Kuliah Teori Himpunan dan Pembuktian

Halo guys, para mahasiswa ku semuanya. Kita lanjutkan materi kuliah kita tentang teori himpunan. Pada video bagian pertama, kita sudah mempelajari tentang konsep himpunan serta operasi-operasi pada himpunan. Pada video bagian kedua ini, kita akan membahas propertis atau sifat-sifat pada himpunan serta beberapa prinsip pada operasi himpunan dan teknik untuk membuktikan proposisi tentang himpunan. Saya ucapkan, selamat menaksikan. Kita mulai dengan hukum-hukum yang terdapat pada himpunan. Di dalam himpunan terdapat sejumlah hukum yang disebut juga dengan sifat-sifat atau propertis himpunan. Hukum-hukum itu sering dinamakan juga hukum aljabar himpunan. Karena operasi-operasi di dalam hukum itu mirip seperti pada aljabar bilangan bulan atau bilangan real. Itu terdapat hukum seperti distributif, asosiatif, komutatif, dan sebagainya. Ada 11 hukum yang perlu kalian ketahui dan saya harapkan ini bisa dihafalkan karena akan digunakan untuk membuktikan kesamaan atau proposisi tentang himpunan nantinya. Yang pertama hukum identitas. Hukum identitas ini adalah himpunan A jika digabung dengan himpunan kosong sama dengan himpunan A. Ini tidak berubah ya. Atau himpunan A jika digabung dengan himpunan semesta U sama dengan himpunan U. Jadi ada 2 hukum di sini. Yang kedua hukum nul atau dominasi. Impunan A diiris dengan impunan kosong, itu mengasihkan impunan kosong. Impunan A digabung dengan semesta U, itu sama dengan impunan semesta U. Yang ketiga hukum komplement. Impunan A digabung dengan komplementnya, itu sama dengan semesta U. Impunan A diiris dengan komplementnya, sama dengan impunan kosong. Yang keempat hukum idempoten. Impunan A digabung dengan impunan... A itu sendiri sama dengan A atau himpunan A diiris dengan A sama dengan himpunan A itu sendiri. Yang kelima hukum involusi. Himpunan A dikomplementkan lalu dikomplementkan lagi menghasilkan himpunan A semula yang keenam hukum penyerapan atau apsopsi. Himpunan A digabung dengan hasil operasi A irisan B sama dengan A atau himpunan A diiris dengan hasil operasi A digabung B sama dengan A Jadi di sini operasi impunan ini terserap menjadi impunan A. Yang ketujuh, hukum komutatif. Impunan A digabung dengan B, sama dengan B digabung A. Atau impunan A diiris dengan B, sama dengan B diiris A. Jadi ini mirip seperti aljabar dengan bilangan bulat yang juga berlaku hukum komutatif. Atau aljabar bilangan real. Yaitu A ditambah B, sama dengan B ditambah A. A dikali B, sama dengan B dikali A. Yang kelima, panhukum asosiatif. Kumpulan A digabung dengan hasil operasi B digabung C sama dengan A digabung B, kumpulan A digabung dengan C. Kumpulan A diiris dengan irisan B gabung C sama dengan A iris B digabung C. Yang ke-9, hukum distributif. Kumpulan A digabung dengan B iris C sama dengan A digabung B digabung C. Atau, kumpulan A digabung dengan B iris C sama dengan A irisan B digabung dengan A irisan B. C. Ini mirip juga seperti hukum distributif dalam aljambat bilangan real atau bilangan bulan. Yang ke sepuluh, ini juga hukum yang penting, hukum demorgan. A digabung B lalu dikomplementkan sama dengan. A komplement digabung dengan B komplement. A gabung B dikomplementkan sama dengan. A komplement diis dengan B komplement. Dan yang sebelas adalah hukum zero one. Itu himpunan kosong dikomplementkan. Itu semenit. Impunan semesta U. Impunan semesta U dikomplementkan sama dengan impunan kosong. Nah, mohon ini dihafalkan nantinya. Kita akan gunakan ini selanjutnya. Di dalam impunan terdapat dua prinsip penting yang nantinya akan digunakan untuk menyelesaikan persoalan-persoalan yang terkait dengan impunan. Yaitu persoalan untuk menghasilkan suatu kesamaan baru tentang ekspresi impunan dan persoalan untuk untuk menghitung kardinalitas dari operasi impunan. Kita mulai dengan prinsip dualitas. Dual ini artinya dua. Di sini berbunyi, dua konsep yang berbeda itu dapat saling dipetukarkan, namun tetap memberikan jawaban yang benar. Contoh ilustrasi prinsip dualitas dalam dunia nyata, misalnya dalam sistem kemudi mobil di Amerika dan di Inggris. Di Amerika Serikat, kemudi mobil letaknya di... kiri depan Setir kemudinya terletak di kiri depan. Sedangkan di Inggris, juga di Indonesia, kemudi mobilnya terletak di sebelah kanan depan. Akibat sistem kemudi mobil yang berbeda di kiri dan di kanan ini, ini menghasilkan dua peraturan yang berbeda di Amerika dan di Inggris. Di Amerika Serikat, mobil harus berjalan di bagian kanan jalan. Sedangkan di Inggris, mobil harus berjalan di bagian kiri jalan. Di Amerika Serikat, pada jalan yang berlajur banyak, seperti di jalan tol, maka lajur kiri untuk mendahului. Sedangkan di Inggris, juga di Indonesia, pada jalur yang berlajur banyak, seperti di jalan tol, lajur kanan untuk mendahului. Jadi kalau Anda pernah melalui jalan tol, di jalan tol itu ada papan petunjuk mengatakan lajur kanan untuk mendahului. Di Amerika Serikat, bila lampu merah menyala, mobil belok kanan boleh langsung. Sedangkan di Inggris, juga di Indonesia, bila lampu merah menyala, mobil belok kiri itu boleh langsung prinsip di Amerika dan di Inggris ini, kita sebut prinsip dual konsep kiri dan kanan di Amerika maupun di Inggris, dapat saling dipertukarkan, sehingga peraturan yang berlaku di Amerika juga menjadi berlaku di Inggris dengan hanya mempertukarkan kanan dan kiri jadi kalau kita berada di Amerika Serikat, kita ingat bahwa aturannya di kanan jalan. Tapi ketika kita berada di Inggris atau di Indonesia, ini kita ganti. Yaitu kita berjalan di bagian kiri jalan. Ini contoh gambar. Di Amerika Serikat, setir mobilnya di sebelah kiri. Sedangkan di Inggris atau di Indonesia, setir mobilnya di sebelah kanan. Di Amerika Serikat, mobil berjalan di lajur kanan. Sedangkan di Indonesia atau di Inggris, Mungkin berjalan di lajur kiri. Nah, dengan mempertukarkan konsep kiri dan kanan ini, maka aturan yang berlaku di Amerika juga bisa berlaku di Inggris atau di Indonesia hanya dengan mengganti kiri dan kanan. Nah, ini yang dinamakan dengan prinsip dualitas. Lalu, apa kaitan prinsip dualitas itu pada impunan? Nah, misalkan kita memiliki suatu kesamaan atau identiti yang kita sebut dengan S. Di dalam kesamaan itu terdapat... impunan dan operasi-operasi seperti gabungan, irisan, dan komplement. Jadi hanya 3 operasi ini saja. Kita dapat membentuk kesamaan baru yang disebut dengan S bintang. Kesamaan baru ini diperoleh dari S dengan hanya mengganti gabungan dengan irisan, irisan, dan gabungan impunan kosong dengan semesta U, semesta U dengan impunan kosong. Sedangkan komplement dibiarkan apa adanya, seperti semula. Maka, kesamaan S bintang ini juga benar. Nah, S bintang ini disebut dengan dual dari kesamaan S. Jadi, dual dari operasi gabungan adalah irisan. Dual dari irisan adalah gabungan. Dual dari impunan kosong adalah semesta U. Dual dari semesta U adalah impunan kosong. Perhatikan bahwa di sini hanya operasi gabungan dan irisan serta komplement. Kalau di dalam kesamaan itu terdapat operasi selisih, atau beda setangku, atau perkalian kertesian, maka prinsip dualitas ini tidak berlaku. Pada hukum-hukum himpunan, kita dapat melihat bahwa untuk setiap hukum itu terdapat dual yang masing-masing. Yaitu A digabung dengan 0 sama dengan A. Maka dual ya. A diiris dengan U sama dengan A. Jadi kita ganti gabungan ini dengan irisan, dan 0 kita ganti dengan U. Kemudian hukum 0 atau dominasi, A diiris kosong sama dengan kosong, kita ganti irisan ini dengan gabungan, kemudian kosong kita ganti dengan U, maka dualnya adalah A digabung A sama dengan U. Hukum komplement, A digabung A komplement sama dengan U, maka dualnya kita ganti gabungan ini dengan irisan, dan U dengan kosong, maka dualnya adalah A digabung A komplement sama dengan kosong. Hukum idempoten, A digabung A sama dengan A. Dualnya A iris A sama dengan A. Jadi diganti gabungan dengan irisan. Jadi ini tetap benar. Hukum penyerapan, A gabung A irisan B sama dengan A. Dualnya adalah A irisan. A gabung B sama dengan A. Begitu juga hukum komutatif. Ini dualnya. Hukum asosiatif, ini dualnya. Hukum distributif, ini dualnya. Kita lihat disini gabungan diganti dengan irisan. Kirisan dikaiti dengan kegabungan. Begitu juga yang di sebelah kanan ini. Hukum demorgan A gabung B komplement sebanding A komplement. diiris dengan B komplement maka dualnya A iris B komplement A komplement digabung B komplement jadi ini tetap benar ini hukum 0-1 dualnya jadi kalau kita mempunyai suatu kesamaan ini contoh kesamaan yang melibatkan operasi-operasi seperti irisan gabungan komplement dari impunan A dan B ini kesamaan, jadi ada sama dengannya maka dualnya kesamaan ini adalah tinggal kita ganti ilisan dengan gabungan, gabungan kita ganti dengan ilisan komplement dibiarkan tetap adanya maka kesamaan baru ini ini juga tetap benar ini juga dengan dual prinsip yang kedua adalah prinsip inklusi-eksklusi prinsip ini digunakan untuk menghitung berapa kardinalitas dari operasi gabungan dan yang setangkup dari dua himpunan kita ingat bahwa A digabung B Itu beranggotakan semua impunan A ditambah dengan semua impunan B termasuk disini juga irisannya. Nah dalam menghitung berapa kardinalitas dari A dikabung B dilambangkan dengan ini maka kita include atau kita masukkan terlebih dahulu kardinalitas A ditambah dengan kardinalitas B. Nah di dalam perhitungan ini irisan ini terhitung dua kali dalam menghitung kardinalitas A dan B. karinialitas B padahal kita hanya membutuhkan 1 kali saja perhitungannya, oleh karena itu kita exclude kita keluarkan 1 perhitungan A irisan B makanya ini dinamakan prinsip inklusi-eksklusi sedangkan pada A beda setangkup dengan B karinialitasnya dilihat dari gambar ini A beda setangkup dengan B itu beranggotakan himpunan A dan himpunan B, tapi tidak termasuk irisan keduanya Oleh karena itu, kardinalitas dari A berdasarkan dengan B, kita include, kita masukkan kardinalitas A dan B, lalu kita keluarkan, kita exclude yang irisan ini, yang terhitung 2 kali tadi. Berarti 2 kali A irisan B. Contoh yang sangat bagus memperlihatkan penggunaan prinsip inklusi dan eksklusi, misalnya pada contoh 24 ini. Terapa banyak bilangan bulat antara 1 dan 100 ya? Nah, antara 1 dan 100 termasuk 1 dan 100 itu sendiri. Yang habis dibagi 3 atau 5? Kalau ini kita hitung secara enumerasi, bisa saja ya. Jadi, bilangan antara 1 sampai 100 itu, yang habis dibagi 3 atau 5 adalah 3, 6, 9, 12, lalu 5, 10, 15, 18, dan seterusnya. Itu bisa saja ya, kalau misalnya... Banyaknya bilangnya sedikit. Bagaimana kalau misalnya antara 1 sampai 100 ribu? Atau 1 sampai sejuta? Jelas cara seperti itu sangat tidak bagus. Nah, di sini kita misalkan A, himpunan bilangan bulat yang habis dibagi 3. B, himpunan bilangan bulat yang habis dibagi 5. Nah, maka antara 1 sampai 100 yang habis dibagi 3 atau 5, itu berarti bisa dihabis dibagi 3 saja. Atau habis dibagi 5 saja, atau termasuk juga habis dibagi 3 dan 5. Oleh karena itu, kita harus menghitung berapa banyak A irisan B, yaitu impunan bilangan bulat yang habis dibagi 3 dan 5. Jadi, makna irisan itu adalah dan. Nah, bilangan bulat yang habis dibagi 3 dan 5, itu artinya bilangan bulat yang habis dibagi oleh KPK dari 3 dan 5. KPK dari 3 dan 5 adalah 15. Jadi A X dan B ini adalah impunan 9 bulan yang habis dibagi oleh 15. Yang ditanya adalah A gabung B kardinalitasnya. Karena dari kalimat ini, habis dibagi 3 atau 5 itu bisa habis, saya ulang kembali, bisa habis dibagi 3 saja atau 5 saja atau keduanya. Berarti itu gabungan. Nah kita hitung kardinalitas dari A, operasi pembulatan floor seperti ini, itu banyaknya bilangan antara 1 sampai 100 sama 1. termasuk 1 dan 100 itu adalah 100 buah bilangan. Dibagi dengan 3, kita berulang ke bawah, datang ke 3. Kardinalitas dari B, 100 dibagi 5, 20. Kardinalitas dari A irisan B, 100 dibagi 15, itu 6. Sehingga, kardinalitas dari A digabung B, adalah A tambah B, dikurang A irisan B. 33 tambah 20 kurang 6, sama dengan 47. Jadi ada 47 buah bilangan, bulannya habis dibagi 3 atau 5. Jadi kita bisa menghitung untuk Misalnya bilang bulan antara 1 sampai 100 ribu, misalnya, tanpa kita perlu mengenumerasi. Prinsip inklusi dan eksklusi untuk 2 input itu bisa kita rampatkan untuk 3 buah himpunan A, B, dan C. Jadi kardinalitas dari A digabung B digabung C sama dengan kardinalitas A tambah kardinalitas B tambah kardinalitas C dikurang kardinalitas A iris B dikurang kardinalitas A iris C dikurang kardinalitas B iris C ditambah dengan kardinalitas A iris B iris C. Sedangkan untuk N buah himpunan atau R buah himpunan Maka Prisi inklusi dan eksklusi itu, yaitu A1 gabung A2 gabung seterusnya gabung AR, kardinalitasnya adalah penjumlahan dari kardinalitas AI, dikurang penjumlahan dari kardinalitas AI diiris dengan AJ, untuk I dan J antara 1 sampai R, ditambah dengan kardinalitas dari AI iris AJ iris AK. Untuk IJK antara 1 sampai R ditambah dengan min 1 pangkat R min 1. A1 iris A2 iris dan seterusnya iris AR. Coba Anda periksa apakah untuk R sama dengan 3 sama dengan ini. Nah soal latihan ini itu mirip dengan contoh yang dijelaskan sebelumnya ya. Di antara bilangan bulan antara 101. 1-600 termasuk 101 dan 600 itu sendiri berapa banyak bilangan yang tidak habis dibagi oleh 4 atau 5 namun tidak keduanya artinya tidak habis dibagi oleh 4 dan 5 penyelesaiannya adalah sebagai berikutnya misalkan U adalah semesta pembicaraan yaitu banyaknya bilangan berat antara 101 sampai 600 termasuk 101 dan 600 itu sendiri Berarti kardinalitas U itu adalah 500. A adalah impunan bilangan bulat antara 101 sampai 600 yang habis dibagi oleh 4. Kardinalitas A adalah 600 dibagi 4, dikurang 100 dibagi 4, dibawahkan ke bawah. Berarti 150 kurang 25 sama dengan 125. Atau bisa juga langsung 500 dibagi dengan 4, 125. B adalah impunan bilangan bulat yang habis dibagi oleh 4. dibagi oleh 5. Kardinalitas B adalah 600 dibagi 5, dikurang 100 dibagi 5, dibulatkan ke bawah, sama dengan 120 kurang 20, semenuruhnya 100. Atau bisa langsung 500 dibagi 5, yaitu 100. A irisan B adalah himpunan jenama bulat antara 100, 1 sampai 600, yang habis dibagi oleh 4 dan 5. Kardinalitas A irisan B adalah 600 dibagi 20. 20 adalah KPK dari B. 4 dan 5, kelipatan perseguduan terkecil, yaitu 20. 600 bagi 20 dikurang 100 bagi 20, itu 30 kurang 5 sama dengan 25. Atau bisa langsung juga 500 dibagi 20, yaitu 25. Nah, yang ditanyakan adalah kardinalitas komplement dari A, X, or B. Kenapa komplement? Karena di sini dalam soal dikatakan yang tidak habis dibagi oleh 4 atau 5, namun tidak keduanya. Sekarang dibuang dulu kata tidak. Habis dibagi oleh 4 atau 5 namun tidak keduanya. Berarti itu adalah operasi beda setangkuk atau XOR. Jadi A, XOR, B. Namun di sini ada kata tidak habis dibagi oleh 4 atau 5 namun tidak keduanya. Berarti komplementnya. Karena itu di sini yang ditanya adalah kardinalitas dari komplement A, XOR, B. Kita hitung sebelumnya, berapa A XOR B dengan prinsip inklusi-eksklusi. Yaitu kardinalitas A ditambah kardinal B dikurang 2 kali kardinal A dirisan B. 125 ditambah 100 kurang 50. Sama dengan 175. 50 ini 2 kali 25. Berarti komplement dari A XOR B. Kardinalnya adalah, berarti semesta pembicaranya Yaku dikurang dengan kardinalitas dari A X Y B. Berarti 500 kurang 125, sama dengan 325. Konsep lain yang penting dalam teori impunan adalah partisi. Dengan partisi ini, sebuah impunan dibagi menjadi sejumlah impunan-impunan bagian. Namun tidak ada di antara impunan-impunan bagian itu yang saling beririsan satu sama lain. Nah, definisinya sebagai berikut ya. Partisi dari sebuah impunan A adalah sekumpulan impunan bagian yang tidak kosong dari A, yaitu A1, A2, dan seterusnya, sedemikian sehingga A1 digabung dengan A2, digabung dengan A3, dan seterusnya, itu akan menghasilkan kembali impunan A. Dan irisan antara dua impunan bagian, yaitu AI diirisan dengan AJ, itu sama dengan kosong. Yaitu AI dan AJ saling lepas. Untuk I tidak sama dengan J. Misalnya, sebuah kelas mahasiswa dapat dianggap sebagai sebuah impunan. Misalkan sebuah kelas berisi 20 orang mahasiswa. Lalu dosen membagi menjadi 5 buah kelompok. Kelompok pertama beranggotakan 5 orang, kelompok kedua 6 orang, kelompok ketiga 4 orang, kelompok keempat 3 orang, dan kelompok kelima 2 orang. Nah, gabungan dari semua kelompok itu sama dengan seluruh anggota kelas. Dan tidak ada anggota kelompok yang beririsan antara satu kelompok dengan kelompok lain. Kelompok itu dipandang sebagai sebuah partisi. Contoh misalnya kita mempunyai impunan A yang berpengurutan 1 sampai 8, maka kita dapat membentuk partisi dari impunan A ini. Itu adalah impunan bagian yang tidak kosong, yang tidak beririsan satu sama lain. Misalnya ini, impunan yang berpengurutan 1, berpengurutan 2, 3, 4, berpengurutan 7, 8, berpengurutan 5, 6. Tidak ada di antara impunan bagian ini yang beririsan satu sama lain. Dan gabungan dari semuanya akan membentuk impunan A semula. Kita dapat menentuk partisi-partisi lain dari ini dengan syarat 2 ini dipenuhi. Sampai sejauh ini kita baru membahas tentang himpunan, yaitu kumpulan elemen-elemen yang berbeda satu sama lain. Boleh jadi di dalam himpunan itu terdapat perulangan elemen. Oleh karena itu konsep himpunan ini kemudian diperluas menjadi konsep himpunan ganda atau multiset. Nah, himpunan ganda atau multiset itu adalah himpunan yang elemennya boleh berulang. Jadi tidak harus berbeda seperti halnya pada set atau himpunan. Contohnya ini ya, ini satunya terulang 3 kali. 2, 2 kali. 3, 1 kali. Ini juga. Nah, didefinisikan multiplicitas dari satu elemen pada himpunan ganda adalah jumlah kemunculan elemen tersebut pada himpunan gandanya. Jadi pada himpunan ganda M ini. Elemen 1 muncul 4 kali. Multiplikasitas 1 adalah 4. Itu juga 0. Ini juga multiplicitasnya adalah 4. Nah, impunan atau set merupakan contoh khusus dari suatu multiset. Yang nama begini, multiplicitas setiap elemen pada set, pada impunan, itu adalah 0 atau 1. Kemudian, bagaimana menghitung kardinalitas pada suatu multiset? Kalau pada impunan... biasa atau impunan set kardinalitasnya untuk elemen yang berulang tetap dianggap satu kali munculnya jadi 1, 1, 1, 2, 2, 3 ini sama saja dengan impunan 1, 2, 3 kardinalitasnya adalah 3 tetapi pada multiset kardinalitas dari suatu multiset didefinisikan sebagai kardinalitas impunan yang akivalen dengan mengaksesikan semua elemen di dalam multiset berbeda jadi ini Kumpulan A ini, ini sebuah multiset. Kita bisa padankan dengan sebuah kumpulan lain yang ekivalen kumpulan A ini dengan menganggap setiap elemen dalam kumpulan ini berbeda. Jadi misalnya kita punya kumpulan B, yang anggotanya adalah A, B, C, D, E, F. Kardialitas kumpulan A ini sama dengan kardialitas kumpulan yang ekivalen dengan kumpulan A tersebut. Berarti sama dengan kardialitas kumpulan B. Itu 6. Dengan kata lain, kardinalitas simpulan A itu adalah jumlah semua multiplicitas setiap elemennya. Berarti di sini multiplicitas 1 adalah 3, multiplicitas 2 adalah 2, multiplicitas 3 adalah 1. Jadi kardinalitas A itu adalah 3 ditambah 2 ditambah 1. Berarti sama dengan 6. Atau langsung kita hitung saja berapa banyak elemen dalam multiplicitas A ini. Operasi multiplicitas berikutnya adalah selisih, yaitu P kurang Ki. P kurangi menghasilkan sebuah multiset yang multiplicitas elemennya adalah salah satu dari dua kemungkinan berikut. Yaitu, multiplicitas elemen tersebut pada P dikurangi multiplicitas elemen tersebut pada Q. Apabila selisih kedua multiplicitas tersebut positif. Atau 0 jika selisihnya 0 atau negatif. Contohnya seperti ini. Multiset P ini mengatakan AAA. B, B, C, D, D, E Dan Q berkotakan A, A, B, B, B, C, C, D, D, F. Nah, kita kurang ya. Di sini multiplicitas A adalah 3. Di sini adalah 2. Berarti 3 kurang 2, 1. Berarti P kurang Q ini menghasilkan multiplicitas yang A-nya satu elemen. Satu saja. B di sini 2, di sini 3. Berarti 2 kurang 3 negatif. Kalau negatif, berarti multiplicitas B itu adalah 0. Berarti di sini B tidak ada ya, 0. C di sini 1, di sini 2. 1 kurang 2, minus 1. Berarti multiplicitas C adalah 0 di dalam hasil pengurangannya. Berarti tidak ada C. D di sini 2, di sini 2. 2 kurang 2, 0. Berarti multiplicitas D di sini 0, berarti tidak ada D. E di sini 1, di sini 0. 1 kurang 0, lalu 1. Berarti ada 1 buah E. Sehingga P kurang Q itu adalah A, E. Kemudian ada operasi yang khusus untuk multi set namanya operasi penjumlahan. Ini tidak sama dengan berdasar tangkuk. P tambah Ki itu didefinisikan sebagai jumlah dua buah himpunan ganda, yaitu menghasilkan multi set yang multiplicitas elemennya sama dengan penjumlahan dari multiplicitas elemen tersebut pada P dan Ki. Jadi kalau P di sini multi set A, A, B, C, C, Ki adalah multi set A, B, B, D. Maka P tambah Ki, ya kita jumlahkan saja ya, multiplicitas masing-masing elemennya. Di sini 2, di sini 1. Berarti ini masih kan multisetnya, ya, berantakan A-nya 3 buah. B di sini 1, di sini 2, 1 tambah 2, 3. Berarti 3. C di sini 2, di sini tidak ada, 2 tambah 0, berarti 2. D di sini 0, di sini 1, berarti D-nya 1. Ya, nah bagaimana membedakan apakah ini set atau multiset? Biasanya, Diberikan informasi. Didefinisikan sebuah himpunan. Itu berarti itu adalah set. Didefinisikan sebuah himpunan ganda. Atau multiset. Berikutnya adalah bagaimana kita memuktikan proposisi yang berkaitan dengan himpunan. Proposisi adalah ungkapan kalimat matematik yang menilai benar atau salah. Proposisi yang berkaitan dengan himpunan adalah proposisi yang melibatkan himpunan dan operasi-operasinya. Proposisi yang berkaitan dengan himpunan itu dapat berupa salah satu dari dua bentuk seperti berikut. Pertama, proposisinya berbentuk kesamaan atau identiti. Misalnya, buktikan bahwa A irisan B gabung C sama dengan A irisan B digabung A irisan C. Jadi buktikan kesamaan ini benar. Kedua, proposisi juga bisa berbentuk implikasi. Itu dalam kalimat jika maka. Atau B implikasi juga bisa seperti itu. Misalnya buktikan bahwa, jadi buktikan pernyataan yang di api tanah petik ini, jika irisan B sama dengan kosong, dan A impunan bagian itu sama dengan B gampung C, maka selalu berlaku bahwa A impunan bagian itu sama dengan C. Bagaimana cara membuktikan proposisi? Kedua, proses seperti ini. Cara pembuktian pertama adalah dengan menggunakan diagram Venn. Jadi, kalau kita memiliki suatu proposisi yang berbentuk kesamaan seperti ini, maka kita gambarkan diagram Venn untuk masing-masing ruas kesamaan. Misalkan A, B, dan C himpunan. Buktikan bahwa A irisan dari B gabung C sama dengan A irisan B digabung dengan A irisan B. C. Kita gambarkan di garam van untuk ruas kiri ini. Jadi A diiris dengan B gabung C, itu adalah yang garam diarsir. Kemudian ruas kanannya, A diiris dengan B dan digabung dengan A diiris dengan C, itu adalah yang ini. Ternyata sama. Kedua garam van memberikan area arsir yang sama. Oleh karena itu, terbukti bahwa A irisan B gabung C sama ini. A isan B, dikabung A isan C. Namun, pembuktian dengan negara MPEG ini, ini memiliki keterbatasan. Itu, ia hanya dapat digunakan jika himpunan yang terlibat dalam proposisi itu tidak banyak, misalnya hanya 2 atau 3 saja. Kalau sudah 4, 5, seterusnya, ini sangat rumit, sangat kompleks pembuktian dengan MPEG. Lalu, metode pembuktian dengan negara MPEG ini, itu, lebih mengilustrasikan, jadi lebih menggambarkan ketimbang membuktikan fakta. Oleh karena itu, Di dalam matematika, pembuktian dengan negara empat ini tidak dapat dianggap sebagai metode yang valid untuk pembuktian secara formal. Oleh karena itu, pembuktian dengan negara empat ini tidak dapat diterima sebagai pembuktian yang formal. Kita harus mencari cara lain membuktikan kebenaran dari suatu proposisi yang berkaitan dengan impunan. Cara pembuktian yang kedua adalah dengan menggunakan tabel keanggotaan. Jadi kita buat sebuah tabel yang memperlihatkan. Menggunakan keanggotaan dari himpunan yang terlibat di dalam proposisi tersebut. Misalnya, persoalan yang tadi, kita ulang kembali. Misalkan A, B, dan C adalah himpunan. Buktikan bahwa A diiris dengan B gabung C, sama dengan A diiris dengan B, digabung dengan A, isian C. Kita buat sebuah tabel. Ini mirip seperti tabel kebenaran di dalam logika. Karena di sini ada tiga buah himpunan, berarti... Kita memiliki sebanyak 2 pangkat 3, yaitu sebanyak 8 buah baris, 8 buah entry. Kemudian kita buat nilai-nilai seperti itu, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1. Apa arti 1 dan 0 itu? 1 berarti X adalah elemen dari himpunan ini. Jadi kalau saya tulis misalnya 1, berarti X adalah elemen dari himpunan A. 0 berarti X bukan elemen dari himpunan ini. Berarti X itu bukan elemen dari himpunan A. Nah, sekarang kalau X bukan elemen dari B, X bukan elemen dari C, maka B digabung C, berarti X bukan elemen dari B digabung dengan C. Begitu juga, X bukan elemen dari A. maka X juga bukan elemen dari A diiris dengan B gabung C. Berarti di sini juga kita dapat melihat bahwa karena X bukan elemen A dan B, maka X juga bukan elemen dari irisan A, irisan B, A irisan B, jadi juga dengan A irisan C. Nah, ini kita lakukan untuk semuanya. untuk semua baris, contohnya di sini di sini misalnya X adalah elemen dari C tapi X bukan elemen dari B dan elemen dari A maka B gabung C berarti X terdapat di dalam B gabung C ini kalian ingatkan lagi ya, definisi operasi gabungan ini kita lakukan ya cara paling mudah adalah menganggap ini sebagai suatu operasi logika jadi operasi gabungan itu Itu dianalogikan seperti OR. Iri satu, dan. Maka kita dapat mengatakan 0 ini adalah false, 1 itu adalah true. Dengan menggunakan tabel kebenaran seperti logika, kita bisa menghitung, menentukan nilai kebenaran atau nilai keanggotaan dari operasi-operasi impunan ini. Kemudian kita lihat untuk ruas kiri, itu adalah 0, 0, 0, 0, 0. Ruas kanan yang ini itu juga sama. Nah, karena sama, karena kalau ini dengan ini sama, berarti terbukti bahwa A diiris dengan B gabung C sama dengan A diiris dengan B gabung A. Pembuktian seperti ini dapat digunakan sebagai sebuah penggunaan formal. Namun ini juga memiliki keterbatasan. Semakin banyak impun yang terlibat, maka jumlah entry, jumlah baris pada target semakin banyak. Kalau misalnya ada 4, A, B, C, D, maka ada 2,4 dan 16. Kalau 5, berarti 2,5 dan 32. Cara pembuktian yang lebih baik adalah dengan menggunakan hukum-hukum yang terdapat pada impunan. Yang kita sebut juga dengan hukum aljabar impunan. Jadi, 11 hukum impunan yang sudah dijelaskan tadi, itu kita gunakan untuk membuktikan kebenaran dari suatu proposisi yang berbentuk bersama. Misalkan A dan B yang pula, buktikan bahwa A diirisan dengan B digabung dengan A, irisan B komplement sama dengan A. Maka kita bisa memulai dari ruas kiri ini, kita harus membuktikan dia sama dengan A. A irisan B gabung A, irisan B komplement, maka ini kita lihat ini berbentuk hukum distributif. Maka ini dapat kita gunakan hukum distributif, jadi A diiris dengan B digabung B komplement. Kembali ya hukum distributif ya. Kemudian, B digabung B komplement, ini menggunakan hukum komplement, yaitu sama dengan semesta U. A diiris dengan U, sama dengan A, dengan komplementitas. Untuk membuktikan dengan menggunakan ajabar impunan ini, dengan hukum-hukum impunan ini, kalian harus menyebutkan di sebelah kanan hukum apa yang dipakai. Jadi jangan hanya hasilnya saja, tapi juga harus dituliskan hukumnya apa. Contoh pembuktian berikutnya, misalkan A dan B adalah impunan. Buktikan bahwa A digabung dengan B kurang A sama dengan A gabung B. Nah, kita ambil yang ruas kiri ini untuk kita buktikan sama dengan ruas kanan. A digabung B kurang A, nah disini ada operasi selisih ya. Nah, operasi selisih ini kita ubah dulu menjadi operasi irisan. Kita ingat kembali bahwa A dikurang B itu sama dengan A. diiris dengan B komplement. Jadi A dikurang B sama dengan A diiris dengan komplement dari B. Berarti kita ganti B kurang A menjadi B diirisan A komplement. Jadi disini kita gunakan definisi operasi selisih. Selanjutnya, kita gunakan hukum distributif, yaitu A digabung dengan B A digabung dengan B diiris dengan A digabung dengan A komplement, hukum distributif. Kemudian, Kita gunakan hukum komplement untuk yang ini. A digabung dengan A komplement, itu sama dengan semesta U. Hukum komplement. Kemudian A digabung dengan B diiris dengan semesta U, berarti A gabung B. Sehingga terbukti, sama dengan ruas kanan. Contoh berikutnya, buktikan bahwa untuk sumberan himpunan A dan B, bahwa, ini ada dua buah ya, A digabung dengan A komplement diiris dengan B sama dengan A gabung B. Dan A diiris dengan A komplement diiris dengan B sama dengan A isan B. Kita akan buktikan yang nomor 1 terlebih dahulu. Kita ambil yang ruas kirinya untuk dibuktikan sama dengan ruas kanan. A digabung dengan A komplement diiris dengan B. Kita gunakan ekonomi distributif. Ini berarti A digabung dengan A komplement diiris dengan A di... diiris dengan B. Jadi A digabung A komplement, diiris dengan A irisan B. Ini hukum distributif. Kemudian, A digabung A komplement ini, berarti sama dengan sumber A U, berarti hukum komplement. U diiris dengan A digabung B, sama dengan A gabung B, berarti hukum identitas. Nah, untuk pembuktian nomor 2 ini, kita lihat bahwa ini sebenarnya adalah dual dari ini. Karena kita lihat dengan seksama, Bahwa yang kesamaan nomor 2 ini merupakan dual dari kesamaan nomor 1. Maka untuk membuktikan ini, kita cukup mengganti gabungan dengan irisan, irisan dengan gabungan, dan U dengan kosong, dan kosong dengan U. Sehingga dengan hanya mengganti ini saja, maka kita akan menghasilkan kesamaan yang benar. Atau bisa juga kita katakan bahwa 2 adalah dual dari 1, itu sudah cukup. Nah, kalau soal latihannya ini tidak membuktikan ya, tapi menerapkan hukum-hukum impunan tadi untuk menentukan apa hasil dari operasi yang pernah berikut. Jadi di sini A beda dan senilai impunan dan tentukan apa hasil operasi ini. Silakan kalian kerjakan ini sebagai latihan. Nah, kita sudah diberikan jawabannya di sini. Nah, sini adalah U ya. Karena yang... B itu adalah dual dari ini, berarti kita tinggal menuliskan bahwa hasil dari ini sama dengan dual dari U. Berarti himpunan kosong. Ini kegunaan dual ya. Contoh lainnya, misalkan A, B, dan C adalah himpunan, buktikan dengan hukum-hukum himpunan bahwa A dikurang B diiris dengan A kurang C sama dengan A dikurang B gabung C. Jawabannya adalah seperti berikut. A dikurang B, diiris dengan A kurang C. Kita ganti dulu A kurang B itu dengan A irisan B komplement. Ingat lagi ya, definisi dari A kurang B berarti A irisan B komplement. Berarti A dikurang C, itu dapat kita ganti dengan A diiris dengan C komplement. Ini definisi selisih. Lalu kita taruhkan hukum distributif, karena ini bisa kita sederhanakan dengan hukum distributif menjadi A diiris dengan B. D. Komplement diisikan C. Komplement Kemudian yang ini bisa kita gunakan kumdemorgan. B digabung C dikomplement. Lalu A diiris dengan B gabung C komplement berarti A dikurang B gabung C. Cukup banyak latihan yang saya berikan di sini. Misalkan A adalah yang benar bagian dari input non-semesta U. Tuliskan hasil dari operasi berdasarkan kumdenikut. A berdasarkan kumdenikut dengan U. A berdasarkan kumdenikut dengan A komplement. A komplement beda setanggung dengan U. Jawabannya ada di sini. Silahkan kalian baca. Dan kalian pencari. Cara pembuktian yang terakhir adalah untuk membuktikan proposisi yang berbentuk implikasi. Jadi tidak lagi berbentuk kesamaan atau identitas. Nah untuk membuktikan proposisi yang berbentuk implikasi itu, kita menggunakan gabungan hukum-hukum mengimpunan dan definisi. Sebagai contoh, misalkan terdapat dua bahan yang pun ada A dan B Kita diminta untuk membuktikan proposisi ini Yaitu jika A diiris dengan B sama dengan kosong Dan A yang pun ada bagian yang sama dengan B gabung C Maka A yang pun ada bagian yang sama dengan C Buktikan, jadi buktikan implikasi ini Salah satu pembuktiannya, saya uraikan sebagai berikut Dari definisi penumpang bagian P yang pun ada bagian yang sama dengan Ki Jika dan hanya jika, setiap X elemen P juga elemen dari Ki. Itu adalah referensi dari subsetnya. Sekarang, misalkan X elemen dari impunan A. Karena di sini diberikan fakta bahwa A subset dari B gabung C, maka sesuai dengan referensi impunan, jika X adalah elemen dari A, berarti X juga adalah elemen dari B gabung C. Kemudian, Dari definisi operasi gabungan, yaitu U, X elemen dari B gabung C, itu berarti X elemen dari B atau X elemen dari C. Pada bagian yang I ini, itu sudah didefinisikan bahwa X elemen dari A. Karena faktanya mengatakan bahwa A irisan B sama dengan kosong, maka berarti X bukan elemen dari B. Karena X ini elemen dari A dan... A irisan B sama 0, artinya tidak beririsan atau saling lepas, berarti X bukan elemen dari B. Dari 1 dan 2 ini, berarti tinggal satu kemungkinan lagi bahwa X itu elemen dari C. Karena di sini X bukan elemen dari B, tapi X elemen dari A. Di sini X elemen dari C. Karena untuk setiap X elemen dari A juga berlaku X elemen dari C, Maka dapat disimpulkan bahwa A Kumpulan bagian yang tersama dengan C Bagaimana teknik pemulihan seperti ini? Cukup sulit ya Karena harus menggunakannya dengan bentuk kelima Itu beda dengan pemulihan untuk kesamaan tadi Bagian terakhir dari video ini adalah berupa materi pelengkap Jadi dimana penggunaan impunan ini Dalam teori yang lain Misalnya dalam teori bahasa formal Atau mata Ini juga kalian peroleh mata pilihannya di semester ketiga ini. Alphabet itu adalah himpunan terbatas simbol-simbol. Di sini alphabet itu adalah himpunan terbatas simbol-simbol. Ada alphabet latin, ada alphabet Yunani, alphabet Biner, alphabet Arab, dan sebagainya. String adalah barisan yang disusun oleh simbol-simbol alphabet. Jadi A1, A2, A3, sampai AN. Setiap elemen AI-nya itu adalah elemen dari alphabet A. nama lain yang tersing adalah kalimat atau word kemudian jika A adalah alfabet maka A pangkat N menyatakan himpunan semua string dengan panjang N yang dibentuk dari himpunan A jadi A pangkat N ini adalah himpunan semua string yang panjangnya N lalu definisikan A bintang adalah himpunan semua rangkaian simbol dari himpunan A yang terdiri dari 0 simbol, 1 simbol, 2 simbol, dan seterusnya A bintang ini Didefinisikan sebagai gabungan dari impunan A yang mempunyai panjang 0 simbol, impunan A yang berisi suma string yang panjangnya 1, impunan A yang berisi suma string yang panjangnya 2, dan seterusnya. Jadi misalnya kita punya alfabet A binar, itu berisi 0 dan 1, maka A, maka 0 ini adalah impunan yang berisi string 0, string kosong. Siting kosong itu panjangnya 0 kan? Disimulkan epsilon. A pangkat 1 adalah Jadi himpunan yang berisi semua string yang panjang 1, berarti 0 dan 1. A2 himpunan semua string yang panjang 2. 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 1. A3 juga begitu ya. A4 dan seterusnya. Nah sebuah bahasa yang didimisikan pada alfabet A itu himpunan bagian dari A bintang. Jadi disini kita sudah menggunakan himpunan bagian. Misalkan A sama dengan himpunan ABC, ini alfabetnya ABC. Maka kita dapat membentuk. bahasa pada alfabet A ini. Misalnya bahasa L1, itu anggotanya adalah A, A, A, A, B, C, A, C. L2 adalah A, B, A, dan seterusnya, L3. Atau L4 inilah bahasa dibentuk oleh string yang A-nya berulang sebanyak I kali, kemudian diikuti dengan C, lalu B sebanyak I kali. Contohnya misalnya bahasa bahasa Indonesia, itu alfabetnya ada A, B, C, 0, 1, 2, lalu tanah. tanda-tanda baca dan sebagainya kita bisa membentuk string yang panjangnya bisa 0 bisa 1, 2, 3 string itu kita sebutkan kalimat atau kata yang terakhir adalah bahwa di dalam bahasa pemurgaan juga disediakan fitur-fitur atau tipe untuk impunan misalnya dalam bahasa pascal apakah masih digunakan oleh kalian? Dalam bahasa pascal kita definisikan misalnya huruf besar, ini contoh ya, sebuah tipe bentukan huruf besar yaitu karakter A sampai Z. Nah huruf adalah set of, artinya hibunan. Hibunan yang dibentuk oleh huruf-huruf besar ini. Lo variable-nya huruf ku, itu tipenya huruf. Nah kita dapat membentuk sebuah... himpunan ya dengan verbal huruf ku misalnya ini adalah tapi disini disimbolkan dengan menggunakan bukan kurup rawal ya kurup rawal mas pascal itu berarti komentar disini digunakan kurumsi ku huruf ku adalah sebuah variable yang diisi dengan himpunan yang anggotanya adalah a c d ya atau yang ini kita isi dengan himpunan yang anggotanya n atau kita isi dengan himpunan kosong dan ini adalah operasi-operasi yang terdapat pada himpunan dengan menggunakan bahasa pascal ya Jadi ini operasi gabungan digunakan tambah, operasi irisan kali, operasi selisih adalah kurang. Sementara untuk menguji apakah sebuah elemen adalah anggota sebuah himpunan, menggunakan operator in. Dalam bahasa Python pun juga terdapat di the set. Itu dengan menggunakan seperti ini. Misalnya kita ingin membuat himpunan kosong, kita gunakan konstruktor, namanya set konstruktor. Jadi, Kita punya sebuah variable my set, kita buat sebuah kumpulan kosong, set seperti ini. Atau bisa juga set dalam kurung, ini adalah sebuah kumpulan kosong, ini sama saja. Nah, ini adalah contoh-contoh membuat kumpulan dengan menggunakan set konstruktor atau dengan menggunakan notasi kurung ke awal. Jadi dengan set konstruktor artinya menggunakan kata kunci set, menggunakan sequenya, atau menggunakan notasi kuruk rawal seperti ini expression for, jadi ada kata for dan in di dalamnya, misalnya gini kita definisikan sebuah himpunan namanya myset, yang beranggotakan x, x itu adalah huruf-huruf di dalam string abracadabra kalau kita ingin menampilkan elemen himpunan myset itu kita tulis myset maka akan keluar seperti ini himpunan yang beranggotakan adalah abrcd huruf-huruf di dalam abracadabra Kita juga bisa menambahkan sebuah elemen Y dalam impunan ini. Yang menggunakan add, atau bisa menghapus, atau bisa mengambil elemen yang paling atas dari impunan itu, yang menggunakan pop. Jadi di sini pop, elemen yang paling atas dari impunan my set, berarti yang berb. Ini menampilkan elemen setelah operasi pop. Untuk menguji apakah sebuah impunan superset dari impunan yang lain, kita gunakan Operator besar kesempatan. Sedangkan untuk menguji apakah sebuah himpunan subset dan himpunan yang lain, kita gunakan kecil-kesempatan. Nah, kalau hanya besar dan kecil saja, berarti kita hanya menguji proper subset. Jadi tidak termasuk yang sama dan himpunan kosong. Ingat kembali ya, definisi proper subset dan improper subset. Nah, contohnya seperti ini. Saya punya himpunan S1 yang terdiri atas huruf-huruf dari abrakadabra, lalu S2. Buruf-buruf dari Bar. Kita lihat di sini bahwa S1 adalah superset dari S2. Itu benar. Apakah S1 proper subset dari S2? Itu juga benar. Apakah S1 adalah subset dari S2? Itu false. Nah, operasi himpunan untuk irisan, selisih, dan beristangkuk, dan gabungan itu menggunakan tanda operator ini. Garis, kalau irisan, dan kalau selisih. Kurang kalau beristakub adalah tanda angka ini. Ini contohnya, S1 adalah himpunan yang dibentuk dengan set konstruktor yang disusun oleh huruf-huruf sering abrak-kanabrak. Jadi kalau kita tampilkan S1 maka himpunannya berengotakan A, B, R, C, D. S2 adalah himpunan yang dibentuk dengan set konstruktor yang disusun oleh huruf-huruf dalam ala kazam. Tampilkan S2 adalah ini, A, L, C, Z, M. Ini adalah operasi gabungan S1 dengan S2. Hasilnya ini ya. Coba periksa. Ini irisan S1 dengan S2. Ini operasi selisih S1 dengan S2. Ini operasi beda setangkut S1 dan S2. Silakan periksa ya hasilnya. Dengan demikian maka selesailah materi kita tentang kimpunan. Berikut ini adalah soal-soal latihan saja. Silakan kalian kerjakan. Silakan dibaca. Ini nomor 1. Nah, ini sudah diberikan jawabannya. Ini nomor 2. Hitunglah banyaknya bilang genap. Di antara 1 sampai 2 ribu yang habis dibagi 7, tetapi tidak habis dibagi 9. Kalian harus mengerti terlebih dahulu ya, makna dari kalimat ini ya. Tetapi, berarti itu dan. Tidak habis dibagi, berarti di sini komplement. Kalau kata tidak itu. Di sini sudah diberikan jawabannya. Silahkan diperiksa. Nomor 3, jangan dibaca ya. Jawabannya juga sudah diberikan. Nomor 4, mirip seperti tadi. Jadi saya sangat sering ya memberi soal-soal tentang prinsip inklusi eksklusi itu. Itu berapa banyak bila dengan bulat positif yang lebih kecil atau sama dengan 200, yang habis dibagi 4 atau 7 atau 9. Jadi di sini lebih banyak lagi ya. Ini jawabannya. Silahkan di... Pause videonya untuk membaca jawaban ini. Dan ini soal yang terakhir. Buktikan bahwa untuk impunan A, B, dan C berlaku A kurang B dikurang C sama dengan A kurang C dikurang B kurang C. Silakan ini dikerjakan ya kalau ini tidak ada penyelesaiannya di sini. Baiklah, demikian video bagian kedua dari impunan ini. Saya ucapkan selamat belajar.

Pada video bagian kedua ini, kita akan membahas propertis atau sifat-sifat pada himpunan serta beberapa prinsip pada operasi himpunan dan teknik untuk membuktikan proposisi tentang himpunan. Saya ucapkan, selamat menaksikan. Kita mulai dengan hukum-hukum yang terdapat pada himpunan.

Di dalam himpunan terdapat sejumlah hukum yang disebut juga dengan sifat-sifat atau propertis himpunan. Hukum-hukum itu sering dinamakan juga hukum aljabar himpunan. Karena operasi-operasi di dalam hukum itu mirip seperti pada aljabar bilangan bulan atau bilangan real. Itu terdapat hukum seperti distributif, asosiatif, komutatif, dan sebagainya. Ada 11 hukum yang perlu kalian ketahui dan saya harapkan ini bisa dihafalkan karena akan digunakan untuk membuktikan kesamaan atau proposisi tentang himpunan nantinya.

Yang pertama hukum identitas. Hukum identitas ini adalah himpunan A jika digabung dengan himpunan kosong sama dengan himpunan A. Ini tidak berubah ya. Atau himpunan A jika digabung dengan himpunan semesta U sama dengan himpunan U. Jadi ada 2 hukum di sini.

Yang kedua hukum nul atau dominasi. Impunan A diiris dengan impunan kosong, itu mengasihkan impunan kosong. Impunan A digabung dengan semesta U, itu sama dengan impunan semesta U.

Yang ketiga hukum komplement. Impunan A digabung dengan komplementnya, itu sama dengan semesta U. Impunan A diiris dengan komplementnya, sama dengan impunan kosong. Yang keempat hukum idempoten. Impunan A digabung dengan impunan...

A itu sendiri sama dengan A atau himpunan A diiris dengan A sama dengan himpunan A itu sendiri. Yang kelima hukum involusi. Himpunan A dikomplementkan lalu dikomplementkan lagi menghasilkan himpunan A semula yang keenam hukum penyerapan atau apsopsi. Himpunan A digabung dengan hasil operasi A irisan B sama dengan A atau himpunan A diiris dengan hasil operasi A digabung B sama dengan A Jadi di sini operasi impunan ini terserap menjadi impunan A.

Yang ketujuh, hukum komutatif. Impunan A digabung dengan B, sama dengan B digabung A. Atau impunan A diiris dengan B, sama dengan B diiris A. Jadi ini mirip seperti aljabar dengan bilangan bulat yang juga berlaku hukum komutatif.

Atau aljabar bilangan real. Yaitu A ditambah B, sama dengan B ditambah A. A dikali B, sama dengan B dikali A.

Yang kelima, panhukum asosiatif. Kumpulan A digabung dengan hasil operasi B digabung C sama dengan A digabung B, kumpulan A digabung dengan C. Kumpulan A diiris dengan irisan B gabung C sama dengan A iris B digabung C. Yang ke-9, hukum distributif. Kumpulan A digabung dengan B iris C sama dengan A digabung B digabung C.

Atau, kumpulan A digabung dengan B iris C sama dengan A irisan B digabung dengan A irisan B. C. Ini mirip juga seperti hukum distributif dalam aljambat bilangan real atau bilangan bulan. Yang ke sepuluh, ini juga hukum yang penting, hukum demorgan. A digabung B lalu dikomplementkan sama dengan.

A komplement digabung dengan B komplement. A gabung B dikomplementkan sama dengan. A komplement diis dengan B komplement.

Dan yang sebelas adalah hukum zero one. Itu himpunan kosong dikomplementkan. Itu semenit. Impunan semesta U. Impunan semesta U dikomplementkan sama dengan impunan kosong.

Nah, mohon ini dihafalkan nantinya. Kita akan gunakan ini selanjutnya. Di dalam impunan terdapat dua prinsip penting yang nantinya akan digunakan untuk menyelesaikan persoalan-persoalan yang terkait dengan impunan. Yaitu persoalan untuk menghasilkan suatu kesamaan baru tentang ekspresi impunan dan persoalan untuk untuk menghitung kardinalitas dari operasi impunan. Kita mulai dengan prinsip dualitas.

Dual ini artinya dua. Di sini berbunyi, dua konsep yang berbeda itu dapat saling dipetukarkan, namun tetap memberikan jawaban yang benar. Contoh ilustrasi prinsip dualitas dalam dunia nyata, misalnya dalam sistem kemudi mobil di Amerika dan di Inggris. Di Amerika Serikat, kemudi mobil letaknya di...

kiri depan Setir kemudinya terletak di kiri depan. Sedangkan di Inggris, juga di Indonesia, kemudi mobilnya terletak di sebelah kanan depan. Akibat sistem kemudi mobil yang berbeda di kiri dan di kanan ini, ini menghasilkan dua peraturan yang berbeda di Amerika dan di Inggris.

Di Amerika Serikat, mobil harus berjalan di bagian kanan jalan. Sedangkan di Inggris, mobil harus berjalan di bagian kiri jalan. Di Amerika Serikat, pada jalan yang berlajur banyak, seperti di jalan tol, maka lajur kiri untuk mendahului. Sedangkan di Inggris, juga di Indonesia, pada jalur yang berlajur banyak, seperti di jalan tol, lajur kanan untuk mendahului. Jadi kalau Anda pernah melalui jalan tol, di jalan tol itu ada papan petunjuk mengatakan lajur kanan untuk mendahului.

Di Amerika Serikat, bila lampu merah menyala, mobil belok kanan boleh langsung. Sedangkan di Inggris, juga di Indonesia, bila lampu merah menyala, mobil belok kiri itu boleh langsung prinsip di Amerika dan di Inggris ini, kita sebut prinsip dual konsep kiri dan kanan di Amerika maupun di Inggris, dapat saling dipertukarkan, sehingga peraturan yang berlaku di Amerika juga menjadi berlaku di Inggris dengan hanya mempertukarkan kanan dan kiri jadi kalau kita berada di Amerika Serikat, kita ingat bahwa aturannya di kanan jalan. Tapi ketika kita berada di Inggris atau di Indonesia, ini kita ganti. Yaitu kita berjalan di bagian kiri jalan.

Ini contoh gambar. Di Amerika Serikat, setir mobilnya di sebelah kiri. Sedangkan di Inggris atau di Indonesia, setir mobilnya di sebelah kanan.

Di Amerika Serikat, mobil berjalan di lajur kanan. Sedangkan di Indonesia atau di Inggris, Mungkin berjalan di lajur kiri. Nah, dengan mempertukarkan konsep kiri dan kanan ini, maka aturan yang berlaku di Amerika juga bisa berlaku di Inggris atau di Indonesia hanya dengan mengganti kiri dan kanan. Nah, ini yang dinamakan dengan prinsip dualitas. Lalu, apa kaitan prinsip dualitas itu pada impunan?

Nah, misalkan kita memiliki suatu kesamaan atau identiti yang kita sebut dengan S. Di dalam kesamaan itu terdapat... impunan dan operasi-operasi seperti gabungan, irisan, dan komplement. Jadi hanya 3 operasi ini saja.

Kita dapat membentuk kesamaan baru yang disebut dengan S bintang. Kesamaan baru ini diperoleh dari S dengan hanya mengganti gabungan dengan irisan, irisan, dan gabungan impunan kosong dengan semesta U, semesta U dengan impunan kosong. Sedangkan komplement dibiarkan apa adanya, seperti semula. Maka, kesamaan S bintang ini juga benar. Nah, S bintang ini disebut dengan dual dari kesamaan S.

Jadi, dual dari operasi gabungan adalah irisan. Dual dari irisan adalah gabungan. Dual dari impunan kosong adalah semesta U. Dual dari semesta U adalah impunan kosong.

Perhatikan bahwa di sini hanya operasi gabungan dan irisan serta komplement. Kalau di dalam kesamaan itu terdapat operasi selisih, atau beda setangku, atau perkalian kertesian, maka prinsip dualitas ini tidak berlaku. Pada hukum-hukum himpunan, kita dapat melihat bahwa untuk setiap hukum itu terdapat dual yang masing-masing.

Yaitu A digabung dengan 0 sama dengan A. Maka dual ya. A diiris dengan U sama dengan A.

Jadi kita ganti gabungan ini dengan irisan, dan 0 kita ganti dengan U. Kemudian hukum 0 atau dominasi, A diiris kosong sama dengan kosong, kita ganti irisan ini dengan gabungan, kemudian kosong kita ganti dengan U, maka dualnya adalah A digabung A sama dengan U. Hukum komplement, A digabung A komplement sama dengan U, maka dualnya kita ganti gabungan ini dengan irisan, dan U dengan kosong, maka dualnya adalah A digabung A komplement sama dengan kosong. Hukum idempoten, A digabung A sama dengan A.

Dualnya A iris A sama dengan A. Jadi diganti gabungan dengan irisan. Jadi ini tetap benar.

Hukum penyerapan, A gabung A irisan B sama dengan A. Dualnya adalah A irisan. A gabung B sama dengan A. Begitu juga hukum komutatif.

Ini dualnya. Hukum asosiatif, ini dualnya. Hukum distributif, ini dualnya. Kita lihat disini gabungan diganti dengan irisan. Kirisan dikaiti dengan kegabungan.

Begitu juga yang di sebelah kanan ini. Hukum demorgan A gabung B komplement sebanding A komplement. diiris dengan B komplement maka dualnya A iris B komplement A komplement digabung B komplement jadi ini tetap benar ini hukum 0-1 dualnya jadi kalau kita mempunyai suatu kesamaan ini contoh kesamaan yang melibatkan operasi-operasi seperti irisan gabungan komplement dari impunan A dan B ini kesamaan, jadi ada sama dengannya maka dualnya kesamaan ini adalah tinggal kita ganti ilisan dengan gabungan, gabungan kita ganti dengan ilisan komplement dibiarkan tetap adanya maka kesamaan baru ini ini juga tetap benar ini juga dengan dual prinsip yang kedua adalah prinsip inklusi-eksklusi prinsip ini digunakan untuk menghitung berapa kardinalitas dari operasi gabungan dan yang setangkup dari dua himpunan kita ingat bahwa A digabung B Itu beranggotakan semua impunan A ditambah dengan semua impunan B termasuk disini juga irisannya.

Nah dalam menghitung berapa kardinalitas dari A dikabung B dilambangkan dengan ini maka kita include atau kita masukkan terlebih dahulu kardinalitas A ditambah dengan kardinalitas B. Nah di dalam perhitungan ini irisan ini terhitung dua kali dalam menghitung kardinalitas A dan B. karinialitas B padahal kita hanya membutuhkan 1 kali saja perhitungannya, oleh karena itu kita exclude kita keluarkan 1 perhitungan A irisan B makanya ini dinamakan prinsip inklusi-eksklusi sedangkan pada A beda setangkup dengan B karinialitasnya dilihat dari gambar ini A beda setangkup dengan B itu beranggotakan himpunan A dan himpunan B, tapi tidak termasuk irisan keduanya Oleh karena itu, kardinalitas dari A berdasarkan dengan B, kita include, kita masukkan kardinalitas A dan B, lalu kita keluarkan, kita exclude yang irisan ini, yang terhitung 2 kali tadi.

Berarti 2 kali A irisan B. Contoh yang sangat bagus memperlihatkan penggunaan prinsip inklusi dan eksklusi, misalnya pada contoh 24 ini. Terapa banyak bilangan bulat antara 1 dan 100 ya? Nah, antara 1 dan 100 termasuk 1 dan 100 itu sendiri. Yang habis dibagi 3 atau 5?

Kalau ini kita hitung secara enumerasi, bisa saja ya. Jadi, bilangan antara 1 sampai 100 itu, yang habis dibagi 3 atau 5 adalah 3, 6, 9, 12, lalu 5, 10, 15, 18, dan seterusnya. Itu bisa saja ya, kalau misalnya...

Banyaknya bilangnya sedikit. Bagaimana kalau misalnya antara 1 sampai 100 ribu? Atau 1 sampai sejuta?

Jelas cara seperti itu sangat tidak bagus. Nah, di sini kita misalkan A, himpunan bilangan bulat yang habis dibagi 3. B, himpunan bilangan bulat yang habis dibagi 5. Nah, maka antara 1 sampai 100 yang habis dibagi 3 atau 5, itu berarti bisa dihabis dibagi 3 saja. Atau habis dibagi 5 saja, atau termasuk juga habis dibagi 3 dan 5. Oleh karena itu, kita harus menghitung berapa banyak A irisan B, yaitu impunan bilangan bulat yang habis dibagi 3 dan 5. Jadi, makna irisan itu adalah dan. Nah, bilangan bulat yang habis dibagi 3 dan 5, itu artinya bilangan bulat yang habis dibagi oleh KPK dari 3 dan 5. KPK dari 3 dan 5 adalah 15. Jadi A X dan B ini adalah impunan 9 bulan yang habis dibagi oleh 15. Yang ditanya adalah A gabung B kardinalitasnya.

Karena dari kalimat ini, habis dibagi 3 atau 5 itu bisa habis, saya ulang kembali, bisa habis dibagi 3 saja atau 5 saja atau keduanya. Berarti itu gabungan. Nah kita hitung kardinalitas dari A, operasi pembulatan floor seperti ini, itu banyaknya bilangan antara 1 sampai 100 sama 1. termasuk 1 dan 100 itu adalah 100 buah bilangan.

Dibagi dengan 3, kita berulang ke bawah, datang ke 3. Kardinalitas dari B, 100 dibagi 5, 20. Kardinalitas dari A irisan B, 100 dibagi 15, itu 6. Sehingga, kardinalitas dari A digabung B, adalah A tambah B, dikurang A irisan B. 33 tambah 20 kurang 6, sama dengan 47. Jadi ada 47 buah bilangan, bulannya habis dibagi 3 atau 5. Jadi kita bisa menghitung untuk Misalnya bilang bulan antara 1 sampai 100 ribu, misalnya, tanpa kita perlu mengenumerasi. Prinsip inklusi dan eksklusi untuk 2 input itu bisa kita rampatkan untuk 3 buah himpunan A, B, dan C. Jadi kardinalitas dari A digabung B digabung C sama dengan kardinalitas A tambah kardinalitas B tambah kardinalitas C dikurang kardinalitas A iris B dikurang kardinalitas A iris C dikurang kardinalitas B iris C ditambah dengan kardinalitas A iris B iris C.

Sedangkan untuk N buah himpunan atau R buah himpunan Maka Prisi inklusi dan eksklusi itu, yaitu A1 gabung A2 gabung seterusnya gabung AR, kardinalitasnya adalah penjumlahan dari kardinalitas AI, dikurang penjumlahan dari kardinalitas AI diiris dengan AJ, untuk I dan J antara 1 sampai R, ditambah dengan kardinalitas dari AI iris AJ iris AK. Untuk IJK antara 1 sampai R ditambah dengan min 1 pangkat R min 1. A1 iris A2 iris dan seterusnya iris AR. Coba Anda periksa apakah untuk R sama dengan 3 sama dengan ini. Nah soal latihan ini itu mirip dengan contoh yang dijelaskan sebelumnya ya. Di antara bilangan bulan antara 101. 1-600 termasuk 101 dan 600 itu sendiri berapa banyak bilangan yang tidak habis dibagi oleh 4 atau 5 namun tidak keduanya artinya tidak habis dibagi oleh 4 dan 5 penyelesaiannya adalah sebagai berikutnya misalkan U adalah semesta pembicaraan yaitu banyaknya bilangan berat antara 101 sampai 600 termasuk 101 dan 600 itu sendiri Berarti kardinalitas U itu adalah 500. A adalah impunan bilangan bulat antara 101 sampai 600 yang habis dibagi oleh 4. Kardinalitas A adalah 600 dibagi 4, dikurang 100 dibagi 4, dibawahkan ke bawah.

Berarti 150 kurang 25 sama dengan 125. Atau bisa juga langsung 500 dibagi dengan 4, 125. B adalah impunan bilangan bulat yang habis dibagi oleh 4. dibagi oleh 5. Kardinalitas B adalah 600 dibagi 5, dikurang 100 dibagi 5, dibulatkan ke bawah, sama dengan 120 kurang 20, semenuruhnya 100. Atau bisa langsung 500 dibagi 5, yaitu 100. A irisan B adalah himpunan jenama bulat antara 100, 1 sampai 600, yang habis dibagi oleh 4 dan 5. Kardinalitas A irisan B adalah 600 dibagi 20. 20 adalah KPK dari B. 4 dan 5, kelipatan perseguduan terkecil, yaitu 20. 600 bagi 20 dikurang 100 bagi 20, itu 30 kurang 5 sama dengan 25. Atau bisa langsung juga 500 dibagi 20, yaitu 25. Nah, yang ditanyakan adalah kardinalitas komplement dari A, X, or B. Kenapa komplement? Karena di sini dalam soal dikatakan yang tidak habis dibagi oleh 4 atau 5, namun tidak keduanya. Sekarang dibuang dulu kata tidak.

Habis dibagi oleh 4 atau 5 namun tidak keduanya. Berarti itu adalah operasi beda setangkuk atau XOR. Jadi A, XOR, B. Namun di sini ada kata tidak habis dibagi oleh 4 atau 5 namun tidak keduanya. Berarti komplementnya. Karena itu di sini yang ditanya adalah kardinalitas dari komplement A, XOR, B. Kita hitung sebelumnya, berapa A XOR B dengan prinsip inklusi-eksklusi.

Yaitu kardinalitas A ditambah kardinal B dikurang 2 kali kardinal A dirisan B. 125 ditambah 100 kurang 50. Sama dengan 175. 50 ini 2 kali 25. Berarti komplement dari A XOR B. Kardinalnya adalah, berarti semesta pembicaranya Yaku dikurang dengan kardinalitas dari A X Y B. Berarti 500 kurang 125, sama dengan 325. Konsep lain yang penting dalam teori impunan adalah partisi. Dengan partisi ini, sebuah impunan dibagi menjadi sejumlah impunan-impunan bagian. Namun tidak ada di antara impunan-impunan bagian itu yang saling beririsan satu sama lain. Nah, definisinya sebagai berikut ya.

Partisi dari sebuah impunan A adalah sekumpulan impunan bagian yang tidak kosong dari A, yaitu A1, A2, dan seterusnya, sedemikian sehingga A1 digabung dengan A2, digabung dengan A3, dan seterusnya, itu akan menghasilkan kembali impunan A. Dan irisan antara dua impunan bagian, yaitu AI diirisan dengan AJ, itu sama dengan kosong. Yaitu AI dan AJ saling lepas. Untuk I tidak sama dengan J. Misalnya, sebuah kelas mahasiswa dapat dianggap sebagai sebuah impunan.

Misalkan sebuah kelas berisi 20 orang mahasiswa. Lalu dosen membagi menjadi 5 buah kelompok. Kelompok pertama beranggotakan 5 orang, kelompok kedua 6 orang, kelompok ketiga 4 orang, kelompok keempat 3 orang, dan kelompok kelima 2 orang.

Nah, gabungan dari semua kelompok itu sama dengan seluruh anggota kelas. Dan tidak ada anggota kelompok yang beririsan antara satu kelompok dengan kelompok lain. Kelompok itu dipandang sebagai sebuah partisi.

Contoh misalnya kita mempunyai impunan A yang berpengurutan 1 sampai 8, maka kita dapat membentuk partisi dari impunan A ini. Itu adalah impunan bagian yang tidak kosong, yang tidak beririsan satu sama lain. Misalnya ini, impunan yang berpengurutan 1, berpengurutan 2, 3, 4, berpengurutan 7, 8, berpengurutan 5, 6. Tidak ada di antara impunan bagian ini yang beririsan satu sama lain.

Dan gabungan dari semuanya akan membentuk impunan A semula. Kita dapat menentuk partisi-partisi lain dari ini dengan syarat 2 ini dipenuhi. Sampai sejauh ini kita baru membahas tentang himpunan, yaitu kumpulan elemen-elemen yang berbeda satu sama lain.

Boleh jadi di dalam himpunan itu terdapat perulangan elemen. Oleh karena itu konsep himpunan ini kemudian diperluas menjadi konsep himpunan ganda atau multiset. Nah, himpunan ganda atau multiset itu adalah himpunan yang elemennya boleh berulang. Jadi tidak harus berbeda seperti halnya pada set atau himpunan. Contohnya ini ya, ini satunya terulang 3 kali.

2, 2 kali. 3, 1 kali. Ini juga. Nah, didefinisikan multiplicitas dari satu elemen pada himpunan ganda adalah jumlah kemunculan elemen tersebut pada himpunan gandanya. Jadi pada himpunan ganda M ini.

Elemen 1 muncul 4 kali. Multiplikasitas 1 adalah 4. Itu juga 0. Ini juga multiplicitasnya adalah 4. Nah, impunan atau set merupakan contoh khusus dari suatu multiset. Yang nama begini, multiplicitas setiap elemen pada set, pada impunan, itu adalah 0 atau 1. Kemudian, bagaimana menghitung kardinalitas pada suatu multiset?

Kalau pada impunan... biasa atau impunan set kardinalitasnya untuk elemen yang berulang tetap dianggap satu kali munculnya jadi 1, 1, 1, 2, 2, 3 ini sama saja dengan impunan 1, 2, 3 kardinalitasnya adalah 3 tetapi pada multiset kardinalitas dari suatu multiset didefinisikan sebagai kardinalitas impunan yang akivalen dengan mengaksesikan semua elemen di dalam multiset berbeda jadi ini Kumpulan A ini, ini sebuah multiset. Kita bisa padankan dengan sebuah kumpulan lain yang ekivalen kumpulan A ini dengan menganggap setiap elemen dalam kumpulan ini berbeda. Jadi misalnya kita punya kumpulan B, yang anggotanya adalah A, B, C, D, E, F. Kardialitas kumpulan A ini sama dengan kardialitas kumpulan yang ekivalen dengan kumpulan A tersebut. Berarti sama dengan kardialitas kumpulan B.

Itu 6. Dengan kata lain, kardinalitas simpulan A itu adalah jumlah semua multiplicitas setiap elemennya. Berarti di sini multiplicitas 1 adalah 3, multiplicitas 2 adalah 2, multiplicitas 3 adalah 1. Jadi kardinalitas A itu adalah 3 ditambah 2 ditambah 1. Berarti sama dengan 6. Atau langsung kita hitung saja berapa banyak elemen dalam multiplicitas A ini. Operasi multiplicitas berikutnya adalah selisih, yaitu P kurang Ki.

P kurangi menghasilkan sebuah multiset yang multiplicitas elemennya adalah salah satu dari dua kemungkinan berikut. Yaitu, multiplicitas elemen tersebut pada P dikurangi multiplicitas elemen tersebut pada Q. Apabila selisih kedua multiplicitas tersebut positif.

Atau 0 jika selisihnya 0 atau negatif. Contohnya seperti ini. Multiset P ini mengatakan AAA. B, B, C, D, D, E Dan Q berkotakan A, A, B, B, B, C, C, D, D, F. Nah, kita kurang ya.

Di sini multiplicitas A adalah 3. Di sini adalah 2. Berarti 3 kurang 2, 1. Berarti P kurang Q ini menghasilkan multiplicitas yang A-nya satu elemen. Satu saja. B di sini 2, di sini 3. Berarti 2 kurang 3 negatif. Kalau negatif, berarti multiplicitas B itu adalah 0. Berarti di sini B tidak ada ya, 0. C di sini 1, di sini 2. 1 kurang 2, minus 1. Berarti multiplicitas C adalah 0 di dalam hasil pengurangannya. Berarti tidak ada C.

D di sini 2, di sini 2. 2 kurang 2, 0. Berarti multiplicitas D di sini 0, berarti tidak ada D. E di sini 1, di sini 0. 1 kurang 0, lalu 1. Berarti ada 1 buah E. Sehingga P kurang Q itu adalah A, E. Kemudian ada operasi yang khusus untuk multi set namanya operasi penjumlahan.

Ini tidak sama dengan berdasar tangkuk. P tambah Ki itu didefinisikan sebagai jumlah dua buah himpunan ganda, yaitu menghasilkan multi set yang multiplicitas elemennya sama dengan penjumlahan dari multiplicitas elemen tersebut pada P dan Ki. Jadi kalau P di sini multi set A, A, B, C, C, Ki adalah multi set A, B, B, D. Maka P tambah Ki, ya kita jumlahkan saja ya, multiplicitas masing-masing elemennya.

Di sini 2, di sini 1. Berarti ini masih kan multisetnya, ya, berantakan A-nya 3 buah. B di sini 1, di sini 2, 1 tambah 2, 3. Berarti 3. C di sini 2, di sini tidak ada, 2 tambah 0, berarti 2. D di sini 0, di sini 1, berarti D-nya 1. Ya, nah bagaimana membedakan apakah ini set atau multiset? Biasanya, Diberikan informasi.

Didefinisikan sebuah himpunan. Itu berarti itu adalah set. Didefinisikan sebuah himpunan ganda.

Atau multiset. Berikutnya adalah bagaimana kita memuktikan proposisi yang berkaitan dengan himpunan. Proposisi adalah ungkapan kalimat matematik yang menilai benar atau salah. Proposisi yang berkaitan dengan himpunan adalah proposisi yang melibatkan himpunan dan operasi-operasinya. Proposisi yang berkaitan dengan himpunan itu dapat berupa salah satu dari dua bentuk seperti berikut.

Pertama, proposisinya berbentuk kesamaan atau identiti. Misalnya, buktikan bahwa A irisan B gabung C sama dengan A irisan B digabung A irisan C. Jadi buktikan kesamaan ini benar. Kedua, proposisi juga bisa berbentuk implikasi.

Itu dalam kalimat jika maka. Atau B implikasi juga bisa seperti itu. Misalnya buktikan bahwa, jadi buktikan pernyataan yang di api tanah petik ini, jika irisan B sama dengan kosong, dan A impunan bagian itu sama dengan B gampung C, maka selalu berlaku bahwa A impunan bagian itu sama dengan C.

Bagaimana cara membuktikan proposisi? Kedua, proses seperti ini. Cara pembuktian pertama adalah dengan menggunakan diagram Venn. Jadi, kalau kita memiliki suatu proposisi yang berbentuk kesamaan seperti ini, maka kita gambarkan diagram Venn untuk masing-masing ruas kesamaan.

Misalkan A, B, dan C himpunan. Buktikan bahwa A irisan dari B gabung C sama dengan A irisan B digabung dengan A irisan B. C. Kita gambarkan di garam van untuk ruas kiri ini. Jadi A diiris dengan B gabung C, itu adalah yang garam diarsir.

Kemudian ruas kanannya, A diiris dengan B dan digabung dengan A diiris dengan C, itu adalah yang ini. Ternyata sama. Kedua garam van memberikan area arsir yang sama. Oleh karena itu, terbukti bahwa A irisan B gabung C sama ini. A isan B, dikabung A isan C.

Namun, pembuktian dengan negara MPEG ini, ini memiliki keterbatasan. Itu, ia hanya dapat digunakan jika himpunan yang terlibat dalam proposisi itu tidak banyak, misalnya hanya 2 atau 3 saja. Kalau sudah 4, 5, seterusnya, ini sangat rumit, sangat kompleks pembuktian dengan MPEG.

Lalu, metode pembuktian dengan negara MPEG ini, itu, lebih mengilustrasikan, jadi lebih menggambarkan ketimbang membuktikan fakta. Oleh karena itu, Di dalam matematika, pembuktian dengan negara empat ini tidak dapat dianggap sebagai metode yang valid untuk pembuktian secara formal. Oleh karena itu, pembuktian dengan negara empat ini tidak dapat diterima sebagai pembuktian yang formal. Kita harus mencari cara lain membuktikan kebenaran dari suatu proposisi yang berkaitan dengan impunan.

Cara pembuktian yang kedua adalah dengan menggunakan tabel keanggotaan. Jadi kita buat sebuah tabel yang memperlihatkan. Menggunakan keanggotaan dari himpunan yang terlibat di dalam proposisi tersebut. Misalnya, persoalan yang tadi, kita ulang kembali. Misalkan A, B, dan C adalah himpunan.

Buktikan bahwa A diiris dengan B gabung C, sama dengan A diiris dengan B, digabung dengan A, isian C. Kita buat sebuah tabel. Ini mirip seperti tabel kebenaran di dalam logika. Karena di sini ada tiga buah himpunan, berarti... Kita memiliki sebanyak 2 pangkat 3, yaitu sebanyak 8 buah baris, 8 buah entry.

Kemudian kita buat nilai-nilai seperti itu, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1. Apa arti 1 dan 0 itu? 1 berarti X adalah elemen dari himpunan ini. Jadi kalau saya tulis misalnya 1, berarti X adalah elemen dari himpunan A.

0 berarti X bukan elemen dari himpunan ini. Berarti X itu bukan elemen dari himpunan A. Nah, sekarang kalau X bukan elemen dari B, X bukan elemen dari C, maka B digabung C, berarti X bukan elemen dari B digabung dengan C. Begitu juga, X bukan elemen dari A.

maka X juga bukan elemen dari A diiris dengan B gabung C. Berarti di sini juga kita dapat melihat bahwa karena X bukan elemen A dan B, maka X juga bukan elemen dari irisan A, irisan B, A irisan B, jadi juga dengan A irisan C. Nah, ini kita lakukan untuk semuanya.

untuk semua baris, contohnya di sini di sini misalnya X adalah elemen dari C tapi X bukan elemen dari B dan elemen dari A maka B gabung C berarti X terdapat di dalam B gabung C ini kalian ingatkan lagi ya, definisi operasi gabungan ini kita lakukan ya cara paling mudah adalah menganggap ini sebagai suatu operasi logika jadi operasi gabungan itu Itu dianalogikan seperti OR. Iri satu, dan. Maka kita dapat mengatakan 0 ini adalah false, 1 itu adalah true. Dengan menggunakan tabel kebenaran seperti logika, kita bisa menghitung, menentukan nilai kebenaran atau nilai keanggotaan dari operasi-operasi impunan ini. Kemudian kita lihat untuk ruas kiri, itu adalah 0, 0, 0, 0, 0. Ruas kanan yang ini itu juga sama.

Nah, karena sama, karena kalau ini dengan ini sama, berarti terbukti bahwa A diiris dengan B gabung C sama dengan A diiris dengan B gabung A. Pembuktian seperti ini dapat digunakan sebagai sebuah penggunaan formal. Namun ini juga memiliki keterbatasan. Semakin banyak impun yang terlibat, maka jumlah entry, jumlah baris pada target semakin banyak. Kalau misalnya ada 4, A, B, C, D, maka ada 2,4 dan 16. Kalau 5, berarti 2,5 dan 32. Cara pembuktian yang lebih baik adalah dengan menggunakan hukum-hukum yang terdapat pada impunan.

Yang kita sebut juga dengan hukum aljabar impunan. Jadi, 11 hukum impunan yang sudah dijelaskan tadi, itu kita gunakan untuk membuktikan kebenaran dari suatu proposisi yang berbentuk bersama. Misalkan A dan B yang pula, buktikan bahwa A diirisan dengan B digabung dengan A, irisan B komplement sama dengan A. Maka kita bisa memulai dari ruas kiri ini, kita harus membuktikan dia sama dengan A. A irisan B gabung A, irisan B komplement, maka ini kita lihat ini berbentuk hukum distributif.

Maka ini dapat kita gunakan hukum distributif, jadi A diiris dengan B digabung B komplement. Kembali ya hukum distributif ya. Kemudian, B digabung B komplement, ini menggunakan hukum komplement, yaitu sama dengan semesta U. A diiris dengan U, sama dengan A, dengan komplementitas. Untuk membuktikan dengan menggunakan ajabar impunan ini, dengan hukum-hukum impunan ini, kalian harus menyebutkan di sebelah kanan hukum apa yang dipakai.

Jadi jangan hanya hasilnya saja, tapi juga harus dituliskan hukumnya apa. Contoh pembuktian berikutnya, misalkan A dan B adalah impunan. Buktikan bahwa A digabung dengan B kurang A sama dengan A gabung B. Nah, kita ambil yang ruas kiri ini untuk kita buktikan sama dengan ruas kanan. A digabung B kurang A, nah disini ada operasi selisih ya.

Nah, operasi selisih ini kita ubah dulu menjadi operasi irisan. Kita ingat kembali bahwa A dikurang B itu sama dengan A. diiris dengan B komplement.

Jadi A dikurang B sama dengan A diiris dengan komplement dari B. Berarti kita ganti B kurang A menjadi B diirisan A komplement. Jadi disini kita gunakan definisi operasi selisih.

Selanjutnya, kita gunakan hukum distributif, yaitu A digabung dengan B A digabung dengan B diiris dengan A digabung dengan A komplement, hukum distributif. Kemudian, Kita gunakan hukum komplement untuk yang ini. A digabung dengan A komplement, itu sama dengan semesta U. Hukum komplement.

Kemudian A digabung dengan B diiris dengan semesta U, berarti A gabung B. Sehingga terbukti, sama dengan ruas kanan. Contoh berikutnya, buktikan bahwa untuk sumberan himpunan A dan B, bahwa, ini ada dua buah ya, A digabung dengan A komplement diiris dengan B sama dengan A gabung B. Dan A diiris dengan A komplement diiris dengan B sama dengan A isan B.

Kita akan buktikan yang nomor 1 terlebih dahulu. Kita ambil yang ruas kirinya untuk dibuktikan sama dengan ruas kanan. A digabung dengan A komplement diiris dengan B. Kita gunakan ekonomi distributif.

Ini berarti A digabung dengan A komplement diiris dengan A di... diiris dengan B. Jadi A digabung A komplement, diiris dengan A irisan B. Ini hukum distributif.

Kemudian, A digabung A komplement ini, berarti sama dengan sumber A U, berarti hukum komplement. U diiris dengan A digabung B, sama dengan A gabung B, berarti hukum identitas. Nah, untuk pembuktian nomor 2 ini, kita lihat bahwa ini sebenarnya adalah dual dari ini.

Karena kita lihat dengan seksama, Bahwa yang kesamaan nomor 2 ini merupakan dual dari kesamaan nomor 1. Maka untuk membuktikan ini, kita cukup mengganti gabungan dengan irisan, irisan dengan gabungan, dan U dengan kosong, dan kosong dengan U. Sehingga dengan hanya mengganti ini saja, maka kita akan menghasilkan kesamaan yang benar. Atau bisa juga kita katakan bahwa 2 adalah dual dari 1, itu sudah cukup.

Nah, kalau soal latihannya ini tidak membuktikan ya, tapi menerapkan hukum-hukum impunan tadi untuk menentukan apa hasil dari operasi yang pernah berikut. Jadi di sini A beda dan senilai impunan dan tentukan apa hasil operasi ini. Silakan kalian kerjakan ini sebagai latihan. Nah, kita sudah diberikan jawabannya di sini. Nah, sini adalah U ya.

Karena yang... B itu adalah dual dari ini, berarti kita tinggal menuliskan bahwa hasil dari ini sama dengan dual dari U. Berarti himpunan kosong. Ini kegunaan dual ya.

Contoh lainnya, misalkan A, B, dan C adalah himpunan, buktikan dengan hukum-hukum himpunan bahwa A dikurang B diiris dengan A kurang C sama dengan A dikurang B gabung C. Jawabannya adalah seperti berikut. A dikurang B, diiris dengan A kurang C. Kita ganti dulu A kurang B itu dengan A irisan B komplement.

Ingat lagi ya, definisi dari A kurang B berarti A irisan B komplement. Berarti A dikurang C, itu dapat kita ganti dengan A diiris dengan C komplement. Ini definisi selisih. Lalu kita taruhkan hukum distributif, karena ini bisa kita sederhanakan dengan hukum distributif menjadi A diiris dengan B.

D. Komplement diisikan C. Komplement Kemudian yang ini bisa kita gunakan kumdemorgan. B digabung C dikomplement.

Lalu A diiris dengan B gabung C komplement berarti A dikurang B gabung C. Cukup banyak latihan yang saya berikan di sini. Misalkan A adalah yang benar bagian dari input non-semesta U.

Tuliskan hasil dari operasi berdasarkan kumdenikut. A berdasarkan kumdenikut dengan U. A berdasarkan kumdenikut dengan A komplement.

A komplement beda setanggung dengan U. Jawabannya ada di sini. Silahkan kalian baca.

Dan kalian pencari. Cara pembuktian yang terakhir adalah untuk membuktikan proposisi yang berbentuk implikasi. Jadi tidak lagi berbentuk kesamaan atau identitas. Nah untuk membuktikan proposisi yang berbentuk implikasi itu, kita menggunakan gabungan hukum-hukum mengimpunan dan definisi.

Sebagai contoh, misalkan terdapat dua bahan yang pun ada A dan B Kita diminta untuk membuktikan proposisi ini Yaitu jika A diiris dengan B sama dengan kosong Dan A yang pun ada bagian yang sama dengan B gabung C Maka A yang pun ada bagian yang sama dengan C Buktikan, jadi buktikan implikasi ini Salah satu pembuktiannya, saya uraikan sebagai berikut Dari definisi penumpang bagian P yang pun ada bagian yang sama dengan Ki Jika dan hanya jika, setiap X elemen P juga elemen dari Ki. Itu adalah referensi dari subsetnya. Sekarang, misalkan X elemen dari impunan A.

Karena di sini diberikan fakta bahwa A subset dari B gabung C, maka sesuai dengan referensi impunan, jika X adalah elemen dari A, berarti X juga adalah elemen dari B gabung C. Kemudian, Dari definisi operasi gabungan, yaitu U, X elemen dari B gabung C, itu berarti X elemen dari B atau X elemen dari C. Pada bagian yang I ini, itu sudah didefinisikan bahwa X elemen dari A.

Karena faktanya mengatakan bahwa A irisan B sama dengan kosong, maka berarti X bukan elemen dari B. Karena X ini elemen dari A dan... A irisan B sama 0, artinya tidak beririsan atau saling lepas, berarti X bukan elemen dari B.

Dari 1 dan 2 ini, berarti tinggal satu kemungkinan lagi bahwa X itu elemen dari C. Karena di sini X bukan elemen dari B, tapi X elemen dari A. Di sini X elemen dari C. Karena untuk setiap X elemen dari A juga berlaku X elemen dari C, Maka dapat disimpulkan bahwa A Kumpulan bagian yang tersama dengan C Bagaimana teknik pemulihan seperti ini? Cukup sulit ya Karena harus menggunakannya dengan bentuk kelima Itu beda dengan pemulihan untuk kesamaan tadi Bagian terakhir dari video ini adalah berupa materi pelengkap Jadi dimana penggunaan impunan ini Dalam teori yang lain Misalnya dalam teori bahasa formal Atau mata Ini juga kalian peroleh mata pilihannya di semester ketiga ini.

Alphabet itu adalah himpunan terbatas simbol-simbol. Di sini alphabet itu adalah himpunan terbatas simbol-simbol. Ada alphabet latin, ada alphabet Yunani, alphabet Biner, alphabet Arab, dan sebagainya.

String adalah barisan yang disusun oleh simbol-simbol alphabet. Jadi A1, A2, A3, sampai AN. Setiap elemen AI-nya itu adalah elemen dari alphabet A.

nama lain yang tersing adalah kalimat atau word kemudian jika A adalah alfabet maka A pangkat N menyatakan himpunan semua string dengan panjang N yang dibentuk dari himpunan A jadi A pangkat N ini adalah himpunan semua string yang panjangnya N lalu definisikan A bintang adalah himpunan semua rangkaian simbol dari himpunan A yang terdiri dari 0 simbol, 1 simbol, 2 simbol, dan seterusnya A bintang ini Didefinisikan sebagai gabungan dari impunan A yang mempunyai panjang 0 simbol, impunan A yang berisi suma string yang panjangnya 1, impunan A yang berisi suma string yang panjangnya 2, dan seterusnya. Jadi misalnya kita punya alfabet A binar, itu berisi 0 dan 1, maka A, maka 0 ini adalah impunan yang berisi string 0, string kosong. Siting kosong itu panjangnya 0 kan? Disimulkan epsilon.

A pangkat 1 adalah Jadi himpunan yang berisi semua string yang panjang 1, berarti 0 dan 1. A2 himpunan semua string yang panjang 2. 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 1. A3 juga begitu ya. A4 dan seterusnya. Nah sebuah bahasa yang didimisikan pada alfabet A itu himpunan bagian dari A bintang. Jadi disini kita sudah menggunakan himpunan bagian.

Misalkan A sama dengan himpunan ABC, ini alfabetnya ABC. Maka kita dapat membentuk. bahasa pada alfabet A ini.

Misalnya bahasa L1, itu anggotanya adalah A, A, A, A, B, C, A, C. L2 adalah A, B, A, dan seterusnya, L3. Atau L4 inilah bahasa dibentuk oleh string yang A-nya berulang sebanyak I kali, kemudian diikuti dengan C, lalu B sebanyak I kali. Contohnya misalnya bahasa bahasa Indonesia, itu alfabetnya ada A, B, C, 0, 1, 2, lalu tanah.

tanda-tanda baca dan sebagainya kita bisa membentuk string yang panjangnya bisa 0 bisa 1, 2, 3 string itu kita sebutkan kalimat atau kata yang terakhir adalah bahwa di dalam bahasa pemurgaan juga disediakan fitur-fitur atau tipe untuk impunan misalnya dalam bahasa pascal apakah masih digunakan oleh kalian? Dalam bahasa pascal kita definisikan misalnya huruf besar, ini contoh ya, sebuah tipe bentukan huruf besar yaitu karakter A sampai Z. Nah huruf adalah set of, artinya hibunan. Hibunan yang dibentuk oleh huruf-huruf besar ini. Lo variable-nya huruf ku, itu tipenya huruf.

Nah kita dapat membentuk sebuah... himpunan ya dengan verbal huruf ku misalnya ini adalah tapi disini disimbolkan dengan menggunakan bukan kurup rawal ya kurup rawal mas pascal itu berarti komentar disini digunakan kurumsi ku huruf ku adalah sebuah variable yang diisi dengan himpunan yang anggotanya adalah a c d ya atau yang ini kita isi dengan himpunan yang anggotanya n atau kita isi dengan himpunan kosong dan ini adalah operasi-operasi yang terdapat pada himpunan dengan menggunakan bahasa pascal ya Jadi ini operasi gabungan digunakan tambah, operasi irisan kali, operasi selisih adalah kurang. Sementara untuk menguji apakah sebuah elemen adalah anggota sebuah himpunan, menggunakan operator in.

Dalam bahasa Python pun juga terdapat di the set. Itu dengan menggunakan seperti ini. Misalnya kita ingin membuat himpunan kosong, kita gunakan konstruktor, namanya set konstruktor. Jadi, Kita punya sebuah variable my set, kita buat sebuah kumpulan kosong, set seperti ini. Atau bisa juga set dalam kurung, ini adalah sebuah kumpulan kosong, ini sama saja.

Nah, ini adalah contoh-contoh membuat kumpulan dengan menggunakan set konstruktor atau dengan menggunakan notasi kurung ke awal. Jadi dengan set konstruktor artinya menggunakan kata kunci set, menggunakan sequenya, atau menggunakan notasi kuruk rawal seperti ini expression for, jadi ada kata for dan in di dalamnya, misalnya gini kita definisikan sebuah himpunan namanya myset, yang beranggotakan x, x itu adalah huruf-huruf di dalam string abracadabra kalau kita ingin menampilkan elemen himpunan myset itu kita tulis myset maka akan keluar seperti ini himpunan yang beranggotakan adalah abrcd huruf-huruf di dalam abracadabra Kita juga bisa menambahkan sebuah elemen Y dalam impunan ini. Yang menggunakan add, atau bisa menghapus, atau bisa mengambil elemen yang paling atas dari impunan itu, yang menggunakan pop.

Jadi di sini pop, elemen yang paling atas dari impunan my set, berarti yang berb. Ini menampilkan elemen setelah operasi pop. Untuk menguji apakah sebuah impunan superset dari impunan yang lain, kita gunakan Operator besar kesempatan. Sedangkan untuk menguji apakah sebuah himpunan subset dan himpunan yang lain, kita gunakan kecil-kesempatan.

Nah, kalau hanya besar dan kecil saja, berarti kita hanya menguji proper subset. Jadi tidak termasuk yang sama dan himpunan kosong. Ingat kembali ya, definisi proper subset dan improper subset. Nah, contohnya seperti ini. Saya punya himpunan S1 yang terdiri atas huruf-huruf dari abrakadabra, lalu S2.

Buruf-buruf dari Bar. Kita lihat di sini bahwa S1 adalah superset dari S2. Itu benar.

Apakah S1 proper subset dari S2? Itu juga benar. Apakah S1 adalah subset dari S2? Itu false.

Nah, operasi himpunan untuk irisan, selisih, dan beristangkuk, dan gabungan itu menggunakan tanda operator ini. Garis, kalau irisan, dan kalau selisih. Kurang kalau beristakub adalah tanda angka ini. Ini contohnya, S1 adalah himpunan yang dibentuk dengan set konstruktor yang disusun oleh huruf-huruf sering abrak-kanabrak. Jadi kalau kita tampilkan S1 maka himpunannya berengotakan A, B, R, C, D. S2 adalah himpunan yang dibentuk dengan set konstruktor yang disusun oleh huruf-huruf dalam ala kazam.

Tampilkan S2 adalah ini, A, L, C, Z, M. Ini adalah operasi gabungan S1 dengan S2. Hasilnya ini ya. Coba periksa. Ini irisan S1 dengan S2. Ini operasi selisih S1 dengan S2.

Ini operasi beda setangkut S1 dan S2. Silakan periksa ya hasilnya. Dengan demikian maka selesailah materi kita tentang kimpunan.

Berikut ini adalah soal-soal latihan saja. Silakan kalian kerjakan. Silakan dibaca. Ini nomor 1. Nah, ini sudah diberikan jawabannya. Ini nomor 2. Hitunglah banyaknya bilang genap.

Di antara 1 sampai 2 ribu yang habis dibagi 7, tetapi tidak habis dibagi 9. Kalian harus mengerti terlebih dahulu ya, makna dari kalimat ini ya. Tetapi, berarti itu dan. Tidak habis dibagi, berarti di sini komplement. Kalau kata tidak itu.

Di sini sudah diberikan jawabannya. Silahkan diperiksa. Nomor 3, jangan dibaca ya. Jawabannya juga sudah diberikan. Nomor 4, mirip seperti tadi.

Jadi saya sangat sering ya memberi soal-soal tentang prinsip inklusi eksklusi itu. Itu berapa banyak bila dengan bulat positif yang lebih kecil atau sama dengan 200, yang habis dibagi 4 atau 7 atau 9. Jadi di sini lebih banyak lagi ya. Ini jawabannya.

Silahkan di... Pause videonya untuk membaca jawaban ini. Dan ini soal yang terakhir. Buktikan bahwa untuk impunan A, B, dan C berlaku A kurang B dikurang C sama dengan A kurang C dikurang B kurang C.

Silakan ini dikerjakan ya kalau ini tidak ada penyelesaiannya di sini. Baiklah, demikian video bagian kedua dari impunan ini. Saya ucapkan selamat belajar.

Transcript for:Kuliah Teori Himpunan dan Pembuktian

Transcript for:
Kuliah Teori Himpunan dan Pembuktian