Lezione sulla Probabilità e Insiemi Infini

Salve e benvenuti alla lezione numero 13 del corso di probabilità e statistica. La lezione di oggi si intitola probabilità nulle, è un problema al quale abbiamo già accennato, un passant, ora dovremo approfondire perché le probabilità nulle sarà un argomento che ci porterà alla soglia di un nuovo tipo di numero aleatorio. studiato numeratori discreti, ricorderete con un numero finito o con al più un'infinità numerabile di valori possibili, ora dovremo affrontare problemi in cui i numeratori possono anche avere un codominio di potenza superiore a quella del numerabile e quindi sarà necessario richiamare alcuni concetti sulla cardinalità degli insiemi, in particolare dovremo parlare di insiemi numerabili e insiemi con potenza del continuo. E questo appunto, come dicevo, ci porterà a studiare gli eventi non impossibili di probabilità nulla, perché non solo gli eventi impossibili di probabilità nulla, ma come ho già accennato, ce ne sono, diciamo così, molti altri. E poi studieremo, nell'ambito di questo discorso, anche il problema della sigma additività, cioè della possibilità di estendere la proprietà additiva della probabilità, che è conseguenza della coerenza, come ricorderete, quella che abbiamo indicato come proprietà terza della probabilità. cioè rispetto all'unione di eventi incompatibili la probabilità dell'unione è la somma delle probabilità, però gli eventi sono il numero finito. Si tratta di discutere se si può estendere a un numero infinito numerabile di eventi questa probabilità. Allora cominciamo a richiamare queste cose sulla cardinalità degli insiemi, in particolare ricordiamo cos'è un insieme numerabile. Un insieme numerabile, per definizione, si definisce un insieme che ha la stessa cardinalità dell'insieme dei numeri naturali. Questo vuol dire, qui adesso non farò un discorso rigoroso sulla cardinalità, perché questo è oggetto di altri corsi eventualmente. chi volesse approfondirlo può trovarlo sul libro, in approfondimento cercherò di darvi le idee intuitive che vi facciano capire l'esigenza di questo discorso per poter discutere in maniera completa il problema delle probabilità nulle. di n quando due insieme hanno la stessa cardinalità vuol dire che si possono porre in corrispondenza bionivoca in sostanza, cioè c'è una funzione obiettiva da a in n, comunque prendo due elementi di a, la loro immagine in n è distinta e viceversa ogni elemento di n ha almeno un elemento di a da cui proviene, diciamo, del quale l'immagine. Questa è la definizione di funzione obiettiva detta molto rapidamente, quindi ripeto, due insieme hanno la stessa cardinalità quando possono essere posti in corrispondenza bionivoca. Tenete presente Questa idea di cardinalità, che è molto utile in particolare per gli insegnati infiniti, è quella che già l'uomo primitivo aveva inconsciamente dato quando non conosceva i numeri, perché il pastore che la sera doveva controllare se tutte le pecore erano ritornate all'ovile, come procedeva? Non è che contava, non aveva i numeri 1, 2, 3, 4, lui ogni pecora che usciva dal gregge raccoglieva un sasso da terra, questi sassi se li metteva in tasca e la sera quando le pecore rientravano all'ovile lui buttava per terra un sasso da terra. un sasso per ogni pecora che rientrava e se gli rimanevano dei sassi in mano, vuol dire che qualche pecora non era rientrata, allora si metteva alla ricerca delle pecore mancanti. Quindi lui, senza saperlo, applicava il concetto di corrispondenza bionivoca fra sassi e pecore. Quindi il concetto di cardinalità era già istintivamente presente nell'uomo primitivo. Potremmo parlare di insieme avente la potenza del continuo, insieme B. Cardinalità o potenza del continuo vuol dire che ha la stessa cardinalità dell'insieme dei numeri reali, cioè quando l'insieme può essere posto in corrispondenza bionivoca con l'insieme dei numeri reali si dice che ha la potenza del continuo. Sono le due cardinalità di cui dovremmo occuparci. La teoria dei cardinali è una teoria matematica molto sviluppata, non ci sono limiti superiori, i cardinali si può andare avanti con le cardinalità di quanto si vuole lavorandosi sotto insiemi, non c'è un confine superiore. cioè si possono considerare per così dire, discorrendo sempre in maniera intuitiva, insiemi di cardinalità comunque elevata, ma noi ci limiteremo a parlare di cardinalità del numerabile e di cardinalità del continuo, i cui modelli sono l'insieme dei naturali e l'insieme dei reali. Quello che è importante ricordare è che siamo nelle condizioni qui scritte, cioè la cardinalità di R è maggiore della cardinalità di N. Sarà forse opportuno adesso fare un piccolo esempio per far capire qualche altro. apparente stranezza che si verifica con gli insiemi infiniti, nel senso che non c'è nulla di strano, appunto dicevo apparente stranezza, che un insieme infinito possa essere messo in corrispondenza più univoca con una sua parte propria anche. Vediamo un po'su un grafico. Qui prendete, per esempio, una funzione fatta così, no? Questa abbiamo l'asse x, cioè l'insieme dei reali, in sostanza. L'asse y, cioè l'insieme dei reali, un'altra immagine dei reali. E prendete l'intervallo 0,1. Supponete che qui avete un asintoto della funzione che devo disegnare. E prendete una funzione fatta così, tipo la tangentoide, no? Questa funzione ci fa capire che è possibile che un insieme infinito abbia la stessa cardinalità di un suo sottoinsieme perché qui si vede subito da questa rappresentazione che la cardinalità dell'intervallo 0,1 è la stessa di R dell'insieme dei reali perché abbiamo definito prima che due insiemi hanno la stessa cardinalità quando possono essere posti in corrispondenza bionivoca ora qui si vede subito che c'è una corrispondenza bionivoca perché se voi prendete un punto x dell'intervallo 0,1 a questo corrisponde un punto di R sì, basta andare qui sulla curva andare a prendere questo punto Y qui e questo è l'immagine di X secondo questa funzione viceversa se vuoi prendere Prendete un punto di r, y'a questo corrisponde un solo punto dell'intervallo 0,1 andate così sulla curva come sto facendo, chiamatelo x'. Quindi vedete che questa regola è chiaramente definita nel senso che voi comunque prendete un punto di 0,1 e gli corrisponde un solo punto dell'asse verticale, cioè dell'insieme r dei reali. Prendo x e gli corrisponde y oppure viceversa prendete un punto dei reali. gli corrisponde un solo punto di 0,1. Questo vuol dire che i due insiemi sono in corrispondenza bionivoca. Quindi c'è questa situazione non sconvolgente per gli insiemi infiniti. Per gli insiemi infiniti sarebbe strano, un insieme di 7 elementi non si può porre in corrispondenza bionivoca con uno di 5 elementi. Il numero di elementi deve essere uguale, lì è il concetto, ma per gli infiniti questa proprietà non vale. Anzi, addirittura si può porre in corrispondenza bionivoca con la sua parte propria. A questo proposito sarà bene anche ricordare qualche legame. sulla cardinalità in R, quello che succede quando noi abbiamo l'insieme dei reali. Voi sapete che un sotto insieme molto gettonato, del quale si parla molto e si usa molto, è l'insieme dei razionali, cioè un sotto insieme di punti fatti dall'insieme Q dei razionali e sapete sicuramente che l'insieme dei razionali è ovunque denso all'interno dell'insieme dei reali. Ovunque denso vuol dire che comunque io fisso due numeri reali, x1 e x2, c'è sempre un numero razionale all'interno di questo intervallo. Ovunque denso vuol dire questo. qualcosa che non trovate spazio se voi prendete comunque dei numeri reali c'è sempre almeno un razionale all'interno però malgrado questa sua particolarità di essere ovunque denso nei reali, per quanto riguarda la cardinalità l'insieme dei razionali è numerabile cioè ci può dimostrare che la cardinalità di Q è uguale alla cardinalità di N in base alla definizione numerabile allora se voi andate a prendere l'insieme degli irrazionali insieme degli irrazionali quelli che rimangono dopo tolti i razionali nel ne segue per un teorema che vedremo fra un momento, che la cardinalità dell'insieme degli irrazionali di I è uguale alla cardinalità di R. Cioè abbiamo questa situazione, R si può dividere in due categorie, i razionali e gli irrazionali. I razionali sono numerabili, gli irrazionali non lo sono. Questo segue subito da un teorema che vedremo fra un attimo. Torniamo ai nostri slide e vediamo subito. Questo teorema. Supponete avere una famiglia, in particolare una successione, di insiemi non vuoti, fijjoniti o numerabili. Questi insiemi siano a due a due disgiunti. Allora, se noi consideriamo l'unione di questi insiemi, questa unione è un insieme... numerabile. Che cosa vuol dire? Vuol dire che non si può salire, per così dire, di cardinalità lavorando in maniera numerabile con insiemi numerabili, nel senso che qui vedete che tutti gli insiemi della famiglia sono tutti eventualmente... finiti ma possono anche essere numerabili, vedete che sono finiti o numerabili, faccio un'unione numerabile, ne considero tanti diciamo, infiniti, ma infiniti sempre numerabili. Bene, questa unione non può diventare con la potenza del continuo, questa unione è numerabile, cioè ripeto non si può salire di cardinalità lavorando per così dire in maniera numerabile su insiemi numerabili. Allora questo ha come conseguenza quell'osservazione che abbiamo fatto prima, se voi prendete l'insieme dei razionali. Questo è un insieme numerabile. Poi prendete l'insieme degli irrazionali, fate l'unione di questi due, viene l'insieme dei reali. Da qui seguo che l'insieme degli irrazionali non può essere numerabile, perché se no per questo teorema, razionale e numerabile messi insieme, verrebbe che l'insieme dei reali è numerabile, invece sappiamo che non lo è, cioè che l'insieme dei reali è una cardinalità superiore, una potenza superiore. Quindi, in altre parole, nella famiglia dei reali abbiamo una sottofamiglia numerabile dei razionali e una sottofamiglia, complementare di quella, degli irrazionali che invece non è numerabile e ha la stessa potenza dei reali stessi. Allora, questo problema... Questo risultato si dovrà utilizzare per risolvere questo problema, questo che è appena apparso sul nostro monitor, cioè il problema che avevo formulato all'inizio della lezione. Noi ricordate che quando abbiamo stabilito l'arrivo di coerenza abbiamo stabilito questa importante implicazione. Se un evento è impossibile necessariamente ha probabilità zero. Quello che scopriremo oggi è che questa implicazione non è invertibile, cioè si può benissimo avere eventi di probabilità zero. vero che non sono impossibili e questa conclusione seguirà da alcuni ragionamenti riguardanti la cardinalità dell'insieme, perché diciamo che c'entrano i reali, i razionali, ricordate che le probabilità si misurano con numeri tra 0 e 1, quindi con numeri reali, quindi sono numeri reali, allora le probabilità dei numeri reali è chiaro che hanno un riflesso o possono avere un riflesso anche sulle probabilità, perché le probabilità per convenzione, per come abbiamo lavorato fino adesso, si misurano appunto con numeri reali. in particolare con numeri reali tra 0 ed 1. Quello che scopriremo oggi è che i numeri reali non ce la fanno a discriminare in termini di probabilità positive fra tutti gli eventi di una generica famiglia di eventi incompatibili. Se gli eventi sono troppi, io parlo un linguaggio molto intuitivo, poi la versione rigorosa la trovate sul libro, qui non c'è tempo di andare nei dettagli, ma cerchiamo di afferrare l'idea. Se gli eventi sono troppi, i numeri relazionari non ce la fanno a discriminare fra essi, dando a tutti probabilità positiva uno diverso dall'altro. Vediamo cosa vuol dire questa frase. Allora, prendiamo una famiglia infinita di eventi incompatibili. Vedete che io dico infinita, non mi pronuncio. Infinita può essere infinita numerabile, infinita con potenza del continuo, infinita. E poniamoci il problema di dare probabilità positiva a tutti. tutti gli eventi della famiglia. Il mio ideale sarebbe di, datano a qualunque famiglia infinita di eventi incompatibili, di dare probabilità positiva a tutti. Se la famiglia è finita sappiamo che è possibile, quando la famiglia è finita c'è il teorema delle probabilità totali, posso dare a una famiglia finita di eventi incompatibili, per esempio una partizione, probabilità positiva arbitrari purché di somma 1. Ma se la famiglia è infinita, vediamo che succede. Dobbiamo dare probabilità positiva. Per capire meglio come procedere proviamo a suddividere questi candidati. alle probabilità, queste probabilità positive che devo dare agli eventi, a dividerle in categorie. In che senso? In questo senso qui. I candidati a essere probabilità dei nostri eventi della famiglia A sono, come ovvi, i numeri tra 0 ed 1. Siccome voglio dare probabilità positiva da 0 ed 1 escluso 0, intervallo aperto, e se volete escluso anche 1 perché se si passa ai contrari, se non avvienta probabilità 0, il contrario è probabilità 1. Allora, cominciamo a dire probabilità positive. Possono essere maggiore di un mezzo addirittura, caso particolare. Posso dare probabilità nell'intervallo un mezzo o uno. Anche queste sono positive. Quindi potrei decidere di cominciare a dare probabilità positive dando dei valori in questo intervallo. Ma positiva c'è anche più possibilità di darne. Perché no anche tra un mezzo e un terzo, per esempio. Anche i numeri tra un mezzo e un terzo sono positivi. E perché no tra un terzo e un quarto? Anche i numeri tra un terzo e un quarto sono positivi, no? Quindi posso pormi il problema per contare a quanti eventi posso dare probabilità positiva di assegnarle gradualmente, cioè prima vedo a quanti eventi posso dare probabilità positiva. dare probabilità positiva in particolare maggiore di un mezzo, poi a quanti posso dare probabilità positiva ma harò maggiore di un terzo e quindi minore di un mezzo perché sono stati già sistemati prima e così via. Vediamo di seguire questo ragionamento sul monitor. Allora io ho una famiglia infinita di eventi incompatibili e comincio a osservare che al più a un evento posso dare probabilità positiva con la specificazione che sia positiva sì ma maggiore di un mezzo addirittura. E perché la posso dare al più uno? E perché se voi provate a darla a due eventi se ne esistesse un altro nella famiglia infinita un altro evento B con la stessa probabilità cioè con probabilità maggiore di un mezzo l'unione di questi due eventi siccome sono incompatibili l'unione di questi due eventi. avrebbe probabilità data dalla somma delle probabilità e quindi entrambi i numeri maggiore di un mezzo o maggiore di uno. Quindi cominciamo a stabilire che se io voglio dare probabilità positiva a tutti gli eventi e comincio a guardare fra quelli di probabilità positiva a quanti ne posso dare sì positiva ma addirittura maggiore di un mezzo al più uno. perché sennò violerei la terza probabilità della probabilità. Così continuando, a quanti eventi posso dare probabilità, questa volta non più maggiore di un mezzo, ma maggiore di un terzo? Naturalmente è minore o uguale di un mezzo, perché quelli di maggiore di un mezzo sono stati già sistemati. A quanti eventi posso dare probabilità maggiore di un terzo? Per lo stesso ragionamento di prima, a più 2. Perché se voi prendete P di A1 più P di A1, Wikipedia 2 entrambi di probabilità maggiore di un terzo siete già arrivati a due terzi maggiore di due terzi, se ne prendete un altro risulta maggiore di uno quindi per lo stesso ragionamento di prima al più a due eventi posso dare probabilità maggiore di un terzo e così continuando con lo stesso ragionamento al più n eventi posso dare probabilità maggiore di uno su n più uno e naturalmente è minore o uguale di n di uno su n perché ogni volta che come ho fatto vedere prima in questa figura, ogni volta che do probabilità... in questo intervallo quando passa al successivo ovviamente dico maggiore di un terzo ma minore di un mezzo perché quello è stato già sistemato e così via quindi tornando al nostro monitor se dico maggiore di 1 su n più 1 deve essere minore uguale di 1 su n Allora andiamo a prendere, per riassumere questo discorso, l'insieme degli eventi A della famiglia A corsivo, cioè della famiglia di eventi incompatibili infinita, di probabilità positiva. Abbiamo suddiviso questi eventi nelle categorie A con N, cioè un'unione numerabile di questi A con N, nel senso che questi eventi della famiglia A Sono suddivisi in maniera tale che ogni agonenne contiene quelli di probabilità sì positiva, ma distinguendo positiva tra, cominciamo da n uguale 1, tra un mezzo e uno. Se mettete n uguale 1 avete positiva sì, ma maggiore di un mezzo e minore uguale di uno. Poi andiamo a vedere l'insieme A2. A2 vuol dire che metto n uguale 2, quindi tra un terzo e minore uguale di un mezzo. e così via, in generale tra 1 su n più 1 e 1 su n, estreme compreso a destra, estremo non compreso a sinistra. Quanti sono questi insieme con n? Evidentemente sono un'infinità numerabile. Qui abbiamo un'unione numerabile. numerabile di insiemi numerabili, per il teorema che abbiamo visto prima, il risultato può essere al più un insieme numerabile. La conclusione quindi vuol dire che gli eventi A appartenenti alla partizione con la proprietà di avere probabilità positiva non possono essere più di un'infinità numerabile, perché poi tra l'altro questi a con n sono a 2 a 2 disgiunti, proprio per il motivo come sono costruiti. Allora, siccome, come ho detto, ogni A con N contiene al più N elementi, questo discorso che ho appena fatto è sintetizzato in maniera formalizzata qui, come teorema. Allora, se io ho una famiglia arbitraria A corsivo di eventi incompatibili, l'insieme B... contenute in A di quelli contenuto uguale sarebbe la speranza poi dimostriamo da questo ragionamento che in genere non è raggiungibile, non si può dare a tutti se A è troppo grande quindi l'insieme B contenuti in A di quelli di proprietà positiva è finito numerabile. Quindi non appena voi prendete la famiglia A di cardinalità maggiore del numerabile, vi accorgete che non ce la fate a dare probabilità positiva a tutti, perché siccome al più l'insieme B di quelli di probabilità positiva al più è numerabile, se A è numerabile forse ce la fate, perché c'è B contenuto o coincidente con A, se A è cardinalità maggiore vedete che siete costretti a dare a tutti gli altri probabilità non positiva. E siccome le probabilità devono comunque essere dei numeri tra 0 ed 1, sendo la data non positiva non è che la potete dare negativa, la potete dare probabilità 0. Quindi vuol dire che se A... È un insieme, una famiglia che ha la potenza del continuo, perché adesso nasce il problema, ma è importante considerare queste situazioni, ma ci sono davvero famiglie A così numerose di eventi incompatibili che sono più di un'infinità numerabile che qui in Italia. ci troviamo nella condizione che non possiamo dare probabilità positiva a tutti perché al più a un'infinità numerabile posso dare probabilità positiva, ma certo che esistono, un esempio facilissimo è questo, nella teoria dell'affidabilità voi prendete gli eventi e con T, T indica il tempo. che una data apparecchiatura si guasta per la prima volta all'istante t. E cosa vuol dire? Vuol dire che se prendete t uguale 0 e con 0 l'apparecchiatura appena accendete si rompe subito. Per la prima volta si guasta all'istante 0. Fuori da questo caso così tragico e pessimista, al variare del tempo attivo potete avere la possibilità di guastarsi dell'apparecchiatura a un istante qualunque t reale positivo, perché un tempo è un insieme reale positivo. Domani che si è prendito? un intervallo, ma prima, entro 20 anni si rompe sicuramente, quindi prendete un intervallo 0t, t maiuscolo, e quindi l'istante t minuscolo in cui si rompe per la prima volta è un punto del intervallo 0t maiuscolo. Ma questo intervallo dei reali, come abbiamo visto nell'esempio prima di quel grafico che assomigliava a una tangentoide, un qualunque intervallo di numeri reali ha la stessa cardinalità dell'insieme dei reali stessi, quindi la famiglia A di questo tipo è chiaro che... che ha la potenza del continuo, perché gli eventi e i conti sono tanti quanti gli istanti in cui la macchina si può rompere per la prima volta e questi istanti appartengono a un insieme che ha la potenza del continuo, quindi ecco un esempio banale e facile di famiglie A che hanno la potenza del continuo, cioè di famiglie A per le quali siamo obbligati a dare probabilità nulla alla maggioranza degli eventi, maggioranza ovviamente è una parola scherzosa per dire in termini di cardinalità contano solo le corrispondenze più univoche, non è che si può dire chi ce n'ha di più e chi ce n'ha di meno. Però intuitivamente se voi pensate all'insieme dei reali che ha un sotto insieme numerabile che è quello dei razionali e l'altro sotto insieme degli irrazionali che non è numerabile e quindi ha la potenza del continuo, possiamo dire scherzando che nell'insieme dei reali gli irrazionali sono la maggioranza. Allora facendo questa analogia in una famiglia di eventi a due incompatibili che ha la potenza del continuo, potete immaginare rappresentata dai reali, siccome quelli che hanno probabilmente la potenza del continuo sono i reali, probabilità positiva sono un'infinità numerabile, potete pensare rappresentati quindi dai razionali, la maggioranza sono quegli altri, quelli che corrisponderebbero agli irrazionali, cioè quelli di probabilità nulla. Quindi vedete che non solo quella implicazione non è invertibile, cioè... Non è vero che se un evento ha probabilità nulla allora è impossibile, possono esistere, cioè eventi di probabilità nulla sono impossibili, ma addirittura si possono avere situazioni in cui gli eventi di probabilità nulla non solo esistono, ma addirittura sono un sacco, nel senso che sono addirittura la maggioranza, sempre per usare questa espressione pittoresca e non matematicamente rigorosa. Allora, se noi andiamo a prendere, in generale, lasciando perdere l'esempio dell'apparecchiatura, ma in generale, se abbiamo una famiglia A di eventi ad due incompatibili, abbiamo la sottofamiglia B di quelli di probabilità positiva, la differenza fra questi due insiemi... cioè gli eventi, quelli assegnati della nostra famiglia di eventi A22 incompatibili, li tolgo quelli di probabilità positiva, quelli che rimangono sono gli eventi di probabilità nulla. E per quanto ho detto, la cardinalità di questa famiglia, cioè di quelli di probabilità nulla, è superiore alla cardinalità di N, cioè non sono, sono più che numerabili, per il motivo detto prima. Naturalmente da qui segue che esistono anche eventi di probabilità 1 non uguali all'evento certo, perché ovviamente se prendo un evento E diverso dall'evento impossibile, se vado a prendere il suo contrario, questo sarà diverso da ω, no? Questo evento E, diverso dall'evento impossibile, aveva probabilità 0, questo evento contrario aveva probabilità 1. Quindi una conseguenza di questo risultato è che non solo ci sono un sacco di eventi, se la cardinalità della famiglia è abbastanza grande, di probabilità nulla non impossibile, ma ci sono pure un sacco di eventi di probabilità 1 non uguali all'evento certo. Allora, torniamo, vediamo di riassumere la situazione. Allora, come dicevo pure poco fa, se non abbiamo una partizione finita di ω in n eventi, nessuno ci impedisce di dare probabilità positiva a tutti, se così ci piace, nel senso che riteniamo che gli eventi della partizione sono tutti di probabilità positiva, la possiamo... Basta stare attenti per il terzo assioma delle probabilità, la terza probabilità che segue dalla coerenza, che basta stare attenti che la somma di queste probabilità sia 1. Quando invece abbiamo, quindi si può assegnare probabilità positiva, quando invece abbiamo... una famiglia infinita, cioè quando si considerano partizioni infinite di omega, ciò non sempre è possibile. E questa è la sintesi di quello che abbiamo discusso fino adesso. Ciò non sempre è possibile perché i numeri reali, ripeto, non gliela fanno a discriminare. Danno per forza probabilità nulla a molti eventi. Allora, esaminiamo più in particolare il caso nell'ambito delle partizioni infinite e della partizione numerabile. Vediamo che sulla partizione numerabile si può dire qualcosa in più, no? Nel senso che noi abbiamo ω, che quindi è unione di eventi e con k. a2, a2 incompatibili, perché è una partizione numerabile, e proviamo a scrivere omega come unione finita, dato che questa è un'unione numerabile, proviamo a scrivere come unione finita nel senso che facciamo lo stratagemma di chiamare questo evento questo evento E che dipende da N evidentemente, a partire dall'N più unesimo evento della partizione in poi, cioè da N più 1 ad infinito degli E con K, questa unione la chiamiamo E, di modo che omega sarà unione dei primi N eventi più l'N più unesimo che sarà E, nel senso che noi ne abbiamo raggruppato tutti i rimanenti. Quindi vedete che omega lo posso scrivere come unione di n più un'evento. I primi n sono i primi n, quelli che c'erano. L'n più unesimo ho fatto la posizione che ho chiamato con e tutti i rimanenti da n più un in poi. Siccome questi scritti così sono n più 1, cioè sono il numero finito, dimenticando il fatto che e poi a sua volta è decomposto in una partizione numerabile, ma guardandolo come un tutt'uno, a questa situazione posso applicare il teorema delle probabilità totali, cioè il terzo assioma della probabilità. Siccome la probabilità di Ohm è uguale a 1, questo 1 è uguale alla somma delle probabilità degli n più 1 eventi. Questi sono i primi n, poi c'è questo P di e, del quale non so dire nulla, perché questa e ricordate che è una unione numerabile. quindi non posso scrivere che è la somma delle probabilità, perché non ho mai dimostrato che l'attività si estenda a una famiglia infinita, quindi lo tengo indicato tutti insieme. In ogni caso però, siccome PdE è una probabilità, e quindi è sempre un numero non negativo, posso fare una maggiorazione, nel senso che posso dire, ignorando PdE che comunque è maggiore o uguale di zero, che questa somma da una tenne è maggiore delle probabilità, più PdE, questa espressione, è maggiore o uguale della somma, perché trascuro questo termine. termine, quindi vedete che abbiamo trovato che 1 è maggiore uguale della somma delle probabilità dei primi n eventi della famiglia. Se passiamo al limite in questa disuguaglianza, 1 maggiore uguale di questo, sapete che al limite per n che tende all'infinito le disuguaglianze si conservano, qualora fossero forti si attenuano, ma questa è già debole con il maggiore uguale, quindi da qui segue passando al limite che 1 è maggiore uguale della serie per k che va da 1 infinito di p di k. con K. Quindi vedete che in generale non potete dimostrare che qui vale l'uguaglianza, cioè nessuno vi garantisce che se voi fate la serie delle probabilità di una partizione infinita di omega, infinita numerabile, questa la potete scrivere come uguale alla probabilità totale, cioè uguale ad 1. Anzi, non solo, ma dovete anche controllare che questa serie converga. In altre parole, è possibile dare... probabilità positiva a tutti gli eventi di una partizione numerabile? per la partizione finita era banale per la partizione numerabile nascono delle limitazioni legate alle proprietà delle serie perché quella serie che ho scritto prima bisogna che se io scelgo le probabilità le devo scegliere per esempio è chiaro che non posso dare probabilità a un ennesimo, posso dare probabilità a un ennesimo sapete benissimo che la serie armonica è un ennesimo, è una serie divergente quindi se io dessi probabilità agli eventi della successione uguale a 1 su n mi verrebbe la serie divergente quindi non verrebbe la somma minore uguale di 1 come abbiamo trovato prima, quindi le posso dare positiva a tutti gli eventi della partizione numerabile solo se quella serie converge, non solo converge ma poi la somma deve essere anche minore o uguale di 1 perché potrebbe convergere a 5 e non va bene perché abbiamo visto che deve essere minore o uguale di 1, quindi che cosa vuol dire questo discorso? Che anche fermandoci al caso numerabile, che non è il peggiore degli infiniti, il peggiore dal punto di vista della possibilità di dare probabilità non nulle a tutti gli eventi, abbiamo delle limitazioni perché mentre nella partizione finita... capita, purché la somma sia 1, do come mi pare le probabilità agli eventi della partizione, qui devo stare un po'più attento perché deve essere convergente la serie e la somma deve essere minore o uguale di 1. Allora, più in generale, naturalmente, possiamo non prendere una partizione, come si è fatto per il tornamento delle probabilità totali, ma prendere A, unione numerabile, di eventi incompatibili, quindi quella probabilità si traduce in questo, cioè se prendo A, che è unione degli A con K, unione numerabile, la probabilità di A, cioè la probabilità dell'unione, è la serie delle probabilità? No, in generale no, abbiamo visto che deve essere maggiore o uguale della serie delle probabilità, adesso faremo degli esempi fra un momento. Quindi, l'estensione. della terza proprietà delle probabilità, cioè della proprietà additiva a una famiglia numerabile, non è scontata. Questo risultato ci dice che può essere vero oppure no, perché è scritto maggiore o uguale, quindi può anche essere uguale, ma non è automatico. Se uno la richiede come condizione, la può mettere come condizione in più, ma adesso vedremo dagli esempi che forse non è opportuno richiederlo. Assumendo la sigma di attività vuol dire che in quella relazione di prima, torniamoci un attimo indietro, vuol dire che assumiamo, sigma di attività vuol dire supporre che l'attività vale anche nel caso numerabile, cioè assumere la sigma di attività vuol dire Questo maggiore uguale che è il risultato che otteniamo in generale, di dire bene, scegliamo l'uguale, supponiamo come ulteriore proprietà della probabilità, imponiamo la probabilità che valga anche l'uguaglianza su una serie infinita, su una serie, non solo su una somma. Ecco adesso fermiamoci qui sul slide e torniamo ai nostri pezzi di carta per fare due esempi interessanti in cui vediamo che può valere oppure no questo maggiore uguale, questo maggiore o uguale, i due casi, un caso in cui vale il maggiore e un caso in cui vale l'uguaglianza. l'uguale, quindi ci fa capire che non è opportuno assumere indiscriminatamente l'ipotesi di sigma di dirittà, può essere un'opzione ma non è obbligatorio. Consideriamo questo esempio. Vediamo subito un esempio in cui si può, in cui si può nel senso che non è che lo assumiamo che valga l'uguale, viene come conseguenza. Prendiamo gli eventi E con N di questa partizione. T per la prima volta al lancio ennesimo. T è chiaro, vuol dire testa, no? Quindi qual è il fenomeno di cui sto parlando? Considero una successione di lanci a testa e croce. Chiamo E con 1 l'evento che testa appare per la prima volta al primo lancio, al lancio ennesimo, quindi viene subito testa. L'abbiamo già discusso a lungo questo esempio. e con 2 vuol dire che T appare per la prima volta al secondo lancio, quindi vuol dire croce e poi testa. In genere con N vuol dire che per N-1 volte viene croce, croce, croce, croce e all'ennesimo lancio viene testa. Questi eventi sono chiaramente una partizione numerabile di ohmio, che l'abbiamo già discusso. allora il problema è la probabilità di E con N, intanto sappiamo, anche questo l'abbiamo già discusso, è 1 su 2 alla N, perché la probabilità che venga testa per la prima volta al lancennissimo, siccome le sequenze possibili su N lanci sono 2 alla N, e una sola è favorevole, quella con tutte le cruci nei primi N meno 1 posti, è testa al postennissimo. Quindi questi eventi hanno probabilità E con N. L'unione di questi E con N... per n che va da 1 ad infinito, siccome sono una partizione, fa omega. Quindi se valesse la sigma di dività, la probabilità dell'unione, cioè di omega, cioè 1, deve essere uguale alla serie delle probabilità degli con n, per n che va da 1 ad infinito. Qui vediamo subito che questa è soddisfatta, perché questa serie è la serie di 1 su 2 alla n. per n che va da 1 a infinito ma questa è una serie geometrica elementare e si vede subito con calcolo elementare questa serie converge e consuma 1 quindi abbiamo trovato che di quel problema che era nato poco fa cioè che la serie delle probabilità è uguale alla probabilità dell'unione avevamo detto no, in genere c'è una disuguaglianza può essere uguale o minore uguale abbiamo trovato qui un caso in cui vale l'uguale vediamo adesso un caso in cui non vale cioè adesso prendiamo un'altra partizione questa volta dei naturali cioè il nostro omega adesso è l'insieme n dei naturali Troviamo un fenomeno, descrivo adesso un esperimento statistico, in cui è naturale assegnare a tutti gli elementi di N maiuscolo probabilità 0. Perché? Supponiamo di considerare questo esempio. Scegliamo a caso, adesso torneremo tra poco sui conti, scegliamo a caso un numero naturale. Che vuol dire scegliere a caso un numero naturale? Come si fa a scegliere a caso un numero naturale? I numeri naturali sono infiniti, sia pure numerabile. Ma si può fare così. Prendiamo qualunque ascoltatore di questa lezione e gli diciamo dimmi tu un numero naturale, a piacere. Io adesso mi calco la probabilità che tu dica il numero n. Ora io e anche voi, penso, riteniamo che ci sia la stessa probabilità che uno dica un numero qualunque, cioè non ci sono numeri privilegiati, un numero va anche comunque grande, no? Se voi prendete un ascoltatore e gli dite, ditemi un numero, dimmi un numero qualunque, purché sia naturale, lui può dire 27, se si vuole sbrigare. Ma se vuole dire un numero enorme, ovviamente, siccome conosce un po'di matematica, può anche dire un numero enorme, non è che deve dire... e così via, che perde un'ora. Perché conoscendo la matematica, se vuole dire un numero enorme, fa così. Dice, il mio n è questo, per esempio, e elevato a 27, la parte intera più 1, parentesi fattoriale. In pochi secondi ha detto un numero enorme, no? Perché fate io la 27, prendete la parte intera, se no potrebbe non essere intero, fate più 1 per esempio e fate il fattoriale. Vedete che in pochi secondi potete pronunciare un numero enorme. Allora io non ho elementi per escludere dei numeri naturali fra quelli che l'ascoltatore può scegliere, quindi devo dare la probabilità a tutti. E siccome non ho elementi per dire che uno è più probabile di un altro, perché io non so cosa passa nel cervello dell'ascoltatore quando mi dice un numero, può dire uno se la vuole fare fare, può dire tre, può dire dieci, ma può dire anche uno di quei numeri come quello che ho scritto prima, devo dare la stessa probabilità a tutti. è l'unico modo su un insieme numerabile di dare la stessa probabilità a tutti e di darla uguale a 0, perché provate a dare anche piccola ma positiva e vi viene divergente la serie. Ricordate la condizione che abbiamo visto prima sul monitor? Voi potete dare probabilità positive a un'infinità numerabile di eventi? Sì, purché poi la serie di quelle probabilità converga e abbia somma minore o uguale di 1, eventualmente uguale a 1 come nel caso di prima, ma minore o uguale di 1. Se voi date probabilità piccola costante alle scelte possibili, del numero naturale del nostro interlocutore, anche epsilon, piccola piacere, sapete benissimo che è una serie a termini costanti, epsilon più epsilon più epsilon diverge, perché dopo un certo numero di termini avete già superato uno tra l'altro, ma comunque diverge e supera qualunque numero naturale. Allora l'unica scelta razionale è di dire che questo fenomeno di far dire... Di far scegliere a caso un numero naturale a una qualunque persona che abbia un minimo di cultura e possa essere quindi in grado, cultura matematica voglio dire, quindi possa essere in grado di dire anche un numero comunque grande con questo artificio di usare questo tipo di scritture, vuol dire che diamo probabilità zero a tutti, però cosa succede? Che è certo... che l'ascoltatore dirà un numero naturale, quindi l'unione di questi n che lui sceglie, n che va da 1 ad infinito, non è altro che l'insieme dei naturali. La probabilità quindi di questa unione è 1, perché lui è certo che dirà un numero naturale, p di n è 1. Ma la somma di queste probabilità, o se volete la serie delle probabilità di n, per n che va da 1 ad infinito, siccome ogni termine della serie è 0, fa 0. Quindi vedete che voi trovate che la somma delle probabilità degli n, per n che va da 1 ad infinito, e qui dall'altra parte avete invece la probabilità dell'unione degli n, per n che va da 1 ad infinito, cioè omega, non sono uguali perché questa è minore strettamente di questo perché questa fa 0 e questo fa 1 0 minore di 1 quindi tornando al nostro alla nostra disequazione in generale vedete che che abbiamo il caso, questo maggiore uguale, in cui c'è il maggiore stretto, perché l'unione nel nostro esempio è l'insieme dei naturali, quindi ha probabilità 1, perché è certo che sceglierà quel numero, che sceglierà un numero naturale, però ognuno di essi ha probabilità 0, quindi la serie fa 0 come somma, qui viene quindi il maggiore stretto. Allora proviamo a vedere rapidamente qual è il risvolto applicativo di questa situazione, di mettere o no la condizione ulteriore di sigma additività, cioè pretendere che quella proprietà additiva valga anche per un'identità numerale. se noi la lasciamo opzionale nel senso che se vale sia benvenuta insomma vale la accettiamo ma non la mettiamo come astioma come condizione riusciamo a definire la probabilità dappertutto per così dire cioè ogni sotto insieme di omega può rappresentare un evento, perché ricordate che gli eventi si rappresentano con diagrammi di Venn. Se invece imponiamo la probabilità alla condizione di sigma additività, si dimostra, c'è un famoso teorema, si dimostra che fra tutti i sottinsiemi di omega, solo quelli che si chiamano insiemi misurabili, possono essere presi come rappresentanti degli eventi. E quindi la probabilità non può essere definita dappertutto. Questo non è molto grave, ma soltanto ha delle conseguenze molto pratiche, il poterlo fare, cioè il poter parlare di probabilità per qualunque evento, nella definizione di una nuova categoria di numeratori del quale dovremmo occuparci dalla prossima lezione, che è quella dei numeratori continui. Allora, vediamo di riassumere sulle nostre slide quello che ho cercato di dirvi in maniera molto sintetica e che troverete più dettagliatamente nel libro. Quando assumiamo la sigma di attività si può provare, come ho detto prima, che la probabilità P è definita univocamente su un'opportuna famiglia E. In generale non è possibile prendere come famiglia E tutto l'insieme delle parti, cioè tutto l'insieme dei sottinsiemi di omega, questo che si chiama P di omega, ma soltanto possono essere rappresentati gli eventi solo dai cosiddetti insiemi misurabili. Quando invece impongo alla probabilità solo la coerenza, Solo la coerenza, ricordate che la coerenza ci ha fatto dimostrare le proprietà della probabilità, in particolare la terza proprietà era l'additività relativa a una famiglia finita, quindi quando non chiedo, ovviamente non è vietato che valga anche per una famiglia numerabile l'additività, voglio dire non lo chiedo, non lo pretendo, quindi è una teoria più generale che può valere oppure no la sigma additività, quando non lo chiedo invece è possibile, si può dimostrare, che è possibile prolungare la probabilità opportunamente anche in maniera non univoca. come spiegato meglio sul libro, a tutto l'insieme delle parti. Quindi nella teoria più debole, diciamo, quella che comprende la sigma di unità solo come caso particolare ma non come condizione obbligatoria, noi riusciamo a parlare di probabilità per qualunque sottoinsieme di omega. Maggiori esempi, maggior numero di esempi e maggiori considerazioni e commenti su questo li troverete sul sito internet del Nettuno relativamente a questa lezione. Arrivederci.

cioè rispetto all'unione di eventi incompatibili la probabilità dell'unione è la somma delle probabilità, però gli eventi sono il numero finito. Si tratta di discutere se si può estendere a un numero infinito numerabile di eventi questa probabilità. Allora cominciamo a richiamare queste cose sulla cardinalità degli insiemi, in particolare ricordiamo cos'è un insieme numerabile.

Un insieme numerabile, per definizione, si definisce un insieme che ha la stessa cardinalità dell'insieme dei numeri naturali. Questo vuol dire, qui adesso non farò un discorso rigoroso sulla cardinalità, perché questo è oggetto di altri corsi eventualmente. chi volesse approfondirlo può trovarlo sul libro, in approfondimento cercherò di darvi le idee intuitive che vi facciano capire l'esigenza di questo discorso per poter discutere in maniera completa il problema delle probabilità nulle.

di n quando due insieme hanno la stessa cardinalità vuol dire che si possono porre in corrispondenza bionivoca in sostanza, cioè c'è una funzione obiettiva da a in n, comunque prendo due elementi di a, la loro immagine in n è distinta e viceversa ogni elemento di n ha almeno un elemento di a da cui proviene, diciamo, del quale l'immagine. Questa è la definizione di funzione obiettiva detta molto rapidamente, quindi ripeto, due insieme hanno la stessa cardinalità quando possono essere posti in corrispondenza bionivoca. Tenete presente Questa idea di cardinalità, che è molto utile in particolare per gli insegnati infiniti, è quella che già l'uomo primitivo aveva inconsciamente dato quando non conosceva i numeri, perché il pastore che la sera doveva controllare se tutte le pecore erano ritornate all'ovile, come procedeva? Non è che contava, non aveva i numeri 1, 2, 3, 4, lui ogni pecora che usciva dal gregge raccoglieva un sasso da terra, questi sassi se li metteva in tasca e la sera quando le pecore rientravano all'ovile lui buttava per terra un sasso da terra. un sasso per ogni pecora che rientrava e se gli rimanevano dei sassi in mano, vuol dire che qualche pecora non era rientrata, allora si metteva alla ricerca delle pecore mancanti.

Quindi lui, senza saperlo, applicava il concetto di corrispondenza bionivoca fra sassi e pecore. Quindi il concetto di cardinalità era già istintivamente presente nell'uomo primitivo. Potremmo parlare di insieme avente la potenza del continuo, insieme B.

Cardinalità o potenza del continuo vuol dire che ha la stessa cardinalità dell'insieme dei numeri reali, cioè quando l'insieme può essere posto in corrispondenza bionivoca con l'insieme dei numeri reali si dice che ha la potenza del continuo. Sono le due cardinalità di cui dovremmo occuparci. La teoria dei cardinali è una teoria matematica molto sviluppata, non ci sono limiti superiori, i cardinali si può andare avanti con le cardinalità di quanto si vuole lavorandosi sotto insiemi, non c'è un confine superiore.

cioè si possono considerare per così dire, discorrendo sempre in maniera intuitiva, insiemi di cardinalità comunque elevata, ma noi ci limiteremo a parlare di cardinalità del numerabile e di cardinalità del continuo, i cui modelli sono l'insieme dei naturali e l'insieme dei reali. Quello che è importante ricordare è che siamo nelle condizioni qui scritte, cioè la cardinalità di R è maggiore della cardinalità di N. Sarà forse opportuno adesso fare un piccolo esempio per far capire qualche altro. apparente stranezza che si verifica con gli insiemi infiniti, nel senso che non c'è nulla di strano, appunto dicevo apparente stranezza, che un insieme infinito possa essere messo in corrispondenza più univoca con una sua parte propria anche.

Vediamo un po'su un grafico. Qui prendete, per esempio, una funzione fatta così, no? Questa abbiamo l'asse x, cioè l'insieme dei reali, in sostanza. L'asse y, cioè l'insieme dei reali, un'altra immagine dei reali. E prendete l'intervallo 0,1.

Supponete che qui avete un asintoto della funzione che devo disegnare. E prendete una funzione fatta così, tipo la tangentoide, no? Questa funzione ci fa capire che è possibile che un insieme infinito abbia la stessa cardinalità di un suo sottoinsieme perché qui si vede subito da questa rappresentazione che la cardinalità dell'intervallo 0,1 è la stessa di R dell'insieme dei reali perché abbiamo definito prima che due insiemi hanno la stessa cardinalità quando possono essere posti in corrispondenza bionivoca ora qui si vede subito che c'è una corrispondenza bionivoca perché se voi prendete un punto x dell'intervallo 0,1 a questo corrisponde un punto di R sì, basta andare qui sulla curva andare a prendere questo punto Y qui e questo è l'immagine di X secondo questa funzione viceversa se vuoi prendere Prendete un punto di r, y'a questo corrisponde un solo punto dell'intervallo 0,1 andate così sulla curva come sto facendo, chiamatelo x'.

Quindi vedete che questa regola è chiaramente definita nel senso che voi comunque prendete un punto di 0,1 e gli corrisponde un solo punto dell'asse verticale, cioè dell'insieme r dei reali. Prendo x e gli corrisponde y oppure viceversa prendete un punto dei reali. gli corrisponde un solo punto di 0,1. Questo vuol dire che i due insiemi sono in corrispondenza bionivoca. Quindi c'è questa situazione non sconvolgente per gli insiemi infiniti.

Per gli insiemi infiniti sarebbe strano, un insieme di 7 elementi non si può porre in corrispondenza bionivoca con uno di 5 elementi. Il numero di elementi deve essere uguale, lì è il concetto, ma per gli infiniti questa proprietà non vale. Anzi, addirittura si può porre in corrispondenza bionivoca con la sua parte propria.

A questo proposito sarà bene anche ricordare qualche legame. sulla cardinalità in R, quello che succede quando noi abbiamo l'insieme dei reali. Voi sapete che un sotto insieme molto gettonato, del quale si parla molto e si usa molto, è l'insieme dei razionali, cioè un sotto insieme di punti fatti dall'insieme Q dei razionali e sapete sicuramente che l'insieme dei razionali è ovunque denso all'interno dell'insieme dei reali.

Ovunque denso vuol dire che comunque io fisso due numeri reali, x1 e x2, c'è sempre un numero razionale all'interno di questo intervallo. Ovunque denso vuol dire questo. qualcosa che non trovate spazio se voi prendete comunque dei numeri reali c'è sempre almeno un razionale all'interno però malgrado questa sua particolarità di essere ovunque denso nei reali, per quanto riguarda la cardinalità l'insieme dei razionali è numerabile cioè ci può dimostrare che la cardinalità di Q è uguale alla cardinalità di N in base alla definizione numerabile allora se voi andate a prendere l'insieme degli irrazionali insieme degli irrazionali quelli che rimangono dopo tolti i razionali nel ne segue per un teorema che vedremo fra un momento, che la cardinalità dell'insieme degli irrazionali di I è uguale alla cardinalità di R.

Cioè abbiamo questa situazione, R si può dividere in due categorie, i razionali e gli irrazionali. I razionali sono numerabili, gli irrazionali non lo sono. Questo segue subito da un teorema che vedremo fra un attimo.

Torniamo ai nostri slide e vediamo subito. Questo teorema. Supponete avere una famiglia, in particolare una successione, di insiemi non vuoti, fijjoniti o numerabili.

Questi insiemi siano a due a due disgiunti. Allora, se noi consideriamo l'unione di questi insiemi, questa unione è un insieme... numerabile.

Che cosa vuol dire? Vuol dire che non si può salire, per così dire, di cardinalità lavorando in maniera numerabile con insiemi numerabili, nel senso che qui vedete che tutti gli insiemi della famiglia sono tutti eventualmente... finiti ma possono anche essere numerabili, vedete che sono finiti o numerabili, faccio un'unione numerabile, ne considero tanti diciamo, infiniti, ma infiniti sempre numerabili. Bene, questa unione non può diventare con la potenza del continuo, questa unione è numerabile, cioè ripeto non si può salire di cardinalità lavorando per così dire in maniera numerabile su insiemi numerabili. Allora questo ha come conseguenza quell'osservazione che abbiamo fatto prima, se voi prendete l'insieme dei razionali.

Questo è un insieme numerabile. Poi prendete l'insieme degli irrazionali, fate l'unione di questi due, viene l'insieme dei reali. Da qui seguo che l'insieme degli irrazionali non può essere numerabile, perché se no per questo teorema, razionale e numerabile messi insieme, verrebbe che l'insieme dei reali è numerabile, invece sappiamo che non lo è, cioè che l'insieme dei reali è una cardinalità superiore, una potenza superiore.

Quindi, in altre parole, nella famiglia dei reali abbiamo una sottofamiglia numerabile dei razionali e una sottofamiglia, complementare di quella, degli irrazionali che invece non è numerabile e ha la stessa potenza dei reali stessi. Allora, questo problema... Questo risultato si dovrà utilizzare per risolvere questo problema, questo che è appena apparso sul nostro monitor, cioè il problema che avevo formulato all'inizio della lezione.

Noi ricordate che quando abbiamo stabilito l'arrivo di coerenza abbiamo stabilito questa importante implicazione. Se un evento è impossibile necessariamente ha probabilità zero. Quello che scopriremo oggi è che questa implicazione non è invertibile, cioè si può benissimo avere eventi di probabilità zero. vero che non sono impossibili e questa conclusione seguirà da alcuni ragionamenti riguardanti la cardinalità dell'insieme, perché diciamo che c'entrano i reali, i razionali, ricordate che le probabilità si misurano con numeri tra 0 e 1, quindi con numeri reali, quindi sono numeri reali, allora le probabilità dei numeri reali è chiaro che hanno un riflesso o possono avere un riflesso anche sulle probabilità, perché le probabilità per convenzione, per come abbiamo lavorato fino adesso, si misurano appunto con numeri reali.

in particolare con numeri reali tra 0 ed 1. Quello che scopriremo oggi è che i numeri reali non ce la fanno a discriminare in termini di probabilità positive fra tutti gli eventi di una generica famiglia di eventi incompatibili. Se gli eventi sono troppi, io parlo un linguaggio molto intuitivo, poi la versione rigorosa la trovate sul libro, qui non c'è tempo di andare nei dettagli, ma cerchiamo di afferrare l'idea. Se gli eventi sono troppi, i numeri relazionari non ce la fanno a discriminare fra essi, dando a tutti probabilità positiva uno diverso dall'altro. Vediamo cosa vuol dire questa frase. Allora, prendiamo una famiglia infinita di eventi incompatibili.

Vedete che io dico infinita, non mi pronuncio. Infinita può essere infinita numerabile, infinita con potenza del continuo, infinita. E poniamoci il problema di dare probabilità positiva a tutti.

tutti gli eventi della famiglia. Il mio ideale sarebbe di, datano a qualunque famiglia infinita di eventi incompatibili, di dare probabilità positiva a tutti. Se la famiglia è finita sappiamo che è possibile, quando la famiglia è finita c'è il teorema delle probabilità totali, posso dare a una famiglia finita di eventi incompatibili, per esempio una partizione, probabilità positiva arbitrari purché di somma 1. Ma se la famiglia è infinita, vediamo che succede. Dobbiamo dare probabilità positiva.

Per capire meglio come procedere proviamo a suddividere questi candidati. alle probabilità, queste probabilità positive che devo dare agli eventi, a dividerle in categorie. In che senso? In questo senso qui.

I candidati a essere probabilità dei nostri eventi della famiglia A sono, come ovvi, i numeri tra 0 ed 1. Siccome voglio dare probabilità positiva da 0 ed 1 escluso 0, intervallo aperto, e se volete escluso anche 1 perché se si passa ai contrari, se non avvienta probabilità 0, il contrario è probabilità 1. Allora, cominciamo a dire probabilità positive. Possono essere maggiore di un mezzo addirittura, caso particolare. Posso dare probabilità nell'intervallo un mezzo o uno.

Anche queste sono positive. Quindi potrei decidere di cominciare a dare probabilità positive dando dei valori in questo intervallo. Ma positiva c'è anche più possibilità di darne.

Perché no anche tra un mezzo e un terzo, per esempio. Anche i numeri tra un mezzo e un terzo sono positivi. E perché no tra un terzo e un quarto?

Anche i numeri tra un terzo e un quarto sono positivi, no? Quindi posso pormi il problema per contare a quanti eventi posso dare probabilità positiva di assegnarle gradualmente, cioè prima vedo a quanti eventi posso dare probabilità positiva. dare probabilità positiva in particolare maggiore di un mezzo, poi a quanti posso dare probabilità positiva ma harò maggiore di un terzo e quindi minore di un mezzo perché sono stati già sistemati prima e così via. Vediamo di seguire questo ragionamento sul monitor.

Allora io ho una famiglia infinita di eventi incompatibili e comincio a osservare che al più a un evento posso dare probabilità positiva con la specificazione che sia positiva sì ma maggiore di un mezzo addirittura. E perché la posso dare al più uno? E perché se voi provate a darla a due eventi se ne esistesse un altro nella famiglia infinita un altro evento B con la stessa probabilità cioè con probabilità maggiore di un mezzo l'unione di questi due eventi siccome sono incompatibili l'unione di questi due eventi.

avrebbe probabilità data dalla somma delle probabilità e quindi entrambi i numeri maggiore di un mezzo o maggiore di uno. Quindi cominciamo a stabilire che se io voglio dare probabilità positiva a tutti gli eventi e comincio a guardare fra quelli di probabilità positiva a quanti ne posso dare sì positiva ma addirittura maggiore di un mezzo al più uno. perché sennò violerei la terza probabilità della probabilità. Così continuando, a quanti eventi posso dare probabilità, questa volta non più maggiore di un mezzo, ma maggiore di un terzo? Naturalmente è minore o uguale di un mezzo, perché quelli di maggiore di un mezzo sono stati già sistemati.

A quanti eventi posso dare probabilità maggiore di un terzo? Per lo stesso ragionamento di prima, a più 2. Perché se voi prendete P di A1 più P di A1, Wikipedia 2 entrambi di probabilità maggiore di un terzo siete già arrivati a due terzi maggiore di due terzi, se ne prendete un altro risulta maggiore di uno quindi per lo stesso ragionamento di prima al più a due eventi posso dare probabilità maggiore di un terzo e così continuando con lo stesso ragionamento al più n eventi posso dare probabilità maggiore di uno su n più uno e naturalmente è minore o uguale di n di uno su n perché ogni volta che come ho fatto vedere prima in questa figura, ogni volta che do probabilità... in questo intervallo quando passa al successivo ovviamente dico maggiore di un terzo ma minore di un mezzo perché quello è stato già sistemato e così via quindi tornando al nostro monitor se dico maggiore di 1 su n più 1 deve essere minore uguale di 1 su n Allora andiamo a prendere, per riassumere questo discorso, l'insieme degli eventi A della famiglia A corsivo, cioè della famiglia di eventi incompatibili infinita, di probabilità positiva. Abbiamo suddiviso questi eventi nelle categorie A con N, cioè un'unione numerabile di questi A con N, nel senso che questi eventi della famiglia A Sono suddivisi in maniera tale che ogni agonenne contiene quelli di probabilità sì positiva, ma distinguendo positiva tra, cominciamo da n uguale 1, tra un mezzo e uno. Se mettete n uguale 1 avete positiva sì, ma maggiore di un mezzo e minore uguale di uno.

Poi andiamo a vedere l'insieme A2. A2 vuol dire che metto n uguale 2, quindi tra un terzo e minore uguale di un mezzo. e così via, in generale tra 1 su n più 1 e 1 su n, estreme compreso a destra, estremo non compreso a sinistra.

Quanti sono questi insieme con n? Evidentemente sono un'infinità numerabile. Qui abbiamo un'unione numerabile.

numerabile di insiemi numerabili, per il teorema che abbiamo visto prima, il risultato può essere al più un insieme numerabile. La conclusione quindi vuol dire che gli eventi A appartenenti alla partizione con la proprietà di avere probabilità positiva non possono essere più di un'infinità numerabile, perché poi tra l'altro questi a con n sono a 2 a 2 disgiunti, proprio per il motivo come sono costruiti. Allora, siccome, come ho detto, ogni A con N contiene al più N elementi, questo discorso che ho appena fatto è sintetizzato in maniera formalizzata qui, come teorema. Allora, se io ho una famiglia arbitraria A corsivo di eventi incompatibili, l'insieme B...

contenute in A di quelli contenuto uguale sarebbe la speranza poi dimostriamo da questo ragionamento che in genere non è raggiungibile, non si può dare a tutti se A è troppo grande quindi l'insieme B contenuti in A di quelli di proprietà positiva è finito numerabile. Quindi non appena voi prendete la famiglia A di cardinalità maggiore del numerabile, vi accorgete che non ce la fate a dare probabilità positiva a tutti, perché siccome al più l'insieme B di quelli di probabilità positiva al più è numerabile, se A è numerabile forse ce la fate, perché c'è B contenuto o coincidente con A, se A è cardinalità maggiore vedete che siete costretti a dare a tutti gli altri probabilità non positiva. E siccome le probabilità devono comunque essere dei numeri tra 0 ed 1, sendo la data non positiva non è che la potete dare negativa, la potete dare probabilità 0. Quindi vuol dire che se A... È un insieme, una famiglia che ha la potenza del continuo, perché adesso nasce il problema, ma è importante considerare queste situazioni, ma ci sono davvero famiglie A così numerose di eventi incompatibili che sono più di un'infinità numerabile che qui in Italia.

ci troviamo nella condizione che non possiamo dare probabilità positiva a tutti perché al più a un'infinità numerabile posso dare probabilità positiva, ma certo che esistono, un esempio facilissimo è questo, nella teoria dell'affidabilità voi prendete gli eventi e con T, T indica il tempo. che una data apparecchiatura si guasta per la prima volta all'istante t. E cosa vuol dire? Vuol dire che se prendete t uguale 0 e con 0 l'apparecchiatura appena accendete si rompe subito.

Per la prima volta si guasta all'istante 0. Fuori da questo caso così tragico e pessimista, al variare del tempo attivo potete avere la possibilità di guastarsi dell'apparecchiatura a un istante qualunque t reale positivo, perché un tempo è un insieme reale positivo. Domani che si è prendito? un intervallo, ma prima, entro 20 anni si rompe sicuramente, quindi prendete un intervallo 0t, t maiuscolo, e quindi l'istante t minuscolo in cui si rompe per la prima volta è un punto del intervallo 0t maiuscolo.

Ma questo intervallo dei reali, come abbiamo visto nell'esempio prima di quel grafico che assomigliava a una tangentoide, un qualunque intervallo di numeri reali ha la stessa cardinalità dell'insieme dei reali stessi, quindi la famiglia A di questo tipo è chiaro che... che ha la potenza del continuo, perché gli eventi e i conti sono tanti quanti gli istanti in cui la macchina si può rompere per la prima volta e questi istanti appartengono a un insieme che ha la potenza del continuo, quindi ecco un esempio banale e facile di famiglie A che hanno la potenza del continuo, cioè di famiglie A per le quali siamo obbligati a dare probabilità nulla alla maggioranza degli eventi, maggioranza ovviamente è una parola scherzosa per dire in termini di cardinalità contano solo le corrispondenze più univoche, non è che si può dire chi ce n'ha di più e chi ce n'ha di meno. Però intuitivamente se voi pensate all'insieme dei reali che ha un sotto insieme numerabile che è quello dei razionali e l'altro sotto insieme degli irrazionali che non è numerabile e quindi ha la potenza del continuo, possiamo dire scherzando che nell'insieme dei reali gli irrazionali sono la maggioranza. Allora facendo questa analogia in una famiglia di eventi a due incompatibili che ha la potenza del continuo, potete immaginare rappresentata dai reali, siccome quelli che hanno probabilmente la potenza del continuo sono i reali, probabilità positiva sono un'infinità numerabile, potete pensare rappresentati quindi dai razionali, la maggioranza sono quegli altri, quelli che corrisponderebbero agli irrazionali, cioè quelli di probabilità nulla.

Quindi vedete che non solo quella implicazione non è invertibile, cioè... Non è vero che se un evento ha probabilità nulla allora è impossibile, possono esistere, cioè eventi di probabilità nulla sono impossibili, ma addirittura si possono avere situazioni in cui gli eventi di probabilità nulla non solo esistono, ma addirittura sono un sacco, nel senso che sono addirittura la maggioranza, sempre per usare questa espressione pittoresca e non matematicamente rigorosa. Allora, se noi andiamo a prendere, in generale, lasciando perdere l'esempio dell'apparecchiatura, ma in generale, se abbiamo una famiglia A di eventi ad due incompatibili, abbiamo la sottofamiglia B di quelli di probabilità positiva, la differenza fra questi due insiemi...

cioè gli eventi, quelli assegnati della nostra famiglia di eventi A22 incompatibili, li tolgo quelli di probabilità positiva, quelli che rimangono sono gli eventi di probabilità nulla. E per quanto ho detto, la cardinalità di questa famiglia, cioè di quelli di probabilità nulla, è superiore alla cardinalità di N, cioè non sono, sono più che numerabili, per il motivo detto prima. Naturalmente da qui segue che esistono anche eventi di probabilità 1 non uguali all'evento certo, perché ovviamente se prendo un evento E diverso dall'evento impossibile, se vado a prendere il suo contrario, questo sarà diverso da ω, no?

Questo evento E, diverso dall'evento impossibile, aveva probabilità 0, questo evento contrario aveva probabilità 1. Quindi una conseguenza di questo risultato è che non solo ci sono un sacco di eventi, se la cardinalità della famiglia è abbastanza grande, di probabilità nulla non impossibile, ma ci sono pure un sacco di eventi di probabilità 1 non uguali all'evento certo. Allora, torniamo, vediamo di riassumere la situazione. Allora, come dicevo pure poco fa, se non abbiamo una partizione finita di ω in n eventi, nessuno ci impedisce di dare probabilità positiva a tutti, se così ci piace, nel senso che riteniamo che gli eventi della partizione sono tutti di probabilità positiva, la possiamo...

Basta stare attenti per il terzo assioma delle probabilità, la terza probabilità che segue dalla coerenza, che basta stare attenti che la somma di queste probabilità sia 1. Quando invece abbiamo, quindi si può assegnare probabilità positiva, quando invece abbiamo... una famiglia infinita, cioè quando si considerano partizioni infinite di omega, ciò non sempre è possibile. E questa è la sintesi di quello che abbiamo discusso fino adesso. Ciò non sempre è possibile perché i numeri reali, ripeto, non gliela fanno a discriminare.

Danno per forza probabilità nulla a molti eventi. Allora, esaminiamo più in particolare il caso nell'ambito delle partizioni infinite e della partizione numerabile. Vediamo che sulla partizione numerabile si può dire qualcosa in più, no?

Nel senso che noi abbiamo ω, che quindi è unione di eventi e con k. a2, a2 incompatibili, perché è una partizione numerabile, e proviamo a scrivere omega come unione finita, dato che questa è un'unione numerabile, proviamo a scrivere come unione finita nel senso che facciamo lo stratagemma di chiamare questo evento questo evento E che dipende da N evidentemente, a partire dall'N più unesimo evento della partizione in poi, cioè da N più 1 ad infinito degli E con K, questa unione la chiamiamo E, di modo che omega sarà unione dei primi N eventi più l'N più unesimo che sarà E, nel senso che noi ne abbiamo raggruppato tutti i rimanenti. Quindi vedete che omega lo posso scrivere come unione di n più un'evento. I primi n sono i primi n, quelli che c'erano.

L'n più unesimo ho fatto la posizione che ho chiamato con e tutti i rimanenti da n più un in poi. Siccome questi scritti così sono n più 1, cioè sono il numero finito, dimenticando il fatto che e poi a sua volta è decomposto in una partizione numerabile, ma guardandolo come un tutt'uno, a questa situazione posso applicare il teorema delle probabilità totali, cioè il terzo assioma della probabilità. Siccome la probabilità di Ohm è uguale a 1, questo 1 è uguale alla somma delle probabilità degli n più 1 eventi. Questi sono i primi n, poi c'è questo P di e, del quale non so dire nulla, perché questa e ricordate che è una unione numerabile. quindi non posso scrivere che è la somma delle probabilità, perché non ho mai dimostrato che l'attività si estenda a una famiglia infinita, quindi lo tengo indicato tutti insieme.

In ogni caso però, siccome PdE è una probabilità, e quindi è sempre un numero non negativo, posso fare una maggiorazione, nel senso che posso dire, ignorando PdE che comunque è maggiore o uguale di zero, che questa somma da una tenne è maggiore delle probabilità, più PdE, questa espressione, è maggiore o uguale della somma, perché trascuro questo termine. termine, quindi vedete che abbiamo trovato che 1 è maggiore uguale della somma delle probabilità dei primi n eventi della famiglia. Se passiamo al limite in questa disuguaglianza, 1 maggiore uguale di questo, sapete che al limite per n che tende all'infinito le disuguaglianze si conservano, qualora fossero forti si attenuano, ma questa è già debole con il maggiore uguale, quindi da qui segue passando al limite che 1 è maggiore uguale della serie per k che va da 1 infinito di p di k.

con K. Quindi vedete che in generale non potete dimostrare che qui vale l'uguaglianza, cioè nessuno vi garantisce che se voi fate la serie delle probabilità di una partizione infinita di omega, infinita numerabile, questa la potete scrivere come uguale alla probabilità totale, cioè uguale ad 1. Anzi, non solo, ma dovete anche controllare che questa serie converga. In altre parole, è possibile dare...

probabilità positiva a tutti gli eventi di una partizione numerabile? per la partizione finita era banale per la partizione numerabile nascono delle limitazioni legate alle proprietà delle serie perché quella serie che ho scritto prima bisogna che se io scelgo le probabilità le devo scegliere per esempio è chiaro che non posso dare probabilità a un ennesimo, posso dare probabilità a un ennesimo sapete benissimo che la serie armonica è un ennesimo, è una serie divergente quindi se io dessi probabilità agli eventi della successione uguale a 1 su n mi verrebbe la serie divergente quindi non verrebbe la somma minore uguale di 1 come abbiamo trovato prima, quindi le posso dare positiva a tutti gli eventi della partizione numerabile solo se quella serie converge, non solo converge ma poi la somma deve essere anche minore o uguale di 1 perché potrebbe convergere a 5 e non va bene perché abbiamo visto che deve essere minore o uguale di 1, quindi che cosa vuol dire questo discorso? Che anche fermandoci al caso numerabile, che non è il peggiore degli infiniti, il peggiore dal punto di vista della possibilità di dare probabilità non nulle a tutti gli eventi, abbiamo delle limitazioni perché mentre nella partizione finita... capita, purché la somma sia 1, do come mi pare le probabilità agli eventi della partizione, qui devo stare un po'più attento perché deve essere convergente la serie e la somma deve essere minore o uguale di 1. Allora, più in generale, naturalmente, possiamo non prendere una partizione, come si è fatto per il tornamento delle probabilità totali, ma prendere A, unione numerabile, di eventi incompatibili, quindi quella probabilità si traduce in questo, cioè se prendo A, che è unione degli A con K, unione numerabile, la probabilità di A, cioè la probabilità dell'unione, è la serie delle probabilità? No, in generale no, abbiamo visto che deve essere maggiore o uguale della serie delle probabilità, adesso faremo degli esempi fra un momento.

Quindi, l'estensione. della terza proprietà delle probabilità, cioè della proprietà additiva a una famiglia numerabile, non è scontata. Questo risultato ci dice che può essere vero oppure no, perché è scritto maggiore o uguale, quindi può anche essere uguale, ma non è automatico.

Se uno la richiede come condizione, la può mettere come condizione in più, ma adesso vedremo dagli esempi che forse non è opportuno richiederlo. Assumendo la sigma di attività vuol dire che in quella relazione di prima, torniamoci un attimo indietro, vuol dire che assumiamo, sigma di attività vuol dire supporre che l'attività vale anche nel caso numerabile, cioè assumere la sigma di attività vuol dire Questo maggiore uguale che è il risultato che otteniamo in generale, di dire bene, scegliamo l'uguale, supponiamo come ulteriore proprietà della probabilità, imponiamo la probabilità che valga anche l'uguaglianza su una serie infinita, su una serie, non solo su una somma. Ecco adesso fermiamoci qui sul slide e torniamo ai nostri pezzi di carta per fare due esempi interessanti in cui vediamo che può valere oppure no questo maggiore uguale, questo maggiore o uguale, i due casi, un caso in cui vale il maggiore e un caso in cui vale l'uguaglianza.

l'uguale, quindi ci fa capire che non è opportuno assumere indiscriminatamente l'ipotesi di sigma di dirittà, può essere un'opzione ma non è obbligatorio. Consideriamo questo esempio. Vediamo subito un esempio in cui si può, in cui si può nel senso che non è che lo assumiamo che valga l'uguale, viene come conseguenza. Prendiamo gli eventi E con N di questa partizione. T per la prima volta al lancio ennesimo.

T è chiaro, vuol dire testa, no? Quindi qual è il fenomeno di cui sto parlando? Considero una successione di lanci a testa e croce.

Chiamo E con 1 l'evento che testa appare per la prima volta al primo lancio, al lancio ennesimo, quindi viene subito testa. L'abbiamo già discusso a lungo questo esempio. e con 2 vuol dire che T appare per la prima volta al secondo lancio, quindi vuol dire croce e poi testa.

In genere con N vuol dire che per N-1 volte viene croce, croce, croce, croce e all'ennesimo lancio viene testa. Questi eventi sono chiaramente una partizione numerabile di ohmio, che l'abbiamo già discusso. allora il problema è la probabilità di E con N, intanto sappiamo, anche questo l'abbiamo già discusso, è 1 su 2 alla N, perché la probabilità che venga testa per la prima volta al lancennissimo, siccome le sequenze possibili su N lanci sono 2 alla N, e una sola è favorevole, quella con tutte le cruci nei primi N meno 1 posti, è testa al postennissimo.

Quindi questi eventi hanno probabilità E con N. L'unione di questi E con N... per n che va da 1 ad infinito, siccome sono una partizione, fa omega.

Quindi se valesse la sigma di dività, la probabilità dell'unione, cioè di omega, cioè 1, deve essere uguale alla serie delle probabilità degli con n, per n che va da 1 ad infinito. Qui vediamo subito che questa è soddisfatta, perché questa serie è la serie di 1 su 2 alla n. per n che va da 1 a infinito ma questa è una serie geometrica elementare e si vede subito con calcolo elementare questa serie converge e consuma 1 quindi abbiamo trovato che di quel problema che era nato poco fa cioè che la serie delle probabilità è uguale alla probabilità dell'unione avevamo detto no, in genere c'è una disuguaglianza può essere uguale o minore uguale abbiamo trovato qui un caso in cui vale l'uguale vediamo adesso un caso in cui non vale cioè adesso prendiamo un'altra partizione questa volta dei naturali cioè il nostro omega adesso è l'insieme n dei naturali Troviamo un fenomeno, descrivo adesso un esperimento statistico, in cui è naturale assegnare a tutti gli elementi di N maiuscolo probabilità 0. Perché?

Supponiamo di considerare questo esempio. Scegliamo a caso, adesso torneremo tra poco sui conti, scegliamo a caso un numero naturale. Che vuol dire scegliere a caso un numero naturale?

Come si fa a scegliere a caso un numero naturale? I numeri naturali sono infiniti, sia pure numerabile. Ma si può fare così.

Prendiamo qualunque ascoltatore di questa lezione e gli diciamo dimmi tu un numero naturale, a piacere. Io adesso mi calco la probabilità che tu dica il numero n. Ora io e anche voi, penso, riteniamo che ci sia la stessa probabilità che uno dica un numero qualunque, cioè non ci sono numeri privilegiati, un numero va anche comunque grande, no? Se voi prendete un ascoltatore e gli dite, ditemi un numero, dimmi un numero qualunque, purché sia naturale, lui può dire 27, se si vuole sbrigare.

Ma se vuole dire un numero enorme, ovviamente, siccome conosce un po'di matematica, può anche dire un numero enorme, non è che deve dire... e così via, che perde un'ora. Perché conoscendo la matematica, se vuole dire un numero enorme, fa così. Dice, il mio n è questo, per esempio, e elevato a 27, la parte intera più 1, parentesi fattoriale. In pochi secondi ha detto un numero enorme, no?

Perché fate io la 27, prendete la parte intera, se no potrebbe non essere intero, fate più 1 per esempio e fate il fattoriale. Vedete che in pochi secondi potete pronunciare un numero enorme. Allora io non ho elementi per escludere dei numeri naturali fra quelli che l'ascoltatore può scegliere, quindi devo dare la probabilità a tutti. E siccome non ho elementi per dire che uno è più probabile di un altro, perché io non so cosa passa nel cervello dell'ascoltatore quando mi dice un numero, può dire uno se la vuole fare fare, può dire tre, può dire dieci, ma può dire anche uno di quei numeri come quello che ho scritto prima, devo dare la stessa probabilità a tutti.

è l'unico modo su un insieme numerabile di dare la stessa probabilità a tutti e di darla uguale a 0, perché provate a dare anche piccola ma positiva e vi viene divergente la serie. Ricordate la condizione che abbiamo visto prima sul monitor? Voi potete dare probabilità positive a un'infinità numerabile di eventi?

Sì, purché poi la serie di quelle probabilità converga e abbia somma minore o uguale di 1, eventualmente uguale a 1 come nel caso di prima, ma minore o uguale di 1. Se voi date probabilità piccola costante alle scelte possibili, del numero naturale del nostro interlocutore, anche epsilon, piccola piacere, sapete benissimo che è una serie a termini costanti, epsilon più epsilon più epsilon diverge, perché dopo un certo numero di termini avete già superato uno tra l'altro, ma comunque diverge e supera qualunque numero naturale. Allora l'unica scelta razionale è di dire che questo fenomeno di far dire... Di far scegliere a caso un numero naturale a una qualunque persona che abbia un minimo di cultura e possa essere quindi in grado, cultura matematica voglio dire, quindi possa essere in grado di dire anche un numero comunque grande con questo artificio di usare questo tipo di scritture, vuol dire che diamo probabilità zero a tutti, però cosa succede?

Che è certo... che l'ascoltatore dirà un numero naturale, quindi l'unione di questi n che lui sceglie, n che va da 1 ad infinito, non è altro che l'insieme dei naturali. La probabilità quindi di questa unione è 1, perché lui è certo che dirà un numero naturale, p di n è 1. Ma la somma di queste probabilità, o se volete la serie delle probabilità di n, per n che va da 1 ad infinito, siccome ogni termine della serie è 0, fa 0. Quindi vedete che voi trovate che la somma delle probabilità degli n, per n che va da 1 ad infinito, e qui dall'altra parte avete invece la probabilità dell'unione degli n, per n che va da 1 ad infinito, cioè omega, non sono uguali perché questa è minore strettamente di questo perché questa fa 0 e questo fa 1 0 minore di 1 quindi tornando al nostro alla nostra disequazione in generale vedete che che abbiamo il caso, questo maggiore uguale, in cui c'è il maggiore stretto, perché l'unione nel nostro esempio è l'insieme dei naturali, quindi ha probabilità 1, perché è certo che sceglierà quel numero, che sceglierà un numero naturale, però ognuno di essi ha probabilità 0, quindi la serie fa 0 come somma, qui viene quindi il maggiore stretto.

Allora proviamo a vedere rapidamente qual è il risvolto applicativo di questa situazione, di mettere o no la condizione ulteriore di sigma additività, cioè pretendere che quella proprietà additiva valga anche per un'identità numerale. se noi la lasciamo opzionale nel senso che se vale sia benvenuta insomma vale la accettiamo ma non la mettiamo come astioma come condizione riusciamo a definire la probabilità dappertutto per così dire cioè ogni sotto insieme di omega può rappresentare un evento, perché ricordate che gli eventi si rappresentano con diagrammi di Venn. Se invece imponiamo la probabilità alla condizione di sigma additività, si dimostra, c'è un famoso teorema, si dimostra che fra tutti i sottinsiemi di omega, solo quelli che si chiamano insiemi misurabili, possono essere presi come rappresentanti degli eventi.

E quindi la probabilità non può essere definita dappertutto. Questo non è molto grave, ma soltanto ha delle conseguenze molto pratiche, il poterlo fare, cioè il poter parlare di probabilità per qualunque evento, nella definizione di una nuova categoria di numeratori del quale dovremmo occuparci dalla prossima lezione, che è quella dei numeratori continui. Allora, vediamo di riassumere sulle nostre slide quello che ho cercato di dirvi in maniera molto sintetica e che troverete più dettagliatamente nel libro.

Quando assumiamo la sigma di attività si può provare, come ho detto prima, che la probabilità P è definita univocamente su un'opportuna famiglia E. In generale non è possibile prendere come famiglia E tutto l'insieme delle parti, cioè tutto l'insieme dei sottinsiemi di omega, questo che si chiama P di omega, ma soltanto possono essere rappresentati gli eventi solo dai cosiddetti insiemi misurabili. Quando invece impongo alla probabilità solo la coerenza, Solo la coerenza, ricordate che la coerenza ci ha fatto dimostrare le proprietà della probabilità, in particolare la terza proprietà era l'additività relativa a una famiglia finita, quindi quando non chiedo, ovviamente non è vietato che valga anche per una famiglia numerabile l'additività, voglio dire non lo chiedo, non lo pretendo, quindi è una teoria più generale che può valere oppure no la sigma additività, quando non lo chiedo invece è possibile, si può dimostrare, che è possibile prolungare la probabilità opportunamente anche in maniera non univoca. come spiegato meglio sul libro, a tutto l'insieme delle parti.

Quindi nella teoria più debole, diciamo, quella che comprende la sigma di unità solo come caso particolare ma non come condizione obbligatoria, noi riusciamo a parlare di probabilità per qualunque sottoinsieme di omega. Maggiori esempi, maggior numero di esempi e maggiori considerazioni e commenti su questo li troverete sul sito internet del Nettuno relativamente a questa lezione. Arrivederci.

Transcript for:Lezione sulla Probabilità e Insiemi Infini

Transcript for:
Lezione sulla Probabilità e Insiemi Infini