Lezione 13: Probabilità Nulle

Introduzione

• Argomento di oggi: probabilità nulle.
• Rilevanza: porta allo studio di un nuovo tipo di numeri aleatori.
• Differenza tra numeratori discreti e insiemi numerabili.

Cardinalità degli Insiemi

Insiemi Numerabili

• Definizione: insieme che ha la stessa cardinalità dei numeri naturali.
• Importanza della corrispondenza bionivoca.
• Esempio primitivo: utilizzo di sassi per contare pecore.

Insiemi con Potenza del Continuo

• Definizione: ha la stessa cardinalità dei numeri reali.
• Cardinalità di R > Cardinalità di N.

Apparenti Stranezze degli Insiemi Infini

• Possibile mettere in corrispondenza bionivoca un insieme infinito con un suo sottoinsieme.
• Esempio: intervallo (0,1) ha la stessa cardinalità dei numeri reali.

Razionali e Irrazionali

Insedi Razionali

• Sono numerabili e densi all'interno dei reali.
• Cardinalità di Q = Cardinalità di N.

Insedi Irrazionali

• Non sono numerabili.
• Cardinalità di I = Cardinalità di R.

Sigma Additività

• Estensione della proprietà additiva per eventi incompatibili.
• Problema dell'assegnazione di probabilità a eventi numerabili.
• Situazione in cui la somma delle probabilità può non essere uguale a 1.

Eventi di Probabilità Nulla

• Eventi di probabilità nulla non sono necessariamente impossibili.
• Esempio dell'affidabilità di apparecchiature che può guastarsi in un intervallo di tempo.
• Maggioranza di eventi di probabilità nulla in insiemi con potenza del continuo.

Esempi di Additività

Esempio 1: Lancio di Moneta

• Eventi di ottenere testa per la prima volta al lancio N.
• Probabilità totale = 1.
• La somma delle probabilità converge a 1.

Esempio 2: Scelta di un Numero Naturale

• Assegnare probabilità 0 a tutti i numeri naturali.
• Somma delle probabilità totale = 0, ma unione = 1.

Conclusioni

• Importanza della sigma additività e della coerenza.
• Possibilità di definire la probabilità su insiemi misurabili.
• Approfondimenti disponibili nel libro e sul sito del Nettuno.