Matematikte Limit Konusu

Giriş

• Limit: Matematikte, bir fonksiyonun belirli bir noktaya yaklaştığında nasıl davrandığını incelemek için kullanılır.
• Örnek: Tek boyutlu doğru parçası üzerinde bir noktanın sağdan ve soldan yaklaşımına bakmak.

Limitin Önemi

• Fonksiyonlarda bazı noktalarda değer tanımlı olmayabilir, bu noktaları anlamak için limit kullanılır.
• Örnek: Bir topun belirli bir yüksekten bırakılıp her seferinde yarı yüksekliğe zıplaması.

Limit Kavramı

• Bir sayının sonsuza bölünmesi sıfır eder: Örneğin, büyük bir pastayı sonsuz kişiye paylaştırmak -> herkes 0 pasta alır.

Boyutlar ve Limit

• Küçük boyutlarda, nokta olarak görülen bir cismin aslında bir hacmi vardır.
• İki boyutlu limit: Noktalara her yönden yaklaşmak, çember çizerek bu noktayı incelemek.
• Üç boyutlu limit: Noktanın çevresindeki alanın her yönden nasıl davrandığını görmek.
• Dört boyutlu limit: Zaman boyutunu da ekleyerek, zaman içinde noktaların nasıl davrandığını anlamak.

Amacımız

• Limitteki amacımız, yaklaşım yaptığımızda ne bulduğumuzu anlamak ve bunu incelemek.

Örnekler ve Uygulamalar

• Üçgen, Dörtgen, Beşgen: Sonsuzgen çizdiğimizde bir çembere benzeyecektir.
• Fonksiyonlar: Hangi değerlere gidip gitmediğini incelemek.
• 1. açıortay doğrusu (y = x): Limit hesaplamak.

Sağdan ve Soldan Yaklaşım

• Sağdan ve soldan bir noktaya yaklaşarak fonksiyonun limitini incelemek.
• Örnek: y = x doğrusu üzerinde x = 2 noktasını sağdan ve soldan yaklaşmak -> 2.

Tanımlı Olma Gerekliliği

• Limitin olması için fonksiyonun o noktada tanımlı olması gerekmiyor.
• Örnek: Fonksiyonun 5 değerinde tanımsız olması fakat limitinin var olması.

Limitin Varlığı

• Sağ ve sol limitlerinin birbirine eşit olması şartıyla limit vardır.
• Limit yoksa, sağ ve sol limitler farklı olduğunda limitten bahsedemeyiz.

Limitin Tekliği

• Limit varsa, tektir.
• İspatlamak için: Sağ ve sol limitlerin eşit olup olmadığının kontrolü.

Teknik Tanım

• Matematiksel olarak yorumlamak ve ispatlamak için kullanılır.
• Örnek: Limitin Epsilon-Delta tanımı.

Mutlak Değer ve Limit

• Mutlak Değer: Bir sayının sıfırdan uzaklığı.
• İki Boyutlu: Uzaklık, karenin köşegen uzunluğu gibi formüllerle hesaplanır.

Üçgen Eşitsizliği

• Üçgen Eşitsizliği: Mutlak değere dair çeşitli eşitsizlikler.
• Uygulamalarda kullanılır.

Sonuç ve Özet

• Limit, fonksiyonların belirli noktalarda nasıl davrandığını anlamak için önemli bir araçtır.
• Limitin teknik tanımlamasını ve çeşitli örnekleri inceledik.