So, hello बच्चालो, welcome back to the PhD series. अगर हम लोग यहाँ पे one of the most important concept की बात करें mechanics की, तो work energy theorem is one of them. यह आपका work energy power का एक concept है, और बहुत से बच्चों का request था कि sir हमें इसे apply करने में problem आता है, तो चलिए यहाँ पे हम लोग इसको अच्छे से यहाँ पे 6 numerical example भी देखेंगे, जिनमें से 5 आपको previous year question है, JEE mains की भी, JEE advanced की भी, और एक सवाल मैंने जो यहाँ पे है, HC1 मा volume 1 से लिया है, ठीक है, चलिए, उन्हें मैं बता दू यहाँ पे हमारा बहुत important दो series है one is your revision series जहाँ पे आप अपने concept को complete complete chapter के revision के थूँ अच्छा और improve कर सकते है और अगर आपको किसी particular concept में एक PhD करना है आपको उसके उपर एक बहुत अच्छी understanding लेनी है तो यह हमारा PhD series है यहाँ पे हम लोगों ने already 8-9 वीडियो कवर कर रखा है right तो आप इन दोनों ही links को जरूर से जाके देखे समझे और अपने topics को और improve करें ठीक है इस पूरे session का जो pdf notes है वो भी आपको नीचे मिल जाएगा ताकि आप directly इस link पे click कर पाएंगे और यह आपका जो तीसरा link है this is your gold mine link right हमारे पूरे channel पे जितना भी educational content है सभी का link इस excel file में arranged है ठीक है तो चलिए हम लोग शुरू करते हैं वर्क एनर्जी थियोरम के इस concept को अगर यहां पे हम लोग वर्क एनर्जी थियोरम के सबसे basic fundamental definition को read करे, तो सबसे fundamental इसका definition ही होता है, that the net work done is equal to change in the kinetic energy of the body or the system, right, so KF minus K initial, this is your delta K, right, so work net is equal to delta K, अब यहाँ पे यह जो net work done है न, यह basically मतलब क्या होता है, कि आपका जो body है उस पे multiple forces लग सकते हैं, चाहिए वो आपका force mg हो, चाहिए वो आपका force spring force हो, friction force हो, कोई external agent हो, normal हो, tension हो, ठीक है, तो सभी का, सभी का जो work है, उसका total हमें निकालना पड़ता है, and that is equal to delta k, ठीक है, तो सबसे पहले हम लोग यहाँ पे variety of forces को समझ लेते हैं, कौन-कौन से forces यहाँ पे लग रहे होते हैं, वो फोर्स है जिसके लिए आप potential energy नामक term को define करते हो, right, gravitational force, वो आपको conservative force है, mg, right, तभी आप gravitational force के लिए gravitational potential energy वाला term define करते हो, चाहे वो आपका mg हो, या फिर gravitational chapter में आपने सीखा होगा, minus g m1 m2 by r, clear एकदम, electrostatic force, अगर कोई बच्चा 11th में है तो वो शायद इसको नहीं जानता है लेकिन अगर कोई बच्चा 12th में है तो वो जानता है कि Electro Static Force क्या होता है, 2 चार्ज के बीच का Interactive Force, ठीक है, Spring Force, Spring Force, right, Kx, और इसलिए Spring Force के लिए हम लोग Half Kx Square Potential Energy Term भी Define करते हैं, clear एकदम, Non-Conservative Force में आ� external agent, right, यानि कि कोई इंसान है जो की body पे force लगा रहा है, तो उसके force को भी account में लेना है, उसके force के कारण भी कुछ work done हो सकता है, ठीक है, tension के कारण भी work हो सकता है, normal के कारण भी work हो सकता है, और हो सकता है कि work ना भी हो, ठीक है, तो हम लोग यहाँ पे सभी variety को अच्छे से touch करे आपको 110% confidence आएगा ही आएगा, ठीक है, यानि कि, अब हम लोग यहाँ पे जो network है, उसको लिख सकते है, work done by the conservative force, plus work done by non-conservative force, plus work done by some external agent, right, यहाँ पे आपका external agent भी आ सकता है, tension normal, कुछ भी हो सकता है, is equal to delta K, clear एकदम, अच्छा, अब यहाँ पे एक और चीज आपको पता होना के एक स्प्रिंग फोर्स एलेक्ट्रोस्टाटिक फोर्स कुछ भी हो सकता है बेसिकली आप वर्क डन बाई कंजर्वेटिव फोर्स को लिख सकते हो नेगेटिव ऑफ चेंज इन पोटेंशल एनर्जी आप वर्क डन बाई कंजर्वेटिव फोर्स को माइनस डेल्टा यू से तो यह आपका equation इतना बन जाएगा, और आप सभी को पता होना चाहिए, कि यह क्या है, प्लस चेंज इन पोटेंशियल, और इन दोनों को हम लोग क्या बोलते हैं, बेसिकली आपका kinetic प्लस potential को ही कहते है mechanical energy of the system, यानि कि इस पूरे को हम कह सकते है total change in the mechanical energy, total change in the mechanical energy, right, तो आपका work energy theorem का जो starting definition है, वो ये है, लेकिन हम लोग इस equation को ही follow किया करेंगे, right, तो ये हमारा master equation है, हर teacher का, हर faculty का अपना अलग-अलग तरीका होता है work energy theorem को, apply करवाने का, this is my way of understanding and making you understand and believe me हम लोग सारे के सारे problem को इस single equation से solve कर लेंगे तीन से चार लाइन में, clear एकदम तो इसको हम लोग use किया करेंगे, अब इसी का ही एक extension बोल लिजिए एक special condition बोल लिजिए जिसे आप कहते हो law of conservation of energy, right conservation of energy जो है, वो इसी equation का एक special case है अगर आप ध्यान से देखिए, मान लिजिये कि सिस्टम में जो non-conservative force है, उसके कारण work done जीरो है, या फिर कोई force है ही नहीं non-conservative वाला, कोई friction force लगी नहीं रहा, right, at the same time external agent का भी जो work done है, वो जीरो है, so basically what I am trying to say is, मान लिजिये ये जो आपका left hand side है, वो जीरो है, वो जीर टोटल change in mechanical energy of the body or the system is 0 और इसी को तो बोलते है conservation of energy अगर आपका mechanical energy में कोई change ही नहीं आया है यानि कि वो constant है तो इसी को हम लोग अगर rearrange करें delta k को आप लिख सकते हो kf-k initial और delta u को यहाँ पे हम लिख रहे है uf-u initial इसको rearrange किया तो यही equation आपको आपके coaching में आपके हर जगर school में K initial plus U initial is equal to K final plus U final तो यह तो बड़ा ही simple सा एक category हो जाता है questions का जहाँ पे आपको दिख रहा है कि भाईया हमारे इस question में तो कोई friction भी नहीं है और tension और normal का work done भी zero आ रहा है और कोई external agent भी नहीं है यानि कि आप उस question में energy conservation लगा सकते हो total initial mechanical energy is equal to total final mechanical energy ठीक है लेकिन हम लोग इस session में जितने भी सवाल लेंगे, इस category वाले equation के लेंगे, ताकि हम लोग समझ सके कि भाईया अगर external agent आ जाता है, non-conservative force आ जाता है, तो किस तरीके से हमें उस question को handle करना चाहिए, clear एकदम, अच्छा, अब यहाँ पे दो तीन और चोटी चोटी बाते हम लोग यहाँ पे कर कोई भी random shape का curve है और उसके उपर ये travel कर रहा है, अब किसी भी situation पे, किसी भी moment पे आप देखो, इस block पे normal इस direction में है, और इस block का, इस moment पे जो instantaneous direction of motion है, वो इस normal के perpendicular है, यानि कि normal is perpendicular to the instantaneous displacement, और हमें पता है कि work क्या होता है, work आपको होता है वह या force dot displacement, right, तो अगर दोनों की बीच का एंगल 90 degree है, तो FD cost 90, which is 0, यानि कि यहाँ पे normal का work done 0 है, यहाँ पे भी देखिए normal का work done 0 है, तो आप यहाँ से समझ सकते हैं, कि इस पूरे path पे normal का work done होगा, वो 0 होगा, इसलिए ऐसे questions में, क्योंकि normal का work done 0 हो रहा है, हम लोग energy conservation लगाते हैं, आपने जरूर से वैसे सवाल किये भी होंगे, जहाँ पे आप simply energy conservation लगा देते हो, अगर ये particle आपको vertically edge height नीचे गिरा है, तो आप यहाँ पे लगाते हो, loss in potential energy is equal to gain in kinetic energy, clear है, and similarly अगर आपका एक धागा है, आपका एक bob है, और धागा इस point पे आपका fixed है, ठीक है, अब ये bob आपको इस तरीके से circular path पे move कर रहा है, तो हमेशा perpendicular to direction of motion यानि कि tension का work done हमेशा zero होगा इसी लिए हम ऐसे equations में energy conservation लगाते हैं अगर आपका ये Bob H vertical height gain किया है तो हम लोग बोलते हैं कि भाईया जो gain in gravitational potential energy है that is equal to loss in kinetic energy और हमने इस equation को बहुत बार लगाया भी है अगर आपने हमारा vertical circular motion का revision video है जहाँ पे हमने detail में इस्तिमाल किया है क्यूं क्योंकि भाईया tension का तो work done ही zero है और यहाँ पे कोई friction तो है नहीं right, so हम लोग लगा सकते हैं ठीक है, अच्छा अब एक और बात, किस तरीके से आपको इस delta U को लिखना चाहिए right बहुत से बच्चों के लिए यह चोटी सी बात हो सकती है, लेकिन majority बच्चों के लिए यह एक issue बनता है, तो ध्यान से देखिए, अगर आपका कोई particle है, जो की अभी A point पे था, अब वो B point पे है, यानि कि इस particle का जो vertical height fall हुआ है, that is small h, अगर यह particle A से B जा रहा है, यानि कि height क यहाँ पे loss हो रहा है, इसलिए negative sign आना चाहिए, this is your negative of MGH, और अगर यही particle आपका B से A point पे जाता, तो आप यहाँ पे लिखते plus MGH, क्योंकि particle ने एक height gain कर रही है, ठीक है, अगर आपके पास एक spring block example है, right, यह आपका एक spring है, जिसका spring constant K है, और यहाँ पे आपके पास एक block है, इस situation में था यानि कि spring में extension था x1 और उसके बाद आपका block जो है वो यहाँ पहुंच चुका है यानि कि जो spring में extension है that is your x2 ठीक है यानि कि हम यहाँ पे बोलेंगे कि अगर आपका situation x1 से x2 हो जाता है in that case the delta u is equal to what u final minus u initial और u final आपका होने वाला है half k x2 square minus और आपका u initial कितना है half k x1 square ठीक है तो इस बात को भी ध्यान में रखना है कि किस तरीके से हमको delta U को लिखना है अगर हम लोग यहाँ पर बात करें gravitation चार्टर की मान लिजे यहाँ पर आपके पास एक fixed mass capital M है आपके पास यहाँ पर एक small mass M है अभी वो इस A location पे है फिर आपने इसको move कराके B location पे ले गए है अगर आपका यह R1 से R2 पे जा रहा है अब इस case में आप जो delta U बोलेंगे particle का जो delta U हुआ है that is equal to final gravitational potential energy minus initial gravitational potential energy ठीक है? तो ध्यान रखना है कि किस तरीके से अपने को delta U को लिखना है clear एकदम?
चलिए अब हम लोग यहाँ पे एक numerical example देखते हैं अगर आप confident enough हैं तो पहले आप इस video को pause करें खुद से attempt करें उसके बाद आके इसका solution को देखें clear एकदम? यह सवाल आपको JEE MAIN 2019 का है A block of mass M lying on a smooth horizontal surface is attached to a spring of negligible mass of spring constant K the other end of the spring is fixed as shown in the figure the block is initially at rest in its equilibrium position तो शुरुवात में आपका block rest पे था spring आपका natural length में था उसके बाद आपने इस block पे एक external force राइट capital F लगाना शुरु कर दिया the block is initially at rest in its equilibrium position if now the block is pulled with a constant force capital F The maximum speed of the block is going to be how much? ठीक है?
So let us try to understand and analyze this situation. ठीक है? हमको पहले यह समझना होगा, यह judge करना होगा, कि यह block जो है, वो maximum speed कब attain करेगा?
यह आपका spring का natural length वाला situation है. तो पहले आपका block यहाँ पे था, फिर आपने capital F force लगा के इस block को right side pull करना शुरू किया. तो आप समझ सकते हैं कि जैसे जैसे आप इस block को right side pull करोगे.
अब ये capital F तो constant है आप जैसे जैसे इस block को right side pull करोगे backward direction में एक spring force लगना शुरू हो जाएगा ठीक है लेकिन शुरुवात में क्या होगा कि ये capital F जो है उस spring force से जादा है so net force अभी भी right direction में है यानि कि right direction में particle के पास एक acceleration है और जब तक particle के पास एक acceleration right direction में है particle का जो ये speed है वो बढ़ता ही जाएगा लेकिन ये capital F तो constant है जैसे जैसे ये spring stretch होता जाएगा spring force बढ़ता जाएगा एक ऐसा moment आएगा जब spring force और capital F आपस में बराबर हो जाएगा and at that moment system का जो velocity है particle का जो speed है वो maximum होगा क्योंकि उसके बाद जब spring और elongate होगा तो spring force बढ़ा हो जाएगा capital F से और net force left direction में होगा जिस कारण से particle आपका फिर रिटार्ड करना शुरू कर देगा तो यहां पर यह अंडरस्टांडिंग होना बहुत जरूरी है कि पार्टिकल का मैक्सिमम स्पीड का कंडीशन क्या है कंडीशन क्या है कि एक्सटर्नल फोर्स इस इक्वल टू दी स्प्रिंग फोर्स तो मान लेते हैं मान लेते हैं कि जब स तो हमको पता चल गया है कि किस elongation के लिए ऐसा हुआ है अब हम लोग क्या करेंगे यहाँ पे हम लोग लगाएंगे चुप चाप यहाँ पे work energy theorem तो work energy theorem क्या बोलता है work external यहाँ पे आपका friction तो है नहीं सिर्फ आपका एक external agent है capital F वाला force so work external is equal to delta K plus delta U clear है एकदम अच्छा so external force ने कितना काम किया है भईया तो आपका external force तो constant है और displacement आपका x हुआ है तो external force का work done तो simply F into X हो जाएगा, delta K क्या होगा आपका, delta K is your change in kinetic, तो शुरुवात में जब आपका block यहाँ पे था, तब तो आपका block rest पे था, right, so K final ही है आपका delta K which is your half mv square, and what is delta U? जब आपका यहाँ पे था block, तो spring natural length में था, right, तो यही आपका final वाला जो है, वही delta U है, so half kx square is the change in potential energy, यहाँ पे तो सिर्फ spring का ही लिखोगे न, तो यहाँ पे तो सिर्फ यहाँ पे तो सिर्फ यहाँ पे तो सिर्फ यहाँ पे तो सिर्फ यहाँ पे तो सिर्फ यहाँ पे तो सिर्फ यहाँ पे तो सिर्फ यहाँ पे तो सिर्फ यहाँ पे तो सिर्फ यहाँ पे तो सिर्फ यहाँ पे तो सिर्फ यहाँ पे तो सिर्फ यहा यह जो आपकी पास x की value है उसको इस वाले equation में substitute कर दो substitute करोगे आपको यह मिलेगा rearrange करोगे आपको v की value इतनी मिल जाएगी right which is your option number d clear एकदम चलिए आगे बढ़ते question number 2 j main 2020 ठीक है सवाल को आप पढ़िये उसके बाद आखे इसका solution देखिये सवाल में मसे क्या कहता है a small block start slipping down from point b इस point से आपका यह जो block है वो नीचे slip करना शुरू कर रहा है on an inclined plane AB, which is making an angle theta, इस तरीके से, ठीक है, हमसे कहता है, कि यह जो section BC है, वो smooth है, और AC जो है, वो rough है, यानि coefficient of friction, सिर्फ इस AC वाले section के लिए हमारे पास है, ठीक है, हमको बोलता है, कि BC is equal to 2AC, और जब यह particle block पॉइंट B था, यहां से वो start करता है motion, यानि कि initial speed 0 है, और और A पे पहुँचते पहुँचते उसका दुबारा से speed 0 हो जाता है, ठीक है, okay, so the coefficient of friction is given by mu is equal to some constant K tan theta, तो हम से इस K की value पूछी जा रही है, तो यह आपको basically एक integer type question है, clear एकदम, तो हमने यह diagram को यहाँ पे दुबारा से बना लिया है, मान लेते हैं कि AC का जो length है वो x है, तो BC का length आपको 2x हो जाएगा, यहाँ पे speed 0, यहाँ पे भी speed आपका 0 है, clear एकदम, right, अच्छा, तो यहाँ पर आपको clear indication मिल रहा है कि work energy theorem लगाना बहुत beneficial होगा क्योंकि यहाँ तो शुरुवात से लेके अंत के लिए आपका delta k ही 0 है, there is no change in kinetic, शुरुवात में भी 0 था और बाद में भी 0 है, clear एकदम? और एक और बाद आपको ध्यान में रखना है, आपका जब particle C point से A point पे travel कर रहा था, तब इस particle पे friction उपर के direction में लग रहा था, और friction की value क्या है वो आपको पता होना चाहिए, that is your mu mg cos theta म्यू इंटू नॉर्मल होता है और नॉर्मल आपको यहां पर MG कॉस्ट थीटा होता है क्लियर एकदम अब हम लोग यहां पर लगाएंगे वर्क डन बाई फ्रिक्शन वर्क डन बाई यह आपका नॉन कंसर्वेटिव फोर्स है तो वर्क डन बाई फ्रिक्शन इस इक्वल ट� जो भी है C से लेके A तक के लिए है, तो work done by friction कितना हो जाएगा, friction आपको पीछे लग रहा है, displacement आपको X आगे हो रहा है, तो negative sign दिखाना पड़ेगा, so minus mu mg cos theta, right, force into displacement, delta के आपका 0 है, और delta U भी negative होना चाहिए, क्योंकि आपका particle का height loss हुआ है, कितना height loss हुआ है, तो ये जो slant height है total वो है 3X, तो ये vertical height कितना हो जाएगा, 3X sine theta, right, so mg, h की जगा आ रहा है, 3x sin theta, आप इसको rearrange करेंगे, तो आपको mu is equal to 3 tan theta आएगा, यानि की value की 3 है, 3 के बरावर है, clear है एकदम, आगे बढ़ते है, let us talk about the question number 3, यह again आपको 2020 का एक अच्छा सवाल है, ध्यान से सवाल को देखिए, a block starts moving up an inclined plane of inclination 30 degree with initial velocity V0, clear है एकदम, तो इसका diagram भी यहाँ पर देख लेते हैं, एक particle है जो कि V0 speed से उपर जाता है, B point तक पहुँचता होगा, और वापस लोट के आ जाता है, और जब दुबारा से इस point को cross कर रहा था, तो वो V0 by 2 speed से cross किया है, अब क्योंकि इस particle का speed decrease हुआ है, definitely A से लेके B में, path में friction रहा होगा, क्योंकि अगर friction नहीं होता, तो particle का energy same होना चाहिए था, तो अगर जाते वक्त speed B0 था, तो आप सवाल में देख सकते हैं, the value of coefficient of kinetic friction between the block and the inclined plane is close to i upon 1000, तो बताईए the nearest integer to i is what? तो हमसे coefficient of friction पूच रहा है, यानि कि friction को मानना पड़ेगा कि यहाँ पर friction है, अब एक और बात, आपका particle जब उपर जा रहा था, तो उसपे friction नीचे लगेगा mu mg cos theta, और आपका particle जब नीचे लगा रहा था, तो उसपे friction उपर लगा होगा mu mg cos theta, यानि कि particle आपका उपर जाए या नीचे आए friction का work done negative ही होने वाला है right हमेशा friction motion के opposite direction में था यहाँ पे हम लोग पहला equation जो बनाएंगे वो work energy theorem से ही बनाएंगे हम लोग directly directly initial और final situation पे लगाने वाले है work energy theorem यानि कि particle A point पे चालू हुआ और वापस जब A point को cross कर रहा था return में V0 by 2 speed से so work done by friction is equal to delta K plus delta U आप ध्यान से देखिए हम लोग उसी equation को बार बार इस्तमाल कर रहे है एक equation से हम लोग सब सवाल यहाँ पे solve कर रहे है so friction का work done कितना हो जाएगा अगर आप यहाँ पे ध्यान से देखिए minus mu mg cos theta multiplied by displacement और लोटते वक्त भी उतना ही था तो यहाँ पर two times कर दिया है clear है delta k delta k क्या होगा final kinetic energy minus initial kinetic energy और delta u तो zero ही है आपका particle a point पर चालू आता है और a से ही लोट रहा है तो height में तो कोई change आया ही नहीं तो delta u आपका zero हो गया तो यहाँ से आपको equation number 1 मिल गया mu की value तो x और v0 को आपको eliminate करना है so you need one more equation between x and v0 So what we can do is, हम लोग A से लेके B तक के लिए, kinematics का equation लगा लेते हैं, V square is equal to U square plus 2AS, राइट, आपका particle जब A point से B point पे गया था, तो B point पे तो particle का speed 0 हो गया है, और A point पे जाते वक्त particle का speed V0 है, तो आपके पास initial velocity और final velocity है, हमको चाहिए कि जब particle उपर जा रहा था, तो उस पे retardation, यानि कि A की value कितनी है, तो उस पे friction के लावा आपको mg sin theta भी लग रहा है, यानि कि particle का जो acceleration है, वो आपको कितना होने वाला है, magnitude के sense में वो आपको हो जाएगा g sin theta, plus mu g cos theta, भाईया ये दोनों total force है न, total force को आप mass से divide कर दो, तो आपको acceleration निकल के आजाएगा, और क्योंकि वो आपको retardation है basically, v square is equal to u square plus 2ax वाला जो formula होता है, तो आपका final speed 0 था, यह आपका initial speed है, minus 2, यह आपका acceleration है, और यह आपका displacement x है, आप इसको rearrange करेंगे, आपको यह equation मिलेगा, equation number 2, अब क्या करना है, अब यहाँ पे v0 square की value को यहाँ पे डाल दो, basically, और फिर आप उसको solve करो, after you solve equation number 1 and 2, you will get mu is equal to 3 by 5 tan theta, और tan 30 degree है basically, ना, जो कि आ� म्यू की value root 3 by 5 है, और उसे आप equate करेंगे i by 1000 से, right, तो यहां से आपको i की जो approximate value है, closest integer, वो आपको आने वाला है 346, clear है एकदम, आगे बढ़ते है question number 4, a very good question, 2011, भले ही ये सवाल आपको JEE advanced का है, लेकिन ये बहुत probable question है JEE mains के लिए, क्योंकि ये easy सवाल है, आज के time पे बहुत easy है, धियान से देखेगा, सवाल क्या है, block of mass 0.18 kg, ये block का mass आपको दे दिया, is attached to a spring of force constant 2 newton per meter, the coefficient of friction between the block and the floor is 0.1, initially the block is at rest, शुरुवात में आपको block rest पे था, and the spring is unstretched, spring आपको natural length में है, and impulse is given to the block, as shown in the figure, तो आप इस impulse word से ना घबराए, आपको basically इतना बोल खका मार के छोड़ दिया, यानि कि इस block के पास एक velocity आ गई होगी right direction में, the block slides a distance of 0.06 meter and comes to rest for the first time, ठीक है एकदम, तो block आपको right side जाता है, और 0.06 meter travel करने के बाद पहली बार रूक जाता है, ठीक है, बहुत बढ़िया sir, the initial velocity of the block is n upon 10, तो हमें n की value पूछ रही है, so basically आपको इस block का initial velocity को solve करना होगा, clear एकदम, एक बार डाइग्राम के तरू फिर से समझ लेते हैं, आपका ब्लॉक पहले यहाँ पर था, उसके पास एक V विलोसिटी थी, ब्लॉक यहाँ पर आने के बाद रुक जाता है, कितना displacement वाए, तो 0.06, यहाँ पर friction भी था, जो आपका ब्लॉक यहाँ से यहाँ जाता है, तो backward direction मे एक line में equation लिखेंगे हम लोग work done by friction is equal to delta u plus delta k आप देख सकते हैं बार बार एक equation लग रहा है तो friction का work done कितना होगा negative होगा न block आगे जा रहा है friction पीछे लग रहा है तो minus mg x is equal to what is delta u what is delta u so final potential energy minus initial potential energy final is half k x square और शुरुवात में तो spring थाई natural length में तो zero था वो बढ़िया है what is delta k final kinetic energy that is zero माइनस इनिशियल कानेटिक एनर्जी विच जो हाफ़ एमबी स्क्वेयर अब आपके पास यह सारा डाटा है आप जब इसको रियरेंज करेंगे तो वी की वाल्यू इतनी निकल की आईगी और इस एक्वेशन में आ value को put करे, kx, m, mu, g, you will get v is equal to 4 by 10, so if you compare them, n is equal to 4, तो यह आपका answer है, आप देख सकते हैं न, कितना easy सवाल था यह, very easy question, लेकिन इस equation को आपको समझना होगा, ठीक है, चलिए, आगे बढ़ते हैं, एक और सवाल, question number 5, 2014 advanced, again, एक ऐसा question, जो कि j-e means के लिए भी बहुत relevant है, ठीक है, मैंने यहाँ पर जान मुझके वैसे questions उठाए है, जो कि J advanced के तो है, लेकिन J mains के लिए equally relevant है, ध्यान से देखिए, consider an elliptically shaped rail, PQ in the vertical plane, तो vertical plane, जब word बोलता है सवाल में, यानि कि gravity को लेना है, with OP is equal to 3, and OQ is equal to 4, ठीक है, तो यह दूरी आपको 3 meter है, तो यह basically आपको वो track है, और यह particle जो है, इस track पे आपको slide कर रहा होगा, ठीक है, okay, this 1 kg mass is pulled along the rail from point P to Q with a force of 18 newton, which is always parallel to the line PQ, अब इसके उपर एक force लगाया जा रहा है, ये force लगा कि इसको वहाँ तक, Q point तक लेके जा रहे है, लेकिन खास बात यह है कि ये जो force है, वो हमेशा इस PQ line के parallel है, parallel है, this is very interesting point, assuming there is no friction, right, अब द टाइनर जी अब द ब्लॉक वेन इट रीचेस क्यों इस जब वह इस पॉइंट पर पहुंच जाता है इस गिवन बाई एन इंटू टेन जूल्स तो हम इस एन की वाल्यू पूछ रही है सो बेसिकली अपने को निकालना है कि जब यह पार्टिकल आपको क्यों पॉइं� इस समय instantaneous direction of motion होगा वो tangent होगा tangent होगा इस तरीके से right और normal आपको लगेगा इस direction में यह जो आपका real track है वो इस particle पे normal भी लगा रहा होगा contact force लेकिन यह normal आपको हमेशा instantaneous motion के perpendicular रहेगा which means इस normal के work done का आपको चिंता करना नहीं है ठीक है now let us move to the work energy theorem लेकिन आपके पास एक external force है तो आपको यहाँ पर लिखना पड़ेगा कि work done by this external force is equal to delta K plus delta U, अब यहाँ पर बात आता है कि इस external force ने भाईया कितना work done किया, तो work done का simple definition होता है F dot D, तो अगर आपका force और displacement same direction में है, तो simply force into displacement हो जाएगा, simply FD होने वाला है, तो यहाँ पर तो खास बात यह है कि यह force के direction में अगर ये 4 है ये 3 है तो ये hybridness आपको 5 है तो आपको पता चल गया कि force के direction में जो displacement हो रहा है वो 5 है तो simply यहाँ पे हम लोग force which is 18 into displacement that is 5 clear अच्छा सर this is equal to what delta k delta k का मतलब क्या है final kinetic energy तो हमने यहाँ पे simply kf लिख दिया है शुरुवात में तो particle rest पे ही था plus delta u तो particle ने कितना vertical height gain किया है, that is your 4, so m mass gravity into height के जगह 4 लिख दिया है, mgh में क्या है, mass gh, यहाँ पे आप इसको rearrange करेंगे, kf की value 50 आ रही है, यानि कि 5 into 10, so n की value 5 हो जाती है, तो आप फिर से देख सकते हो, यह आपको 2 line का सवाल था, clear एकदम, चल गए, अब यह सवाल, although ये PYQ नहीं है, लेकिन फिर भी ये सवाल आपको JEE mains के साथ से बहुत relevant है, और ये advance में भी आ सकता है, in more than one correct question, ठीक है, again आप इस सवाल को देखेंगे, कि एक line में खतम हो जाएगा, हम लोग, जो इसका actual सवाल था, एक CV में, वहाँ पर part B भी है, just to show you, what is the magical effect of this work energy theorem, तो यह आपका inclined plane है, यह 37 degree है, यह spring आपका fixed है, ठीक है, तो ध्यान से समझिए, इसका next diagram भी हम लोग खोल लेते हैं, particle का यह initial position है, particle का यह वाला जो end है, spring से कितना दूर है, वो हमसे कहता है 4.8, तो ये particle आपको नीचे slide करना शुरू करता है, 4.8 meter तो travel करता ही है, उसके इलावा देखिए, the block compresses the spring by 20 centimeter, अब 20 centimeter का मतलब होता है 0.2 meter, clear एकदम, यानि कि क्या हुआ, ये block आया और spring को भी compress किया, तो total block is inclined पे कितना travel किया है तो 5 meter, 4.8 plus 2 which is your 5 meter, ठीक है, it stops momentarily and then rebounds, ठीक है, तो ये spring को compress किया, रुका, और spring उसको दुबारा से उपर की तरब धखा दिया होगा, तो ये block आपको दुबारा से उपर चड़ता है और 1 meter travel कर पाता है, clear है एकदम, अच्छा, stops momentarily and then rebounds through a distance of 1 meter up the incline आपको 1 meter ऊपर travel किया, यानि कि spring दुबारा से natural length में आ चुका था, when the block reached over here, clear है एकदम, find the friction coefficient between the plane and the block, अब इस सवाल को मैंने बच्चों को solve करते देखा है, वो पूरा पूरा एक एक page खर्च कर देते हैं, वो पहले यहां से लेके, जब आपका block 5 meter नीचे उतरता है, आप तो भाईया initial position यह रहा और final यह है जब वो एक meter उपर और चढ़ा था तो आप तो सीधा सीधा initial और final के बीच में लगा दो work energy theorem अब देखे यहाँ पे आपको कोई external agent वाली बात तो है नहीं यहाँ पे आपको सिर्फ friction है clear एकदम यानि कि हम यहाँ पे बोल सकते क्योंकि हम लोग सीधा सीधा initial position और final position के बीच में ही लगाने जा रहे हैं, so effectively particle ने जो vertical height नीचे loose किया है, वो इस 4 meter से दिया जाएगा, 4 meter आपको हो गया slant height, अगर ये 5 है, ये 1 है, तो ये आपको 4 हो गया, यानि कि जो 4 sine theta होगा, that is the vertical height loss, वो आपको delta U में use होगा, clear एकदम, तो ध्यान से देखिए ये आपको हो गया work energy, theorem से equation, work done by friction कितना होगा, अगर आप ध्यान से देखे, तो जो total path length है, that is 5 plus 1, right, so friction कितना हो जाएगा, minus mu mg cos theta into that path covered, that is your 5 plus 1, clear है एकदम, इसको ध्यान में रखना, बच्चे इसको miss कर जाते हैं, right, friction की work done के लिए भी वो 4 ले लेते हैं, ऐसा नहीं है, friction का जो total path है, वो इस्तमाल ह जितने path पे उस पे friction लगा था, is equal to, what is delta U, particle ने height loss करा है effectively, so minus mgh होगा, so minus mg, और h की जगह हो जाएगा आपका 4 sin theta, ठीक है, particle शुरुवात में भी rest पे था, और finally यहाँ भी particle rest पे ही है, तो delta के आपका 0 है, तो simple यह एक one liner equation है, आप इसको rearrange करेंगे, आपको mu की value आएगी 2 by 3 tan theta, यह आपको आजागा 0.5, and this is the answer, clear एकदम, so you can see the beauty of this work-energy theorem, अगर आपने ध्यान से देखा हो, तो हमने एक single equation से सारे सवाल को crack किया है, and I am pretty sure, I am very very sure, कि आपको इससे confidence मिला ही होगा, आपको अपने प्रश्न प्रश्न आपको बहुत बहुत बहुत बहुत