Overview
In dieser Vorlesung werden grundlegende Rechenregeln für Summen besprochen, einschließlich Umgang mit Konstanten, Faktorenausklammerung, Zerlegung und Veränderung der Indexgrenzen.
Rechenregeln für Summen und Produkte
- Eine Summe über eine Konstante c von i = 1 bis n ergibt n·c.
- Ein Produkt über eine Konstante c von i = 1 bis n ergibt cⁿ.
- Ein von i unabhängiger Faktor c in einer Summe kann vor das Summenzeichen gezogen werden.
- Beispiel: Summe von i = 1 bis n über 3i² wird zu 3·Summe von i = 1 bis n über i².
Zerlegen von Summen und Produkten
- Summen lassen sich an beliebiger Stelle aufteilen: Summe i = 1 bis 100 über i² = Summe i = 1 bis 50 über i² plus Summe i = 51 bis 100 über i².
- Produkte lassen sich ähnlich zerlegen, jedoch mit Multiplikation statt Addition.
Anpassen der Indexgrenzen
- Um den Startwert zu ändern, wird die gewünschte Summe geschrieben und überzählige/fehlende Anteile entsprechend subtrahiert oder addiert.
- Beispiel: Summe i = 3 bis 100 über i² = Summe i = 1 bis 100 über i² minus Summe i = 1 bis 2 über i².
- Endwert kann analog geändert werden: Überzählige Terme müssen addiert oder abgezogen werden.
Summenzerlegung und Anwendung von Formeln
- Summen wie Summe i = 1 bis n über (i² + i + 4) können in Einzelsummen zerlegt werden.
- Einzelne Summen können dann mit bekannten Summenformeln berechnet werden.
Beispiel mit Umformungen und Fehleranalyse
- Gegebene Umformungen wurden geprüft und für korrekt befunden.
- Summen können aufgesplittet und Indexgrenzen korrekt angepasst werden, solange entsprechende Korrekturterme berücksichtigt werden.
Key Terms & Definitions
- Konstante Summe — Summe über eine feste Zahl c: n·c.
- Produkt über Konstante — Produkt über eine feste Zahl c: cⁿ.
- Faktor Ausklammern — Einen von i unabhängigen Faktor vor das Summenzeichen ziehen.
- Summenzerlegung — Aufteilen einer Summe in Teilsummen mit unterschiedlichen Grenzen.
- Index-Änderung — Anpassen von Start- oder Endwert mit entsprechender Korrektur.
Action Items / Next Steps
- Übungsaufgaben zur Umformung und Zerlegung von Summen bearbeiten.
- Summenformeln für i und i² im Skript nachlesen und üben.