Selang Kekonvergenan Deret Pangkat

Pendahuluan

Dalam menentukan selang kekonvergenan dari deret pangkat, kita dapat menggunakan metode pengujian dengan mencari nilai limit tertentu. Metode ini memanfaatkan nilai limit dari suku-suku deret pangkat.

Contoh Soal 1

Deret

• Diberikan deret: ( \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{(n+1)2^n} )_

Uji Kekonvergenan

• Gunakan limit ( L = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| )
• Sederhanakan menjadi:
  • ( x^{n+1}/x^n = x )
  • ( 2^n/2^{n+1} = 1/2 )
  • ( \frac{n+1}{n+2} \rightarrow 1 ) saat ( n \rightarrow \infty )
• Maka, ( L = \left| \frac{x}{2} \right| )

Syarat Kekonvergenan

• Syarat konvergen: ( L < 1 )
• Sehingga, ( \left| \frac{x}{2} \right| < 1 ) atau ( -2 < x < 2 )

Uji Kekonvergenan di Ujung Selang

Di ( x = 2 )

• Bentuk deret: ( \sum_{n=0}^{\infty} \frac{2^n}{(n+1)2^n} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n+1} )
• Menggunakan uji banding dengan deret harmonik divergen.
• Kesimpulan: Divergen.

Di ( x = -2 )

• Bentuk deret: ( \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-2)^n}{(n+1)2^n} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n+1} )
• Tinjau dengan uji deret ganti tanda:
  • Perlu tunjukkan deret monoton turun dan limit sukunya menuju nol.
• Kesimpulan: Konvergen.

Kesimpulan Akhir

• Selang kekonvergenan: ([-2, 2))
• Di ( x = -2 ) konvergen (termasuk selang), di ( x = 2 ) divergen (tidak termasuk selang).](streamdown:incomplete-link)

Catatan Tambahan

• Perhatikan penggunaan uji banding dan uji deret ganti tanda dengan tepat.
• Memahami konsep nilai mutlak dan bagaimana ia diaplikasikan dalam konteks kekonvergenan deret pangkat.

Dengan memahami konsep ini, kita dapat menentukan selang kekonvergenan dari deret pangkat lain dengan cara yang serupa.