Vorlesung über Mengentheorie

Grundlagen der Zahlen und Mengen

• Zahlen und Rechnen:
  • Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division
  • Zusammenfassung in Mengen
• Elementzeichen:
  • Beispiel: 1, 3, 5
  • ∈: Element von
  • {1, 3} ⊆ {1, 3, 5}: Teilmenge

Mengenschreibweise und Notationen

• Definition von Mengen:
  • M := {}: leere Menge
  • M := {1, 2, 3}: explizite Auflistung
• Spezielle Symbole:
  • Ø oder {}: leere Menge
  • |M|: Anzahl der Elemente (Kardinalität)
  • ∞: Unendliche Menge

Mengendefinitionen

• Umfangsdefinition (Extension):
  • Explizite Aufzählung: {2, 4, 6, 8}
• Inhaltsdefinition (Intension):
  • Eigenschaften definieren: {m ∈ N | m % 2 = 0, m ≤ 8}
  • ...: im Kontext, z.B. natürliche Zahlen

Teilmengen und Gleichheit

• Teilmengen:
  • A ⊆ B: Jedes Element von A ist auch in B
  • A ⊂ B: Echte Teilmenge (gleiches Symbol ohne Strich)
  • A = B: Gleiche Elemente
  • Beweis der Gleichheit: Zeige A ⊆ B und B ⊆ A

Mengenschreibweisen in Literatur

• Varianten:
  • Notation ohne Strich: unechte und echte Teilmengen
  • A ⊊ B: Diese Bedeutung von unechte Teilmenge noch expliziter
• Konvention:
  • Diese Vorlesung verwendet ⊆ für Teilmenge, ⊂ für echte Teilmenge

Mengenkonstruktionen

• Vereinigung:
  • A ∪ B: Alles, was in A oder B ist (inklusive beides)
  • Schreibweise: : bedeutet Definition
  • Fendiagramm: Kombination der Bereiche
• Schnitt:
  • A ∩ B: Elemente, die in beiden Mengen sind
• Differenz:
  • A \ B: Elemente in A, aber nicht in B

Kardinalität und Operationen

• Endliche Mengen:
  • |A ∪ B| = |A| + |B| - |A ∩ B|
  • |A \ B| = |A| - |A ∩ B|
• Disjunkte Mengen:
  • A ∩ B = Ø
  • A ∪ B wird manchmal als A ∪˙ B notiert

Komplement

• Komplementdefinition:
  • A^C: Komplement von A
  • Kontextabhängig: Nullen einschließen oder nicht
• dmorgan’sche Regeln:
  • (A ∩ B)^C = A^C ∪ B^C
  • (A ∪ B)^C = A^C ∩ B^C

Digitale Mengen und praktische Anwendungen

• Rechenregeln und Eigenschaften:
  • Transitivität: A ⊆ B und B ⊆ C ergibt A ⊆ C
  • Kommutativität: A ∪ B = B ∪ A, A ∩ B = B ∩ A
  • Assoziativität: (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)
  • Distributivität: A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
• Mengen mit anderen Elementen:
  • Unterschied zwischen Menge und Element
  • Beispiel: {1, 2} ∈ M, nicht {1, 2} ⊆ M

Vielen Dank fürs Zuhören!