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Fundamentos de Trigonometría y Teoremas

aprender trigonometría está ahora mismo aquí en este canal que se llama pues claro matemáticas con juan venga empecemos qué es esto la primera cuestión qué es esto de la trigonometría pues la trigonometría es la parte de las matemáticas que se dedica a estudiar los triángulos en concreto la relación que hay entre los ángulos de un triángulo y sus lados espero que sepas que es un triángulo un triángulo es un polígono que tiene tres lados y muy importante muy importante solamente vamos a estudiar en este vídeo triángulos que viven sobre un plano y en este caso especial de triángulos que viven sobre un plano hay una cosa muy importante que debes de saber la suma de los ángulos de este tipo de triángulos pues es de 180 grados lo que te acabo de decir es lo más básico y también lo más importante que tienes que saber en este mundo de la trigonometría pero claro no es suficiente que tienes que saber para dominar la trigonometría pues mira lo primero de todo los triángulos rectángulos los triángulos rectángulos son muy importantes y su estudio es el corazón de la trigonometría mira tienes que entender muy bien el teorema de pitágoras y aplicarlo a casos concretos tienes que entender muy bien las funciones trigonométricas y aplicarlas a casos concretos fíjate estábamos hablando de triángulos rectángulos pero también tienes que saber manejar triángulos que no son rectángulos y para ello vas a necesitar usar el teorema del seno el teorema del coseno y como no al final después de todo esto pues sería conveniente que supieras demostrar igualdades trigonométricas y con este tema de igualdades trigonométricas acabaríamos el vídeo empecemos venga estudio de los triángulos rectángulos teorema de pitágoras conociendo dos lados podemos hallar un tercer lado ahora mismo voy a decirte que es el teorema de pitágoras y vamos a ver vamos a estudiar tres casos concretos los tres casos más importantes dentro en este vídeo vamos a estudiar pues los tres casos que hay bueno realmente hay dos casos importantes pero vamos a decir tres los tres casos que hay cuando queremos resolver un triángulo rectángulo utilizando el teorema de pitágoras mira yo voy a dibujar un triángulo rectángulo cualquiera si es un triángulo rectángulo se caracteriza porque uno de sus ángulos es de 90 grados bueno pues mirad por ejemplo este ángulo tiene 90 grados ahora pues ya es un triángulo rectángulo pudiese primer caso primer caso no conocemos la hipotenusa voy a llamarle x la hipotenusa la hipotenusa es el lado más largo y mira este cateto que hay aquí voy a decir que vale por ejemplo raíz de 5 metros y este otro otro cateto que hay aquí pues voy a decir pues que vale raíz de tres metros raíz de tres metros si bien el teorema de pitágoras que nos dice pues el teorema de pitágoras nos dice que la hipotenusa al cuadrado la hipotenusa al cuadrado es igual a la suma a la suma de el cuadrado de los catetos es decir la raíz de 5 en nuestro caso raíz de 5 al cuadrado más raíz de 3 al cuadrado esto es lo que nos dice el teorema de pitágoras el teorema de pitágoras nos dice que esto al cuadrado es igual a esto al cuadrado más esto al cuadrado pie importante tengo aquí un vídeo precioso sobre cómo demostrar el teorema de pitágoras por favor échale un vistazo echar un vistazo bien bien bien voy a operar aquí para hallar la x pues x al cuadrado va a ser igual a raíz de 5 al cuadrado es raíz de 5 por raíz de 5 y raya el 5 por radio 5 pues es 5 simplemente si no sabes operar con raíces por favor no quiero ser pesado pero vete a este vídeo que hay ahí también y verás cómo se hacen estas cositas muy sencillas más y rai de 3 al cuadrado pues es ray de 3 por la de atrás y rai de 3 por ray de 3 y bueno pues tenemos x al cuadrado es igual a 8 entonces ya estamos casi casi terminando este este primer ejercicio podemos decir que x es igual a más menos raíz de 8 chicos chicas este signo menos que este símbolo menos que de aquí siempre hay que ponerlo esto es una ecuación de segundo grado y estos son las soluciones de esta ecuación de segundo grado pero pasa una cosa especial nosotros estamos hablando de la distancia de la longitud de desde este lado que es una hipotenusa y esto tiene que ser siempre positivo así que podemos ignorar este signo menos mucho cuidado con esto bueno pues esta sería nuestra solución hay que expresar esto en metros importante raíz de 8 aquí hay cosas que podemos sacarlas fuera de la raíz mira el 8 es igual a 2 por 2 x 2 verdad bueno pues x podemos escribirlo como raíz de 2 al cuadrado por 2 es decir este 2 puede salir fuera ya está así que un resultado más estético sería esto que acabo de describir ahí si te parece estas operaciones pues extrañas o no sabes de qué estoy hablando o no lo manejas muy bien por favor vete a ese maravilloso vídeo y en este vídeo yo explico cómo hacer esto detalladamente bien acabamos de ver un tipo de ejercicios clásicos en donde no conocemos la hipotenusa bueno pues ahora vamos a ver un caso en el que conocemos la hipotenusa y un lado pero el otro no hay un cateto que desconocemos vamos a ver esto ahora mismo venga tenemos otra vez nuestra pizarra inmaculada con este blanco tan maravilloso y vamos a llenarla de cosas estamos con el teorema de pitágoras un triángulo rectángulo y en este caso conocemos la hipotenusa mira la hipotenusa por ejemplo raíz de 11 a la raíz de 11 metros y un cateto pues mira a raíz de dos metros y porque utilizo raíces pues porque no les suele gustar a los estudiantes aquí no conozco el valor de x qué nos dice chicos y chicas el teorema de pitágoras voy a utilizar esta parte de la pizarra el teorema de pitágoras nos dice que la hipotenusa al cuadrado el lado más largo al cuadrado en nuestro caso raíz de 11 al cuadrado pues es igual a la suma del cuadrado de los catetos tenemos este cateto aquí que vale x y este otro cateto que vale raíz de dos pues todo esto elevado al cuadrado se ve bien si se ve muy bien ahora tengo que operar a raíz de 11 al cuadrado pues es claro que si 11 11 y x al cuadrado es x al cuadrado y raíz de 2 al cuadrado que es pues esto pues es simplemente 2 muy bien yo quiero que x al cuadrado esté en un lado en un miembro bueno pues mira lo que voy a hacer voy a restar aquí 2 y lo que hagan un miembro lo hago en el otro sí resto aquí 2 resto aquí 2 y restando 2 aquí y 2 allá que nos queda chicos voy a hacerlo aquí pico pongo aquí nos quedaría pues 9 esto es igual a x al cuadrado o lo que es lo mismo si eres un maniático x al cuadrado es igual a 9 uy qué ejercicio más bonito nos va a quedar mirad x al cuadrado igual a 9 esta es una ecuación de segundo grado si no sabes resolver ecuaciones de segundo grado por favor vete a ese vídeo fantástico y resolvemos cosas de este estilo esto sería una ecuación de segundo grado incompleta pura purísima bueno la solución es x igual a más menos raíz de 9 más menos una ecuación de segundo grado pues tiene dos soluciones más menos el más menos esto es uno de los errores más grandes en la unidad de estas cosas en las matemáticas por favor mira qué bonito vídeo sobre los errores que los estudiantes cometen más veces en matemáticas este es un error pero nuestro caso particular en nuestro caso particular el signo menos no tiene sentido porque las x esta x es la distancia o la longitud del lado de un triángulo y esto pues que yo sepa es positivo así que nuestra solución está dada por x igual a a raíz de 9 simplemente y raíz de 9 es igual a 3 pues 3 metros 3 metros bien vamos a por nuestro último tipo de ejercicio a la hora de aplicar el teorema de pitágoras en un triángulo rectángulo en un triángulo rectángulo que tiene un ángulo de 90 grados esto es un triángulo rectángulo estamos en el último caso tenemos otra vez claro porque esto es de lo mismo un triángulo rectángulo uno de sus ángulos de 90 grados por eso es un triángulo rectángulo y pues mira no quería dibujar éste quería dibujar por ejemplo este otro los dos mira no pues no conocemos dos catetos y conocemos la hipotenusa por ejemplo la hipotenusa vale a raíz de cinco metros qué pasa en este caso pues simplemente volvemos a pecado otra vez el teorema de pitágoras apliquemos el teorema de pitágoras el teorema de pitágoras que nos dice chicos y chicas pues nos dice que la hipotenusa al cuadrado es igual a la suma de los catetos al cuadrado verdad y un cateto es esto y otro sexto elevado al cuadrado pues ahí los tienes el problema de pitágoras ahí está y ahora simplemente tengo que operar vamos a operar juan pues raíz de 5 al cuadrado es 5 y x al cuadrado más x al cuadrado es 2 x al cuadrado yo quiero que la x al cuadrado esté sola en ese miembro que puedo hacer pues mira puedo dividir entre 2 ambos miembros pues se nos va se nos va al 2 mira el 2 el 2 se nos va y quedaría simplemente 5 medio es igual a x al cuadrado o lo que es lo mismo lo voy a decir aquí px al cuadrado igual a 5 medios chicos y como como se despeja esto pues lo hemos hecho muchas veces mirad x es igual a más menos raíz de 5 medios pero hemos dicho muchas veces también que el signo menos este que hay aquí no tiene sentido en un triángulo porque todo todas todas las x todos los catetos y todas las y poderosas tienen que ser positivos finalmente acabamos de a la solución es a raíz de cinco medios y esto sería metros para completar el estudio sobre el teorema de pitágoras viene de perlas hacer una pequeña demostración del teorema de pitágoras pues venga vamos a verla ahora mismo demostración del teorema de pitágoras hay muchísimas formas de demostrar que para cualquier triángulo rectángulo voy a llamar a la hipotenusa que es el más largo y bueno pues estaba diciendo que hay muchísimas formas de demostrar que todos absolutamente todos los triángulos rectángulos esté en un ángulo de 90 grados pues verifican lo siguiente ja ja mirad hay muchas muchas formas de demostrar esto el presidente de eeuu el actual no pero algún presidente anterior ha tenido una demostración original que interesa de verdad bueno pues en nuestra demostración tiene una idea feliz la nuestra para demostrar que esto es verdad y nosotros vamos a construir un cuadrado grande y aquí está a un lado aquí está otro lado aquí está otro lado aquí está otro lado y todos los lados miren lo mismo claro por eso es un cuadrado y mira este lado este lado pues va a medir hace más de 15 más ve y este otro pues claro va a medir lo mismo y este otro lado pues igualmente de masbate y este otro lado adivina pues lo mismo claro que sí que más bien tenemos ya un cuadrado un cuadrado grande y dentro de este cuadrado grande vamos a dibujar un cuadrado pequeño un cuadrado pequeño pues mira este en concreto [Música] bueno más o menos se ve que esto es un cuadrado sí este es un cuadrado muy especial mira tiene de de la 2a y porque hago esto juego porque hago esto pues mira hago esto porque al haber hecho esto resulta que mira mira mira mira este triángulo que hay aquí es este este triángulo que hay aquí es este es decir hemos dibujado cuatro triángulos y como éste que están dentro del cuadrado grande y además hay un cuadrado pequeño vuelvo a repetir otra vez que hemos hecho hemos dibujado un cuadrado grande y dentro del cuadrado grande hay cuatro triángulos como este y además un cuadrado pequeño aquí tienes el valor de los lados todo muy bien ahora viene la parte importante nosotros vamos a demostrar que el teorema de pitágoras se cumple es decir que esto es verdad usando el valor de las áreas de lo que hay aquí mira chicos cuál es el área de un triángulo cualquiera bueno pues el área de un triángulo cualquiera es base por altura dividido entre dos así que mira el área el área de este triángulo de un triángulo de un triángulo cualquiera es simplemente base con altura pues se hace por b o bien por celda da igual base por altura dividido entre 2 todo bien y ahora pongamos nuestra vista en este cuadrado grande y en sus pequeños trozos mirad el cuadrado grande el cuadrado grande cuál es el valor de su área cuál cual cuál pues mira juan y el lado al cuadrado si el lado cuánto vale pues temas b además de además de al cuadrado pues demás t al cuadrado o además de problemas de si algún problema lo verdad todo fácil por ahora y cuál es el área cuál es el área chicos del cuadrado pequeño cuadrado pequeño de lado a pues será igual a al cuadrado cierto en verdad bien pues y está muy por tanto el área de cuadrado grande y voy a escribirlo el área voy a poner aquí una raya porque esto no tiene que ser seco nada el área del cuadrado grande va a ser igual a el área del cuadrado pequeño el área del cuadrado pequeño si más más más pues este área este área este área listo bueno pues pues cuatro veces este área verdad sí bueno pues cuatro veces el área del triángulo esto es lo más importante tienes que esforzarte en entender esto bien bien fatal bueno pues tenemos aquí el área de cuadrado grande es igual a el área del cuadrado pequeño más cuatro veces el área más cuatro veces el área del triángulo rectángulo es lo que hay aquí dentro del triángulo desde el cuadrado grande bueno pues voy a sustituir estas áreas por sus expresiones por sus valores en función de los lados venga el área del cuadrado grande es esto que le vi además de al cuadrado pues venga juan ve más al cuadrado y esto tiene que ser igual el área del cuadrado pequeño que es cuadrado al cuadrado más cuatro veces el área del triángulo que es esto que hay aquí pues de dulce dividido entre dos venga venga lo estamos haciendo bien aquí simplemente hay que operar y vamos a llegar a esto desarrollamos desarrollamos este binomio al cuadrado de más de elevado al cuadrado esto se puede hacer de muchas formas a mí me gusta especialmente emplear los productos notables si no sabes los productos notables que es esto por favor vete a ese vídeo ahora mismo y regresa regresa el caso es que ve más de al cuadrado demás al cuadrado este másters por b más c y haciendo esa multiplicación pues tendríamos de cuadrado más dos veces veces más de al cuadrado si si no sabes hacer esto vete al vídeo que te he dicho y yo voy a seguir y esto es igual a al cuadrado al cuadrado y mira cuatro medios cuatro medios estos dos así que cuatro veces dividido entre dos esto simplemente es pues dos veces dos veces y ahora esto queda aquí lo podemos simplificar por ejemplo tenemos dos veces aquí y dos veces aquí allá pues mira simplificado y qué más podemos simplificar nada más chicos nada más que nos ha quedado superviviente en esta igualdad pues tenemos de cuadrado más c cuadrado igual a cuadrado y nosotros queríamos demostrar que al cuadrado es igual a b cuando algo más de cuadrado yo puedo decir yo puedo decir que esto que hay aquí y esto que hay aquí es lo mismo que al cuadrado es igual a b cuadrado más cuadrado lugares lovers habla de este 2 rebelde voy a ponerlo aquí así mirad mirad pues hemos llegado a esto que hay aquí que es lo mismo que esto que había aquí que era lo que queríamos demostrar bueno chicos bueno chicas se ve todo muy bien acabamos de demostrar de una forma muy linda muy bella muy bella el teorema de pitágoras utilizando la idea feliz de la construcción de un cuadrado grande que tiene formado pues la suma de los catetos de este triángulo y dentro nos queda este otro cuadrado y vemos que hay cuatro triángulos rectángulos como como éste del que hemos partido ya no me enrollo más una vez que tenemos muy claro cómo se resuelve el lado desconocido dados dos lados en un triángulo rectángulo el siguiente paso es introducir ángulos los ángulos fíjate conocido un ángulo y un lado es posible calcular los otros dos lados de un triángulo rectángulo bien para ello y antes de empezar perdóname pero te tengo que explicar qué es un radio en el concepto de radial sabes una cosa en trigonometría cuando manejamos ángulos no solamente los ángulos están expresados en grados también están también están expresados en una cosa que se llama radiales que es un radial pues mira esto es un radial voy a dibujar una circunferencia de radio pues r y voy a marcar por ejemplo este arco que hay aquí de longitud l veis este arco el este radio r entre el arco y el radio pues se queda determinado un ángulo que voy a denotar con la letra griega teta que solo radiales pues mira los radiales son el cociente simplemente entre l y r así que radian es es igual a l partido de r chicos ya está sí sí ya está estos son los radiales pero para que esto quede más claro vamos a hacer dos ejercicios yo voy a borrar ahora mismo esto que hay aquí y vamos a hacer un ejercicio ahora mismo primer caso práctico otra vez voy a dibujar una circunferencia aquí está pero ahora un radio concreto pues mirad 10 metros el radio de esta circunferencia r es igual a 10 metros y este esta longitud esta longitud la longitud de este sector va a ser 5 metros es de 5 metros bueno pues cuánto vale este ángulo expresado en radiales pues simplemente va a ser el cociente entre l y r el valor de este ángulo expresado en radiales va a ser el dividido entre r es decir la longitud del sector dividido entre el radio de la circunferencia sustituyendo datos tenemos 55 metros dividido entre 10 metros las unidades se van y tenemos finalmente pues 5 entre 10 5 décimos es lo mismo que es un medio así que pi medios y éstos son radiales como radiales y como veis los radiales son unidades un poco virtuales realmente no son unidades no hay unidades esto está dimensionado pero decimos que son radiales chicos acabamos de ver qué este ángulo que hay aquí es decir el ángulo correspondiente a un cuarto de la circunferencia es de medios radiales o lo que es lo mismo como sabéis esto es 90 grados expresado grados bueno pues vamos a ver otro caso voy a borrar esto de brandon donde al amor puro burgos y ahora estamos ya con el último caso una vez más dibujo una circunferencia aquí está y esta circunferencia va a tener un radio radio igual a 10 metros como lo anterior como la anterior 10 metros pero ahora voy a considerar esta longitud de arco mirad la mitad de la circunferencia así que en este caso va a valer 10 milímetros y lo que estábamos calculando lo que queremos calcular es cuánto vale este ángulo expresado en radiales es decir el dividido entre r sí bueno pues sustituyo los datos 10 pm / / 10 m ms metros las unidades se nos van por eso queda a dimensionar y el 10 también se simplifica y finalmente tenemos simplemente pi y escribí radiales es real de radiales bueno pues chicos estos son los radiales fijaos que irradian es sería sería y es es es equivalente a 180 grados porque es media vuelta claro la vuelta entera sería 360 grados y radiales es equivalente a 180 grados y qué 360 grados sería equivalente a 2 por p2p bueno estamos ya ante el meollo de la cuestión las funciones trigonométricas tienes que tener clarísimo que son las siguientes funciones la función seno la función coseno y la función tangente hay otras funciones que son las inversas de las que te acabo de decir pero mira e pongo el énfasis en estas funciones en función coseno y función tangente venga te explico ya qué es esto vamos [Música] para el seno y el coseno son dos funciones que viven en una casa muy especial viven aquí viven aquí aquí viven si viven en una circunferencia aquí está el origen de esta circunferencia y esta circunstancia es especial porque tiene un radio que vale uno chicos esta distancia es 1 puedes imaginar que a dibujar el radio voy a dibujar el radio aquí por ejemplo y este radio n ahora mismo está aquí formando un ángulo alfa un ángulo cualquiera que voy a llamar alfa con el eje de las x aquí está el eje de las x aquí está el eje de las íes muy bien pues fijaos fijaos fijaos fijaos aquí esté este radio que vale uno determina un triángulo rectángulo mira este sería un cateto y este sería otro cateto verdad y el ángulo el ángulo alfa tenemos un triángulo rectángulo caracterizado por este cateto opuesto al ángulo alfa y este otro el cateto adyacente muy bien pues chicos estoy terminando ya con la explicación porque otra vez que es el seno pues mirad el seno es esto el seno de alfa es este cateto si la longitud esta longitud es el seno de alfa y que es el consejo de de alfa pues el coche no es este otro cateto es esta otra longitud y aprovecho ahora mismo que acabo de decir esto qué pasa si aplicó el teorema de pitágoras a este triángulo pues pasa lo siguiente el teorema de pitágoras me dice que la hipotenusa al cuadrado es un coseno al cuadrado más el otro coseno al cuadrado pues chicos he dicho que el radio vale 1 pues entonces el teorema de pitágoras me dice que la hipotenusa bueno por tu lado negro la hipotenusa al cuadrado es igual a un cateto al cuadrado pues seno cuadrado de alfa más el otro cateto al cuadrado que es el coseno cuadrado de alfa y seguro que alguna vez habéis visto esta bonita identidad trigonométricas bueno pues esta preciosidad se llama identidad trigonométricas fundamental es la mamá de las identidades trigonométricas y también muy muy muy importante si esta es la mamá el papá es este fijaos qué pasa si vivido el seno y el cose no pues que tengo la tangente la tangente la tangente de de alfa es el cociente entre el seno de alfa y el cocerlo de alfa aquí está el papá y la mamá de las identidades trigonométricas super importante lo que acabo de decir a ver en el mundo de la trigonometría claro y solamente nos queda ver otra cosa nos queda a ver el comportamiento del seno y el coseno cuando el radio va moviéndose qué pasa cuando el radio va dando vueltas que le pasa al seno que le pasa al coseno qué pasa con el seno cuando el radio que inicialmente voy a suponer que está durmiendo sobre el eje de las equis empieza a moverse de esta manera es decir el ángulo alfa aumenta y aumenta y aumenta y con ello el radio va girando en torno al origen de coordenadas pues pasa lo siguiente amigos partiendo de un ángulo cero pues el radio aumenta un poco y el seno pues no es nulo [Música] cuando el seno cuando el ángulo va de cero el seno es cero en el momento en el que alfa aparece en los cero el seno también aparece y va a tomar una posición máxima cuando el ángulo sea de 90 grados aquí estará este seno cuando alfa valga 90 grados es decir en este caso y va a ser positivo y cuando el radio vaya acercándose a este lugar es decir el ángulo vaya acercándose a 180 grados qué va a pasar pues cada vez el valor del seno será más y más y más y más pequeño hasta llegar a 180 grados el ángulo y con ello anularse el seno en el primer cuadrante y en el segundo cuadrante el seno siempre va a ser positivo pero mirando qué pasa cuando entramos en el tercer cuadrante amigos en el tercer cuadrante el seno va a tener este comportamiento a medida que el ángulo va aumentando y ello quiere decir que vamos a tener celos negativos desde seno con valor cero en 180 grados y el valor menos 1 cuando estamos aquí este valor es de 270 grande los 260 270 grados y cuando el radio se aproxima a 360 grados el comportamiento del seno mira y algo que le va pasando al seno pues se va aproximando al valor cero es decir va desde el -1 hasta el cero esto es lo que ocurre con el seno y qué pasa con el coseno cuál cuál es su comportamiento pues mira en el primer cuadrante a medida a medida que el radio va moviéndose moviéndose y el ángulo pasa de 0 grados y se acerca a 90 grados el corsé no irá haciéndose cada vez más pequeño por ejemplo cuando alfa es muy pequeño aquí está cuando el valor de alfa es muy pequeño veis el valor de este cateto es casi casi casi 1 pero al contrario cuando alfa es muy grande por ejemplo así el valor del cateto este será muy muy pequeño casi casi cero cuando el ángulo de 90 grados el coste no es cero pero el coste no siempre es positivo en este primer cuadrante sin embargo en este segundo cuadrante por ejemplo para este para este ángulo chicos para este ángulo que hay aquí alfa veis el coche no vive sobre las x negativas y luego en el segundo cuadrante el coche no será negativo y valdrá menos uno cuando alfa valga 180 grados y qué pasa si alfa sigue aumentando y entramos en el tercer cuadrante pues si aumentamos pues si aumentamos alfa y estamos en el tercer cuadrante por ejemplo yo que sé aquí todo este ángulo todo este ángulo jose no estará determinado por esta distancia y seguirá siendo un coseno en el negativo y se hará cada vez más pequeño a medida que a medida que nos acerquemos a el ángulo de 270 grados que sería sería todo este cal aquí aquí 270 grados aquí ciento ochenta y noventa cero y que pasa cuando entramos en el cuarto cuadrante es decir nos alejamos de los 270 grados y nos acercamos a los 360 pues lo que pasa es que el coche no vuelve a tomar valores positivos y va aumentando hacia el número uno hasta llegar al valor uno para 360° bueno y todo esto tanto para el seno como panko seno se repite una y otra vez en cada vuelta que vemos y por eso se les conoce como funciones circulares funciones circulares bien pues hasta aquí esta explicación podría decir cuál es el comportamiento de la tangente mira hay que fijarse en este cociente entre el seno y el corsé no y sería fácilmente deducible es decir si conoces cómo funciona el seno y el cose no puedes deducir cuál es el comportamiento de la tangente bien espero que te haya servido el vídeo y nada más como que nada más suscríbete ahora mismo ha llegado el momento crítico de saber hacer ejercicios utilizando las funciones trigonométricas mira el primer ejercicio el ejercicio clásico conociendo los ángulos conociendo los ángulos y la hipotenusa queremos calcular cuánto valen los catetos venga vamos a ver este vídeo vamos [Música] mirad chicos tenemos aquí un ejercicio super bonito es un triángulo rectángulo conocemos la hipotenusa conocemos ese ángulo y tenemos que calcular b y c que son los catetos esta preciosidad de problema es un regalo de dos chicas de rayma y de juani que me han escrito al canal pidiéndome ayuda pues chicas ahora mismo os voy a ayudar si cristo os ayude en algún ejercicio concreto de cualquier cualquier tema de matemáticas de cualquier nivel por favor venir aquí y preguntarme al canal de matemáticas con juan y suscribiros claro que si tenéis que suscribiros empecemos empecemos que hay que saber para poder resolver bien este tipo de ejercicios bueno pues tenéis que saber bien lo siguiente si yo tengo un triángulo rectángulo ahí está el ángulo grados y tengo por ejemplo un ángulo un ángulo y esto es esto y esto este pues tienes que saber una cosa que se llama las funciones trigonométricas seno con seno y tangente el seno el seno de ese ángulo va a estar dado por el campito opuesto al ángulo que esté dividido entre la hipotenusa por otro lado el coseno el corsé no de ese ángulo va a estar dado por este cateto que es el adyacente o el próximo al ángulo ce y veo entre la hipotenusa es decir va a ser de partido de de a y por último tenemos la función tangente la función tangente la función tangente va a ser pues mira esa función seno dividido entre el corsé no la función seno dividido entre el consejo es decir este partido de a partido debe partido de a y haciendo esta división rápida sería ahora nuestro nuestra tarea es elegir bien qué expresión tengo que usar para meter dentro los datos y poder hallar las incógnitas veo que tengo el ángulo teta teta es 35 grados fantástico el ángulos 35 grados vale 36 centímetros agua de 36 centímetros así que visualizando estas fórmulas pues fíjate conocemos por ejemplo el pse no conocemos teta y a así que podemos despejar de aquí c en esta otra fórmula conocemos teta y así que podemos despejar b hoy que bien chicas veis si yo utilizo esta fórmula de ella obtenemos c y si yo uso esta fórmula de ella podemos obtener p y c y b precisamente es lo que tengo que calcular simplemente tenemos que meter los datos en esta fórmula operar un poco metemos los datos en esta fórmula un poco y se ha terminado del ejercicio vamos vamos a hacerlo vamos a hacerlo cálculo de c vamos a calcular c calculamos calculamos te vamos a calcular la fórmula la cojo y meto en ella los datos seno de esta etapa de 35 así que seno de 35 35 grados igual hace dividido entre a vale 36 venga a juan 36 la incógnita es te tengo que despejar se hace tiene que estar sola y cómo puedo yo despejarla bueno pues mira como el 36 está dividiendo al ac pasa para ese lado multiplicando o dicho de otra manera no quiero haceros unidos pero de otra manera multiplicamos ambos miembros por 36 y tendríamos lo mismo 12 se quedaría sola chicas el 36 pasa para allá por ejemplo que seguramente lo hacéis así nuestro profesor os lo explica así que va a ser igual a 36 por seno de 35 36 por ser uno de 35 tendríamos que la calculadora la calculadora y calcular seno de 35 yo he hecho este cálculo y seno de 35 es 0,70 miami me he hecho este cálculo seno de 35 con la calculadora podéis hacerlos es igual a 0,57 bien voy a utilizar este dato he obtenido a través de una calculadora lo voy a utilizar aquí así que te va a ser igual a 36 x 0,57 verdad 0,57 si y haciendo esa operación cia perdonad que me esconda estoy mirando los datos que obtenido con mi calculadora haciendo esa operación cilla vamos a obtener 20.52 esto es finalmente 20,52 centímetros no os olvidéis de las unidades centímetros ya tenemos un lado ahí está ja ja ja bueno pues ahora necesitamos el otro lado el otro lado es be y para ello vamos a utilizar la expresión del corsé no está claro muy fácil mira este valor de seno de 35 ya no lo necesito lo borro y lo que vamos a hacer ahora es calcular pues cuánto vale te calculamos calculamos de vamos a calcular de y para calcularlo utilizamos esta fórmula con seno de teta igual ap / entre a sustituimos en la fórmula de los datos tenemos que que cose no consensuada con seno del ángulo el ángulo va de 35 coseno de 35 es igual a ver que no lo conocemos / / así lo conocemos es 36 36 tenemos que despejar de aquí de hacemos lo mismo de antes el 36 divide al b pasa para el otro lado multiplicando lo que divide multiplica pues tenemos entonces que p es igual a 36 x con seno de 35 y sabéis una cosa necesito mirar con una calculadora cuánto vale coseno de 35 voy a echar un vistazo un momento que quite la cabeza y la ponga en otro lugar a ver a ver a ver tenemos aquí que consignó de 35 x 0.80 y 2 082 chicas coseno de 35 es cero 82 y 82 juan 85 espero que mi cabeza no os moleste se ve que tengo una cabeza tan grande que ocupa toda la pantalla bueno el consejo del 35 iván a 0.82 0.82 aquí esto va a ser igual entonces esto va a ser igual bueno voy a escribir o como antes efe vv de será igual a entonces a 36 x 0.82 es decir es decir multiplicando esto voy a mirar otra vez obtendré 29.52 2952 pues venga 29.52 29 52 y las unidades centímetros centímetros pues otras en el eje no me decís qué unidades son yo he supuesto que son centímetros bien pues aquí tenemos las dos soluciones y ahora vamos a ver una serie de ejemplos así rápidos en donde aparece cada una de las posibilidades en un triángulo rectángulo a la hora de aplicar las funciones trigonométricas venga para un seguidor del canal de matemáticas con juan me está pidiendo ayuda con este tipo de ejercicios se trata de triángulos rectángulos en donde que usa la trigonometría para calcular pues los lados que no se conocen ahí va el primer ejercicio tenemos un triángulo rectángulo ahí está el ángulo de 90 grados esto a ver a ver esto vale 6 no hay unidades así que yo se las voy a poner 6 centímetros que manny a los profesores últimamente de no poner unidades a las cosas que vergüenza 6 centímetros esto es x esto es si y esto es un ángulo de 45 grados muy bien juan tenemos la hipotenusa como dato 6 centímetros y ese ángulo 45 grados y queremos calcular este cateto y este otro cateto que hay que saber que tenéis que tener en la cabeza para resolver esto pues tenéis que tener muy claro las tres funciones trigonométricas para un triángulo rectángulo y en nuestro caso aplicado a ese triángulo rectángulo tendríamos entonces mira para la tangente tangente de 45 igual a el cateto opuesto a ese ángulo que es eso que hay ahí y dividido entre el cateto adyacente que es x cateto opuesto cuanto hay aceite que más pues mirad el seno de 45 grados el seno de ese ángulo va a ser igual a el cateto puesto que sí dividido entre la hipotenusa hay que saber esto y él con seno de ese ángulo de 45 es igual a el cateto adyacente o contiguo que es x dividido entre la hipotenusa 6 muy bien esto es lo que hay que saber esto hay que saberlo para cada triángulo rectángulo que yo os voy a presentar aquí que yo voy a escribir en esta pizarra tan bonita aunque un poco pequeña voy a la primera expresión tangente de 45 igual a y partido de x quiero calcular x quiero calcular y sabéis una cosa no nos sirve para calcular lo que no conocemos así que voy a la siguiente expresión trigonométricas seno de 45 igual a y dividido en 36 de aquí voy a poder calcular la ahí y mirad y si voy a esta otra expresión a la expresión del corsé no pues voy a voy a poder calcular la xy problema importante además de saber estas tres expresiones trigonométricas para ese triángulo y cualquier otro triángulo recta tenéis que saber también cuánto vale la tangente es en el coseno para una serie de ángulos importantes como el ángulo 0 o el ángulo 30 el ángulo 45 o el ángulo 60 el ángulo 90 bien pues cuánto vale la tangente de 45 esto tenéis que saber lo también perdonadme pero hay que saberse lo tangente de 45 es igual a 1 el seno de 45 es raíz de dos partidos de 2 seno de 45 es igual a raíz de dos partidos y sabéis una cosa el corsé no de 45 también es igual a raíz de dos partidos al final de este ejercicio vamos a ver una cosa muy bonita y es que x valen lo mismo venga vamos con esa expresión y de esta expresión yo voy a obtener i seno de 45 es igual a el cateto opuesto dividido entre la hipotenusa y partido de 6 bien seno de 45 podéis usar una calculadora pero vuestro profesor va a decir que esto hay que memorizar lo cause seno de 45 raíz dos partidos pues 0 de 45 raíz del partido de los iguala y partido de 6 bien aquí tengo que despejar el 6 esto es una ecuación de primer grado el 6 se está dividiendo a la y pues pasa para el otro lado multiplicando y tendría que y es igual a 6 raíz de dos partido de 26 entre 2 estrés se simplifica estoy y tengo 3 raíz de dos y las unidades he dicho que son centímetros centímetros muy bien fantástico ya tenemos la mitad del ejercicio y es igual a 3 raíz de 2 y cuánto vale x pues mirad tendría que resolver esto que hay aquí coseno de 45 igual a equis partido de 6 voy a escribirlo con seno de 45 igual a x6 con seno de 45 vale raíz de dos partidos igual que el seno de 45 pero hay de dos partidos igual a equis partido de seis y fijaos fijaos que hemos obtenido tenemos la misma ecuación aquí es decir esto que hay aquí y esto que hay aquí es lo mismo lo único que cambiar es el nombre de la incógnita aquí se llama xy aquí se llama y cuánto vale cuánto vale la equis entonces sé cuánto vale la equis no voy a resolverlo x vale lo mismo que y porque es la misma ecuación así que lo pongo ya directamente mira x es de eso pues colorín colorado este primer ejercicio se ha terminado así que voy a borrar voy a borrar a amigos y voy con el segundo ejercicio vamos a por el siguiente ejercicio el siguiente ejercicio es igual que el de antes solo que hay algunos pequeños cambios mira este ángulos de 60 grados esto vale 5 nuevamente no aparecen unidades por ningún sitio así que yo me la sacó de la manga 25 centímetros y esto es y esto es x y esto es el ángulo de 90 grados este es el ejercicio que tenemos que resolver ahora mismo y es igual que el que tuvimos que resolver antes solo que ahora donde hay x hay y viceversa venga hwan tenemos que saber las funciones trigonométricas para este triángulo rectángulo y usando este ángulo de 60 grados tangente de 60 grados a quien es igual seno de 60 grados a quien es igual y con seno de 60 grados a quienes igual hay que saber esto mira tangente de ese ángulo es cateto opuesto al ángulo opuesto opuesto el que está enfrente dividido entre cateto adyacente o contiguo adyacente o contiguo las dos cosas vale pues tenemos entonces x partido de x partido d seno de 60 seno de 60 es cateto opuesto cateto opuesto otra vez igual que la hipotenusa perdón igual que la tangente dividido entre la hipotenusa cateto puesto que es x dividido entre la hipotenusa y el consejo de 60 es diferente es cateto contiguo que es y dividido entre la hipotenusa estas son nuestras tres funciones trigonométricas y la mayor dificultad poder reconocer tienes quién es la tangente el seno y el coseno y no equivocarse bien también tenéis que saber otra cosa como he dicho antes el signo de 60 el consejo de 60 y la tangente de 60 hay que recordarlas porque el ángulo 60 es un ángulo muy famoso ambos los famosos son el 0 el 30 el 45 el 60 y el 90 seno de 60 va a ser igual a raíz de tres partidos dos con seno de 60 va a ser igual a un medio y tangente de 60 va a ser igual a seno de 60 coseno de 60 porque la tangente es el cociente entre el 0 y el coseno y sustituyendo estos números ahí tenemos raíz de 3 esto hay que saberse lo y esto hay que saber solo también en la vida hay que saberse cosas de memoria por ejemplo cómo te llamas dónde vives como se llaman tus padres por ejemplo cuánto valen las razones trigonométricas para ciertos ángulos así es la vida chicos venga si vamos a esta ecuación no vamos a poder conseguir ni la x 1000 ahí sí vamos a esta otra ecuación si vamos a conseguir x porque lo sabemos todo menos la x seno el seno de 60 x partido de 5 el seno de 60 es rail de tres partidos raíz de tres partidos de dos igual a equis partido de 5 esto es una ecuación de primer grado queremos despejar la x para despejar la x el 5 que está dividiendo a la x para sacar al otro lado multiplicando al otro miembro así que tenemos que x es igual a 5 por ai de 3 partidos ya está pongo las unidades y se ha terminado este ejercicio a la mitad porque he calculado la equis falta la y centímetros y ahora mismo voy a calcular la y claro a ver uso esta expresión para el corsé no con seno de 60 es igual cateto adyacente partido por la hipotenusa cuánto vale coseno de 60 pues he dicho que vale un medio un medio y partido de 5 esta ecuación es fácil es una ecuación de primer grado tengo que despejarla y está dividida la incógnita por el 5 qué pasa con el 5 pasa para el otro lado multiplicando así que y es igual a 1 por 5 55 medios y las unidades son centímetros ahora sabemos cuánto vale la equis y cuánto vale la y hemos terminado este ejercicio voy a borrar y nos vamos al siguiente que sería el tercero el tercer ejercicio es un poco más traidor porque está orientado de una forma un poco extraña está así como al revés o un poco torcido vamos a ver lo tenemos así este triángulo rectángulo en donde esto es 30 grados fíjate qué extraño verdad esto es x esto es y esto vale 5 y no tenemos unidades por ninguna parte qué horror así que yo me las invento ya está aquí está nuestro triángulo rectángulo el rectángulo porque este ángulo de 90 grados y tenemos que saber escribir las tres razones trigonométricas para este triángulo rectángulo y esas tres razones trigonométricas son la tangente de 30 el seno de 30 y el coseno de 30 y la tangente de 30 a quien es igual pues va a ser y va a ser igual el cateto opuesto entre cateto adyacente a ver el cateto opuesto a ese ángulo quien es pues esto que hay aquí así que 5 dividido entre el otro cateto el otro cateto que es es la equis no la equis es la hipotenusa así que el otro cateto es la y vale ya está y el seno de 30 que pues el seno de este ángulo va a ser el cateto opuesto al ángulo que es 5 dividido entre la hipotenusa la y es la hipotenusa no la hay es un cateto la hipotenusa es el lado más largo y es x bien el coseno de 30 va a ser igual a el cateto adyacente o contiguo al ángulo 30 el cateto que está más cerca del ángulo que es el y dividido entre la hipotenusa que es la equis bien estas son nuestras tres razones trigonométricas para ese triángulo escrito de una forma tan enrevesada está así como al revés es verdad nuevamente tengo malas noticias para ti porque tienes que saber te de memoria cuando valga tangente de 30 el seno de 30 y ecos cero de 30 y bueno pues mira yo te lo voy a decir pero tienes que saber te lo tú los profesores siempre dicen este que saberlo puesto aprendes tangente de 30 estoy raíz de 3 seno de 30 seno de 30 esto es un medio vaya el seno de 30 seno así mejor seno de 30 y con seno de 30 es raíz de tres partidos venga pues ahora con esto en la cabeza pero más claro encima de la pizarra vamos a sustituir vamos a meter esto ahí veamos tan gente de 30 si yo cojo esta expresión puedo resolver algo pues claro que sí porque aquí lo único que no conozco es la y pues lo voy a y voy a despejar la ira y como un loco venga juan tangente tangente de 30 igual al 5 partido de tangente de 30 de raíz de 3 dry de 3 igual al 5 partido de iu hay que despejar la idea y cómo pudo despejarlo pues mira ahí viene para este lado multiplicando y el raíz de 3 va para otro lado mía esto es igual a raíz de tres y igual al 5 y es igual a 5 dividido entre raíz de 3 y las unidades juegan las unidades por las unidades son centímetros centímetros voy a poner centímetros centímetros muchos profesores pueden decir ocurrirá en las raíces abajo no por favor hay que hay que racionalizar esto bueno pues si nos pidieran racionalizar esto es decir quitar la raíz del denominador que habíamos pues el 5 de raíz de 3 lo multiplicaríamos arriba y abajo por raíz de 3 raíz de tres y esto que hay aquí es lo mismo que 5 raíz de 3 partidos de 3 pero yo sabéis una cosa lo voy a dejar así como está esto no lo voy a tener en cuenta ahora no tenemos que andar racionalizando estamos discutiendo problemas de trigonometría así que centrémonos en esto y ahora voy a calcular la equis para calcular la equis podría usar esto lo conozco todo menos la equis y podría usar también esto porque ya he hallado la ahí pero sabéis una cosa voy a usar esto usando usando esto usando esto pues tendré 30 igual a 5 partido de x 6 seno de 30 cuánto vale un medio un medio igual a 5 partido de x tengo que despejar la x de esta ecuación pues mirad la x que está dividiendo pasa para este lado multiplicando 1 por x pues xx partido es igual a 5 y ahora el 2 que haya ahí pasa para el otro lado que está haciendo ahí dividiendo pasa para el otro lado multiplicando pues x igual a 2 por 5 y esto va a ser igual a 10 y las unidades 10 10 centímetros 10 centímetros chicos sé lo que vale y sé lo que vale x así que este ejercicio se ha terminado borro borro y vamos a por el cuarto el siguiente ejercicio es nuevamente otro triángulo rectángulo pero escrito en una posición muy extraña más extraña que antes todavía fijaos tenemos lo siguiente madre mía madre mía esto aquí está el ángulo de 90 grados el ángulo de 90 grados aquí está el ángulo que nos interesa 60 grados y aquí tenemos un cateto que vale x aquí tenemos la hipotenusa que vale y tenemos este otro cateto 3 un cateto otro cateto y la hipotenusa la hipotenusa es el lado más largo por si no lo sabes en un triángulo rectángulo no hay unidades centímetros centímetros como escribimos las funciones trigonométricas para este triángulo rectángulo pues hacemos lo de siempre la tangente del ángulo es igual al cateto opuesto cateto adyacente venga tangente de 60 cateto puesto entre cateto adyacente el cateto opuesto a ese ángulo cuál es pues ss el que está el que está enfrente el que estaba enfrente claro lo opuesto pues 3 dividido entre el otro cateto x muy bien juan el seno el seno de ese ángulo el seno de este ángulo es cateto opuesto cateto opuesto el cateto opuesto a este ángulo es ese 3 dividido entre la hipotenusa donde podemos así y el cor seno del ángulo es igual el coseno de del ángulo este que hay aquí es cateto puesto no cateto adyacente el otro catéter que está al lado del ángulo x dividido entre la hipotenusa estas son las tres relaciones trigonométricas para ese triángulo rectángulo y nuevamente lo digo otra vez tienes que saber cuánto vale tangente de 60 seno de 60 y con seno de 60 pero esto ya lo hemos visto antes esto ya lo sabes casi venga como un loro lo voy a repetir otra vez a ver seno de 60 es raíz de tres partidos con seno de 60 es un medio y tangente de 60 habíamos visto que era raíz de 3 pues con esto y con esto voy a intentar calcular cuánto vale x y cuánto vale y saber cuánto vale x wang voy a ir a esta ecuación cita y da ahí voy a calcular la equis tangente de 60 tangente de 60 igual a 3 partido de x tangente de 60 raíz de 3 raíz de 3 igual a 3 / x esta x pasa para el otro lado multiplicando al raíz de 3 raíz de 3x igual a 3 y ahora está x que se queda a solita porque raíz de 3 pasa por una pasa para el otro lado dividiendo x es igual a 3 raíz de 3 muy bien me faltan poner las unidades centímetros y me falta decir otra vez como he dicho antes hay profesores que quieren que racionalice jce estas fracciones es decir quieren que quitéis de el denominador la raíz cuadrada pues mirad en ese caso tendríamos que hacer lo siguiente multiplicaríamos arriba y abajo por raíz de 3 y tendríamos 3 raíz de tres partidos d es decir raíz de 3 simplemente esto es raíz de 3 pero no lo voy a hacer lo voy a dejar así pero que sepas que esto que hay aquí es lo mismo que raíz de tres venga voy a calcular cuánto vale y cuánto vale y juán cuanto vale y perdonadme voy a borrar porque no tengo espacio chicos no tengo espacio qué lástima tener que borrar venga borro he calculado x había visto que era la raíz de 3 y ahora cálculo y mira puede utilizar esto por ejemplo seno de 63 partido de y seno de 63 partidos no hay de tres partidos igual a tres partido de y quiero despejar la y chicos entonces puedo hacer lo siguiente la y está dividiendo pasa multiplicando para el otro lado raíz de tres partidos y igual a tres y ahora quiero que la i se quede sola así que mira el 2 pasa multiplicando y el rail de 3 pasa dividiendo es decir es decir y es igual a 3 x 2 / / drive de 3 y esto entonces es igual que escribo aquí y es igual a 6 partido de raíz de 3 voy a embellece un poco el resultado hombre de tranquilidad y es igual esto que hay aquí puede ser escrito de la misma manera como pues 2 raíz de 3 y las unidades centímetros si tenéis problemas con lo que acabo de decir porque no lo entendéis tranquilidad me escribís en la zona de comentarios y ellos explicó tranquilamente de dónde sale esto bien este ejercicio ha terminado voy a borrar y vamos a por el siguiente aparentemente el siguiente ejercicio es más complicado y una cosa importante es el último por cierto bueno pues mira voy a intentar dibujarlo tenemos un triángulo rectángulo aquí aquí estaría esto el ángulo vale 45 grados y fíjate fíjate qué interesante que interesante oye así mira a estos otro triángulo rectángulo esto vale 60 grados juan y este lado vale 3 y esto vale x sct de calcular x y tenemos que calcular y tengo dos triángulos rectángulos como solapados compartiendo un lado y ese lado es la hipotenusa y los dos comparten la misma hipotenusa y nuevamente no tengo las unidades voy a suponer que son 33 centímetros estoy observando el ejercicio y mira voy a fijarme en este triángulo rectángulo me fijo en un triángulo rectángulo de los dos en este le voy a fijar esto sería el ángulo de 90 grados esto valdría 60 grados esto sería tres centímetros esto esto sería x y mira yo no conozco es tocar aquí voy a llamarlo mira equis y ya esto que hay aquí lo voy a llamar zz z es esta hipotenusa que no conozco z voy a escribir las tres relaciones tribuno métricas para este triángulo rectángulo a ver si este vídeo realmente sirve después de haber hecho tantos triángulos rectángulos y viendo cómo se escriben las razones trigonométricas para cada uno de ellos tal vez se puede entender mira la tangente de ese ángulo tangente de 60 va ser igual a cateto opuesto al ángulo entre el cateto adyacente es decir x partido de 3 seno de 60 va a ser igual cateto opuesto entre la hipotenusa que es z y con seno de 60 va a ser igual a cateto adyacente es decir 3 entre la hipotenusa que estén tan vale esto son las tres razones trigonométricas aquí tengo un triángulo y otro triángulo porque he cogido este pues porque aquí hay más datos que aquí sigo observando esto y fíjate fíjate fíjate si yo utilizo si yo utilizo por ejemplo esto yo puedo calcular cuánto vale x y si yo utilizo esto yo puedo calcular cuánto vale esta hipotenusa tangente de 60 igual a x 3 tangente de 60 hemos visto varias veces en este mismo vídeo que raíz de tres así que raíz de tres igual a equis partido de tres es decir cuánto vale x pues x es igual a 3 raíz de tres y las unidades centímetros bien ya tenemos algo que queríamos queríamos calcular cuánto valía x pues aquí está 3 raíz de 3 centímetros ahora voy a calcular cuánto vale la zeta y voy a utilizar con seno de 60 igual a 3 partido de zeta venga juan jose no de 60 es igual a tres partidos de zeta en este vídeo vemos que esto también más de una vez cuánto vale coseno de 60 porción de 60 es un medio igual a 3 vatios dz quiero despejar la z de aquí z iguala y 3 por 2 es decir z igual a 66 centímetros esto es una ecuación de primer grado la zeta está dividiendo pasa para el otro lado multiplicando y este 2 que está dividiendo pasa para el otro lado multiplicando si no entiendes cómo se resuelven las ecuaciones de primer grado tienes un pequeño problema pero me escribes en la zona de comentarios y te voy a ayudar y si z es eso que haya ahí mira qué triángulo tenemos tenemos aquí un triángulo este que hay aquí en donde conocemos la hipotenusa la hipotenusa y el ángulo pues conociendo la hipotenusa y el ángulo podemos calcular este cateto fíjate vamos a mirar voy a voy a borrar esto voy a borrar esto y voy a dibujar simplemente este triángulo que hay aquí para que lo veáis sin ningún problema esto lo borro este valor lo dejo aquí para qué voy a borrarlo es importante y dibujo este triángulo mira esto vale 6 centímetros esto vale y esto vale 45 grados mira esto es importante siempre que tengamos un triángulo rectángulo y los otros dos ángulos valgan 45 cada uno 45 lados cada uno hasta que esto y esto va a medir lo mismo los catetos van a ser iguales sigo para adelante venga las razones trigonométricas para este triángulo rectángulo una cosa esto que hay aquí no lo he nombrado de ninguna manera así que voy a llamarlo por ejemplo l porque no voy a llamarlo l tangente de 45 grados igual a cateto opuesto entre cateto adyacente así que elegí dividido entre y aquí tenemos una razón trigonométricas la de la tangente para este triángulo rectángulo otra otra juan seno de 45 vaya seno seno de 45 igual a pues cateto opuesto dividido entre la hipotenusa l dividido entre 6 y vamos a por la siguiente razón trigonométricas coseno de 45 igual cantito adyacente a ese ángulo y dividido entre 6 estas son las razones trigonométricas las tres razones trigonométricas para este triángulo rectángulo y éstas ya que voy a utilizar voy a utilizar esta para calcular el valor de y ver con seno de 45 igual a partido de seis con seno de 45 iguala y dividió en 36 el cor seno de 45 hay que saber cuánto vale esto es raíz de dos bandidos iguala y partido de 6 y este seis está dividiendo a la incógnita pasa por otro lado multiplicando así que esto podemos escribirlo como igual a 6 raíz de dos partidos de 2 y 6 entre dos estrés así que finalmente escribimos que y es igual es igual a 3 raíz de 2 y las unidades centímetros centímetros se ve bien esto se ve muy bien claro que sí bueno pues colorín colorado este ejercicio se ha terminado hasta ahora has visto cómo se resuelven triángulos rectángulos pero un triángulo rectángulo sin embargo sin embargo muchas veces aparecen no uno sino varios triángulos rectángulos bueno pues ahora vamos a ver un caso típico en donde tienes que resolver cosas en un sistema de dos triángulos venga mira mira lo mira lo a ver qué te parece preparados para resolver un interesante problema en donde necesitamos las funciones trigonométricas si pues vamos vamos mira a ver a ver aquí está nuestro ejercicio y vamos a observarlo un poco vamos a analizar un poco tenemos dos triángulos rectángulos uno por aquí y otro por aquí en dónde conocemos este ángulo de uno de ellos y este otro ángulo del otro como veis están compartiendo un cateto y ese cateto vale raíz de dos metros y lo que nos pide es esta distancia que hay aquí divide y vencerás como decían los grandísimos generales del imperio romano eso es lo que vamos a hacer aquí ahora mismo esta figura que hay aquí vamos a dividirla en dos porciones por un lado esta que hay aquí y por otro lado pues esta otra muy bien conocemos de cada una de ellas lo siguiente pues estos son 30 grados estos son 45 grados a ver a ver a ver un poco más de simetría así esta distancia que hay aquí es raíz de 2 metros igualmente raíz de 2 metros efe y esto así muy bien y lo que quiero lo que quiero calcular es este cateto voy a llamarle de su 1 y este otro de sus 2 esta distancia esta distancia va a ser de su 1 más de 2 bien pues tengo información más que suficiente para calcular lo que yo quiero siempre tengo simplemente tengo que aplicar a las funciones trigonométricas de forma inteligente tengo que aplicar las apropiadas claro y la más apropiada en este caso es tangente mirar la tangente de este ángulo tangente del ángulo 30 está dada por el siguiente cociente pues esto dividido entre este otro de 1 partido de raíz de 2 y en cuanto a batista a este otro triángulo rectángulo pues 45 la tangente va a ser a esto que es de sub 2 dividido entre el raid de 2 bueno pues muy importante muy importante recordar las razones trigonométricas para los ángulos más importantes como son 0 grados centãgrados 45 grados 60 grados 90 grados yo voy a recordar aquí cuánto es tangente de 45 por un lado 45° tangente de 45 grados es simplemente uno y por otro lado tangente de 30 grados es raíz de tres partidos de tres o lo que es lo mismo de un partido de raíz de tres esto es sin racionalizar esto es racionalizado pues tenga simplemente tengo que sustituir en esta ecuación este dato y despejar de sub 1 así que despejemos venga este con esta primera ecuación y tengo que de su 1 es simplemente raíz de 2 que multiplica a esto que aquí raíz de tres partido de 3 de 3 partido de 3 y esto sería metros porque las unidades son metros y por otro lado tendría que de sub 2 es igual a pues raíz de dos por tangente de 45 que es 1 pues por un metro y la solución final la décima parte es de que es de su uno más de sus dos pues venga de su 1 + d sub dos simplemente es pues la suma de estos términos a raíz de dos raíz de tres partidos de tres más raíz de dos esto serían metros todavía no lo voy a escribir metros pero mira puede sacar factor como una raíz de dos y sacando un factor común a esto que hay aquí ya esto que hay aquí tendría simplemente a raíz de tres partidos de tres más uno y aquí raíz de dos metros ya está no voy a usar la calculadora para nada este resultado es precioso marchando otro problema típico en donde aparecen dos triángulos rectángulos venga qué enunciado tan bonito tenemos un triángulo rectángulo grande y dentro de otro triángulo rectángulo hay dos ángulos y hay dos valores que tenemos que hallar uno es este lado y otro este pequeño trozo este pequeño trozo es decir te quise y quiero calcular x y quiero calcular y conociendo este ángulo este otro y esta pequeña distancia para toda esta familia de ejercicios en donde hay triángulos rectángulos y hay ángulos tenemos que tener muy muy claras las razones trigonométricas del seno del coseno y de la tangente y aplicar las aplicarlas en este caso particular en este caso particular lo que hay que recordar es que por ejemplo dado un ángulo o theta por ejemplo y si esto es x y xi esto es si puedo decir que la tangente de este ángulo es igual a i partido de x voy a aplicar esta razón trigonométricas la de la tangente a nuestro triángulo bueno realmente hay dos triángulos aquí los triángulos rectángulos pues vamos allá vamos a por ello para nuestro primer triángulo rectángulo el que tiene un ángulo de 30 grados me estoy refiriendo a este 30 grados esto vale y esto vale 40 metros más x 40 metros más x pues voy a tener la siguiente relación tangente de 30 es igual a y dividido entre estos 40 más x después ya pondré las unidades aquí tenemos la primera ecuación para el primer triángulo rectángulo pero tenemos otro triángulo rectángulo que deje conocemos ese ángulo me estoy refiriendo a éste esto es 47 grados esto es equis y esto es y bueno pues para este triángulo rectángulo tendré que la tangente de su ángulo 47 es igual a y partido de x conclusión conclusión primera conclusión si queremos calcular x si queremos calcular x vamos a tener que resolver este sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas una de las estrategias posibles para resolver este sistema es despejar por ejemplo la ahí voy a despejar de la primera actuación la voy a despejar de la segunda ecuación también ahí venga despejó la y aquí en este caso tendría lo siguiente tendría que ir es igual a 40 más x x tangente de 30 tangente entre y por otro lado tendría que y es igual a pues lo haré es igual a x x por la tangente de 47 aquí está nuestro sistema el mismo de antes es equivalente pero hemos despejado la ley en ambos este es el método realmente de igualación sí y es igual a esto y es igual a este otro entonces absolutamente puedo decir que estas dos cosas son iguales y el galo escribo pues tendré que 40 más x por tangente de 30 esto es igual a x por tangente de 47 claro que sí claro que sí continuemos esto implica esto implica esto implica que que que me agacho un poco pues 40 tangente de 30 más x tangente de 30 esto es igual a x tangente de 47 lo cual es equivalente a su vez lo cual es equivalente a su vez a lo siguiente mira a 40 tangente de 30 igual esto menos esto x tangente de 47 - x tangente de 30 y lo que estoy haciendo es agrupar las x hacia un lado y los términos independientes hacia otro y esto es equivalente esto es equivalente a pues 40 tangente de 30 igual a x que multiplica a tangente de 47 menos tangente de 30 llegados a este punto hay que sacar la calculadora y operaremos mira necesitamos los valores de tangente de 47 grados tangente de 30 tangente de 30 ahora hay que tener muchísimo cuidado con la calculadora con el manejo de calculadora nosotros tenemos 30 grados y 47 grados y tenemos que operar la tangente con los grados no con otras unidades no con radiales vale no os confundáis con esto tangente de 30 de 30 grados es un valor que has de conocer hasta tener en tu cabeza porque es muy importante 30 grados saber cuánto vale el seno del consejo la tangente para 30 grados y cuando tenemos tangente de 30 pues esto es igual a 1 raíz de 3 o equivalentemente raíz de 3 partido de 3 este es un valor que es conveniente tener en la cabeza pero tenemos también tangente de 47 tangente de 47 grados bueno pues este valor obviamente no lo vamos a conocer sin el uso de la calculadora y usando la calculadora con la gente de 47 que es se puede aproximar a 1,07 1,07 bien [Música] solamente nos queda introducir estos valores en esta ecuación y de aquí habremos calculado la x la x la x ajá bueno y reordenado he organizado un poco la pizarra tenemos esta esta ecuación en donde queremos hallar x sabemos qué tangente de 30 es raíz de tres partido de tres y que la ingente de 47 es 1,07 pues vamos a sustituir esos datos aquí 40 x raíz de tres partidos de 3 igual a equis y tendría aquí 107 - raíz de tres partido de tres y 40 raíz de tres partidos de 3 dividido entre esto kayak y 107 - raye tres partidos de tres y esto será x esto será x con la calculadora en mano llevamos a cabo estas pequeñas operaciones y operando operando tenemos que x igual a 23 09 / / 0,49 lo cual es igual a 47 12 y nuestras unidades eran metros pues ya está ya sabemos cuánto vale la x aquí está y lab y ela y lab y cuánto vale bueno pues simplemente tendríamos que sustituir en esta ecuación o en esta otra en esta o en esta los valores correspondientes y ya no son comodidad voy a voy a hacerlo aquí voy a calcular la ahí y la vendía nada por y es igual a x pues 47,12 por tangente de 47 pero tangente de 47 es 107 107 si y esto es 50 42 50 42 metros otro problema clásico de trigonometría con dos triángulos rectángulos vamos [Música] el problema señoras y señores aquí está el problema mirad qué bonito tenemos que calcular la equis y los datos que tenemos los podéis ver mirad los miran dos en esta figura geométrica plana tenemos un triángulo rectángulo aquí y otro más pequeñito aquí y siempre que tengamos triángulos rectángulos podemos aplicar pues las funciones trigonométricas mira las funciones trigonométricas que tienes que recordar siempre pues son las siguientes dibujo un triángulo rectángulo a ver a ver que me salga bien ahí está aquí está el ángulo este de 90 grados aquí estaría al lado al lado de y en la 12 por ejemplo bueno pues el ángulo en un ángulo del ángulo teta bueno pues las razones trigonométricas para este triángulo rectángulo serían pues para el ángulo teta seno del ángulo theta sería cateto opuesto dividido entre la hipotenusa que es a el coche no la razón ésta es seno con seno del ángulo sería el cateto que se caiga ahí el adyacente es dividido entre la hipotenusa y la tangente del ángulo teta sería este partido de aquel partido de cero bien esto que hay aquí lo tienes que tener muy claro muy claro si no tienes claro esto el gigante de resolver este tipo de ejercicios de datos que nos dan aquí podríamos usarlo podríamos hacer resolver este ejercicio utilizando este dato pero no lo vamos a hacer porque nos damos cuenta que si elegimos esta función trigonométricas la del coseno y lo aplicamos aquí a nuestro problema pues vamos a resolverlo rápidamente rápidamente venga venga venga procedamos a resolver y utilizando la función coseno y apliquemos la función con seno del ángulo 30 a este triángulo rectángulo al más grande la verdadera cual esto por ahí esto por aquí si esto por aquí y resolvamos mira vamos a aplicar lo que es la función coseno del ángulo 30 a nuestro triángulo que el triángulo que tenemos es este más formas pequeño x más 7 metros este sería este cateto esto sería 30 grados esto sería 35 metros bueno pues aplicamos a este triángulo la función coseno eso que haya ahí eso está claro con seno de 30 grados coseno de 30 grados esto va a ser igual el cateto adyacente x 7 no pongo las unidades ahora las pondré después en el resultado partido de 35 metros bien bien bien bien bueno pues tenemos que despejar la x claro venga 35 x coseno de 30 no pongo ya ni los grados igual a equis más 7 x + 7 es decir juanes decir el 35 por coseno de 30 menos 7 sería igual a x bueno mira el coseno de 30 esto tienes que saber que lo también hay cosas que hay que saberse las de memoria mira no voy a apuntar aquí coseno de 30 esto es raíz de tres partidos incluso la experiencia y algunos profesores que te obligarán esto pues es 0,8 66 hoy que me ría de 866 bueno lo quito por ahí tienes que saber que tienes que saber que lo de memoria y venga pues mirad mirad mirad 35 x 0 8 6 6 -7 igual a equis y si ahora coges una calculadora y si ahora coges una calculadora finalmente el resultado a ver haberlo visto de verdad el resultado será que x simplemente es igual a ver que lo busque a ver que lo busque que lo tengo por aquí apuntado pero tú no lo vas a ver lo voy a ver yo esto tiene que dar pues x igual a 20 y 23 x igual a 23 31 x es igual a 23 31 metros aquí está la solución venga vamos a concretar un poquito teníamos este triángulo rectángulo a este triángulo rectángulo le habíamos aplicado la función coseno la función con seno es el lado adyacente a este ángulo dividido entre la hipotenusa sí bueno pues eso no es nos hizo eso nos hizo escribir esto coseno de 30 x 7 partidos por la hipotenusa que valía 35 metros se nos determinó esta ecuación y simplemente hemos despejado la x y al final operando operando operando operando hemos obtenido finalmente que x era igual a eso que hay ahí y nada más nada más estamos un poco cansados de triángulos rectángulos así que vamos a dejar los triángulos rectángulos y vamos a aplicar la trigonometría a triángulos que no son rectángulos mira por ejemplo te presento el teorema del seno y cómo se aplica un ejemplo de aplicación del teorema del seno no es del todo cierto que las funciones trigonométricas solamente funcione para triángulos rectángulos porque ahora vamos a ver un caso en donde tenemos un triángulo que absolutamente no es rectángulo y vamos a usar las funciones trigonométricas en concreto la función seno y dentro de un teorema de una expresión maravillosa que se llama el teorema del seno aquí está [Música] el teorema del seno nos dice que el cociente de este lado entre el seno de este ángulo va a ser igual al cociente entre este lado y el seno de este ángulo y a su vez va a ser igual a este lado al cociente entre este lado y el 0 de ese otro ángulo muy bien pues de esto nos vamos a aprovechar de este maravilloso de este precioso teorema para calcular cuánto vale a y cuánto vale que venga simplemente esto es muy fácil de verdad simplemente tenemos que los datos y ponerlos ahí dentro y operar un poquito vale y ya está pues venga a meter datos como posesos y pos esas ah seno de el ángulo que es 30 pues ha dividido entre el seno de 30 tiene que ser igual a b que es 15 15 metros dividido entre seno de 40 y 50 de 45 y esto tiene que ser igual a él la 12 dividido entre seno de c fíjate 180 menos 45 menos 30 esto tiene que ser igual a 105 la suma de estos tres ángulos tiene que ser igual a 180 así que 30 más 45 más 105 verifican esto pues 0 de 105 ya está está todo expresado en grados cuidado no os hagáis un lío con los radiales y con los grados por favor relación entre grados y radiales en este vídeo que hay mucho cuidado vale mucho cuidado sustituimos datos aquí y ahora simplemente vamos a operar mira vamos a calcular ah y para calcular vamos a emplear estas dos igualdades lo voy a hacer aquí que tengo espacio pues fíjate fíjate despejó de espejo de aquí va a ser igual a 15 por el seno de 30 partido de seno de 45 amiguitos amiguitas amiguetes seno de 30 todo el mundo tiene que saber cuánto vale esto esto vale un medio pues esto igual a un medio quince por un medio un medio es 0,5 0,5 pero me la voy a poner medio un medio y dividido entre seno de 45 todo el mundo tiene que saber cuánto vale el seno de 45 el seno de 45 es raíz de dos partidos de dos y bueno pues raíz de dos partidos de dos y haciendo esta operación cilla haciendo esta operación cilla nos tiene que dar lo siguiente yo lo he hecho previamente tú no lo vas a ver pero con un papel una chuleta que pasa de unas chuletas en los exámenes bueno pues esto tiene que quedar ni más ni menos que qué que qué 10 7 a mí me da 10 7 10 7 metros bueno pues aquí tendríamos el valor de a el valor de a eso que hay ahí ahora vamos a ir a por el valor de c mira esto que hay aquí esto que hay aquí es lo que vamos a utilizar esto lo vamos a utilizar y lo voy a escribir aquí mira de aquí tengo que despejar la cee de aquí tengo que despejar la cee y de ahí la hace despejada sería así c es igual a 15 por ser no de 105 dividido entre 0 de 45 obviamente no tenéis por qué saber cuánto vale el seno de 105 el seno de 45 si el seno de 45 el radio de dos partidos dos bien pues operando esto con la calculadora no sabemos el seno de 105 obviamente te voy a dejar la calculadora pues esto va a ser igual a perdona lo tengo por aquí apuntado esto va a ser igual a pues veamos veamos a 21 vamos a escribir 121 metros 21 metros para tener coherencia escribiendo pues esta cifra sin decimales y esta con decimales pues mira te voy a escribir aquí 11 metros 11 metros redondeando ahí está 11 metros así que con la absolución final es el lado ce vale 21 metros el lado a vale 11 metros y con esto yo detendría tendríamos todos los valores de los ángulos y de los lados bueno pues fíjate qué bonito qué bonito nos ha quedado este ejercicio verdad y es bastante fácil verdad verdad es célebre también además del teorema del seno el teorema del corsé no para resolver triángulos que no son rectángulos pues mira vas a ver ahora mismo un ejemplo primero te voy a decir que es el teorema de coseno y después un ejemplo aplicación del teorema del coseno para un triángulo cualquiera la relación de un lado con los otros dos lados y el ángulo opuesto es la siguiente mira por ejemplo para el lado a pues la relación con b con c y con ese ángulos al siguiente al cuadrado es igual a b cuadrado más de cuadrado menos dos veces b por c por el coseno del ángulo qué bonito verdad qué bonito pues esto es el teorema del coseno y claro esto se va a cumplir no solamente para el lado a se va a cumplir también para el lado b y para el lado c venga vamos a escribir el teorema del consejo para el lado b también para el lado b se cumplirá lo siguiente pues b cuadrado es igual a esto al cuadrado más esto al cuadrado pues esto es igual al cuadrado más d al cuadrado menos dos veces a por c 14 por el cor seno de este ángulo opuesto al lado b pues el corsé no debe genial genial y otra cosita más otra cosita más el ángulo ce verifica lo siguiente pues este cuadrado será igual esto al cuadrado más esto al cuadrado al cuadrado más b al cuadrado - - menos dos veces a por d por el seno del ángulo opuesto a la 12 que es este otro de ahí pues construyese esto es la teoría esto es el teorema del cose no para un triángulo cualquiera ha llegado la hora de resolver dos ejercicios bueno bueno pues tenemos aquí este triángulo queremos calcular el lado a y conocemos el ángulo opuesto y dos lados más teorema del concello pues al cuadrado va a ser igual a este cateto al cuadrado que voy a llamar b pues más b cuadrado más este otro cateto al cuadrado que voy a llamar t cuadrado menos dos veces por c por el cor seno del ángulo opuesto a que es pues coseno del ángulo 30 grados 30 grados operando un poco metiendo aquí los datos voy a obtener que a cuadrado es igual a 5 al cuadrado más 8 al cuadrado menos 2 veces 5 por 8 por consejo de 30 y esto va a ser igual esto va a ser igual entonces a 25 más 8 por 8 64 menos 2 por 5 10 menos 80 por con seno del 30 tú tienes que saber cuánto vale el consejo de 30 coseno de 30 es raíz de dos partidos de 2 esto hay que saberlo de memoria y esto se puede escribir como 25 64 pues esto es 89 y menos 40 por raíz de 2000 voy a mirar lo que da esto porque lo tengo que anotado claro que si esto es 1972 igual a 1972 esto implica entonces que a es igual a más menos raíz de 1972 pero atención chicos atención chicas estamos hablando de longitudes estas longitudes no pueden ser negativas tú ya me dirás que triángulo tiene un lado negativo esto es muy extraño verdad bueno pues vamos a vamos a ignorar la parte negativa de esta raíz simplemente operando con la calculadora veremos que esto tiene que dar 444 metros este es nuestro primer ejercicio resuelto en donde dado un triángulo cualquiera que por supuesto no es rectángulo aplicando el teorema del cose no hallamos pues el valor de el lado que no conocemos [Música] qué bonito madre mía qué triangulito tan bonito bien queremos calcular el lado b y los datos ya los ves conocemos el ángulo opuesto al lado b y los otros dos lados de este triángulo que tampoco rectángulo aplicamos el teorema del consejo nuevamente de cuadrado va a ser igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados mira voy a llamar a esto por ejemplo llamó a esto a más al cuadrado más esto que voy a llamar cc cuadrado menos dos veces a por c por el costero de este ángulo que es 20 20 grados bien es decir sustituyendo datos tengo que pues 10 al cuadrado más 7 al cuadrado menos 2 por 10 por 7 por coseno de 20 pero un poquito esto será 100 más 7 por 7 49 49 menos 2 x 7 14 pues 140 por consejo de 20 mira yo no sé cuánto vale con celo de 20 así que lo tengo por aquí apuntado con seno de 20 es 0 49 pues 0,1 perdón 0,94 que 49 0.94 ya está operando un poquito operando solamente un poquitito tengo 149 menos esto por esto también lo tengo anotado que te crees tú pues ciento [Música] 31,67 nación cita tengo 17,17 coma 40 40 y cuánto vale entonces ve pues debe ser igual a más menos raíz de esta cantidad 17,40 pero vuelvo a decir otra vez lo de antes hombres y mujeres como voy a tener un lado negativo un lado de un triángulo negativo que es esto el anti universo pues no no puede ser así que pasó de las cantidades negativas y esto es más o menos pues 117 1,1 17 4 17 y 417 metros ya está ya está ahora así que si las demostraciones de las identidades de uno métricas son un clásico dentro de la trigonometría te muestra un ejemplo más o menos sencillo para empezar de cómo se puede demostrar una igualdad trigonométricas [Música] mira esto es lo que queremos demostrar 2 seno de alfa más tres dividido entre 2 tangente de alfa más tres secante de alfa es igual a por seno de alfa y como demostramos esto pues mira tenemos que partir de aquí tenemos que dar una serie de pasitos muy inteligentes y llegar finalmente a decir que esto es igual al coseno pues venga vamos allá no es muy difícil esto es una maravilla ya lo verás mira mira mira mira mira vamos a empezar tenemos aquí esto en el numerador pues lo escribimos lo escribimos como esta 2 seno de alfa más 3 dejamos el numerador como está pero en el denominador podemos hacer cositas mira tenemos que recordar que la tangente de alfa se puede escribir en función del seno y el coche no mira tangente de alfa es seno de alfa dividido entre con seno de alfa verdad y otra cosa muy importante que tenemos que recordar y es que la secante de alfa es la inversa del coseno pues venga a juan en vez de escribir secante de alfa pues escribimos 1 partido de coseno de alfa bien está claro bueno que hemos conseguido haciendo esto pues una cosa muy interesante ahora podemos reescribir este denominador de una forma más conveniente pongo eso por ahí pongo eso por ahí y voy a seguir operando aquí mira la fracción de antes está la re escribo de la siguiente manera el de el numerador no lo toco se queda como está 2 seno de alfa más 3 y el denominador eso que hay ahí lo veis lo ves bien bueno pues lo re escribo de la siguiente manera tengo aquí dos fracciones que tienen el mismo denominador no pues que puede hacer ponerlo todo bajo el mismo denominador denominador común coseno coseno de alfa verdad y nos vamos a prolongar esto un poco aquí dos seno de alfa y aquí más 3 muy bien muy bien fíjate fíjate dos seno de alfa más tres aquí dos seno de alfa más tres allá esto que hay aquí esto que hay aquí se puede reescribir voy a hacerlo paso a paso aunque de verdad si estuvieras muy acostumbrado acostumbrado a hacerlo esto sería ya inmediato pero voy a hacer aquí un pasito intermedio porque soy muy bueno muy bueno venga esto se puede escribir en forma de dos fracciones que se dividen tendría pues 2 2 seno de alfa + 3 asif dividido entre 2 seno de alfa + 3 mira no hace falta que ponga aquí paréntesis pero lo voy a poner vale porque soy muy bueno muy buenos y aquí poder pondré un 1 incluso bueno pues como se divide esto pues esto por esto dividido entre 1 por eso que haga ya esto va a ser igual venga vamos a utilizar no voy a escribirlo aquí voy a escribirlo aquí aquí mismo esto va a ser igual 2 seno de alfa más 3 x coseno de alfa y todo ello dividido entre eso que hay ahí verdad pues mira 2 seno de alfa más 3 bueno pues qué pasa ahora pues que esto que hay aquí y esto que hay aquí es igual y que nos queda de superviviente pues nos queda coseno de alfa hemos partido de esto que hay aquí mira mira mira mira mira mira y hemos llegando dando una serie de pasos inteligentes muy inteligentes todos ves los muchos pasos muchos pasos pues hemos llegado que eso que haya ahí hay muy lejos es esto que hay aquí ni más ni menos que nuestra igualdad trigonométricas olé olé olé venga otro ejemplo de demostrar una igualdad trigonométricas porque sólo uno es poco venga vamos con dos siguiente ejemplo [Música] detrás de mi cabezota tengo una igualdad trigonométricas mira bellísima bellísima voy a apartarme para que podáis saborear la como yo lo estoy haciendo ahora mismo me aparto mirad tengo una igualdad es trigo no métrica porque hay funciones trigonométricas y esta belleza que hay aquí esta maravilla que hay aquí de miembro tengo que haciendo una serie de pasos puedes convertirla en esto otro que hay aquí bueno pues que os parece si empezamos venga vamos a empezar vamos a empezar vamos a empezar hwan muy bien muy bien muy bien venga mira en casi todas las demostraciones trigonométricas de igualdades trigonométricas y viendo aquí que no tengo ningún ángulo doble ningún ángulo mitad pues él se suele utilizar en la siguiente igualdad trigonométricas a la igualdad más importante trigonométricas la igualdad fundamental es seno cuadrado de x más coseno cuadrado de x igual a 1 igual a 1 bien la experiencia me dice que tengo que meter esto aquí de alguna manera pero para hacerlo porque aparentemente veo que es imposible para hacerlo voy a tener que manipular aquí cosas y voy a empezar a dar mis primeros pasos quiero meter esto aquí dentro bien voy a preparar esto para integrar esto hay dentro venga a juan primer paso escribo esto casi casi de la misma manera mira uno más seno de x mas x seno de x dividido entre 1 - coseno de x mas seno de x mira hecho un cambio pequeñísimo esté menos coseno lo he puesto al lado del 1 y por qué hago esto juan porque hago esto pues porque esto voy a reescribir lo de una forma muy inteligente casi casi de idea feliz fijaos voy a escribirlo en rojo a ver a ver 1 - coseno de x puedo escribirlo exactamente de esta manera 1 - el consejo de x x la siguiente fracción que vale 1 pues uno más con seno de x uno más x fíjate fíjate tenemos aquí un producto conjugado de binomios y claro para poder aprovecharse de este producto tienes que tener muy clara en la cabeza el siguiente producto notable mira esto a más b y a menos b - b por a más b esto es igual a a cuadrado menos b cuadrado chicos chicas no me canso nunca de decir lo siguiente qué importantes son los productos notables a verlos si no sabemos los productos notables vamos a tener siempre muchísimos problemas y las matemáticas de secundaria nos van a parecer un error pero si conocemos bien esta estos estas igualdades de los productos notables las cosas se simplifican muchísimo bueno bueno aplicando este producto notable este un números coseno de x rápidamente se convierte en lo siguiente mira esto lo borro que no lo necesito y esto que hay aquí sería 11 al cuadrado menos coseno cuadrado de x dividido entre uno más con seno de x fijaos fijaos y yo ahora cuando esto lo meta aquí dentro en vez de escribir esto que aquí escribiré esto ya puedo utilizar esta igualdad trigonométricas fundamental ya lo veréis ya lo veréis venga esto lo escribo entonces de forma muy inteligente así uno más el seno de x más el coste no de x dividido entre esto que hay aquí es lo mismo que esto 1 - coseno cuadrado de x dividido entre 1 más con seno de x más seno de x más seno de x fenomenal venga mirad esto que aquí no lo necesito voy a borrarlo ya esto lo borro ya lo he usado no lo he tomado ya y siguiente paso siguiente paso fija fijaos 1 - coseno de x al cuadrado voy a rodearlo así con este rotulador rojo porque esto voy a reescribir lo de la siguiente manera este coseno cuadrado de x si lo llevo para ahí en esta igualdad fíjate obtengo lo siguiente esto es equivalente a el seno cuadrado de x igual a 1 - coseno cuadrado de x si verdad verdad venga pues esto esto resulta que es esto que hay aquí así que en vez de escribir 1 - 1 - coseno de x voy a escribir seno cuadrado de x venga juan vamos a por ello entonces tengo lo siguiente 1 + seno de x + coseno de x dividido entre en vez de escribir uno menos coseno cuadro de x escribo pero cuando de x seno cuadrado de x y aquí uno más el consejo de x y más seno de equis venga juan venga juan ya hemos hecho lo más complicado ahora veréis que simplemente tengo que hacer operaciones pues algebraicas con estos con estas funciones trigonométricas y se ha acabado el ejercicio venga vamos a seguir vamos a seguir el numerador cómo está uno más el seno de x más el coste de x en el denominador es seno cuadrado de x y uno más con seno de x y más fijaos me interesa muchísimo que esto que hay aquí y que esto que hay allá tengan el mismo denominador para poder operarlo junto así que esto lo multiplicó un poquito mira el seno de x lo voy a multiplicar por la siguiente fracción unidad seno de x x 1 más x 1 más de x veis haciendo esto obtengo algo completamente equivalente pero muy bueno para mí porque aquí tenemos dos fracciones con el mismo denominador que puedo operar venga juan ras uno más seno de x + co x simplemente estoy copiando el numerador y aquí ya tengo un denominador común uno más uno de x uno más con seno de x y esto que hay aquí pues será seno cuadrado de x + [Música] pues venga voy a multiplicar el seno de x por lo que hay dentro del paréntesis más seno de x más seno 0 de x coseno dx fantástico guau guau guau fantástico juan igual igual veamos veamos veamos que podemos hacer en chicos déjame ver déjame ver venga otro paso más otro paso más uno más seno de x más coseno de x esto que hay aquí está siendo dividido por esto que hay aquí pues venga como de esta manera seno cuadrado de x + 0 de x más el seno de x coseno de x y está dividido entre uno más con seno de x alguna duda chicos alguna duda y esto va a ser igual fijaos esto lo multiplicó por esto que hay aquí esto lo multiplicó por esto que hay aquí igual a pues uno más el seno de x más coseno de x x esto que hay aquí uno más eco seno de x uno más consejo de x y dividido todo dividido todo entre pues uno por todo esto es decir [Música] seno cuadrado de x + 0 de x + seno de x por coseno de x muy bien muy bien y a ver a ver a ver a ver seguro que aquí puedo sacar factor común a algo seguro que puedo hacer esto claro que sí aquí puede sacar factor común a seno de x pues venga lo voy a hacer esto es igual alguna raya de fracción el numerador como está uno más seno de x uno más seno de x más coseno de x más con seno de x multiplicado x uno más con signo de x y uno más con seno de x bien y aquí sea compacto común al seno de equis venga juan seno de equis saco factor común a lo que hay aquí a ver a ver a ver a ver vamos a ver qué nos queda mira si yo de si yo de aquí sacó sacó un 0 esto que hay aquí que me queda adentro pues otro seno me queda un seno tenía dos senos he sacado uno me queda un seno simplemente más seno de x esto es uno más uno tenía un seno de x lo sacó me queda uno y aquí me va a quedar seno de x que se nos dé x sacó fuera un seno me queda simplemente un consejo más coseno de x + co seno de x y fijaos amiguitas fijaos amiguitos amiguetes qué maravilla tengo ahora fíjate tengo en el numerador lo siguiente uno más seno de x más coseno de x y tengo un del en el denominador uno más seno de x más coseno de x que es lo mismo es lo mismo así que sin perder el tiempo voy a deshacerme de esto y de esto otro la la la la la y habiendo hecho esta simplificación que me queda que me queda pues me queda entonces que esto que había aquí inicialmente pues es igual a 1 + coseno de x dividido entre seno de x que es precisamente la igualdad que había aquí fantástico fantástico ya me quedan solamente dos cosas por decir la primera de todas colorín colorado este ejercicio se ha terminado y no me quedo a gusto si no vemos una tercera demostración de una igualdad trigonométricas y ahora además en donde aparece un ángulo doble marchando por favor marchando preparaos para demostrar una igualdad trigonométricas bellísima bellísima así pues venga vamos vamos vamos a por ella esta igualdad tan bonita está igual a trigonométricas es ésta seno de 2 alfa igualados tangente de alfa dividido entre 1 + tangente cuadrado de alfa muy bien que tenemos que saber para poder demostrar que seno de los alfa es esto que hay aquí pues tenemos que recordar tres cosas tres cosas la primera cosa pues que tangente de alfa es pues el seno de alfa partido de coseno de alfa sí y otra cosa que hay que recordar es que el seno cuadrado de alfa más el corsé no cuadrado de alfa esto es igual a 1 y otra cosa más y otra cosa más esta identidad para el ángulo doble del seno pues seno de 2 alfa igualados por el seno de alfa por con seno de alfa muy bien con estas con estas tres armas yo puedo demostrar que esto es verdad venga vamos vamos a ver cómo lo podemos hacer el método consiste en lo siguiente partiendo del seno de dos alfa hay que dar una serie de pasos apropiados y en el último de ellos vamos a obtener esto que hay aquí y vamos a por nuestro primer paso el primer paso es pues por ejemplo escribir seno de dos alfa de esta manera porque tenemos aquí celo de dos alfa y queremos llegar a una expresión en donde solamente está el parámetro alfa venga pues esto está muy bien indicado 2 seno de alfa por coseno de alfa esto puede ser igual aquí vamos a hacer el segundo paso mirad tenemos ya algo muy bueno solamente hay alfa no haya 2 alfa pero tenemos aquí un 2 tenemos aquí un 2 fenomenal pero tenemos tangente ya quieren tangente pero sabemos que la tangente es eso que hay aquí así que podemos tener una tangente si hacemos lo siguiente 2 seno de alfa coseno de alfa jaja aquí tenemos ya la tangente consejo de alfa pero aquí hemos puesto un consejo de alfa pues aquí hay que poner otro coseno de alfa porque el corsé no de alfa dividido entre coseno de alfa realmente es 16 que truquito más bueno con esto podemos reescribir pues que seno de los alfa es 2 tangente de alfa x coseno cuadrado de alfa muy bien muy bien se parece el 2 y tangente de alfa veis pero tenemos que ahora que tenemos que sacar de alguna manera un denominador y como lo hacemos como poco bueno pues aquí para sacarnos de la manga un denominador va a entrar en juego esta famosísima expresión muy relacionada con el teorema de pitágoras que nos dice que uno es igual a seno cuadrado de alfa x con seno cuadrado de alfa pues venga a esto que hay aquí es lo mismo que yo partido entre uno claro pero mirad si esto es verdad yo puedo escribir lo siguiente puedo escribir qué seno de 2 alfa es pues 2 tangente de alfa por coseno cuadrado de alfa voy a escribir este signo aquí dividido entre 1 pero uno es esto seno cuadrado de alfa más coseno cuadrado de alfa para seguir a no pasas necesita espacio así que borrar el borrego robo resta para aquí es fantástico ahora ya tengo espacio para terminar y venga rápido voy a terminar ahora mismo esto lo vuelvo a escribir otra vez aquí como 2 tangente de alfa por echo seno cuadrado de alfa dividido entre mirad coseno cuadrado de alfa coseno cuadrado de alfa más seno cuadrado de alfa esto es 1 esto es 1 mirad qué voy a hacer ahora mismo todo lo que hay en el numerador lo multiplicó por 1 partido de josé no cuadrado de alfa y si hago esto en el denominador tengo que hacer lo mismo en el numerador pues venga en el numerador hago lo mismo multiplicó el numerador por 1 dividido entre coseno cuadrado y qué pasa chicos y chicas cuando hago esto a ver qué prolonga un poco este esta fracción pues cuando hago esto obtengo una cosa buenísima obtengo esto esto que hay aquí pues dos tangente de alfa cos x costero cuadrado de alfa partido de coseno cuadrado de alfa sí sí sí y aquí multiplicando cada uno de estos términos por 1 partido de coseno cuadrado de alfa pues tengo esto con seno cuadrado de alfa por aquí consignó cuadrado de alfa por allá más seno cuadrado de alfa por aquí coseno cuadrado de alfa por allá y entonces cuántas cosas se simplifican venga a mirar esto y esto se va esto esto y esto se va que es 1 luego esto es 2 tangente de alfa por 1 más 1 partido de seno cuadrado de alfa partido de coseno cuadrado de alfa esto es tangente cuadrado de alfa tangente cuadrado de de alfa pues qué emoción qué emoción fijaos chicos esto es lo mismo que esto que hay aquí así que hemos demostrado la igualdad que queríamos demostrar qué éxito pues colorín colorado este vídeo ha terminado claro que sí claro que se quedan cosas en el tintero pero sabéis que hay que elegir hay que elegir y el vídeo no puede durar en un día entero lo más importante es lo que hay aquí si tenéis dudas si queréis comentar cualquier cosa sobre este vídeo sobre trigonometría o cualquier cosa o simplemente saludarme por favor me escribís debajo de la zona de comentarios debajo del vídeo la zona de comentarios y muy importante sus tibios a este canal que se llama matemáticas con cuando venga frutos [Música] [Música]