Overview
Die Vorlesung behandelt lineare Gleichungssysteme (LGS), die möglichen Lösungstypen und das Einsetzungsverfahren zur Lösung von LGS am Beispiel.
Lineare Gleichungssysteme (LGS)
- LGS bestehen aus mehreren linearen Gleichungen mit mehreren Unbekannten.
- Es gibt drei mögliche Lösungstypen: genau eine Lösung, unendlich viele Lösungen oder keine Lösung.
- Genau eine Lösung existiert, wenn alle Ebenen sich in einem Punkt schneiden.
- Unendlich viele Lösungen gibt es, wenn der Lösungsraum eine Gerade oder Ebene ist.
- Keine Lösung liegt vor, wenn z. B. zwei Ebenen parallel sind.
Beispiel für ein LGS mit eindeutiger Lösung
- Beispiel-LGS mit drei Gleichungen und drei Unbekannten:
- x - 2y + 5z = 8
- x + y + 3z = 1
- 3x + 3y - z = 2
- Alle Gleichungen müssen gleichzeitig erfüllt sein.
Lösungsverfahren für LGS
- Zwei grundlegende Verfahren: Einsetzungsverfahren und Additionsverfahren.
- Das GAUS-Verfahren basiert auf diesen beiden Grundverfahren.
Einsetzungsverfahren
- Wähle eine Gleichung, die sich leicht nach einer Variablen umstellen lässt.
- Stelle die Gleichung nach einer Variablen (z. B. x) um.
- Setze den Ausdruck für diese Variable in die übrigen Gleichungen ein.
- Wiederhole das Einsetzen, bis alle Variablen bestimmt sind.
- Beispiel: Aus Gleichung 1 nach x umgestellt: x = 8 + 2y - 5z.
- Einsetzen in andere Gleichungen reduziert die Anzahl der Unbekannten schrittweise.
Key Terms & Definitions
- Lineares Gleichungssystem (LGS) — System aus mehreren linearen Gleichungen mit mehreren Unbekannten.
- Eindeutige Lösung — Es gibt genau einen Lösungspunkt für das LGS.
- Unendlich viele Lösungen — Der Lösungsraum ist eine Gerade/Ebene statt eines Punkts.
- Keine Lösung — Die Gleichungen widersprechen sich, kein Punkt erfüllt alle gleichzeitig.
- Einsetzungsverfahren — Methode zur Lösung eines LGS, indem Variablen sukzessiv eliminiert werden.
Action Items / Next Steps
- Üben Sie das Einsetzungsverfahren mit weiteren LGS-Beispielen.
- Im nächsten Abschnitt wird das Einsetzen in die dritte Gleichung behandelt.