Catatan Kuliah Teori Himpunan

Pengenalan

• Lanjutan materi dari video sebelumnya tentang konsep himpunan dan operasi-operasi himpunan.
• Fokus pada propertis dan prinsip-prinsip dalam operasi himpunan serta teknik membuktikan proposisi tentang himpunan.

Hukum-Hukum Himpunan

• Terdapat 11 hukum dalam aljabar himpunan yang perlu dihafalkan:
  1. Hukum Identitas
     • A ∪ ∅ = A
     • A ∪ U = U
  2. Hukum Nul (Dominasi)
     • A ∩ ∅ = ∅
     • A ∪ U = U
  3. Hukum Komplement
     • A ∪ A' = U
     • A ∩ A' = ∅
  4. Hukum Idempoten
     • A ∪ A = A
     • A ∩ A = A
  5. Hukum Involusi
     • (A')' = A
  6. Hukum Penyerapan
     • A ∪ (A ∩ B) = A
     • A ∩ (A ∪ B) = A
  7. Hukum Komutatif
     • A ∪ B = B ∪ A
     • A ∩ B = B ∩ A
  8. Hukum Asosiatif
     • A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C
     • A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C
  9. Hukum Distributif
     • A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
     • A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
  10. Hukum De Morgan
  • (A ∪ B)' = A' ∩ B'
  • (A ∩ B)' = A' ∪ B'
  11. Hukum Zero-One
  • ∅' = U
  • U' = ∅

Prinsip Dualitas

• Dua konsep yang berbeda dapat saling dipertukarkan menghasilkan jawaban yang benar.
• Contoh dalam sistem kemudi mobil di Amerika dan Inggris.
• Dalam himpunan, dual dari operasi gabungan adalah irisan dan sebaliknya.

Prinsip Inklusi-Eksklusi

• Digunakan untuk menghitung kardinalitas dari operasi gabungan dan irisan dua himpunan.
• Contoh menghitung bilangan bulat antara 1 dan 100 yang habis dibagi 3 atau 5.
• Rumus:
  • A ∪ B = |A| + |B| - |A ∩ B|
  • A - B = |A| - |A ∩ B|

Partisi

• Definisi partisi himpunan A adalah sekumpulan himpunan bagian yang tidak kosong dan tidak beririsan.
• Contoh: Mengelompokkan mahasiswa dalam kelas.

Himpunan Ganda (Multiset)

• Himpunan yang elemennya boleh berulang.
• Contoh: menghitung kardinalitas pada multiset berdasarkan multiplicitas elemennya.

Membuktikan Proposisi

• Proposisi berupa kesamaan atau implikasi.
• Metode pembuktian:
  • Menggunakan diagram Venn.
  • Menggunakan tabel keanggotaan (mirip tabel kebenaran di logika).
  • Menggunakan hukum-hukum aljabar himpunan.

Teknik Pembuktian

• Pembuktian dengan diagram Venn cocok untuk himpunan sedikit (2 atau 3).
• Pembuktian formal menggunakan hukum-hukum himpunan yang telah dijelaskan.

Contoh Soal dan Pembuktian

• Banyak contoh soal untuk latihan terkait operasi himpunan.
• Contoh: A - B ∩ C = A - C ∪ B - C.

Penutup

• Materi tentang himpunan penting dalam teori matematika.
• Pembelajaran mengenai penerapan himpunan dalam bahasa formal dan program.
• Soal latihan diberikan untuk memperdalam pemahaman.