Um mit Summen umgehen zu können und insbesondere auch um Summenformeln überhaupt anwenden zu können, müssen wir uns natürlich ein bisschen mit den Rechenregeln beschäftigen. Und das tun wir jetzt. Fangen wir mit dem einfachsten Fall an. Im Grunde hatten wir den auch schon, nämlich bei... bei der geometrischen Summenformel für den Fall q gleich 1. Nämlich, was mache ich, wenn in der Summe gar kein Ausdruck steht, der von i abhängt, sondern nur ein konstanter Ausdruck.
c sei jetzt irgendeine konstante Zahl, zum Beispiel 5. und hier stände die Summe i gleich 1 bis n über c oder 5, also irgendeine konstante Zahl, dann tue ich ja jedes Mal diese Zahl addieren. Das heißt, ich rechne c plus c plus c und zwar so oft, wie hier summiert wird. Also für i gleich 1 kommt ein c, für i gleich 2 kommt ein c, für i gleich 3 kommt jedes Mal ein neues c hinzu.
Wenn es Ihnen leichter fällt, könnten Sie sich auch vorstellen, hier steht c plus 0 mal i. dann können Sie das I wieder durchlaufen, wenn Ihnen das leichter ist. da fällt.
Wie dem auch sei, wir sehen also, dass wir n mal ein c addieren, das heißt, insgesamt ergibt sich also n mal c als Ergebnis. Auf Produkte gehe ich hier teilweise auch ein. Produkte kommen, wie gesagt, nicht ganz so oft vor wie Summen, deswegen nehme ich die hier nur am Rande ein wenig mit.
Wenn ich ein Produkt von einer konstanten Zahl habe, dann tue ich das gleiche machen, nur jedes Mal kommt halt ein Malzeichen dazwischen. Also habe ich c mal c mal c mal c und es kommt nicht n mal c am Ende raus, sondern natürlich dann c hoch n. Wenn ich einen unabhängigen Faktor habe, also in diesem Fall die Summe i gleich 1 bis n, c mal etwas, was von i abhängt, hier könnte es zum Beispiel c mal i² oder so stehen, dann kann ich einfach das c rausziehen. ausziehen vor die Summe.
Also ein von i unabhängiger Faktor kann einfach vor die Summe gezogen werden. Das macht man ziemlich oft. Ein Beispiel dazu, die Summe i gleich 1 bis n über 3i². Einmal nochmal zum Verständnis etwas ausziehen.
Ausgeschrieben, das wäre ja 3 mal 1 Quadrat plus 3 mal 2 Quadrat plus 3 mal 3 Quadrat und so weiter bis 3 mal n Quadrat. Und wir sehen ja bereits hier an dieser Summe, dass wir die 3 wunderbar ausklammern können. Und nichts anderes tun wir, wenn wir die 3 jetzt einfach vor die Summe schreiben.
Beim Produkt muss man ein wenig aufpassen, denn hier steht das c ja dann immer mal, mal, mal, sozusagen überall mal dran. Deswegen kommt es nicht einfach nur selbst raus, sondern ich muss es c hoch n rausziehen. So, kommen wir zum Auseinanderziehen von Summen.
Das können Sie natürlich an jeder beliebigen Stelle machen. Ich mache jetzt die folgenden Sachen alle an Beispielen, weil man das recht gut daran verstehen kann. Wir haben die Summe von i gleich 1 bis 100 über i² zum Beispiel. Und ich möchte die gerne in zwei Summen zerlegen.
Und zwar die erste soll nur bis 50 laufen, das heißt i gleich 1 bis 50 über i². Dann muss natürlich der ganze Rest von i gleich 51 bis 100 laufen, damit ich in der Summe wieder das Original habe. Ganz genauso würde das natürlich auch beim Produkt funktionieren.
Dann käme jetzt hier entsprechend ein Mal dazwischen. Was wir sehr oft brauchen, um Summenformeln anwenden zu können, ist es, den Startwert zu ändern. Ich hatte ja schon erwähnt, dass es beispielsweise bei der geometrischen Summe wichtig ist, dass es bei 0 anfängt, beim kleinen Gauss muss es bei 1 anfangen. Und wenn wir jetzt aber aus unseren Rechnungen... her nicht den richtigen Startwert bekommen, dann müssen wir in der Lage sein, diesen anzupassen.
Das machen wir jetzt. Nehmen wir mal an, wir haben die Summe i gleich 3 bis 100 über i² und wir hätten aber ganz gerne die Summe, dass sie bei 1 startet. startet, so, sie startet aktuell bei 3, dann ist immer der beste Trick, wenn man so will, man schreibt erstmal das hin, was man gerne hätte.
Also ich wünsche mir, dass die Summe bei 1 startet, also schreibe ich einfach hin, Summe i gleich 1 bis 100 über i Quadrat und überlege mir jetzt, was hätte ich denn für einen Fehler gemacht, wenn ich das stehen lassen würde. Nun, hier geht die Summe ja bei 3 los, das heißt, diese Summe bedeutet 3 Quadrat plus 4 Quadrat plus 5 Quadrat und so weiter. Diese Summe bedeutet aber 1 Quadrat plus 2 Quadrat plus 3 Quadrat plus 4 Quadrat.
Das heißt, wir merken... Wir haben und zu viel da drin. Also müssen wir sie abziehen.
Und dann stimmt das Gleichheitszeichen hier wieder. Und auf den Teil könnte ich jetzt, haben wir an dieser Stelle nicht behandelt, aber es gibt auch eine Summenformel für I², dann könnte man jetzt hier die entsprechende Summenformel anwenden und weiterrechnen. Ein anderes Beispiel, wenn man den Startwert in die andere Richtung ändern möchte.
Dazu musste ich jetzt das Beispiel ein bisschen abändern, sonst würde man nicht viel sehen. Und zwar... zwar, angenommen wir haben die Summe von i gleich 0 bis 100 über 2i plus 5 und ich möchte aber gerne, dass diese Summe bei i gleich 1 startet, dann schreibe ich es mir hin. Ich tue mal so, i gleich 1 bis 100, 2i plus 5 ist mein Wunsch, den schreibe ich hin.
Was habe ich falsch gemacht? Nun, die würde ja anfangen mit dem Ausdruck i gleich 0. Die tut es aber nicht, die fängt erst später an. Das heißt, wir unterschlagen gewissermaßen etwas, nämlich den 0. Ausdruck. Und den kriege ich, indem ich einfach in den Ausdruck hier die 0 einsetze und das hinten dran addiere. Also quasi die 5 käme jetzt noch hinten mit dazu.
So, Startwert können wir ändern. Der vollständig halber gucken wir uns auch an, wie man den Endwert ändern kann. Den Startwert muss man häufiger als den Endwert ändern, aber das ist eine gute Übung jetzt an der Stelle, dass wir das auch noch mitnehmen gleich. Das funktioniert nämlich quasi genauso. Der Endwert sei jetzt, also wir haben die Summe von i gleich 1 bis 98 über i² und ich wünsche mir aber, dass meine Summe bis 100 geht.
Deswegen schreibe ich es mir hin, i gleich 1 bis 100 über i Quadrat. Und was habe ich jetzt für einen Fehler gemacht? Nun, die hier geht ja bis 98 Quadrat jetzt hier die Summe.
Und die würde aber auch noch die 99 Quadrat und die 100 Quadrat mit reinpacken in meine Summe. Das ist natürlich zu viel, also muss ich die beiden abziehen. Ganz genauso klappt es, wenn jetzt die Summe geht jetzt bis 103. Ich möchte aber nur, dass sie bis 100 geht. Dementsprechend schreibe ich mir hin, I gleich 1 bis 100 über I². Und was habe ich jetzt für einen Fehler gemacht?
Nun, ich muss ja eigentlich bis 103 gehen. Das heißt, ich muss noch 101 einsetzen, 102 einsetzen und 103 einsetzen in meine Summe. Und das hinten dran addieren.
Wie Sie sehen, es funktioniert genauso wie beim Startwert. Man muss nur überlegen, was kommt raus, was möchte ich haben und wo habe ich meinen Fehler gemacht. Und den korrigiere ich dann. So, dann... Können wir als letztes noch über Summen-Splitten sprechen.
Und zwar, wenn Sie zum Beispiel diese Summe haben, i gleich 1 bis n, i Quadrat plus i plus 4, dann können Sie, wenn Sie ein paar Summenformeln kennengelernt haben, erkennen, dass Sie mit den einzelnen Teilen sehr gut was anfangen könnten. Aber insgesamt, hierüber habe ich jetzt keine Summenformel, die das lösen würde. Aber zum Beispiel über die Einzelteile. Und deswegen kann ich natürlich auch einfach diese Summe zerlegen.
Und es ist ja einfach nur eine Summe von Summen und wo ich jetzt die Klammern setze, ist ja völlig egal, Assertivgesetz. Also summiere ich doch erst die i², dann addiere ich dazu die Summe der i's und dann addiere ich dazu die Summe der 4. Sie wären jetzt mittlerweile schon in der Lage, das und das auszurechnen und eine Summenformel über i², die erfahren Sie gegebenenfalls dann im Studium. So, eine Frage an Sie zum Schluss dieses Videos und zwar... Habe ich hier ein paar Umformungen gemacht und die Frage an Sie ist, habe ich alle Umformungen richtig gemacht oder gibt es irgendwo einen Fehler?
Falls ja, wo ist der? Falls man das auf dem Video nicht so gut jetzt lesen kann, lese ich es einmal kurz vor. Wir haben die Summe von i gleich 0 bis 5 über i² plus i. Erste Umformung ist 30 plus Summe i gleich 1 bis 4 über i² plus i.
Nächste Umformung 30 plus Summe i gleich 1 bis 4 über i² plus Summe i gleich 1 bis 4 über i. Und letzte Umformung, 30 plus 4 mal 5 durch 2 plus die Summe von i gleich 1 bis 4 über i². Pausieren Sie das Video, überlegen Sie kurz, dann machen wir weiter.
Okay, schauen wir uns mal an, ob es irgendwo Fehler gibt. Dazu gehen wir einfach die Rechnung von oben nach unten durch und gucken mal, was passiert. Nun, wir starten mit der Summe i gleich 0 bis 5 über i² plus i. Und anscheinend habe ich hier was rausgezogen. Ich habe hier ja hingeschrieben i gleich 1 bis 4 über i² plus i.
Das heißt, ich habe den Endwert geändert. Und da die Summe jetzt nur noch bis 4 geht, aber die ursprüngliche bis 5, musste ich ja eigentlich den fünften Teil dran addieren. ist 25 plus 5 ist 30. Okay, der erste Schritt ist schon mal richtig.
Ich habe die 30 dran addiert. Nächster Schritt, hier wurde die 30 abgeschrieben. Und die Summe wurde aufgesplittet an einmal die Summe über i² und die Summe über i. Auch alles richtig. Ja, letzter Schritt.
Gucken wir da mal. Die 30 wurde abgeschrieben und die Summe über i² wurde auch abgeschrieben und einfach nur nach hinten gestellt. Und was ist hiermit? Na, das ist ja genau der kleine Gauss. Nämlich n mal n plus 1 halbe.
4 mal 5 geteilt durch 2. Das heißt, die Antwort ist, es sind tatsächlich alle Umformungen richtig.