Wie eben schon angedeutet, schauen wir uns normalerweise mehrere Gleichungen gleichzeitig an. Was uns dann, wenn wir lineare Gleichungen uns anschauen, was das Typischste ist im Studium, führt uns dann zum Thema lineare Gleichungssysteme. kürzen wir meistens kurz mit LGS ab.
Wir haben drei mögliche Fälle, die rauskommen können bei den Lösungen, wenn wir uns ein lineares Gleichungssystem anschauen. Und zwar grundsätzlich kann es natürlich genau eine Lösung geben. Das wäre eben besonders schön. eindeutige Lösung, wir wissen genau, was rauskommt. Das ist zum Beispiel geometrisch dann der Fall, wie eben erklärt, wenn wir drei Ebenen haben, die sich genau in einem Schnittpunkt schneiden.
Wir können unendlich viele Lösungen haben, dann haben wir eben einen Lösungsraum, wie zum Beispiel eine Ebene oder eine Gerade, wie auch eben vorgestellt. Wir können aber auch keine Lösung bekommen. Geometrisch zum Beispiel, wenn ich zwei Gleichungen habe, deren einzelne Lösungsraum zwei parallele Ebenen sind, die also keinen Schnittpunkt keine Schnittfläche haben, dann habe ich auch keine Lösung. Dann gibt es eben keine für das Problem. Das kann auch passieren.
Wir gehen die Fälle nun nacheinander durch und rechnen dazu Beispiele und versuchen daran zu verstehen, wie man am einfachsten an die Lösung kommt. Wir fangen an mit dem Fall, dass wir genau eine Lösung suchen. Und ich gebe ein Beispiel hier vor, ein In-Jahres-Leitungs-System mit drei Unbekannten und drei Zeilen. Wir haben x minus 2y plus 5z.
Z soll 8 sein, die kennen wir schon von eben, die Gleichung. Als nächstes haben wir X plus Y plus 3Z soll 1 sein und die dritte Zeile ist 3X plus 3Y minus Z ist gleich 2. Wichtig ist, diese drei Zeilen sollen gleichzeitig gelten. Die sind also nicht unabhängig voneinander, sondern wir wünschen uns, dass alle drei Sachen gleichzeitig erfüllt sein müssen. Und unter diesen drei Bedingungen suchen wir dann eine hoffentlich eindeutige Lösung. Es gibt zwei Verfahren zum Lösen, zwei, die üblicherweise gelehrt werden, und zwar das Einsetzungsverfahren und das Additionsverfahren.
Wenn man beide kann, dann führt das letztendlich dann zum GAUS-Verfahren, wo wir dann später drauf kommen. Zunächst einmal sollten wir uns die beiden Verfahren angucken, damit wir überhaupt auf unsere Lösung kommen können. Und wir starten dann mal mit dem einfachen Einsetzungsverfahren.
Vermutlich kennen Sie beide schon, aber eine Wiederholung ist sicherlich nicht verkehrt. Das Einsetzungsverfahren ist sehr simpel und zwar wir haben unser Gleichungssystem und wir nehmen uns eine beliebige Gleichung, ganz beliebig vielleicht nicht, wir sollten uns vielleicht eine besonders einfache nehmen, die besonders leicht umzustellen ist, und stellen... Wir stellen diese eine Gleichung, die wir uns ausgesucht haben, nach einer Variabel um. Zum Beispiel nach x.
Da bietet sich zum Beispiel hier auch die erste Gleichung direkt an, weil hier bei dem x, da steht eine 1 davor, da muss ich später nicht noch irgendwas teilen, die kann ich sehr einfach umstellen. würde mir eine Gleichung ins Auge springen, wenn hier beispielsweise sagen wir mal, hier würde auch das 5z fehlen und ich hätte hier nur x minus 2y gleich 8, dann würde ich auch sofort die nehmen, weil dann habe ich ganz wenig zu tun. Also Mathematiker sind ganz gerne faul, sie versuchen so wenig wie möglich zu arbeiten, um mal das Ergebnis zu kommen und das beherzigen wir hier auch.
Also, zunächst einmal ganz einfach gesagt, wir stellen eine Gleichung, die wir uns ausgesucht haben, nach einer Variabel um. Dann setzen wir in die anderen Gleichungen, die noch übrig sind, eben das Ergebnis ein. Und dann wiederholen wir die Schritte 1 und 2 so lange durch Einsetzen, Einsetzen, Einsetzen, bis wir schließlich unsere eindeutige oder eben nicht eindeutige Lösung herausbekommen. Wir machen das auch direkt mal in unserem Beispiel hier.
Und wir stellen, also ich suche mir jetzt die erste Zeile aus. Die wähle ich mir aus und ich sage, wir stellen das nach x um. Ich hätte auch jede andere nehmen können, aber nehmen wir jetzt halt die.
Und die stelle ich hier einfach nach x und mit dem ich einfach alles andere in diesem Fall auf die andere Seite bringe. Also x ist gleich 8 plus 2y minus 5z. Damit weiß ich gewissermaßen, welche Gestalt x hat. Und das kann ich jetzt ja an die anderen Gleichungen einsetzen.
Denn wenn ich das tue, kommt ja gar kein x mehr vor, sondern nur noch y und z. Damit habe ich also von drei Variablen es auf zwei reduziert. Und wenn ich das wiederhole, reduziere ich es auf eine und damit kenne ich dann eine Lösung.
Gut, machen wir das einfach mal. Ich setze also x gleich 8 plus 2y minus 5z, setze ich in die andere Zeile, jetzt mal in die Zeile 2 nehme ich mir als erstes vor, setze ich ein. Eingesetzt habe ich hier vorne 8 plus 2y minus 5z, ist ja einfach abgeschrieben.
plus y plus 3z gleich 1. So, jetzt kann ich, hier kann ich auf die Klammern verzichten, da ist ja kein Vorzeichen oder so vor, ich kann es direkt miteinander verrechnen. Ich habe dann entsprechend also y plus 2y gibt dann 3y. Und minus 5z plus 3z gibt minus 2z.
Und hier sehe ich gerade ist ein kleiner Rechenfehler, denn ich hatte hier noch die 8. Die 8 muss ja auf die andere Seite. 1 minus 8 gibt dann minus 7 muss hier hin. und dementsprechend muss ich jetzt hier, um das nach y umzustellen, die 2z auf die andere Seite rechnen, das heißt, ich habe dann minus 7 plus 2z ist gleich 3y, also muss ich anschließend noch alles durch 3 teilen.
Also habe ich hier minus 7 Drittel plus 2 Drittel z dann als meine Lösung fürs y, die jetzt nur noch von z abhängt. Ich könnte jetzt auf verschiedene Arten weitermachen. Wenn man ein bisschen Erfahrung hat, dann geht das so von der Hand. Ich könnte jetzt zum Beispiel das y direkt noch in meine Lösung von x einsetzen, damit x nur noch in Abhängigkeit von z dort steht.
Oder wir machen das Verfahren einfach stur weiter. von x in die dritte Gleichung ein. Da geht mir gerade aber der Platz aus, das machen wir dann gleich im nächsten Video.