Energieerhaltung und ihre Anwendungen

Das Thema dieser Vorlesung ist die Energieerhaltung. Ich erzähle, was darunter zu verstehen ist. Ich zeige, wie die potenzielle Energie einer konservativen Kraft berechnet wird und was eine konservative Kraft überhaupt ist. Dann werde ich den Unterschied zwischen offenen und isolierten bzw. abgeschlossenen Systemen erklären und die Energiesätze für offene und isolierte Systeme angeben und an vielen verschiedenen Beispielen verdeutlichen. Aus der letzten Vorlesung wissen Sie, dass Energie nicht erzeugt, sondern nur weitergeleitet oder umgewandelt werden kann. Zur Weitergabe und zum Speichern von Energie benötigt man einen Träger und es gibt eine Vielzahl von Energieträgern, Energieformen und Energieumwandlungen. Zur Weitergabe von Energie, das heißt im Energietransfer zwischen zwei Systemen, haben wir zwei Prozesse kennengelernt, nämlich einmal die Arbeit, das ist die mechanische Art und Weise Energie mittels einer Kraft weiterzugeben, die Wärme, das ist die thermodynamische Variante Energie weiterzugeben. Letztere bedeutet etwas zu erhitzen oder zu kühlen. Das werden wir am Semesterende vertiefen. Noch liegt unser Hauptaugenmerk auf der Arbeit, die wir schon in der Form DW ist gleich äußere Kraft mal DS kennengelernt haben. Darin steht das mal für das vektorielle Skalarprodukt und wenn man diesen Ausdruck für die Arbeit beidseitig integriert, bekommt man die Arbeit durch Berechnung eines Wegintegrals. Wir haben bereits die potenzielle Energie als fundamentales physikalisches Konzept kennengelernt. Sie ist eine Art Spannenergie, die durch Arbeit in ein System hineingesteckt werden kann, wenn es innere Kräfte enthält, gegen die man es spannen bzw. aus einem Gleichgewicht herausbringen kann, in das es dann zurückstrebt. Und damit werden wir jetzt zuallererst einmal weitermachen. Um die potenzielle Energie für verschiedene Kräfte bestimmen zu können, werden wir zuerst eine allgemeine Definition der potenziellen Energie herleiten und danach anwenden. Die potenzielle Energie ist die in einem System gespeicherte Energie, weil durch eine äußere Kraft, F außen, Arbeit gegen eine innere Kraft verrichtet wurde. Wir nehmen die Definition unserer Arbeit und verschieben in unserem System irgendetwas von I nach F durch eine äußere Kraft. Zum Beispiel ziehen wir am Ende einer Feder oder heben einen Eimer hoch oder ähnliches. Darüber können wir jetzt die potenzielle Energie definieren. Die potenzielle Energie ändert sich durch diese Arbeit, die wir jetzt an unserem System verrichten, von einer möglicherweise am Anfang vorhandenen potenziellen Energie zu einer am Ende vorhandenen potenziellen Energie. Und die Differenz ist jetzt eben genau gleich der Arbeit, die wir durch die äußere Kraft erzeugt haben. Damit es die potenzielle Energie gibt, muß aber eine innere kraft da sein gegen die wir mit unsern äußeren kraft arbeiten wir nehmen jetzt an daß unsre äußere kraft über den gesamten weg genau entgegengesetzt zu dieser inneren kraft gerichtet ist beide sind genau entgegengesetzt gleich das ist ganz wichtig denn damit gewährleisten wir daß sich keine kinetische energie ändert und das tempo bei i gleich dem tempo bei f ist oder unser objekt bei i und f ruht Tatsächlich sind die Geschwindigkeit unterwegs, auch der Weg der Verschiebung völlig egal. Nehmen wir an, anfangs beschleunigen wir das Objekt ab I, dann müssen wir es aber eben im gleichen Maß bis F wieder abbremsen. Das bedeutet, Abweichungen der äußeren Kraft von der inneren Kraft beim Beschleunigen und Bremsen müssen sich aufheben. Und genau das gewährleisten wir durch den Ansatz F außen gleich minus F innen. Dadurch bleibt dann wirklich nur die Energieänderung über. die durch die Positionsänderung entstanden ist. Weil wir deswegen davon ausgehen, dass unsere äußere Kraft genau entgegengesetzt zu der inneren Kraft ist, können wir in der Gleichung F außen durch minus F innen ersetzen. Wir ziehen das Minus vor das Integral und damit haben wir die physikalische Definition der potenziellen Energie hergeleitet. Sie hat die beachtenswerte Eigenschaft, dass sie nur als Differenz definiert ist. Darum ist der Nullpunkt frei wählbar. Der Vergleich dieser Definition mit der Definition der Arbeit ergibt als wesentlichen Unterschied. Bei der potenziellen Energie steht vor dem Integral ein Minus und zwar aus dem einfachen Grund, weil hier eine innere Kraft im Integral steht. Und zwar eine innere Kraft, für die der Wert des Integrals unabhängig von dem Weg sein muss, auf den man von I nach F gelangt. So etwas nennt man eine konservative Kraft. Wenn es eine passende innere konservative Kraft in einem System nicht gibt, dann gibt es auch keine potenzielle Energie in dem System. Dagegen ist die Arbeit grundsätzlich über die äußere Kraft und in der Regel ohne das Minuszeichen definiert, sodass ein positiver Wert des Integrals einen Energiezuwachs anzeigt. Die Kraft kann eine beliebige Kraft sein, sie muss nicht konservativ sein. Das ist der Unterschied zwischen Arbeit und potenzieller Energie. Natürlich können wir diesen integralen Zusammenhang für die Definition der potenziellen Energie auch umkehren. Die Umkehrung der Integration ist die Ableitung. Nun haben wir es jedoch mit Vektoren zu tun und im Integral steht das vektorielle Skalarprodukt. Dann wird aus der eindimensionalen Ableitung die dreidimensionale Ableitung, also dxdydz, die man Gradient nennt und mit dem hier gezeigten Nappler-Operator symbolisiert. Er macht aus einer skalaren Funktion wie der potenziellen Energie eine vektorielle Funktion wie die zugehörige Kraft. Die x-Komponente der Kraft ist die negative Ortsableitung der potenziellen Energie nach x, ihre y-Komponente die negative Ableitung nach y. Und die Z-Komponente, die negative Ableitung nach Z. Die Kraft ist der negative Gradient der potenziellen Energie. Jede Kraft, zu der man so eine potenzielle Energie definieren kann, nennt man eine konservative Kraft. Viele Kräfte in der Physik sind solche konservativen Kräfte, ein Gegenbeispiel sind Reibungskräfte. Bevor wir das vertiefen, eine Studiewortfrage zum Zusammenhang zwischen Kraft und potenzieller Energie. Hier ist die Studiowortfrage. Die Kurve zeigt eine konservative Kraft f von x. Das ist also hier die rote Kurve. Welche der Kurven a bis c zeigt ihre potenzielle Energie? Hier haben wir also einmal eine Parabel, hier haben wir eine ansteigende Gerade und hier haben wir eine Konstante. Was ist richtig? Richtig ist hier natürlich selbstverständlich die Parabelform. Denn Sie wissen ja inzwischen, dass die Kraft die negative Ortsableitung einer potenziellen Energie ist. Und die Ortsableitung hier einer Parabel nach x ist nichts anderes als eine Gerade. Und wir sehen also hier ist die Steigung an dieser Stelle hier negativ, hier ist die Steigung positiv. Das scheint hier dem zu widersprechen, aber vergessen Sie nicht. Also die Kraft ist die negative Ortsableitung der zugehörigen potenziellen Energie und deswegen passt es perfekt. zusammen. Konservative Kräfte disziplieren keine Energie, das heißt, sie wandeln keine mechanische Energie in thermische Energie um. Arbeit, die sie verrichten, hängt nur vom Start-und Endpunkt eines Weges und nicht vom Weg dazwischen ab. Das muss so sein, denn würde die Energie an einem Punkt davon abhängen, wie man dahin gelangt ist, dann könnte man dem Punkt selbst keinen eindeutigen Energiewert zuordnen. Wenn er diesen aber hat, ist zwangsläufig die Arbeit für einen geschlossenen Weg. das heißt von einem Punkt ausgehend wieder zu ihm zurück, Null. Stellen wir uns einen Hin-und Herweg vor mit identischem Start-und Zielpunkt, wie zum Beispiel, wenn man einen Stein kurz anhebt und dann am Ausgangsort wieder ablegt. Die Arbeit durch die Gewichtskraft bei diesem Vorgang ist Null. Sie bleibt auch Null, wenn der Stein zwischendurch hochgeworfen und wieder aufgefangen wird. Die Gewichtskraft ist eine konservative Kraft. Ganz anders verhält sich die Arbeit durch eine Reibungskraft. Sie ist grundsätzlich gegen den Weg gerichtet. und wird darum umso größer, je länger der Weg ist. Bei einer Hin-und Herbewegung ist sie doppelt so groß wie für die einfache Strecke und hebt sich nicht auf. Die Reibungskraft ist nicht konservativ. Jetzt wollen wir konkret potenzielle Energien für zwei besonders wichtige Kräfte, nämlich einmal die Federkraft und die Gewichtskraft, ausrechnen. Danach gucken wir auch noch auf die Gravitationskraft. Wir beginnen mit der Feder. Das Bild zeigt eine Feder, die links an einer Wand befestigt ist und auf der rechten Seite ziehen wir mit unserer Hand an der Feder. In dem oberen Bild soll die Feder komplett entspannt sein und im unteren Bild ist die Feder dann durch die Kraft unserer Hand gedehnt. Um die zugehörige potenzielle Energie ausrechnen zu können, brauchen wir natürlich erstmal einen Ausdruck für die innere Federkraft. Die Federkraft haben Sie schon in der Dynamik kennengelernt. Wir beschreiben sie durch... Federkraft ist gleich minus k mal x, das nennt man Hooke'sches Gesetz. Das x ist die Auslenkung der Feder, für x größer 0 eine Dehnung und bei x kleiner 0 eine Stauchung. Und k ist die Federkonstante. Die Kraft wirkt stets gegen die Auslenkung, daher das Minuszeichen. Mit dieser inneren Kraft zieht die Feder im unteren Fall an unsere Hand. Am Anfang sei die Feder nicht gedehnt, und wir legen den Nullpunkt unserer Koordinate ans Ende der entspannten Feder. Die positive Koordinate x'zeigt jetzt nach rechts. Um die Koordinate von der Auslenkung x unterscheiden zu können, nennen wir die Koordinate hilfsweise x'. Wenn wir die Feder um eine Strecke x auslenken, so ist dann die Kraft durch die Feder minus k mal x. Jetzt setzen wir diesen Ausdruck in die Definition der potenziellen Energie ein. Der Anfangspunkt ist x'gleich 0, der Endpunkt ist x'gleich x. Das Integral ergibt 1,5 kx². Die Minuszeichen heben sich auf. Damit haben wir auch schon den Ausdruck für die potenzielle Energie einer Feder gefunden. Diese potenzielle Energie können wir auch Spannenergie nennen. Die Spannenergie einer Feder ist genau das gleiche wie ihre potenzielle Energie. Völlig analog können wir das jetzt für die Gewichtskraft machen. Hier betrachten wir einen kleinen Klotz, der an einem Faden hängt und den wir dann mit unserer Hand anheben. Wir definieren das zusammengesetzte System, das Klotz und Erde und damit auch die Gewichtskraft enthält, sonst gäbe es ja keine potenzielle Energie. Die innere Kraft ist die Gewichtskraft, die die Erde auf unseren Klotz erzeugt. Unsere Koordinate sei wieder x', die positive Richtung zeigt nach oben, die Position des Schwerpunktes des Klotzes am Boden sei der Nullpunkt und die Endposition des Schwerpunktes nach dem Anheben sei h. Unsere innere Kraft fg zeigt immer nach unten und ist dementsprechend negativ, also minus m mal g. Die äußere Kraft der Hand wäre m mal g. Weil wir eine potenzielle Energie ausrechnen, müssen wir die negative innere Kraft wählen, Und unser Startpunkt ist wieder x'gleich 0 und wir heben bis auf die Höhe x'gleich h, unseren Endpunkt. Wieder heben sich die Minuszeichen im Integral weg und das Integral ergibt m mal g mal h. Das ist die potenzielle Energie der Gewichtskraft. Was man hier besonders schön sieht, ist, dass wir den Nullpunkt frei wählen können. Wo wir x'gleich 0 wählen, ist uns freigestellt. In jedem Fall wächst die potenzielle Energie beim Anheben um den Wert. m mal g mal h. Welche Koordinate oder Energiewert wir dem Startpunkt zuordnen, ist dafür egal. Man hätte den Nullpunkt genauso gut an die Spitze der Koordinatenachse hier legen können, dann hätten sich zwar negative potenzielle Energien ergeben, etwas völlig normales übrigens, doch der Zuwachs um m mal g mal h beim Anheben ergebe sich ebenso. Die Differenz bleibt nämlich gleich. Die potentielle Energie einer Feder und die potentielle Energie der Gewichtskraft sind Ausdrücke für potentielle Energien, die man sich merken sollte. Als nächstes wollen wir uns die potentielle Energie der ortsabhängigen Gravitationskraft anschauen. Wir machen das fast so wie vorher, doch jetzt werden wir die potentielle Energie mittel Hilfe der äußeren Kraft ausrechnen. Wir wissen, dass die potentielle Energie entweder das negative Wegintegral der inneren Kraft oder aber eben auch, das positive wegintegral der äußeren kraft ist sofern deren arbeit gegen eine innere konservative kraft erfolgt für die gravitationskraft ist es übersichtlicher mit der äußeren kraft zu arbeiten weil man da nicht so leicht vorzeichenfehler macht wir analysieren folgende situation raumschiff voyager zieht mit hilfe eines traktorstrahls diese grüne linie ein shuttle von einem planeten weg Das System besteht aus Planet und Shuttle mit ihrer Gravitationskraft. Die innere Kraft ist die Gravitationskraft, die der Planet hier auf das Shuttle ausübt. Die äußere Kraft ist die, mit der die Voyager das Shuttle vom Planeten wegzieht. Das ist als Skizze dargestellt. Wir haben unseren Planeten mit der Masse Groß-m, das Shuttle mit der Masse Klein-m und die Systemgrenze ist blau gestrichelt. Der Anfangsabstand ist Ri, i wieder für Initial, der Endabstand ist Rf, f. wieder für Feine. Unsere äußere Kraft zieht über diese Strecke S hier in grün das Shuttle nach rechts. Das ist die positive Richtung der Koordinate R. Die Arbeit, die die Voyager über die Zugkraft des Traktorstrahls hineinsteckt, ist der Zuwachs an potenzieller Energie, die das System aus Shuttle und Planet bekommt. Damit wir bei solchen Dingen keine Vorzeichenfehler machen, sollten wir immer unseren gesunden Menschenverstand einschalten. Ein Vorgang, der nicht freiwillig erfolgen würde, sondern eine äußere Kraft erfordert, der vergrößert grundsätzlich die potenzielle Energie. Hier wird sich das Shuttle nicht freiwillig vom Planeten wegbewegen. Freiwillig würde es auf den Planeten stürzen. Die mathematische Berechnung, die dazu gehört, ist jetzt weniger kompliziert. Die Änderung der potenziellen Energie entspricht der Arbeit, die durch die äußere Kraft hineingesteckt wird. Wir integrieren die Arbeit der äußeren Zugkraft vom Anfangsort Ri bis zum Endort Rf. Die Kraft ist parallel zum Weg und beide zeigen in die positive Richtung. Dementsprechend haben wir hier nur positive Vorzeichen. Hätten wir die innere Kraft gewählt, die Gravitationskraft, die ja in die entgegengesetzte Richtung zeigt, dann wäre bei der Kraft ein Minus aufgetaucht. Dann hätte man aber auch vor das Integral ein Minuszeichen setzen müssen. Die beiden Minusse hätten sich wieder aufgehoben und das Ergebnis wäre das gleiche. Das Integral von 1 durch r² ergibt minus 1 durch r und Einsetzen der Grenzen liefert diese Differenz. Ein Vergleich der Summanden links und rechts zeigt, dass offensichtlich die potenzielle Energie im beliebigen Abstand r durch minus g mal klein m mal groß m durch r gegeben ist. Wir erhalten negative Werte der potenziellen Energie und ihr Nullpunkt liegt im unendlichen Abstand r. Mit zunehmendem Abstand r wächst die potenzielle Energie, während ihr Betrag abnimmt. Das ist etwas gewöhnungsbedürftig, jedoch in der Physik üblich. Auch beim elektrischen Potenzial werden wir das wiederfinden. Erinnern Sie sich noch dunkel an die Kepplaschengesetze? Als wir das durchgenommen haben, da habe ich Ihnen erzählt, geschlossene Bahnkurven, das heißt elliptische Bahnen für Planeten, kommen genau dann vor, wenn die Gesamtenergie des Planeten negativ ist. Jetzt können Sie verstehen, wie eine negative Gesamtenergie entsteht, nämlich wenn die stets positive kinetische Energie die negative potenzielle Energie nicht übersteigt. Das ergibt gebundene Zustände. Der Planet ist dann zu langsam, um seiner Sonne zu entfliehen. Dazu noch mal ein Beispiel. In dem Bild auf der linken Seite oben hier sehen wir einmal die Darstellung der potenziellen Energie der Gravitationskraft. Das ist also hier diese blaue Kurve. Und wir sehen also hier haben wir die Energieachse und hier ist der Nullpunkt. Das heißt, die Kurve verläuft vollständig im negativen Bereich und erst für R gegen Unendlich wird sie Null. Wenn wir uns jetzt zum Beispiel vorstellen, dass wir hier einen Planeten haben, den schieben wir immer weiter weg. Dann hätte er also in unendlichem Abstand die potenzielle Energie 0. Wenn wir ihn näher heranrücken, dann sehen wir hier, also dann müssen wir jetzt die horizontale Verlängerung hier bilden, bis auf die Energieachse, dann sehen wir, hat er eine negative potenzielle Energie. Und wenn wir ihn noch näher heranrücken, dann sehen wir, hat er eine noch negativere potenzielle Energie. So, und... Nehmen wir mal diesen hier, diesen Planeten. Also wenn wir den jetzt von hier dem Gestirn trennen wollen würden, dann müssten wir ihm also wieder die Verlängerung hier genau diese potenzielle Energie in Form von kinetischer Energie zuführen. Und dann könnte er entkommen. Die Wahl des Nullpunktes ist im Prinzip frei. Wir können also im Grunde diese Kurve hoch und runter schieben. Und wenn wir diese Kurve jetzt einmal so weit hoch schieben, dass jetzt der Nullpunkt der Energie genau auf der Erdoberfläche ist, stellen wir uns also jetzt vor, dies hier sei die Erde, dann sind wir dabei, was wir bei der Gewichtskraft machen. Bei der Gewichtskraft nehmen wir nämlich den Nullpunkt auf der Erdoberfläche an und nähern dann diese gekrümmte Kurve, die ja tatsächlich eigentlich gekrümmt ist, durch eine Gerade. Das ist das, was hinter der Gewichtskraft steckt. Also wir sagen, die ist hier. Da nimmt die potenzielle Energie linear zu und das ergibt dann eben natürlich eine konstante Kraft. Wir können uns auch noch mal ein Zahlenbeispiel anschauen. Nehmen wir mal die Internationale Raumstation ISS. Die befindet sich also in einer Höhe von 400 Kilometer über der Erdoberfläche. Sie hat eine Masse von 450 Tonnen und sie hat auf ihrer Umlaufbahn eine Geschwindigkeit von 7.660 Meter pro Sekunde. Das können Sie inzwischen ja alles selber schon ausrechnen. Das entspricht einer kinetischen Energie, die sie aufgrund ihrer Geschwindigkeit hat, 1,5 mV² von 13,2 Terajoule. Und das entspricht einer Änderung der potenziellen Energie, dadurch, dass wir sie ja von der Erdoberfläche auf diese Höhe hier bringen mussten, von 1,66 Terajoule. Wenn wir also das hier zusammenfassen, dann haben wir hier rund 15 Terajoule. Und das ist immerhin schon eine ganz schöne Energiemenge, die das erfordert hat, diese Raumstation da hochzubringen. Wir wollen bei dem Stichwort kinetische Energie hier bleiben und wollen uns jetzt nochmal anschauen, wie eigentlich diese kinetische Energie entsteht und was kinetische Energie mit Arbeit zu tun hat. Das ist also hier jetzt mal gezeigt. Gucken wir erstmal auf die rechte Seite. Hier haben wir jetzt... Ein Auto, das beschleunigt. Wir gehen mal davon aus, dass auf dieses Auto eine Kraft wirkt. Diese Kraft muss überhaupt nicht konstant sein. Entscheidend ist natürlich nur, dass es eine äußere Kraft ist. Und diese Kraft wirkt jetzt entlang eines Weges S. Wir definieren hier einfach den Nullpunkt und dann die Länge des Weges nennen wir hier S. Kraft und Weg zeigen die gleiche Richtung in diesem Fall. Deswegen können wir hier jetzt einfach skalar rechnen. Die äußere Kraft ändert ja den Impuls des Autos gemäß dp nach dt. Wir müssen überhaupt gar keine näheren Annahmen darüber machen, wie diese Kraft aussieht und ob die vom Ort oder sonst was abhängig ist. Das gilt ganz allgemein. Die Arbeit, die jetzt durch diese Kraft auf diesem Weg S hier verrichtet wird, ist natürlich Kraft mal Weg, also F dS. Und jetzt müssen wir natürlich von 0 bis S integrieren. Und der Trick ist jetzt, dass wir unsere Kraft erstmal durch dP nach dT ersetzen. Und jetzt können wir ein paar kleinere Umformungen machen. Das erste, was wir machen, ist, dass wir für unsere Impulsänderung, Sie wissen ja, der Impuls ist Masse mal Geschwindigkeit, m mal V. Und wir gehen davon aus, dass die Masse des Autos hier konstant bleibt. Dann können wir also für die P MDV schreiben. So, nun steht hier MDV nach dT mal dS. Und jetzt können wir einfach das dS und das dV vertauschen. Und dann sehen wir, haben wir MDS nach dT dV. Und dS nach dT ist aber ja nichts anderes als die Geschwindigkeit v. So, wir können also jetzt hier quasi... Das ds substituieren durch dv, das wäre das, was dahinter steckt. Das bedeutet jetzt aber auch, dass wir eben nicht mehr über ds integrieren, sondern über die Geschwindigkeit v. Das heißt, wir müssen jetzt auch die Grenzen ersetzen. Also aus 0 und s wird jetzt v von 0, also wieder v0 und v von s. Wenn wir dieses Integral hier jetzt lösen, also es ist dann ein Integral über v, das ist sehr einfach zu lösen. Das ergibt nämlich 1,5 mv². Und wieder die Grenzen eingesetzt, dann haben wir 1,5 mv² minus 1,5 mv0². Und v0 ist dann die Geschwindigkeit, die das Auto hier an der Stelle s gleich 0 hat. Und Sie sehen, das ist also hier der Ausdruck, den Sie schon als kinetische Energie kennen. Das ist also die kinetische Energie am Ort s und abtüglich der kinetischen Energie am Ort 0. Die kinetische Energie ist also nichts anderes als die Arbeit, die eine Kraft in ein System hineinsteckt, wenn sie den Impuls entlang des Weges ändert. Also das ist die kinetische Energie. Also damit haben wir auch die kinetische Energie hier jetzt nachvollziehen können. Und nun haben wir die beiden wichtigsten Energieformen der Mechanik, nämlich die kinetische und die potenzielle Energie. Und bevor wir nun an die Anwendung... Nach der Energieerhaltung gehen, wollen wir uns noch mal ganz kurz einen kleinen Eindruck darüber verschaffen, was und wie groß eigentlich bestimmte Energiewerte sind. Die Einheit der Energie ist das Joule, sprich also Joule. Und wir wollen uns kurz einmal fragen, wie viel Energie ist eigentlich ein Joule? Dazu nehmen wir etwas ganz Wundervolles, nämlich eine Tafel Schokolade. Ein Joule ist genau die kinetische Energie, die eine 100 Gramm Tafel Schokolade hat, wenn sie sich mit V gleich 4,4 Meter pro Sekunde bewegt. Das ist doch mal was. Ein Joule ist aber genauso gut die potenzielle Energie, die eine 100 Gramm Tafel Schokolade hat, wenn wir sie genau auf einen Meter Höhe anheben. Die chemische Energie, die in so einer Tafel Schokolade drin steckt, ja, das sieht schon ein bisschen anders aus. Dazu müssen wir eine 100 Gramm Tafel Schokolade in 2,2 Millionen Stücke teilen und ein Stück davon. Dann haben wir ein Joule. Sie sehen also, chemische Energie ist ein ganzes Eckchen mehr drin als an diesen mechanischen Energien. Noch krasser wird es, wenn wir auf die Ruheenergie schauen. Also die Ruheenergie ist die Energie, die nach dem einsteinischen Zusammenhang E gleich mc² in Masse steckt. Da müssen wir nämlich eine 100 Gramm Tafel Schokolade in 9 mal 10 hoch 15 Stücke teilen und davon ein Stück. Dieses winzige Stück, das müssen wir dann in Energie umwandeln. Also die Ruheenergie ist eine gigantische Energiemenge, die in der Masse drin steckt. Und 8,99 Petajoule würden wir bekommen, wenn wir unsere 100 Gramm Tafel Schokolade vollständig in Energie umwandeln würden nach E gleich mc². Als Vergleich dazu, die Hiroshima-Bombe hatte eine Energie von 5,5 mal 10 hoch 13 Joule, also zwei Größenordnungen kleiner und entsprach der Umwandlung von 0,6 Gramm Materie in Energie. So, jetzt haben wir so ein ganz kleines Gefühl dafür bekommen, was eigentlich ein Joule ist. Also man kann gar nicht unbedingt sagen, ein Joule ist jetzt eine winzige Energiemenge. Das ist gar nicht so. Aber verglichen mit irgendwelchen chemischen oder inneren Energien ist ein Joule eine sehr, sehr kleine Energiemenge. Was mechanische Energien angeht, gar nicht so unbedingt. Nun haben wir alles beieinander, was wir benötigen, um tatsächlich wirklich mal Energieerhaltung anzuwenden und Energiebetrachtungen an verschiedenen Systemen zu machen. Und dazu müssen wir erst einmal lernen, die Systeme zu unterscheiden und zwar in zwei verschiedene Varianten, entweder offene Systeme oder isolierte Systeme. Offene Systeme, das sind Systeme, bei denen sich die Energie ändern kann, weil an denen nämlich Arbeit verrichtet wird. Wir können das so dadurch kennzeichnen, dass wir diese Systemgrenze gestrichelt zeichnen. Das bedeutet, sie ist durchlässig. Also in offenen Systemen kann sich der Impuls ändern und in offenen Systemen kann sich die Energie ändern. Und offene Systeme sind also grundsätzlich Systeme, auf die äußere Nettokräfte wirken. Im Gegensatz dazu... können wir auch isolierte Systeme betrachten. Da geht nichts rein und nichts raus. Da kann sich die Energie nicht drin ändern. Und es kann sich auch der Impuls nicht drin ändern. Und auf diese Systeme wirken keine äußeren Nettokräfte. Also die Nettokraft auf diese Systeme ist null. Das Einzige, was in solchen Systemen passieren kann, ist, dass sich innen drin die Energie umverteilt. Also es kann sich zum Beispiel kinetische Energie in potenzielle Energie umwandeln oder umgekehrt. Natürlich... sind solche Umverteilungen auch in offenen Systemen möglich. Also auch da kann sich Energie umverteilen, aber zusätzlich kann eben Energie hinein oder Energie herauskommen. Das ist der Unterschied. Und natürlich gilt in beiden Fällen die Energieerhaltung. Gucken wir kurz auf das isolierte System. Da bleibt natürlich die Energie in diesem System konstant. Und jetzt betrachten wir einfach zwei verschiedene Zeitpunkte. Ein Zeitpunkt. Früher, einen Zeitpunkt später und dann ist die Energie zum Zeitpunkt T1 natürlich die gleiche wie zum Zeitpunkt T2. Das ist also der Energieerhaltungssatz an einem isolierten System. Bei einem offenen System kann sich jetzt natürlich die Energie ändern. Das heißt, die kann zu einem späteren Zeitpunkt T2 anders sein als zu einem früheren Zeitpunkt T1. Aber genau die Änderung, die wir hier haben, das muss dann gleich der zugeführten Arbeit oder abgeführten Arbeit W sein. Und das, was natürlich unserem System dann als Arbeit zugeführt wird, geht der entsprechenden Umgebung verloren. Das heißt, auch in diesem Fall bleibt natürlich die Energie insgesamt erhalten. Aber wir schauen ja nur auf den Energiegehalt unseres Systems. So, und der kann eben anwachsen oder abnehmen, je nachdem, ob die Arbeit größer 0 oder kleiner 0 ist. Und für offene Systeme lautet der Energiesatz eben W ist gleich E von T2 minus E von T1 oder einfach lapidar gesagt, die Energieänderung im System ist gleich der an dem System verrichteten Arbeit. Das sind die beiden Varianten von Energiesätzen, die wir hier verwenden und im Allgemeinen ist es immer so, dass die Energieerhaltung für ein isoliertes System natürlich leichter ist, weil man sich nicht mit der Arbeit hier rumschlagen muss. Man kann das in der Regel sich aussuchen, ob man mit einem offenen System oder mit einem isolierten System rechnet. Aber man muss eben einfach den Unterschied kennen, den Unterschied der Energiesätze. Und man muss so etwas ganz bewusst machen. Und man muss wissen, was man tut. Und genau darum geht es, dass Sie hier also lernen, das bewusst zu wählen. Der erste Schritt vor Anwendung einer Energiebilanz muss eben immer die genaue Definition des freigeschnittenen Systems sein. Also was wähle ich eigentlich als mein System und betrachte ich es als ein offenes System oder betrachte ich es als ein isoliertes System? Um das zu verstehen und zu vertiefen, gucken wir jetzt also verschiedene Beispiele an. Wir beginnen mit einem einfachen Fadenpendel. Wir werden dieses Pendel als isoliertes System betrachten. Das ist also hier durch die durchgezogene Systemgrenze angedeutet. In unser System ist somit alles eingeschlossen, was hier gezeichnet ist. Das heißt, wir haben die Erde zusammen mit dem Gewichtskraftfeld der Erde. Wir haben hier unsere Pendelmasse, wir haben den Faden, wir haben die Aufhängung. Also im Grunde ist alles hier mit drin. Wir wählen als unsere Koordinate einmal die y-Koordinate nach oben und können hier jetzt mit Hilfe der y-Koordinate die Höhenänderung unseres Pendelkörpers beschreiben. Wenn das Pendel hier ausgelenkt ist und wir es dann loslassen, bewegt es sich ja hier so auf diesem Kreisbogen dann nach unten, wird hier weiterlaufen und hier wieder nach oben gehen. Wenn es hier anfangs um einen Winkel phi ausgelenkt ist, Dann können wir die Höhe h, die ist hier gegenüber dieser tiefsten Lage, die wir einfach mal y gleich 0 wählen. Also hier haben wir unseren Nullpunkt der Höhenachse gewählt. Also wir können diese Höhe dann einfach ausrechnen, denn wenn der Faden hier die Länge r hat und wir hier den Winkel phi haben, dann ist die Länge dieser Strecke hier bis hier r mal Cosinus phi. So und dementsprechend ist unsere Höhe h. Über dem Boden einfach R minus R mal Cosinus Phi. Das ist also genau diese Strecke hier. Wenn wir das System so wie hier gewählt haben, ist natürlich die Gewichtskraft eine innere Kraft. Und das bedeutet, dass die Gewichtskraft hier keine Arbeit verrichten kann. Und weil die Gewichtskraft hier eine innere Kraft ist, haben wir aber gleichzeitig eine potenzielle Energie durch die Gewichtskraft. Das ist ja immer ein Ausschluss. Also entweder ist die Gewichtskraft eine äußere Kraft, dann arbeitet sie, oder sie ist eine innere Kraft und dann erzeugt sie eine potenzielle Energie. Wir haben hier also den Fall, dass die Gewichtskraft eine potenzielle Energie erzeugt. Für unser isoliertes System gilt jetzt der Energieerhaltungssatz für isolierte Systeme, das heißt E von T1 ist gleich E von T2. T1 wählen wir den Zeitpunkt, wo die Pendelmasse hier oben ist. Und T2 wählen wir den Zeitpunkt, wenn die Pendelmasse gerade hier unten ist. Zu diesem Zeitpunkt direkt am Umkehrpunkt ist Ihre Geschwindigkeit V ja gerade gleich 0. Wenn Sie also von dieser Bewegung in diese Bewegung hier, dann muss ja zwischendurch ganz kurz V gleich 0 haben. Und das ist genau hier am Umkehrpunkt. Deswegen haben wir für T1 nur potenzielle Energie, Mgh. Und andererseits, weil wir den Nullpunkt ja so gewählt haben für T2, wenn sie hier unten ist, nur kinetische Energie, 1,5 mV², genauer 1,5 mVf², f wieder für Feine, und dafür keine potenzielle Energie. Und so würde also die Energiebilanz dann für dieses Pendel hier lauten. Und das könnten wir zum Beispiel nach V auflösen und daraus dann die Geschwindigkeit des Pendels an dieser Stelle hier bestimmen. wenn wir es aus einer Höhe h hier losgelassen haben. So wäre also die Betrachtung der Energien und die Energiebilanz für das isolierte System. Wir können aber dieses Pendel ganz genauso als ein offenes System betrachten. Und das ist jetzt hier auf der rechten Seite mal durchgeführt. Nun haben wir also ausschließlich unseren Pendelkörper hier in unser System einbezogen. Und dadurch wird natürlich die Gewichtskraft eine äußere Kraft. Alles übrige und sämtliche übrigen Definitionen sind gleich. Weil die Gewichtskraft jetzt eine äußere Kraft ist, arbeitet sie natürlich hier jetzt an unserer Pendelmasse und erzeugt stattdessen keine potenzielle Energie. Wir können jetzt natürlich die Arbeit durch die Gewichtskraft hier bestimmen. Und die Arbeit ist ja davon abhängig, welche Komponente der Gewichtskraft entlang des Weges wirkt. Die Gewichtskraft zeigt ja senkrecht nach unten und genau exakt an dieser Stelle wäre sie ja senkrecht zum Weg und würde überhaupt keine Arbeit verrichten. Aber von dort bis dort hat sie ja eine Komponente in Wegrichtung und diese Komponente in Wegrichtung wird zwar immer kleiner und verändert sich, aber sie ist natürlich da und deswegen verrichtet die Gewichtskraft hier auf diesem Weg Arbeit. Jetzt ist die Frage, wie kriegen wir diese Arbeit raus, weil die ist ja ortsveränderlich, die ändert sich hier die ganze Zeit. Und da hilft uns jetzt natürlich der Umstand, dass die Gewichtskraft eine konservative Kraft ist. Das heißt, anstatt dass wir die Arbeit hier jetzt explizit ausrechnen müssen über das Wegintegral, können wir die Arbeit einfach über die Änderung der potenziellen Energie bestimmen. Statt jetzt hier tatsächlich dieses Wegintegral auszuführen, was wir auch machen könnten, brauchen wir das aber gar nicht. Denn... Die Arbeit, die die Gewichtskraft auf diesem Weg hier verrichtet, das ist genau gleich der Änderung der potenziellen Energie, die wir von der Höhe h auf die Höhe 0 haben. Und dementsprechend ist die Arbeit einfach mgh. Jetzt müssen wir wieder die Energien zum Zeitpunkt T2 und zum Zeitpunkt T1 betrachten. Bei T2 ist die Pendelmasse ja wieder hier unten, bei T1 war sie da oben. Und wir haben jetzt wieder zum Zeitpunkt T2 hat sie nur noch kinetische Energie und zum Zeitpunkt T1 hat sie hier überhaupt gar keine Energie. Das ist jetzt der wesentliche Unterschied. Also weil wir die potenzielle Energie der Gewichtskraft nicht mitnehmen dürfen. Deswegen hat sie hier zum Zeitpunkt T1 überhaupt gar keine Energie. Das heißt, für den Fall des offenen Systems lautet also die korrekte Energiebilanzarbeit, MGH, ist gleich der Änderung der kinetischen Energie, ist gleich der Änderung der Energie, 1,5 MVF² minus 0. Wir sehen, im Endeffekt ergibt sich selbstverständlich die gleiche Gleichung. Also wir bekommen immer das gleiche Ergebnis, ganz egal, ob wir es so oder so betrachten. Aber der Hintergrund, was wir da hineingesteckt haben, der ist in beiden Fällen unterschiedlich. Und dieser Unterschied, der Ihnen vielleicht irgendwie völlig unwesentlich vorkommt, weil hier ja immer das Gleiche rauskommt, der ist aber ganz entscheidend für die korrekte Betrachtung. Und dass man nicht versehentlich zum Beispiel sowohl die Arbeit als auch die potenzielle Energie hier in diese Energiebilanz mit hineinschreibt. Das ist nämlich der häufigste und der schlimmste Fehler, den man an dieser Stelle macht. Und daran können Sie vielleicht auch jetzt erkennen, warum ich immer empfehle, wenn es irgend möglich ist, wählen Sie ein isoliertes System. Denn in einem isolierten System kommt nie Arbeit vor. Da müssen Sie sich nie mit der Arbeit irgendwie abmühen. Und Sie können nicht fälschlicherweise eine potenzielle Energie reinbringen, die da nicht rein gehört. Das passiert also nicht in einem isolierten System. Das kann nur dann passieren, wenn Sie ein offenes System betrachten. Und wenn ich Ihnen nicht vorgebe, betrachten Sie es isoliert oder offen, sondern Sie es sich selber aussuchen können, dann wählen Sie immer ein isoliertes System. Das ist meine Empfehlung. So, wenn wir das Ganze nochmal kurz aus physikalischer Energiebilanzsicht betrachten, dann können wir das zum Beispiel auf der linken Seite so beschreiben, dass wenn so ein Pendel hier hin und her schwingt, Dann haben wir eine ständige Umwandlung von potenzieller Energie, also reiner potenzieller Energie, in reine kinetische Energie und hier wieder reine potenzielle Energie und hier wieder reine kinetische Energie und so weiter. Also es ist eine permanente Umwandlung im isolierten System zwischen potenzieller und kinetischer Energie. Gucken wir uns das hier dagegen als offenes System an. Dann haben wir hier also am Anfang überhaupt gar keine Energie und die Gewichtskraft arbeitet jetzt also an unserem Pendel, beschleunigt es und fügt ihm dabei kinetische Energie zu. Und wenn das Pendel jetzt also weiter schwingt, dann bremst jetzt ja die Gewichtskraft, das heißt, die wirkt jetzt gegen die Bewegungsrichtung, verrichtet also wieder Arbeit und raubt diese kinetische Energie wieder. Ab diesem Moment beschleunigt die Gewichtskraft dann in diese Richtung, das heißt, sie... bringt wieder per Arbeit kinetische Energie hinein. Hier ist die kinetische Energie dann maximal und ab da bewirkt die Arbeit wieder einen Energieverlust und das heißt bis hier oben hat sie dann wieder die gesamte kinetische Energie geraubt. Hier haben wir also in dieser Sichtweise hier das Wechselspiel aus Arbeit, die Energie hinzufügt und dann die Energie wieder wegnimmt und dann Energie wieder hinzufügt und dann die Energie wieder wegnimmt. Das sind also die beiden verschiedenen Sichtweisen hier bei so einem Pendel. In der Vorlesung demonstriere ich Ihnen normalerweise die Energieerhaltung am Pendel, indem ich einen Pendel mit einer 5 Kilo Stahlkugel nehme, mich gegen eine Wand stelle, die Stahlkugel gegen meine Stirn halte und dann loslasse. Die Energieerhaltung sagt, dass es beim Zurückkommen auch nicht gegen meine Stirn krachen kann, sondern kurz davor umkehren muss. Hier habe ich jetzt ersatzweise mal ein rohes Ei genommen. Unser Ei bleibt unverletzt, weil die Energieerhaltung eben sagt, dass das Pendel auf der Seite des Eis nie weiter aufsteigen kann, als auf die Höhe, wo wir es losgelassen haben. In der Abnahme der Höhe, die hier natürlich erkennbar ist, zeigt, dass in unserem Fall durch Reibung Energie verloren geht. Diesen Energieverlust durch Reibung. Den nennt man Dissipation. Die Energie wird eben hier in Wärme umgewandelt. Und das lässt sich im realen Experiment halt nicht vermeiden, sondern nur minimieren. Dazu habe ich Ihnen jetzt zwei StudiVote-Fragen mitgebracht. Fangen wir mal mit der ersten Frage an. Der Körper eines Fadenpendels der Länge r wird von der Höhe h aus der Ruhe losgelassen. Sein Tempo vp bei h gleich 0, das heißt also hier an dieser Stelle. Und hier haben Sie die verschiedenen Antwortmöglichkeiten. Und was ist richtig? Richtig ist, es ist genauso groß, als wenn das hier diese Strecke frei gefallen werde. Denn in beiden Fällen, ob nun der freie Fall senkrecht nach unten oder hier beim Pendel, wird eben die hier vorhandene potenzielle Energie vollständig in kinetische Energie umgewandelt. Und aus diesem Grund sind die Geschwindigkeiten in beiden Fällen gleich. Gucken wir uns gleich die nächste Frage an. Ein Fadenwendel wird von der Höhe h aus der Ruhe losgelassen. Der Faden wird durch eine Stange gehemmt. Welche Höhe wird das Pendel hinter der Stange in etwa erreichen? Hier wird es also losgelassen und hier ist die Stange. Und die Frage ist, welche Höhe ist hinter dieser Stange erreicht? Was ist richtig? Richtig ist die Antwort c. Es wird nämlich genau... die gleiche Höhe erreichen, die es vorher hatte, weil hier wird also die potenzielle Energie vollständig in kinetische Energie umgewandelt und natürlich wird auch auf dieser Seite wieder die kinetische Energie vollständig in potenzielle Energie umgewandelt und dementsprechend muss es natürlich genau die gleiche Höhe h erreichen. Dabei ist das völlig egal, auf welchem Weg es das tut, also es muss dazu gar nicht auf diesem Kreisbogen laufen, sondern hier wird es dann natürlich auf einem anderen Bogen laufen. Dazu habe ich Ihnen ein kleines Experiment mitgebracht. Die horizontale Stange soll Ihnen helfen, die Höhen links und rechts zu vergleichen. Und am Ende werden Sie sehen, warum ich diesmal das Experiment unter erschwerten Bedingungen durchführen musste. Aus welcher Höhe muss man die Kugel eigentlich starten, damit sie sich überschlägt? Oder anders, aus welcher Höhe muss man überhaupt ein Objekt starten, damit es dann auf einer Kreisbahn läuft oder ein Looping durchläuft? Das wollen wir uns in unserem nächsten Beispiel anschauen. Das letzte Beispiel, was wir uns heute zum Thema Energieerhaltung anschauen wollen, ist hier so eine Situation. Also hier ist eine Achterbahn, die ein Looping fährt. Wir haben das hier einfacher nachgebildet und stellen uns vor, dass hier ist eine Schiene und auf der lassen wir jetzt einen Ball herunterkullern. Und der Ball, der soll also hier durch diesen Looping kullern. Und die Frage, die wir beantworten wollen, ist, wann wird der Ball den Looping schaffen? Aus welcher Höhe, y a, muss er starten? Auf unserer Schiene sind hier verschiedene Punkte markiert. Der Punkt a ist also hier, der Punkt b ist hier im tiefsten Punkt. Der Punkt C ist hier im höchsten Punkt des Loopings und dann haben wir noch einen beliebigen Punkt D irgendwo hinter dem Looping. Wir können erstmal wieder unsere Zeitpunkte so ein bisschen festlegen. Nun haben wir also mehr als nur zwei Zeitpunkte. Der Zeitpunkt T1 sei, wenn der Ball am Punkt A ist. Bei T2 sei er bei B. Zum Zeitpunkt T3 bei C. Und zum Zeitpunkt T4 bei D. Wir können also jetzt die entsprechenden Energien... in unserer Energiebilanz entweder über die Zeiten oder über die Punkte durchnummerieren. Und wir nummerieren jetzt mal nicht über die Zeiten, sondern über die Punkte. Wir gehen also davon aus, dass das Ganze hier reibungsfrei ist und dass die Energien in diesem Fall erhalten bleiben. Dann haben wir also zum Zeitpunkt A, wenn wir unseren Ball aus der Ruhe loslassen, nur eine potenzielle Energie, Mgya. Ya ist also die Höhe y, in der wir den Ball dann loslassen. Zum Zeitpunkt T2 am Punkt B haben wir dann Wenn wir den Nullpunkt hier wie gewählt am Boden wählen, haben wir dann nur kinetische Energie, das heißt 1,5 mVb² und keine potenzielle Energie mehr. Am Zeitpunkt T3, also in Punkt C, haben wir dann sowohl kinetische Energie, 1,5 mVc² plus m mal g mal 2r, denn die Höhe h ist hier ja genau zweimal der Radius des Loopings. Und an... einem beliebigen Punkt D zum Zeitpunkt T4 haben wir dann auch wieder sowohl kinetische Energie 1,5 mVd² als auch potenzielle Energie mGyd. Die Energieerhaltung sagt uns jetzt in dem Fall, den wir hier gewählt haben, Sie erkennen jetzt schon, denke ich mal, an dem Rahmen, wir betrachten das Ganze also als isoliertes System, Arbeit kommt hier also überhaupt nicht vor, das heißt, Die Energien müssen zu allen Zeitpunkten und damit an allen Punkten gleich sein. Es muss also Ea gleich Eb gleich Ec gleich Ed sein. Das ist also die Energiebilanz, die wir hier aufschreiben können. Und jetzt ist die Frage, wie wir dann unsere geforderte Höhe Ya herausbekommen. Und dazu müssen wir uns eine Bedingung für die Geschwindigkeit in Punkt C überlegen. Damit der Ball hier diesen Looping schafft, ist ja eine bestimmte Mindestgeschwindigkeit erforderlich. Die Mindestgeschwindigkeit muss zum einen dafür sorgen, dass er überhaupt auf diese Höhe hier kommt, aber er muss natürlich auch dafür sorgen, dass er hier eine solche Geschwindigkeit hat, dass ihm die Gewichtskraft hier nicht runterreißt. Er darf also hier ja die Bahn nicht verlassen und darf nicht plötzlich also irgendwie sowas hier machen, sondern er muss die ganze Zeit hier im Looping bleiben. Und damit er hier im Looping bleibt, muss natürlich an dieser Stelle im Punkt C die Gewichtskraft genau gleich der erforderlichen Radialkraft für die Krümmung dieser Kreisbahn hier sein. Und was sich daraus für eine Geschwindigkeit Vc ergibt, haben wir schon im Zusammenhang mit der Fluchtgeschwindigkeit ausgerechnet. Das ergibt nämlich, dass Vc hier mindestens Wurzel g mal r sein muss. Im Fall der Fluchtgeschwindigkeit hatten wir hier für R den Erdradius genommen. Hier müssen wir jetzt an der Stelle natürlich für R den Radius unseres Loopings ansetzen. Wir haben also eine Bedingung für die Geschwindigkeit vc. Und diese Bedingung für die Geschwindigkeit vc, die legt im Endeffekt jetzt also dann die Höhe ya fest, aus der wir den Ball starten müssen. Und das gucken wir uns jetzt hier unten in der Rechnung im Detail noch einmal kurz an. Also... Wir setzen aus unserer Energiebilanz, hier brauchen wir nur Ea gleich Ec, also die gesamte Energie hier, die kann sich nicht ändern. Und dann schreiben wir also für Ea MgYa und für Ec diesen Ausdruck hier oben, 1,5mVc² plus M mal G mal 2R. Aber wir setzen jetzt für Vc² das Quadrat hiervon ein und das ist einfach G mal R. Dementsprechend erhalten wir 1,5mG mal R. plus mg mal 2r und wenn wir sehen, dann ist das hier also, das mg können wir herauskürzen und es bleibt dann also nur noch über 1,5r plus 2r und das sind nichts anderes als 5,5r und das ist ya. Wir müssen den Ball also aus der Höhe ya starten, damit er hier also diesen Grouping durchläuft. Das ist die Mindestgeschwindigkeit, die er haben muss. Die Mindesthöhe, die er haben muss, wir müssen natürlich aus einer etwas größeren Höhe starten, wenn hier Reibung vorhanden wäre und dementsprechend also etwas Energieverlust ist bis er zu diesem Punkt C kommt. Damit möchte ich zum Thema Energieerhaltung an dieser Stelle erstmal schließen. Wir werden uns noch weitere Beispiele zur Energieerhaltung anschauen in weiteren Vorlesungen, aber das soll es für heute erstmal gewesen sein. Dazu können wir uns noch mal ein kleines Experiment mit unserer Kugel anschauen, denn diese Kugel benimmt sich im Prinzip ja genauso wie die Kugel auf dem Looping. Also wenn wir sie aus einer bestimmten Höhe starten, dann schafft sie einen Überschlag auf einer Kreisbahn. Ich habe also jetzt zuerst einmal die Höhe 2R abgemessen. Das zeigt die horizontale schwarze Stange. Und nun lasse ich die Kugel aus unterschiedlichen Höhen fallen. Zuerst wähle ich eine Höhe, die etwas kleiner als 2R ist und dann sieht man die Kugelschaft es nicht. Danach wähle ich eine Höhe, die ungefähr R ist und dann kommt sie zwar rüber, aber nicht auf einer Kreisbahn. Und am Ende wähle ich dann eine Höhe, die etwa R ist. 5,5 R entspricht und dann schafft sie einen wunderschönen Looping drumherum. Und zum Abschluss gibt es noch ein kleines Making-of mit den erschwerten Bedingungen für die Experimente dieser Vorlesung. Eine meiner Katzen fand also dieses Pendel so schön, dass sie kaum vom Herd runter zu kriegen war.

abgeschlossenen Systemen erklären und die Energiesätze für offene und isolierte Systeme angeben und an vielen verschiedenen Beispielen verdeutlichen. Aus der letzten Vorlesung wissen Sie, dass Energie nicht erzeugt, sondern nur weitergeleitet oder umgewandelt werden kann. Zur Weitergabe und zum Speichern von Energie benötigt man einen Träger und es gibt eine Vielzahl von Energieträgern, Energieformen und Energieumwandlungen. Zur Weitergabe von Energie, das heißt im Energietransfer zwischen zwei Systemen, haben wir zwei Prozesse kennengelernt, nämlich einmal die Arbeit, das ist die mechanische Art und Weise Energie mittels einer Kraft weiterzugeben, die Wärme, das ist die thermodynamische Variante Energie weiterzugeben.

Letztere bedeutet etwas zu erhitzen oder zu kühlen. Das werden wir am Semesterende vertiefen. Noch liegt unser Hauptaugenmerk auf der Arbeit, die wir schon in der Form DW ist gleich äußere Kraft mal DS kennengelernt haben.

Darin steht das mal für das vektorielle Skalarprodukt und wenn man diesen Ausdruck für die Arbeit beidseitig integriert, bekommt man die Arbeit durch Berechnung eines Wegintegrals. Wir haben bereits die potenzielle Energie als fundamentales physikalisches Konzept kennengelernt. Sie ist eine Art Spannenergie, die durch Arbeit in ein System hineingesteckt werden kann, wenn es innere Kräfte enthält, gegen die man es spannen bzw. aus einem Gleichgewicht herausbringen kann, in das es dann zurückstrebt.

Und damit werden wir jetzt zuallererst einmal weitermachen. Um die potenzielle Energie für verschiedene Kräfte bestimmen zu können, werden wir zuerst eine allgemeine Definition der potenziellen Energie herleiten und danach anwenden. Die potenzielle Energie ist die in einem System gespeicherte Energie, weil durch eine äußere Kraft, F außen, Arbeit gegen eine innere Kraft verrichtet wurde. Wir nehmen die Definition unserer Arbeit und verschieben in unserem System irgendetwas von I nach F durch eine äußere Kraft.

Zum Beispiel ziehen wir am Ende einer Feder oder heben einen Eimer hoch oder ähnliches. Darüber können wir jetzt die potenzielle Energie definieren. Die potenzielle Energie ändert sich durch diese Arbeit, die wir jetzt an unserem System verrichten, von einer möglicherweise am Anfang vorhandenen potenziellen Energie zu einer am Ende vorhandenen potenziellen Energie. Und die Differenz ist jetzt eben genau gleich der Arbeit, die wir durch die äußere Kraft erzeugt haben.

Damit es die potenzielle Energie gibt, muß aber eine innere kraft da sein gegen die wir mit unsern äußeren kraft arbeiten wir nehmen jetzt an daß unsre äußere kraft über den gesamten weg genau entgegengesetzt zu dieser inneren kraft gerichtet ist beide sind genau entgegengesetzt gleich das ist ganz wichtig denn damit gewährleisten wir daß sich keine kinetische energie ändert und das tempo bei i gleich dem tempo bei f ist oder unser objekt bei i und f ruht Tatsächlich sind die Geschwindigkeit unterwegs, auch der Weg der Verschiebung völlig egal. Nehmen wir an, anfangs beschleunigen wir das Objekt ab I, dann müssen wir es aber eben im gleichen Maß bis F wieder abbremsen. Das bedeutet, Abweichungen der äußeren Kraft von der inneren Kraft beim Beschleunigen und Bremsen müssen sich aufheben. Und genau das gewährleisten wir durch den Ansatz F außen gleich minus F innen.

Dadurch bleibt dann wirklich nur die Energieänderung über. die durch die Positionsänderung entstanden ist. Weil wir deswegen davon ausgehen, dass unsere äußere Kraft genau entgegengesetzt zu der inneren Kraft ist, können wir in der Gleichung F außen durch minus F innen ersetzen.

Wir ziehen das Minus vor das Integral und damit haben wir die physikalische Definition der potenziellen Energie hergeleitet. Sie hat die beachtenswerte Eigenschaft, dass sie nur als Differenz definiert ist. Darum ist der Nullpunkt frei wählbar. Der Vergleich dieser Definition mit der Definition der Arbeit ergibt als wesentlichen Unterschied.

Bei der potenziellen Energie steht vor dem Integral ein Minus und zwar aus dem einfachen Grund, weil hier eine innere Kraft im Integral steht. Und zwar eine innere Kraft, für die der Wert des Integrals unabhängig von dem Weg sein muss, auf den man von I nach F gelangt. So etwas nennt man eine konservative Kraft.

Wenn es eine passende innere konservative Kraft in einem System nicht gibt, dann gibt es auch keine potenzielle Energie in dem System. Dagegen ist die Arbeit grundsätzlich über die äußere Kraft und in der Regel ohne das Minuszeichen definiert, sodass ein positiver Wert des Integrals einen Energiezuwachs anzeigt. Die Kraft kann eine beliebige Kraft sein, sie muss nicht konservativ sein. Das ist der Unterschied zwischen Arbeit und potenzieller Energie. Natürlich können wir diesen integralen Zusammenhang für die Definition der potenziellen Energie auch umkehren.

Die Umkehrung der Integration ist die Ableitung. Nun haben wir es jedoch mit Vektoren zu tun und im Integral steht das vektorielle Skalarprodukt. Dann wird aus der eindimensionalen Ableitung die dreidimensionale Ableitung, also dxdydz, die man Gradient nennt und mit dem hier gezeigten Nappler-Operator symbolisiert. Er macht aus einer skalaren Funktion wie der potenziellen Energie eine vektorielle Funktion wie die zugehörige Kraft.

Die x-Komponente der Kraft ist die negative Ortsableitung der potenziellen Energie nach x, ihre y-Komponente die negative Ableitung nach y. Und die Z-Komponente, die negative Ableitung nach Z. Die Kraft ist der negative Gradient der potenziellen Energie.

Jede Kraft, zu der man so eine potenzielle Energie definieren kann, nennt man eine konservative Kraft. Viele Kräfte in der Physik sind solche konservativen Kräfte, ein Gegenbeispiel sind Reibungskräfte. Bevor wir das vertiefen, eine Studiewortfrage zum Zusammenhang zwischen Kraft und potenzieller Energie. Hier ist die Studiowortfrage. Die Kurve zeigt eine konservative Kraft f von x.

Das ist also hier die rote Kurve. Welche der Kurven a bis c zeigt ihre potenzielle Energie? Hier haben wir also einmal eine Parabel, hier haben wir eine ansteigende Gerade und hier haben wir eine Konstante. Was ist richtig? Richtig ist hier natürlich selbstverständlich die Parabelform.

Denn Sie wissen ja inzwischen, dass die Kraft die negative Ortsableitung einer potenziellen Energie ist. Und die Ortsableitung hier einer Parabel nach x ist nichts anderes als eine Gerade. Und wir sehen also hier ist die Steigung an dieser Stelle hier negativ, hier ist die Steigung positiv.

Das scheint hier dem zu widersprechen, aber vergessen Sie nicht. Also die Kraft ist die negative Ortsableitung der zugehörigen potenziellen Energie und deswegen passt es perfekt. zusammen.

Konservative Kräfte disziplieren keine Energie, das heißt, sie wandeln keine mechanische Energie in thermische Energie um. Arbeit, die sie verrichten, hängt nur vom Start-und Endpunkt eines Weges und nicht vom Weg dazwischen ab. Das muss so sein, denn würde die Energie an einem Punkt davon abhängen, wie man dahin gelangt ist, dann könnte man dem Punkt selbst keinen eindeutigen Energiewert zuordnen.

Wenn er diesen aber hat, ist zwangsläufig die Arbeit für einen geschlossenen Weg. das heißt von einem Punkt ausgehend wieder zu ihm zurück, Null. Stellen wir uns einen Hin-und Herweg vor mit identischem Start-und Zielpunkt, wie zum Beispiel, wenn man einen Stein kurz anhebt und dann am Ausgangsort wieder ablegt.

Die Arbeit durch die Gewichtskraft bei diesem Vorgang ist Null. Sie bleibt auch Null, wenn der Stein zwischendurch hochgeworfen und wieder aufgefangen wird. Die Gewichtskraft ist eine konservative Kraft. Ganz anders verhält sich die Arbeit durch eine Reibungskraft.

Sie ist grundsätzlich gegen den Weg gerichtet. und wird darum umso größer, je länger der Weg ist. Bei einer Hin-und Herbewegung ist sie doppelt so groß wie für die einfache Strecke und hebt sich nicht auf.

Die Reibungskraft ist nicht konservativ. Jetzt wollen wir konkret potenzielle Energien für zwei besonders wichtige Kräfte, nämlich einmal die Federkraft und die Gewichtskraft, ausrechnen. Danach gucken wir auch noch auf die Gravitationskraft.

Wir beginnen mit der Feder. Das Bild zeigt eine Feder, die links an einer Wand befestigt ist und auf der rechten Seite ziehen wir mit unserer Hand an der Feder. In dem oberen Bild soll die Feder komplett entspannt sein und im unteren Bild ist die Feder dann durch die Kraft unserer Hand gedehnt.

Um die zugehörige potenzielle Energie ausrechnen zu können, brauchen wir natürlich erstmal einen Ausdruck für die innere Federkraft. Die Federkraft haben Sie schon in der Dynamik kennengelernt. Wir beschreiben sie durch...

Federkraft ist gleich minus k mal x, das nennt man Hooke'sches Gesetz. Das x ist die Auslenkung der Feder, für x größer 0 eine Dehnung und bei x kleiner 0 eine Stauchung. Und k ist die Federkonstante. Die Kraft wirkt stets gegen die Auslenkung, daher das Minuszeichen.

Mit dieser inneren Kraft zieht die Feder im unteren Fall an unsere Hand. Am Anfang sei die Feder nicht gedehnt, und wir legen den Nullpunkt unserer Koordinate ans Ende der entspannten Feder. Die positive Koordinate x'zeigt jetzt nach rechts.

Um die Koordinate von der Auslenkung x unterscheiden zu können, nennen wir die Koordinate hilfsweise x'. Wenn wir die Feder um eine Strecke x auslenken, so ist dann die Kraft durch die Feder minus k mal x. Jetzt setzen wir diesen Ausdruck in die Definition der potenziellen Energie ein. Der Anfangspunkt ist x'gleich 0, der Endpunkt ist x'gleich x.

Das Integral ergibt 1,5 kx². Die Minuszeichen heben sich auf. Damit haben wir auch schon den Ausdruck für die potenzielle Energie einer Feder gefunden. Diese potenzielle Energie können wir auch Spannenergie nennen. Die Spannenergie einer Feder ist genau das gleiche wie ihre potenzielle Energie.

Völlig analog können wir das jetzt für die Gewichtskraft machen. Hier betrachten wir einen kleinen Klotz, der an einem Faden hängt und den wir dann mit unserer Hand anheben. Wir definieren das zusammengesetzte System, das Klotz und Erde und damit auch die Gewichtskraft enthält, sonst gäbe es ja keine potenzielle Energie.

Die innere Kraft ist die Gewichtskraft, die die Erde auf unseren Klotz erzeugt. Unsere Koordinate sei wieder x', die positive Richtung zeigt nach oben, die Position des Schwerpunktes des Klotzes am Boden sei der Nullpunkt und die Endposition des Schwerpunktes nach dem Anheben sei h. Unsere innere Kraft fg zeigt immer nach unten und ist dementsprechend negativ, also minus m mal g.

Die äußere Kraft der Hand wäre m mal g. Weil wir eine potenzielle Energie ausrechnen, müssen wir die negative innere Kraft wählen, Und unser Startpunkt ist wieder x'gleich 0 und wir heben bis auf die Höhe x'gleich h, unseren Endpunkt. Wieder heben sich die Minuszeichen im Integral weg und das Integral ergibt m mal g mal h.

Das ist die potenzielle Energie der Gewichtskraft. Was man hier besonders schön sieht, ist, dass wir den Nullpunkt frei wählen können. Wo wir x'gleich 0 wählen, ist uns freigestellt. In jedem Fall wächst die potenzielle Energie beim Anheben um den Wert.

m mal g mal h. Welche Koordinate oder Energiewert wir dem Startpunkt zuordnen, ist dafür egal. Man hätte den Nullpunkt genauso gut an die Spitze der Koordinatenachse hier legen können, dann hätten sich zwar negative potenzielle Energien ergeben, etwas völlig normales übrigens, doch der Zuwachs um m mal g mal h beim Anheben ergebe sich ebenso.

Die Differenz bleibt nämlich gleich. Die potentielle Energie einer Feder und die potentielle Energie der Gewichtskraft sind Ausdrücke für potentielle Energien, die man sich merken sollte. Als nächstes wollen wir uns die potentielle Energie der ortsabhängigen Gravitationskraft anschauen. Wir machen das fast so wie vorher, doch jetzt werden wir die potentielle Energie mittel Hilfe der äußeren Kraft ausrechnen.

Wir wissen, dass die potentielle Energie entweder das negative Wegintegral der inneren Kraft oder aber eben auch, das positive wegintegral der äußeren kraft ist sofern deren arbeit gegen eine innere konservative kraft erfolgt für die gravitationskraft ist es übersichtlicher mit der äußeren kraft zu arbeiten weil man da nicht so leicht vorzeichenfehler macht wir analysieren folgende situation raumschiff voyager zieht mit hilfe eines traktorstrahls diese grüne linie ein shuttle von einem planeten weg Das System besteht aus Planet und Shuttle mit ihrer Gravitationskraft. Die innere Kraft ist die Gravitationskraft, die der Planet hier auf das Shuttle ausübt. Die äußere Kraft ist die, mit der die Voyager das Shuttle vom Planeten wegzieht. Das ist als Skizze dargestellt. Wir haben unseren Planeten mit der Masse Groß-m, das Shuttle mit der Masse Klein-m und die Systemgrenze ist blau gestrichelt.

Der Anfangsabstand ist Ri, i wieder für Initial, der Endabstand ist Rf, f. wieder für Feine. Unsere äußere Kraft zieht über diese Strecke S hier in grün das Shuttle nach rechts.

Das ist die positive Richtung der Koordinate R. Die Arbeit, die die Voyager über die Zugkraft des Traktorstrahls hineinsteckt, ist der Zuwachs an potenzieller Energie, die das System aus Shuttle und Planet bekommt. Damit wir bei solchen Dingen keine Vorzeichenfehler machen, sollten wir immer unseren gesunden Menschenverstand einschalten. Ein Vorgang, der nicht freiwillig erfolgen würde, sondern eine äußere Kraft erfordert, der vergrößert grundsätzlich die potenzielle Energie. Hier wird sich das Shuttle nicht freiwillig vom Planeten wegbewegen. Freiwillig würde es auf den Planeten stürzen.

Die mathematische Berechnung, die dazu gehört, ist jetzt weniger kompliziert. Die Änderung der potenziellen Energie entspricht der Arbeit, die durch die äußere Kraft hineingesteckt wird. Wir integrieren die Arbeit der äußeren Zugkraft vom Anfangsort Ri bis zum Endort Rf. Die Kraft ist parallel zum Weg und beide zeigen in die positive Richtung. Dementsprechend haben wir hier nur positive Vorzeichen.

Hätten wir die innere Kraft gewählt, die Gravitationskraft, die ja in die entgegengesetzte Richtung zeigt, dann wäre bei der Kraft ein Minus aufgetaucht. Dann hätte man aber auch vor das Integral ein Minuszeichen setzen müssen. Die beiden Minusse hätten sich wieder aufgehoben und das Ergebnis wäre das gleiche.

Das Integral von 1 durch r² ergibt minus 1 durch r und Einsetzen der Grenzen liefert diese Differenz. Ein Vergleich der Summanden links und rechts zeigt, dass offensichtlich die potenzielle Energie im beliebigen Abstand r durch minus g mal klein m mal groß m durch r gegeben ist. Wir erhalten negative Werte der potenziellen Energie und ihr Nullpunkt liegt im unendlichen Abstand r.

Mit zunehmendem Abstand r wächst die potenzielle Energie, während ihr Betrag abnimmt. Das ist etwas gewöhnungsbedürftig, jedoch in der Physik üblich. Auch beim elektrischen Potenzial werden wir das wiederfinden.

Erinnern Sie sich noch dunkel an die Kepplaschengesetze? Als wir das durchgenommen haben, da habe ich Ihnen erzählt, geschlossene Bahnkurven, das heißt elliptische Bahnen für Planeten, kommen genau dann vor, wenn die Gesamtenergie des Planeten negativ ist. Jetzt können Sie verstehen, wie eine negative Gesamtenergie entsteht, nämlich wenn die stets positive kinetische Energie die negative potenzielle Energie nicht übersteigt.

Das ergibt gebundene Zustände. Der Planet ist dann zu langsam, um seiner Sonne zu entfliehen. Dazu noch mal ein Beispiel. In dem Bild auf der linken Seite oben hier sehen wir einmal die Darstellung der potenziellen Energie der Gravitationskraft.

Das ist also hier diese blaue Kurve. Und wir sehen also hier haben wir die Energieachse und hier ist der Nullpunkt. Das heißt, die Kurve verläuft vollständig im negativen Bereich und erst für R gegen Unendlich wird sie Null.

Wenn wir uns jetzt zum Beispiel vorstellen, dass wir hier einen Planeten haben, den schieben wir immer weiter weg. Dann hätte er also in unendlichem Abstand die potenzielle Energie 0. Wenn wir ihn näher heranrücken, dann sehen wir hier, also dann müssen wir jetzt die horizontale Verlängerung hier bilden, bis auf die Energieachse, dann sehen wir, hat er eine negative potenzielle Energie. Und wenn wir ihn noch näher heranrücken, dann sehen wir, hat er eine noch negativere potenzielle Energie.

So, und... Nehmen wir mal diesen hier, diesen Planeten. Also wenn wir den jetzt von hier dem Gestirn trennen wollen würden, dann müssten wir ihm also wieder die Verlängerung hier genau diese potenzielle Energie in Form von kinetischer Energie zuführen. Und dann könnte er entkommen.

Die Wahl des Nullpunktes ist im Prinzip frei. Wir können also im Grunde diese Kurve hoch und runter schieben. Und wenn wir diese Kurve jetzt einmal so weit hoch schieben, dass jetzt der Nullpunkt der Energie genau auf der Erdoberfläche ist, stellen wir uns also jetzt vor, dies hier sei die Erde, dann sind wir dabei, was wir bei der Gewichtskraft machen. Bei der Gewichtskraft nehmen wir nämlich den Nullpunkt auf der Erdoberfläche an und nähern dann diese gekrümmte Kurve, die ja tatsächlich eigentlich gekrümmt ist, durch eine Gerade.

Das ist das, was hinter der Gewichtskraft steckt. Also wir sagen, die ist hier. Da nimmt die potenzielle Energie linear zu und das ergibt dann eben natürlich eine konstante Kraft. Wir können uns auch noch mal ein Zahlenbeispiel anschauen.

Nehmen wir mal die Internationale Raumstation ISS. Die befindet sich also in einer Höhe von 400 Kilometer über der Erdoberfläche. Sie hat eine Masse von 450 Tonnen und sie hat auf ihrer Umlaufbahn eine Geschwindigkeit von 7.660 Meter pro Sekunde.

Das können Sie inzwischen ja alles selber schon ausrechnen. Das entspricht einer kinetischen Energie, die sie aufgrund ihrer Geschwindigkeit hat, 1,5 mV² von 13,2 Terajoule. Und das entspricht einer Änderung der potenziellen Energie, dadurch, dass wir sie ja von der Erdoberfläche auf diese Höhe hier bringen mussten, von 1,66 Terajoule. Wenn wir also das hier zusammenfassen, dann haben wir hier rund 15 Terajoule. Und das ist immerhin schon eine ganz schöne Energiemenge, die das erfordert hat, diese Raumstation da hochzubringen.

Wir wollen bei dem Stichwort kinetische Energie hier bleiben und wollen uns jetzt nochmal anschauen, wie eigentlich diese kinetische Energie entsteht und was kinetische Energie mit Arbeit zu tun hat. Das ist also hier jetzt mal gezeigt. Gucken wir erstmal auf die rechte Seite.

Hier haben wir jetzt... Ein Auto, das beschleunigt. Wir gehen mal davon aus, dass auf dieses Auto eine Kraft wirkt. Diese Kraft muss überhaupt nicht konstant sein. Entscheidend ist natürlich nur, dass es eine äußere Kraft ist.

Und diese Kraft wirkt jetzt entlang eines Weges S. Wir definieren hier einfach den Nullpunkt und dann die Länge des Weges nennen wir hier S. Kraft und Weg zeigen die gleiche Richtung in diesem Fall. Deswegen können wir hier jetzt einfach skalar rechnen. Die äußere Kraft ändert ja den Impuls des Autos gemäß dp nach dt. Wir müssen überhaupt gar keine näheren Annahmen darüber machen, wie diese Kraft aussieht und ob die vom Ort oder sonst was abhängig ist.

Das gilt ganz allgemein. Die Arbeit, die jetzt durch diese Kraft auf diesem Weg S hier verrichtet wird, ist natürlich Kraft mal Weg, also F dS. Und jetzt müssen wir natürlich von 0 bis S integrieren. Und der Trick ist jetzt, dass wir unsere Kraft erstmal durch dP nach dT ersetzen. Und jetzt können wir ein paar kleinere Umformungen machen.

Das erste, was wir machen, ist, dass wir für unsere Impulsänderung, Sie wissen ja, der Impuls ist Masse mal Geschwindigkeit, m mal V. Und wir gehen davon aus, dass die Masse des Autos hier konstant bleibt. Dann können wir also für die P MDV schreiben. So, nun steht hier MDV nach dT mal dS.

Und jetzt können wir einfach das dS und das dV vertauschen. Und dann sehen wir, haben wir MDS nach dT dV. Und dS nach dT ist aber ja nichts anderes als die Geschwindigkeit v. So, wir können also jetzt hier quasi... Das ds substituieren durch dv, das wäre das, was dahinter steckt.

Das bedeutet jetzt aber auch, dass wir eben nicht mehr über ds integrieren, sondern über die Geschwindigkeit v. Das heißt, wir müssen jetzt auch die Grenzen ersetzen. Also aus 0 und s wird jetzt v von 0, also wieder v0 und v von s. Wenn wir dieses Integral hier jetzt lösen, also es ist dann ein Integral über v, das ist sehr einfach zu lösen.

Das ergibt nämlich 1,5 mv². Und wieder die Grenzen eingesetzt, dann haben wir 1,5 mv² minus 1,5 mv0². Und v0 ist dann die Geschwindigkeit, die das Auto hier an der Stelle s gleich 0 hat. Und Sie sehen, das ist also hier der Ausdruck, den Sie schon als kinetische Energie kennen. Das ist also die kinetische Energie am Ort s und abtüglich der kinetischen Energie am Ort 0. Die kinetische Energie ist also nichts anderes als die Arbeit, die eine Kraft in ein System hineinsteckt, wenn sie den Impuls entlang des Weges ändert.

Also das ist die kinetische Energie. Also damit haben wir auch die kinetische Energie hier jetzt nachvollziehen können. Und nun haben wir die beiden wichtigsten Energieformen der Mechanik, nämlich die kinetische und die potenzielle Energie.

Und bevor wir nun an die Anwendung... Nach der Energieerhaltung gehen, wollen wir uns noch mal ganz kurz einen kleinen Eindruck darüber verschaffen, was und wie groß eigentlich bestimmte Energiewerte sind. Die Einheit der Energie ist das Joule, sprich also Joule. Und wir wollen uns kurz einmal fragen, wie viel Energie ist eigentlich ein Joule? Dazu nehmen wir etwas ganz Wundervolles, nämlich eine Tafel Schokolade.

Ein Joule ist genau die kinetische Energie, die eine 100 Gramm Tafel Schokolade hat, wenn sie sich mit V gleich 4,4 Meter pro Sekunde bewegt. Das ist doch mal was. Ein Joule ist aber genauso gut die potenzielle Energie, die eine 100 Gramm Tafel Schokolade hat, wenn wir sie genau auf einen Meter Höhe anheben.

Die chemische Energie, die in so einer Tafel Schokolade drin steckt, ja, das sieht schon ein bisschen anders aus. Dazu müssen wir eine 100 Gramm Tafel Schokolade in 2,2 Millionen Stücke teilen und ein Stück davon. Dann haben wir ein Joule. Sie sehen also, chemische Energie ist ein ganzes Eckchen mehr drin als an diesen mechanischen Energien.

Noch krasser wird es, wenn wir auf die Ruheenergie schauen. Also die Ruheenergie ist die Energie, die nach dem einsteinischen Zusammenhang E gleich mc² in Masse steckt. Da müssen wir nämlich eine 100 Gramm Tafel Schokolade in 9 mal 10 hoch 15 Stücke teilen und davon ein Stück.

Dieses winzige Stück, das müssen wir dann in Energie umwandeln. Also die Ruheenergie ist eine gigantische Energiemenge, die in der Masse drin steckt. Und 8,99 Petajoule würden wir bekommen, wenn wir unsere 100 Gramm Tafel Schokolade vollständig in Energie umwandeln würden nach E gleich mc².

Als Vergleich dazu, die Hiroshima-Bombe hatte eine Energie von 5,5 mal 10 hoch 13 Joule, also zwei Größenordnungen kleiner und entsprach der Umwandlung von 0,6 Gramm Materie in Energie. So, jetzt haben wir so ein ganz kleines Gefühl dafür bekommen, was eigentlich ein Joule ist. Also man kann gar nicht unbedingt sagen, ein Joule ist jetzt eine winzige Energiemenge.

Das ist gar nicht so. Aber verglichen mit irgendwelchen chemischen oder inneren Energien ist ein Joule eine sehr, sehr kleine Energiemenge. Was mechanische Energien angeht, gar nicht so unbedingt. Nun haben wir alles beieinander, was wir benötigen, um tatsächlich wirklich mal Energieerhaltung anzuwenden und Energiebetrachtungen an verschiedenen Systemen zu machen.

Und dazu müssen wir erst einmal lernen, die Systeme zu unterscheiden und zwar in zwei verschiedene Varianten, entweder offene Systeme oder isolierte Systeme. Offene Systeme, das sind Systeme, bei denen sich die Energie ändern kann, weil an denen nämlich Arbeit verrichtet wird. Wir können das so dadurch kennzeichnen, dass wir diese Systemgrenze gestrichelt zeichnen.

Das bedeutet, sie ist durchlässig. Also in offenen Systemen kann sich der Impuls ändern und in offenen Systemen kann sich die Energie ändern. Und offene Systeme sind also grundsätzlich Systeme, auf die äußere Nettokräfte wirken.

Im Gegensatz dazu... können wir auch isolierte Systeme betrachten. Da geht nichts rein und nichts raus.

Da kann sich die Energie nicht drin ändern. Und es kann sich auch der Impuls nicht drin ändern. Und auf diese Systeme wirken keine äußeren Nettokräfte. Also die Nettokraft auf diese Systeme ist null. Das Einzige, was in solchen Systemen passieren kann, ist, dass sich innen drin die Energie umverteilt.

Also es kann sich zum Beispiel kinetische Energie in potenzielle Energie umwandeln oder umgekehrt. Natürlich... sind solche Umverteilungen auch in offenen Systemen möglich.

Also auch da kann sich Energie umverteilen, aber zusätzlich kann eben Energie hinein oder Energie herauskommen. Das ist der Unterschied. Und natürlich gilt in beiden Fällen die Energieerhaltung.

Gucken wir kurz auf das isolierte System. Da bleibt natürlich die Energie in diesem System konstant. Und jetzt betrachten wir einfach zwei verschiedene Zeitpunkte.

Ein Zeitpunkt. Früher, einen Zeitpunkt später und dann ist die Energie zum Zeitpunkt T1 natürlich die gleiche wie zum Zeitpunkt T2. Das ist also der Energieerhaltungssatz an einem isolierten System. Bei einem offenen System kann sich jetzt natürlich die Energie ändern. Das heißt, die kann zu einem späteren Zeitpunkt T2 anders sein als zu einem früheren Zeitpunkt T1.

Aber genau die Änderung, die wir hier haben, das muss dann gleich der zugeführten Arbeit oder abgeführten Arbeit W sein. Und das, was natürlich unserem System dann als Arbeit zugeführt wird, geht der entsprechenden Umgebung verloren. Das heißt, auch in diesem Fall bleibt natürlich die Energie insgesamt erhalten.

Aber wir schauen ja nur auf den Energiegehalt unseres Systems. So, und der kann eben anwachsen oder abnehmen, je nachdem, ob die Arbeit größer 0 oder kleiner 0 ist. Und für offene Systeme lautet der Energiesatz eben W ist gleich E von T2 minus E von T1 oder einfach lapidar gesagt, die Energieänderung im System ist gleich der an dem System verrichteten Arbeit.

Das sind die beiden Varianten von Energiesätzen, die wir hier verwenden und im Allgemeinen ist es immer so, dass die Energieerhaltung für ein isoliertes System natürlich leichter ist, weil man sich nicht mit der Arbeit hier rumschlagen muss. Man kann das in der Regel sich aussuchen, ob man mit einem offenen System oder mit einem isolierten System rechnet. Aber man muss eben einfach den Unterschied kennen, den Unterschied der Energiesätze.

Und man muss so etwas ganz bewusst machen. Und man muss wissen, was man tut. Und genau darum geht es, dass Sie hier also lernen, das bewusst zu wählen. Der erste Schritt vor Anwendung einer Energiebilanz muss eben immer die genaue Definition des freigeschnittenen Systems sein. Also was wähle ich eigentlich als mein System und betrachte ich es als ein offenes System oder betrachte ich es als ein isoliertes System?

Um das zu verstehen und zu vertiefen, gucken wir jetzt also verschiedene Beispiele an. Wir beginnen mit einem einfachen Fadenpendel. Wir werden dieses Pendel als isoliertes System betrachten.

Das ist also hier durch die durchgezogene Systemgrenze angedeutet. In unser System ist somit alles eingeschlossen, was hier gezeichnet ist. Das heißt, wir haben die Erde zusammen mit dem Gewichtskraftfeld der Erde. Wir haben hier unsere Pendelmasse, wir haben den Faden, wir haben die Aufhängung.

Also im Grunde ist alles hier mit drin. Wir wählen als unsere Koordinate einmal die y-Koordinate nach oben und können hier jetzt mit Hilfe der y-Koordinate die Höhenänderung unseres Pendelkörpers beschreiben. Wenn das Pendel hier ausgelenkt ist und wir es dann loslassen, bewegt es sich ja hier so auf diesem Kreisbogen dann nach unten, wird hier weiterlaufen und hier wieder nach oben gehen.

Wenn es hier anfangs um einen Winkel phi ausgelenkt ist, Dann können wir die Höhe h, die ist hier gegenüber dieser tiefsten Lage, die wir einfach mal y gleich 0 wählen. Also hier haben wir unseren Nullpunkt der Höhenachse gewählt. Also wir können diese Höhe dann einfach ausrechnen, denn wenn der Faden hier die Länge r hat und wir hier den Winkel phi haben, dann ist die Länge dieser Strecke hier bis hier r mal Cosinus phi.

So und dementsprechend ist unsere Höhe h. Über dem Boden einfach R minus R mal Cosinus Phi. Das ist also genau diese Strecke hier.

Wenn wir das System so wie hier gewählt haben, ist natürlich die Gewichtskraft eine innere Kraft. Und das bedeutet, dass die Gewichtskraft hier keine Arbeit verrichten kann. Und weil die Gewichtskraft hier eine innere Kraft ist, haben wir aber gleichzeitig eine potenzielle Energie durch die Gewichtskraft. Das ist ja immer ein Ausschluss.

Also entweder ist die Gewichtskraft eine äußere Kraft, dann arbeitet sie, oder sie ist eine innere Kraft und dann erzeugt sie eine potenzielle Energie. Wir haben hier also den Fall, dass die Gewichtskraft eine potenzielle Energie erzeugt. Für unser isoliertes System gilt jetzt der Energieerhaltungssatz für isolierte Systeme, das heißt E von T1 ist gleich E von T2.

T1 wählen wir den Zeitpunkt, wo die Pendelmasse hier oben ist. Und T2 wählen wir den Zeitpunkt, wenn die Pendelmasse gerade hier unten ist. Zu diesem Zeitpunkt direkt am Umkehrpunkt ist Ihre Geschwindigkeit V ja gerade gleich 0. Wenn Sie also von dieser Bewegung in diese Bewegung hier, dann muss ja zwischendurch ganz kurz V gleich 0 haben. Und das ist genau hier am Umkehrpunkt. Deswegen haben wir für T1 nur potenzielle Energie, Mgh.

Und andererseits, weil wir den Nullpunkt ja so gewählt haben für T2, wenn sie hier unten ist, nur kinetische Energie, 1,5 mV², genauer 1,5 mVf², f wieder für Feine, und dafür keine potenzielle Energie. Und so würde also die Energiebilanz dann für dieses Pendel hier lauten. Und das könnten wir zum Beispiel nach V auflösen und daraus dann die Geschwindigkeit des Pendels an dieser Stelle hier bestimmen.

wenn wir es aus einer Höhe h hier losgelassen haben. So wäre also die Betrachtung der Energien und die Energiebilanz für das isolierte System. Wir können aber dieses Pendel ganz genauso als ein offenes System betrachten. Und das ist jetzt hier auf der rechten Seite mal durchgeführt.

Nun haben wir also ausschließlich unseren Pendelkörper hier in unser System einbezogen. Und dadurch wird natürlich die Gewichtskraft eine äußere Kraft. Alles übrige und sämtliche übrigen Definitionen sind gleich. Weil die Gewichtskraft jetzt eine äußere Kraft ist, arbeitet sie natürlich hier jetzt an unserer Pendelmasse und erzeugt stattdessen keine potenzielle Energie. Wir können jetzt natürlich die Arbeit durch die Gewichtskraft hier bestimmen.

Und die Arbeit ist ja davon abhängig, welche Komponente der Gewichtskraft entlang des Weges wirkt. Die Gewichtskraft zeigt ja senkrecht nach unten und genau exakt an dieser Stelle wäre sie ja senkrecht zum Weg und würde überhaupt keine Arbeit verrichten. Aber von dort bis dort hat sie ja eine Komponente in Wegrichtung und diese Komponente in Wegrichtung wird zwar immer kleiner und verändert sich, aber sie ist natürlich da und deswegen verrichtet die Gewichtskraft hier auf diesem Weg Arbeit.

Jetzt ist die Frage, wie kriegen wir diese Arbeit raus, weil die ist ja ortsveränderlich, die ändert sich hier die ganze Zeit. Und da hilft uns jetzt natürlich der Umstand, dass die Gewichtskraft eine konservative Kraft ist. Das heißt, anstatt dass wir die Arbeit hier jetzt explizit ausrechnen müssen über das Wegintegral, können wir die Arbeit einfach über die Änderung der potenziellen Energie bestimmen.

Statt jetzt hier tatsächlich dieses Wegintegral auszuführen, was wir auch machen könnten, brauchen wir das aber gar nicht. Denn... Die Arbeit, die die Gewichtskraft auf diesem Weg hier verrichtet, das ist genau gleich der Änderung der potenziellen Energie, die wir von der Höhe h auf die Höhe 0 haben. Und dementsprechend ist die Arbeit einfach mgh. Jetzt müssen wir wieder die Energien zum Zeitpunkt T2 und zum Zeitpunkt T1 betrachten.

Bei T2 ist die Pendelmasse ja wieder hier unten, bei T1 war sie da oben. Und wir haben jetzt wieder zum Zeitpunkt T2 hat sie nur noch kinetische Energie und zum Zeitpunkt T1 hat sie hier überhaupt gar keine Energie. Das ist jetzt der wesentliche Unterschied.

Also weil wir die potenzielle Energie der Gewichtskraft nicht mitnehmen dürfen. Deswegen hat sie hier zum Zeitpunkt T1 überhaupt gar keine Energie. Das heißt, für den Fall des offenen Systems lautet also die korrekte Energiebilanzarbeit, MGH, ist gleich der Änderung der kinetischen Energie, ist gleich der Änderung der Energie, 1,5 MVF² minus 0. Wir sehen, im Endeffekt ergibt sich selbstverständlich die gleiche Gleichung.

Also wir bekommen immer das gleiche Ergebnis, ganz egal, ob wir es so oder so betrachten. Aber der Hintergrund, was wir da hineingesteckt haben, der ist in beiden Fällen unterschiedlich. Und dieser Unterschied, der Ihnen vielleicht irgendwie völlig unwesentlich vorkommt, weil hier ja immer das Gleiche rauskommt, der ist aber ganz entscheidend für die korrekte Betrachtung. Und dass man nicht versehentlich zum Beispiel sowohl die Arbeit als auch die potenzielle Energie hier in diese Energiebilanz mit hineinschreibt. Das ist nämlich der häufigste und der schlimmste Fehler, den man an dieser Stelle macht.

Und daran können Sie vielleicht auch jetzt erkennen, warum ich immer empfehle, wenn es irgend möglich ist, wählen Sie ein isoliertes System. Denn in einem isolierten System kommt nie Arbeit vor. Da müssen Sie sich nie mit der Arbeit irgendwie abmühen.

Und Sie können nicht fälschlicherweise eine potenzielle Energie reinbringen, die da nicht rein gehört. Das passiert also nicht in einem isolierten System. Das kann nur dann passieren, wenn Sie ein offenes System betrachten.

Und wenn ich Ihnen nicht vorgebe, betrachten Sie es isoliert oder offen, sondern Sie es sich selber aussuchen können, dann wählen Sie immer ein isoliertes System. Das ist meine Empfehlung. So, wenn wir das Ganze nochmal kurz aus physikalischer Energiebilanzsicht betrachten, dann können wir das zum Beispiel auf der linken Seite so beschreiben, dass wenn so ein Pendel hier hin und her schwingt, Dann haben wir eine ständige Umwandlung von potenzieller Energie, also reiner potenzieller Energie, in reine kinetische Energie und hier wieder reine potenzielle Energie und hier wieder reine kinetische Energie und so weiter.

Also es ist eine permanente Umwandlung im isolierten System zwischen potenzieller und kinetischer Energie. Gucken wir uns das hier dagegen als offenes System an. Dann haben wir hier also am Anfang überhaupt gar keine Energie und die Gewichtskraft arbeitet jetzt also an unserem Pendel, beschleunigt es und fügt ihm dabei kinetische Energie zu.

Und wenn das Pendel jetzt also weiter schwingt, dann bremst jetzt ja die Gewichtskraft, das heißt, die wirkt jetzt gegen die Bewegungsrichtung, verrichtet also wieder Arbeit und raubt diese kinetische Energie wieder. Ab diesem Moment beschleunigt die Gewichtskraft dann in diese Richtung, das heißt, sie... bringt wieder per Arbeit kinetische Energie hinein.

Hier ist die kinetische Energie dann maximal und ab da bewirkt die Arbeit wieder einen Energieverlust und das heißt bis hier oben hat sie dann wieder die gesamte kinetische Energie geraubt. Hier haben wir also in dieser Sichtweise hier das Wechselspiel aus Arbeit, die Energie hinzufügt und dann die Energie wieder wegnimmt und dann Energie wieder hinzufügt und dann die Energie wieder wegnimmt. Das sind also die beiden verschiedenen Sichtweisen hier bei so einem Pendel. In der Vorlesung demonstriere ich Ihnen normalerweise die Energieerhaltung am Pendel, indem ich einen Pendel mit einer 5 Kilo Stahlkugel nehme, mich gegen eine Wand stelle, die Stahlkugel gegen meine Stirn halte und dann loslasse.

Die Energieerhaltung sagt, dass es beim Zurückkommen auch nicht gegen meine Stirn krachen kann, sondern kurz davor umkehren muss. Hier habe ich jetzt ersatzweise mal ein rohes Ei genommen. Unser Ei bleibt unverletzt, weil die Energieerhaltung eben sagt, dass das Pendel auf der Seite des Eis nie weiter aufsteigen kann, als auf die Höhe, wo wir es losgelassen haben.

In der Abnahme der Höhe, die hier natürlich erkennbar ist, zeigt, dass in unserem Fall durch Reibung Energie verloren geht. Diesen Energieverlust durch Reibung. Den nennt man Dissipation.

Die Energie wird eben hier in Wärme umgewandelt. Und das lässt sich im realen Experiment halt nicht vermeiden, sondern nur minimieren. Dazu habe ich Ihnen jetzt zwei StudiVote-Fragen mitgebracht. Fangen wir mal mit der ersten Frage an. Der Körper eines Fadenpendels der Länge r wird von der Höhe h aus der Ruhe losgelassen.

Sein Tempo vp bei h gleich 0, das heißt also hier an dieser Stelle. Und hier haben Sie die verschiedenen Antwortmöglichkeiten. Und was ist richtig? Richtig ist, es ist genauso groß, als wenn das hier diese Strecke frei gefallen werde. Denn in beiden Fällen, ob nun der freie Fall senkrecht nach unten oder hier beim Pendel, wird eben die hier vorhandene potenzielle Energie vollständig in kinetische Energie umgewandelt.

Und aus diesem Grund sind die Geschwindigkeiten in beiden Fällen gleich. Gucken wir uns gleich die nächste Frage an. Ein Fadenwendel wird von der Höhe h aus der Ruhe losgelassen.

Der Faden wird durch eine Stange gehemmt. Welche Höhe wird das Pendel hinter der Stange in etwa erreichen? Hier wird es also losgelassen und hier ist die Stange. Und die Frage ist, welche Höhe ist hinter dieser Stange erreicht?

Was ist richtig? Richtig ist die Antwort c. Es wird nämlich genau...

die gleiche Höhe erreichen, die es vorher hatte, weil hier wird also die potenzielle Energie vollständig in kinetische Energie umgewandelt und natürlich wird auch auf dieser Seite wieder die kinetische Energie vollständig in potenzielle Energie umgewandelt und dementsprechend muss es natürlich genau die gleiche Höhe h erreichen. Dabei ist das völlig egal, auf welchem Weg es das tut, also es muss dazu gar nicht auf diesem Kreisbogen laufen, sondern hier wird es dann natürlich auf einem anderen Bogen laufen. Dazu habe ich Ihnen ein kleines Experiment mitgebracht.

Die horizontale Stange soll Ihnen helfen, die Höhen links und rechts zu vergleichen. Und am Ende werden Sie sehen, warum ich diesmal das Experiment unter erschwerten Bedingungen durchführen musste. Aus welcher Höhe muss man die Kugel eigentlich starten, damit sie sich überschlägt? Oder anders, aus welcher Höhe muss man überhaupt ein Objekt starten, damit es dann auf einer Kreisbahn läuft oder ein Looping durchläuft?

Das wollen wir uns in unserem nächsten Beispiel anschauen. Das letzte Beispiel, was wir uns heute zum Thema Energieerhaltung anschauen wollen, ist hier so eine Situation. Also hier ist eine Achterbahn, die ein Looping fährt.

Wir haben das hier einfacher nachgebildet und stellen uns vor, dass hier ist eine Schiene und auf der lassen wir jetzt einen Ball herunterkullern. Und der Ball, der soll also hier durch diesen Looping kullern. Und die Frage, die wir beantworten wollen, ist, wann wird der Ball den Looping schaffen?

Aus welcher Höhe, y a, muss er starten? Auf unserer Schiene sind hier verschiedene Punkte markiert. Der Punkt a ist also hier, der Punkt b ist hier im tiefsten Punkt.

Der Punkt C ist hier im höchsten Punkt des Loopings und dann haben wir noch einen beliebigen Punkt D irgendwo hinter dem Looping. Wir können erstmal wieder unsere Zeitpunkte so ein bisschen festlegen. Nun haben wir also mehr als nur zwei Zeitpunkte.

Der Zeitpunkt T1 sei, wenn der Ball am Punkt A ist. Bei T2 sei er bei B. Zum Zeitpunkt T3 bei C.

Und zum Zeitpunkt T4 bei D. Wir können also jetzt die entsprechenden Energien... in unserer Energiebilanz entweder über die Zeiten oder über die Punkte durchnummerieren.

Und wir nummerieren jetzt mal nicht über die Zeiten, sondern über die Punkte. Wir gehen also davon aus, dass das Ganze hier reibungsfrei ist und dass die Energien in diesem Fall erhalten bleiben. Dann haben wir also zum Zeitpunkt A, wenn wir unseren Ball aus der Ruhe loslassen, nur eine potenzielle Energie, Mgya.

Ya ist also die Höhe y, in der wir den Ball dann loslassen. Zum Zeitpunkt T2 am Punkt B haben wir dann Wenn wir den Nullpunkt hier wie gewählt am Boden wählen, haben wir dann nur kinetische Energie, das heißt 1,5 mVb² und keine potenzielle Energie mehr. Am Zeitpunkt T3, also in Punkt C, haben wir dann sowohl kinetische Energie, 1,5 mVc² plus m mal g mal 2r, denn die Höhe h ist hier ja genau zweimal der Radius des Loopings. Und an...

einem beliebigen Punkt D zum Zeitpunkt T4 haben wir dann auch wieder sowohl kinetische Energie 1,5 mVd² als auch potenzielle Energie mGyd. Die Energieerhaltung sagt uns jetzt in dem Fall, den wir hier gewählt haben, Sie erkennen jetzt schon, denke ich mal, an dem Rahmen, wir betrachten das Ganze also als isoliertes System, Arbeit kommt hier also überhaupt nicht vor, das heißt, Die Energien müssen zu allen Zeitpunkten und damit an allen Punkten gleich sein. Es muss also Ea gleich Eb gleich Ec gleich Ed sein.

Das ist also die Energiebilanz, die wir hier aufschreiben können. Und jetzt ist die Frage, wie wir dann unsere geforderte Höhe Ya herausbekommen. Und dazu müssen wir uns eine Bedingung für die Geschwindigkeit in Punkt C überlegen. Damit der Ball hier diesen Looping schafft, ist ja eine bestimmte Mindestgeschwindigkeit erforderlich.

Die Mindestgeschwindigkeit muss zum einen dafür sorgen, dass er überhaupt auf diese Höhe hier kommt, aber er muss natürlich auch dafür sorgen, dass er hier eine solche Geschwindigkeit hat, dass ihm die Gewichtskraft hier nicht runterreißt. Er darf also hier ja die Bahn nicht verlassen und darf nicht plötzlich also irgendwie sowas hier machen, sondern er muss die ganze Zeit hier im Looping bleiben. Und damit er hier im Looping bleibt, muss natürlich an dieser Stelle im Punkt C die Gewichtskraft genau gleich der erforderlichen Radialkraft für die Krümmung dieser Kreisbahn hier sein. Und was sich daraus für eine Geschwindigkeit Vc ergibt, haben wir schon im Zusammenhang mit der Fluchtgeschwindigkeit ausgerechnet.

Das ergibt nämlich, dass Vc hier mindestens Wurzel g mal r sein muss. Im Fall der Fluchtgeschwindigkeit hatten wir hier für R den Erdradius genommen. Hier müssen wir jetzt an der Stelle natürlich für R den Radius unseres Loopings ansetzen.

Wir haben also eine Bedingung für die Geschwindigkeit vc. Und diese Bedingung für die Geschwindigkeit vc, die legt im Endeffekt jetzt also dann die Höhe ya fest, aus der wir den Ball starten müssen. Und das gucken wir uns jetzt hier unten in der Rechnung im Detail noch einmal kurz an. Also... Wir setzen aus unserer Energiebilanz, hier brauchen wir nur Ea gleich Ec, also die gesamte Energie hier, die kann sich nicht ändern.

Und dann schreiben wir also für Ea MgYa und für Ec diesen Ausdruck hier oben, 1,5mVc² plus M mal G mal 2R. Aber wir setzen jetzt für Vc² das Quadrat hiervon ein und das ist einfach G mal R. Dementsprechend erhalten wir 1,5mG mal R.

plus mg mal 2r und wenn wir sehen, dann ist das hier also, das mg können wir herauskürzen und es bleibt dann also nur noch über 1,5r plus 2r und das sind nichts anderes als 5,5r und das ist ya. Wir müssen den Ball also aus der Höhe ya starten, damit er hier also diesen Grouping durchläuft. Das ist die Mindestgeschwindigkeit, die er haben muss.

Die Mindesthöhe, die er haben muss, wir müssen natürlich aus einer etwas größeren Höhe starten, wenn hier Reibung vorhanden wäre und dementsprechend also etwas Energieverlust ist bis er zu diesem Punkt C kommt. Damit möchte ich zum Thema Energieerhaltung an dieser Stelle erstmal schließen. Wir werden uns noch weitere Beispiele zur Energieerhaltung anschauen in weiteren Vorlesungen, aber das soll es für heute erstmal gewesen sein.

Dazu können wir uns noch mal ein kleines Experiment mit unserer Kugel anschauen, denn diese Kugel benimmt sich im Prinzip ja genauso wie die Kugel auf dem Looping. Also wenn wir sie aus einer bestimmten Höhe starten, dann schafft sie einen Überschlag auf einer Kreisbahn. Ich habe also jetzt zuerst einmal die Höhe 2R abgemessen. Das zeigt die horizontale schwarze Stange. Und nun lasse ich die Kugel aus unterschiedlichen Höhen fallen.

Zuerst wähle ich eine Höhe, die etwas kleiner als 2R ist und dann sieht man die Kugelschaft es nicht. Danach wähle ich eine Höhe, die ungefähr R ist und dann kommt sie zwar rüber, aber nicht auf einer Kreisbahn. Und am Ende wähle ich dann eine Höhe, die etwa R ist.

5,5 R entspricht und dann schafft sie einen wunderschönen Looping drumherum. Und zum Abschluss gibt es noch ein kleines Making-of mit den erschwerten Bedingungen für die Experimente dieser Vorlesung. Eine meiner Katzen fand also dieses Pendel so schön, dass sie kaum vom Herd runter zu kriegen war.

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