Unghiurile dintre drepte în geometrie

Bine ați venit! În clipul de astăzi vom discuta despre unghiul a două drepte în spațiu. Haideți să vedem mai întâi cum studiem unghiul dintre două drepte în plan, după care vom discuta despre unghiul a două drepte în spațiu. Vă reamintesc că atunci când avem de aflat unghiul dintre două drepte, întotdeauna vom considera măsura unghiului cel mai mic format. După cum puteți observa, s-au format aici patru unghiuri. Putem să le notăm 1, 2, 3, 4. Observăm că unghiurile 1, 3, respectiv 2 și 4 sunt perechi de unghiuri opuse la vârf. Asta înseamnă că aceste unghiuri sunt congruente. Întrebarea este, dacă noi vrem să aflăm unghiul dintre dreptele A și B, Pe care unghi îl vom lua în considerare? După cum putem observa, unghiurile 1 și 3 sunt unghiuri obtuze, sunt mai mari. Și atunci înseamnă că atunci când discutăm despre măsura unghiului dintre A și B, noi vom considera unghiul cel mai mic format. În cazul acesta, fie spunem că este egală cu măsura unghiului 2, fie putem să spunem că măsura unghiului dintre cele două drepte este egală cu măsura unghiului 4. Repet! Atunci când discutăm despre măsura unghiului dintre două drepte, întotdeauna considerăm măsura celui mai mic unghi format. Haideți să mergem acum la unghiul dintre două drepte în spațiu. Să spunem că avem dreptele A și B care sunt în ecoplanare, sunt în plane diferite. Și atunci, cum trebuie să procedăm pentru a afla unghiul dintre aceste două drepte? Ne fixăm undeva un punct și construim paralele la cele două drepte. Spre exemplu, dacă vrem să construim o paralelă la dreapta A prin punctul respectiv, apoi putem să construim o paralelă la dreapta B prin același punct. Și atunci, haideți să notăm aceste drepte cu A'B'. Dacă eu știu că A'e paralel cu A, respectiv B'e paralel cu B, asta înseamnă că măsura unghiului dintre A și B Este, de fapt, măsura unghiului dintre paralelele găsite, adică dintre A'și B'. Bineînțeles că există cazuri în probleme unde nu trebuie să construim paralele la ambele, ci este suficient să ne construim o paralelă la una dintre drepte. Rețineți așadar, dacă discutăm despre unghiul dintre două drepte necoplanare, trebuie să găsim paralele. Fie la amândouă, fie la una din ele, dar paralele respective pe care le avem trebuie să fie concurente. Încă o dată, de exemplu, în acest caz, eu știu că A e paralel cu C, B e paralel cu D. Asta înseamnă că măsura unghiului dintre A și B este, de fapt, măsura unghiului dintre C și D. Haideți să vedem acum concret câteva exemple. Am considerat un cub și vreau să aflăm. în primul caz măsura unghiului dintre AB și BC. După cum putem observa, cele două drepte sunt necoplanare. Asta înseamnă că trebuie să construim paralele la una dintre ele. Spre exemplu, putem să observăm că BC este paralel cu BC. Asta înseamnă că, haideți să scriem mai întâi acest lucru, BC e paralel cu BC. Asta înseamnă că măsura unghiului dintre AB și B'C', adică măsura unghiului cerut în enunț, va deveni măsura unghiului dintre, și haideți să vedem cum facem. În acest unghi pe care îl avem de aflat vom înlocui pe B'C'cu paralela găsită. Asta înseamnă că vom avea măsura unghiului dintre AB și BC. Încă o dată mai explic, l-am înlocuit pe B'C'cu paralela pe care am găsit-o și anume cu BC. Și haideți să ne uităm acum la unghiul dintre AB și BC. Este de fapt vorba despre unghiul ABC. Întotdeauna vârful unghiului este dat de punctul de intersecție dintre cele două drepte. Și acum trebuie să vedem cât este măsura unghiului ABC. Păi dacă noi lucrăm într-un cub, înseamnă că ABCD este un pătrat și atunci automat rezultă că măsura unghiului ABC este de 90 de grade. Asta înseamnă că măsura unghiului pe care îl aveam de aflat, măsura unghiului dintre AB și B'C'este de 90 de grade. Haideți să mergem la următorul exemplu. Aflați măsura unghiului dintre Haideți să evidențiem AD și AB. În acest caz, observăm că dreptele noastre se află în același plan. Asta înseamnă că nu trebuie să mai găsim paralele. Doar trebuie să vedem cine este unghiul nostru. Și atunci, haideți să vedem punctul în care se intersectează. Și vom avea că măsura unghiului dintre AD și AB este de fapt măsura unghiului. Așa cum am spus, punctul. Fructul de intersecție este vârful unghiului, asta înseamnă că litera respectivă e pe mijloc și atunci putem să spunem că avem unghiul BAD sau DAB. Este fix același lucru. Și haideți să vedem câte grade are. La fel, pentru că avem un cub, ABCD este un pătrat și atunci automat rezultă că măsura unghiului DAB este de 90 de grade. Asta înseamnă că măsura unghiului dintre AD și AB este de 90 de grade. Mergem mai departe să se afle măsura unghiului dintre A'de prim și B'C'. Ce putem să spunem despre cele două drepte? Păi putem să observăm că ele sunt paralele. A'de prim e paralel cu B'C'și atunci, oare cât este măsura unghiului dintre două drepte paralele? Aș vrea să rețineți acest lucru, întotdeauna măsura unghiului dintre două drepte paralele este de 0 grade. Însă scriu și aici, dacă noi avem A paralel cu B, atunci automat măsura unghiului dintre A și B este de 0 grade. Rețineți acest lucru. Mai departe, avem de aflat măsura unghiului dintre AB și A prim de prim. Haideți să vedem ce paralele putem construi, fie construim o paralelă la AB, spre exemplu, dacă am vrea să construim o paralelă la AB, am putea să-l considerăm pe A'B', fie dacă nu putem să construim o paralelă la A'B'și atunci putem să-l considerăm pe AD. Haideți să scriem acest lucru. Noi avem că AD e paralel cu A'B'. Asta înseamnă că măsura unghiului nostru, măsura unghiului dintre AB Și A'de prim devine, așa cum am explicat și mai devreme, înlocuim dreapta noastră cu paralela pe care am găsit-o. Și atunci noi vom avea măsura unghiului dintre AB și AD. Asta înseamnă că e măsura unghiului de AB. care știm că este de 90 de grade. Haideți să mergem mai departe. Avem de aflat de data aceasta măsura unghiului dintre A'și B'B. Trebuie să găsim o paralelă la una din ele. Și atunci, spre exemplu, observăm că BB'e paralel cu A'sau putem să considerăm că BB'e paralel cu DD'și atunci observăm că pe oricare dreapta am luat-o se intersectează cu AD'. Dacă nu vrem să construim o paralelă la BB'putem să considerăm paralela la AD'și anume BC'și atunci este unghiul dintre BB'și BC'și vedem exact câte grade are. Haideți să folosim această paralelă să specificăm că AD'e paralel cu BC'. Asta înseamnă că măsura unghiului dintre AD'și BB'devine. Înlocuim pe AD'cu paralela pe care am găsit-o. Și atunci vom avea BC'și BB'. Haideți să vedem. Care este unghiul dintre B B'și B C'? În primul rând, punctul de intersecție este B, asta înseamnă că vârful unghiului este B și atunci avem unghiul B'B C'. Haideți să vedem câte grade are. Păi noi știm că lucrăm într-un cub, asta înseamnă că B C C'B'este un pătrat iar în acest pătrat noi știm că B C'este o diagonală. Și atunci vă reamintesc că într-un pătrat, diagonalele sunt și bisectoare. Asta înseamnă că noi am avut tot unghiul B de 90 de grade, dar cum BC'este o bisectoare, ne rezultă că măsura unghiului B'BC'va fi egală cu 45 de grade, pentru că am împărțit unghiul în două unghiuri cu aceeași măsură. În concluzie, măsura unghiului dintre A'și B' Este de 45 de grade. Mergem mai departe să se afle măsura unghiului dintre AB'și AB'. Din nou avem două drepte care se află în același plan, două drepte coplanare și atunci nu mai este necesar să mai construim paralele. Trebuie să vedem exact cât este măsura unghiului dintre cele două drepte. Și atunci observăm că atât AB'cât și A'B sunt diagonale în pătratul AB'A'și atunci din proprietățile pătratului Noi știm că diagonalele sale sunt perpendiculare și putem afirma că măsura unghiului dintre cele două drepte va fi de 90 de grade. Haideți să scriem toate aceste lucruri. Avem ABB'A'în pătrat în care știm că AB'și AB sunt diagonale. Și atunci, din proprietățile pătratului, rezultă că aceste diagonale sunt perpendiculare, iar de aici rezultă că măsura unghiului dintre AB'și AB' Va fi de 90 de grade. Vă reamintesc ce înseamnă drepte perpendiculare. Drepte perpendiculare sunt dreptele care formează unghiuri cu măsura de 90 de grade. Asta înseamnă că dacă eu știu că am o dreaptă A perpendiculară pe o dreaptă B, îmi rezultă că măsura unghiului dintre A și B este de 90 de grade. Întotdeauna asta înseamnă drepte perpendiculare. Mergem mai departe la următorul exemplu. Să se află măsura unghiului dintre A'și A'B. După cum puteți observa, A'se află în fața laterală AD'A', pe când A'B se află în AB'A'. Asta înseamnă că cele două drepte sunt necoplanare, se află în plane diferite. Și atunci, haideți să vedem cum procedăm. Trebuie să construim paralele la una din ele. Spre exemplu, am putea să construim paralela BC'la AD'. Așa de prim. Sau, dacă vrem, putem să construim paralela la A'B și anume pe D'C. Pe oricare o construim, important este să obținem un unghi. Și atunci, haideți să o folosim pe aceasta, să spunem faptul că A'B e paralel cu D'C. Asta înseamnă că măsura unghiului dintre A'și A'B Devine măsura unghiului dintre A'și D'C. Și acum observăm că cele două se intersectează în punctul D'. Asta înseamnă că D'este vârful unghiului nostru și putem să spunem că avem de aflat măsura unghiului A'C. Și să vedem câte grade are. Voi șterge A'B pentru a vedea mai bine ce se întâmplă. O parte dintre voi probabil ați avut senzația că unghiul acesta are 90 de grade, pentru că nu sunteți încă obișnuiți cu geometria în spațiu și v-ați gândit că am 45 de grade aici cu 45 de grade aici și îmi dă 90. Însă lucrurile nu sunt în felul acesta. Unghiul acesta practic este format în interiorul cubului, nu are legătură cu fețele laterale. Doar dacă am fi desfășurat... cubul, atunci într-adevăr puteam să spunem că avem 90 de grade, dar noi lucrăm în interiorul cubului. Și atunci, cel mai bine este că atunci când nu știți exact cât este măsura unui unghi, să studiați natura triunghiului respectiv pe care îl aveți. Cu alte cuvinte ne interesează să vedem ce fel de triunghi este acesta, ce fel de triunghi este de prima C. Și haideți să vedem ce putem să spunem despre el. Păi, Ce este A de prim în cubul nostru? N-am putea să spunem că ea este o diagonală în fața laterală A de de prima prim? Haideți să scriem asta. Avem așa. A de de prima prim este un pătrat. în care știm că A de prim este o diagonală. Păi atunci înseamnă că A de prim este latura radical din 2, pentru că diagonală într-un pătrat e latura radical din 2. Mai departe, dacă mergem la AC, AC este la rândul ei o diagonală în ABCD. Haideți să scriem asta. ABCD e un pătrat. în care știm că AC este o diagonală și atunci ne rezultă că și AC este tot latura radical din droi, pentru că noi știm că într-un cub toate laturile au aceeași lungime. Mai departe, dacă mergem la D'C, observăm că și D'C este o diagonală în DC''Haideți să scriem DC''este un pătrat. în care știu că D'C este o diagonală. Și atunci, din asta ne rezultă că și D'C este tot latura radical din 2. Păi dacă am obținut că toate sunt latura radical din 2, nu rezultă de aici că, de fapt, triunghiul acesta, D'C, este un triunghi echilateral și din proprietățile triunghiului echilateral, noi știm că toate unghiurile au măsurile de 60 de grade. Asta înseamnă că măsura unghiului nostru, A'C, acesta de aici, va fi de 60 de grade. În concluzie, măsura unghiului dintre A'și A'B este de 60 de grade. Haideți să mergem la următorul sub punct, unde trebuie să aflăm măsura unghiului dintre A'C. Iarăși avem două drepte necoplanare, asta înseamnă că trebuie să construim paralele la una dintre ele. Spre exemplu, putem să construim A'de prim paralel cu AD sau AC paralel cu A'G'. Oricare din variante este corectă. Haideți să ne folosim de acestea. Să spunem faptul că AD e paralel cu A'de prim. Asta înseamnă că măsura unghiului dintre A'de prim și AC devine măsura unghiului dintre paralela pe care am găsit-o și AC. Și atunci, haideți să vedem care este punctul în care se întâlnesc. Observăm că este punctul A și atunci avem unghiul de AC. Și pentru că ABCD este un pătrat, iar AC este o diagonală, măsura acestui unghi va fi de 45 de grade. Mergem mai departe să spunem că avem punctul O, punctul de intersecție dintre diagonalele lui ABCD și să aflăm măsura unghiului dintre O'și A'B. Haideți să vedem cum facem aici. La fel avem două drepte necoplanare, asta înseamnă că trebuie să găsim paralele. Rețineți acest lucru. Dacă vorbim de unghiuri dintre două drepte în spațiu, dacă dreptele se întâlnesc, aflați unghiul, dacă nu, trebuie să găsim paralele. Fie avem paralele directe și doar trebuie să spunem care sunt, fie construim noi paralele astfel încât să putem forma unghiul respectiv. O paralelă foarte folosită, spre exemplu, este și linia mijlocie. Puteți să construiți și să încercați să aflați unghiul în felul acesta. Depinde de la caz la caz. În cazul nostru, cel mai simplu ar fi să construim o paralelă la A'B. Pentru că D'O este în interiorul cubului, cred că ar fi mai greu să găsim o paralelă directă. Și atunci putem să observăm că A'B este paralel cu D'C, astfel încât unghiul format va fi... măsura unghiului, punctul de intersecție este de prim și atunci o să avem O de prim C. Și haideți să vedem câte grade are acest unghi. Îl voi șterge pe A prin B și să ne concentrăm asupra triunghiului acesta. Ca să vedem totuși mai clar ce se întâmplă, vă recomand să construiți tot triunghiul mare. Ne-am arătat mai devreme despre acest triunghi că este un triunghi echilateral. Dacă noi știm că O este punctul de intersecție dintre diagonalele pătratului, înseamnă că punctul O este la mijlocul lui AC. Și atunci înseamnă că în triunghiul nostru echilateral, de prim O, va fi mediană, înălțime, bisectoare și așa mai departe. Și cum noi am aflat că tot unghiul acesta avea măsura de 60 de grade, imediat vom afla cât este măsura unghiului O de prim C. Dar haideți să începem mai întâi cu triunghiul echilateral. Și de fapt ar trebui să precizăm că Dacă ABCD este un pătrat în care știm că AC se intersectează cu BD în punctul O, Rezultă de aici că O va fi mijlocul lui AC, dar cum triunghiul de prim AC era un triunghi echilateral, rezultă de aici că de prim O este înălțime mediană, bisectoare și așa mai departe. Și noi știam că măsura unghiului A de prim C era de 60 de grade. Asta înseamnă de aici că măsura unghiului nostru, măsura unghiului O de prim C va fi de 30 de grade. Rezultă că măsura unghiului dintre O de prim și A prim B Este de 30 de grade. Mergem mai departe la o problemă în care avem un paralelipiped. Haideți să scriem datele. Dar înainte de asta aș vrea să fac câteva precizări. În cub a fost ușor să lucrăm pentru că toate fețele sunt pătrate. Diagonalele sunt egale, laturile sunt egale și așa mai departe. Erau niște unghiuri evidente ca măsură. În momentul în care lucrăm într-un alt corp, de obicei puteți să obțineți 0 grade, 90 de grade, 30 de grade, 60 de grade sau 45 de grade. Asta înseamnă că... Fie arătați că aveți triunghiuri dreptunghice, fie arătați că într-un triunghi dreptunghic aveți teorema unghiului de 30 de grade și anume identificați o catetă care este jumătate din ipotenuză și atunci automat acolo undeva se ascunde un unghi de 30 de grade sau un unghi de 60 de grade. Sau arătați că aveți un triunghi dreptunghic și soscel și atunci unghiurile sunt de 45 de grade. Cert este că trebuie să vă folosiți de elementele pe care le aveți din datele problemei. Haideți să scriem datele. Avem ABCD. A'B'C'paralelipi pe dreptunghic, în care știm că AB este 10 radical din 3 cm, apoi BC egal cu BB'și egal cu 10. Și trebuie să aflăm cât este AB'și AC, apoi să aflăm măsura unghiului dintre AB și CC', apoi la punctul C, trebuie să aflăm măsura unghiului dintre AB'și DD'. Apoi, măsura unghiului dintre BC'și AD și în final, măsura unghiului dintre CD'și AB. Haideți să facem desenul. Desenăm paralelipipedul. Desenăm un dreptunghi, în spate același dreptunghi, apoi liniile punctate, eu le voi face punctate imediat, le șterg acum și să îl notăm. Avem ABCD. A', B', C'și D'. AB este 10 radical din 3 cm, BC este 10, BB'sau A'este tot 10. Haideți să vedem punctul A, ce aveam de făcut. La punctul A ni se cere să-l aflăm pe AB'. Haideți să îl trasăm. Avem AB'. Și vreți să vedem cum putem să facem să-l aflăm. E foarte simplu, probabil v-ați dat seama deja. Vreți să aplicăm teorema lui Pitagora într-un triunghi dreptunghic. Putem să luăm triunghiul ABB'în care știm că măsura unghiului B este de 90 de grade. Asta înseamnă că putem să aplicăm teorema lui Pitagora și vom avea că AB la a doua plus BB prim la a doua egal cu AB prim la a doua. Și înlocuim AB este 10 radicat. din 3 totul la a doua bb prim este 10 egal cu ab prim la a doua. Și acum haideți să vedem cât obținem când ridicăm la putere. Distribuim puterea la 10 și la radical din 3 și practic avem 10 la a doua ori radical din 3 la a doua 10 la a doua înseamnă 100 iar radical din 3 la a doua fie vă gândiți că e 3, fie vă gândiți că e radical din 9 care dă oricum 3. Și atunci avem 100 ori 3 ridică 300. Plus 10 la a doua este 100, egal cu AB prim la a doua, asta înseamnă că AB prim la a doua este 400, de unde rezultă că AB prim va fi radical din 400, asta înseamnă că AB prim este 20 de centimetri. Mai departe, haideți să vedem ce mai putem să facem. Trebuie să-l aflăm pe AC. La fel vom aplica teorema lui Pitagora sau putem să facem cu congruență de triunghiuri, să arătăm că triunghiul ABB'e congruent cu triunghiul ABC și atunci automat AB'va fi congruent cu AC. Haideți să facem mai degrabă cu congruență de triunghiuri pentru că teorema lui Pitagora probabil știți deja să o aplicați. Comparăm practic triunghiul AB'cu triunghiul AC. ABC. Și haideți să vedem elementele congruente. În primul rând observăm că avem latura comună AB. Asta înseamnă că AB e congruent cu AB. Apoi, observăm că ambele sunt triunghiuri dreptunghice și atunci putem să scriem că unghiul ABC e congruent cu unghiul ABB'. Apoi, observăm că BB'e 10 și BC e tot 10. Asta înseamnă că BB'e congruent cu BC. Și acum, pentru că noi lucrăm într-un triunghi dreptunghic, putem să folosim cazurile de congruență de la triunghiuri dreptunghice, să spunem că avem cazul catetă-catetă, sau putem să ne imaginăm că avem două laturi și un unghi dintre ele, asta înseamnă că avem cazul latul-unghi-latulă. Bun, rezultă de aici că triunghiul ABB'e congruent cu triunghiul ABC, asta înseamnă că AB'va fi congruent cu AC, Și de aici rezultă că AC va avea tot 20 de centimetri. Haideți să mergem mai departe să vedem ce avem de aflat. Voi da pagina și voi insera desenul. Și haideți să vedem ce unghi avem de aflat. Unghiul dintre AB și CC prim. AB și CC prim. Stați să micșoresc desenul acum. Observăm că avem două drepte necoplanare. Asta înseamnă că trebuie să găsim o paralelă la una din ele. Spre exemplu, observăm că AB e paralel cu DC sau putem să spunem că CC'e paralel cu BC. Oricare din variante este bună. Haideți să-l folosim pe BB'și să scriem faptul că CC'e paralel cu BB'. Asta înseamnă că... măsura unghiului dintre AB și CC prim devine măsura unghiului dintre pe AB îl păstrăm iar în locul lui CC prim vom scrie paralela găsită și anume BB prim și atunci înseamnă că avem de aflat măsura unghiului ABB prim care este de 90 de grade pentru că fața laterală este un Dreptunghi. Și atunci acolo automat sunt 90 de grade. Mai departe, măsura unghiului dintre AB'și DD'. AB'este cea roșie și DD'este în spate. Trebuie să găsim o paralelă la una din ele. Cred că cel mai simplu ar fi să-l folosim pe A'și atunci să vedem cât este unghiul dintre cele două. Haideți să scriem asta. Avem că DD'D' E paralel cu A'Asta înseamnă că măsura unghiului dintre AB'și DD'devine măsura unghiului dintre A'și AB'și atunci va fi vorba despre măsura unghiului. Observăm că punctul de intersecție este A, acea literă este vârful, se află pe mijloc și atunci fie scriem că avem unghiul A prim, A B prim, fie spunem că avem unghiul B prim, A A prim. E la fel. Cum vreți voi. A prim, A B prim. Și aici este un punct în care puteți greși dacă nu sunteți atenți. Puteți să spuneți că e 45 de grade de neatenție. Dar noi nu mai lucrăm într-un cub. Noi lucrăm într-un paralelipiped reptunghic. Asta înseamnă că diagonala nu mai este și bisectoare. Nu mai avem... acolo 45 de grade. Și atunci trebuie să ne folosim de ceea ce știm, de laturile pe care le știm, pentru a afla măsura acelui unt. Spre exemplu, putem să ne folosim de funcții trigonometrice, sinus, cosinus, tangentă, cotangentă, și să vedem dacă obținem o valoare conform acelui tabel de valori. Dacă nu, ne gândim la o teoremă reciprocă. În cazul nostru, dacă ar fi să ne concentrăm asupra triunghiului, aprim pe prim A, observăm că A Avem o catetă A'care este jumătate din ipotenuza AB'. Și atunci noi știm că când într-un triunghi dreptunghi, o catetă este jumătate din ipotenuză, sigur acolo se ascunde un unghi de 30 de grade. Rețineți acest lucru, dacă obțineți o catetă care este jumătate din ipotenuză, aveți un unghi de 30 de grade. Haideți să vedem care o fi unghiul de 30 de grade. Păi teorema 30-60-90 spune că într-un triunghi dreptunghic, Cateta care se opune unghiului de 30 de grade este jumătate din ipotenuză. Și atunci, aceasta este cateta noastră, înseamnă că unghiul de 30 va fi unghiul opus catetei, adică va fi unghiul B'. Și uitați ce repede am aflat un unghi între unghiul acesta dreptunghic și atunci înseamnă că celălalt unghi, având în vedere că avem un unghi de 30 și unul de 90, va avea 60 de grade. Dar haideți să scriem aceste lucruri. Observăm că în triunghiul A'A'B' Măsura unghiului A'este de 90 de grade, iar cateta A'este jumătate din AB'. Și atunci rezultă din reciproca teoremei 30, 60, 90, sau reciproca teoremei unghiului de 30 de grade, este același lucru, că măsura unghiului AB'A' Va fi de 30 de grade, iar măsura unghiului A'A'B'va fi de 60 de grade. Asta înseamnă că măsura unghiului pe care noi l-aveam de aflat, adică măsura unghiului dintre A'B'și D'este de 60 de grade. Haideți să mergem mai departe la următorul supunct. Stați să iau desenul și să vedem ce avem de aflat. Avem de aflat măsura unghiului dintre BC'și AD. BC'haideți să-l facem cu verde. BC'și AD. Toate putem să găsim paralel ABC și atunci să devină unghiul acesta. Haideți să scrim asta. Avem așa că AD e paralel cu BC. Asta înseamnă că măsura unghiului dintre BC'și AD devine măsura unghiului dintre BC'și BC. Asta înseamnă că vorbim despre măsura unghiului C'. B și C. Haideți să vedem acum câte grade putem să avem. Așa cum am spus la început. Fie aveți 90, 45, 60 sau 30. Trebuie să găsiți totuși o justificare. Și atunci ne observăm că de fapt BCC'B'este un pătrat pentru că BC era egal cu CC'. Asta înseamnă că BC'fiind o diagonală într-un pătrat, diagonalele sunt și bisectoare. Și vom avea măsura de 45 de grade. Haideți să scriem asta. Noi avem așa BC e egal cu CC'dar prin definiție noi știam că BC C'B'ar fi un dreptunghi. Dar cum cele două sunt egale ne rezultă că BCC'B'devine un pătrat în care BC'este o diagonală și atunci automat de aici ne rezultă că măsura unghiului C'BC este de 45 de grade. Asta înseamnă că măsura unghiului dintre BC'și AD este de 45 de grade. Haideți să vedem ce mai trebuia să mai aflăm. Ultima cerință, măsura unghiului dintre CD'și AD. Haideți să inserăm desenul. CD'cu negru. C deprim și haideți să mai verific încă o dată și AB. E super simplu, căutăm o paralelă, spre exemplu putem să spunem că DC e paralela la AB și haideți să vedem câte grade va avea unghiul nostru. Avem așa DC paralel cu AB. Asta înseamnă că măsura unghiului dintre D'C și AB Devine măsura unghiului dintre D'C și paralela găsită. Și atunci vorbim despre măsura unghiului D'CD. Și haideți să vedem câte grade avem. Nu mai lucrăm într-un pătrat pentru că D'C'D'este un dreptunghi, laturile sale sunt diferite. Dar noi știm că D'este 10, D'este 10 radical din 3 și D'C'era 20. Și atunci haideți să vedem. Cât o fi oare măsura acestui unghi? Păi iarăși suntem într-un triunghi dreptunghic în care observăm că avem o catetă care este jumătate din ipotenuză. Asta înseamnă că undeva se ascunde un unghi de 30 de grade. Încă o dată, întotdeauna cateta care este jumătate din ipotenuză se opune unghiului de 30 de grade. Și atunci avem că măsura unghiului C va fi de 30 de grade. Haideți să scriem asta. Avem triunghiul de prim CD. cu măsura unghiului D de 90 de grade, în care știm că D de prim este D prim C pe 2. Și atunci rezultă din reciproca teoremei 30-60-90. că măsura unghiului C sau măsura unghiului D'CD este de 30 de grade, nu ne mai interesează celălalt unghi, și atunci măsura unghiului dintre D'C și AB este de 30 de grade. Sper că v-a fost util clipul de astăzi și vă doresc mult spor la învățat în continuare!

Vă reamintesc că atunci când avem de aflat unghiul dintre două drepte, întotdeauna vom considera măsura unghiului cel mai mic format. După cum puteți observa, s-au format aici patru unghiuri. Putem să le notăm 1, 2, 3, 4. Observăm că unghiurile 1, 3, respectiv 2 și 4 sunt perechi de unghiuri opuse la vârf. Asta înseamnă că aceste unghiuri sunt congruente. Întrebarea este, dacă noi vrem să aflăm unghiul dintre dreptele A și B, Pe care unghi îl vom lua în considerare?

După cum putem observa, unghiurile 1 și 3 sunt unghiuri obtuze, sunt mai mari. Și atunci înseamnă că atunci când discutăm despre măsura unghiului dintre A și B, noi vom considera unghiul cel mai mic format. În cazul acesta, fie spunem că este egală cu măsura unghiului 2, fie putem să spunem că măsura unghiului dintre cele două drepte este egală cu măsura unghiului 4. Repet!

Atunci când discutăm despre măsura unghiului dintre două drepte, întotdeauna considerăm măsura celui mai mic unghi format. Haideți să mergem acum la unghiul dintre două drepte în spațiu. Să spunem că avem dreptele A și B care sunt în ecoplanare, sunt în plane diferite.

Și atunci, cum trebuie să procedăm pentru a afla unghiul dintre aceste două drepte? Ne fixăm undeva un punct și construim paralele la cele două drepte. Spre exemplu, dacă vrem să construim o paralelă la dreapta A prin punctul respectiv, apoi putem să construim o paralelă la dreapta B prin același punct.

Și atunci, haideți să notăm aceste drepte cu A'B'. Dacă eu știu că A'e paralel cu A, respectiv B'e paralel cu B, asta înseamnă că măsura unghiului dintre A și B Este, de fapt, măsura unghiului dintre paralelele găsite, adică dintre A'și B'. Bineînțeles că există cazuri în probleme unde nu trebuie să construim paralele la ambele, ci este suficient să ne construim o paralelă la una dintre drepte.

Rețineți așadar, dacă discutăm despre unghiul dintre două drepte necoplanare, trebuie să găsim paralele. Fie la amândouă, fie la una din ele, dar paralele respective pe care le avem trebuie să fie concurente. Încă o dată, de exemplu, în acest caz, eu știu că A e paralel cu C, B e paralel cu D.

Asta înseamnă că măsura unghiului dintre A și B este, de fapt, măsura unghiului dintre C și D. Haideți să vedem acum concret câteva exemple. Am considerat un cub și vreau să aflăm. în primul caz măsura unghiului dintre AB și BC.

După cum putem observa, cele două drepte sunt necoplanare. Asta înseamnă că trebuie să construim paralele la una dintre ele. Spre exemplu, putem să observăm că BC este paralel cu BC. Asta înseamnă că, haideți să scriem mai întâi acest lucru, BC e paralel cu BC.

Asta înseamnă că măsura unghiului dintre AB și B'C', adică măsura unghiului cerut în enunț, va deveni măsura unghiului dintre, și haideți să vedem cum facem. În acest unghi pe care îl avem de aflat vom înlocui pe B'C'cu paralela găsită. Asta înseamnă că vom avea măsura unghiului dintre AB și BC.

Încă o dată mai explic, l-am înlocuit pe B'C'cu paralela pe care am găsit-o și anume cu BC. Și haideți să ne uităm acum la unghiul dintre AB și BC. Este de fapt vorba despre unghiul ABC.

Întotdeauna vârful unghiului este dat de punctul de intersecție dintre cele două drepte. Și acum trebuie să vedem cât este măsura unghiului ABC. Păi dacă noi lucrăm într-un cub, înseamnă că ABCD este un pătrat și atunci automat rezultă că măsura unghiului ABC este de 90 de grade.

Asta înseamnă că măsura unghiului pe care îl aveam de aflat, măsura unghiului dintre AB și B'C'este de 90 de grade. Haideți să mergem la următorul exemplu. Aflați măsura unghiului dintre Haideți să evidențiem AD și AB.

În acest caz, observăm că dreptele noastre se află în același plan. Asta înseamnă că nu trebuie să mai găsim paralele. Doar trebuie să vedem cine este unghiul nostru. Și atunci, haideți să vedem punctul în care se intersectează.

Și vom avea că măsura unghiului dintre AD și AB este de fapt măsura unghiului. Așa cum am spus, punctul. Fructul de intersecție este vârful unghiului, asta înseamnă că litera respectivă e pe mijloc și atunci putem să spunem că avem unghiul BAD sau DAB.

Este fix același lucru. Și haideți să vedem câte grade are. La fel, pentru că avem un cub, ABCD este un pătrat și atunci automat rezultă că măsura unghiului DAB este de 90 de grade.

Asta înseamnă că măsura unghiului dintre AD și AB este de 90 de grade. Mergem mai departe să se afle măsura unghiului dintre A'de prim și B'C'. Ce putem să spunem despre cele două drepte?

Păi putem să observăm că ele sunt paralele. A'de prim e paralel cu B'C'și atunci, oare cât este măsura unghiului dintre două drepte paralele? Aș vrea să rețineți acest lucru, întotdeauna măsura unghiului dintre două drepte paralele este de 0 grade.

Însă scriu și aici, dacă noi avem A paralel cu B, atunci automat măsura unghiului dintre A și B este de 0 grade. Rețineți acest lucru. Mai departe, avem de aflat măsura unghiului dintre AB și A prim de prim.

Haideți să vedem ce paralele putem construi, fie construim o paralelă la AB, spre exemplu, dacă am vrea să construim o paralelă la AB, am putea să-l considerăm pe A'B', fie dacă nu putem să construim o paralelă la A'B'și atunci putem să-l considerăm pe AD. Haideți să scriem acest lucru. Noi avem că AD e paralel cu A'B'. Asta înseamnă că măsura unghiului nostru, măsura unghiului dintre AB Și A'de prim devine, așa cum am explicat și mai devreme, înlocuim dreapta noastră cu paralela pe care am găsit-o. Și atunci noi vom avea măsura unghiului dintre AB și AD.

Asta înseamnă că e măsura unghiului de AB. care știm că este de 90 de grade. Haideți să mergem mai departe.

Avem de aflat de data aceasta măsura unghiului dintre A'și B'B. Trebuie să găsim o paralelă la una din ele. Și atunci, spre exemplu, observăm că BB'e paralel cu A'sau putem să considerăm că BB'e paralel cu DD'și atunci observăm că pe oricare dreapta am luat-o se intersectează cu AD'.

Dacă nu vrem să construim o paralelă la BB'putem să considerăm paralela la AD'și anume BC'și atunci este unghiul dintre BB'și BC'și vedem exact câte grade are. Haideți să folosim această paralelă să specificăm că AD'e paralel cu BC'. Asta înseamnă că măsura unghiului dintre AD'și BB'devine. Înlocuim pe AD'cu paralela pe care am găsit-o.

Și atunci vom avea BC'și BB'. Haideți să vedem. Care este unghiul dintre B B'și B C'?

În primul rând, punctul de intersecție este B, asta înseamnă că vârful unghiului este B și atunci avem unghiul B'B C'. Haideți să vedem câte grade are. Păi noi știm că lucrăm într-un cub, asta înseamnă că B C C'B'este un pătrat iar în acest pătrat noi știm că B C'este o diagonală. Și atunci vă reamintesc că într-un pătrat, diagonalele sunt și bisectoare.

Asta înseamnă că noi am avut tot unghiul B de 90 de grade, dar cum BC'este o bisectoare, ne rezultă că măsura unghiului B'BC'va fi egală cu 45 de grade, pentru că am împărțit unghiul în două unghiuri cu aceeași măsură. În concluzie, măsura unghiului dintre A'și B' Este de 45 de grade. Mergem mai departe să se afle măsura unghiului dintre AB'și AB'.

Din nou avem două drepte care se află în același plan, două drepte coplanare și atunci nu mai este necesar să mai construim paralele. Trebuie să vedem exact cât este măsura unghiului dintre cele două drepte. Și atunci observăm că atât AB'cât și A'B sunt diagonale în pătratul AB'A'și atunci din proprietățile pătratului Noi știm că diagonalele sale sunt perpendiculare și putem afirma că măsura unghiului dintre cele două drepte va fi de 90 de grade. Haideți să scriem toate aceste lucruri. Avem ABB'A'în pătrat în care știm că AB'și AB sunt diagonale.

Și atunci, din proprietățile pătratului, rezultă că aceste diagonale sunt perpendiculare, iar de aici rezultă că măsura unghiului dintre AB'și AB' Va fi de 90 de grade. Vă reamintesc ce înseamnă drepte perpendiculare. Drepte perpendiculare sunt dreptele care formează unghiuri cu măsura de 90 de grade.

Asta înseamnă că dacă eu știu că am o dreaptă A perpendiculară pe o dreaptă B, îmi rezultă că măsura unghiului dintre A și B este de 90 de grade. Întotdeauna asta înseamnă drepte perpendiculare. Mergem mai departe la următorul exemplu.

Să se află măsura unghiului dintre A'și A'B. După cum puteți observa, A'se află în fața laterală AD'A', pe când A'B se află în AB'A'. Asta înseamnă că cele două drepte sunt necoplanare, se află în plane diferite.

Și atunci, haideți să vedem cum procedăm. Trebuie să construim paralele la una din ele. Spre exemplu, am putea să construim paralela BC'la AD'. Așa de prim.

Sau, dacă vrem, putem să construim paralela la A'B și anume pe D'C. Pe oricare o construim, important este să obținem un unghi. Și atunci, haideți să o folosim pe aceasta, să spunem faptul că A'B e paralel cu D'C. Asta înseamnă că măsura unghiului dintre A'și A'B Devine măsura unghiului dintre A'și D'C.

Și acum observăm că cele două se intersectează în punctul D'. Asta înseamnă că D'este vârful unghiului nostru și putem să spunem că avem de aflat măsura unghiului A'C. Și să vedem câte grade are.

Voi șterge A'B pentru a vedea mai bine ce se întâmplă. O parte dintre voi probabil ați avut senzația că unghiul acesta are 90 de grade, pentru că nu sunteți încă obișnuiți cu geometria în spațiu și v-ați gândit că am 45 de grade aici cu 45 de grade aici și îmi dă 90. Însă lucrurile nu sunt în felul acesta. Unghiul acesta practic este format în interiorul cubului, nu are legătură cu fețele laterale. Doar dacă am fi desfășurat... cubul, atunci într-adevăr puteam să spunem că avem 90 de grade, dar noi lucrăm în interiorul cubului.

Și atunci, cel mai bine este că atunci când nu știți exact cât este măsura unui unghi, să studiați natura triunghiului respectiv pe care îl aveți. Cu alte cuvinte ne interesează să vedem ce fel de triunghi este acesta, ce fel de triunghi este de prima C. Și haideți să vedem ce putem să spunem despre el.

Păi, Ce este A de prim în cubul nostru? N-am putea să spunem că ea este o diagonală în fața laterală A de de prima prim? Haideți să scriem asta. Avem așa. A de de prima prim este un pătrat.

în care știm că A de prim este o diagonală. Păi atunci înseamnă că A de prim este latura radical din 2, pentru că diagonală într-un pătrat e latura radical din 2. Mai departe, dacă mergem la AC, AC este la rândul ei o diagonală în ABCD. Haideți să scriem asta. ABCD e un pătrat. în care știm că AC este o diagonală și atunci ne rezultă că și AC este tot latura radical din droi, pentru că noi știm că într-un cub toate laturile au aceeași lungime.

Mai departe, dacă mergem la D'C, observăm că și D'C este o diagonală în DC''Haideți să scriem DC''este un pătrat. în care știu că D'C este o diagonală. Și atunci, din asta ne rezultă că și D'C este tot latura radical din 2. Păi dacă am obținut că toate sunt latura radical din 2, nu rezultă de aici că, de fapt, triunghiul acesta, D'C, este un triunghi echilateral și din proprietățile triunghiului echilateral, noi știm că toate unghiurile au măsurile de 60 de grade. Asta înseamnă că măsura unghiului nostru, A'C, acesta de aici, va fi de 60 de grade.

În concluzie, măsura unghiului dintre A'și A'B este de 60 de grade. Haideți să mergem la următorul sub punct, unde trebuie să aflăm măsura unghiului dintre A'C. Iarăși avem două drepte necoplanare, asta înseamnă că trebuie să construim paralele la una dintre ele.

Spre exemplu, putem să construim A'de prim paralel cu AD sau AC paralel cu A'G'. Oricare din variante este corectă. Haideți să ne folosim de acestea. Să spunem faptul că AD e paralel cu A'de prim. Asta înseamnă că măsura unghiului dintre A'de prim și AC devine măsura unghiului dintre paralela pe care am găsit-o și AC.

Și atunci, haideți să vedem care este punctul în care se întâlnesc. Observăm că este punctul A și atunci avem unghiul de AC. Și pentru că ABCD este un pătrat, iar AC este o diagonală, măsura acestui unghi va fi de 45 de grade. Mergem mai departe să spunem că avem punctul O, punctul de intersecție dintre diagonalele lui ABCD și să aflăm măsura unghiului dintre O'și A'B. Haideți să vedem cum facem aici.

La fel avem două drepte necoplanare, asta înseamnă că trebuie să găsim paralele. Rețineți acest lucru. Dacă vorbim de unghiuri dintre două drepte în spațiu, dacă dreptele se întâlnesc, aflați unghiul, dacă nu, trebuie să găsim paralele.

Fie avem paralele directe și doar trebuie să spunem care sunt, fie construim noi paralele astfel încât să putem forma unghiul respectiv. O paralelă foarte folosită, spre exemplu, este și linia mijlocie. Puteți să construiți și să încercați să aflați unghiul în felul acesta. Depinde de la caz la caz. În cazul nostru, cel mai simplu ar fi să construim o paralelă la A'B.

Pentru că D'O este în interiorul cubului, cred că ar fi mai greu să găsim o paralelă directă. Și atunci putem să observăm că A'B este paralel cu D'C, astfel încât unghiul format va fi... măsura unghiului, punctul de intersecție este de prim și atunci o să avem O de prim C.

Și haideți să vedem câte grade are acest unghi. Îl voi șterge pe A prin B și să ne concentrăm asupra triunghiului acesta. Ca să vedem totuși mai clar ce se întâmplă, vă recomand să construiți tot triunghiul mare. Ne-am arătat mai devreme despre acest triunghi că este un triunghi echilateral.

Dacă noi știm că O este punctul de intersecție dintre diagonalele pătratului, înseamnă că punctul O este la mijlocul lui AC. Și atunci înseamnă că în triunghiul nostru echilateral, de prim O, va fi mediană, înălțime, bisectoare și așa mai departe. Și cum noi am aflat că tot unghiul acesta avea măsura de 60 de grade, imediat vom afla cât este măsura unghiului O de prim C.

Dar haideți să începem mai întâi cu triunghiul echilateral. Și de fapt ar trebui să precizăm că Dacă ABCD este un pătrat în care știm că AC se intersectează cu BD în punctul O, Rezultă de aici că O va fi mijlocul lui AC, dar cum triunghiul de prim AC era un triunghi echilateral, rezultă de aici că de prim O este înălțime mediană, bisectoare și așa mai departe. Și noi știam că măsura unghiului A de prim C era de 60 de grade. Asta înseamnă de aici că măsura unghiului nostru, măsura unghiului O de prim C va fi de 30 de grade. Rezultă că măsura unghiului dintre O de prim și A prim B Este de 30 de grade.

Mergem mai departe la o problemă în care avem un paralelipiped. Haideți să scriem datele. Dar înainte de asta aș vrea să fac câteva precizări. În cub a fost ușor să lucrăm pentru că toate fețele sunt pătrate. Diagonalele sunt egale, laturile sunt egale și așa mai departe.

Erau niște unghiuri evidente ca măsură. În momentul în care lucrăm într-un alt corp, de obicei puteți să obțineți 0 grade, 90 de grade, 30 de grade, 60 de grade sau 45 de grade. Asta înseamnă că... Fie arătați că aveți triunghiuri dreptunghice, fie arătați că într-un triunghi dreptunghic aveți teorema unghiului de 30 de grade și anume identificați o catetă care este jumătate din ipotenuză și atunci automat acolo undeva se ascunde un unghi de 30 de grade sau un unghi de 60 de grade.

Sau arătați că aveți un triunghi dreptunghic și soscel și atunci unghiurile sunt de 45 de grade. Cert este că trebuie să vă folosiți de elementele pe care le aveți din datele problemei. Haideți să scriem datele.

Avem ABCD. A'B'C'paralelipi pe dreptunghic, în care știm că AB este 10 radical din 3 cm, apoi BC egal cu BB'și egal cu 10. Și trebuie să aflăm cât este AB'și AC, apoi să aflăm măsura unghiului dintre AB și CC', apoi la punctul C, trebuie să aflăm măsura unghiului dintre AB'și DD'. Apoi, măsura unghiului dintre BC'și AD și în final, măsura unghiului dintre CD'și AB.

Haideți să facem desenul. Desenăm paralelipipedul. Desenăm un dreptunghi, în spate același dreptunghi, apoi liniile punctate, eu le voi face punctate imediat, le șterg acum și să îl notăm.

Avem ABCD. A', B', C'și D'. AB este 10 radical din 3 cm, BC este 10, BB'sau A'este tot 10. Haideți să vedem punctul A, ce aveam de făcut. La punctul A ni se cere să-l aflăm pe AB'. Haideți să îl trasăm.

Avem AB'. Și vreți să vedem cum putem să facem să-l aflăm. E foarte simplu, probabil v-ați dat seama deja. Vreți să aplicăm teorema lui Pitagora într-un triunghi dreptunghic. Putem să luăm triunghiul ABB'în care știm că măsura unghiului B este de 90 de grade.

Asta înseamnă că putem să aplicăm teorema lui Pitagora și vom avea că AB la a doua plus BB prim la a doua egal cu AB prim la a doua. Și înlocuim AB este 10 radicat. din 3 totul la a doua bb prim este 10 egal cu ab prim la a doua.

Și acum haideți să vedem cât obținem când ridicăm la putere. Distribuim puterea la 10 și la radical din 3 și practic avem 10 la a doua ori radical din 3 la a doua 10 la a doua înseamnă 100 iar radical din 3 la a doua fie vă gândiți că e 3, fie vă gândiți că e radical din 9 care dă oricum 3. Și atunci avem 100 ori 3 ridică 300. Plus 10 la a doua este 100, egal cu AB prim la a doua, asta înseamnă că AB prim la a doua este 400, de unde rezultă că AB prim va fi radical din 400, asta înseamnă că AB prim este 20 de centimetri. Mai departe, haideți să vedem ce mai putem să facem.

Trebuie să-l aflăm pe AC. La fel vom aplica teorema lui Pitagora sau putem să facem cu congruență de triunghiuri, să arătăm că triunghiul ABB'e congruent cu triunghiul ABC și atunci automat AB'va fi congruent cu AC. Haideți să facem mai degrabă cu congruență de triunghiuri pentru că teorema lui Pitagora probabil știți deja să o aplicați. Comparăm practic triunghiul AB'cu triunghiul AC. ABC.

Și haideți să vedem elementele congruente. În primul rând observăm că avem latura comună AB. Asta înseamnă că AB e congruent cu AB. Apoi, observăm că ambele sunt triunghiuri dreptunghice și atunci putem să scriem că unghiul ABC e congruent cu unghiul ABB'. Apoi, observăm că BB'e 10 și BC e tot 10. Asta înseamnă că BB'e congruent cu BC.

Și acum, pentru că noi lucrăm într-un triunghi dreptunghic, putem să folosim cazurile de congruență de la triunghiuri dreptunghice, să spunem că avem cazul catetă-catetă, sau putem să ne imaginăm că avem două laturi și un unghi dintre ele, asta înseamnă că avem cazul latul-unghi-latulă. Bun, rezultă de aici că triunghiul ABB'e congruent cu triunghiul ABC, asta înseamnă că AB'va fi congruent cu AC, Și de aici rezultă că AC va avea tot 20 de centimetri. Haideți să mergem mai departe să vedem ce avem de aflat. Voi da pagina și voi insera desenul. Și haideți să vedem ce unghi avem de aflat.

Unghiul dintre AB și CC prim. AB și CC prim. Stați să micșoresc desenul acum. Observăm că avem două drepte necoplanare.

Asta înseamnă că trebuie să găsim o paralelă la una din ele. Spre exemplu, observăm că AB e paralel cu DC sau putem să spunem că CC'e paralel cu BC. Oricare din variante este bună.

Haideți să-l folosim pe BB'și să scriem faptul că CC'e paralel cu BB'. Asta înseamnă că... măsura unghiului dintre AB și CC prim devine măsura unghiului dintre pe AB îl păstrăm iar în locul lui CC prim vom scrie paralela găsită și anume BB prim și atunci înseamnă că avem de aflat măsura unghiului ABB prim care este de 90 de grade pentru că fața laterală este un Dreptunghi.

Și atunci acolo automat sunt 90 de grade. Mai departe, măsura unghiului dintre AB'și DD'. AB'este cea roșie și DD'este în spate. Trebuie să găsim o paralelă la una din ele. Cred că cel mai simplu ar fi să-l folosim pe A'și atunci să vedem cât este unghiul dintre cele două.

Haideți să scriem asta. Avem că DD'D' E paralel cu A'Asta înseamnă că măsura unghiului dintre AB'și DD'devine măsura unghiului dintre A'și AB'și atunci va fi vorba despre măsura unghiului. Observăm că punctul de intersecție este A, acea literă este vârful, se află pe mijloc și atunci fie scriem că avem unghiul A prim, A B prim, fie spunem că avem unghiul B prim, A A prim. E la fel.

Cum vreți voi. A prim, A B prim. Și aici este un punct în care puteți greși dacă nu sunteți atenți. Puteți să spuneți că e 45 de grade de neatenție. Dar noi nu mai lucrăm într-un cub.

Noi lucrăm într-un paralelipiped reptunghic. Asta înseamnă că diagonala nu mai este și bisectoare. Nu mai avem...

acolo 45 de grade. Și atunci trebuie să ne folosim de ceea ce știm, de laturile pe care le știm, pentru a afla măsura acelui unt. Spre exemplu, putem să ne folosim de funcții trigonometrice, sinus, cosinus, tangentă, cotangentă, și să vedem dacă obținem o valoare conform acelui tabel de valori.

Dacă nu, ne gândim la o teoremă reciprocă. În cazul nostru, dacă ar fi să ne concentrăm asupra triunghiului, aprim pe prim A, observăm că A Avem o catetă A'care este jumătate din ipotenuza AB'. Și atunci noi știm că când într-un triunghi dreptunghi, o catetă este jumătate din ipotenuză, sigur acolo se ascunde un unghi de 30 de grade.

Rețineți acest lucru, dacă obțineți o catetă care este jumătate din ipotenuză, aveți un unghi de 30 de grade. Haideți să vedem care o fi unghiul de 30 de grade. Păi teorema 30-60-90 spune că într-un triunghi dreptunghic, Cateta care se opune unghiului de 30 de grade este jumătate din ipotenuză.

Și atunci, aceasta este cateta noastră, înseamnă că unghiul de 30 va fi unghiul opus catetei, adică va fi unghiul B'. Și uitați ce repede am aflat un unghi între unghiul acesta dreptunghic și atunci înseamnă că celălalt unghi, având în vedere că avem un unghi de 30 și unul de 90, va avea 60 de grade. Dar haideți să scriem aceste lucruri.

Observăm că în triunghiul A'A'B' Măsura unghiului A'este de 90 de grade, iar cateta A'este jumătate din AB'. Și atunci rezultă din reciproca teoremei 30, 60, 90, sau reciproca teoremei unghiului de 30 de grade, este același lucru, că măsura unghiului AB'A' Va fi de 30 de grade, iar măsura unghiului A'A'B'va fi de 60 de grade. Asta înseamnă că măsura unghiului pe care noi l-aveam de aflat, adică măsura unghiului dintre A'B'și D'este de 60 de grade. Haideți să mergem mai departe la următorul supunct. Stați să iau desenul și să vedem ce avem de aflat.

Avem de aflat măsura unghiului dintre BC'și AD. BC'haideți să-l facem cu verde. BC'și AD. Toate putem să găsim paralel ABC și atunci să devină unghiul acesta.

Haideți să scrim asta. Avem așa că AD e paralel cu BC. Asta înseamnă că măsura unghiului dintre BC'și AD devine măsura unghiului dintre BC'și BC. Asta înseamnă că vorbim despre măsura unghiului C'.

B și C. Haideți să vedem acum câte grade putem să avem. Așa cum am spus la început. Fie aveți 90, 45, 60 sau 30. Trebuie să găsiți totuși o justificare. Și atunci ne observăm că de fapt BCC'B'este un pătrat pentru că BC era egal cu CC'.

Asta înseamnă că BC'fiind o diagonală într-un pătrat, diagonalele sunt și bisectoare. Și vom avea măsura de 45 de grade. Haideți să scriem asta. Noi avem așa BC e egal cu CC'dar prin definiție noi știam că BC C'B'ar fi un dreptunghi.

Dar cum cele două sunt egale ne rezultă că BCC'B'devine un pătrat în care BC'este o diagonală și atunci automat de aici ne rezultă că măsura unghiului C'BC este de 45 de grade. Asta înseamnă că măsura unghiului dintre BC'și AD este de 45 de grade. Haideți să vedem ce mai trebuia să mai aflăm. Ultima cerință, măsura unghiului dintre CD'și AD.

Haideți să inserăm desenul. CD'cu negru. C deprim și haideți să mai verific încă o dată și AB.

E super simplu, căutăm o paralelă, spre exemplu putem să spunem că DC e paralela la AB și haideți să vedem câte grade va avea unghiul nostru. Avem așa DC paralel cu AB. Asta înseamnă că măsura unghiului dintre D'C și AB Devine măsura unghiului dintre D'C și paralela găsită.

Și atunci vorbim despre măsura unghiului D'CD. Și haideți să vedem câte grade avem. Nu mai lucrăm într-un pătrat pentru că D'C'D'este un dreptunghi, laturile sale sunt diferite.

Dar noi știm că D'este 10, D'este 10 radical din 3 și D'C'era 20. Și atunci haideți să vedem. Cât o fi oare măsura acestui unghi? Păi iarăși suntem într-un triunghi dreptunghic în care observăm că avem o catetă care este jumătate din ipotenuză. Asta înseamnă că undeva se ascunde un unghi de 30 de grade.

Încă o dată, întotdeauna cateta care este jumătate din ipotenuză se opune unghiului de 30 de grade. Și atunci avem că măsura unghiului C va fi de 30 de grade. Haideți să scriem asta.

Avem triunghiul de prim CD. cu măsura unghiului D de 90 de grade, în care știm că D de prim este D prim C pe 2. Și atunci rezultă din reciproca teoremei 30-60-90. că măsura unghiului C sau măsura unghiului D'CD este de 30 de grade, nu ne mai interesează celălalt unghi, și atunci măsura unghiului dintre D'C și AB este de 30 de grade. Sper că v-a fost util clipul de astăzi și vă doresc mult spor la învățat în continuare!

Transcript for:Unghiurile dintre drepte în geometrie

Transcript for:
Unghiurile dintre drepte în geometrie