Grundlagender Mengenlehre

ja dann läuft jetzt auch die Aufnahme wieder wir haben gesprochen über den naiven Zahl und Mengen bekräftt das heißt wir können mit zahlen wir können zählen wir können mit Zahlen rechnen auch das können sie ja schon sie können Zahlen addition addieren Sie können Sie subtrahieren sie können multiplizieren Sie können dividieren Sie können aus der Schule schon die entsprechenden Gesetzmäßigkeiten die dafür gelten und sie können diese Zahlen zusammenfassen zu Mengen und was ich jetzt gerne weiter mit ihm besprechen möchte ist ja eine erstmal eine Frage die schon kam wie schreiben wir das denn wenn wir sagen möchten dass mehrere Elemente in einer Menge sind also wenn wir die Zahlen 135 haben und wir wollen irgendwie ausdrücken dass eins und drei da drin sind dann können wir das mit so kleinen Element Zeichen machen wir können aber auch die Zahlen 1 und 3 erst zu einer Menge zusammenfassen dann sagen diese eine Menge ist enthält nur Elemente der anderen Menge das heißt was ich jetzt gerne mit Ihnen noch wiederholen möchte in der zweiten Hälfte der Vorlesung wäre die sogenannte Mengenlehre also auch das alles sind Dinge die sie ja wahrscheinlich in der Grundschule wirklich schon kennengelernt haben wahrscheinlich weiß gar nicht ob das Ding noch gibt ich glaube das ist Jahrzehnten schon ich hatte das so ein spezielle kleine Schokolade Schablone wo sie dann so ein rundes Ei mit zeichnen konnten und entsprechende Dreiecke und Quadrate um da wirklich schon auf kindlichen Niveau in der Grundschule Objekte zu Mengen zusammenzufassen und was wir dafür also haben an Notationen fassen wir die nochmal zusammen angenommen wir haben irgendeine Menge in der Mathematik sagen wir das immer so sei m eine Menge also wenn sie programmieren und haben eine Programmiersprache dann gibt es Programmiersprachen die ihn dazu zwingt jeden Bezeichner den sie zu verwenden erstmal zu sagen was ist das für ein Typ also da können sie zum Beispiel nicht einfach starten mit Sätze i auf eins sondern sie müssen erst mal sagen i ist ein Integer ist eine ganzzahlige variable und dann reserviert er ihn im Speicherplatz für eine integer variable und erst dann können sie sagen i = 1 ähnlich machen wir das in der Mathematik wann immer wir von einem Objekt sprechen wollen müssen wir erst mal sagen was ist das für ein Objekt also wenn es was einfaches ist dann schreibe ich sowas wie M Doppelpunkt gleich 3 dann wissen Sie m ist die Zahl 3 wenn es irgendetwas beliebiges sein Bildern ist unsere typische Schreibweise dafür sei m eine Menge das heißt in dem Moment ist jetzt in irgendeine Menge also irgendetwas was verschiedene Elemente enthält und dann schreiben wir entsprechend das haben wir schon verwendet klein m in Groß m dafür das klein n ist Element von Groß m oder auch in M enthalten und entsprechend klein nicht Element also dieses angedeutete e hier nicht eine Element von M wäre entsprechend klein m ist nicht Element von Groß m und die Aussagen müssen sie zumindest prinzipiell treffen können wenn sie eine Menge haben denn eine Menge ist nach unserer naiven Begriff dadurch definiert dass wir wissen was drin ist also wenn wir wissen was drin ist sind das zwei wohldefinierte Ausdrücke dass wir sagen können entweder ist klein m in Groß m drin oder klein m ist eben nicht in großem drin wenn wir das nicht beantworten können dann wissen wir nicht was die Menge groß ein enthält ja dann können wir natürlich auch von der Menge von allem reden also wenn ich sage alle Studenten hier im Raum das sind hoffentlich die die am Ende die Klausur bestehen werden dann habe ich also die Menge die einfach alles umfasst und entsprechend kann ich aber auch von der Menge reden die einfach gar nichts umfasst nämlich diejenigen von Ihnen hoffentlich die durch die Klausur durchfallen werden das wird hoffentlich die leere Menge sein das heißt die Menge die einfach gar kein Element enthält also wir können auch sagen groß m ist die leere Menge das schreibt man seltener mit so einer geschweiften Klammer aufgeschweifte Klammer zu den Rotation gibt es wird aber ganz selten verwendet dahinter was häufiger ist ist die Notation dass man so gestrichene Null hierhin macht und diese durchgestrichene Null bedeutet groß m ist die leere Menge und man schreibt das wie gesagt auch als geschweifte Klammer aufgeschweifte Klammer zu ohne irgendein Element dazwischen zu schreiben eine weitere Notation die wir häufig brauchen werden ist Betrag von M mit Betrag von M meinen wir die Anzahl der Elemente als ab der älter von groß m und das können endlich viele sein oder unendlich Fehler also die Menge 135 enthält offensichtlich drei Zahlen also Betrag von der Menge 1,3,5 ist gleich 3 die Menge der natürlichen Zahlen enthält unendlich viele Zahlen denn wenn sie nur 1000 Zahlen enthalten würden dann ist aber zu dieser größten Zahl auch der jeweilige Nachfrage noch dabei wäre also auch ein tausendundeins ist Element dabei das heißt es kann keine Zahl geben die uns alle natürlichen Zahlen wir die Anzahl der natürlichen Zahlen wieder gibt und für solche unendlichen Mengen da schreibt man auch unendliche Mengen das Symbol für unendlich Betrag von M ist gleich unendlich das ist so eine liegende Acht und entsprechend soll das so eine ja so eine entsprechende weg sein der nie endet das heißt wir haben so ein spiralweg der entsprechend niemals enden würde wenn sie diese acht entsprechend Nachfahren würden ja und dann gibt es zwei Möglichkeiten wie wir diese Mengen definieren auch das ist uns beide schon begegnet wir können Mengen entweder dadurch definieren dass wir explizit sagen was drin ist das ist die sogenannte umfangsdefinition also wir sagen wirklich ganz konkret was ist drin in dieser Menge zum Beispiel 2468 wäre so eine umfangsdefinition es gleich zwei vier sechs acht also sie geben wirklich explizit an das und das ist drin und alles was sie nicht angegeben haben ist entsprechend nicht drin oder aber das andere nennt man typischerweise inhaltsdefinition groß n wären zum Beispiel alle Zahlen klein m in diese Schreibweise alle Zahlen klein m die Doppelpunkt das folgende erfüllen das M nämlich sein soll m ist in N eine natürliche Zahl außerdem soll m vielleicht noch gerade sein und dann machen wir das gleiche was wir oben hingeschrieben haben und m soll auch noch kleiner gleich acht sein also wir geben eine Reihe von Eigenschaften an und diese Eigenschaften sind gerade so dass wenn all diese Eigenschaften erfüllt sind dann soll die Zahl entsprechend in der Menge drin liegen die Menge soll aus allen Zahlen bestehen die diese Eigenschaften erfüllen auch dadurch wäre die Menge eindeutig festgelegt und sie könnten ja für jede Zahl für diese wissen wollen ist in der Menge oder nicht können Sie nachprüfen ist die natürliche Zahl ist die gerade ist die kleine gleich acht ja und es gibt eine gewisse zwischennotation also typischerweise sagt man diese Pünktchen Notation die wir bei den natürlichen Zahlen genommen haben die nennt man normalerweise auch noch unter der umfangsdefinition mit dazu wenn diese Pünktchen eben bedeuten dass jeder der es liest weiß was anstelle der Pünktchen einzusetzen ist dieses mathematisch ist es nicht so ganz präzise einen dieser beiden Wörter zuordnen ja und jetzt können Sie entsprechend sagen wenn Sie zwei Mengen haben ist das i die eine Menge in der anderen enthalten also die Menge 1 und 3 ist eine Teilmenge der Menge 1 3 5 weil 1 und 3 was in der einmenge drin ist ist auch eine andere Menge mit drin und das würden wir entsprechend so schreiben dass wir sagen also wenn Sie zwei Mengen haben jetzt ein Mengen also haben jetzt nicht nur eine Menge wir haben zwei Mengen wenn sie groß a und groß B und dann schreiben wir entsprechend Teilmenge B dafür macht man hier so ein entsprechendes Zeichen dass es nach rechts offen ist und das diesen Strich drunter kommentiere ich gleich noch mal Teilmenge B das bedeutet Teilmenge von B und präzise ausgedrückt bedeutet das alle Elemente von A sind auch in B also alles was in a drin ist alle Elemente von Groß a sind auch in B also wann immer sie irgendein kleines Mengenelement klein m haben was Element ist von A dann muss daraus folgen aus sagen logisch machen wir auch noch aber dann muss daraus folgen wenn in a drin liegt dann muss m auch NB drin liegen ja und dann gibt es natürlich die Gleichheit gleich B auch das haben wir schon intuitiv verwendet wenn nämlich alle Elemente von AMB drin liegen doch alle Elemente von B in a drin liegen das heißt also a und b genau die gleichen Elemente enthalten also a enthält die gleichen genau die gleichen Elemente Elemente wie und das heißt also es gilt dass alles was in a liegt auch ein B liegt also a muss mit Teilmenge von B sein und B muss auch eine Teilmenge von A sein und ich reite deswegen so drauf rum das alles haben sie in der Grundschule sicherlich schon gelernt aber ich reite deswegen drauf rum weil das genau die Art und Weise ist wie wir später in der Mathematik wirklich argumentieren und wirklich strenge logische Beweise führen wenn wir nämlich zeigen wollen dass zwei Mengen identisch sind dann machen wir das typischerweise dadurch dass wir sagen wir zeigen erstmal dass die eine Menge in der anderen drin liegt also alles was mir ein Menge liegt muss auch in der anderen drin sein dann sind aber noch nicht fertig und muss noch zeigen dass alles was in der anderen liegt auch in der ersten drin ist also typischerweise beweisen wir die Gleichheit zweier merken dadurch dass wir zwei teilmengeneigenschaften beweisen ja dann ist die Frage also wenn ich sage alle Elemente von A sind auch NB dann lässt das durchaus zu dass es die gleiche Menge ist wenn ich das ausschließen will dann schreibt man das typischerweise damit dass man nur diesen ja etwas langgezogenen Halbkreis oder diese halbe Ellipse hier macht ohne den Strich darunter also das bedeutet a ist eine sogenannte echte Teilmenge von B das heißt also alles was in a liegt ist auch ein B enthalten also a sind Teilmenge von B und es gilt aber nicht das B auch in a liegt also es gilt nicht a gleich B das heißt das B enthält irgendwas was in a nicht drin ist B enthält also mindestens ein Element echt mehr als a das tut ja und bei endlichen Mengen können Sie über die Anzahl schon sehen ist etwas eine Teilmenge von dem entsprechenden anderen also wenn Sie eine endliche Menge haben mit drei Objekten 135 und ich habe eine andere eine Teilmenge davon mit drei Objekten dann kann diese Teilmenge mit den drei Objekten nur selber 133 sein denn weil sie Teilmenge ist muss eins drei und fünf drin sein also wenn drei Elemente drin sein sollen da müssen entsprechend drei mit drin sein sonst kann ja keine Vielfachheit drin sein also müssen wirklich diese drei Dinge mit drin sein das heißt also wenn sie endliche Mengen haben dann gilt dafür immer als Betrag a gleich Betrag B ist und das Endliche Mengen sind schreiben wir auch falls A gleich B Betrag a gleich Betrag B und dann kleiner als unendlich also gleich unendlich bedeutet wir haben eine unendliche Menge kleine als unendlich bedeutet wir haben eine Menge mit irgendeiner endlichen Anzahl von Elementen und wir Reihen das so aneinander das heißt hier muss dann also jedes dieser verbindenden Zeichen das gelten es gilt sowohl Betrag a = Betrag B als auch das Betrag B kleiner ist als unendlichen damit auch Betrag a kleiner ist als unendlich das heißt also wir haben zwei endliche Mengen mit gleich vielen Elementen drin ja und wenn das gilt und wenn außerdem a eine Teilmenge von B ist dann ist automatisch auch gleich B das ist oft sehr ein sehr nützliches einfaches Argument um zu zeigen dass zwei Mengen gleich sind dass die einen der anderen enthalten sind und von der Anzahl der Elemente schon mal so ist dass die eine die andere auch gar nicht echt mehr enthalten kann für unendliche Mengen gilt es natürlich nicht denn sie haben zum Beispiel das der Betrag der natürlichen Zahlen der ist gleich dem Betrag der ganzen Zahlen das nämlich beides unendliche Mengen aber die natürlichen Zahlen sind echt weniger als die ganzen Zahlen also das gilt n ist eine echte Teilmenge von z ja tatsächlich kann man diesen unendlichkeitsbegriff den kann man mathematisch noch näher charakterisieren wir haben in der Mathematik haben wir ein verschiedene Arten von unendlich und die eine Unendlichkeit ist die dass sie die immer noch abzählen können das heißt Sie können nacheinander sie können als sie bräuchten zwar unendlich lange dafür aber sie könnten nacheinander alle Elemente der Menge aufzählen und irgendwann wird jedes Element dran kommen so ist es bei natürlichen Zahlen wie kann ich aufzählen 1 2 3 4 5 und welche egal welche natürliche Zahl sie sich denken irgendwann hätte ich sie genannt wenn ich das in Gedanken tatsächlich machen würde dieses aufzeigen auch die ganzen Zahlen sind entsprechend so die kann ich ja zum Beispiel 1 - 1 2 - 23 - 3 und so weiter aufzählen auch die könnte ich so aufzählen auch die rationalen Zahlen kann man so aufzählen stellen Sie sich die Brüche vorgeschrieben als eine Tabelle Zähler Nenner sondern zweidimensionale Tabelle dann könnten Sie die Tabelle oben links durchgehen und gehen dann immer in Diagonalen langsam runter auf die Art und Weise würden sie auch alle Brüche sogar mehrfach legen weil sie nicht gekürzt hätten würden sie alle Brüche auch aufgezählt haben das heißt das ist alles auch noch dieselbe Art von mathematischer Verbindlichkeit trotzdem sind diese Mengen echt ineinander enthalten in natürlichen Zahlen sind weniger als die ganzen Zahlen die ganzen Zahlen sind weniger als die rationalen Zahlen man kann sich überlegen dass die reellen Zahlen tatsächlich echt mehr sind die könnten sie nämlich nicht auf diese Art und Weise abzählen ja eine ein Achtung hätte ich noch mit drin sie haben in der Literatur ja leider auch in der Mathematik ist nicht immer alles ganz eindeutig in der Literatur auf dieses n und null müssen Sie achten also wenn sie ein Buch zur Vorlesung lesen wenn sie später Fachliteratur verwenden müssen Sie darauf achten wenn er das entsteht bedeutet das mit der Null oder bedeutet das ohne d0 und wo sie ebenfalls darauf achten müssen ist bei diesen teilmengenzeichen das ist sogar leider noch häufiger so dass da Unterschiede gibt es gibt auch die Notation [Musik] das geschrieben wird a Teilmenge B was bei uns echte Teilmenge bedeuten würde das Verwenden manche Autoren auch statt dem Zeichen mit dem Strich drunter das heißt die lassen den Strich einfach immer weg auch dann wenn es die gleiche Menge ist auch dann wenn es nicht eine echte Teilmenge ist und wenn die das so machen dann müssen wir natürlich ein anderes Zeichen dafür haben dass es eine echte Teilmenge ist das heißt was die dann machen ist die schreiben a Teilmenge und dann ein ungleichzeichen B darunter das schreibt wir entsprechend statt a Teilmenge B und das natürlich noch gemeiner weil wenn sie irgendwo sehen Teilmenge B ohne den Strich drunter müssen Sie wissen meint der Autor das eine damit echte Teilmenge oder meinte Auto damit einfach Teilmenge ja und das ist mehr oder weniger eine faulheitsgeschichte diejenigen Autoren die fast nie die echte Teilmengen ausdrücken wollen die nehmen diese zweite Notation weil sie dieses längere Zeichen dann seltener schreiben müssen und diejenigen die entsprechend auch häufiger die Teil echte Teilmengen haben dementsprechend die oberen Notation wir werden in der Vorlesung immer diese hier verwenden also wir verwenden in der Vorlesung in der Vorlesung immer das Teilmengen Zeichen mit dem gleichheitsstrich drunter bzw ohne den gleichheitsstrich drunter und nie die andere notation ja dann lässt sich aus Mengen können wir natürlich neue Mengen basteln also wenn sie sagen welche Studenten waren heute in der Vorlesung am Montag welche Studenten waren da am Mittwoch dann kann ich gucken wer war in einer der beiden Vorlesungen habe ich diese Woche überhaupt mal gesehen dann hatte ich also die Vereinigung genommen von allen die am Montag da waren und allen die am Mittwoch da waren das heißt ich bilde die Menge aller Elemente wo das drin ist was montags da war und das drin ist was mittwochs da war und es ist eine Menge am Ende das heißt vielfach halt wird nicht gezählt wenn jemand bei beiden Terminen da war dann ist es am Ende wenn ich die Menge gebildet habe können Sie das nicht mehr draus ablesen was sie dann gemacht haben wäre Teilmenge a vereinigt B zu bilden das heißt a vereinigt B wäre die Menge aller klein a so das Doppelpunkt das klein a in Groß a enthalten ist also alle Elemente die entweder in a drin sind oder aber klein a im groß B drin ist und sie kennen also die Vereinigung von und B und dabei vielleicht auch gleich noch zwei Kommentare zu werden Notation wir haben hier das Doppelpunkt gleich das verwenden wir immer dann ich habe schon vorherigen Folien schon verwendet wir schreiben immer dann Doppelpunkt gleich wenn wir betonen wollen dass wir hier etwas definiert haben das heißt den Ausdruck a und dann dieses UB den kennen sie vorher noch nicht und jetzt sage ich Ihnen was soll dieser Ausdruck bedeuten a und dann dieses U-Form B soll bedeuten die Menge aller a entweder Ana oder groß a oder a in Klein in Groß B das Mengen das ist Zeichen für Vereinigung ist ja das können sich so vorstellen wie eine Schüssel alles was aus A ist groß a ist wieder rein geworden alles was aus Groß B ist wirft da reingeworfen entsprechend ist beides drin und sie kennen aus der Grundschule natürlich diese sogenannten fendiagramme also wenn Sie hier so eine Menge haben groß a und sie haben eine Menge groß B dann ist entsprechend die Vereinigung das was in beiden Mengen drin ist also sowohl erst was in Art drin ist als auch das was im B drin ist und wenn wir oder sagen in der Mathematik meinen wir immer einen inklusives oder das heißt es auch immer erlaubt dass beides gilt in der Informatik ist das exklusive oder auch sehr populär wo sie entsprechend haben dass nur das eines genau eine der beiden Eigenschaften gilt wenn du das in der Mathematik brauchen dann sagen wir das ganz explizit dazu also oder bedeutet immer das eine oder das andere oder beides soll erfüllt sein ja dann gibt es natürlich auch den Schnitt auch das kennen sie a geschnitten B da dreht man diesen Topf dann um mit der Vorstellung dass man jetzt auch irgendwie A und B da gleichzeitig auf diesen ungestülpten Topf schüttet und dann eben nur ein Teil davon übrig bleibt nämlich das was von beiden Seiten gekommen ist das soll also gerade sein diejenigen Elemente klein a für die gilt ASM groß a und a ist auch in groß B also das wäre entsprechend die Schnittmenge aus A und B also a geschnitten mit B wäre wenn die Studenten ja Montag da warten und die auch am Mittwoch da waren das werde ich Schnittmenge der Teilnehmerzahlen der Teilnehmer von Montag und Mittwoch mit meiner von a und b und entsprechend das fendiagramm dazu wäre also jeder Schnitt von Groß a und groß B ja dann kann ich natürlich auch sagen wenn ich zwei Mengen habe ich möchte gerne alle ich möchte gerne irgendwie mit allen Studenten reden die am Montag da waren aber nicht am Mittwoch weil bei den habe ich den Verdacht dass sie einfach nicht früh aufstehen wollten und deswegen weil ich mit denen noch mein ernstes Wort reden also dann würde ich mir die Menge angucken eine Menge von Studenten die aber in einer anderen Menge nicht drin liegen das heißt ich würde mir angucken und das schreibt man dann so als a und dann so ein Backslash groß B das wäre entsprechend ohne B und das wäre die Menge aller klein a so dass klein a ein großartig aber klein a nicht in Groß B liegt das wäre die sogenannte Differenzmenge oder wenn man das liest dann sagt mir auch einfach a ohne B also a ohne B gesprochen also wieder so ein fendiagramm machen haben wir unser a hier haben wir unser B dann wäre entsprechend a ohne B wäre alles was in a liegt aber nicht gleichzeitig auch in B mit drin liegt ja und wenn sie endliche Mengen haben dann übertragen sich das was sie da machen mit den entsprechenden Vereinigungen Schnitten Dinge rausnehmen das können Sie natürlich auch direkt daraus die Anzahl der Elemente der neuen Menge berechnen also wenn ihre Mengen endlich sind [Musik] und B Betrag a gleich Betrag B kleiner als unendlich da gilt das überlegt man sich natürlich schnell das a ohne B werden alle Elemente von A ohne die von B na ja wenn das B eine Teilmenge wäre von A dann wäre das also einfach die Anzahl der Elemente in a minus die Anzahl der Elemente in B jetzt haben das fändediagramm ja oben drüber die Anzahl der nicht müssen nicht alle Elemente von B auch in a sein aber die Elemente von B die auch in a sind die sind dann rausgenommen worden aus a also ohne B ist dasselbe wie a ohne den Schnitt von A und B dann nur das was in a vorher auch drin lag können sie ja auch rausnehmen aus alles andere Weise sowieso vorher nicht drin und dement ist die Anzahl der Elemente von A ohne B die Anzahl der Elemente von A dann hätten sie das ganze hier oben Plus dieses Grün gepunktete und rausgenommen haben sie das Grün gepunktete also gerade den Schnitt von A und B also a Betrag a - Betrag a geschnitten wie wäre das was sie abziehen müssten und die Anzahl der Elemente von A ohne B zu haben ja und das ganze kann man so weitermachen wenn sie entsprechend die Vereinigung haben auch das kann man darauf zurückführen für die Vereinigung von zwei endlichen Mengen gilt dann ist da hinten hin das ist auch noch für endliche Mengen natürlich also Betrag geeinigt Betrag B das wäre wenn die beiden Mengen nur verschiedene Elemente enthalten würden dann wäre das gerade Betrag a plus Betrag B alles was in a drin ist es in der neuen Menge drin alles was im B drin ist in der neuen Menge drin wenn sie das aber so einfach addieren dann haben Sie alles was doppelt also alles was in beiden Mengen drin ist haben sie doppelt gezählt also wenn ich die Anzahl der Teilnehmer einen montagsvorlesung nehme plus die Anzahl der Teilnehmer in der mittwochs Vorlesung und sie waren einfach alle immer da dann habe ich einfach die doppelte Anzahl der Teilnehmer genommen das heißt wenn ich die Anzahl der der Teilnehmer von der mittwochsvorlesung einrechnen muss ich die rausnehmen die sowieso schon in der in der Vorlesung am Montag da waren das heißt was ich einmal abziehen muss ist der Schnitt der also die Studenten den beiden Vorlesungen waren das heißt was ich abziehen muss ist einmal der Schnitt geschnitten B entsprechend in den fendiagramm wenn sich das Aufmalen wenn sie einmal ganz arg genommen haben einmal ganz B genommen haben dann haben sie den Schnitt von beiden den haben sie doppelt genommen ja wir hatten gerade schon dass der Schnitt ganz oft auftaucht und das was Besonderes passieren würde wenn der Schnitt leer ist und das hat auch einen Namen also wir sagen A und B heißen disjunkt wenn [Musik] der Schnitt leer ist jungt von junktion der Schnitt ist das ist eben kein Schnitt gibt also falls geschnitten B wenn das gleich ist der leeren Menge und man schreibt teilweise auch so ein macht man wenn man die Vereinigung von zwei bis jungten Mengen nimmt dann nimmt man manchmal auch einen Punkt über dieses kreiszeichen drauf das heißt da würde man entsprechend schreiben dann ab des Jugend da schreiben wir auch vereinigt B und aber auszudrücken dass die das jungt sind machen da einen kleinen Punkt drüber ja einfach außerdem noch wichtig ist an Notationen was in der Literatur außerdem sehen werden ist das Kompliment von Mengen typischerweise wenn sie von Mengen sprechen haben Sie irgendeine Obermenge von der sie wissen was gemeint ist also wenn ich wenn ich sage alle Zahlen die nicht gerade Zahlen sind dann würden sie wahrscheinlich sagen das sind alle ungeraden Zahlen weil sie automatisch davon ausgegangen sind dass ich wahrscheinlich von den natürlichen Zahlen spreche und uns nur die Frage meine ich die ganzen Zahlen also - davor noch erlaubt oder nicht wenn ich Ihnen sage alle Zahlen die keine rationalen Zahlen sind dann bin ich mir bewege ich mich wahrscheinlich in der Menge der reellen Zahlen und will davon allen Zahlen sprechen die sie eben nicht als Bruch darstellen können das heißt bei diesen ausdrücken wissen sie typischerweise was gemeint ist als Obermenge und das nennt man dann das Kompliment von einer Menge also falls klar ist welches groß m gemeint ist dann schreiben wir auch a Kompliment also a oben C und das C soll jetzt eben nicht eine weitere Menge sein sondern dieses große C steht für das Kompliment und a oben C ist alles was nicht in a drin ist und dafür müssen Sie aber wissen was sie überhaupt betrachten also alles was nicht eine ungerade Zahl ist damit meine ich wahrscheinlich nicht Studenten die im Hörsaal sitzen ich meine sie sind auch keine geraden Zahlen also von daher wäre das auch in der Menge drin sondern alles was nicht gerade Zahlen sind dann ist ihnen klar ich meine irgendwie die integer zahlen die ganzen Zahlen die natürlichen Zahlen also das heißt ja ich habe irgendeine Obermenge und ich nehme alles was in dieser bekannten Obermenge drin ist ohne die Menge a und beachten Sie dann immer dieses Kompliment auftaucht ob sie sich im Klaren sind in welcher Menge großem gerade das Kompliment gemeint ist zum Beispiel die nicht geraden Zahlen ist die Frage ist -3 dabei noch gemeint oder will ich nur natürliche Zahlen oder ist -3 auch eine nicht gerade Zahl ja und dann gibt es eine ganze Reihe von Regeln die für diese Mengen gelten die meisten davon sind komplett intuitiv wir haben die hoffentlich auch alle in der Schule gesehen das heißt ich würde da weiterhin mit dem etwas höheren temperaturübergehen denn sie können sagen wenn Sie zum Beispiel wissen a Teilmenge das sind meine sogenannte Transitivität aber vielleicht mit dem Begriff an damit es schön tabellarisch Transitivität Mengen inklusion ist transitiv das heißt wenn Sie wissen a ist eine Teilmenge von B alles was in as ist auch NB drin und sie wissen alles was in B ist auch ein C drin ja dann wissen Sie alles was in Aas ist auch ein B alles was im B ist es auch in C also ist alles was in a ist auch automatisch auch in See dann ist es ja ein B und damit auch in C also wenn AMB ist und BNC ist dann gilt auch enthalten MC und diese Eigenschaft die sieht man bei vielen mathematischen ausdrücken zum Beispiel die Gleichheit erfüllt das auch wenn sie wissen dass seit zwei Zahlen a gleich B ist und Sie wissen das B gleich C ist dann wissen Sie damit auch das a gleich C ist das heißt so eine Transitivität ist etwas was uns in der Mathematik sehr sehr häufig begegnet außerdem etwas was uns in der Mathematik sehr sehr häufig begegnet ist die sogenannte kommutativität die ist manchmal da manchmal nicht in dem Fall ist sie da es ist nämlich egal in welcher Reihenfolge sie zwei Mengen schneiden oder vereinigen also a vereinigt B ist genau das gleiche wie B vereinigt a dann alles was in a drin ist und in B drin ist ist dasselbe wie alles was im B drin ist und in a drin ist das ist eine das heißt sie können die Reihenfolge macht an der Stelle keinen Unterschied und auch das schreibe ich Ihnen deswegen so ausführlich hin und sie drauf zu trainieren wir werden später Objekte kennenlernen die in der Bildbearbeitung eine ganz große Rolle spielen bei denen das nicht mehr kommutativ ist wo es aber meine Reihe wo diese Reihenfolge immer wichtig sein wird bei den Mengen bei Vereinigung ist es nicht wichtig beim Schnitt ist es offensichtlich auch nicht wichtig alles was alle Studenten die montags da waren und mittwochs sind genau dieselben wie die die mittwochs da waren und Montags ja es gilt noch mehr sie können nämlich auch mehrere Ausdrücke also die Reihenfolge ist im allgemeinen wichtig in der Mathematik hier bei Mengen das ist was Besonderes dass die nicht wichtig ist wenn Sie mehr als zwei Objekte haben dann ist die Frage in welcher Reihenfolge Sie diese verschiedenen Dinge die da stehen durchführen machen sie das von links nach rechts oder setzen Sie zum Beispiel Klammern damit sie entsprechend gesagt haben in welcher Reihenfolge das auszuwerten ist dass die sogenannte Assoziativität Assoziativität die damit zusammenhängt also es ist nämlich egal wenn Sie den Ausdruck a vereinigt B vereinigt C hinschreiben dann ist erstmal unklar mathematisch was meine ich damit meine ich damit dass ich erst A mit B vereinigen muss und bisher haben wir nur definiert dass es die Vereinigung zweiermengen also soll ich jetzt erst A mit B vereinigen und das was dann rauskommt mit C vereinigen also meine ich damit mit Klammern geschrieben a vereinigt B und dann vereinigt mit C also bilde ich jetzt erst die Liste von Studenten die diesen Montag diesen Mittwoch und nee die diesen Montag in diesem Mittwoch da waren und vereinige das dann mit den Studenten die nächste Woche Montag da sind und das ist natürlich genau das gleiche was rauskommen würde wenn ich entsprechend sage würde vereinigt B ja eigentlich sollte das sein vereinigt sie also ich könnte auch erst die hintere beiden Mengen vereinigen und dann die vordere Menge mit dazu tun das heißt da ist es egal und auch beim Schnitt ist es offensichtlich egal alles was in a drin ist und in B drin ist also alles was diese Eigenschaft erfüllt und dann auch noch im See drin ist das ist auch offensichtlich das gleiche wie alles was in a drin ist und auch in B und C drin ist ja und deswegen schreibt man bei diesen ausdrücken wenn man weiß dass das egal ist Assoziativität also ziieren das Dinge miteinander verknüpfen das ist also egal in welcher Reihenfolge sind diesen 3er ausdrücken jeweils zwei Dinge miteinander verknüpfen wenn das egal ist kann man diese Klammern auch komplett weglassen also das heißt vermengen würden wir auch einfach eigentlich B vereinigt sie ohne Klammern schreiben weil wir wissen es ist egal wie man die Klammern setzen würde wo es aber nicht egal ist ist in dem Moment wo sie sowohl vereinigt als auch Schnitte mit drin haben also in dem Moment wo sie so einen Ausdruck haben das nennt man dann die distributivität in dem Moment wo sie einen Ausdruck haben a geschnitten B vereinigt C jetzt ist es nicht mehr egal ob ich erst sage ich nehme alles was in a und in B drin ist und für einige das dann mit allem was in C drin ist oder sage ich ich vereinige erst B und C und schneide dann mit a das können sich ganz einfach überlegen stellen sich vor das C etwas enthält was in Arm nicht drin ist geschnitten B haben sie dann gebildet dann haben Sie mit C vereinigt dann ist da alles drin was ein C drin ist das ist aber andersrum machen wenn sie erst B&C vereinigen und dann mit a schneiden dann kriegen nur Dinge raus die auch in a drin sind das heißt hier ist es nicht mehr so dass es egal ist ich mache die Klammern gleich weg dieser Ausdruck hier der ist nicht mehr das gleiche wie dieser Ausdruck hier angeschnitten B vereinigt C es gibt aber eine rechenregel wie sie das entsprechend auflösen können wenn sie a schneiden mit B vereinigt C also wenn sich angucken was ist ein Art drin und gleichzeitig ganz kleinen Moment was es im B vereinigt C mit drin dann kriegen sie alles raus was MB drin ist und DNA und alles raus was in C drin ist und in Adern sie haben alles raus was ein B und C drin ist und danach geguckt was davon war auch in a das heißt also a geschnitten B vereinigt C das ist dasselbe wie a geschnitten B vereinigt a geschnitten C da gab es eine Wortmeldung sagen sie noch mal sie haben Sie Ihre Frage ist nach der Vereinigungsmenge bei des jungen Mengen also Vereinigung haben wir definiert ja bei dieser hier bei dieser Folie sind bei dieser Schreibweise mit dem Vereinigungen das ist eine Schreibweise mit der Sie also im Normalfall schreibe dieses a vereinigt B ohne den Punkt wenn wir darauf hinweisen wollen dass diese beiden Mengen des jungt sind dann schreibt man auch diese Vereinigung mit dem Punkt oben drauf das heißt dieses Vereinigung mit dem Punkt oben drauf verwendet man nur dann wenn die beiden Mengen die sie vereinigen des Jungen sind dann ist klar es gibt keinen Schnitt ansonsten kann können den Schnitt haben oder auch nicht ja also distributivität a geschnitten B vereinigt sie wäre angeschnitten B vereinigt a geschnitten C das können sie sich ja entweder darüber überlegen dass sie das wirklich in den Reihenfolgen durchgehen also alles was im B oder C drin ist und jetzt muss es auch noch in Art drin sein also vorher muss es sowohl in als auch ein B drin gewesen sein oder sowohl in als auch in C drin gewesen sein auf die Art und Weise macht man sich diese Regeln klar oder aber man macht die sich auch ebenfalls klar über diese dem Morgen nicht im morgen über diese Fan Diagramme wenn Sie sich vorstellen sie haben hier drei Mengen a geschrieben und wollen a geschnitten B vereinigt C haben dann wäre also entsprechend B vereinigt C wenn das ja wie und C ist dann wäre also B vereinigt C wäre hier alles rote und das ganze geschnitten mit B mit das geschnitten mit a wäre also jetzt alles was von dem roten auch noch in a liegt wäre also gerade dieser blaue Bereich hier und dann sehen sie der ist gerade zusammengesetzt aus a geschnitten B diese und a geschnitten Zeh ist nämlich gerade hier dieser dieses Teil hier und dieses Teil hier diese beiden Dinger zusammen also auf die Art und Weise können Sie durch das leicht klar machen warum diese Regeln gelten und die Regel gilt auch ganz genauso mit vertauschten Rollen von geschnitten und vereinigt also a vereinigt mit B geschnitten C auch das überlegt man sich ganz leicht auch das ist einfach dasselbe ja B geschnitten alles was im B und C drin ist wenn ich das jetzt mit a vereinige dann kriege ich also alles raus was in a oder b drin lag und auch in A oder C drin lag also das ist das gleiche wie vereinigt mit B und das ganze geschnitten mit a vereinigt und von München B und C drin liege oder ein a dann heißt es sich nicht in A oder B drin und auch in A oder C mit drin auch das entsprechend könnten sie sich auch durch den vendiagramm entsprechend leicht aufmalen ja und die letzte dieser Regeln sind die sogenannten dämonischen regeln wenn sie nämlich jetzt das Kompliment nehmen von einem Schnitt oder das Kompliment von einer Vereinigung auch da gibt es Formel für wie man das ganze entsprechend umformen kann die sogenannten dämorgenschen regeln also angenommen wir nehmen a geschnitten B und dann wollen wir alles haben was nicht in a geschnitten B drin ist also möchten gern das Kompliment haben von A geschnitten B und beachten Sie jetzt muss wieder klar sein welche Obermenge groß m ich meine also wenn ihr mich von einem Kompliment Rede muss in allen klar sein was irgendwie die Obermenge ist also angenommen wir wissen alle welche Obermenge gemeint ist die also wohl als auch B enthält und wir wollen es alles haben was nicht in a geschnitten B drin ist dann wollen wir also alles haben was nicht in a und b drin ist naja und was ist nicht in a und b drin und das muss entweder nicht in a drin sein oder aber es muss nicht in B drin sein wenn es nicht in a drin ist ist es auch nicht im Schnitt wenn es nicht im B drin ist ist es nicht im Schnitt das heißt wenn das wir nicht in a geschnitten B drin liegen ist gerade Äquivalent dazu dass wir entweder nicht in a liegen oder nicht in B liegen das heißt das ist also gerade das Kompliment von A vereinigt mit dem Komplement von B wenn man eine Frage in dem tatsächlich wir nehmen immer das Kompliment in der Vorlesung mit diesem oben C tatsächlich werden wir sogar meistens einfach mit einer Set minus also mit diesem Backslash schreiben also alles es gibt in der Notation das stimmt in der Literatur ist es auch üblich das Kompliment mit zum Strich darüber zu notieren anstelle von diesem oben C dieser Strich darüber wird in der Mathematik allerdings häufig auch für andere Dinge gebraucht also in der brauchen zum Beispiel in der eine analysis werden sie das für den Abschluss nehmen dass sie eine Menge mit dem Rand haben da gibt es einen Strich drüber außerdem werden nehmen wir den Strich drüber extrem gern wenn wir so etwas haben wie a noch so was ähnliches wie ah dann nehmen wir uns a und a quer entsprechend also von daher haben wir an der Stelle tatsächlich auf beides mit dabei jetzt verlässt uns gerade der Kameramann ich bräuchte sie noch zum ich bräuchte sie nach der Vorlesung sie sind gleich wieder da sehr gut ja also wie gesagt na und Literatur auch übrig mit einem Strich drüber aber wie gesagt wir machen es hier nicht weil wir den Strich drüber für andere Dinge verwenden wollen ja und dieselbe Geschichte gilt natürlich auch nicht nur für die Vereinigung sondern das ganz nicht nur für den Schnitt das ganze gilt natürlich auch für die Vereinigung wenn ich das Kompliment haben will von dem was in AfA einigt B drin ist dann werde ich also alles haben was nicht in A oder B drin ist da ist also das drin was nicht in a drin ist und was aber gleichzeitig auch nicht in Beet drin ist denn wenn es in einem von beiden drin wäre dann wäre es auch in der Vereinigung also das heißt das Kompliment von A vereinigt B ist das was nicht in a und nicht in A oder B drin ist das heißt das muss also nicht in arthren sein und kann auch gleichzeitig nicht in B drin sein also wenn ich hier die Teilnehmer habe die am Montag da waren die Teilnehmer die am Mittwoch da waren beide zusammengeworfen dann das Kompliment gebildet und dann sind also die Teilnehmer die am Montag oder wenn ich Montag Mittwoch die beiden Namensliste zusammenfüge dann sind die Namen nicht auf der Liste die weder am Montag noch am Mittwoch da waren also dem Komplement von A drin sind und auch ein Kompliment von C von B drin sind und auch das können Sie sich natürlich Englisch über solche ferndiagramme leicht aufmalen wenn sie entsprechend sagen sie haben das Kompliment von A geschnitten B dann wäre also a geschnitten B diese blaue Menge hier mit dem Komplement bei den fendiagrammen haben wir also irgendeine große Obermenge wo alles drin ist und dann wäre als entsprechend das Kompliment geschnitten B und davon das Kompliment wäre also gerade alles was hier nicht blau ist wäre diese Geschichte hier und Sie sehen das ganze kommt auch raus wenn sie sagen würden sie nehmen sich die Menge alles was nicht in a drin ist hier wieder a 4b also alles was mich in a drin ist das wird Ihnen schon mal diesen Bereich hier geben und dann packen Sie dazu alles was nicht in B drin ist und das wird Ihnen entsprechend diesen Teil hier geben und sie sehen dann würde gerade alles rauskommen was nicht in a geschnitten B drin war also wenn hier dieser Schnitt zu B drin war dann ist das das einzige was nicht rot gefärbt wird ja also auf diese Art und Weise können wir mit den Mengen rechnen das letzte vielleicht was wir heute noch machen ist wir haben in der Mathematik ich Reiter deswegen so drauf rum damit wir man einfach an die Prinzip die Begriffe ganz präzise haben wir haben bei Mengen keine Reihenfolge wir haben keine Vielfachheit was wir aber haben ist ein ganz strikter Unterschied zwischen dem Element einer Menge und der Menge selber ich hatte ihnen das kurz erwähnt mit der mit dieser Logik Geschichte dass die Logiker die Zahlen konstruieren aus der leeren Menge und die Menge die die leere Menge enthält das heißt dafür ist es wichtig zu unterscheiden eine Menge selber und das und die Menge die diese Menge enthält das sind zwei komplett verschiedene Dinge das heißt die Zahl 3 ist bei uns in der Vorlesung immer ganz strikt zu unterscheiden von der Zahl von der Menge die die Zahl 3 enthält also das bedeutet die Zahl 3 ist enthalten in der Menge die die Zahl 3 enthält aber die Zahl 3 ist nicht das gleiche wie die Menge die die Zahl 3 enthält also dafür sind wir wirklich ganz ganz strikt und diese Mengen sind wirklich eine Ansammlung von irgendwelchen Objekten stellen sie sich irgendwelche point-strukturen entsprechend vor in der in der Informatik und da können insbesondere auch weitere dieser Pointer kann auch auf irgendein anderes Array verweisen das heißt als Element von einer Menge kann wiederum eine ganz andere Menge sein also es gibt zum Beispiel also wenn Sie zum Beispiel sagen die Menge groß m nehmen es Beispiel aus dem Skript die enthält die Menge die die 1 enthält und die Menge die 12 enthält dann haben wir also eine Menge die besteht aus zwei Mengen nämlich der Menge die 1 enthält eine menge die dir 12 enthält und das können ganz beliebige Objekte sein die ich dazu der Menge zusammenfasse also ich könnte die Menge nehmen die die eins enthält die Menge die ein zwei enthält außerdem die 1 noch als Zahl das ist ja was anderes als die Menge dir eins enthält und dann vielleicht noch die natürlichen Zahlen dazu und die reellen Zahlen dazu dann habe ich also die Menge die all diese Objekte mit drin enthält und dementsprechend wäre es jetzt so bei dieser Menge ist es so die das zum Beispiel 12 wäre jetzt keine Teilmenge von M denn m enthält nicht die Elemente 1 und 2 also das auf der linken Seite 12 sind die Zahlen 1 und 2 die sind aber nicht bei den groß m enthalten nur die 1 ist drin die zwei nicht aber so aber was im drin ist ist die Menge 1 2 das heißt das hier gilt nicht aber es würde gelten Menge 1 2 ist Element von diesem groß m also solche Sonderfälle wie das irgendwie eine Menge enthalten die natürlichen Zahlen die reellen Zahlen enthält das werden wir sehr selten also gar nicht sicherlich brauchen in der Vorlesung aber was wir tatsächlich öfters mal haben ist wirklich diese strenge Unterscheidung ist das ein Element ist das eine Menge entsprechend unterscheiden wir auch streng zwischen diesen Element Zeichen und diesem Teilmengen Zeichen ja und dann kann man sie haben eine Frage ja aber es sind nicht alle natürlichen Zahlen mit drin das heißt nicht dass die natürlichen Zahlen dass deine Teilmenge von großem ist sondern die natürlichen die Menge der natürlichen Zahlen die es mit drin das hier ist also nicht das Gleiche ich schreibe ihm dass ich mich in das mal weg wenn ich das so machen würde mach das mal so angenommen ich definiere Ihnen das M so 1 2 eins R und dann vereinige ich das mit n das ist ein Unterschied jetzt habe ich alles was ein N ist auch in die Menge mit reingenommen 123 und so weiter wenn ich das so definiere nennen wir das im quer jetzt haben wir schon Beispiel wo ich gerne sowas wie das querzeichen mit benutze dann ist es so dass tatsächlich 12 eine Teilmenge ist von M denn jetzt sind 1 und 2 mit drin und vorher Wahl 1 und zwar einmal die zwei nicht mit drin aber die Menge der natürlichen Zahlen war mit drin also ist wirklich diese strenge Unterscheidung Menge und Elemente sind etwas verschiedenes ja und an der Stelle ist ein ganz guter Zeitpunkt um die Vorlesung für heute zu beenden und ich danke Ihnen für sehr fürs zuhören

ja dann läuft jetzt auch die Aufnahme wieder wir haben gesprochen über den naiven Zahl und Mengen bekräftt das heißt wir können mit zahlen wir können zählen wir können mit Zahlen rechnen auch das können sie ja schon sie können Zahlen addition addieren Sie können Sie subtrahieren sie können multiplizieren Sie können dividieren Sie können aus der Schule schon die entsprechenden Gesetzmäßigkeiten die dafür gelten und sie können diese Zahlen zusammenfassen zu Mengen und was ich jetzt gerne weiter mit ihm besprechen möchte ist ja eine erstmal eine Frage die schon kam wie schreiben wir das denn wenn wir sagen möchten dass mehrere Elemente in einer Menge sind also wenn wir die Zahlen 135 haben und wir wollen irgendwie ausdrücken dass eins und drei da drin sind dann können wir das mit so kleinen Element Zeichen machen wir können aber auch die Zahlen 1 und 3 erst zu einer Menge zusammenfassen dann sagen diese eine Menge ist enthält nur Elemente der anderen Menge das heißt was ich jetzt gerne mit Ihnen noch wiederholen möchte in der zweiten Hälfte der Vorlesung wäre die sogenannte Mengenlehre also auch das alles sind Dinge die sie ja wahrscheinlich in der Grundschule wirklich schon kennengelernt haben wahrscheinlich weiß gar nicht ob das Ding noch gibt ich glaube das ist Jahrzehnten schon ich hatte das so ein spezielle kleine Schokolade Schablone wo sie dann so ein rundes Ei mit zeichnen konnten und entsprechende Dreiecke und Quadrate um da wirklich schon auf kindlichen Niveau in der Grundschule Objekte zu Mengen zusammenzufassen und was wir dafür also haben an Notationen fassen wir die nochmal zusammen angenommen wir haben irgendeine Menge in der Mathematik sagen wir das immer so sei m eine Menge also wenn sie programmieren und haben eine Programmiersprache dann gibt es Programmiersprachen die ihn dazu zwingt jeden Bezeichner den sie zu verwenden erstmal zu sagen was ist das für ein Typ also da können sie zum Beispiel nicht einfach starten mit Sätze i auf eins sondern sie müssen erst mal sagen i ist ein Integer ist eine ganzzahlige variable und dann reserviert er ihn im Speicherplatz für eine integer variable und erst dann können sie sagen i = 1 ähnlich machen wir das in der Mathematik wann immer wir von einem Objekt sprechen wollen müssen wir erst mal sagen was ist das für ein Objekt also wenn es was einfaches ist dann schreibe ich sowas wie M Doppelpunkt gleich 3 dann wissen Sie m ist die Zahl 3 wenn es irgendetwas beliebiges sein Bildern ist unsere typische Schreibweise dafür sei m eine Menge das heißt in dem Moment ist jetzt in irgendeine Menge also irgendetwas was verschiedene Elemente enthält und dann schreiben wir entsprechend das haben wir schon verwendet klein m in Groß m dafür das klein n ist Element von Groß m oder auch in M enthalten und entsprechend klein nicht Element also dieses angedeutete e hier nicht eine Element von M wäre entsprechend klein m ist nicht Element von Groß m und die Aussagen müssen sie zumindest prinzipiell treffen können wenn sie eine Menge haben denn eine Menge ist nach unserer naiven Begriff dadurch definiert dass wir wissen was drin ist also wenn wir wissen was drin ist sind das zwei wohldefinierte Ausdrücke dass wir sagen können entweder ist klein m in Groß m drin oder klein m ist eben nicht in großem drin wenn wir das nicht beantworten können dann wissen wir nicht was die Menge groß ein enthält ja dann können wir natürlich auch von der Menge von allem reden also wenn ich sage alle Studenten hier im Raum das sind hoffentlich die die am Ende die Klausur bestehen werden dann habe ich also die Menge die einfach alles umfasst und entsprechend kann ich aber auch von der Menge reden die einfach gar nichts umfasst nämlich diejenigen von Ihnen hoffentlich die durch die Klausur durchfallen werden das wird hoffentlich die leere Menge sein das heißt die Menge die einfach gar kein Element enthält also wir können auch sagen groß m ist die leere Menge das schreibt man seltener mit so einer geschweiften Klammer aufgeschweifte Klammer zu den Rotation gibt es wird aber ganz selten verwendet dahinter was häufiger ist ist die Notation dass man so gestrichene Null hierhin macht und diese durchgestrichene Null bedeutet groß m ist die leere Menge und man schreibt das wie gesagt auch als geschweifte Klammer aufgeschweifte Klammer zu ohne irgendein Element dazwischen zu schreiben eine weitere Notation die wir häufig brauchen werden ist Betrag von M mit Betrag von M meinen wir die Anzahl der Elemente als ab der älter von groß m und das können endlich viele sein oder unendlich Fehler also die Menge 135 enthält offensichtlich drei Zahlen also Betrag von der Menge 1,3,5 ist gleich 3 die Menge der natürlichen Zahlen enthält unendlich viele Zahlen denn wenn sie nur 1000 Zahlen enthalten würden dann ist aber zu dieser größten Zahl auch der jeweilige Nachfrage noch dabei wäre also auch ein tausendundeins ist Element dabei das heißt es kann keine Zahl geben die uns alle natürlichen Zahlen wir die Anzahl der natürlichen Zahlen wieder gibt und für solche unendlichen Mengen da schreibt man auch unendliche Mengen das Symbol für unendlich Betrag von M ist gleich unendlich das ist so eine liegende Acht und entsprechend soll das so eine ja so eine entsprechende weg sein der nie endet das heißt wir haben so ein spiralweg der entsprechend niemals enden würde wenn sie diese acht entsprechend Nachfahren würden ja und dann gibt es zwei Möglichkeiten wie wir diese Mengen definieren auch das ist uns beide schon begegnet wir können Mengen entweder dadurch definieren dass wir explizit sagen was drin ist das ist die sogenannte umfangsdefinition also wir sagen wirklich ganz konkret was ist drin in dieser Menge zum Beispiel 2468 wäre so eine umfangsdefinition es gleich zwei vier sechs acht also sie geben wirklich explizit an das und das ist drin und alles was sie nicht angegeben haben ist entsprechend nicht drin oder aber das andere nennt man typischerweise inhaltsdefinition groß n wären zum Beispiel alle Zahlen klein m in diese Schreibweise alle Zahlen klein m die Doppelpunkt das folgende erfüllen das M nämlich sein soll m ist in N eine natürliche Zahl außerdem soll m vielleicht noch gerade sein und dann machen wir das gleiche was wir oben hingeschrieben haben und m soll auch noch kleiner gleich acht sein also wir geben eine Reihe von Eigenschaften an und diese Eigenschaften sind gerade so dass wenn all diese Eigenschaften erfüllt sind dann soll die Zahl entsprechend in der Menge drin liegen die Menge soll aus allen Zahlen bestehen die diese Eigenschaften erfüllen auch dadurch wäre die Menge eindeutig festgelegt und sie könnten ja für jede Zahl für diese wissen wollen ist in der Menge oder nicht können Sie nachprüfen ist die natürliche Zahl ist die gerade ist die kleine gleich acht ja und es gibt eine gewisse zwischennotation also typischerweise sagt man diese Pünktchen Notation die wir bei den natürlichen Zahlen genommen haben die nennt man normalerweise auch noch unter der umfangsdefinition mit dazu wenn diese Pünktchen eben bedeuten dass jeder der es liest weiß was anstelle der Pünktchen einzusetzen ist dieses mathematisch ist es nicht so ganz präzise einen dieser beiden Wörter zuordnen ja und jetzt können Sie entsprechend sagen wenn Sie zwei Mengen haben ist das i die eine Menge in der anderen enthalten also die Menge 1 und 3 ist eine Teilmenge der Menge 1 3 5 weil 1 und 3 was in der einmenge drin ist ist auch eine andere Menge mit drin und das würden wir entsprechend so schreiben dass wir sagen also wenn Sie zwei Mengen haben jetzt ein Mengen also haben jetzt nicht nur eine Menge wir haben zwei Mengen wenn sie groß a und groß B und dann schreiben wir entsprechend Teilmenge B dafür macht man hier so ein entsprechendes Zeichen dass es nach rechts offen ist und das diesen Strich drunter kommentiere ich gleich noch mal Teilmenge B das bedeutet Teilmenge von B und präzise ausgedrückt bedeutet das alle Elemente von A sind auch in B also alles was in a drin ist alle Elemente von Groß a sind auch in B also wann immer sie irgendein kleines Mengenelement klein m haben was Element ist von A dann muss daraus folgen aus sagen logisch machen wir auch noch aber dann muss daraus folgen wenn in a drin liegt dann muss m auch NB drin liegen ja und dann gibt es natürlich die Gleichheit gleich B auch das haben wir schon intuitiv verwendet wenn nämlich alle Elemente von AMB drin liegen doch alle Elemente von B in a drin liegen das heißt also a und b genau die gleichen Elemente enthalten also a enthält die gleichen genau die gleichen Elemente Elemente wie und das heißt also es gilt dass alles was in a liegt auch ein B liegt also a muss mit Teilmenge von B sein und B muss auch eine Teilmenge von A sein und ich reite deswegen so drauf rum das alles haben sie in der Grundschule sicherlich schon gelernt aber ich reite deswegen drauf rum weil das genau die Art und Weise ist wie wir später in der Mathematik wirklich argumentieren und wirklich strenge logische Beweise führen wenn wir nämlich zeigen wollen dass zwei Mengen identisch sind dann machen wir das typischerweise dadurch dass wir sagen wir zeigen erstmal dass die eine Menge in der anderen drin liegt also alles was mir ein Menge liegt muss auch in der anderen drin sein dann sind aber noch nicht fertig und muss noch zeigen dass alles was in der anderen liegt auch in der ersten drin ist also typischerweise beweisen wir die Gleichheit zweier merken dadurch dass wir zwei teilmengeneigenschaften beweisen ja dann ist die Frage also wenn ich sage alle Elemente von A sind auch NB dann lässt das durchaus zu dass es die gleiche Menge ist wenn ich das ausschließen will dann schreibt man das typischerweise damit dass man nur diesen ja etwas langgezogenen Halbkreis oder diese halbe Ellipse hier macht ohne den Strich darunter also das bedeutet a ist eine sogenannte echte Teilmenge von B das heißt also alles was in a liegt ist auch ein B enthalten also a sind Teilmenge von B und es gilt aber nicht das B auch in a liegt also es gilt nicht a gleich B das heißt das B enthält irgendwas was in a nicht drin ist B enthält also mindestens ein Element echt mehr als a das tut ja und bei endlichen Mengen können Sie über die Anzahl schon sehen ist etwas eine Teilmenge von dem entsprechenden anderen also wenn Sie eine endliche Menge haben mit drei Objekten 135 und ich habe eine andere eine Teilmenge davon mit drei Objekten dann kann diese Teilmenge mit den drei Objekten nur selber 133 sein denn weil sie Teilmenge ist muss eins drei und fünf drin sein also wenn drei Elemente drin sein sollen da müssen entsprechend drei mit drin sein sonst kann ja keine Vielfachheit drin sein also müssen wirklich diese drei Dinge mit drin sein das heißt also wenn sie endliche Mengen haben dann gilt dafür immer als Betrag a gleich Betrag B ist und das Endliche Mengen sind schreiben wir auch falls A gleich B Betrag a gleich Betrag B und dann kleiner als unendlich also gleich unendlich bedeutet wir haben eine unendliche Menge kleine als unendlich bedeutet wir haben eine Menge mit irgendeiner endlichen Anzahl von Elementen und wir Reihen das so aneinander das heißt hier muss dann also jedes dieser verbindenden Zeichen das gelten es gilt sowohl Betrag a = Betrag B als auch das Betrag B kleiner ist als unendlichen damit auch Betrag a kleiner ist als unendlich das heißt also wir haben zwei endliche Mengen mit gleich vielen Elementen drin ja und wenn das gilt und wenn außerdem a eine Teilmenge von B ist dann ist automatisch auch gleich B das ist oft sehr ein sehr nützliches einfaches Argument um zu zeigen dass zwei Mengen gleich sind dass die einen der anderen enthalten sind und von der Anzahl der Elemente schon mal so ist dass die eine die andere auch gar nicht echt mehr enthalten kann für unendliche Mengen gilt es natürlich nicht denn sie haben zum Beispiel das der Betrag der natürlichen Zahlen der ist gleich dem Betrag der ganzen Zahlen das nämlich beides unendliche Mengen aber die natürlichen Zahlen sind echt weniger als die ganzen Zahlen also das gilt n ist eine echte Teilmenge von z ja tatsächlich kann man diesen unendlichkeitsbegriff den kann man mathematisch noch näher charakterisieren wir haben in der Mathematik haben wir ein verschiedene Arten von unendlich und die eine Unendlichkeit ist die dass sie die immer noch abzählen können das heißt Sie können nacheinander sie können als sie bräuchten zwar unendlich lange dafür aber sie könnten nacheinander alle Elemente der Menge aufzählen und irgendwann wird jedes Element dran kommen so ist es bei natürlichen Zahlen wie kann ich aufzählen 1 2 3 4 5 und welche egal welche natürliche Zahl sie sich denken irgendwann hätte ich sie genannt wenn ich das in Gedanken tatsächlich machen würde dieses aufzeigen auch die ganzen Zahlen sind entsprechend so die kann ich ja zum Beispiel 1 - 1 2 - 23 - 3 und so weiter aufzählen auch die könnte ich so aufzählen auch die rationalen Zahlen kann man so aufzählen stellen Sie sich die Brüche vorgeschrieben als eine Tabelle Zähler Nenner sondern zweidimensionale Tabelle dann könnten Sie die Tabelle oben links durchgehen und gehen dann immer in Diagonalen langsam runter auf die Art und Weise würden sie auch alle Brüche sogar mehrfach legen weil sie nicht gekürzt hätten würden sie alle Brüche auch aufgezählt haben das heißt das ist alles auch noch dieselbe Art von mathematischer Verbindlichkeit trotzdem sind diese Mengen echt ineinander enthalten in natürlichen Zahlen sind weniger als die ganzen Zahlen die ganzen Zahlen sind weniger als die rationalen Zahlen man kann sich überlegen dass die reellen Zahlen tatsächlich echt mehr sind die könnten sie nämlich nicht auf diese Art und Weise abzählen ja eine ein Achtung hätte ich noch mit drin sie haben in der Literatur ja leider auch in der Mathematik ist nicht immer alles ganz eindeutig in der Literatur auf dieses n und null müssen Sie achten also wenn sie ein Buch zur Vorlesung lesen wenn sie später Fachliteratur verwenden müssen Sie darauf achten wenn er das entsteht bedeutet das mit der Null oder bedeutet das ohne d0 und wo sie ebenfalls darauf achten müssen ist bei diesen teilmengenzeichen das ist sogar leider noch häufiger so dass da Unterschiede gibt es gibt auch die Notation [Musik] das geschrieben wird a Teilmenge B was bei uns echte Teilmenge bedeuten würde das Verwenden manche Autoren auch statt dem Zeichen mit dem Strich drunter das heißt die lassen den Strich einfach immer weg auch dann wenn es die gleiche Menge ist auch dann wenn es nicht eine echte Teilmenge ist und wenn die das so machen dann müssen wir natürlich ein anderes Zeichen dafür haben dass es eine echte Teilmenge ist das heißt was die dann machen ist die schreiben a Teilmenge und dann ein ungleichzeichen B darunter das schreibt wir entsprechend statt a Teilmenge B und das natürlich noch gemeiner weil wenn sie irgendwo sehen Teilmenge B ohne den Strich drunter müssen Sie wissen meint der Autor das eine damit echte Teilmenge oder meinte Auto damit einfach Teilmenge ja und das ist mehr oder weniger eine faulheitsgeschichte diejenigen Autoren die fast nie die echte Teilmengen ausdrücken wollen die nehmen diese zweite Notation weil sie dieses längere Zeichen dann seltener schreiben müssen und diejenigen die entsprechend auch häufiger die Teil echte Teilmengen haben dementsprechend die oberen Notation wir werden in der Vorlesung immer diese hier verwenden also wir verwenden in der Vorlesung in der Vorlesung immer das Teilmengen Zeichen mit dem gleichheitsstrich drunter bzw ohne den gleichheitsstrich drunter und nie die andere notation ja dann lässt sich aus Mengen können wir natürlich neue Mengen basteln also wenn sie sagen welche Studenten waren heute in der Vorlesung am Montag welche Studenten waren da am Mittwoch dann kann ich gucken wer war in einer der beiden Vorlesungen habe ich diese Woche überhaupt mal gesehen dann hatte ich also die Vereinigung genommen von allen die am Montag da waren und allen die am Mittwoch da waren das heißt ich bilde die Menge aller Elemente wo das drin ist was montags da war und das drin ist was mittwochs da war und es ist eine Menge am Ende das heißt vielfach halt wird nicht gezählt wenn jemand bei beiden Terminen da war dann ist es am Ende wenn ich die Menge gebildet habe können Sie das nicht mehr draus ablesen was sie dann gemacht haben wäre Teilmenge a vereinigt B zu bilden das heißt a vereinigt B wäre die Menge aller klein a so das Doppelpunkt das klein a in Groß a enthalten ist also alle Elemente die entweder in a drin sind oder aber klein a im groß B drin ist und sie kennen also die Vereinigung von und B und dabei vielleicht auch gleich noch zwei Kommentare zu werden Notation wir haben hier das Doppelpunkt gleich das verwenden wir immer dann ich habe schon vorherigen Folien schon verwendet wir schreiben immer dann Doppelpunkt gleich wenn wir betonen wollen dass wir hier etwas definiert haben das heißt den Ausdruck a und dann dieses UB den kennen sie vorher noch nicht und jetzt sage ich Ihnen was soll dieser Ausdruck bedeuten a und dann dieses U-Form B soll bedeuten die Menge aller a entweder Ana oder groß a oder a in Klein in Groß B das Mengen das ist Zeichen für Vereinigung ist ja das können sich so vorstellen wie eine Schüssel alles was aus A ist groß a ist wieder rein geworden alles was aus Groß B ist wirft da reingeworfen entsprechend ist beides drin und sie kennen aus der Grundschule natürlich diese sogenannten fendiagramme also wenn Sie hier so eine Menge haben groß a und sie haben eine Menge groß B dann ist entsprechend die Vereinigung das was in beiden Mengen drin ist also sowohl erst was in Art drin ist als auch das was im B drin ist und wenn wir oder sagen in der Mathematik meinen wir immer einen inklusives oder das heißt es auch immer erlaubt dass beides gilt in der Informatik ist das exklusive oder auch sehr populär wo sie entsprechend haben dass nur das eines genau eine der beiden Eigenschaften gilt wenn du das in der Mathematik brauchen dann sagen wir das ganz explizit dazu also oder bedeutet immer das eine oder das andere oder beides soll erfüllt sein ja dann gibt es natürlich auch den Schnitt auch das kennen sie a geschnitten B da dreht man diesen Topf dann um mit der Vorstellung dass man jetzt auch irgendwie A und B da gleichzeitig auf diesen ungestülpten Topf schüttet und dann eben nur ein Teil davon übrig bleibt nämlich das was von beiden Seiten gekommen ist das soll also gerade sein diejenigen Elemente klein a für die gilt ASM groß a und a ist auch in groß B also das wäre entsprechend die Schnittmenge aus A und B also a geschnitten mit B wäre wenn die Studenten ja Montag da warten und die auch am Mittwoch da waren das werde ich Schnittmenge der Teilnehmerzahlen der Teilnehmer von Montag und Mittwoch mit meiner von a und b und entsprechend das fendiagramm dazu wäre also jeder Schnitt von Groß a und groß B ja dann kann ich natürlich auch sagen wenn ich zwei Mengen habe ich möchte gerne alle ich möchte gerne irgendwie mit allen Studenten reden die am Montag da waren aber nicht am Mittwoch weil bei den habe ich den Verdacht dass sie einfach nicht früh aufstehen wollten und deswegen weil ich mit denen noch mein ernstes Wort reden also dann würde ich mir die Menge angucken eine Menge von Studenten die aber in einer anderen Menge nicht drin liegen das heißt ich würde mir angucken und das schreibt man dann so als a und dann so ein Backslash groß B das wäre entsprechend ohne B und das wäre die Menge aller klein a so dass klein a ein großartig aber klein a nicht in Groß B liegt das wäre die sogenannte Differenzmenge oder wenn man das liest dann sagt mir auch einfach a ohne B also a ohne B gesprochen also wieder so ein fendiagramm machen haben wir unser a hier haben wir unser B dann wäre entsprechend a ohne B wäre alles was in a liegt aber nicht gleichzeitig auch in B mit drin liegt ja und wenn sie endliche Mengen haben dann übertragen sich das was sie da machen mit den entsprechenden Vereinigungen Schnitten Dinge rausnehmen das können Sie natürlich auch direkt daraus die Anzahl der Elemente der neuen Menge berechnen also wenn ihre Mengen endlich sind [Musik] und B Betrag a gleich Betrag B kleiner als unendlich da gilt das überlegt man sich natürlich schnell das a ohne B werden alle Elemente von A ohne die von B na ja wenn das B eine Teilmenge wäre von A dann wäre das also einfach die Anzahl der Elemente in a minus die Anzahl der Elemente in B jetzt haben das fändediagramm ja oben drüber die Anzahl der nicht müssen nicht alle Elemente von B auch in a sein aber die Elemente von B die auch in a sind die sind dann rausgenommen worden aus a also ohne B ist dasselbe wie a ohne den Schnitt von A und B dann nur das was in a vorher auch drin lag können sie ja auch rausnehmen aus alles andere Weise sowieso vorher nicht drin und dement ist die Anzahl der Elemente von A ohne B die Anzahl der Elemente von A dann hätten sie das ganze hier oben Plus dieses Grün gepunktete und rausgenommen haben sie das Grün gepunktete also gerade den Schnitt von A und B also a Betrag a - Betrag a geschnitten wie wäre das was sie abziehen müssten und die Anzahl der Elemente von A ohne B zu haben ja und das ganze kann man so weitermachen wenn sie entsprechend die Vereinigung haben auch das kann man darauf zurückführen für die Vereinigung von zwei endlichen Mengen gilt dann ist da hinten hin das ist auch noch für endliche Mengen natürlich also Betrag geeinigt Betrag B das wäre wenn die beiden Mengen nur verschiedene Elemente enthalten würden dann wäre das gerade Betrag a plus Betrag B alles was in a drin ist es in der neuen Menge drin alles was im B drin ist in der neuen Menge drin wenn sie das aber so einfach addieren dann haben Sie alles was doppelt also alles was in beiden Mengen drin ist haben sie doppelt gezählt also wenn ich die Anzahl der Teilnehmer einen montagsvorlesung nehme plus die Anzahl der Teilnehmer in der mittwochs Vorlesung und sie waren einfach alle immer da dann habe ich einfach die doppelte Anzahl der Teilnehmer genommen das heißt wenn ich die Anzahl der der Teilnehmer von der mittwochsvorlesung einrechnen muss ich die rausnehmen die sowieso schon in der in der Vorlesung am Montag da waren das heißt was ich einmal abziehen muss ist der Schnitt der also die Studenten den beiden Vorlesungen waren das heißt was ich abziehen muss ist einmal der Schnitt geschnitten B entsprechend in den fendiagramm wenn sich das Aufmalen wenn sie einmal ganz arg genommen haben einmal ganz B genommen haben dann haben sie den Schnitt von beiden den haben sie doppelt genommen ja wir hatten gerade schon dass der Schnitt ganz oft auftaucht und das was Besonderes passieren würde wenn der Schnitt leer ist und das hat auch einen Namen also wir sagen A und B heißen disjunkt wenn [Musik] der Schnitt leer ist jungt von junktion der Schnitt ist das ist eben kein Schnitt gibt also falls geschnitten B wenn das gleich ist der leeren Menge und man schreibt teilweise auch so ein macht man wenn man die Vereinigung von zwei bis jungten Mengen nimmt dann nimmt man manchmal auch einen Punkt über dieses kreiszeichen drauf das heißt da würde man entsprechend schreiben dann ab des Jugend da schreiben wir auch vereinigt B und aber auszudrücken dass die das jungt sind machen da einen kleinen Punkt drüber ja einfach außerdem noch wichtig ist an Notationen was in der Literatur außerdem sehen werden ist das Kompliment von Mengen typischerweise wenn sie von Mengen sprechen haben Sie irgendeine Obermenge von der sie wissen was gemeint ist also wenn ich wenn ich sage alle Zahlen die nicht gerade Zahlen sind dann würden sie wahrscheinlich sagen das sind alle ungeraden Zahlen weil sie automatisch davon ausgegangen sind dass ich wahrscheinlich von den natürlichen Zahlen spreche und uns nur die Frage meine ich die ganzen Zahlen also - davor noch erlaubt oder nicht wenn ich Ihnen sage alle Zahlen die keine rationalen Zahlen sind dann bin ich mir bewege ich mich wahrscheinlich in der Menge der reellen Zahlen und will davon allen Zahlen sprechen die sie eben nicht als Bruch darstellen können das heißt bei diesen ausdrücken wissen sie typischerweise was gemeint ist als Obermenge und das nennt man dann das Kompliment von einer Menge also falls klar ist welches groß m gemeint ist dann schreiben wir auch a Kompliment also a oben C und das C soll jetzt eben nicht eine weitere Menge sein sondern dieses große C steht für das Kompliment und a oben C ist alles was nicht in a drin ist und dafür müssen Sie aber wissen was sie überhaupt betrachten also alles was nicht eine ungerade Zahl ist damit meine ich wahrscheinlich nicht Studenten die im Hörsaal sitzen ich meine sie sind auch keine geraden Zahlen also von daher wäre das auch in der Menge drin sondern alles was nicht gerade Zahlen sind dann ist ihnen klar ich meine irgendwie die integer zahlen die ganzen Zahlen die natürlichen Zahlen also das heißt ja ich habe irgendeine Obermenge und ich nehme alles was in dieser bekannten Obermenge drin ist ohne die Menge a und beachten Sie dann immer dieses Kompliment auftaucht ob sie sich im Klaren sind in welcher Menge großem gerade das Kompliment gemeint ist zum Beispiel die nicht geraden Zahlen ist die Frage ist -3 dabei noch gemeint oder will ich nur natürliche Zahlen oder ist -3 auch eine nicht gerade Zahl ja und dann gibt es eine ganze Reihe von Regeln die für diese Mengen gelten die meisten davon sind komplett intuitiv wir haben die hoffentlich auch alle in der Schule gesehen das heißt ich würde da weiterhin mit dem etwas höheren temperaturübergehen denn sie können sagen wenn Sie zum Beispiel wissen a Teilmenge das sind meine sogenannte Transitivität aber vielleicht mit dem Begriff an damit es schön tabellarisch Transitivität Mengen inklusion ist transitiv das heißt wenn Sie wissen a ist eine Teilmenge von B alles was in as ist auch NB drin und sie wissen alles was in B ist auch ein C drin ja dann wissen Sie alles was in Aas ist auch ein B alles was im B ist es auch in C also ist alles was in a ist auch automatisch auch in See dann ist es ja ein B und damit auch in C also wenn AMB ist und BNC ist dann gilt auch enthalten MC und diese Eigenschaft die sieht man bei vielen mathematischen ausdrücken zum Beispiel die Gleichheit erfüllt das auch wenn sie wissen dass seit zwei Zahlen a gleich B ist und Sie wissen das B gleich C ist dann wissen Sie damit auch das a gleich C ist das heißt so eine Transitivität ist etwas was uns in der Mathematik sehr sehr häufig begegnet außerdem etwas was uns in der Mathematik sehr sehr häufig begegnet ist die sogenannte kommutativität die ist manchmal da manchmal nicht in dem Fall ist sie da es ist nämlich egal in welcher Reihenfolge sie zwei Mengen schneiden oder vereinigen also a vereinigt B ist genau das gleiche wie B vereinigt a dann alles was in a drin ist und in B drin ist ist dasselbe wie alles was im B drin ist und in a drin ist das ist eine das heißt sie können die Reihenfolge macht an der Stelle keinen Unterschied und auch das schreibe ich Ihnen deswegen so ausführlich hin und sie drauf zu trainieren wir werden später Objekte kennenlernen die in der Bildbearbeitung eine ganz große Rolle spielen bei denen das nicht mehr kommutativ ist wo es aber meine Reihe wo diese Reihenfolge immer wichtig sein wird bei den Mengen bei Vereinigung ist es nicht wichtig beim Schnitt ist es offensichtlich auch nicht wichtig alles was alle Studenten die montags da waren und mittwochs sind genau dieselben wie die die mittwochs da waren und Montags ja es gilt noch mehr sie können nämlich auch mehrere Ausdrücke also die Reihenfolge ist im allgemeinen wichtig in der Mathematik hier bei Mengen das ist was Besonderes dass die nicht wichtig ist wenn Sie mehr als zwei Objekte haben dann ist die Frage in welcher Reihenfolge Sie diese verschiedenen Dinge die da stehen durchführen machen sie das von links nach rechts oder setzen Sie zum Beispiel Klammern damit sie entsprechend gesagt haben in welcher Reihenfolge das auszuwerten ist dass die sogenannte Assoziativität Assoziativität die damit zusammenhängt also es ist nämlich egal wenn Sie den Ausdruck a vereinigt B vereinigt C hinschreiben dann ist erstmal unklar mathematisch was meine ich damit meine ich damit dass ich erst A mit B vereinigen muss und bisher haben wir nur definiert dass es die Vereinigung zweiermengen also soll ich jetzt erst A mit B vereinigen und das was dann rauskommt mit C vereinigen also meine ich damit mit Klammern geschrieben a vereinigt B und dann vereinigt mit C also bilde ich jetzt erst die Liste von Studenten die diesen Montag diesen Mittwoch und nee die diesen Montag in diesem Mittwoch da waren und vereinige das dann mit den Studenten die nächste Woche Montag da sind und das ist natürlich genau das gleiche was rauskommen würde wenn ich entsprechend sage würde vereinigt B ja eigentlich sollte das sein vereinigt sie also ich könnte auch erst die hintere beiden Mengen vereinigen und dann die vordere Menge mit dazu tun das heißt da ist es egal und auch beim Schnitt ist es offensichtlich egal alles was in a drin ist und in B drin ist also alles was diese Eigenschaft erfüllt und dann auch noch im See drin ist das ist auch offensichtlich das gleiche wie alles was in a drin ist und auch in B und C drin ist ja und deswegen schreibt man bei diesen ausdrücken wenn man weiß dass das egal ist Assoziativität also ziieren das Dinge miteinander verknüpfen das ist also egal in welcher Reihenfolge sind diesen 3er ausdrücken jeweils zwei Dinge miteinander verknüpfen wenn das egal ist kann man diese Klammern auch komplett weglassen also das heißt vermengen würden wir auch einfach eigentlich B vereinigt sie ohne Klammern schreiben weil wir wissen es ist egal wie man die Klammern setzen würde wo es aber nicht egal ist ist in dem Moment wo sie sowohl vereinigt als auch Schnitte mit drin haben also in dem Moment wo sie so einen Ausdruck haben das nennt man dann die distributivität in dem Moment wo sie einen Ausdruck haben a geschnitten B vereinigt C jetzt ist es nicht mehr egal ob ich erst sage ich nehme alles was in a und in B drin ist und für einige das dann mit allem was in C drin ist oder sage ich ich vereinige erst B und C und schneide dann mit a das können sich ganz einfach überlegen stellen sich vor das C etwas enthält was in Arm nicht drin ist geschnitten B haben sie dann gebildet dann haben Sie mit C vereinigt dann ist da alles drin was ein C drin ist das ist aber andersrum machen wenn sie erst B&amp;C vereinigen und dann mit a schneiden dann kriegen nur Dinge raus die auch in a drin sind das heißt hier ist es nicht mehr so dass es egal ist ich mache die Klammern gleich weg dieser Ausdruck hier der ist nicht mehr das gleiche wie dieser Ausdruck hier angeschnitten B vereinigt C es gibt aber eine rechenregel wie sie das entsprechend auflösen können wenn sie a schneiden mit B vereinigt C also wenn sich angucken was ist ein Art drin und gleichzeitig ganz kleinen Moment was es im B vereinigt C mit drin dann kriegen sie alles raus was MB drin ist und DNA und alles raus was in C drin ist und in Adern sie haben alles raus was ein B und C drin ist und danach geguckt was davon war auch in a das heißt also a geschnitten B vereinigt C das ist dasselbe wie a geschnitten B vereinigt a geschnitten C da gab es eine Wortmeldung sagen sie noch mal sie haben Sie Ihre Frage ist nach der Vereinigungsmenge bei des jungen Mengen also Vereinigung haben wir definiert ja bei dieser hier bei dieser Folie sind bei dieser Schreibweise mit dem Vereinigungen das ist eine Schreibweise mit der Sie also im Normalfall schreibe dieses a vereinigt B ohne den Punkt wenn wir darauf hinweisen wollen dass diese beiden Mengen des jungt sind dann schreibt man auch diese Vereinigung mit dem Punkt oben drauf das heißt dieses Vereinigung mit dem Punkt oben drauf verwendet man nur dann wenn die beiden Mengen die sie vereinigen des Jungen sind dann ist klar es gibt keinen Schnitt ansonsten kann können den Schnitt haben oder auch nicht ja also distributivität a geschnitten B vereinigt sie wäre angeschnitten B vereinigt a geschnitten C das können sie sich ja entweder darüber überlegen dass sie das wirklich in den Reihenfolgen durchgehen also alles was im B oder C drin ist und jetzt muss es auch noch in Art drin sein also vorher muss es sowohl in als auch ein B drin gewesen sein oder sowohl in als auch in C drin gewesen sein auf die Art und Weise macht man sich diese Regeln klar oder aber man macht die sich auch ebenfalls klar über diese dem Morgen nicht im morgen über diese Fan Diagramme wenn Sie sich vorstellen sie haben hier drei Mengen a geschrieben und wollen a geschnitten B vereinigt C haben dann wäre also entsprechend B vereinigt C wenn das ja wie und C ist dann wäre also B vereinigt C wäre hier alles rote und das ganze geschnitten mit B mit das geschnitten mit a wäre also jetzt alles was von dem roten auch noch in a liegt wäre also gerade dieser blaue Bereich hier und dann sehen sie der ist gerade zusammengesetzt aus a geschnitten B diese und a geschnitten Zeh ist nämlich gerade hier dieser dieses Teil hier und dieses Teil hier diese beiden Dinger zusammen also auf die Art und Weise können Sie durch das leicht klar machen warum diese Regeln gelten und die Regel gilt auch ganz genauso mit vertauschten Rollen von geschnitten und vereinigt also a vereinigt mit B geschnitten C auch das überlegt man sich ganz leicht auch das ist einfach dasselbe ja B geschnitten alles was im B und C drin ist wenn ich das jetzt mit a vereinige dann kriege ich also alles raus was in a oder b drin lag und auch in A oder C drin lag also das ist das gleiche wie vereinigt mit B und das ganze geschnitten mit a vereinigt und von München B und C drin liege oder ein a dann heißt es sich nicht in A oder B drin und auch in A oder C mit drin auch das entsprechend könnten sie sich auch durch den vendiagramm entsprechend leicht aufmalen ja und die letzte dieser Regeln sind die sogenannten dämonischen regeln wenn sie nämlich jetzt das Kompliment nehmen von einem Schnitt oder das Kompliment von einer Vereinigung auch da gibt es Formel für wie man das ganze entsprechend umformen kann die sogenannten dämorgenschen regeln also angenommen wir nehmen a geschnitten B und dann wollen wir alles haben was nicht in a geschnitten B drin ist also möchten gern das Kompliment haben von A geschnitten B und beachten Sie jetzt muss wieder klar sein welche Obermenge groß m ich meine also wenn ihr mich von einem Kompliment Rede muss in allen klar sein was irgendwie die Obermenge ist also angenommen wir wissen alle welche Obermenge gemeint ist die also wohl als auch B enthält und wir wollen es alles haben was nicht in a geschnitten B drin ist dann wollen wir also alles haben was nicht in a und b drin ist naja und was ist nicht in a und b drin und das muss entweder nicht in a drin sein oder aber es muss nicht in B drin sein wenn es nicht in a drin ist ist es auch nicht im Schnitt wenn es nicht im B drin ist ist es nicht im Schnitt das heißt wenn das wir nicht in a geschnitten B drin liegen ist gerade Äquivalent dazu dass wir entweder nicht in a liegen oder nicht in B liegen das heißt das ist also gerade das Kompliment von A vereinigt mit dem Komplement von B wenn man eine Frage in dem tatsächlich wir nehmen immer das Kompliment in der Vorlesung mit diesem oben C tatsächlich werden wir sogar meistens einfach mit einer Set minus also mit diesem Backslash schreiben also alles es gibt in der Notation das stimmt in der Literatur ist es auch üblich das Kompliment mit zum Strich darüber zu notieren anstelle von diesem oben C dieser Strich darüber wird in der Mathematik allerdings häufig auch für andere Dinge gebraucht also in der brauchen zum Beispiel in der eine analysis werden sie das für den Abschluss nehmen dass sie eine Menge mit dem Rand haben da gibt es einen Strich drüber außerdem werden nehmen wir den Strich drüber extrem gern wenn wir so etwas haben wie a noch so was ähnliches wie ah dann nehmen wir uns a und a quer entsprechend also von daher haben wir an der Stelle tatsächlich auf beides mit dabei jetzt verlässt uns gerade der Kameramann ich bräuchte sie noch zum ich bräuchte sie nach der Vorlesung sie sind gleich wieder da sehr gut ja also wie gesagt na und Literatur auch übrig mit einem Strich drüber aber wie gesagt wir machen es hier nicht weil wir den Strich drüber für andere Dinge verwenden wollen ja und dieselbe Geschichte gilt natürlich auch nicht nur für die Vereinigung sondern das ganz nicht nur für den Schnitt das ganze gilt natürlich auch für die Vereinigung wenn ich das Kompliment haben will von dem was in AfA einigt B drin ist dann werde ich also alles haben was nicht in A oder B drin ist da ist also das drin was nicht in a drin ist und was aber gleichzeitig auch nicht in Beet drin ist denn wenn es in einem von beiden drin wäre dann wäre es auch in der Vereinigung also das heißt das Kompliment von A vereinigt B ist das was nicht in a und nicht in A oder B drin ist das heißt das muss also nicht in arthren sein und kann auch gleichzeitig nicht in B drin sein also wenn ich hier die Teilnehmer habe die am Montag da waren die Teilnehmer die am Mittwoch da waren beide zusammengeworfen dann das Kompliment gebildet und dann sind also die Teilnehmer die am Montag oder wenn ich Montag Mittwoch die beiden Namensliste zusammenfüge dann sind die Namen nicht auf der Liste die weder am Montag noch am Mittwoch da waren also dem Komplement von A drin sind und auch ein Kompliment von C von B drin sind und auch das können Sie sich natürlich Englisch über solche ferndiagramme leicht aufmalen wenn sie entsprechend sagen sie haben das Kompliment von A geschnitten B dann wäre also a geschnitten B diese blaue Menge hier mit dem Komplement bei den fendiagrammen haben wir also irgendeine große Obermenge wo alles drin ist und dann wäre als entsprechend das Kompliment geschnitten B und davon das Kompliment wäre also gerade alles was hier nicht blau ist wäre diese Geschichte hier und Sie sehen das ganze kommt auch raus wenn sie sagen würden sie nehmen sich die Menge alles was nicht in a drin ist hier wieder a 4b also alles was mich in a drin ist das wird Ihnen schon mal diesen Bereich hier geben und dann packen Sie dazu alles was nicht in B drin ist und das wird Ihnen entsprechend diesen Teil hier geben und sie sehen dann würde gerade alles rauskommen was nicht in a geschnitten B drin war also wenn hier dieser Schnitt zu B drin war dann ist das das einzige was nicht rot gefärbt wird ja also auf diese Art und Weise können wir mit den Mengen rechnen das letzte vielleicht was wir heute noch machen ist wir haben in der Mathematik ich Reiter deswegen so drauf rum damit wir man einfach an die Prinzip die Begriffe ganz präzise haben wir haben bei Mengen keine Reihenfolge wir haben keine Vielfachheit was wir aber haben ist ein ganz strikter Unterschied zwischen dem Element einer Menge und der Menge selber ich hatte ihnen das kurz erwähnt mit der mit dieser Logik Geschichte dass die Logiker die Zahlen konstruieren aus der leeren Menge und die Menge die die leere Menge enthält das heißt dafür ist es wichtig zu unterscheiden eine Menge selber und das und die Menge die diese Menge enthält das sind zwei komplett verschiedene Dinge das heißt die Zahl 3 ist bei uns in der Vorlesung immer ganz strikt zu unterscheiden von der Zahl von der Menge die die Zahl 3 enthält also das bedeutet die Zahl 3 ist enthalten in der Menge die die Zahl 3 enthält aber die Zahl 3 ist nicht das gleiche wie die Menge die die Zahl 3 enthält also dafür sind wir wirklich ganz ganz strikt und diese Mengen sind wirklich eine Ansammlung von irgendwelchen Objekten stellen sie sich irgendwelche point-strukturen entsprechend vor in der in der Informatik und da können insbesondere auch weitere dieser Pointer kann auch auf irgendein anderes Array verweisen das heißt als Element von einer Menge kann wiederum eine ganz andere Menge sein also es gibt zum Beispiel also wenn Sie zum Beispiel sagen die Menge groß m nehmen es Beispiel aus dem Skript die enthält die Menge die die 1 enthält und die Menge die 12 enthält dann haben wir also eine Menge die besteht aus zwei Mengen nämlich der Menge die 1 enthält eine menge die dir 12 enthält und das können ganz beliebige Objekte sein die ich dazu der Menge zusammenfasse also ich könnte die Menge nehmen die die eins enthält die Menge die ein zwei enthält außerdem die 1 noch als Zahl das ist ja was anderes als die Menge dir eins enthält und dann vielleicht noch die natürlichen Zahlen dazu und die reellen Zahlen dazu dann habe ich also die Menge die all diese Objekte mit drin enthält und dementsprechend wäre es jetzt so bei dieser Menge ist es so die das zum Beispiel 12 wäre jetzt keine Teilmenge von M denn m enthält nicht die Elemente 1 und 2 also das auf der linken Seite 12 sind die Zahlen 1 und 2 die sind aber nicht bei den groß m enthalten nur die 1 ist drin die zwei nicht aber so aber was im drin ist ist die Menge 1 2 das heißt das hier gilt nicht aber es würde gelten Menge 1 2 ist Element von diesem groß m also solche Sonderfälle wie das irgendwie eine Menge enthalten die natürlichen Zahlen die reellen Zahlen enthält das werden wir sehr selten also gar nicht sicherlich brauchen in der Vorlesung aber was wir tatsächlich öfters mal haben ist wirklich diese strenge Unterscheidung ist das ein Element ist das eine Menge entsprechend unterscheiden wir auch streng zwischen diesen Element Zeichen und diesem Teilmengen Zeichen ja und dann kann man sie haben eine Frage ja aber es sind nicht alle natürlichen Zahlen mit drin das heißt nicht dass die natürlichen Zahlen dass deine Teilmenge von großem ist sondern die natürlichen die Menge der natürlichen Zahlen die es mit drin das hier ist also nicht das Gleiche ich schreibe ihm dass ich mich in das mal weg wenn ich das so machen würde mach das mal so angenommen ich definiere Ihnen das M so 1 2 eins R und dann vereinige ich das mit n das ist ein Unterschied jetzt habe ich alles was ein N ist auch in die Menge mit reingenommen 123 und so weiter wenn ich das so definiere nennen wir das im quer jetzt haben wir schon Beispiel wo ich gerne sowas wie das querzeichen mit benutze dann ist es so dass tatsächlich 12 eine Teilmenge ist von M denn jetzt sind 1 und 2 mit drin und vorher Wahl 1 und zwar einmal die zwei nicht mit drin aber die Menge der natürlichen Zahlen war mit drin also ist wirklich diese strenge Unterscheidung Menge und Elemente sind etwas verschiedenes ja und an der Stelle ist ein ganz guter Zeitpunkt um die Vorlesung für heute zu beenden und ich danke Ihnen für sehr fürs zuhören

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