w taki sposób wyliczać kolejne wyrazy tego ciągu geometrycznego. Chciałbym teraz jeszcze wypisać przypadek dla x równego minus pierwiastek z 6. Wtedy również pierwszy wyraz byłby równy 2, trzeci byłby 3, tak jak to było w naszej sytuacji początkowej w treści zadania, no a ten środkowy między 2 a 3 byłby równy minus pierwiastek z 6. To jest nasz x, a czwarty wyraz w tym przypadku byłby równy minus. 3 pierwiastki z 6 na 2, ponieważ iloraz Q dla tego drugiego ciągu geometrycznego byłby równy minus pierwiastek z 6 na 2. Taki sam jak ten, tylko ujemny. No i znowu, to jest zadanie, wydawałoby się banalne, w którym mamy do wyliczenia x, na który mamy wzór. Wzór na środkowy wyraz mamy dany, także sobie tutaj bez trudu rozwiązujemy to równanie, ale nie możemy zapomnieć o tym, że równanie kwadratowe może mieć dwa rozwiązania. Tutaj mamy dwa rozwiązania, x może być dodatni lub ujemny i nie wolno nam o tym zapomnieć. Bo jeśli na jakimś egzaminie wypiszemy tylko jedno rozwiązanie, a będą dwa możliwe rozwiązania, no to wtedy dostaniemy połowę punktów, jak nie zero. No dobra, no to przejdźmy może jeszcze do kolejnego przykładu. Zróbmy sobie jeszcze jeden przykład na tę zależność. Albo zanim zrobimy siódmy przykład, to jeszcze spójrzmy może na ten ciąg nasz poprzedni. Ten, w którym również były dwa rozwiązania. Mianowicie ten, w którym piąty wyraz był równy 10, a dziewiąty był równy 160. i były wyrazy na przemian dodatnie i ujemne. Weźmy sobie jakieś trzy dowolne wyrazy tego ciągu, który tutaj już mamy tak ładnie wypisany. Może weźmy sobie te trzy wyrazy tego ciągu geometrycznego i sprawdźmy, czy faktycznie dla tych trzech kolejnych wyrazów tego ciągu geometrycznego zachodzi ta zależność. Czy rzeczywiście środkowy wyraz podniesiony do kwadratu jest równy iloczynowi wyrazów sąsiednich? Tutaj wygląda sytuacja na taką trochę... Bardziej paskudną, ponieważ mamy ułamki, no to zobaczymy, czy się zgodzi. Najpierw policzmy kwadrat wyrazu środkowego. 5 drugich do kwadratu to się równa 5 do kwadratu 25, 2 do kwadratu 4. A ile jest równy iloczyn liczb sąsiednich? Policzmy. Minus 5 czwartych razy minus 5. Iloczyn dwóch liczb ujemnych daję liczbę dodatnią. 5 razy 5, 25. Na dole 4. 25 czwarte, tyle samo tutaj co kwadrat środkowej liczby. Czyli widzimy, że ten nasz wzór działa i możemy go spokojnie stosować. No i teraz, gdy już się w tym upewniliśmy, zobaczyliśmy na drugim już przykładzie, że on działa dobrze i w miarę szybko, to może przyśledźmy sobie taki przykład, nasz przykład siódmy. Weźmy sobie na przykład liczby takie. Pierwszy wyraz ciągu geometrycznego niech będzie równy x plus 1. Drugi wyraz niech będzie równy... 2x, a trzeci może niech będzie równy x-1. No i jest polecenie znajdź wszystkie liczby x, dla których te trzy kolejne liczby tworzą ciąg gorszy. Jak my to robimy? W tym zadaniu to już nie ma wyjścia. Musimy się posłużyć naszym wzorem dla trzech kolejnych wyrazów ciągu geometrycznego i napisać, że kwadrat środkowego, czyli 2x², musi być równy iloczynowi wyrazów skrajnych, czyli x plus 1 razy x minus 1. I tylko wtedy, gdy zachodzi to równanie, to ten ciąg będzie geometryczny. No to policzmy. Policzmy, jaki może być x, czyli rozwiążemy to równanie. 2x² to będzie 4x², a po prawej stronie możemy zastosować wzór skróconego mnożenia na iloczyn sumy i różnicy dwóch liczb. To będzie x²-1², czyli minus 1. x² możemy przenieść na jedną stronę, czyli będziemy mieli 3x², równa się po prawej stronie, zostaje minus 1. Podzielmy sobie jeszcze to równanie stronami przez 3 i otrzymamy, że x²-1². x kwadrat musi być równe minus 1 trzecia. No i co? Jakie są rozwiązania takiego równania kwadratowego? Nie ma żadnych. Żadna liczba rzeczywista podniesiona do kwadratu nie da nam liczby ujemnej. x kwadrat nie może być ujemny, czyli to równanie nie ma rozwiązań. Równanie jest sprzedczne, czyli nie istnieje taki x, dla którego te trzy liczby tworzą ciąg geometryczny. I w tym zadaniu taką trzeba byłoby udzielić odpowiedź, że nie istnieje taki x. Te trzy liczby nie mogą tworzyć ciągu geometrycznego i taka sytuacja też może się zdarzyć. Trzeba mieć tego świadomość, że z takim przykładem również możemy się spotkać i również trzeba być czujnym. Równanie kwadratowe może nie mieć rozwiązań, tak jak w tym przypadku nie ma żadnego rozwiązania, może mieć jedno rozwiązanie i jak się przekonaliśmy, może mieć dwa rozwiązania. Na te dwa rozwiązania też musicie bardzo uważać, bo bardzo łatwo zapomnieć, tak jak sobie to pokazaliśmy w przykładach poprzednich, o rozwiązaniu ujemnym. Na sam koniec może jeszcze powiem o jednej rzeczy związanej z ciągiem geometrycznym, a mianowicie z sumowaniem wyrazów ciągu geometrycznego ze skończonymi sumami. Już pokazaliśmy sobie wcześniej na przykładzie tym z kwadratem, że jeżeli mamy iloraz Q z przedziału 0,1 jest ułamkiem, ciąg geometryczny jest malejący, to taką sumę możemy dosyć łatwo policzyć. I pokazałem wzór na policzenie tej sumy, nawet na obrazku sobie policzyliśmy, wtedy to pole wyszło równe 24, czyli suma całego takiego ciągu geometrycznego była równa 24. A teraz sobie pokażemy, jak policzyć sumy skończone ciągów geometrycznych, czyli kilku pierwszych, na przykład pierwszych 10 liczb ciągu geometrycznego, w przypadku, gdy Q jest dowolne. Nie musi być ułamkiem z przedziału 0,1. Na przykład gdybyśmy sobie wzięli Q równe 2 i na przykład A1 równe niech będzie 3. No to wypiszmy sobie taki ciąg. Umiemy już to zrobić bez trudu. 3 razy 2 to 6, razy 2 to 12, 24, 48 itd. Ja wypisałem tutaj pierwsze 5 wyrazów tego ciągu, a powiedzmy, że polecenie będzie takie. żeby znaleźć S10, czyli sumę pierwszych dziesięciu wyrazów takiego ciągu geometrycznego. Gdybym dał polecenie, że znajdź sumę wszystkich wyrazów tego ciągu geometrycznego, no to jaka byłaby odpowiedź? Oczywiście nieskończoność. Te liczby są coraz większe, jest ich nieskończenie wiele. Jakbyśmy dodawali w nieskończoność wszystkie wyrazy tego ciągu geometrycznego, to nasza suma rosłaby do nieskończoności. Jeżeli Q nie jest ułamkiem z przydziału 0,1, to suma nieskończona ciągu geometrycznego zawsze będzie nieskończonością. A jeżeli q jest większe od 1, to możemy policzyć zawsze sumę skończoną. To na pewno będzie liczba skończona, ponieważ dodajemy skończoną liczbę wyrazów tego ciągu, w tym przypadku 10 wyrazów ciągu. No i policzmy to s10. Zobaczmy, jak to się liczy. Żeby obliczyć sumę iluś pierwszych wyrazów ciągu geometrycznego, to stosujemy na to sprawdzony wzór. Warto go zapamiętać albo sprawdzać sobie w tablicach matematycznych, jak on wygląda, ponieważ jeżeli go nie znamy, nie pamiętamy, to stosunkowo trudno jest go wyprowadzić. Lepiej go sobie spisać gdzieś i przypomnieć w razie potrzeby, jeżeli rzeczywiście trzeba wyliczyć taką sumę. No i jak on wygląda? Wygląda on w ten sposób, że S10 to się równa A1, pierwszy wyraz ciągu geometrycznego, razy ułamek. Ułamek jest taki, że w liczniku ma wyrażenie 1 minus Q. iloraz ciągu geometrycznego podniesiony do potęgi dziesiątej, to jest potęga równa liczbie wyrazów, które sumujemy. S10 to potęga dziesiąta, a gdyby było S100, czyli suma 101 wyrazów ciągu geometrycznego, to byłoby Q do setnej. No i taki licznik... Dzielimy przez 1 minus Q. No dobra, no to policzmy. Ile w naszym przypadku jest równe S10? Podstawiamy. Pod A1 3, dalej mamy 1 minus Q jest równe 2, czyli 2 do dziesiątej. Podzielić na 1 minus Q, czyli 1 minus 2, to się równa 3 razy 1 minus 2 do dziesiątej. Podzielić na 1 minus 2, to będzie minus 1. To się równa 3 razy... Minus 1, gdy dzielimy przez minus 1 jakieś wyrażenie, to znaki się zmieniają, czyli zamiast plus 1 będzie minus 1, a zamiast minus 2 do 10 plus 2 do 10, czyli to się równa, możemy napisać po ludzku, 3 razy i zamienić miejscami 2 do 10 minus 1 napisać. 2 do 10 minus 1. Moglibyśmy jeszcze wymnożyć przez 3, ale taka postać z wyciągniętą trójką przed nawias jest równie dobra. Niektórzy powiedzieliby nawet, że lepsza. Także tyle wynosi suma 10 pierwszych wyrazów tego ciągu geometrycznego. No i to już chyba byłoby w sumie na tyle, co chciałem opowiedzieć o ciągu geometrycznym. Pokazaliśmy sobie, jak sumować skończone ciągi geometryczne, jak obliczać sumę nieskończonych ciągów geometrycznych malejących, jak radzić sobie w sytuacji, gdy mamy podane trzy kolejne wyrazy ciągu geometrycznego. Zwróciłem uwagę na sytuację, sytuacją, w której otrzymujemy dwa rozwiązania. Jest to bardzo częsta sytuacja i tak jak powiedziałem, musimy o tym pamiętać, żeby nie wpaść w pułapkę i nie zapomnieć o jednym rozwiązaniu. Zwłaszcza w zadaniach otwartych, gdy nie mamy podanych odpowiedzi do zadania. Chyba, że o takim ciągu geometrycznym byłoby powiedziane, że jest to ciąg geometryczny rosnący. No to wtedy tylko w grę wchodziłoby x równe pierwiastek z 6, bo dla x równego minus pierwiastek z 6 ciąg geometryczny by nie był rosnący. Także, To warto pamiętać. Warto pamiętać na pewno ten wzór. On jest bardzo ważny, że jeżeli mamy dane trzy kolejne wyrazy ciągu geometrycznego, to środkowy podniesiony do kwadratu jest równy iloczynowi wyrazów skrajnych. No i przede wszystkim trzeba pamiętać definicję ciągu geometrycznego, wiedzieć jak on powstaje, że powstaje przez mnożenie, przez tą stałą liczbę Q kolejnych wyrazów i powstają w ten sposób wyrazy następne danego ciągu geometrycznego. Jeśli to wiemy, to wszystkie pozostałe rzeczy bez problemu sobie wyprowadzimy i rozwiążemy większość zadań ściągu geometrycznego, bazując w zasadzie tylko i wyłącznie na definicji. Tutaj tak samo. Były dwa rozwiązania. Trochę trudniejsze równanie, bo czwartego stopnia, ale zawsze, gdy podnosimy q do parzystej potęgi i wynik ma być dodatni, to może być rozwiązanie dodatnie lub ujemne. Liczba ujemna podniesiona do parzystej potęgi daje nam zawsze wynik dodatni. Także... To są te wszystkie rzeczy, o których musimy pamiętać, gdy rozwiązujemy zadanie z ciągu geometrycznego. Przede wszystkim definicja, sposób tworzenia ciągu geometrycznego, to jest najważniejsze, no i wzór na n-ty wyraz, który wyprowadzamy bardzo łatwo, mając dowolny wyraz ciągu geometrycznego i literkę Q. W tym pierwszym, przykładowo naszym ciągu geometrycznym, wiemy, że A4 jest równe 8. No to tak dla powtórzenia, gdybyśmy chcieli obliczyć na przykład A71, korzystając z tego, że a4 jest równe 8. Powiedzmy, że nie znamy a1. Wiemy tylko, że czwarty wyraz jest równy 8. Jak obliczyć 71? No i wiemy też, że q jest równe 2. To napisalibyśmy sobie, że 71 wyraz to jest wyraz czwarty razy q, w której potędze 4 plus ile da 71? No, nie takie łatwe to odejmowanie. Ile to będzie? 67 chyba, nie? 4 plus 67, 71. Czyli podstawiamy a4 równe 8 razy q, czyli 2 w potędze 67. I mamy policzony wyraz 71, nie znając a1. Czyli tak naprawdę ciąg geometryczny jest definiowany przez dowolny wyraz takiego ciągu geometrycznego i iloraz q. Bądź też przez dwa wyrazy ciągu geometrycznego, tak jak to sobie pokazaliśmy tutaj w przykładzie czwartym, że nie znaliśmy q, nie znaliśmy wyrazu pierwszego. ale znaliśmy dwa jakieś wyrazy ciągu geometrycznego. No i z tych dwóch wyrazów taką metodą, z tym naszym sprawdzonym równaniem na n-ty wyraz, wyliczyliśmy sobie szybko i sprawnie to q. Tylko warunek jest taki, że nie możemy zapomnieć o rozwiązaniu ujemnym. No i również musimy być czujni, czy takie równanie w ogóle ma rozwiązanie, bo gdyby tu było minus 16, to nie byłoby żadnego rozwiązania i taki ciąg geometryczny nie mógłby istnieć. Także na te rzeczy musimy uważać. Jeśli będziemy o tym pamiętać i będziemy znali definicję, to bez trudu, myślę, poradzimy sobie ze wszystkimi zadaniami ściągu geometrycznego. No to to byłoby na tyle w tym nagraniu. Życzę powodzenia w rozwiązywaniu zadań i do usłyszenia.

Niech w naszym przypadku ten iloraz będzie równy 2. Standardowo ten iloraz oznaczamy literką Q i za chwilkę to sobie zapiszemy. No i w ten sposób powstaje nam ciąg geometryczny. Pierwszy wyraz mnożymy przez Q i powstaje wyraz drugi. W tym przypadku to będzie 2. 1 razy 2 to 2. I dalej powstępujemy w taki sam sposób, aby właśnie ciąg liczb, który powstanie, był geometryczny. Czyli znowu mnożymy tą liczbę, drugi wyraz ciągu, znowu.

przez iloraz ciągu geometrycznego, czyli przez 2 w naszym przypadku, otrzymamy wyraz trzeci, równy 4. Teraz, żeby obliczyć wyraz czwarty, to znowu czwórkę mnożymy przez iloraz, czyli przez 2 i otrzymujemy wyraz czwarty 8. Teraz ósemkę znowu mnożymy przez 2, otrzymujemy 16. No i dalej tak samo. 16 razy 2, 32. I w ten sposób tworzymy sobie ciąg geometryczny. Pierwszy wyraz tego ciągu zazwyczaj oznaczamy literką A1, czyli ta jedynka to w naszym przypadku jest A1, a iloraz ciągu geometrycznego oznaczamy literką Q.

I te dwie liczby definiują nam ciąg geometryczny. Jeżeli byśmy mieli powiedziane właśnie, że pierwszy wyraz ciągu geometrycznego, czyli A1, jest równy 1, oraz Q, iloraz ciągu geometrycznego, jest równy 2, to na podstawie tych dwóch informacji jesteśmy sobie w stanie wyliczyć właśnie owc. W ten sposób każdy kolejny wyraz tego ciągu geometrycznego.

Oczywiście to jest drugi wyraz, jego standardowo oznaczamy literką A2. To jest trzeci, czyli oznaczamy go literką A3. Tutaj mamy wyraz czwarty, A4. To jest nasze A5.

To jest nasze A6. No i tak dalej moglibyśmy wypisywać. Zapiszmy sobie teraz te wszystkie kolejne wyrazy naszego ciągu geometrycznego w trochę inny sposób niż to zrobiliśmy w tym miejscu. Mianowicie, a1 zapiszę tak samo, bez zmian, że to jest 1, a2 w zasadzie też, chociaż zapiszę nie jako samo 2, ale jako ten iloczyn. 1 razy 2 to jest nasze a2, 1 razy 2. Natomiast a3 już nie zapiszę tego jako 4, tylko jako a1, czyli 1 razy 2, jeszcze raz razy 2, czyli 1 razy 2 w potężę drugiej.

No i tak samo a4 możemy zapisać jako... iloczyn pierwszego wyrazu, czyli 1 i 2, tym razem w potędze trzeciej. 2 do 3, 8. No i tak samo a5, to będzie 1 razy 2 w potędze czwartej i a6, 1 razy 2 w potędze piątej.

Dzięki takiemu zapisaniu naszego ciągu geometrycznego możemy odkryć, zauważyć pewną zależność. Mianowicie, że numerki wyrazów ciągu są ściśle związane z tymi potęgami naszego ilorazu Q, czyli w tym przypadku W przypadku dwójki zawsze potęga, do której podnosimy iloraz Q przy takim zapisywaniu kolejnych wyrazów ciągu geometrycznego jest o jeden mniejsza od numeru tego ciągu. Skoro tutaj był szósty wyraz ciągu, to potęgę mamy piątą.

Tu był piąty wyraz, to potęga czwarta. Czwarty wyraz potęga trzecia. Trzeci wyraz ciągu, no to potęga druga. Drugi wyraz ciągu geometrycznego to potęga pierwsza.

Jej tu się zwyczajowo nie pisze. Jeżeli mamy 2 do potęgi pierwszej, to to jest po prostu 2 i tej potęgi nikt tutaj nie pisze. No ale żeby pokazać tą zależność, że rzeczywiście zachodzi, to możemy ją sobie tutaj dopisać.

A co więcej, dla a1 możemy zapisać, że a1 to jest 1 razy q w potędze zerowej. 2 do zerowej to jest po prostu 1. 1 razy 1 to jest 1. Nic się nie zmienia, a nasza zależność została podtrzymana. No i widzimy, że te potęgi dwójki są zawsze o 1 mniejsze od numeru.

wyrazu ciągu. Czyli jaki z tego płynie wniosek? Z tego płynie dla nas wniosek taki, że wykorzystując tą zależność możemy sobie błyskawicznie policzyć, ile jest równe na przykład setny wyraz takiego ciągu, czyli A100. Jak to zrobić? No oczywiście wystarczy napisać, że A100 to jest A1, pierwszy wyraz, razy Q, w której potędze?

No o 1 niższej, skoro tu było 100, to 99. 1 plus 99 musi dać nam 100. Czyli co my tu mamy? A1 to jest 1, Q jest równe 2, czyli mamy 2 w potęży 99. Co jeszcze prościej możemy zapisać, że to jest samo. 2 w 99, ponieważ to mnożenie przez 1 akurat w tym przypadku nic nie zmienia. No i tak samo, gdybyśmy mieli jakiś inny wyraz ciągu do policzenia, na przykład A87, 87 wyraz tego ciągu geometrycznego, no to napiszemy, że to jest A1, czyli 1, razy Q, czyli razy 2, w potędze o 1 niższej, czyli w 86, czyli to jest po prostu 2 w potędze 86. Zatem wykorzystując tę zależność bardzo łatwo i szybko możemy wyliczać dowolne wyrazy ciągu geometrycznego i to jest tak naprawdę najważniejsze w ciągu geometrycznym, żeby wiedzieć jak on powstaje i umieć wykorzystać tę zależność. No i wiedzieć, że wystarczy znać pierwszy wyraz i iloraz ciągu geometrycznego, aby mieć zdefiniowany cały ciąg geometryczny i móc wyliczyć dowolny jego wyraz.

Co więcej, nawet znając nie pierwszy, a dowolny inny, wyraz ciągu geometrycznego oraz q. Również możemy sobie obliczyć cały ciąg geometryczny, to znaczy wyznaczyć każdy jego wyraz i to sobie za chwilkę pokażemy. Nim to jednak zrobię, to pokażę jeszcze jeden przykład, podobny do tego, ale różniący się tym, że il oraz q będzie liczbą ujemną.

I zobaczymy, co się wtedy stanie. To niech będzie nasz przykład pierwszy. Teraz weźmiemy sobie przykład drugi.

I w przykładzie drugim niech pierwszy wyraz będzie równy na przykład 5, a nasz il oraz q... niech będzie równy minus 3. Jeżeli iloraz Q w ciągu geometrycznym jest ujemny, to wtedy będziemy na przemian dostawali liczby dodatnie ujemne, dodatnie ujemne. No zobaczmy.

5 razy minus 3 to będzie minus 15. Teraz minus 15 razy znowu minus 3. To będzie liczba dodatnia, bo iloczyn dwóch liczb ujemnych jest dodatni. 15 razy 3 to 45. I znowu 45 razy... Minus 3 da nam coś ujemnego, 40 razy 320, czyli tu będziemy mieli minus 135 itd.

Moglibyśmy w ten sposób wypisywać kolejne wyrazy tego naprzemiennego ciągu geometrycznego, w którym na przemian występuje liczba dodatnia, ujemna, dodatnia, ujemna itd. W ciągu geometrycznym z przykładu pierwszego mieliśmy same liczby dodatnie. Co więcej, Ten ciąg geometryczny, który tutaj otrzymaliśmy, był ciągiem geometrycznym rosnącym, ponieważ każda kolejna liczba była dwa razy większa od poprzedniej, a w przykładzie drugim takiej sytuacji nie ma. Ten ciąg nie jest ani rosnący, ani malejący, a co więcej, wiąże się z nim pewne niebezpieczeństwo, o którym powiemy sobie za chwilę, ale zanim to, to jeszcze sobie powiedzmy, kiedy otrzymamy ciąg geometryczny malejący.

No tu widzimy ilorazku dodatni ciąg rosnący. Tutaj Q ujemne, ciąg ani nierosnący, ani nie malejący, no to kiedy otrzymamy ciąg malejący? Spójrzmy sobie na przykład trzeci i weźmy w tym przykładzie na przykład pierwszy wyraz ciągu geometrycznego równy 12, no i taki iloraz Q sobie dobierzemy, żeby ciąg był malejący.

Powiedzmy, żeby drugi wyraz był równy 6, no to jakie musi być Q? Przez co tu musimy pomnożyć 12, żeby otrzymać 6? No oczywiście przez...

jedną drugą. 12 razy jedna druga to będzie 6. No i w ten sposób otrzymamy ciąg geometryczny malejący. 6 razy jedna druga to będzie 3. No i tak dalej.

3 razy jedna druga to będą 3 drugie. 3 drugie razy jedna druga to będą 3 czwarte. I tak dalej, i tak dalej.

Otrzymujemy ciąg malejący, który maleje do jakiej liczby? No oczywiście do zera. Będziemy zawsze otrzymywali liczbę 2 razy mniejszą, 2 razy mniejszą.

coraz mniejsze ułamki, które będą zbliżały się do zera i cały ciąg będzie malejący. Zatem kiedy mamy ciąg geometryczny malejący? A no wtedy, gdy iloraz Q jest liczbą z przedziału 0,1.

Jest ułamkiem z przedziału 0,1. Wtedy otrzymujemy ciąg geometryczny malejący. Z takim ciągiem wiąże się pewna taka ciekawostka. Mianowicie, bardzo łatwo jest obliczyć sumę takiego ciągu geometrycznego, który jest malejący.

I mamy na to... dosyć prosty wzór. Mianowicie, gdybym chciał obliczyć, ile to jest 12 plus 6 plus 3 plus 3 drugie plus 3 czwarte i taką nieskończoną sumę, wszystkie wyrazy tego ciągu geometrycznego chciałbym zsumować i obliczyć, ile taka suma jest równa, no to ona jest równa pierwszemu wyrazowi, czyli a1, czyli w naszym przypadku 12, podzielonemu przez 1 minus...

iloraz ciągu geometrycznego Q, które w tym przypadku jest równe 1 druga. 1 minus 1 druga to się równa 12 podzielić 1 minus 1 druga to jest 1 druga, czyli mamy 12 razy 2, czyli 20. 24. Zatem taka nieskończona suma tego malejącego ciągu geometrycznego jest równa 24. Można to bardzo łatwo zobrazować na rysunku, gdybyśmy sobie na przykład narysowali kwadrat o polu właśnie 24 i zamalowali na początku połówkę tego kwadratu, czyli wzięli pole, które jest równe 12. To jest ta nasza pierwsza liczba. Druga liczba naszego ciągu geometrycznego jest równa 6. No i jest tu.

2 razy mniejsza od tej liczby, czyli teraz już bierzemy sobie ćwiartkę naszego pola. To pole jest równe 6. Kolejny wyraz jest równy 3. No to dodajemy znowu obszar 2 razy mniejsze od tego, czyli znowu połówkę ćwiartki, czyli 1 ósmą. Tutaj będziemy mieli 3. Następny wyraz to jest 3 drugie, czyli 1,5. No to znowu bierzemy sobie kwadracik, który ma pole 1,5, no i tak dalej.

3 czwarte, znowu połówkę tego, co zostało, itd., itd. Jak będziemy sobie dodawali kolejne liczby takiego ciągu geometrycznego, które symbolizują kolejne pola tych obszarów, które są w tym przypadku dwa razy mniejsze od poprzedniego, no to w końcu zapełnimy cały ten kwadrat, tutaj wypełnimy ten narożniczek tymi malutkimi ułamkami, które tam będą się wlekuć w nieskończoność w tym ciągu geometrycznym i otrzymamy całe pole równe 24. Ta informacja, którą tutaj podałem, jest taka trochę na wyrost, nie z poziomu podstawowego. Na poziomie podstawowym się takimi rzeczami w tej chwili nie zajmujemy, ale warto wiedzieć, jak wygląda sytuacja właśnie z takimi malejącymi ciągami geometrycznymi, ponieważ nie jest to wcale trudne, takie ciekawostkowe, więc w ramach dygresji pozwoliłem sobie to powiedzieć.

Wróćmy teraz może z powrotem na Ziemię i przećliczmy rzecz naprawdę... istotną i ważną, która bardzo często pojawia się w zadaniach, a mianowicie taką sytuację to będzie nasz przykład czwarty, w której mamy podane dwa jakieś wyrazy ciągu geometrycznego i nie jest to pierwszy wyraz ciągu geometrycznego. Na przykład weźmy sobie a5 równe, niech będzie 10, no i weźmy sobie może dziewiąty wyraz ciągu geometrycznego, a9 równe, no ile, niech będzie 160 na przykład. I polecenie jest takie, żeby obliczyć drugi wyraz tego ciągu, czyli A2. Jak się zabrać do rozwiązywania takiego zadania?

Nie znamy przecież tutaj ani pierwszego wyrazu, ani ilorazu ciągu geometrycznego Q. Ale znamy dwa jakieś konkretne wyrazy tego ciągu i z nich możemy sobie wykombinować, ile to Q jest równe, a jak już będziemy znali Q, no to wtedy sobie bez problemu wyliczymy przykład A4, A6, sąsiednie wyrazy dla A5. I tak możemy dojść do A1. Zobaczmy przede wszystkim, jak wyliczyć Q znając A5 i A9.

Możemy to zrobić w ten sposób, że wypiszemy sobie na ściąg geometryczny pierwszy wyraz, jego nie znamy, drugi wyraz, nie znamy, trzeci wyraz, nie znamy, czwarty wyraz, nie znamy, ale znamy piąty. Piąty jest równy 10. Potem znowu, szóstego nie znamy, siódmego nie znamy, ósmego nie znamy, ale znamy dziewiąty. 9 jest równy 160. Potem kolejnych wyrazów nie znamy, ale one nas nie obchodzą w tym momencie, ponieważ znamy te dwa wyrazy ciągu geometrycznego i co możemy z nich wywnioskować? Ano, jeśli ten wyraz, 5, pomnożymy przez nasze q, którego jeszcze nie znamy, to otrzymamy wyraz 6. Jeśli wyraz 6 pomnożymy przez q, to otrzymamy wyraz 7. Wyraz 7 pomnożony przez q da nam wyraz 8, a wyraz 8 pomnożony przez q Q da nam wyraz dziewiąty.

Ile razy musimy pomnożyć dziesiątkę przez Q, żeby otrzymać 160? No oczywiście 4 razy. Moglibyśmy to zapisać tak. A5 razy Q w jakiej potędze?

No w potędze czwartej. To jest to samo, co pomnożenie A5 4 razy przez Q ma dać nam A9, czyli 160. Na razie napiszę tak, żebyśmy zobaczyli, że ten numerek ciągu A5 pomnożony przez Q w potędze czwartej ma dać nam a9, czyli 5 plus 4 równa się 9. Zawsze taka zasada obowiązuje przy wyliczaniu konkretnych wyrazów ciągu geometrycznego, podobnie jak to miało miejsce w tym naszym przykładzie pierwszym. Tutaj znowu 1 plus 99 miało dać nam 100. Suma tych indeksów daje ten indeks i tak samo w tym przykładzie, żeby sprawa była. z piątego wyrazu dostać się do dziewiątego, no to musimy dodać cztery.

Pięć plus cztery da nam dziewięć. No i w ten sposób napiszemy sobie, otrzymamy równanie prawdziwe. No to podstawmy i obliczmy, ile to Q jest równe z tego równania.

A pięć jest równe z tego równania. Równe 10, czyli podstawiamy 10 razy Q do czwartej, równa się A9, czyli 160. Dzielimy obustronnie to równanie przez 10 i otrzymujemy po prawej stronie Q do czwartej, a po prawej 160 na 10, czyli 16. No i teraz możemy od razu wyciągnąć pierwiastek czwartego stopnia z tego równania i otrzymamy po lewej stronie Q, a po prawej stronie pierwiastek czwartego stopnia z 16, to będzie 2. No i fajnie, wyliczyliśmy sobie, ile to Q jest równe. Podkreślimy sobie nawet, Q jest równe 2. No i znając już Q równe 2, możemy sobie wyliczyć, ile jest równe A2.

No to policzmy. W taki sam sposób, jak tutaj, układamy równanie z A2, że A2 razy Q, w jakiej potędze, na razie nie wiemy, ma dać nam, no i tutaj co wolimy. Możemy sobie wpisać A5 albo A9.

Wpiszmy a5, bo jest to trochę mniejsza liczba, będzie łatwiej liczyć. To się równa a5. No to do której potęgi? Trzeba tu podnieść q, żeby a2 pomnożone przez q w tej potędze dało nam a5.

No oczywiście trójkę. q w potędze trzeciej. Drugi wyraz trzeba trzy razy pomnożyć przez q, żeby dostać a5. No i to jest poprawne równanie, które teraz rozwiążemy.

Podstawmy sobie pod q to, co wiemy. Czyli mamy a2 razy, i zamiast q napiszmy 2, 2 w potędze trzeciej, równa się a5 i a5 było równe 10. Czyli mamy a2 razy 2 do trzeciej to jest 8, równa się 10, czyli a2 jest równe 10 podzielić na 8, czyli 10 ósmych. Możemy to jeszcze uprościć, skrócić przez 2, to będzie 5 czwartych. No i to jest odpowiedź do naszego zadania.

Tak myślicie, prawda? Że to jest już koniec rozwiązania i to jest dobra odpowiedź. Jeśli tak, no to niestety muszę Was zmartwić. Niestety nie.

Zapomnieliśmy tutaj o jednej ważnej rzeczy. To jest dobre rozwiązanie do tego zadania, ale nie jedyne. Mianowicie, w tym miejscu, w którym wyliczaliśmy sobie Q, tu było równanie Q do czwartej równa się 16, wyliczyliśmy, że Q jest równe 2 i to jest dobre rozwiązanie, ale nie jedyne. Nie tylko dwójka.

podniesiona do potęgi 4 da 16. Jeszcze to równanie ma drugie rozwiązanie, q równe minus 2. Minus 2 także podniesiona do potęgi 4 da 16 i to jest również dobry iloraz q, który pasuje do tego zadania. Dla niego również musimy znaleźć rozwiązanie. To jest jedno dobre rozwiązanie.

a2 może być równe 5 czwartych, o ile q jest równe 2, ale a2 może być również równe minus 5 czwartych, jeżeli q jest równe 2. Q jest równe minus 2. Sprawdźmy, czy rzeczywiście. Układamy takie samo równanie dla tego drugiego Q, które również jest dobrym rozwiązaniem tego równania. Czyli napiszmy sobie A2 razy, od razu napiszę Q do trzeciej, które w tym przypadku jest równe minus 2, czyli minus 2 w potędze trzeciej, to się równa A5, czyli 10, czyli mamy A2 razy minus 2 do trzeciej, to będzie minus 8 równa się 10. No i dalej tak samo, a2 równa się 10 podzielić na minus 8, to będzie minus 10 ósmych.

Możemy jeszcze skrócić, podobnie tak jak w tym przypadku, czyli napisać, że a2 równa się minus 5 czwartych. Czyli otrzymaliśmy bardzo podobny wynik, ale jednak inny. Tutaj 5 czwartych, tu minus 5 czwartych, dwa różne ciągi możemy otrzymać w tym zadaniu.

Ta informacja, że piąty wyraz jest równy 10, a dziewiąty jest równy 160, nie definiuje nam jednoznacznie tego ciągu geometrycznego. Istnieją dwa ciągi geometryczne, które mają piąty wyraz równy 10, a dziewiąty równy 160. No i my możemy sobie nawet teraz wypisać te dwa ciągi geometryczne, czyli uzupełnić te znaki zapytania, które ja tutaj wypisałem, przewinę nieco niżej i pod naszymi rozwiązaniami wypiszę te dwa ciągi. Zaczniemy od środka, czyli od piątego wyrazu, żeby nie zapomnieć, ile on był równy. Piąty wyraz był równy 10, czyli tu mamy dziesiątkę, a teraz po obu stronach wypiszemy sobie kolejne wyrazy ciągu geometrycznego.

Tu był piąty, czwarty, trzeci, drugi. Wyliczyliśmy, że jest równy 5 czwartych. No to ile będzie równy pierwszy wyraz tego ciągu geometrycznego?

No, będzie jeszcze dwa razy mniejszy. Czyli 5 czwartych podzielić na 2 to będzie 5 ósmych. No i rzeczywiście, jeżeli teraz zastosujemy tutaj ten nasz iloraz Q, który tu wyliczyliśmy, on był równy 2, w pierwszym przykładzie w drugim był równy minus 2, czyli napiszę sobie, że tutaj mnożymy przez 2, to otrzymujemy nasz wyraz drugi, a 2 równy 5 czwartych.

5 czwartych. Znowu, pomnożone przez 2 da nam wyraz trzeci, który będzie równy 5 drugich. 5 drugich pomnożone przez 2 da nam równo 5. 5 pomnożone przez 2 da nam 10. Zgodziło się, to dobrze.

No i dalej tak samo. Razy 2 otrzymamy 20. Znowu razy 2, 40. Piąty, szósty, siódmy wyraz. No to teraz ósmy. 40 razy 2, 80. I dziewiąty, 80 razy 2, 160. Dokładnie tak, jak było w treści naszego zadania.

To jest pierwszy ciąg geometryczny, który spełnia nasze założenia. Czyli piąty wyraz A5 jest równy 10 i dziewiąty wyraz jest równy 160. A9 równa się 160. Ale jest jeszcze druga opcja dla A2 równego minus 5 czwartych i ku ujemnego. Może wypiszmy sobie, że to jest rozwiązanie dla...

a2 równego 5 czwartych i q w tym przypadku jest równe 2. A teraz wypiszemy sobie ten drugi ciąg geometryczny, który również spełnia założenia naszego zadania, w którym a2 jest ujemne, jest równe minus 5 czwartych. q jest także ujemne, q jest równe minus 2. No i jak on wygląda? Wygląda bardzo podobnie do tego ciągu, który sobie tu wypisaliśmy, tylko te wyrazy są na przemian. Dodatnie i ujemne. Pierwszy wyraz będzie równy 5 ósmych, tak samo jak tutaj.

5 ósmych, a potem będzie na zmianę. Minus 5 czwartych, tutaj tak samo. 5 drugich, minus 5, dalej 10, minus 20, 40, minus 80 i znowu 160. Potem byłaby liczba ujemna, dodatnia i tak na zmianę. No i to jest właśnie to niebezpieczeństwo, o którym wspominałem, które czyha na nas z ujemnymi ilorazami w ciągu geometrycznym. Mianowicie, że w takim zadaniu jak to czasami zdarzają się dwa rozwiązania.

Musimy na to bardzo uważać, czy przypadkiem nie przegapimy ujemnego rozwiązania. Czasami w zadaniach jest zaznaczone, że ciąg geometryczny, który mamy otrzymać, jest rosnący albo malejący i wtedy możemy się spodziewać Q dodatniego. Natomiast jeżeli nie ma takiego założenia, że ciąg geometryczny ma być rosnący, no to możemy się spodziewać, że dobrym rozwiązaniem będzie również ciąg naprzemienny z liczbami naprzemian dodatnimi i ujemnymi, tak jak miało to miejsce w tym przykładzie.

No dobrze, no to mamy już za sobą to, co najtrudniejsze. Wiemy, że zadania z ciągu geometrycznego potrafią mieć dwa rozwiązania i no to musimy bardzo uważać, żeby nie wpaść w taką pułapkę i nie zapomnieć o rozwiązaniu dla Q ujemnego. No a teraz możemy przystąpić do, przejść do części dalszej, trochę przyjemniejszej i nieco łatwiejszej, a mianowicie powiemy sobie jeszcze o jednym takim bardzo ważnym fakcie. Weźmy sobie na przykład, niech to będzie nasz przykład piąty, mam nadzieję, że ten poprzedni był czwarty i zachowamy dobrą numerację. Mianowicie teraz chciałbym powiedzieć o czymś takim, że jeżeli mamy dane trzy kolejne wyrazy ciągu geometrycznego, na razie napiszę ogólnie, niech to będą trzy kolejne wyrazy x, y.

z, niech one tworzą ciąg geometryczny, to wtedy dla takich trzech kolejnych wyrazów ciągu geometrycznego zachodzi pewna bardzo sympatyczna zależność. Mianowicie wynika z tego, że środkowy wyraz takiego ciągu geometrycznego, czyli w naszym przypadku y, podniesiony do kwadratu, jest równy iloczynowi liczb sąsiednich, czyli w tym przypadku x razy z. Jest to niezwykle przyjazna, przyjemna i użyteczna zależność, użyteczny wzór, który bardzo często się przydaje właśnie w zadaniach, gdy mamy trzy kolejne wyrazy ciągu geometrycznego, a taka sytuacja pojawia się niezwykle często.

Na przykład, gdybyśmy mieli zadanie, no to weźmy przykład szósty dla odróżnienia, w którym byśmy mieli pierwszy wyraz ciągu geometrycznego równy 2, drugi wyraz równy x, a trzeci wyraz niech będzie równy 3. I byśmy powiedzieli... mieli powiedziane, że te wyrazy tworzą ciąg geometryczny i polecenie jest, żeby obliczyć, ile jest równy x. No to jak my to możemy zrobić? Najłatwiej jest skorzystać z tego wzoru, mianowicie napisać, że środkowa liczba, czyli w tym przypadku x, podniesiona do kwadratu, musi być równa iloczynowi liczb sąsiednich, czyli 2 razy 3. No i praktycznie mamy gotową odpowiedź do tego zadania. x kwadrat jest równe 6, czyli x jest równe pierwiastek z 6, w związku z czym koniec.

mam odpowiedź do zadania. A właśnie, że nie. Jeśli znowu tak pomyśleliście, że to jest koniec, no to znowu was wpuściłem w maliny.

Mianowicie, to jest prawie koniec. To jest dobre rozwiązanie, ale nie jedyne, ponieważ równanie kwadratowe, jak dobrze wiemy, może mieć dwa rozwiązania. x również może być... być równy w tym przypadku minus pierwiastek z 6. Czyli znowu mamy dwa rozwiązania do tego zadania i ten ciąg geometryczny, który mamy tutaj wypisany, może być albo rosnący, albo taki naprzemienny. Raz mieć wyraz dodatni, raz ujemny.

Zobaczmy, jak to wygląda, jeśli x jest równe np. pierwiastek z 6. Czyli dla x równego pierwiastek z 6 będziemy mieli taką sytuację, że pierwszy wyraz jest równy 2, Drugi wyraz jest równy pierwiastek z 6. Trzeci wyraz jest równy 3. Czwarty wyraz... No, dobre pytanie.

Ile jest równy czwarty wyraz tego ciągu? Musielibyśmy obliczyć Q, żeby to wiedzieć. Ile jest równe Q? Przez ile trzeba pomnożyć 2, żeby dostać pierwiastek z 6?

No, nie tak trudno to znowu odgadnąć. Mianowicie trzeba pomnożyć przez pierwiastek z 6 na 2. Wtedy dwójki się skrócą i otrzymamy po prostu pierwiastek z 6. Zobaczmy, czy to mnożenie... zadziała w tym momencie.

Czy rzeczywiście pierwiastek z 6 pomnożony przez pierwiastek z 6 na 2 da nam 3? No pierwiastek z 6 razy pierwiastek z 6 to jest 6, na 2 rzeczywiście 3, czyli działa ten nasz iloraz Q. Dobrze go w tym miejscu wyliczyliśmy. Jest równy pierwiastek z 6 na 2, czyli jeżeli teraz 3 znowu pomnożymy przez to stałe Q, to otrzymamy 3 pierwiastki z 6. na 2. No niestety, taki jest czwarty wyraz tego ciągu geometrycznego, nie za ładny, no ale nic na to nie poradzimy, kolejny wyraz byłby ładniejszy. Bo gdybyśmy pomnożyli znowu przez pierwiastek z 6 na 2, to pierwiastki z 6 by dały nam 6, czyli mielibyśmy w liczniku 3 razy 6, a w mianowniku byłoby 2 razy 2, czyli 4. No i już lepsza liczba, można byłoby ją skrócić, nie będę w to teraz wchodził, no, moglibyśmy w taki sposób wyliczać kolejne wyrazy tego ciągu geometrycznego.

Chciałbym teraz jeszcze wypisać przypadek dla x równego minus pierwiastek z 6. Wtedy również pierwszy wyraz byłby równy 2, trzeci byłby 3, tak jak to było w naszej sytuacji początkowej w treści zadania, no a ten środkowy między 2 a 3 byłby równy minus pierwiastek z 6. To jest nasz x, a czwarty wyraz w tym przypadku byłby równy minus. 3 pierwiastki z 6 na 2, ponieważ iloraz Q dla tego drugiego ciągu geometrycznego byłby równy minus pierwiastek z 6 na 2. Taki sam jak ten, tylko ujemny. No i znowu, to jest zadanie, wydawałoby się banalne, w którym mamy do wyliczenia x, na który mamy wzór.

Wzór na środkowy wyraz mamy dany, także sobie tutaj bez trudu rozwiązujemy to równanie, ale nie możemy zapomnieć o tym, że równanie kwadratowe może mieć dwa rozwiązania. Tutaj mamy dwa rozwiązania, x może być dodatni lub ujemny i nie wolno nam o tym zapomnieć. Bo jeśli na jakimś egzaminie wypiszemy tylko jedno rozwiązanie, a będą dwa możliwe rozwiązania, no to wtedy dostaniemy połowę punktów, jak nie zero. No dobra, no to przejdźmy może jeszcze do kolejnego przykładu.

Zróbmy sobie jeszcze jeden przykład na tę zależność. Albo zanim zrobimy siódmy przykład, to jeszcze spójrzmy może na ten ciąg nasz poprzedni. Ten, w którym również były dwa rozwiązania. Mianowicie ten, w którym piąty wyraz był równy 10, a dziewiąty był równy 160. i były wyrazy na przemian dodatnie i ujemne.

Weźmy sobie jakieś trzy dowolne wyrazy tego ciągu, który tutaj już mamy tak ładnie wypisany. Może weźmy sobie te trzy wyrazy tego ciągu geometrycznego i sprawdźmy, czy faktycznie dla tych trzech kolejnych wyrazów tego ciągu geometrycznego zachodzi ta zależność. Czy rzeczywiście środkowy wyraz podniesiony do kwadratu jest równy iloczynowi wyrazów sąsiednich? Tutaj wygląda sytuacja na taką trochę... Bardziej paskudną, ponieważ mamy ułamki, no to zobaczymy, czy się zgodzi.

Najpierw policzmy kwadrat wyrazu środkowego. 5 drugich do kwadratu to się równa 5 do kwadratu 25, 2 do kwadratu 4. A ile jest równy iloczyn liczb sąsiednich? Policzmy. Minus 5 czwartych razy minus 5. Iloczyn dwóch liczb ujemnych daję liczbę dodatnią.

5 razy 5, 25. Na dole 4. 25 czwarte, tyle samo tutaj co kwadrat środkowej liczby. Czyli widzimy, że ten nasz wzór działa i możemy go spokojnie stosować. No i teraz, gdy już się w tym upewniliśmy, zobaczyliśmy na drugim już przykładzie, że on działa dobrze i w miarę szybko, to może przyśledźmy sobie taki przykład, nasz przykład siódmy. Weźmy sobie na przykład liczby takie. Pierwszy wyraz ciągu geometrycznego niech będzie równy x plus 1. Drugi wyraz niech będzie równy...

2x, a trzeci może niech będzie równy x-1. No i jest polecenie znajdź wszystkie liczby x, dla których te trzy kolejne liczby tworzą ciąg gorszy. Jak my to robimy?

W tym zadaniu to już nie ma wyjścia. Musimy się posłużyć naszym wzorem dla trzech kolejnych wyrazów ciągu geometrycznego i napisać, że kwadrat środkowego, czyli 2x², musi być równy iloczynowi wyrazów skrajnych, czyli x plus 1 razy x minus 1. I tylko wtedy, gdy zachodzi to równanie, to ten ciąg będzie geometryczny. No to policzmy.

Policzmy, jaki może być x, czyli rozwiążemy to równanie. 2x² to będzie 4x², a po prawej stronie możemy zastosować wzór skróconego mnożenia na iloczyn sumy i różnicy dwóch liczb. To będzie x²-1², czyli minus 1. x² możemy przenieść na jedną stronę, czyli będziemy mieli 3x², równa się po prawej stronie, zostaje minus 1. Podzielmy sobie jeszcze to równanie stronami przez 3 i otrzymamy, że x²-1².

x kwadrat musi być równe minus 1 trzecia. No i co? Jakie są rozwiązania takiego równania kwadratowego? Nie ma żadnych. Żadna liczba rzeczywista podniesiona do kwadratu nie da nam liczby ujemnej.

x kwadrat nie może być ujemny, czyli to równanie nie ma rozwiązań. Równanie jest sprzedczne, czyli nie istnieje taki x, dla którego te trzy liczby tworzą ciąg geometryczny. I w tym zadaniu taką trzeba byłoby udzielić odpowiedź, że nie istnieje taki x. Te trzy liczby nie mogą tworzyć ciągu geometrycznego i taka sytuacja też może się zdarzyć. Trzeba mieć tego świadomość, że z takim przykładem również możemy się spotkać i również trzeba być czujnym.

Równanie kwadratowe może nie mieć rozwiązań, tak jak w tym przypadku nie ma żadnego rozwiązania, może mieć jedno rozwiązanie i jak się przekonaliśmy, może mieć dwa rozwiązania. Na te dwa rozwiązania też musicie bardzo uważać, bo bardzo łatwo zapomnieć, tak jak sobie to pokazaliśmy w przykładach poprzednich, o rozwiązaniu ujemnym. Na sam koniec może jeszcze powiem o jednej rzeczy związanej z ciągiem geometrycznym, a mianowicie z sumowaniem wyrazów ciągu geometrycznego ze skończonymi sumami.

Już pokazaliśmy sobie wcześniej na przykładzie tym z kwadratem, że jeżeli mamy iloraz Q z przedziału 0,1 jest ułamkiem, ciąg geometryczny jest malejący, to taką sumę możemy dosyć łatwo policzyć. I pokazałem wzór na policzenie tej sumy, nawet na obrazku sobie policzyliśmy, wtedy to pole wyszło równe 24, czyli suma całego takiego ciągu geometrycznego była równa 24. A teraz sobie pokażemy, jak policzyć sumy skończone ciągów geometrycznych, czyli kilku pierwszych, na przykład pierwszych 10 liczb ciągu geometrycznego, w przypadku, gdy Q jest dowolne. Nie musi być ułamkiem z przedziału 0,1.

Na przykład gdybyśmy sobie wzięli Q równe 2 i na przykład A1 równe niech będzie 3. No to wypiszmy sobie taki ciąg. Umiemy już to zrobić bez trudu. 3 razy 2 to 6, razy 2 to 12, 24, 48 itd.

Ja wypisałem tutaj pierwsze 5 wyrazów tego ciągu, a powiedzmy, że polecenie będzie takie. żeby znaleźć S10, czyli sumę pierwszych dziesięciu wyrazów takiego ciągu geometrycznego. Gdybym dał polecenie, że znajdź sumę wszystkich wyrazów tego ciągu geometrycznego, no to jaka byłaby odpowiedź? Oczywiście nieskończoność.

Te liczby są coraz większe, jest ich nieskończenie wiele. Jakbyśmy dodawali w nieskończoność wszystkie wyrazy tego ciągu geometrycznego, to nasza suma rosłaby do nieskończoności. Jeżeli Q nie jest ułamkiem z przydziału 0,1, to suma nieskończona ciągu geometrycznego zawsze będzie nieskończonością.

A jeżeli q jest większe od 1, to możemy policzyć zawsze sumę skończoną. To na pewno będzie liczba skończona, ponieważ dodajemy skończoną liczbę wyrazów tego ciągu, w tym przypadku 10 wyrazów ciągu. No i policzmy to s10. Zobaczmy, jak to się liczy.

Żeby obliczyć sumę iluś pierwszych wyrazów ciągu geometrycznego, to stosujemy na to sprawdzony wzór. Warto go zapamiętać albo sprawdzać sobie w tablicach matematycznych, jak on wygląda, ponieważ jeżeli go nie znamy, nie pamiętamy, to stosunkowo trudno jest go wyprowadzić. Lepiej go sobie spisać gdzieś i przypomnieć w razie potrzeby, jeżeli rzeczywiście trzeba wyliczyć taką sumę. No i jak on wygląda?

Wygląda on w ten sposób, że S10 to się równa A1, pierwszy wyraz ciągu geometrycznego, razy ułamek. Ułamek jest taki, że w liczniku ma wyrażenie 1 minus Q. iloraz ciągu geometrycznego podniesiony do potęgi dziesiątej, to jest potęga równa liczbie wyrazów, które sumujemy.

S10 to potęga dziesiąta, a gdyby było S100, czyli suma 101 wyrazów ciągu geometrycznego, to byłoby Q do setnej. No i taki licznik... Dzielimy przez 1 minus Q.

No dobra, no to policzmy. Ile w naszym przypadku jest równe S10? Podstawiamy.

Pod A1 3, dalej mamy 1 minus Q jest równe 2, czyli 2 do dziesiątej. Podzielić na 1 minus Q, czyli 1 minus 2, to się równa 3 razy 1 minus 2 do dziesiątej. Podzielić na 1 minus 2, to będzie minus 1. To się równa 3 razy... Minus 1, gdy dzielimy przez minus 1 jakieś wyrażenie, to znaki się zmieniają, czyli zamiast plus 1 będzie minus 1, a zamiast minus 2 do 10 plus 2 do 10, czyli to się równa, możemy napisać po ludzku, 3 razy i zamienić miejscami 2 do 10 minus 1 napisać. 2 do 10 minus 1. Moglibyśmy jeszcze wymnożyć przez 3, ale taka postać z wyciągniętą trójką przed nawias jest równie dobra.

Niektórzy powiedzieliby nawet, że lepsza. Także tyle wynosi suma 10 pierwszych wyrazów tego ciągu geometrycznego. No i to już chyba byłoby w sumie na tyle, co chciałem opowiedzieć o ciągu geometrycznym.

Pokazaliśmy sobie, jak sumować skończone ciągi geometryczne, jak obliczać sumę nieskończonych ciągów geometrycznych malejących, jak radzić sobie w sytuacji, gdy mamy podane trzy kolejne wyrazy ciągu geometrycznego. Zwróciłem uwagę na sytuację, sytuacją, w której otrzymujemy dwa rozwiązania. Jest to bardzo częsta sytuacja i tak jak powiedziałem, musimy o tym pamiętać, żeby nie wpaść w pułapkę i nie zapomnieć o jednym rozwiązaniu.

Zwłaszcza w zadaniach otwartych, gdy nie mamy podanych odpowiedzi do zadania. Chyba, że o takim ciągu geometrycznym byłoby powiedziane, że jest to ciąg geometryczny rosnący. No to wtedy tylko w grę wchodziłoby x równe pierwiastek z 6, bo dla x równego minus pierwiastek z 6 ciąg geometryczny by nie był rosnący.

Także, To warto pamiętać. Warto pamiętać na pewno ten wzór. On jest bardzo ważny, że jeżeli mamy dane trzy kolejne wyrazy ciągu geometrycznego, to środkowy podniesiony do kwadratu jest równy iloczynowi wyrazów skrajnych.

No i przede wszystkim trzeba pamiętać definicję ciągu geometrycznego, wiedzieć jak on powstaje, że powstaje przez mnożenie, przez tą stałą liczbę Q kolejnych wyrazów i powstają w ten sposób wyrazy następne danego ciągu geometrycznego. Jeśli to wiemy, to wszystkie pozostałe rzeczy bez problemu sobie wyprowadzimy i rozwiążemy większość zadań ściągu geometrycznego, bazując w zasadzie tylko i wyłącznie na definicji. Tutaj tak samo. Były dwa rozwiązania.

Trochę trudniejsze równanie, bo czwartego stopnia, ale zawsze, gdy podnosimy q do parzystej potęgi i wynik ma być dodatni, to może być rozwiązanie dodatnie lub ujemne. Liczba ujemna podniesiona do parzystej potęgi daje nam zawsze wynik dodatni. Także... To są te wszystkie rzeczy, o których musimy pamiętać, gdy rozwiązujemy zadanie z ciągu geometrycznego.

Przede wszystkim definicja, sposób tworzenia ciągu geometrycznego, to jest najważniejsze, no i wzór na n-ty wyraz, który wyprowadzamy bardzo łatwo, mając dowolny wyraz ciągu geometrycznego i literkę Q. W tym pierwszym, przykładowo naszym ciągu geometrycznym, wiemy, że A4 jest równe 8. No to tak dla powtórzenia, gdybyśmy chcieli obliczyć na przykład A71, korzystając z tego, że a4 jest równe 8. Powiedzmy, że nie znamy a1. Wiemy tylko, że czwarty wyraz jest równy 8. Jak obliczyć 71? No i wiemy też, że q jest równe 2. To napisalibyśmy sobie, że 71 wyraz to jest wyraz czwarty razy q, w której potędze 4 plus ile da 71?

No, nie takie łatwe to odejmowanie. Ile to będzie? 67 chyba, nie? 4 plus 67, 71. Czyli podstawiamy a4 równe 8 razy q, czyli 2 w potędze 67. I mamy policzony wyraz 71, nie znając a1.

Czyli tak naprawdę ciąg geometryczny jest definiowany przez dowolny wyraz takiego ciągu geometrycznego i iloraz q. Bądź też przez dwa wyrazy ciągu geometrycznego, tak jak to sobie pokazaliśmy tutaj w przykładzie czwartym, że nie znaliśmy q, nie znaliśmy wyrazu pierwszego. ale znaliśmy dwa jakieś wyrazy ciągu geometrycznego.

No i z tych dwóch wyrazów taką metodą, z tym naszym sprawdzonym równaniem na n-ty wyraz, wyliczyliśmy sobie szybko i sprawnie to q. Tylko warunek jest taki, że nie możemy zapomnieć o rozwiązaniu ujemnym. No i również musimy być czujni, czy takie równanie w ogóle ma rozwiązanie, bo gdyby tu było minus 16, to nie byłoby żadnego rozwiązania i taki ciąg geometryczny nie mógłby istnieć.

Także na te rzeczy musimy uważać. Jeśli będziemy o tym pamiętać i będziemy znali definicję, to bez trudu, myślę, poradzimy sobie ze wszystkimi zadaniami ściągu geometrycznego. No to to byłoby na tyle w tym nagraniu. Życzę powodzenia w rozwiązywaniu zadań i do usłyszenia.

Transcript for:Ciąg geometryczny: definicje i przykłady

Transcript for:
Ciąg geometryczny: definicje i przykłady