In questo video parliamo della quantità di moto e della sua conservazione. La quantità di moto di un corpo è una grandezza vettoriale, che indichiamo con la lettera P, ed è definita dalla massa del corpo per la sua velocità. È una grandezza che viene introdotta per descrivere il moto dei corpi. In particolare è molto utile per descrivere sistemi in cui sono presenti delle interazioni fra corpi, come ad esempio gli urti.
Questo perché, come vedremo tra poco, la quantità di moto ci porta a una legge di conservazione. La legge di conservazione della quantità di moto, la quale dice che la quantità di moto totale di un sistema isolato si conserva. e in generale, in fisica, le grandezze che si conservano, ovvero il cui valore rimane sempre lo stesso in un sistema che cambia nel tempo, sono utili per descrivere i fenomeni che avvengono nel sistema.
Torniamo alla definizione di quantità di moto. Un corpo di massa m che si sta muovendo con una velocità v possiede una quantità di moto p data dal prodotto tra la massa m e la velocità v. L'unità di misura di questa grandezza è quindi chilogrammo per metro al secondo. La quantità di moto è quindi una grandezza vettoriale che ha la stessa direzione e verso della velocità del corpo.
Notiamo dalla definizione di quantità di moto che questa grandezza contiene due diverse informazioni. La prima riguarda la massa del corpo, che è una caratteristica del corpo. La seconda è invece la sua velocità.
che è invece un'informazione sul moto del corpo. Con questa grandezza possiamo riscrivere il secondo principio della dinamica che conosciamo già in questa forma. La risultante delle forze che agisce su un corpo è uguale alla sua massa per l'accelerazione del corpo. Ora consideriamo la forza risultante media che è uguale alla massa del corpo per l'accelerazione media semplicemente perché ci permette di evitare nei passaggi la notazione differenziale con le derivate, cosa che farò nell'appendice di questo video solo per coloro che sono a un livello un po' più avanzato. La forza risultante media è uguale alla massa per l'accelerazione media del corpo, che per definizione è la variazione di velocità nel tempo, ovvero delta v fratto delta t.
ΔV è la velocità finale meno la velocità iniziale del corpo. Distribuendo la massa al numeratore abbiamo massa per velocità finale meno massa per velocità iniziale fratto ΔT. Il prodotto massa per velocità finale è la quantità di moto finale del corpo, così come massa per velocità iniziale è la quantità di moto iniziale del corpo.
Il rapporto risulta essere quindi delta P fratto delta T, ovvero la variazione della quantità di moto del corpo nel tempo. La forza risultante media che agisce su un corpo è quindi uguale alla variazione della sua quantità di moto nel tempo. Questa equazione, che è la legge di Newton, proprio come Newton l'ha scritta, è più generale della precedente F uguale m per A, perché descrive non solo fenomeni in cui cambia la velocità del corpo, ma anche la massa. Pensate per esempio al lancio di un razzo che durante il suo moto consuma carburante per la propulsione e quindi diminuisce sensibilmente la sua massa.
Quindi la risultante delle forze è uguale a delta P fratto delta T. E solo se la massa del corpo è costante durante il moto, allora si riduce alla forma più semplice F uguale m per A. Dalla legge di Newton che abbiamo appena riscritto, sottolineiamo un fatto forse ovvio, ma molto importante. Se la somma di tutte le forze, cioè la forza totale che agisce su un corpo, è nulla, allora è nulla anche la variazione della sua quantità di moto. In altre parole, la quantità di moto del corpo rimane costante nel tempo.
Questo significa che se il corpo è isolato, la sua quantità di moto si conserva, cioè non varia, rimane costante. E questo fatto è importante perché con questa nuova grandezza, la quantità di moto, abbiamo uno strumento molto potente che ci permette di studiare sistemi anche complessi, che è la legge di conservazione della quantità di moto. Abbiamo appena visto che per un solo corpo il concetto è semplice, ma la cosa interessante è che si può estendere a qualsiasi sistema isolato. Andiamo ora a verificare questa legge di conservazione in un sistema costituito da due corpi che interagiscono con un urto. Le due masse m1 e m2 hanno velocità rispettivamente v1 e v2, quindi le quantità di moto dei due corpi sono p1 m1 per v1 e P2 M2 per V2.
Il sistema è isolato, ovvero non agiscono forze esterne, ma sono presenti solo forze interne al sistema, che in questo esempio sono le due forze che si creano durante l'urto. Per il terzo principio della dinamica, i due corpi si spingono con forze uguali opposte, quindi F2,1 è uguale a meno F1,2. In altre parole, la somma delle due forze è uguale a zero. Mentre per il secondo principio la forza che subisce il corpo 1 è uguale alla variazione della sua quantità di moto nel tempo. Analogamente la forza che subisce il corpo 2 è uguale alla variazione nel tempo della quantità di moto P2.
Sostituiamo l'espressione di queste due forze nell'equazione del terzo principio della dinamica. Scriviamo le due variazioni della quantità di moto e poi raccogliamo le quantità di moto finali e le quantità di moto iniziali. Tra le parentesi abbiamo la somma delle due quantità di moto, ovvero la quantità di moto totale finale e la quantità di moto totale iniziale.
Quindi la variazione nel tempo della... quantità di moto totale del sistema è uguale a zero. La variazione nel tempo della quantità di moto totale del sistema è uguale a zero.
Ciò significa che la quantità di moto totale, cioè la somma di tutte le quantità di moto del sistema, è costante, quindi si conserva. Nel nostro esempio abbiamo che la somma delle quantità di moto iniziali dei due corpi ... che è la quantità di moto totale iniziale, è uguale alla somma delle quantità di moto dei due corpi finale, cioè dopo l'urto, ovvero la quantità di moto totale finale del sistema.
Sottolineiamo che la quantità di moto dei singoli corpi può cambiare, e nel nostro esempio cambia perché con l'urto cambiano le velocità dei corpi. Ma se il sistema è isolato, ciò che rimane costante è la somma di tutte. le quantità di moto di tutti i corpi del sistema.
Questa è la legge di conservazione della quantità di moto che può essere estesa a qualunque numero di corpi. Quando due o più particelle o corpi puntiformi interagiscono in un sistema isolato, ovvero nel quale sono presenti solo forze interne al sistema, la quantità di moto totale del sistema si conserva, ovvero rimane costante nel tempo. Concludo questo video con un appendice nella quale ripropongo i passaggi tecnici in un caso più generale.
Per farlo ci servono le derivate. Nella riscrittura della legge di Newton, per evitare le derivate, siamo stati costretti a parlare di forza risultante media, che è uguale alla variazione della quantità di moto del corpo nell'intervallo di tempo delta T. Se invece consideriamo una forza istantanea, simultanea avremo che la risultante delle forze è uguale al limite di questo rapporto per delta t che tende a zero. Questa è la definizione di derivata, quindi è uguale alla derivata rispetto al tempo della quantità di moto. La quantità di moto è uguale alla massa per velocità e solo se la massa del corpo è costante possiamo riscriverlo come massa per la derivata della velocità rispetto al tempo.
che non è altro che l'accelerazione istantanea del corpo. Infine, per quanto riguarda la conservazione della quantità di moto di un sistema di due corpi interagenti, il terzo principio ci dice sempre che la somma delle due forze è uguale a zero, mentre per il secondo principio le due forze saranno uguali alle derivate rispetto al tempo delle due quantità di moto. Sostituendo abbiamo che la derivata rispetto al tempo della somma delle due quantità di moto è uguale a zero.
Quindi la derivata rispetto al tempo della quantità di moto totale del sistema è uguale a zero. Ciò significa che la quantità di moto totale del sistema si conserva, ovvero rimane costante nel tempo.