Equação do Plano

Introdução ao Plano

• Conceito de Plano:

  • Um plano é uma generalização de uma reta.
  • Se pega um ponto e arrasta em uma direção fixa, forma-se uma reta.
  • Ao arrastar uma reta em uma direção fixa, forma-se um plano.

• Propriedade do Plano:

  • Todo ponto no plano possui um vetor ortogonal.
  • Vetores ortogonais têm ângulo de 90 graus.

Equação do Plano

• A equação do plano passa por um ponto ( P = (A_0, B_0, C_0) ).
• Vetor normal ao plano é ( n = (a, b, c) ).
• Conjunto de pontos ( (x, y, z) ) satisfazendo:
  • ( A \cdot X + B \cdot Y + C \cdot Z = D )
  • Onde ( D = a \cdot A_0 + b \cdot B_0 + c \cdot C_0 )

Descrição Geométrica

• Pontos são ortogonais ao vetor ( (a, b, c) ).
• Produto interno ( (a, b, c) \cdot (x - A_0, y - B_0, z - C_0) = 0 ).
• Produto interno igual a zero implica ortogonalidade.

Representação e Propriedades

• Fórmula Geral:
  • ( A \cdot (x - A_0) + B \cdot (y - B_0) + C \cdot (z - C_0) = 0 )
• Equação do plano tem sentido geométrico.
• Plano é o conjunto de pontos que satisfazem a equação.

Exemplos

• Exemplo 1:

  • Vetor normal ( (1, 1, 1) ), ponto ( (0, 0, 0) ).
  • Equação: ( x + y + z = 0 ).

• Exemplo 2:

  • Vetor normal ( (1, 1, 1) ), ponto ( (0, 0, 1) ).
  • Equação: ( x + y + z = 1 ).
  • Visualização no primeiro octante como um triângulo.

Identificação do Plano

• Dada uma equação, é possível determinar o vetor normal e ponto.
• Exemplo: Para ( x + y = 0 ), vetor normal é ( (1, 1, 0) ).

Considerações Finais

• Importância da forma padrão da equação do plano para identificar vetor normal e ponto.
• Cuidados ao manipular equações para não perder componentes.